Lineer Bağımlılık (Baran Deniz Hocamın sorusu üzerine)

[Muharrem Şahin]

Bir vektör uzayını germe üzerine sorulara verebildiğim cevaplarım:

"Germe" sözcüğü, İngilizce "span" sözcüğünün

karşılığı olarak getirilmiştir.

"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"

anlamlarına gelir.

I.

v = k.v1

eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,

v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.

Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,

(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.

- bu bir boyutlu uzayın her noktası  v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.

- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.

- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.

II.

v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.

Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.

v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.

Bu durumda "k.v1" ve  "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.

"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer

tabanı (birer bazı) olurlar.

Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye

sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.

Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"

ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye 

- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak -  "taban" denmez.

{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;

 {v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.

III.

  

v1 = (x1,y1) ve v2 = (x2,y2) vektörleri doğrusal bağımsız ise

-yani 1. dereceden bir denklemle aralarında bir bağıntı kurulamıyorsa-

R^2 nin her noktasını,  v = k1.v1 + k2.v2  eşitliğindeki k1 ve k2

kat sayılarına uygun değerler vererek elde edebiliriz.

Bu durumda, R^2 nin elemanlarından kurulu {v1, v2, v3} gibi,

ikiden fazla elemanlı her kümenin doğrusal bağımlı olacağı açıktır.

IV.

v1 = (x1,y1,z1) ve v2 = (x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımsız ise 

tüm "k1.v1 + k2.v2" vektörlerinin kümesi, yine 2 boyutlu bir uzaydır.

{v1,v2} kümesi yine 2 boyutlu bir uzayı gerer.

Bu 2 boyutlu uzay R^2 değil, R^3 'ün bir alt uzayıdır.

Yani; 3 boyutlu uzaydaki konumu bilinen bir düzlemdir.

Bu durumda, {v1,v2,v3} kümesi doğrusal bağımlı da olabilir, bağımsız da.

Genel olarak; n boyutlu uzayın vektörlerinden oluşan n+1 elemanlı

bir küme kesinlikle doğrusal bağımlı olur.

V. 

1. v = (4) vektörü bir boyutlu uzayın sıfırdan farklı bir vektörüdür.

-Bu vektör, 1 boyutlu uzayın bir tabanıdır.

- (4) vektörü, içinde bulunduğu uzayı gerer. 

2. v = (1,2) vektörü iki boyutlu uzayın bir vektörüdür.

Tüm "k.v" vektörlerinin kümesi R^2 nin bir alt uzayı olan

1 boyutlu bir uzayı gerer.

{(1,2)} kümesi, içinde bulunduğunu bildiğimiz uzayı germez.

Şöyle söyleyelim:

v = (1,2) vektörü, içinde bulunduğu 2 boyutlu uzayı germez;

bunun bir alt uzayını gerer.

3.  v1 = (1,3) ve v2= (2,-1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin

içinde bulunduğu uzayı gerer.  (v1 ve v2 doğrusal bağımsız olduğu için)

4.  v1 = (1,3) ve v2 = (2,6) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde bulunduğu

iki boyutlu uzayı germez. R^2 nin bir alt uzayını gerer.

5.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (-2,0,4) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu 3 boyutlu uzayı germez. R^3 ün 1 boyutlu bir alt uzayını gerer.

6.  v1 = (1,0,-2) ve v2 = (2,3,1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde

bulunduğu R^3 uzayını germez. R^3 ün 2 boyutlu bir alt uzayını gerer.

7.  v1 = (1,2,3),  v2 = (2,-1,0),  v3 = (0, -2, 1),  v4 = (-1,3,-2) olmak üzere

{v1,v2,v3} kümesi R^3 uzayını gerer.

{v1,v2,v3,v4} kümesi R^3 uzayını gerer. 

Önceki açıklamalarım da yararlı olabilir:

1. R^2 nin bir bazı olarak e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörleri alınabileceği gibi;

    v1 = (2,4) ve v2 = (-1,1) vektörleri de alınabilir. 

   Herhangi bir (x,y) noktasını x.e1 + y.e2 toplamı ile gösterebileceğimiz gibi;

   a.v1 + b.v2 toplamı ile de elde edebiliriz.

2. Koordinat eksenleri dik olmak zorunda değildir.

    Örneğin; doğrusal bağımsız vektörlerden,

    v1 = (2,4)'ü taşıyan doğru x ekseni,

    v2 = (-1.1)'i taşıyan doğru y ekseni olarak alınabilir.

    Böyle bir koordinat sisteminde her bir (x,y) noktası

    x.v1 + y.v2 toplam vektörünün gösterdiği bir vektöre

    karşılık gelir.

3.  (2,4) = k.(1,2) eşitliğini sağlayan bir k değeri var 

    olduğundan (2,4) ve (1,2) vektörleri lineer bağımlıdır.

    (2,4) = k.(3,1) eşitliğini sağlayan bir k değeri  

    bulunmadığından (2,4) ve (3,1) vektörleri lineer bağımsızdır.

    a.(2,4) + b.(3,1) = (-1,-7) eşitliğini sağlayan a ve b değerleri

    bulunabileceğinden (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri lineer bağımlıdır.

4. R^2 uzayının her (x,y) noktası 

   (x,y) = a.(2,4) + b.(3,1) toplamı ile elde edilebileceği gibi,

   (x,y) = c.(2,4) + d.(3,1) + e.(-1,-7) toplamı ile de elde edilebilir.

   (2,4), (3,1) vektörleri R^2'yi gererler. Bunlar lineer bağımsız 

   olduğundan bir baz oluştururlar.

   (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri de R^2 uzayını gererler. Ancak;

   bunlar lineer bağımlı olduklarından bir baz oluşturmazlar.

   Bunlara "üreteç" denir. "Baz" denmez.

[Muharrem Şahin]

"Vektörlerin doğrusal bağımlı olması"

sadece "paralel olmaları" demek değildir.

Karışıklık "doğrusal" sözcüğünden kaynaklanıyor.

Buradaki "doğrusal", "bir doğru üzerinde olma"

anlamında değil; 

"birinci dereceden denklemlerle birbirine bağlı olma" anlamında.

Örneğin; ax + by + cz = d eşitliği x, y, z arasında doğrusal bir bağıntıdır.

Aynı şekilde; 

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0 eşitliği v1,  v2,  v3 vektörleri arasında doğrusal

bir bağıntıdır. v1,  v2,  v3 vektörleri bu doğrusal bağıntı ile birbirlerine bağlı ise

"bu vektörler doğrusal bağımlıdır." deriz.

...

Şunu da belirtmek gerek:

"Vektör uzayı" kavramı programın dışında kalır.

Biz, temel kavramların bizi zorladığı kadarına giriyoruz. 

"Vektör uzayı" kavramı, bildiğimiz vektörleri de

kapsayan daha üst bir kavramdır.

Nokta kümelerinin dışındaki kümeler de

vektör uzayı kurallarına uyabilir.

Bunun yanında, her nokta kümesi de

bir vektör uzayı oluşturmaz.

Örneğin; R^2 de orijinden geçen her doğrunun

noktalarının kümeleri birer vektör uzayı olduğu halde,

orijinden geçmeyen doğruların noktalarının

kümeleri birer vektör uzayı değildir.

Aynı şekilde; R^3 te orijinden geçen doğru ve

düzlemlerin noktalarının kümeleri birer vektör uzayıdır.

Geçmeyenlerinki değildir. 

--------------------------------------------------------------

k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 + ... + kn.vn = 0 eşitliği 

k1, k2, k3,...,kn reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanıyorsa 

v1, v2, v3,...,vn vektörleri doğrusal bağımlıdır. 

"Doğrusal bağımlılık", "paralellik"le açıklanan bir kavram değildir.

Vektör sayısı 2 olduğunda, "paralellik" tanımın sonucu olarak gelir.

Üç vektörün doğrusal bağımlı olması, onların aynı düzlemde

olması sonucunu getirir.

-------------------------------------------------------------

Vektörlerin paralelliği ile doğruların paralelliği 

biraz farklıdır.

Vektörlerde paralellik, çakışıklığı da kapsar.

Bu yüzden, "vektörlerin paralelliği" için,

"aynı doğrultuda olma" terimini kullanmak daha doğru olur.

"Vektör" bir geometrik şekil değildir. 

Geometrik şeklin üzerinde bir kavramdır.

Paralel iki doğru, konumları belirli birer noktalar kümesidir.

Dolayısıyla; paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

"Paralel iki vektör" denildiğinde belirli konumlar verilmiş olmaz.  

----------------------------------------------------------------

"Germe" sözcüğü ile karşılanan "span" sözcüğü, aynı zamanda,

isim olarak "bir köprünün ardışık iki ayağı arasındaki kısmı";

fiil olarak da "köprünün iki ayağı arasındaki kısmının inşası"

anlamına gelir.

Sanıyorum; bu anlamı ile "bir vektör uzayının tabanı",

"bu tabanlar üzerine vektör uzayının kurulması" 

kavramları ile daha uyumlu olur.

Bir uzayı üreten lineer bağımsız vektör sayısına

o uzayın boyutu denir.

(x1, x2, x3, x4)  dört boyutlu uzayın bir noktasıdır.

{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}  kümesi 

bu uzayın bir tabanıdır.

Dikkat edilirse; 4 tane doğrusal bağımsız vektörden oluşur. 

------------------------------------------------------------------------

Vektörlerin paralelliği ile doğruların paralelliği 

biraz farklıdır.

Vektörlerde paralellik, çakışıklığı da kapsar.

Bu yüzden, "vektörlerin paralelliği" için,

"aynı doğrultuda olma" terimini kullanmak daha doğru olur.

"Vektör" bir geometrik şekil değildir. 

Geometrik şeklin üzerinde bir kavramdır.

Paralel iki doğru, konumları belirli birer noktalar kümesidir.

Dolayısıyla; paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

"Paralel iki vektör" denildiğinde belirli konumlar verilmiş olmaz.  

30 Eylül 2013 12:09 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[Barış DEMİR]

Tabii müfredatta olmamasına rağmen, bazı özensiz kaynaklar hala bu tür taban oluşturma, baz oluşturma gibi konulara değindiğinden öğretmen arkadaşlarımız ister istemez öğrencilerden gelen bu tür kaynaklı sorulara cevap vermek durumunda kalabiliyorlar.
Verdiğiniz doyurucu açıklamalardan dolayı teşekkür ederim Muharrem hocam...

[Muharrem Şahin]

Sağ ol Barışcığım.

Baran Hocam, sadece lineer bağımlılığı sormuştu.

Daha önce bir araya topladığım için, hepsini gönderdim.

...

Lineer bağımlı vektörleri alt alta yazarak

oluşturacağımız matriste,

bazı satırları uygun sayılarla çarpıp

bir diğerine eklediğimizde

o satırı sıfır yapabileceğimiz için

matrisin determinantı sıfır olur.

Ekteki dosyada daha geniş açıklamalar var.

30 Eylül 2013 16:44 tarihinde Barış DEMİR <baris...@gmail.com> yazdı:

Tabii müfredatta olmamasına rağmen, bazı özensiz kaynaklar hala bu tür taban oluşturma, baz oluşturma gibi konulara değindiğinden öğretmen arkadaşlarımız ister istemez öğrencilerden gelen bu tür kaynaklı sorulara cevap vermek durumunda kalabiliyorlar.
Verdiğiniz doyurucu açıklamalardan dolayı teşekkür ederim Muharrem hocam...

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/groups/opt_out adresiniz ziyaret edin.