yerel ekstremum tanımının kitaplardaki değişkenliği

[cantor04]

merhaba hocalarım. yerel ekstremum tanımları kitaplarda farklılık gösteriyor. geçenlerde yine böyle bir soru soruldu grupta, aklıma takıldı.

ben hacettepe matematik mezunuyum. yarı ingilizce okudum. analiz kitabımız richard silverman calculus with analitic geometry idi. orda yerel ekstremum komşuluk dahilinde tanımlanmıştı. yani a'nın yerel ekstremum noktası olması için (a-ε, a+ε) gibi bir açık aralıkta örneğin yerel max. için f(a)>=f(x) olmalıydı. yani özetle, bir uç nokta yerel ektremum kabul edilmezdi bir açık aralığa dahil olmadıgı için. uç noktalar mutlak max. ya da min. arandıgında incelenirdi, çünkü mutlak maksimum(minimum) fonksiyonun tanım kümesi içindeki tüm xler için fonksiyonun aldığı en büyük(en küçük) değerdi. bir açık aralık koşulu yoktu. örneğin, yerel maksimumlar ve uç noktalar incelendikten sonra bunlar arasında en büyük olanı mutlak maksimum olurdu. mutlak minimum da benzer şekilde.

malesef kitabım şuan elimde değil ve internetten de bulamıyorum, o yüzden böyle açıkladım.

elimdeki başka bir analiz kitabında ise (thomas calculus) uç noktaları yerel ekstremumlara dahil etmiş. karıştırdıgım tüm kitaplarda bu ikilem var. açıkçası ben bu duruma sinir oldum ve üniversitedeki hocama yazıcam bu konuyla ilgili. yazmadan önce sizinle tartışmak istedim.

açık aralık bana daha mantıklı geliyor, yani uç noktaların dahil edilmemesi. çünkü 1. türev testiyle biz lokal ekstremumları tespit edebiliyoruz. ve onu tespit ederken de türevin o aday noktada işaret değiştirmesi gerektiğini biliyoruz. uç nokta için bunu söyleyebilir miyiz ki? uç noktanın bir tarafında türev olmayacak, nasıl işaret değiştirsin? fikirlerinizi merak ediyorum. 

[cantor04]

şimdi internetten buldum. bu yine silvermanın modern calculus and analitic geometry kitabı. bizimki bu değildi ama aynı şeyler yazıyor. yani uç noktalarda yerel ekstremumdan bahsedilemeyeceği?

13 Nisan 2015 Pazartesi 22:53:03 UTC+3 tarihinde cantor04 yazdı:

[DNZKRDG]

Ekstremum noktalarını türev yardımıyla belirleyecekseniz tanım aralığının uç noktalarında bu sorgulamayı yapamazsınız. Çünkü o noktanın solu ve sağı mevcut aynı anda mevcut olmadığından  türev yardımıyla (türevin işaret incelemesiyle)sorgulayamazsınız.(bunu siz de belirtmişsiniz) Şunu da unutmamak gerek ki ekstremum nokta tanımı türevden bağımsızdır. Grafikteki tepe ve dip noktalar (ve de grafikteki uç noktalar) birer ekstremum noktadır. Ve bu noktaların tanımının türeve hiçbir alakası yok. Ancak iş fonksiyon tanım kümesinde türevli olduğunda; bu noktalar türev yardımıyla belirlenebiliyor. (Tanım kümesi kapalı aralıksa uç noktalar hariç)

[Mücahid]

Aynen katiliyorum Deniz hocam

☺☺☺

[cantor04]

 hocam yukarda tanımı yazıyor, kitabın bir diğer basımını buldum. ben de türevle belirlenecek illaki demiyorum. üzerinde durduğum şey "türev" değil "uç noktaların yerel extremum olamayacağı". dikkat ettim de siz yazımınızda ayırmıyorsunuz mutlak ve yerel ekstremumu :) sanırım gözünüzden kaçtı 2. mesajım, ama tanımda açıkça diyor ki " eger x0'ın bir ε komşulugundaki bütün xler için f(x0)>=f(x) ise f fonksiyonunun x0 noktasında yerel maksimumu vardır" 

ayrıca verilen şekilde sadece p ve r noktalarında yerel ekstremumu oldugunu, uç noktalarda yerel ekstremum olamayacağı(komşuluktan bahsedilemeyeceği için) yazıyor? çevirime güvenmiyorsanız bilemem tabi :)

13 Nisan 2015 Pazartesi 22:53:03 UTC+3 tarihinde cantor04 yazdı:

merhaba hocalarım. yerel ekstremum tanımları kitaplarda farklılık gösteriyor. geçenlerde yine böyle bir soru soruldu grupta, aklıma takıldı.

[cantor04]

tanımlarla inşa edilen matematikte tanımlara takılmamak kolaycılık gibi geliyor bana üzgünüm. siz istediğinizi ögretin ögrencilerinize. sanırım hatam böyle bir soruya burda yanıt aramak. size kolay gelsin.

13 Nisan 2015 Pazartesi 22:53:03 UTC+3 tarihinde cantor04 yazdı:

merhaba hocalarım. yerel ekstremum tanımları kitaplarda farklılık gösteriyor. geçenlerde yine böyle bir soru soruldu grupta, aklıma takıldı.

[ccruell]

Tanımlar tanımlar tanımlar :)

Takılmamak lazım hocam. Ben uç değerleri hem yerel hem de mutlak için alıyorum, ki bana bu doğru geliyor. Hatta almayanlara da hatalı diyorum :) Tabi bu benim fikrim.

Biraz uykum var yarın kafamdakileri detaylıca yazarım olmazsa. Şimdilik Thomas Bey'den max-min gönderiyorum.

[ccruell]

Tanımlar derken işe şöyle başlayalım, sizin okuduğunuz kitap sınır noktaları yerelde almazken benim okuduğum kitap almış. Fakat aynı şekilde iki kitap da mutlak olarak bu noktaları almış. Şimdi sıkıntı "yerel" kısmından başlıyor. Belli bir tanımı var mı hocam yerelin? Ya da şöyle sorayım yereli farklı tanımlamış kaynaklar var, hepsi de iyi kitaplar hangisini gerçek kabul edelim? Sizin kitabınız kendince bir tanım yazmış ve o yolda devam etmiş. Bu kitap gibi kabul edip uç noktaları yerele dahil etmeyen kaynaklar var, ama yerele dahil eden belki daha fazla kitap var.

Tanımlar derken kastettiğim buydu, yani amacım tanımlarla inşa edilen bir şeyi yıkmak değil. Fakat yerel kısmı çok da önemli olmayan bir taraf.

"açık aralık bana daha mantıklı geliyor, yani uç noktaların dahil edilmemesi. çünkü 1. türev testiyle biz lokal ekstremumları tespit edebiliyoruz. ve onu tespit ederken de türevin o aday noktada işaret değiştirmesi gerektiğini biliyoruz. uç nokta için bunu söyleyebilir miyiz ki? uç noktanın bir tarafında türev olmayacak, nasıl işaret değiştirsin?"

Uç noktada türev olmayacak nasıl işaret değiştirsin demişsiniz, sivri noktalarda da türev olmayacak ama max-min olarak alıyoruz, tabi siz gene almıyor olabilirsiniz. Ufak bir örnekle bitireyim:

Dönüm noktası ile alakalı üniversiteden gerçekten bilgisi çok çok iyi olan 2 hocama türeve bakılır mı diye sormuştum vakti zamanında. Birisi türev önemsiz grafikte eğriliğin yön değiştirdiğini görmek kafi, diğeri 2. türev olmalı yoksa dönüm noktası değildir demişti. Aynı okulda ikisi de yurtiçi ve yurtdışında iyi okullarda eğitim görmüş 2 kişi bunu söylüyor. Demek ki bir ikilem var bu konuda. Yani bazıları türev tanımlanmalı bazıları ise türev gereksiz hissiyat önemli demiş. Benim için şahsen türev önemsizdir, eğrilik yönünün değişmesi yeterli.

Yani matematiksel tanımlamalarda ufak "dilemma"lar mevcut.

Mesela fonksiyonun artan olduğu aralık dediğinde ben aralığı kapalı alırım ama siz açık alabilirsiniz hakeza ÖSYM de öyle almış (ki bana göre yanlış yapmıştır).

Uzun lafın kısası bu kısımlar bence matematikte "iyi tanımlanmamış". Mutlak bir doğru da yok. Açıkcası çok da önemli değil, özellikle öğrenciye anlatmaya gerek de yok. Çok şükür vaktim elverdikçe öğrencilerime tanımları ve ispatları gösteririm yani kolaycılık yapmam :)

Son olarak bence siz TMOZ gibi gereksiz! bir platformda yanıt aramayın, dediğiniz gibi hataya düşebilirsiniz. Bir de tek cevaba göre geneli yargılamayın derim, selametle.