Limit,Süreklilik,Türev tanımı ile ilgili sorularım
Bermu Mat
1) Uç noktalarda limitin tanımı nedir?
2) Süreklilik sadece tanım kümesi üzerinde mi incelenir? Evet ise süreklilik koşullarında "o nokta da tanımlı olmalı" koşuluna gerek var mıdır? Başka bir deyişle süreksizlik koşullarında "fonksiyonun o noktada tanımlı olmaması" var mıdır?
3) f:R-{2} --> R , f(x)=1/(x-2) fonksiyonu sürekli midir?
4) f fonksiyonun grafiği verilsin ve sadece 5 apsisli noktada fonksiyon tanımlı olmasın, bu fonksiyon sürekli midir? 5 noktasında sürekli mi diye sorulabilir mi?
5) Uç noktalarda sürekliliğin tanımı nedir?
6) 2 noktasında sürekli olmayan ve 2 noktasında sağdan soldan türevleri 1 olan bir fonksiyon düşünelim. Sürekli olmadığından türev olmuyor. Bunun nedenini geometrik yorum olarak gösterebilir miyiz? Asıl amacım süreklilik türev ilişkisini görsele dökmek.
7) Uç noktalarda türev tanımı nedir?
Barış DEMİR
Asıl dikkatimi çeken 6. sorunuz. Bir fonksiyonun 2 de sağ ve sol türevi 1 ise zaten orada türevli ve süreklidir. Yok eğer sürekli değilse sağ sol ya da her iki türev tanımsızdır. Çok yapılan bir kavramsal hatayı dile getiriyorsunuz.
Örneğin
2x+1, x<1 ise
f(x)=
x^2, x>=1 ise
fonksiyonunun 1 e sağdan türevi 2 dır ancak soldan türevi tanımsızdır!!. Bunu görmek için türevin esas tanımını yani
x 1 e soldan yaklaşırken (f(x)-f(1))/(x-1) e bakmanız yeterlidir.
Rifat GÖRGÜN
--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/ab48fec7-1671-49c6-a08e-8bbeb319fc4e%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.
Muharrem Şahin
f : (-2,4] ---> R, f(x) = 2x
fonksiyonunun,
tanım kümesinin her noktasında limiti vardır.
lim (2x) = -4 tür.
x-->-2
Apaçıktır ki; bu noktada soldan limit yoktur.
Ama; -2'ye soldan yaklaşmak da söz konusu değildir.
Soldan yaklaşmak söz konusu olmadığında
sağdan limit "o noktaya yaklaşırkenki limit" sayılır.
Eskiden beri bilinen tanıma göre;
fonksiyonun bir noktada limitinin olması için,
hem sağdan hem de soldan limitlerinin olması
ve bunların birbirine eşit olması gerekir.
Bu ikinci tanım
bence
kavramın özü ile uyuşmuyor.
İlk tanıma göre
f fonksiyonunun
(-2,4] aralığındaki her x değeri için limiti vardır.
Böyle diyen birinin
x = -2 için var olan limitin sağdan limit,
x = 4 için var olan limitin soldan limit olduğunu
bildiği açıktır.
2. soru
Süreklilik
son programa göre
tanım kümesinde incelenir.
Ancak;
bu yaklaşım
karışıklığa yol açmıştır.
Önceki tanımda
"süreksizlik" terimi
"tanımsızlık" anlamına da getirilerek kullanılıyordu.
"Tanımsız olduğu için süreksizdir."
denilebiliyordu.
Bunu diyemediğimizde
açıklama zorlaşmaktadır.
Buradaki sorunun çözümü
"Tanım kümesinde sürekli midir?"
sorusu ile sağlanabilir.
3. soru
f:R-{2} --> R , f(x)=1/(x-2) fonksiyonu
tanım kümesinde süreklidir.
Ben
eski tanıma dayanarak
"R'de sürekli değildir."
diye eklemeden edemiyorum.
4. soru
f : R-{5} --> R;
2x-1 x < 5 ise
f(x) =
x^2 x > 5 ise
fonksiyonu
tanım kümesinde süreklidir.
Yeni tanıma göre
"x = 5 için sürekli midir?"
diye sorulmamalıdır.
"Tanımlanmamış şeyin nesini soruyorsun" diyebilirler.
Ama;
"Soruyorum işte."
diyene de
"Tanımsız olduğu için süreksizdir."
demenin hiçbir yanlışı yoktur.
5. soru
f : (-2,4] ---> R, f(x) = 2x
fonksiyonu,
tanım kümesinin her noktasında süreklidir.
x = -2 değeri için
fonksiyon süreksizdir.
Bu değer, tanım kümesinde yoktur.
lim (2x) = 8 ve
x-->4-
f(4) = 8 olduğundan
fonksiyon
x = 4 apsisli noktasında süreklidir.
Apaçıktır ki; bu noktada sağdan limit yoktur.
Ama; 4'e sağdan yaklaşmak da söz konusu değildir.
Eskiden beri bilinen tanıma göre;
fonksiyonun bir noktada sürekli olması için,
hem sağdan hem de soldan limitlerinin olması
ve bunların
fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.
Bu ikinci tanım
bence
kavramın özü ile uyuşmuyor.
İlk tanıma göre
f fonksiyon
(-2,4] aralığındaki her x değeri için süreklidir.
Böyle diyen birinin
x = 4 için
fonksiyonun soldan sürekli olduğunu
bildiği açıktır.
6. soru
Öğretmenlerimin açıkladıkları gibi.
7. soru
f : (-2,4] ---> R, f(x) = 2x
fonksiyonunun,
tanım kümesinin her noktasında türevlidir.
f '(-2) yoktur.
Çünkü; x = -2 için fonksiyon tanımsızdır.
f '(4) = 2 'dir.
Apaçıktır ki; bu noktada sağdan türev yoktur.
Ama; -4'ün sağında fonksiyon da yoktur.
Bu noktadaki soldan türev
fonksiyonun
bu noktadaki türevi sayılır.
Eskiden beri bilinen tanıma göre;
fonksiyon
x = 4 apsisli noktasında sürekli olmadığı için
(sağdan limiti,
sağdan türevi olmadığı için)
bu noktada türevsizdir.
Bu ikinci tanım
bence
kavramın özü ile uyuşmuyor.
İlk tanıma göre
f fonksiyonunun
(-2,4] aralığındaki her x değeri için türevlidir.
Böyle diyen birinin
f '(4) = 2 değerinin
fonksiyonun soldan türevi olduğunu
bildiği açıktır.
...
Bermu Hocam;
Sorunu
öyle güzel ortaya koymuşsunuz ki,
kafa karışıklığı yaşayan herkese yararlı olacağını düşünerek
defalarca yazdığım şeyleri
bir kere daha yazmaktan
kendimi alıkoyamadım.
İyi geceler.
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOM3ic7SySowaXoHuMFm8e4DoKcMEcAKTsnXa_Re%2BifGMcoqgw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.
hüseyin kış
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcPokYoo5hJHUeZbn3G91doQBfAEYvM%2B6iNg29_Q_NMCyw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Bermu Mat
Süreklilik konusunda verilen bilgilerden biri de fonksiyonun grafiğinin el kaldırılmadan çizilebileceği. Yeni tanıma göre bunu söyleyebilir miyiz?
7) Apotemi kitabında türevsizlik durumlarında "Fonksiyonun tanımlı olabileceği aralığın uç noktalarında", MY Matematik 3 kitabında ise "Türevin esas tanımındaki limit değerinin gerçek sayı olması" var. 2. ifadenin 1. yi kapsadığını söyleyebilir miyiz?
8 Temmuz 2017 Cumartesi 23:10:45 UTC+3 tarihinde Barış DEMİR yazdı:
Barış DEMİR
amaçsal yorum yapılırsa tüm karmaşa giderilir. Hiçbir analiz dersinde uç noktalarda limit var mı yok mu tartışması duymazsınız, çünkü tanımı yapılır ve derse devam edilir. Böylece dolaylı olarak uç noktalara bu kadar takılmanın genel amaçla bir ilgisi olmadığı anlatılır.
Bu anlamda bizdeki sorumatik konu anlatımlı kitaplarda yer alan uç noktalara dayanan anlamsız sorular adına serzenişinizde haklısınız.
Son olarak bir kavram birbirine benzer ama farklı sonuçlara yol açacak biçimde tanımlanabiliyorsa, onunla ilgili öğrenme düzeyi ölçümlerinde bu tartışmaların olması kaçınılmazdır.
Bu konuda lise düzeyinde noktayı koyması gereken tabiki ideal matematik müfredatıdır.
Süreklilik konusuna gelirsek, eskiden "sonsuz süreksizlik", "kaldırılabilir süreksizlik" gibi süreksizlik çeşitleri müfredatta vardı. Özellikle "removable discontinuity / kaldırılabilir süreksizlik" adına tanım kümesinde yer almayan eleman bir şekilde tanım kümesine dahil edilerek yeni bir parçalı fonksiyon yazılarak sürekli hale getiriliyordu.
Örneğin, f(x) = (x^2 - 1) / (x-1) fonksiyonunun x = 1 de kaldırılabilir süreksizliği vardır denir ve
(x^2-1)/(x-1) , x = değilse 1 e
f(x) =
2 , x = 1 ise
yazılırdı. (Başka çeşitleri de var tabi)
Artık bu süreksizlik çeşitleri müfredatta yer almıyor. Bu nedenle tanım kümesinde yer almayan bir eleman için fonksiyonun sürekliliğinin tartışılması anlamsızdır.
Yeni müfredatla ölçülmek ve aktarılmak istenen kendi tanım kümesi dahilinde bir fonksiyonun nasıl sürekliliğinin bozulabileceği ve hangi fonksiyonların sürekli olduğudur.
Bu arada bana kalsa lise müfredatından analiz 1 konularını tamamen çıkarırım!
9 Temmuz 2017 Pazar 14:08:12 UTC+3 tarihinde Bermu Mat yazdı:
