karmaşık sayılarda kök alma ile ilgili tartışmaya ön çalışma

[ibrahim kuscuoglu]

soru 1: -4 sayısının karekökü nedir?

soru 2: 4 sayısının karekökü nedir?

soru 3: karesi -4 olan sayı nedir?

soru 4: karesi 4 olan sayı nedir?

 

Yanıtlarınızı herbir soru için açıklayarak verebilirseniz sevinirim.

Bu sorular bir tartışmaya neden olmak içindir. Bildiğimiz yada bildiğimizi sandığımız sorulara doğru bir yanıt bulabilmek için atılan bir adım sayın bu soruları.

[vildan]

karmaşık sayı olarak,

yanıt 1: 2i
çünkü kök -4= ikök4 =2i

yanıt 2: 2 ve -2
çünkü kök 4=kök(2.2)=2
kök4=kök(-2.-2)=-2

yanıt 3: 2i
çünkü kök -4=ikök4 =2i

yanıt 4: 2 ve -2
çünkü (-2)^2=4
2^2=4
olduğunu düşünüyorum.

1 ve 3 ile
2 ve 4 ün birbirine benzediğini düşünüyorum.

Bence böyle :)

[ibrahim kuscuoglu]

Ama aynı değil.  2. soruya verdiğiniz yanıt ilginç. kök4 sadece 2 demediniz neden? O zaman Şu soruya yanıtınız ne olurdu? '' kök((-2)^2)) =?

[eesb]

-4sayısı 4cis180dır
karekökü 2cis90dır diğer kökü 2cis(90+180)=2cis270tir

4sayısı karmaşık sayılar kümesinde alınırsa 4cis0 dır karekökü 2cis0=2
ve 2cis180=-2 dir.

bu şekilde düşününce 2cis90 ile 2cis270in karesi -4

2cis0 ve 2cis180 nin karesi 4 tür

en azından böyle bildiğimi sanıyorum :) :)

[fatih bingöl]

vildan hocam karekökün sonucu negatif olamaz. yani kök4=2 dir. fakat x^2=4 denkleminin kökleri nedir diye sorulduğunda 2 ve -2 diyebiliriz. 2. ve 4. sorular birbirinden farklı diye düşünüyorum...:)

[MEHMET ARSLAN]

Öncelikle bu soruların hangi küme kapsamında sorulduğunu belirlesek.

MEHMET ARSLAN

 

[Vildan BALTA]

kök(-2) . kök(-2)= i. kök2 . i. kök 2

                       = i^2 . kök2 . kök2

                       = -1 .2

                       =-2

 

şeklinde düşünürüm.

 

[ibrahim kuscuoglu]

Neden bu önemli? Yani 4'ün karekökü neden kümeye bağlı o zaman bu sorunun yanıtını vermek gerekir:)

[ibrahim kuscuoglu]

yani demek istediğim şu. Öğrencilere şunu mu diyeceğiz böyle bir soru açık değil.  Eğer 4' sayısını karmaşık sayı düşünürsek yanıt 2 ve -2   yok gerçel sayılarda düşünürsek sadece 2.  Bu bana pek açıklayıcı gelmiyor:) üzgünüm başka bir şeyler olmalı.

22.08.2007 tarihinde ibrahim kuscuoglu <ide...@gmail.com> yazmış:

[eesb]

bazı sorularda küme belirtilmemişse reel sayı kümesinde işlemi ele
alıyoruz
bu soruda ne düşünmeliyiz

[eesb]

hocam eğer bize tanım aralığı verilmişse zaten sorun yoktur.
eğer aralık belli değilse almamız gereken en geniş aralığı yani
karmaşık sayılar kümesini düşünmemiz gerekmezmi

[Engin Acı]

her sorunun cevabı muhattabı düzeyine çekilerek verilir.Bana ortaokul öğrencisi sorsa lise öğrencisi sorsa farklı cevap vermeliyim helede bir öğretmen sorsa "hayırdır" derim heralde.

[Genzo]

Hocam sorduğunuz bazı sorular kümeye bağlı olamaz mı? Yani küme
belirtmezsek sonucun boş küme çıkma olasılığı yok mu?

On 22 Ağustos, 21:36, "ibrahim kuscuoglu" <ide...@gmail.com> wrote:

[ibrahim kuscuoglu]

Nasıl yani hayırdır?  Bu soruların matematiksel anlamda bir tek yanıtının olması gerekir. O zaman bırakalım matematiği sohbet edelim. Sohbette çok daha olasılık var.  Ben bu sorulara birlikte yanıt aramak gibi bir düşünceyle sordum. Öğrenciye zaten bir sürü yanıt verebiliriz heleki bize güveniyorlarsa sorunda olmaz. Ancak sizin içinize verdiğiniz yanıtlar ne kadar siniyor ve ne kadar doğru.

Yada bir öğrenci şunu dese ''bir denklemle karşılaştım ve karekök içinde 4 sayısını gördüm ben nereden bileceğim onun reelmi yada karmaşık sayı mı olduğunu ?(üstelik aynı sayıdan söz ediyoruz yani bildiğimiz 4 sayısından) Hatta daha ileri giderek şunuda diyebilir. Bırakın reel olmasını o zaman bu sayının doğal sayılarda veya tamsayılarda yada rasyonel sayılarda olup olmadığını ben nereden bileyim?''  O zaman öğrenciye şunumu diyeceğiz. Bu karmaşık sayılar adından da anlaşılacağı üzere çok karmaşıklar o yüzden karmaşık sayılarda bu sorunun iki yanıtı var(yani 4'ün karekökü) 2  ve - 2. Amaaaaaa bu sayı karmaşık değilse olaki karekökü alınan bir sayı ise bu yanlızca alınan bu karekökün pozitif değerini almamız gerekir. Sizce bu açıklamayı akıllı bir öğrenci yutarmı? tabi eğer matematiği gerçekten anlatmak değilde yutturmak istiyorsak :)

 

[MEHMET ARSLAN]

Küme tanımlamayı şöyle önemli buluyorum

x^2-2 polinomu Q üzerinde indirgenemez bir polinom değilmidir?Ancak komplex sayılarda indirgenebilir.

Yanlış mı düşünüyorum?

 

22.08.2007 tarihinde ibrahim kuscuoglu <ide...@gmail.com> yazmış:

[feyza]

merhaba..
karekök 4=l2l olarak anlatıyoruz çoçuklara. buradan da mutlak değer en
az 0 değerını alır dolayısıyla dışarı 2 olarak çıkar dıyoruz.gelin
görünkü bunun tersını düşünürsek 2 nın karesi de -2 nın karesı de 4 ü
verıyor (hanı şu bildiğimiz 4 ü!!!)

[İbrahim ŞENTÜRK]

Hatanın, (tabii hata olarak adlandırmak ne kadar doğru olur tartışılır) sayılarda kök almayı, sayının karesini almanın ters işlemi olarak görmemizden kaynaklanıyor. Sonuçta burada sırlama öncelikleri ve parantez öncelikleri de ön plana çıkıyor. Mesala negatif sayının kuvveti çift ve kök içinde yazılmışsa tabi sayının parantez kuvveti ise sayı dışarıya pozetif çıkıyor. Peki burada bir soru daha ortaya çıkıyor. Sayı parantez içinde yazılıp çift kuvveti alındığında neden pozitif.(Bildiğim kadarıyla bir kabul. Eğer ispatı varsa paylaşılırsa sevinirim.).Sonuç olarak işlemin tanımlı olduğu aralığı, işlem öncülüğünü belirlememiz gerekir. Ama unutulmaması gereken diğer iki noıktada kompleks sayılar kümesinin reel sayı ikililerinden oluştuğu ve sıralanamdığıdır. Sonuçta kompleks sayılara el atıyorsak bunlara da bir açıklama getirilmesi gerektiğini düşünüyorum.(Not: Yarın finalim bittikten sonra bu konu üzerine bir yazım olacak umarım o zamana kadar düşünceler birikir en azından yola çıkış noktamız olur.) İyi geceler...

[fatih bingöl]

hocam daha öncede söyledim 4 sayısının karekökü 2 dir.çünkü kökün derecesi çift ise içide sonucuda negatif olamaz(tabiki reel sayılar uzayında). fakat x^2=4 denklemi 2. dereceden bir denklem olduğu için 2 kökü vardır.bunlarda 2 ve -2 dir bildiğiniz gibi.ikisi arasındaki fark burdan kaynaklanıyo. yani kök4=? ve x^2=4 denkleminin kökleri nedir? soruları farklı sorular.bunlar zaten hepimizin bildiği şeyler.bana öğrencilerim sordu bi kaç kez açıklamamı bu şekilde yaptım.ama burada tabiiki hangi uzayda olduğumuzunda önemi büyük daha önce hocalarımında dediği gibi. saygılar...

 

23.08.2007 tarihinde feyza <feyza_pe...@hotmail.com> yazmış:

[hasan yasayacak]

ibrahim hocamın bu tartısmasına birseyde ben ekliyeyim... daha onceden gonderilmis rasyonel usle ilgili maiilerede bakarsanız yararı olacaktır... net bir cevap yok ama dusunce olarak yararı olur o mesajların diyeyim...

ilk mesajdaki sorularla ilgili once asagıdaki duruma bakalım...

 

(-1)^2/3 icin aklıma gelen gorusleri soyliyeyim...

ilk gorus kare alınır dolayısıyla cevap 1 cıkar.

ikinci gorus neticede bu bir koklu sayıdır kokun derecesi onemlidir... kokun derecesi tek oldugu icin isaretin onemi kalmıyor... fakat cift olsaydı bu derece mesela (-2)^1/2 bunu dısayıya cıkaramazdık. kompleks sayılar icin dusunursek -2 yi kuyupsal yazıp bir karmasık sayının karekokunden sanal bulabiliriz.

ucuncu gorus -1=i^2 oldugundan yerine yazarsak i^4/3 formuna ulasırızki 2. goruse benzer bir tablo cıkar ortaya...

bir karmasık sayı denklem koku ise, her kokun eslenigi vardır. dolayısıyla buda koktur.

2. derece bir denklemin iki karekoku vardır. yada katlı koktur.

ilkelerini goz onune alalım (bunları delen sartlar varmıdır bunuda netlestirelim)

siyahlara dikkat edilirse hep denklem deniliyor. 4 un karekoklerinden biriside 2cis180 dir dersek biz hangi sayının karesi 4 dur diyerek dusunuyoruz demektir. dolayısıyla bu yanlıstır. deklemin bir koku 2+0.i ise digeri 2-0.i diyebiliriz ama.

haliyle ilk kalın harflerle yazdıgım cift dereceli denklemler icin gecerlidir... (denklem dendigine dikkat ediniz.)

kompleks sayılarda tanım yaparken cisim genislemesi tanımı yapılırken yine denklem kok iliskisinden bahsederiz... yani i sayısı x^2+1 denkleminin kokudur diyerek yola cıkarız.

dolayısıyla ikinci kalın harflerle yazdıgımızda dogrudur. 2. derece denklemin 2 koku vardır.

tum bunlar ısıgında (-1)^2/3 sayısının esiti 1 dir.

(-4)^1/2 sayısının esitini bulmak icin kompleks yazmalıyız. (4cis(180+2k.pi))^1/2=2cis(90+k.pi) olur.

bu tip sorularda uste kesir genislemesi yapıp negatiflikten kurtulma gibi olaylara giriliyorki yanlıstır. us rasyonel olmalıdır... derim ben...

 

 

 

--
Farkli Olmak İstiyorsan FARKLİ Ol...

[ibrahim kuscuoglu]

Benzer bir yaklaşımı Alparslan Ceran yapmıştı.(Son maile istinaden yazdım bunu.Hasan Yaşayacak)
Son durumda karşılaşılan sorun şu -4 sayısının karekökü dediğimizde aslında karesi -4 olan sayıyı sormaktamıyız? Bu sorunun yanıtını karşılarsak sorunun bir kısmını çözmüş olacağız. 
İkinci olarak -4 sayını reel aldığımızda -4 ün karekökü yoktur demek ne kadar doğrudur ? yada -4 sayının gerçel sayılara da karekökü yoktur demekle,  var ama karmaşık sayıdır ve -4'ün karekökü 2i ile -2i dir demek bizi kuramda bir çelişkiye götürürmü?
Bunu neden diyorum? örneğin birinci dereceden denklemin en çok bir kökü vardır.
x+kök(-4)=0 denkleminin karmaşık sayılarda en çok bir kökü olması gerekirken neden iki kökünün olduğunu anlamamız gerekiyor. Eğer kök(-4)  ya 2i yada -2i dersek birinci dereceden x+kök(-4)=0 denklemin nasıl iki kökü olur? Yada bizler kök denilen işlemin matematiksel anlamda  anlattığı şeyi iyi kavrayamıyormuyuz? Yada anlatamıyormuyuz?

[bora]

sorun iki eksi sayının çarpımının poztif olmasından kaynaklanıyor,
değiştirin çarpım tanımını ne sorun kalır ne de karmaşık sayılar diye
birşey kalır, -4 ile 4 arasında mutlak değer olarka bir fark yok yön
farkı var iken - sayıların kökleri tanımlı olsun diye zoraki ortaya
çıkarılan bir yapıdır karmaşık sayılar......
100 sene sonra karmaşık sayılar diye birşeyle uğraşmamıza insanlar
gülecek diye düşünüyorum:))
benim fikrim tabi........

[hasan yasayacak]

-4 un karekoku dendiginde, karesi -4 olan sayıyı sormuyoruz hocam... x^2+4=0 denklemini saglayan sayıları bulurken karesi -4 olan sayıları arıyoruz...

soyle bir ornek verelim... 3^2+1 sayısının esiti nedir? matematiksel islemler sonucunda 9 sayısına ulasırız... bir bakıma 9 un farklı bir gosterimidir bu.

4 un karekoku 2 dir... yada kok 4 sayısının esiti 2 sayısıdır... bitti... ama sunu diyebilirsiniz; 4 un karekoku 2+0.i ile 2-0.i dir. 2 nin farklı bir gosterimi kok4'dur.

 bu baglamda -4 un karekoku kactır derken buna esit olan sayıyı arayacagız... karekok alma islemi yapacagız... bakın gecen esitsizliklerle ilgili bir tartısma vardı...

ornek: 1<x+y<5 ve -2<x<2 ise y'nin aralıgı nedir? su mantıkta dusunsek yanlıs olurmu? acaba y ne olsunda x ile esitsizlik toplamına gidersek x+y aralıgını versin... bence sorun yok gibi... ama bu mantıkla 3<y<3 sonucuna ulasırızki yanlıs cevap. dogrusu - ile carpıp toplamaktır... denklem cozmenin yolu budur...

buna benzer olarak kok alıyorsak kok alacagızdır... karesi -4 olan sayılar nelerdir diyerek yola cıkarsak karesi -4 olan sayıları bulmus oluruz...  o islem kare alma islemidir...

ozetle karesi -4 olan sayıları aramakla, -4 un karekokunu aramak farklı seylerdir... derim ben...

bu tur bir konu acıp beyin fırtınası yasattıgınız icin ayrıca tesekkur ederim ibrahim hocam... dusuncemizdeki yanlısları gorme acısından, yada hic dusunmedigimiz bir konuyu dusundurdugunuz icin muderrislik gorevinizi yerine getiriyorsunuz..:)

[TAMER]

Saygılar

[ibrahim kuscuoglu]

yıllardır benim de anlatmak istediğim de tam olarak bu.

27.08.2007 tarihinde TAMER <guc...@gmail.com> yazmış:

Saygılar

[Saygın Dinçer]

Basit bir soru z bir karmaşık sayı olsun. "z'nin kare köklerini bulun" sorusu yanlış bir soru mudur?

[Tamer]

Bu açıklamalara göre evet!

On 27 Ağustos, 22:31, "Saygın Dinçer" <sayken.say...@gmail.com> wrote:
> Basit bir soru z bir karmaşık sayı olsun. "z'nin kare *köklerini* bulun"

> sorusu yanlış bir soru mudur?
>
> 27.08.2007 tarihinde ibrahim kuscuoglu <ide...@gmail.com> yazmış:
>
>
>
> > yıllardır benim de anlatmak istediğim de tam olarak bu.
>

> > 27.08.2007 tarihinde TAMER <guck...@gmail.com> yazmış:
>
> > > Saygılar

[Saygın Dinçer]

Tamer hocam bir karmaşık sayının kare kökü sorulamaz fakat kare kökleri sorulabilir. Bundan dolayı C de kare kök fonksiyonu yoktur. Gönderdiğiniz açıklamada anlatılan budur.

[Cahit Kayaer]

Aynı olay işlem konusu içinde geçerlidir.... 

[hasan yasayacak]

3^2+1=10... :)) 9 etmez...

iyi bir matematikci 4 islemi yapaz deyip kıvıracam ama... ortada 4 islem bile yok... :))

[hasan yasayacak]

universitedeki arkadasa sordum... eky hocanın verdigi fonksiyon icin, sabit fonksiyondur ve sureklidir diyor...