Denklem çözümü

[alicengiz75]

Şu soru içn yardımınızı rica ediyorum:

a ve pozitif sayıları için 

1/a +1/b = 1/5   denkleminde a+b toplamının en büyük ve en küçük değerini bulunuz.

[alicengiz75]

Çözüm yapan var mı acaba? Teşekkürler.

2 Aralık 2022 Cuma tarihinde saat 16:43:41 UTC+3 itibarıyla alicengiz75 şunları yazdı:

[Serdar]

(a + b)/ab = 1/5 ⇒ ab = 5a + 5b ⇒ ab – 5a – 5b = 0.

(a – 5)(b – 5) – 25 = 0
a = 6,    b = 30      a = 30,    b = 6
a = 10,    b = 10

5 Aralık 2022 Pazartesi tarihinde saat 09:07:20 UTC+3 itibarıyla alicengiz75 şunları yazdı:

[alicengiz75]

Çok teşekkür ederim Serdar hocam.

5 Aralık 2022 Pazartesi tarihinde saat 12:58:26 UTC+3 itibarıyla serdarda...@gmail.com şunları yazdı:

[alper(geomania.org)]

Ben şöyle düşünmüştüm ( fakat Serdar hocamın çözümü bence hem daha güzel hem de genellenebilir.)

Denklemden  

b=5a/(a-5)

a+b=a+(5a/(a-5))=a^2/(a-5)=(a^2-25+25) /(a-5)=a+5+(25/(a-5))

a-5=1 ise a=6, b=30 ve  (a+b)_maks=36

a-5=5 ise a=10, b=10 ve (a+b)_min=20

İkinci bir yol olarak 

a+b=a+ 5a/(a-5) =a^2/(a-5)

eşitliğini de düşündüm ama türev kullanmadan  ekstremum değerlere emin olamadığım için bundan vazgeçtim.

Bir de a+b nin en küçük değeri için  AO-HO eşitsizliği kullanılabilir:

AO>=HO

(a+b)/2 >=2(1/a +1/b) =2/(1/5))=10 

a+b>=20 ise (a+b)_min=20 bulunur.

5 Aralık 2022 Pazartesi tarihinde saat 13:36:34 UTC+3 itibarıyla alicengiz75 şunları yazdı:

[alper(geomania.org)]

İddia :  p asal sayısı için

1/p =1/x+ 1/y

denkleminin birbirinden farklı tek çözümü 

x = p+1,     y = p^2 + p
 

şeklindedir.

Kanıt: Denklemi  xy - px - py = 0 şeklinde yazalım ve her iki yana p^2 ekleyelim.

xy - px - py + p^2 = p^2

(x-p)(y-p)=p^2 olup p^2 nin bölenleri 1, p ve  p^2 olup istenen koşulu

x-p = 1   ve  y -p =p^2

eşitlikleri sağlayacağından  

x = p +1   ve   y = p^2 + p

bulunur.

5 Aralık 2022 Pazartesi tarihinde saat 15:36:58 UTC+3 itibarıyla alper(geomania.org) şunları yazdı: