Haftanın Sorusu 17 - (Paylaşım - Watewatik)

[Barış DEMİR]

Güzel olduğunu düşündüğüm bir soru...

http://www.watewatik.com/sorular/item/130-hf17

iyi çalışmalar

[Kksl Ygt]

Pozitif tek bölenleri-1 desem

16 Şub 2014 00:05 tarihinde "Barış DEMİR" <baris...@gmail.com> yazdı:

Güzel olduğunu düşündüğüm bir soru...

http://www.watewatik.com/sorular/item/130-hf17

iyi çalışmalar

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/groups/opt_out adresiniz ziyaret edin.

[Kksl Ygt]

Demesem

16 Şub 2014 00:21 tarihinde "Kksl Ygt" <koksa...@gmail.com> yazdı:

[Kksl Ygt]

Son kararım pozitif tek bölen sayısı-1
2159 yanlış saymadıysam

16 Şub 2014 00:22 tarihinde "Kksl Ygt" <koksa...@gmail.com> yazdı:

[Barış DEMİR]

Köksal hocam, ilgin için teşekkür ederim:) Kararlılık için bir de çözümle desteklesek nasıl olur? 

16 Şubat 2014 Pazar 00:38:44 UTC+2 tarihinde Kksl YGT yazdı:

[eylem (talebe)]

Pozitif tek bolen sayisi *2
20!=2^18.3^8.5^4.7^2.11.13.17.19
pozitif tek bolen sayisi 9.5.3.2.2.2.2=2160
ise cevap 4320 bulunur.
Cunku her tek sayi bolen icin 2^19 a bolunerek ayri bir ardisik sayi dizi bulunabilir. Ortanca a.5 olacagindan cift sayida ardisik sayi elde edilmesini unutmamak lazim.
Burada surasi tartisilabilir, 1 tane sayinin toplami yani 20! kendisi alinacak mi alinmayacak mi. Soru cumlesine gore degisebilir.

[Barış DEMİR]

Eylem hocam, 6 sayısının biçimlerini listeler misiniz?
Sorumda ardışık tam sayıların pozitiflik şartını sanırım kaçırdınız. 6 sadece 1+2+3 biçiminde yazılabilir. (Sayının kendisinin dahil edilmeyeceğini de soru cümlesi ifade ediyor.)

16 Şubat 2014 Pazar 05:28:48 UTC+2 tarihinde eylem (talebe) yazdı:

[eylem (talebe)]

Pozitifi kacirdim ben hocam:))) Sadece genel formulu vereyim dedim.

[eylem (talebe)]

A sayisi kac farkli ardisik pozitif tamsayi toplami seklinde yazilabilir?

Cevap: A sayisinin herhangi bir boleni n olsun.

n <= [kok(8.A+1)-1]/2

olacak sekildeki bolenler bulunmali. Bolenler tek olmak zorunda degil. A=2^a.p icin 2^(a+1).q seklindeki bolenler de sayilmali.

Ornek 1:  72 sayisi kac farkli ardisik pozitif tamsayi toplami seklinde yazilabilir?

Cozum: 72=2^3.3^2

72 nin 12 tane pozitif boleni var. Bu bolenlerden 

n<=[kok(8.72+1)-1]/2 = 11.51  sartini saglayan bolenleri sayilmali

1,3,9 icin cevap 3 bulunur.

Ornek 2: 15 sayisi kac farkli ardisik pozitif tamsayi toplami seklinde yazilabilir?

Cozum: 15=3.5 icin toplam 4 tane pozitif bolen var.

n<= [kok(15.8+1)-1]/2 = 5 sartini saglayan bolenler

1,2,3,5 icin dort tane bulunur.

Tek bolen sayisi (ya da tum bolen sayisi) ile bu sartlari gercekleyen bolen sayisi arasindaki iliskiyi kurmak zor.

Hocam sizin sorunuza gelince 20! in bolenleri icin bu esitsizligi saglayacak olanlari program yardimiyla bilgisayara saydirabiliriz. Ancak elle kolay sayabilmenin bir yolu benim aklima gelmedi. Sizin cozumunuzu paylasabilirseniz cok mutlu olurum.

[Barış DEMİR]

Eylem hocam, ben çözümümde yazılabilecek ardışık sayı miktarı üzerine yoğunlaştım. Çözümü tarihinde vermeyi planlıyorum ama isterseniz bugün uygun bir zamanda yazabilirim. Sizin n için genellediğiniz koşulu ve neden böyle bir yere vardığınızı açıklarsanız varsa hatalı düşüncem üzerinde düşünürüm.



17 Şubat 2014 Pazartesi 16:16:48 UTC+2 tarihinde eylem (talebe) yazdı:

[eylem (talebe)]

Hocam ortanca nin n oldugu yerde

A=(2n-1).n dir

O halde n den kucuk (n-1) n den buyuk (n-1) sayi vardir. Eger tum sayilar pozitif ise n en az A nin karekoku olabilir. O halde 

2n^2-n=A esitligi n in en kucuk degeri icin saglanir. Bunun cozumu benim verdigim esitsizlik.

[Kksl Ygt]

Barış hocam, benzer mantığı ben de kurdum ve size gönderdiğim bir mailde geçiyor.

sanki elle sayması zor gibi

her pozitif bölen tek değil de (burasını tam hesaplamadan tahmini buldum) 

n pozitif tek bölen ve 

2A>n^2 olursa  ardışık pozitif tek sayıların toplamı şeklinde yazılabilir. 

mesela 20!=2^18.3^8.5^4.7^2.11.13.17.19

o zaman 20!/(3^8.5^4.7^2.11.13.17.19) ortanca terimi verir ki o da 2^18 dir

2^18 sayısı (3^8.5^4.7^2.11.13.17.19-1)/2 sayısından küçük olduğu için sıraladığımızda negatifler ortaya çıkar

--

http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/groups/opt_out adresiniz ziyaret edin.

--

Köksal YİĞİT
Matematik Öğretmeni

[Barış DEMİR]

Açıkçası çözümlerde geçen açıklamaları tam anlamadım desem yeridir. Öncelikle neden bir ortanca arıyoruz?
18 = 3+4+5+6 dir ve ortancası yoktur. Ayrıca Eylem hocam, ortancanın 6 olduğu yerde 18 = 5+6+7 dir. Ama bu sizin verdiğiniz n<=.... koşulunu sağlamıyor.
Bir de (Köksal hocam size de mailde yazmıştım), bir pozitif tek bölen ardışık dizilimdeki terim sayısını vermiyor.  Mesela 18 in pozitif tek bölenleri 1,3 ve 9 dur. Ama kendisi hariç yukarıda verdiğim iki ardışık terimler toplamına sahiptir:

18 = 5+6+7              18 = 3+4+5+6

Bunlardan ilki bölenle özdeşleşmiş olsa bile ikincisi değildir. Bu nedenle böyle bir genelleme söz konusu değildir.

17 Şubat 2014 Pazartesi 17:21:04 UTC+2 tarihinde eylem (talebe) yazdı:

[eylem (talebe)]

18=3+4+5+6 nin ortancasi vardir ve 4.5 tur.

18=2.3^2  tek bolenleri 1,3,9 icin 1 tane, 3 tane ve 9 tane ardisik sayi

ayrica bunlarin dort katlari olan 4 tane, 12 tane ve 36 tane ardisik sayi toplami bulunur.

Esitsizlige gelince

[kok(8.18+1)-1]/2=5.52 den kucuk ardisik sayi adedi

yani

1,3,4 tane ardisik sayi toplami saglar

9,12 ve 36 saglamaz

18

5+6+7

3+4+5+6

saglar

ancak 9 tane ardisik sayi icin negatifler isin icine girer

[Barış DEMİR]

Ortanca 4.5 diyorsunuz ama öncesinde yazdıklarınız

"Hocam ortanca nin n oldugu yerde

A=(2n-1).n dir" ifadesine göre 18 bu ortanca için sağlanmıyor.

"A sayisi kac farkli ardisik pozitif tamsayi toplami seklinde yazilabilir?
Cevap: A sayisinin herhangi bir boleni n olsun.

n <= [kok(8.A+1)-1]/2..." n yi A nın bir böleni olarak yazmışsınız, 4.5 i bir bölen olarak mı alıyorsunuz?

Şu eşitsizliği ve çözümünüzü herkesin okuyabileceği biçimde yazmanızı rica etsem?

En son yazdıklarınızdan çıkardığım sonuç, bu n değerinin esasında A nın bir böleni değil, yazımında geçen ardışık sayının miktarını ifade ediyor. Daha önce de söyledim, pozitif tek bölen sayısı, ardışık yazımdaki terim sayısını vermiyor, kaç farklı biçimde yazılabileceğini veriyor...Şimdilik bunları yazıyorum, oğlum biraz oyun istiyor, uyuduğunda çözümü eklerim...

Köksal hocam, sen de düşüncelerini detaylandırırsan sevinirim..
 

17 Şubat 2014 Pazartesi 18:40:56 UTC+2 tarihinde eylem (talebe) yazdı:

[eylem (talebe)]

Ikinci yazdigima cok ozenmedim.

Ilk yazdigimi tekrar buyurun.

"A sayisi kac farkli ardisik pozitif tamsayi toplami seklinde yazilabilir?

Cevap: A sayisinin herhangi bir boleni n olsun.

n <= [kok(8.A+1)-1]/2

olacak sekildeki bolenler bulunmali. Bolenler tek olmak zorunda degil. A=2^a.p icin 2^(a+1).q seklindeki bolenler de sayilmali."

Esitsizlik bu. Herkesin okuyabilecegi sekilde yazabilecek bos vaktim yok. Bir soru paylastiniz biz de dusuncemizi paylastik. Yanlis olur, dogru olur, eksik olur, fazla olur, orasini bilemem. Sonra 18 icin dediniz onun icin de yazdim, diger ornekleri de yazmaya calistim. Neden bilmiyorum vakit ayirdim azcik kafa yoralim, eglenelim, muhabbet olsun dedim. Begenirsiniz ya da begenmezsiniz onu siz bilirsiniz. Biz hala sizin dusuncenizi goremedik, isin dogrusu bu saatten sonra gormek gibi bir niyetim de yok.

Kolay gelsin hocam.

[Barış DEMİR]

Öncelikle böyle bir mesajı hiç beklemediğimi belirtmem gerekiyor. Amacım çözümünüzü anlamaktan başka birşey değildi. Ne beğenmek ne de beğenmemek, hiç biri aklıma gelmedi. Aksine çözümünüzü anlayıp vereceğim çözümle ilişkisini kurmak istemiştim. Çözümüde bugün ilerleyen saatlerde yazacağımı ifade ettim, aslında sitede ne zaman vereceğim yazılıydı ama siz talep ettiğiniz için bunu yapacağımı ifade etmiştim. Lütfedip uğraştınız, belki bir teşekkür beklediniz, eksiğimdir teşekkür ederim.

Her ne kadar yazacağım çözümü görmek istemiyor olsanızda bir kere yazacağımı söylediğim için veriyorum, muhtemelen de son olacak...

Çözüm:

n bir pozitif tam sayı olsun. Öncelikle n sayısının kendisi dahil ister pozitif, ister negatif veya 0 olsun kaç farklı biçimde iki veya daha fazla ardışık tam sayının toplamı biçiminde yazılabileceğini hesaplayalım.

• n sayısının tek adette terim içeren ardışık tüm yazılımlarını, tamamı bir a tam sayısı ve negatif olmayan bir b tam sayısı ile aşağıdaki biçimde gösterebiliriz: 
                                         n=(a-b)+...+a+...+(a+b)  yani n=a(2b+1) biçimindedir.
  

          b negatif olmadığından 2b+1>0 tek çarpanı, bu eşitliğin n nin pozitif tek bölenleri kadar çözümü olacağını göstermektedir.

• n sayının çift adette terim içeren ardışık tüm yazılımlarını da bir a tam sayısı ve bir b pozitif tam sayısı ile aşağıdaki biçimde gösterebiliriz:
  

                                                n=(a-b+1)+...+a+(a+1)+...+(a+b)  yani n=(a+1/2).2b = (2a+1)b biçimindedir.

         b ve n pozitif olduğundan 2a+1>0 olmalıdır. Bu nedenle bu eşitliğin de n nin pozitif tek bölenleri kadar çözümü olacağı görülmektedir.

Böylece tüm gösterimlerin sayısı n nin pozitif tek bölenlerinin sayısının 2 katı olduğu anlaşılmaktadır.

Şimdi en büyük terimi d olan n = c+...+d gösterimini düşünelim. Eğer c>0 ise, bu gösterimin önüne (1-c)+...+(c-1) = 0 ekleyerek ilk terimi pozitif olmayan n = (1-c)+...+d gösterimini elde ederiz. Eklenen (1-c)+...+(c-1) terimlerin gösterim biçiminin tek olduğu açık olduğundan, elde edilen bu yeni gösterimin de tek olduğu açıktır. Benzer biçimde eğer 1-c<=0 ise, n = (1-c)+...+d gösteriminde başta yer alan (1-c)+...+(c-1) terimleri silinerek n = c+...+d gösterimi tek bir biçimde elde edilecektir. Demek ki terimleri pozitif olan her gösterim için, her terimi pozitif olmayan bir başka gösterim daha vardır.

O halde tüm gösterimlerin yarısı pozitif terimlilerden, diğer yarısı da her terimi pozitif olmayan terimlilerden oluşmaktadır. Yani n pozitif tam sayısının kendisi dahil iki veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı biçiminde gösterim sayısı, n nin pozitif tek bolen sayısı kadardır.

Dikkat edilirse 2 sayısının tek gösterimi kendisidir. Benzer biçimde 2^k (k pozitif bir tamsayı) formatındaki tam sayıların iki veya daha fazla ardışık gösterimleri yoktur.

Sorumuzun cevabına gelirsek, 20! = 2^(18) . 3^(8) . 5^(4) . 7^(2) . 11 . 13 . 17 . 19 olduğundan pozitif tek bölen sayısı

                                        (8+1)(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2160 olduğundan

kendisi hariç 2159 farklı biçimde iki veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı biçiminde yazılabilir.

Kaynak: http://www.qbyte.org/puzzles/puzzle10.html  (soru 92)


Uğurlar olsun...


17 Şubat 2014 Pazartesi 20:49:19 UTC+2 tarihinde eylem (talebe) yazdı:

[micromat]

barış hocam başımızın üstünde yeriniz var. Çözümünüz için ve diğer hocalarımın çok teşşekkür ederim.Sayenizde bizde yeni şeyler öğreniyoruz.Saygılar barış hocam

17 Şubat 2014 Pazartesi 22:54:12 UTC+2 tarihinde Barış DEMİR yazdı:

[Hatice Mankan]

Barış hocam bu son olur derken  çözümü belirlenen zamandan öncesinde yayınlamayacağınızı kastettiniz umarım 

yok eğer paylaşım yapmayacağım anlamında ise bu durum bizim için bi kayıp olur saygılarımla....

17 Şubat 2014 23:05 tarihinde micromat <h0y...@gmail.com> yazdı:

[Barış DEMİR]

Mustafa ve Hatice Hocam, çok teşekkür ederim...Paylaşımını kesen herkes diğerleri için bir kayıptır aslında. Burada zamanında çok güzel paylaşımlar yapanlarımız artık yoklar. Bazılarını küstürdük, bazıları ise kendince sebeplerle kesti bunu. Ama net olarak görüyorum ki burası eskisi gibi değil artık. Ek olarak kendi açımdan burası bana ağırlıkça "bizi rahatsız ediyorsun" seslenişini vermeye başladı. Bunu hissedebiliyorum. Sanırım ciddi bir negatif yönüm var. Bu nedenle bu tür paylaşım ve çalışmalarımı TMOZ da duyurmayacağım artık...
Tekrar desteğiniz için teşekkür ederim..İyi geceler..

[Mesut Topal]

Güne kötü bir haberle başlamak bu olsa gerek.

Bu TMOZ için büyük bir kayıp olur Barış Hocam,

Bizi paylaşımlarınızdan mahrum ederek cezalandırmayınız

[Yaşar ŞENCAN]

Barış hocam.....

İnsanın aklı kadar edebi, edebi kadar ederi vardır

Şehid, tarihin kalbi,
Şehid, zamanın çarkı,
Şehid, ötelerden bir çağrı.
Bir şehid düşünce toprağa, ilkbaharda
Nasıl canlanırsa toprak, ağaç, yaprak, çiçekler,
Öylesine sular gibi yürür kanlar, damarına yeryüzünün. 

v.k