Limit, Süreklilik ve Türevlilik Üzerine.

[Muharrem Şahin]

[Ilyas Kanat]

Allah sizden razı olsun sayın hocam çok sağolun

[Muharrem Şahin]

Allah senden de razı olsun İlyascığım.

9 Kasım 2017 07:24 tarihinde Ilyas Kanat <kanati...@gmail.com> yazdı:

Allah sizden razı olsun sayın hocam çok sağolun

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/

Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/aead7090-5792-47c1-8445-ad6e933ec86f%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.

--

.

[herkesematematik .]

Teşekkürler Muharrem hocam

9 Kasım 2017 Perşembe tarihinde, Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcPk4VHiRZ%2BmLryBoh3W1T2ODXnjgOw9Ws%3DnWGLOjh3erg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--
Sinan BÜYÜKUÇAR
Matematik-Geometri Öğretmeni
www.herkesematematik.com

[Muharrem Şahin]

Bu da bulunsun.

Örnek Problem

f = {(-1,0), (1,1), (2,3), (4,4), (5,7)}

fonksiyonu

artan fonksiyondur.

f fonksiyonunun minimum değeri 0'dır.

(-1,0) noktası, fonksiyonun minimum noktasıdır.

f fonksiyonunun maksimum değeri 7'dir.

(5,7) noktası, fonksiyonun maksimum noktasıdır.

9 Kasım 2017 10:40 tarihinde herkesematematik . <sina...@gmail.com> yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CALcbGfKqgcJG4Gzf%3DPDRfOwN2DZd4Dm3nF%3DK9Aha7PoDG12F5Q%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

"Bir fonksiyonun

bir a değerinde limitinin var olması için

sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir."

yorumu

küme kavramı matematiğe girdikten sonra

hatalı bir ezber olarak tekrarlanmaktadır.

f: [0,2] --> [0,4]; f(x) = x^2

fonksiyonu için

lim  f(x) = 4  'tür.

x-->2

Fonksiyonun evreninde

x değerleri

2'ye

sadece 2'den küçük değerlerle yaklaştırılabilir.

Fonksiyonun evreninde

2'den büyük sayılar yoktur.

Bu evrende

x 

2'ye yaklaşan her değeri alabilir;

f de 4'e yaklaşır.

...

En başta verdiğim limit tanımı

uçlarda süreklilik 

ve uçlarda türevlilik 

kavramları için de

temel oluşturur.

...

Bu kadar emek verilmişken

doğru düşünenlerimizin 

sayısının artması için çırpınıyorum.

9 Kasım 2017 11:51 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

.

[Ferbay]

Muharrem Hocam öncelikle elinize sağlık güzel bir çalışma olmuş. Ama bir konuya itirazım var.

Verdiğiniz limit tanımı ile epsilon-deltalı limit tanımı birbirine denktir. Verdiğiniz tanım yeni bir tanım değildir.Taradığım tüm analiz kitaplarında limit tanımı epsilon deltalı olarak verilmiş.
Sadece Mustafa Balcı Hocanın kitabında sizin verdiğiniz tanımı gördüm. Diğer kitaplar epsilon deltalı tanımı verdikten sonra sizin verdiğiniz tanımın epsilon deltalı tanıma denk olduğunu söylüyor. Dolayısıyla limitin var olması için sağdan ve soldan limitin birbirine eşit olması gerektiği her iki tanım için de geçerli.

Mustafa Balcı'nın kitabında da sizin verdiğiniz tanımdan sonra sağdan ve soldan limit tanımları verilerek limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerektiği söylenilmiş. (Prof.Dr. Mustafa Balcı, Matematik Analiz Cilt 1, syf 102-103)

Uç noktalardaki limit için sadece bir yönden limite bakılır diye ayrıca belirtilmelidir. Aynı şekilde türev için de kapalı aralıkta uç noktalardaki türev için sadece sağdan veya soldan türeve bakılır denilmelidir.

Analizin temel kitablarından Principles of Mathematical Analysis kitabında da uç noktalarda türev ayrıca tanımlanmıştır.

Konumuz dışında ama benzer bir sorun olduğu için bahsetmek istedim:

Kompleks Analizde de analitik fonksiyonlar açık küme üzerinde tanımlanır.
Bunun için herhangi bir kümede tanımlı fonksiyonun analitikliği için aşağıdaki tanım kullanılır:

Herhangi bir A kümesi üzerinde tanımlı f(z) fonksiyonu analitiktir denir, eğer
A kümesi kapsayan bir açık kümede tanımlı bir analitik fonksiyonun A ya kısıtlanışı f fonksiyonu ise. (Lars V.Ahlfors, Complex Analysis)

Benzer bir tanım reel sayılarda da verilebilir.

İyi Çalışmalar.





9 Kasım 2017 Perşembe 00:01:46 UTC+3 tarihinde Muharrem Şahin yazdı:

[Muharrem Şahin]

Verdiğiniz emek için

çok teşekkürler Fatih Hocam.

Amacımın akılları karıştırmak değil

karışıklıklara bir çözüm aramak olduğunu 

anladığınızdan eminim.

"Terimleri A-{a} kümesine ait olan..."

ifadesinin

"epsilon, delta"lı tanım ile farklılık getirdiğini 

düşünüyorum hocam?

"Solu olmayan bir yerde

sağdan soldan limitleri aramak

şekilcilik oluyor." diye düşünüyorum.

f: [0,2] --> [0,4]; f(x) = 2x

fonksiyonu ile

elimize bir doğru parçası verilmişken

"Bu doğru parçası uç noktalarında süreksizdir."

demek

ancak 

bir ezberin tekrarı olabilir.

"Bu f fonksiyonunun evreni [0,2] aralığıdır.

Bu evrende, bu fonksiyon süreklidir" demek

daha anlamlı

daha anlaşılır bir yorum değil midir?

Değişik amaçlarla,

iki taraflı limit, süreklilik ve türevlilik aranabilir.

Ama;

en başında sağ, sol koşulunu koymak,

bir ezberin tekrarı değil midir?

"Terimleri A-{a} kümesine ait olan..."

ifadesi ile

sağın solun aranmadığını

var olanla yetinildiğini anlıyorum.

Her şey bir yana;

"f: [0,2] --> [0,4]; f(x) = 2x  fonksiyonu 

[0,2] aralığında her noktada limitlidir;

[0,2] aralığında her noktada süreklidir;

[0,2] aralığında her noktada türevlidir."

derken

benim gibi düşünenler

0'daki limitin, sürekliliğin, türevliliğin

sağdan olduğunu kabul ediyoruz zaten.

Sırf

"[a,b] 'de tanımlı (a,b) 'de türevli..."

söylemine alışmış kulaklar

rahatsız oluyor diye

tartışıp duruyoruz.

Bu söylemin

küme kavramı öncesi tanımlardan kaldığını anlıyorum.

...

İlginiz için tekrar teşekkürler Fatih Hocam.

Not

Mustafa Balcı Hocamın

"f: [0,2] --> [0,4]; f(x) = 2x  fonksiyonu için

f '(0) = 2 ve

f '(2) = 2

diyeceğini görmüşsünüzdür.

Benzer bir örnek vermişti.

;

 

12 Kasım 2017 14:26 tarihinde Ferbay <erbay...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/96517eee-92be-4563-b7f5-0005b99d0ea1%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Ferbay]

Sizin verdiğiniz limit tanımı gibi soldan ve sağdan limit tanımı da  verilebiliyor. Mustafa Balcı'nın kitabında sol taraflı  limit şu şekilde tanımlanıyor:
"f:A-->R bir fonksiyon ve a da A nın yığılma noktası olsun. Terimleri A kümesinden alınan ve her n elemanıdır N için x_n<a bağıntısını sağlayan ve a noktasına yakınsayan her (x_n) dizisi için (f(x_n)) dizisi aynı bir L reel sayısına yakınsıyorsa, bu L sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki sol taraflı limiti denir."

Yine bu tanımlamanın sonunda "f fonksiyonunun bir noktada limitinin var olması için gerek ve yeter şart o noktada sağ ve sol limitlerin mevcut ve eşit olmasıdır. " olduğu yazılmış.
Bu tanımlamaya göre uç noktada süreklilik arayan biri soldan veya sağdan limit bulamazsa fonksiyon sürekli değildir diye düşünebilir.
Benim söylediğim uç noktalarda sürekliliği ayrıca tanımlamak.
"[a,b] aralığında tanımlı f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir eğer f(a) = f in a daki sol limiti" gibi bir tanımlamaya daha ihtiyaç duyuyoruz.
Ben de sizin gibi düşünüyorum. Uç noktalarda süreklilik ve türevlenebilme incelenebilir. Benim farklı olarak söylediğim uç noktalar için ayrıca bir tanım yapılması gerektiği.


Ayrıca teoremlerde geçen kapalı aralıkta süreklilk açık aralıkta türevlenebilme şartlarını yanlış yorumluyorlar. Açık aralıkta türev tanımlandığı için türev kapalı aralıkta tanımlanamaz diye düşünüyorlar. Örneğin Rudin kitabında türevi kapalı aralıkta tanımlamış ve  uç noktalardaki türev için sağ ve sol türeve bakılır demiş.
Yine de klasik türev-süreklilik teoremlerinde  [a,b] de sürekli, (a,b) de türevlenebilir şartını vermiş. Açık aralıkta türevlenebilme şartını vermesi kapalı aralıkta türevden bahsedememek değil (zaten  kapalı aralıkta türevi tanımlamış) teoremin uç noktalarda türeve gereksinim duymamasıdır. Teoremler için en az koşul gerektiği için (a,b) de türevli şartı konulmuş.

Beni de düşünmeye sevk ettiğiniz  teşekkür ederim.
Saygılar Hocam,
İyi çalışmalar.

[Muharrem Şahin]

Sizin verdiğiniz limit tanımı gibi soldan ve sağdan limit tanımı da  verilebiliyor. Mustafa Balcı'nın kitabında sol taraflı  limit şu şekilde tanımlanıyor:
"f:A-->R bir fonksiyon ve a da A nın yığılma noktası olsun. Terimleri A kümesinden alınan ve her n elemanıdır N için x_n<a bağıntısını sağlayan ve a noktasına yakınsayan her (x_n) dizisi için (f(x_n)) dizisi aynı bir L reel sayısına yakınsıyorsa, bu L sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki sol taraflı limiti denir."

Yine bu tanımlamanın sonunda "f fonksiyonunun bir noktada limitinin var olması için gerek ve yeter şart o noktada sağ ve sol limitlerin mevcut ve eşit olmasıdır. " olduğu yazılmış. 

Fatih Hocam;

Bu verdiğiniz tanım (a,b) açık aralığı için,

yani [a,b] aralığının iç bölgesi için verilmiştir.

(Tanım öncesi açıklama, 102. sayfada)

Mustafa Balcı Hocam da

benim verdiğim limit tanımı ile konuya başlamış.

Bu tanımın 

[a,b] aralığının uçlarındaki durumu

tam açıkladığını düşünerek

bu kısımda

uçlarla ilgili bir örnek vermemiş.

(Verseydi, iyi olurdu.

Uçlarda süreklilik ve türevlilik üzerine

farklı yorumlara

daha başından önlem alınmış olurdu.)

Ancak;

daha ileride

"f: [0,+sonsuz) --> R; f(x) = kökx fonksiyonu

x = 0 için süreklidir." demiş. (116. sayfa)

Türev kısmında,

"f: [0,1] --> R; f(x) = x^2 fonksiyonu için

f '(0) = 0 ve f '(1) = 2 'dir." demiş.

Şunları da eklemiş:

"Açıkça görüldüğü gibi bir fonksiyonun 

bir noktadaki türevinin var olması için gerek ve yeter şart

sağ ve sol türevlerinin mevcut ve eşit olmasıdır.

Süreklilik konusunda anlatıldığı gibi,

eğer tanım kümesi [a,b] aralığı ise

a noktasındaki türevin varlığı için

a noktasındaki sağ taraflı türevin,

b noktasındaki sol taraflı türevin varlığı yeterlidir."

...

Uçlarda süreklilik ve türevlilik üzerine

bu ifadelerin doğru olması

f: [a,b] --> R; f(x) = x^2

fonksiyonunun

a 'daki limitinin a^2,

b 'deki limitinin b^2

olduğunu söyleyebilmekten geçiyor.

Modern limit tanımı da 

buna izin veriyor.

Sonrasında yazdıklarınız

düşüncelerimizin çok yakın olduğunu gösteriyor.

Sevgiler, saygılar. 

 

12 Kasım 2017 23:49 tarihinde Ferbay <erbay...@gmail.com> yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+unsubscribe@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/5e5636d3-223e-4112-b358-8e1eddc27b47%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Savunduğum düşüncelerimi

Mustafa Balcı Hocam öyle söylüyor diye savunmuyorum.

Verdiğim

modern limit tanımının

bunu gerektirdiğini görerek savunuyorum.

Bu limit tanımı

uçlarda limitlilik, süreklilik, türevlilik

konusunu

tam aydınlatmaktadır.

Limitte başka,

süreklilikte başka,

türevde başka ve çelişen şeyler

söylemek zorunda kalmayız.

Yine de;

zihinlerin bu kadar karışık olduğu bir konuda

uçları pek göze sokmamak gerekir.

Olayı bizim anlamamız ve

gerektiğinde kullanmamız yeterlidir.

Yoksa;

benim gibi,

açıklamak için 

çok zaman harcamak zorunda kalınabilir.:)

Şikayet etmiyorum tabii.

13 Kasım 2017 10:52 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

.

[Hsn Tsbs]

Değerli hocam mesela örnek:5 de
X=1 de tanımsız olduğu için süreksiz demişsiniz.Bu x=1 de tanımlı olmadığı için süreklilikten bahsedilemez olmayacak mıydı?