Kompleks analiz sorular.
504 views
Skip to first unread message
PainKiller
Jan 8, 2012, 12:15:31 PM1/8/12
to TMOZ
Merhaba,
Yöneticilerin onayıyla açılıyor sanırım konular, mesaj yazarken
sürekli hata alıyorum, bir önceki konuma @Ali Konuralp hocam yazmış
çözümleri, bir teşekkür bile edemedim doğru düzgün. Hata nereden
kaynaklanıyor çözemedim tam. Neyse biraz sorum daha var, vakti olup
yapabilen çıkarsa çok sevinirim.
1-) w=f(z) fonsiyonu D bölgesinde analitik olsun.
a) |w| ,
b) argw
c) ln|w|
fonksiyonlarından hangisi D bölgesinde harmoniktir?
2-) Aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 1^i
b) -1^√2
c) (1+i/√2)^2i (üzeri 2i yazamadım tam)
d) (√3/2+ i/2)^1+i ( üzeri 1+i bu da)
e) (1-i)^3-3i ( üzeri 3-3i)
3-) Aşağıdaki kompleks sayıların modül ve argumanını bulunuz
a) tanh π i
b) 10^i
c) 3^2-i (üzeri 2-i)
4-) Aşağıdakiler hesaplayınız.
a) e^(πi/4) ( e üzeri pi-i bölü dört )
b) ln(1-i)
c) sin π i
d) cos π i
e) tan (π/2)i
f) cot π i
g) arcsini
h) arctani/3
i) arccosi
j) sinh (π/2)i
k) tanh π i
5-) Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
a) sinz=3
b) (e^-z) + 1 =0
c) (e^z) + i = 0
d) 4cosz + 5 = 0
e) shiz = -i
f) sinz = iπ
g) e^ix = cosπx ( x-reel olmak üzere)
h) e^2z + 2e^z - 3 = 0
i) coshz = i
j) a-) ln (z+i) = 0
j b-) ln (i-z) = 1
arcsin(-i) hesaplayınız.
arcsin3 = ilog[ z ± √1-z^2 ]
Yöneticilerin onayıyla açılıyor sanırım konular, mesaj yazarken
sürekli hata alıyorum, bir önceki konuma @Ali Konuralp hocam yazmış
çözümleri, bir teşekkür bile edemedim doğru düzgün. Hata nereden
kaynaklanıyor çözemedim tam. Neyse biraz sorum daha var, vakti olup
yapabilen çıkarsa çok sevinirim.
1-) w=f(z) fonsiyonu D bölgesinde analitik olsun.
a) |w| ,
b) argw
c) ln|w|
fonksiyonlarından hangisi D bölgesinde harmoniktir?
2-) Aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 1^i
b) -1^√2
c) (1+i/√2)^2i (üzeri 2i yazamadım tam)
d) (√3/2+ i/2)^1+i ( üzeri 1+i bu da)
e) (1-i)^3-3i ( üzeri 3-3i)
3-) Aşağıdaki kompleks sayıların modül ve argumanını bulunuz
a) tanh π i
b) 10^i
c) 3^2-i (üzeri 2-i)
4-) Aşağıdakiler hesaplayınız.
a) e^(πi/4) ( e üzeri pi-i bölü dört )
b) ln(1-i)
c) sin π i
d) cos π i
e) tan (π/2)i
f) cot π i
g) arcsini
h) arctani/3
i) arccosi
j) sinh (π/2)i
k) tanh π i
5-) Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
a) sinz=3
b) (e^-z) + 1 =0
c) (e^z) + i = 0
d) 4cosz + 5 = 0
e) shiz = -i
f) sinz = iπ
g) e^ix = cosπx ( x-reel olmak üzere)
h) e^2z + 2e^z - 3 = 0
i) coshz = i
j) a-) ln (z+i) = 0
j b-) ln (i-z) = 1
arcsin(-i) hesaplayınız.
arcsin3 = ilog[ z ± √1-z^2 ]
probleman
Jan 8, 2012, 1:13:24 PM1/8/12
to TMOZ
1. C
analitik fonksiyonun analitik fonksiton ile bileskesi analitiktir.
ln fonksiyonu analitiktir. l.l fonksiyonu analitik degildir.Arg(.)
fonksiyonuda analitik degildir.
Ancak w nin her iki tarafinin ln ini alirsak
lnw=lnf(z)=ln|w|+iarg(w)
Elde ederiz ki bu fonksiyon analitiktir. reel ve imajiner kisim
fonksitonlari da harmoniktir. Cunku Cauchy Riemann drnklemleride
saglanir.
probleman
Jan 8, 2012, 1:19:14 PM1/8/12
to TMOZ
Ayni zamanda b sikkindaki arg(w) de harmoniktir.
probleman
Jan 8, 2012, 1:29:43 PM1/8/12
to TMOZ
Surekli hata mesaji almaniz buradaki sistemden kaynaklanmiyordur
bence.
Yoksa ben size buradan nasil cevap yazabilirdim degil mi?
İyi niyetlerinizi gondermeniz yeterli benim icin ;-)
bence.
Yoksa ben size buradan nasil cevap yazabilirdim degil mi?
İyi niyetlerinizi gondermeniz yeterli benim icin ;-)
probleman
Jan 8, 2012, 1:56:26 PM1/8/12
to TMOZ
2. Sorudaki her sik su mantikla yapilabilir.
a ve b kompleks sayilar olsunlar.
a^b=e^(b.lna)=e^[b.ln|a|+b.i.arg(a)]
=e^(b.ln|a|) . e^[i.b.arg(a) *
Yazabiliriz.
Yapmaniz gereken teksey a ve b sayilarini * formulunde yerine
yazmaktir.
a ve b kompleks sayilar olsunlar.
a^b=e^(b.lna)=e^[b.ln|a|+b.i.arg(a)]
=e^(b.ln|a|) . e^[i.b.arg(a) *
Yazabiliriz.
Yapmaniz gereken teksey a ve b sayilarini * formulunde yerine
yazmaktir.
probleman
Jan 8, 2012, 2:35:16 PM1/8/12
to TMOZ
(1+i/√2)^2i =e^(2i.ln|1+i/√2|) . e^[i.2i.arg(1+i/√2)]
=e^(2i.ln[√(3/2)] . e^[-2.(arctan(1/√2)+2kPi]
=e^(i.ln(3/2) . e^{-2.[arctan(1/√2)+2kPi ] } k
eleman tam sayılar
=e^[-2.(arctan(1/√2)+2kPi] {cos[ln(3/2)]
+isin[ln(3/2)] } k eleman tam sayılar
şeklinde bütün değerleri bulunur.
=e^(2i.ln[√(3/2)] . e^[-2.(arctan(1/√2)+2kPi]
=e^(i.ln(3/2) . e^{-2.[arctan(1/√2)+2kPi ] } k
eleman tam sayılar
=e^[-2.(arctan(1/√2)+2kPi] {cos[ln(3/2)]
+isin[ln(3/2)] } k eleman tam sayılar
şeklinde bütün değerleri bulunur.
probleman
Jan 8, 2012, 3:07:10 PM1/8/12
to TMOZ
a) e^(πi/4)=cos (pi/4)+i sin (pi/4)=kök2/2+i kök2/2
b) ln(1-i)=ln|1-i|+i. arg(1-i) =1/2.ln2 +i (-Pi/4+2kPi)
=1/2.ln2 -i Pi/4-i 2kPi
c) sin π i= {e^[i( π i)]-e^[-i( π i)]} / (2i)
={e^[-π ]-e^[ π]} / (2i)
=i{e^[π ]-e^[-π]} / 2
=i sinh(π)
d) cos π i=cosh(π)
e) tan (π/2)i=sin(πi/2) / cos(πi/2)
=i sinh(π/2)/cosh(π2)
=i tanh(π/2)
f) cot π i= -i. coth(π)
g) arcsini=w olsun sinw=i olup bu denklemi çözerseniz w yi bulursunuz.
sin w= {e^[iw)]-e^[-iw]} / (2i)=i =>
{e^[iw)]-e^[-iw]} =-2
e^[2iw)] -1=-2e^[iw]
e^[2iw)] +2e^[iw]-1=0
ikinci dereceden denkleme indirgenen denklem formundadır.
e^[iw]=t olsun
t^2+2t-1=0
t=(-2+-kök(8))/2=-1+-kök2
e^(iw)=-1+-kök2
iw=ln(-1+-kök2)
w=[ ln(-1+-kök2) ] / i
h) arctani/3 (g ile aynı mantık)
i) arccosi (g ile aynı mantık)
j) sinh (π/2)i={e^[( πi/2)]-e^[-π i/2]} / 2
={e^[i( π/2)]-e^[-i(π/2)]} / 2
=i{e^[i( π/2)]-e^[-i(π/2)]} / 2i
=i sin(π/2) =i
k) tanh π i (j ile aynı mantık)
b) ln(1-i)=ln|1-i|+i. arg(1-i) =1/2.ln2 +i (-Pi/4+2kPi)
=1/2.ln2 -i Pi/4-i 2kPi
c) sin π i= {e^[i( π i)]-e^[-i( π i)]} / (2i)
={e^[-π ]-e^[ π]} / (2i)
=i{e^[π ]-e^[-π]} / 2
=i sinh(π)
d) cos π i=cosh(π)
e) tan (π/2)i=sin(πi/2) / cos(πi/2)
=i sinh(π/2)/cosh(π2)
=i tanh(π/2)
f) cot π i= -i. coth(π)
g) arcsini=w olsun sinw=i olup bu denklemi çözerseniz w yi bulursunuz.
sin w= {e^[iw)]-e^[-iw]} / (2i)=i =>
{e^[iw)]-e^[-iw]} =-2
e^[2iw)] -1=-2e^[iw]
e^[2iw)] +2e^[iw]-1=0
ikinci dereceden denkleme indirgenen denklem formundadır.
e^[iw]=t olsun
t^2+2t-1=0
t=(-2+-kök(8))/2=-1+-kök2
e^(iw)=-1+-kök2
iw=ln(-1+-kök2)
w=[ ln(-1+-kök2) ] / i
h) arctani/3 (g ile aynı mantık)
i) arccosi (g ile aynı mantık)
j) sinh (π/2)i={e^[( πi/2)]-e^[-π i/2]} / 2
={e^[i( π/2)]-e^[-i(π/2)]} / 2
=i{e^[i( π/2)]-e^[-i(π/2)]} / 2i
=i sin(π/2) =i
k) tanh π i (j ile aynı mantık)
probleman
Jan 8, 2012, 3:33:32 PM1/8/12
to TMOZ
3-
a) tanh π i= sinh( π i)/cosh( π i)=isin( π )/cos π=0 modül 0 reel ve
imajiner kısmı 0.
b) 10^i=e^(i.ln|10|) . e^[i.i.arg(10)]= e^[-2.k.Pi]
(cos(ln10)+isin(ln10))
|10^i|=e^[-2.k.Pi]
Re(10^i)=e^[-2.k.Pi] cos(ln10)
Im(10^i)=e^[-2.k.Pi] sin (ln10)
c) 3^2-i (üzeri 2-i) benzer şekilde.
a) tanh π i= sinh( π i)/cosh( π i)=isin( π )/cos π=0 modül 0 reel ve
imajiner kısmı 0.
b) 10^i=e^(i.ln|10|) . e^[i.i.arg(10)]= e^[-2.k.Pi]
(cos(ln10)+isin(ln10))
|10^i|=e^[-2.k.Pi]
Re(10^i)=e^[-2.k.Pi] cos(ln10)
Im(10^i)=e^[-2.k.Pi] sin (ln10)
c) 3^2-i (üzeri 2-i) benzer şekilde.
probleman
Jan 8, 2012, 4:10:23 PM1/8/12
to TMOZ
5-) Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
a) sinz=3
sin z= {e^[iz)]-e^[-iz]} / (2i)=3 =>
a) sinz=3
{e^[iz)]-e^[-iz]} =6i
e^[2iz)] -1=6ie^[iz]
e^[2iz)] -6ie^[iz]-1=0
ikinci dereceden denkleme indirgenen denklem formundadır.
e^[iz]=t olsun
t^2-6it-1=0
t=(6i+-kök(-36+4))/2=3i+-4.i.kök2=i(3+4kök2)
e^(iz)=i(3+4kök2)
iz=ln(i(3+4kök2))
iz=ln|i(3+4kök2)| +i arg(i(3+4kök2))
z=ln(3+4kök2) + i.(Pi/2+2kPi) , k eleman tam sayı
b) (e^-z) + 1 =0
ln( e^(-z) ) =ln(-1)
-z=i arg(-1)
-z=i (Pi+2kPi) k eleman tamsayı
z=-i (Pi+2kPi) k eleman tamsayı
c) (e^z) + i = 0 b şıkkı ile aynı mantık
d) 4cosz + 5 = 0 a şıkkı ile aynı mantık
e) sinh(iz) = -i a şıkkı ile aynı mantık
f) sinz = iπ a şıkkı ile aynı mantık
g) e^ix = cosπx ( x-reel olmak üzere)
2={e^[i.(Pi-1).x]+e^[-i.(Pi-1).x] }
sonrası a şıkkındaki ile aynı
h) e^2z + 2e^z - 3 = 0
i) coshz = i a şıkkı ile aynı mantık
j) a-) ln (z+i) = 0=ln|z+i|+i arg(z+i)
ln|z+i|=0 ise z+i=1 ise z= 1-i
arg(z+i)=0 ise arg(x+iy+i)=0 ise arctan((y+1)/x)=0
tan0=(y+1)/x
0=y+1
y=-1
ve x eleman Reel sayılar
olup bu iki denklemi sağlayan çözüm z=1-i
j b-) ln (i-z) = 1
PainKiller
Jan 9, 2012, 3:11:20 AM1/9/12
to TMOZ
Çok teşekkür ederim hocam çözümler için gerçekten Hızır gibi
yetişiyorsunuz imdadıma valla.
1.sorunun a ve c seçeneklerindekileri modül olarak aldınız değil mi?
Şimdi burdan tekrar bakınca mutlak değermiş gibi gözüküyor da. Onlar
modül aslında belirtmeyi unuttum.
yetişiyorsunuz imdadıma valla.
1.sorunun a ve c seçeneklerindekileri modül olarak aldınız değil mi?
Şimdi burdan tekrar bakınca mutlak değermiş gibi gözüküyor da. Onlar
modül aslında belirtmeyi unuttum.
PainKiller
Jan 9, 2012, 3:14:13 AM1/9/12
to TMOZ
Birde hocam diğer konuyu bulamadım burda, oraya eklediğim sorulardaki
" f(z) = z^5 / |z|^4 , z=/0
f(z) = 0 , z=0
olarak tanımlanıyor.
b-) u=Ref , v=Imf ise
u(x,0) = x
v(0,y) =y
u(0,y)=v(x,0)=0 olduğunu gösteriniz. "
şu soru için bu çözüm yolu doğru mudur? Kontrol eder misiniz?
http://d1201.hizliresim.com/t/9/1pd36.jpg
" f(z) = z^5 / |z|^4 , z=/0
f(z) = 0 , z=0
olarak tanımlanıyor.
b-) u=Ref , v=Imf ise
u(x,0) = x
v(0,y) =y
u(0,y)=v(x,0)=0 olduğunu gösteriniz. "
şu soru için bu çözüm yolu doğru mudur? Kontrol eder misiniz?
http://d1201.hizliresim.com/t/9/1pd36.jpg
probleman
Jan 9, 2012, 8:06:23 AM1/9/12
to TMOZ
Eğer yardımcı olabildiysek ne ala.
Evet zaten kompleks sayılar bahsinde mutlak değer |.| fonksiyonu
modül aynı şeydir.
|.| fonksiyonu içine yazılan sayının kompleks düzlemdeki (0,0)
noktasına olan uzaklığını belirtir ve bu yüzdendir ki değer kümesi
negatif olmayan reel sayılardır.
Ancak siz de bilirsiniz ki w=|f(z)| fonksiyonu analitik değildir.
Çünkü mutlak değer tanımından w sadece reel kısımdan oluşmuştur.
Dolayısıyla u=|f(z)| ve v=0 olacak şekilde yazılırsa w=u+iv
fonksiyonundaki u ve v ler Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamaz.
Evet zaten kompleks sayılar bahsinde mutlak değer |.| fonksiyonu
modül aynı şeydir.
|.| fonksiyonu içine yazılan sayının kompleks düzlemdeki (0,0)
noktasına olan uzaklığını belirtir ve bu yüzdendir ki değer kümesi
negatif olmayan reel sayılardır.
Ancak siz de bilirsiniz ki w=|f(z)| fonksiyonu analitik değildir.
Çünkü mutlak değer tanımından w sadece reel kısımdan oluşmuştur.
Dolayısıyla u=|f(z)| ve v=0 olacak şekilde yazılırsa w=u+iv
fonksiyonundaki u ve v ler Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamaz.
probleman
Jan 9, 2012, 8:06:52 AM1/9/12
to TMOZ
Evet aynen öyledir. Kontrol ettim.Eline sağlık.
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages