Dostum X.Y. ile "Mutlak Değerli Fonksiyonların İntegrali" Üzerine Yazışmalarımız.

[Muharrem Şahin]

Aşağıdaki yazışmaları sizlerle paylaşmamın

konumuzu tam aydınlatacağını, 

çok  yararlı olacağını düşündüm.

Muharrem

Sevgili X.Y;

Kök(1+sin2x) integral işleminde 

var olduğunu düşündüğüm sorunlar üzerine 

sorular hazırlıyorum.

Bunun üzerine, senin yardımcı olabileceğin

bir husus var mı?

Sevgiler, saygılar.

X. Y.

Selamlar Muharrem Hocam,

f (x)=kök(1 + sin2x) integralinde bir sorun görmüyorum. Sonuç parçalı tanımlı fonksiyondur.  Hatta Söz konusu f(x) fonksiyonu periyodik olduğundan parçalı fonksiyon olarak yazmak kolaydır.

Sizce sorun nerededir hocam?

Saygılar, 

Muharrem

Sevgi, saygı ve selamlarımla başlayayım:

Türevi kök(1+sin2x) olan 

fonksiyonu yazamıyorum Hocam.

Koşullu yazdığımda da

belirli integral yaklaşımlarını

kullanmak gerekiyor diye düşünüp

şöyle sorular yazdım:

(Ekte; Belli-belirsiz)

X. Y.

Bir fonksiyon, tanım kumesi, fonksiyonun kuralı ve değer kumesi olmak üzere bir üclüdür. Bu üç bileşenden biri eksik ise fonksiyon tanımlı değildir. Bu gerekceden dolayi bir fonksiyon tanımlı  ise x in ne olabileceği bellidir. Bu yüzden problem olacağını dusundugunuz "belirli integral integral yaklaşımı" bence geçerli bir argüman değildir.

Sorunuz için çözüm geliyor.  Yazı biraz çirkin olacak:(

(Ekte; Mutlakinteg'deki çözümün [0, pi] aralığındaki ifadesi.

Muharrem

Çok teşekkürler X. Y. Hocam.

Ben bunu, 2. sorunun çözümünde yapıyordum.

Sorunumu yeniden düşüneceğim.

Muharrem

Sevgili X. Y;

Bu konu ile ilgili olarak,

TMOZ'a aşağıdaki yazıyı yazdım.

Öpüyorum.

Cevdet Cerit Hocamızın 

"Çözümlü Yüksek Matematik (Calculus) Problemleri" kitabında

f(x) = IxI  fonksiyonun belirsiz integrali için bir çözüm önerilmiş.

Fonksiyon, parçalı biçimde ifade edilmiş.

Bunun yanında, g(x) = kök(1+sin2x) fonksiyonunun integrali için,

Erdal Hocamın dediği gibi, 

"mutlak değerin dışına, pozitif olduğu durumda çıkarma" yoluyla

eksik bir çözüm de verilmiş.

Eski kaynaklarda da "pozitif sayma" uygulanmış.

...

Tüm bunları birlikte yorumlayarak

şunu söylüyorum:

Türevi, her x reel sayısı için, g(x) = kök(1+sin2x) olan

bir fonksiyon yoktur.

Böyle bir fonksiyon, parçalı biçimde de olsa yazılamaz.

"Belirsiz integral alma işlemi

türevi bilinen fonksiyonu bulma işlemidir."

tanımında birleşmeyen bir kaynak görmedim.

Öyleyse; g(x) = kök(1+sin2x) fonksiyonunun integrali

belirsiz integral olarak ele alınamaz.

Bunları, ilgilenenlerin düşünmeleri için yazıyorum.

Bu dosyayı tamamladığımızda

benim zihnimde de 

konu tam aydınlanacak.

X. Y.

Hocam selamlar,

" Türevi, her x reel sayısı için, g(x) = kök(1+sin2x) olan
bir fonksiyon yoktur.
Böyle bir fonksiyon, parçalı biçimde de olsa yazılamaz."

Bunun gerekçesini aciklamamissiniz. Ayrıca  "her x reel sayısı " kosulunuz da insanları yanlış düşünmeye itebilir. Integrallenebilme ile bu koşulun bir bağlantısı yok.

"Belirsiz integral alma işlemi
türevi bilinen fonksiyonu bulma işlemidir."
tanımında birleşmeyen bir kaynak görmedim.

Bu ifade ile sizin sorun teşkil ettiğini dusundugunuz yer celismiyor hocam. Sizinle dün tartistigimiz parçalı fonksiyonun türevi |sinx + cosx| tir ve yukarıda verdiğiniz ifade ile uyumludur.

İyi çalışmalar,

Muharrem

Teşekkürler X. Y. Hocam.

Hem de çok çok teşekkürler.:)

Beni önemli bir yanlıştan döndürdün.

...

O mutlak değer içindeki kısmı

pozitif iken dışarı alma yanlışını düzelteyim derken

bunlar başıma geldi.

Ama; çok da iyi oldu.

Sayende; tam doğruyu öğreneceğiz TMOZ olarak.

Muharrem

X. Y. Hocam; 

Yine ben.:)

Matematiğin seni sıkmayacağını düşündüğüm için

kolayca arayabiliyorum.

...

O yazdığımız integral 

sürekli bir fonksiyona karşılık gelemiyor.

Örneğin; 3pi/4 'te sürekliliği sağlayacak C değerleri verildiğinde

-pi/4'te sürekli olamıyor.

...

Bu durumda; R'de türevi "kök(1+sin2x)" olan bir fonksiyon yazamadım.

Sevgiler.

Muharrem

X. Y.ciğim;

Ben, senden gizli ektekini yazdım.

(Ekte; Mutlakinteg.)

X. Y.

Hocam problem 1 in çözüm kısmında "mutlak değer sembolünün içinin periyodu 2pi yerine "...esas periyodu pi" olsa daha uygun. Buna vurgu yaptiktan sonrada parcali fonksiyonu k dan yazmak bagimsiz yazmak baska hatalara yonelmemizi engeller.Yine de siz bilirsiniz.

Türevi bilinen bir fonksiyonun turevinin sürekli olma koşulu yok. Dolayısıyla belirttiğiniz fonksiyonun sürekliliğini irdelemek ile integralin bir bağlantısı yok Muharrem Hocam. Bunda ısrar ettiğiniz sürece çelişki varmış gibi görünür.

Muharrem

X. Y.ciğim;

İntegralin, "riemann toplamı" yaklaşımında

dediğin gibi olur.

Süreklilik aranmaz.

Ama; türevi bilinen fonksiyonu bulma

anlamında sorun vardır.

Belirli integral olarak dediklerini yapıyoruz zaten.

Az şey istiyorum:

Bu integrali belirli integral olarak ele almalıyız diyorum.

Diye düşünüyorum.

X. Y.

Belirli integralde ne yapıldığını biliyorum hocam:) türevi bilinen fonksiyonu bulma işleminde türev fonksiyonunun sürekli olma koşulu yoktur diyorum inatla. Siz de görmezden geliyorsunuz ısrarla:) süreklilik sartindan vazgeçemediğiniz müddetçe ortak bir yerde bulusamayiz.

Muharrem

X. Y.ciğim;

Ben bilebildiğim tanımlara dayanarak konuşuyorum.

Elimizde sürekli bir fonksiyon var.

Bu fonksiyonun

hangi fonksiyonun türevi olduğunu arıyorum;

öyle bir fonksiyon bulamıyorum.

Senin de bana anlattığın gibi;

bir fonksiyon tanım kümesi,

değer kümesi ve kuralı ile tanımlanır.

Önerdiğin fonksiyonun tanım kümesi farklı oluyor.

Yanlış nerede?

X. Y.

Hocam tanımlara dayalı konuşmaya devam edelim...

f(x) = kök ( 1 + sin2x ) olsun. f(x)=g'(x) eşitliğini sağlayan  bir g(x) fonksiyonunun tanım kumesi A olsun.   f(x) in tanım kumesi A nin alt kumesidir.

Siz g nin varlığını ve dolayısıyla g nin tanım kumesini görmezden gelip direk f nin tanım kumesi R dir ve bu yüzden R de süreklidir cikariminda bulunuyorsunuz ki yanlış yerden başlıyorsunuz.  f yi bir g fonksiyonunun türevi olarak ele alacak isek g nin tanım kumesini bilmeden f nin tanım kumesi üzerinde bir öngörü de bulunamayiz.

Konu dışı not: |sinx + cosx| fonksiyonunun esas periyodu Pi değil midir hocam?

Muharrem

Anladım.

Sen, f(x) = kök(1+sin2x) fonksiyonunun

tanım kümesini bilmediğimizi söylüyorsun.

Ben ise, f nin en geniş tanım kümesini düşünüyorum.

R'de tanımlı olduğu görülüyor diyorum.

En azından, ben soruyu öyle verdim. 

Bunun, kesin olarak senin dediğin gibi olduğu

ile ilgili kolayca gönderebileceğin bir kaynak var mı?

Yani; yalnız kuralı ile verilen bir fonksiyon

en geniş tanım kümesinde tanımlı sayılmaz mı?

O zaman fonksiyon hiç verilmemiş gibi olur. 

...

Yazdığının periyodu pi'dir tabii.

Ben içinin periyodundan bahsettim.

...

"Periyod" denildiğinde, 

aksi belirtilmedikçe 

esas periyodu anlıyorum.

Sevgiler. 

X. Y.

Hocam f fonksiyonunu hiç bir koşula bağlı vermeseniz en geniş tanım kumesini almakta bir sıkıntı olmuyor belirttiğiniz gibi.

Fakat sizin sorunuzda belirsiz integral tanımını kullanarak f=g' eşitliğini sağlayan g fonksiyonlarını arastiriyoruz. Şimdi g nin tanım kumesi A olsun.  Türev tanımından g' türev fonksiyonunun tanim kumesi A nin ic noktalarinin kumesinin bir alt kumesidir. Bunun için kaynağa ihtiyaç var mıdır?

selamlar, saygılar hocam...

Muharrem

f(x) = kök(1+sin2x) fonksiyonunun

belirsiz integrali söz konusu.

Ben f fonksiyonunun R'de tanımlı olduğunu düşünüyorum.

Ve türevi R'de böyle tanımlanmış bir fonksiyon yok diyorum.

Bir matematik temel

beni böyle düşünmekten alıkoyarsa vazgeçerim.

X. Y. Hocamı, dediği gibi düşünmeye yönlendiren kaynağı merak ettim.

Yani; integrand en geniş tanım kümesinde tanımlı sayılmaz mı?

Sayılmazsa neden sayılmaz?

Yordum seni; bağışla.

Sevgiler, saygılar, selamlar. 

X. Y.

Kabul ederseniz eger Ortak akil yurutmeyle bulalim once hocam. Integrand en geniş tanım kumesinde sayilirsa verdiğiniz belirsiz integral tanımı ile celisirsiniz.  Integrand bir fonksiyonun türevi dir.  Buraya kadar sorun var mı?

Muharrem

X. Y.ciğim;

Belirsizlik, sondaki C sabitinden dolayı değil midir?

İntegrand verilmişse en geniş tanım kümesinde

verilmiş olduğunu neden düşünmüyorum?

Bu sorumu kenarda tutarak 

devam edelim.

Evet; integrand bir fonksiyonun türevidir.

X. Y.

Tamam hocam. g bir fonksiyon olsun. g' türev fonksiyonunun tanim kumesi g nin tanım kumesinin bir alt kumesidir.

Integralf(x)dx = g (x) + c ile f(x) = g'(x) gösterimleri es anlamlı. Yani f nin tanım kumesi g nin tanım kumesinin bir alt kumesidir.

Integrand f nin tanım kumesi g nin tanım kumesinin bir alt kumesi olduğuna göre f nin en geniş tanım kumesini ancak g ye bakarak belirleyebiliriz sadece f nin kuralına bakarak değil.  

Sizin sorduğunuz soru : R de turevlenebilen bir fonksiyonun türevi kok (1 +  sin2x) olur mu?

Bu soruya Hayır cevabının verilmesi Integrand kok (1 + sin2x ) olamaz gibi iddialı bir onermeye yol açmaz hocam.  

Muharrem

X. Y.ciğim;

Ben f nin tanım kümesini belirleme durumunda mıyım.

İntegrand bize verilmiş bir fonksiyon değil midir?

Biz integrandı da mı tanımlama durumundayız?

Hem integralini bul, hem integrandı bul.

Fazla olmuyor mu? :)

İşte sana bunları söyleten teoremleri arıyorum. 

X. Y.

Saygideger hocam tanımlardan uzaklaşmak pek mantıklı olmaz. dediklerimi curutecek bir şey söylerseniz kabul edeceğim. Önceki maillerde  yazdıklarım sizin verdiğiniz tanımlara ve türev tanımına dayalı. Integrand bize verilmiş bağımsız bir fonksiyon değildir. Varlığı başka bir fonksiyonun varlığına bağlıdır.   Bunları kabul edip neden Integrandın en geniş tanım kumesini R alamıyorum sorusunda israr edeceksiniz saygı duymaktan başka çarem almaz. 

Integrandın tanım kumesi ile ilgili bir teorem nasıl bekleyebiliriz.  Tüm tartışma tanımlar üzerinden şekillendi.

Her zaman sizinle tartismaktan buyuk haz alirim. Kusurum olduysa bagislayin hocam.

Icten Saygılarımla,

Muharrem

X. Y.ciğim;

Tartışmanın tadı ayrı.

Ben burada doğru bilgiye ulaşmaya çalışıyorum.

Ben bildiğim tanımlara dayanarak konuşuyorum.

Sen bilmediğim tanımlar yapıyorsun.

Ben integrandın bildiğimiz fonksiyon olduğunu düşünürdüm hep.

Sen öyle değil diyorsun.

Örneğin;

f: R--->R;

         -2x         x < 0  ise 

f(x) = 

         2x-1       x >= 0 ise

İnt.f(x).dx  = ?

dediğimde f nin tanım kümesi belli değil midir?

X. Y.

Aynı tanımlardan bahsetmiyor muyuz hocam:) Integrand tanımında mutabık kaldık.  Siz böyle söyleyince acaba hangi tanımı yaptım diye düşünmeden kendimi alamıyorum. Integrand tanımında daha önce üstünde durmadiginiz bir noktaya dikkat cekmeyi umuyorum.  

Sorunuza bakalım hocam. Harika bir soru olmuş. Sadece tanım kullanacağım. 
Int.f(x).dx = g(x) + c olsun. f(x) = g'( x ) olur. Simdi g nin 0 daki turevini arastiralim. 
g'(0+)=f (0+)=0
g'(0-)=f (0-)=-1
Yani g'(0) tanımlı değildir. O halde f(x)=g'(x) eşitliği 0 için geçerli değildir. Yani f yi Integrand olarak göreceksiniz tanım kumesinde 0 olamaz. 

Duzeltme
g'(0+)=f (0+)=-1
g'(0-)=f (0-)=0

Muharrem

Ben burada, türevi f olan fonksiyon yoktur diyorum.

Bu türden fonksiyonlar

ancak belirli integral kapsamında ele alınmalıdır diyorum.

x = 0 daki durum

belirli integralde bir sorun olmaz diyorum.

Biraz daha düşüneyim.

Çok teşekkürler.

X. Y.

Belirli integralde sorun olmaz. Tartışmamız bunun üzerine değil zaten.

Belirsiz integralde ise olması gerekene değindim hocam.

Ben teşekkür ederim.

Muharrem Şahin

X. Y.ciğim;

Gruba aşağıdaki yazıyı yazdım.

Değerli Öğretmenlerim;

Burada tartışılan yer şurası:

İntegralini aldığımız fonksiyonun tanım kümesi belli midir?

Yoksa; bu küme integral alma sonucu mu belirlenir?

Bana göre; biz tam olarak tanıdığımız bir fonksiyonun

integralini alırız.

Ben şöyle düşünüyorum:

1) Bir fonksiyon tanım kümesi, değer kümesi ve kuralı ile tanımlanır.

2) Bir y = f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali,

    türevi y = f(x) olan fonksiyonların kümesidir.

3) f: R-->R;  f(x) = kök(1+sin2x)  verilmiş olsun.

    Türevi f olan fonksiyon yoktur. (Bunu ispatladım.)

4) Peki; y = f(x) = kök(1+sin2x)'in integrali alınamaz mı?

5) Alınır tabii. Ama; bu belirli integral (Riemann İnt.)

   anlamında alınır. Belirli integralde, süreksizlik ve

   belirli noktalardaki tanımsızlık hiç sorun değildir.

Bu konuyu çok daha kolay açıklayabilmem için

başka bir örnek üzerinde çalışıyorum.

Dediğim gibi; sorun, işlem olarak integralin alınması değil.

Bazı noktalardaki tanımsızlığın önemli olup olmaması.

 

X. Y.

Saygideger hocam,

Tanımlardan uzak akıl yürütme yapıyorsunuz ve bunda bir beis gormuyorsunuz.  Verdiğiniz örnekler ve bildiginiz tanımlar üzerinden çelişki yaratan durumları belirttim. Bu dediklerimi tanımlar çerçevesinde curutseniz tartışma tadından yenmeyecek bir hale gelecek. Açık olarak size yakışan budur.

Yazdığınız 5. Maddenin tartışmayla bir bağlantısı var mıdır hocam?

Doğruyu arıyorum ben diyebilirsiniz lakin çelişkinizi görüp sabit fikirde kalmanız anlaşılır değil. Tanımlardan uzaklaşmamanizi istirham ediyorum. Aksi halde tartışma yürümüyor. Örnek turetmek yerine kavram ve Tanımlar üzerinden gidebilirsek daha sağlıklı olur. Sizin daha iyi bildiginiz gibi Matematiğin çizgileri net.

Muharrem Şahin

X. Y.ciğim;

Ben ne dediğimi tam anlatamıyorum herhalde.

Ben de senin, tanımlarla çelişen şeyler söylediğini düşünüyorum.

İstersen; bunu aramızda bir tartışma olmaktan çıkaralım.

Hatalı birşey söylüyorsam;

herkes görsün de ibret alsın.

Bu yazışmalarımızı 

özel kısımları kendimize saklayarak

gruba kopyalayabilirim.

Ya da; 

Ben senin dediğini anladım.

Benim söylediklerime

gruptaki "Mutlak değer fonksiyonlarının integrali"

başlığında cevap yazabilirsin.

Sevgiler.

Muharrem Şahin

Matematiğin çizgileri net tabii.

Bana;

türevi,

f: R -->R;  f(x) = kök(1+sin2x) olan

bir tek fonksiyon söyle, 

vazgeçeyim.

Her haklı olduğunu düşündüğümde yaptığım gibi,

seni tutup öpeyim. 

X. Y.

Celistigim şeyleri soyleseniz sorun kalmayacak hocam. Bunu söylerseniz anlayacagimi umarım. Aksi takdirde ben ne dediğimi anlatamadigima kanaat getireceğim.

Anlatamadım - anlamadım vs. yerine tanımlardan uzak kalmayalim. Sizin de savundugunuz düşünce bu.

Verdiğiniz örnek ile belirsiz integralin varlığı arasında bir bağ yok. Oyle bir fonksiyon bulamamaniz integral yoktur anlamina gelmez. Tipki turevi e^(x^2) olan fonksiyonu elemanter yontemlerle bulamayacagimiz gibi.

Bunun belirsiz integrali yoktur sadece belirli integrali sorulabilir yaklaşımı çok cesur bir yaklaşım. Hele ki kendi kullandiginiz tanimlarla çelişen argumanlar kullandığınızda.

Kendi hakliligimdan geçtim. Çelişkilerinize rağmen ısrar ediyorsunuz. Dogruyu bu sekilde bulmak mümkün mü?

Selamlar, Saygılar...

Muharrem Şahin

"Verilen bir y = f(x)  fonksiyonun belirsiz integrali,

türevi y = f(x) fonksiyonu olan fonksiyonların kümesidir."

Ben y = f(x) fonksiyonunu veriyorum.

Türevi y = f(x) olan bir tek fonksiyon söyle diyorum.

Veremezsin.

Öyleyse; bu fonksiyonun belirsiz integrali yoktur, diyorum.

Bu söylediklerim apaçık değil mi?

Çelişki nerede? 

X. Y.

Hocam verdiğiniz tanimda tanım kumesi ile ilgili bir şey yok. Verdiğiniz örnekte tanım kumesinden yüklenip integral yok diyorsunuz.  Hala ayni örnek.  Yetmedi mi hocam? Verdiğiniz örnekle integral arasında bağ yok.

Dün yazdım hocam.sizin ornekleriniz üzerinden gittik. Çelişkileri orada yazdım size. Çelişki Nerede diye soruyorsaniz zaten size yazılanların kıymeti yoktur hocam. Benim celiskilerimi söyleyin elinizden tutayim diyorum bunu da görmezden geliyorsunuz. 

Tecrubenizin getirdiği alışkanlıkları zorluyorsunuz Saygideger hocam. Bunları sordukca   dongude kalmaya devam edeceğiz.

Integrand tanımından da yazdıklarınız çelişkili bizzat sizin integral taniminizla . Bunu da konuştuk.

Şimdi bizi başa donduruyorsunuz. Bir de bir kaynaktan bahsetmistiniz.  Ahmet Cerit galiba. Orada da örnek verilmiş hocam. Kaynak elinizin altında. 

Muharrem Şahin

X. Y.ciğim;

Ben açtığım başlıkta saçmalamaya devam edeceğim.

Zahmetlerin için teşekkürler.

[Muharrem Şahin]

X. Y. Dostuma;

bıkmadan yaptığı açıklamalar için

candan teşekkürler ediyorum.

Kavramın, zihnimde daha doğru oluşmasına

büyük katkısı oldu.

Zaman zaman birbirimizin ne dediğini anlamamışız.

Bu; zihnimizdekilerin baskısıyla, hep oluyor.

Ama; bu yazışmamızın, doğru sonuca varmamızda büyük etkisi olacak.

Kendisine sevgi ve saygılarımı gönderiyorum.

 

26 Haziran 2014 14:59 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[Eyüp Bulut]

X.Y hocama ve size teşekkür ederim hocam.
Keşke tartışmanız biraz daha uzasaydı.

[Y Yılmaz]

f(x):A--->B,

f '(x):C---->D  ise    C ile A arasında nasıl bir ilişki olmalı? ya da olmak zorunda mı?

[Muharrem Şahin]

Değerli Dostumun

Saygın Dinçer olduğunu

bir kısmınız anlamışsınızdır.

Onunla olan dostluğumuz

bir çok sınavdan geçti.

Buradaki bazı gerginliklerimiz hiç önemli değil.

İkimiz de kendi zihnimizdekiler üzerinden birbirimize baktık.

Ben Onu anlıyorum.

Onun da beni anladığından eminim.

Artık; dostluk konusunda doğru yerdeyiz.

Yazıştığımız konuda da doğru yerde buluşabileceğimize eminim.

...

Eyüpcüğüm;

Hiç merak etme.

Tartışmamızı sürdürüp

doğruda buluşacağız.

...

Temelciğim;

Görüşmemizdeki yapıcı yaklaşımın çok değerliydi.

Hep güzel kalmanı diliyorum.

...

Yalçın Hocam;

Gelecek yazışmalarımızla 

o sorunuzun cevabı ortaya çıkacak sanıyorum.

...

Bir de;

Saygın Hocam

artık, bizi kendinden mahrum bırakmasa...

 

 

26 Haziran 2014 21:13 tarihinde Eyüp Bulut <eyp...@gmail.com> yazdı:

X.Y hocama ve size teşekkür ederim hocam.
Keşke tartışmanız biraz daha uzasaydı.

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Değerli Öğretmenlerim;

Parçalı fonksiyonların 

özellikle 

belirsiz integralleri üzerine 

ilk çalışmamı sunuyorum.

Yorumlarım bana aittir.

Dolayısıyla; eleştiriye açıktır.

Eleştirilerinizle, 

hatalarım (varsa) düzeltildiğinde

doğruda buluşmuş olacağımızı umuyorum.

Hatalarım varsa,

bunların düzeltilmesi için katkı vermek

gören herkesin sorumluluğudur.

Şimdiden teşekkür ederim.

26 Haziran 2014 23:06 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[Hatice Mankan]

Muharrem hocam bu konu çok hassas oldu 

Elimden ve dilimden  teşekkür etmekten başka bişey gelemiyo 

keşke güçlü bi akademik bilgiye sahip olsaydım da sizinle bu tarz konuları özgürce tartışabilseydim 

Saygın Dinçer hocamla yaptığınız tartışmayı  ancak imrenerek izleyebilidim

...

çok teşekkürler hocam

27 Haziran 2014 19:43 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Benim aslan yürekli kardeşim mi desem;

altın kalpli kızım mı desem bilemedim...

Senin elinden çok değerli şeyler geldiğini biliyorum.

Bazen anlatmak istediğimiz şeyi,

ağdalı sözler içinde kaybediyoruz.

Burada; ben de, istemeden, aynı şeyi yapmış olabilirim.

...

Yazdıklarım anlaşılabiliyor mu?

Daha iyi anlamak istediğin yerler var mı?

Konuştukça daha iyi anlaşabiliriz.

27 Haziran 2014 21:49 tarihinde Hatice Mankan <hatice...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

"Mutlak değerli fonksiyonların integralleri" 

dosyasında bir hata yapmışım.

Düzellttim.

Çalışmamı sürdürüyorum.

Yanlışı bir an önce düzelltmek için

bu kısmı hemen gönderiyorum.

İçtenlikle katkı veren

Saygın Dinçer ve Barış Demir hocalarıma 

candan teşekkürler.

27 Haziran 2014 22:30 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı: