esas periyot ispat

[meramlı]

esas periyot formülerinin ispatlarını yapabilirmisiniz? çok makbule
geçecek.. mesela neden a + bsin^m(cx+d) fonksiyonunda m tek ike
periyot 2pi/|c| ve m tek iken pi/|c| dir. Ve neden tan ve cotta pi/|c|
dir? Bu ispatları yapabilirmisiniz?

[meramlı]

ispat edebilecek yokmu?

[Muharrem Şahin]

Bu konudaki bilgilerin toplu olarak verilmesi

çoğu arkadaşımın işine yarayacaktır;

diye düşünüyorum:

Bir f fonksiyonunda 

f(x+T) = f(x)

eşitliğini, x'in her değeri için sağlayan

en küçük T pozitif reel sayısına f fonksiyonunun

periyodu denir.

Bu T sayısının tam katlarına da periyod denilebilir.

Farkı belirtebilmek için, en küçüğüne esas periyot diyoruz.

Temel trigonometrik fonksiyonların periyotlarının

nasıl bulunduğunu örneklerle gösterelim:

Öncelikle;

f(x) = sinx,   g(x) = cosx fonksiyonlarının periyotlarının "2.pi";

h(x) = tanx,  k(x) = cotx fonksiyonlarının periyotlarının "pi"

olduğu birim çemberden ya da bunların grafiklerinden hemen

görülebilir.

Örnek-1

f(x) = sinx fonksiyonununun periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

sin(x+T) = sinx ise

sin(x+T) = sin(x+2.pi) ise

T = 2.pi

Örnek-2

f(x) = cos3x in periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

cos[3(x+T)] = cos(3x + 2.pi) ise

cos(3x+3T) = cos(3x + 2.pi) ise

3T = 2.pi ise

T = 2.pi/3

Örnek-3

f(x) = tan(2x + pi/3) ün periyodunu bulalım.

f(x+T) = f(x) ise

tan[2(x+T) + pi/3] = tan(2x + pi/3 + pi) ise

tan(2x + 2T + pi/3) = tan(2x + pi/3 + pi) ise

2T + pi/3 = pi/3 + pi ise

T = pi/2

Bu ilk örneklerdeki gibi davranılarak,

f(x) = a + b.sin(mx+n) ve

g(x) = a + b.cos(mx+n) fonksiyonlarının

periyotlarının T = 2.pi/m;

h(x) = a + b.tan(mx+n) ve

k(x) = a + b.cot(mx+n) fonksiyonlarının

periyotlarının T = pi/m olduğu bulunur.

Örnek-4

f(x) = 2sin4x - cos6x fonksiyonunun 

periyodunu bulalım.

g(x) = 2sin4x in periyodu T1 = 2.pi/4 = pi/2;

h(x) = cos6x in periyodu T2 = 2.pi/6 = pi/3 tür.

g fonksiyonu boyu pi/2 nin katları olan aralıklarda,

h fonksiyonu boyu pi/3 ün katları olan aralıklarda

kendini tekrar edecektir.

Öyleyse; f fonksiyonunun kendini tekrar ettiği

en dar aralığın boyu, yani f'nin esas periyodu

T1 ve T2'nin EKOK'u olacaktır.

T = EKOK(pi/2,pi/3) = pi.

Devam edeceğim.