TMOZ'dan TMOZ'a -3 (Türev)

[Muharrem Şahin]

Sevgili Arkadaşlarım;

"TMOZ'dan TMOZ'a - 2" de verdiğim soruyu -hazırlayanın da

hoşgörüsüne güvenerek- şu biçimde versem daha doğru olur,

diye düşünüyorum:

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir 

f fonksiyonu her x, y gerçek sayısı için 

f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

bağıntısını sağlamaktadır.

f '(0) = 5 olduğuna göre, f(x) ifadesini bulunuz."

f fonksiyonunun R'den R'ye , z = f(t) 

biçiminde bir değişkenli bir fonksiyon 

olduğunu, benim gibi gözden kaçırmış olanlar

için bir kez daha belirteyim.

Verilen bağıntı, f fonksiyonun tanım kümesindeki

x, y ve x+y elemanlarının görüntüleri arasındaki

ilişkiyi belirtmektedir.

Bu ilişki her x ve y değeri için var olduğundan

bağıntıdaki x ya da y'den biri sabit, diğeri

değişken olarak alınabilir.

x sabit tutulduğunda iki tarafın y'ye göre türevleri arasında ve

y sabit tutulduğunda iki tarafın y'ye göre türevleri arasında

eşitlik korunacaktır.

Bu yaklaşımı, çözümlerde kullanacağız.

Bu soruyu dün gece arkadaşlarımız çözmüştü.

Az sonra; iki değişik yoldan çözümü göndereceğim.

Yeni sorumuzu da ekleyeceğim.

Aynı mesajda, takip edilmesinin zor olduğunu düşündüm.   

   

[Muharrem Şahin]

I. yol

f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy  ise

f '(x+y) = f '(x) + 2y ise   (İki tarafın x'e göre türevi alındı.)

f '(y) = f '(0) + 2y  ise      (x = 0 konuldu.)

f '(y) = 5 + 2y ise           ( f '(0) = 5 konuldu.)

f (y) = 5y + y^2 + c  ise  ( Türevi verilen fonksiyon bulundu.)

f (y) = 5y + y^2  ise        ( Verilen bağıntıda x = y = 0 konularak, f(0) = c = 0 olduğu görüldü.)

f (x) = 5x + x^2              (kuralı verilen fonksiyonun değişkeni istenilen her sembolle gösterilebilir.)

2. yol  

f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy  ise

f(x+y) - f(x) = f(y) + 2xy ise

[f(x+y) - f(x)]/y = f(y)/y + 2x  ise                 (İki taraf y ile bölündü.)

lim [f(x+y) - f(x)]/y = lim [f(y)/y + 2x]  ise  

y-->0                      y-->0

f '(x) = 2x + lim [f(y) - f(0)]/y   ise               (Türevin tanımı ve f(0) = 0 kullanıldı.)

                 y-->0 

f '(x) = 2x + 5  ise                                    (Türevin tanımı.)

f(x) = x^2  + 5x + c  ise                            (Türevi verilen fonksiyon bulundu.)   

f(x) = x^2 + 5x                                         ( f(0) = c = 0 )

[Muharrem Şahin]

Aşağıdaki soru daha önce gruba gönderilmişti.

Dün gece Özgür Yıldıran Hocam da gönderdi.

Barbaros Hocam, f(x) = k.x fonksiyonunun

verilen bağıntıyı sağladığını söylemişti.

Ama, henüz bir çözüm göremedim.

İlk mesajda verdiğim bilgilerle birlikte Barbaros 

Hocamın ip ucu da değerlendirilirse çözüm gelebilir.

İlgileneceklere yararlı olacağını düşünüyorum:

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f fonksiyonu her x , y gerçek sayısı için

x.f(x) + y.f(y) = (x-y).f(x+y) 

bağıntısını sağlamaktadır.

Buna göre; f '(2x) ifadesini f '(x) türünden bulunuz."

[erdal karaburun (Öğretmen)]

benzer şekilde hallolur sanırım...

4 Şubat 2012 00:58 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
Milli varlığımızın temelini;milli şuurda ve milli birlikte görmekteyiz.
Mustafa Kemal ATATÜRK

[Muharrem Şahin]

Erdal Hocam;

Biraz farklı gibi.

[hüseyin dağhan]

(x-y)f(x+y) kısmına takıldım...

(1) xf(x)+yf(y)=(x-y)f(x+y)   verilmiş
x yerine y , y yerine x yazalım
(2) yf(y)+xf(x)=(y-x)f(y+x)   elde ederiz.
(1) ve (2) den (x-y)f(x+y)=(y-x)f(y+x) elde ederiz.
Her x ve y için denildiğinden x ile y nin farklı olduğu durumlarda f(x+y)= - f(x+y) çıkar.
Bu durum f(x+y)=0 yani f(x)=0 anlamına gelir.
Sanırım soru
xf(x)+yf(y)=(x+y)f(x+y)  biçiminde sorulmalıymış.
Saygılarımla , herkese kolay gelsin.

[Muharrem Şahin]

Hüseyin Hocam;

Çok mahçup oldum.

Hatalı vermişim.

Doğrusu aşağıda.

Uyarınız için çok teşekkürler.

Sevgiler, saygılar.

 

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f fonksiyonu her x , y gerçek sayısı için

x.f(x) - y.f(y) = (x-y).f(x+y) 

[hüseyin dağhan]

Estağfurullah Muharrem hocam
Saygılarımla

4 Şubat 2012 14:33 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[hüseyin dağhan]

Bir yorumda bulunayım.
x.f(x) - y.f(y) = (x-y).f(x+y)  eşitliğini  sağlayan fonksiyon türlerinden biri f(x)=mx+n biçimindeki fonksiyonlardır.
Başka türler olup olmadığını bilmiyorum.
Saygılarımla.

[Muharrem Şahin]

Hüseyin Hocam;

Dediğiniz gibi, "fonksiyon tiplerini tahmin ve deneme"

bir yöntem olarak düşünülebilir.

Bunun dışında ne yapılabilir?

[barbaros gur]

Muharrem hocam ve Hüseyin hocam selam ve saygılar,

affınıza sığınarak üzerinde kafa yorduğunuz sorunuzun son halini yazabilirmisiniz.

teşekkürler.

4 Şubat 2012 18:23 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--
İradene hakim, vicdanına mahkum ol...

[hüseyin dağhan]

Barbaros hocam,
Saygılar.
Muharrem hocamın sorusu şöyle

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f fonksiyonu her x , y gerçek sayısı için

x.f(x) - y.f(y) = (x-y).f(x+y) 

bağıntısını sağlamaktadır.

Buna göre; f '(2x) ifadesini f '(x) türünden bulunuz."

---------
Benim yorumum

y sabit olmak üzere x e göre türev alalım
f(x) + xf ' (x) = f(x+y) +(x-y) f ' (x+y)
Her y için doğru olacağından y yerine x yazalım
f(x) + xf ' (x) = f(2x)
tekrar türev...
2 f ' (2x)= f ' (x) + f ' (x) +x f '' (x) biçiminde bir denklem geliyor.
Saygılarımla

[Muharrem Şahin]

Sevgili Barbaros;

Noktalı yerdeydi.

Şimdi yeniden oraya girebilir.:))

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f fonksiyonu her x , y gerçek sayısı için

x.f(x) - y.f(y) = (x-y).f(x+y) 

[barbaros gur]

evet , daha önce üzerinde durduklarımızdanmış, üşenmeyip verilen bağıntıyı sağlayan f(x) ler genellenebilirse,

sorun kalmaz.
Sevgiler.

4 Şubat 2012 18:41 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

[barbaros gur]

benzer bir tane, zamanında böyle çözmüşüz ama hata var mı acaba?

4 Şubat 2012 18:47 tarihinde barbaros gur <bhg...@gmail.com> yazdı:

[Muharrem Şahin]

Sevgili Barbaros;

Erdal Hocam da senin gönderdiğin sorunun

çözümünü göndermiş.

Ama; burada hem bağıntı hem de istenen farklı.

Erdal Hocama ayrıca yazacaktım;

Nefis bir limit - türev uygulaması yapmış.

Sonuca en kestirme yoldan ulaşabilme

söz konusu olduğunda, senin yaklaşımın da

benimki gibi.

Bu soruya da uygula bence.

Sevgiler.

[barbaros gur]

Sevgili hocam, sizin malumunuzdur ama takip edenler için yazıyorum, bu türden uğraşların öncesinde

sağlam bir fonksiyonel denklem çözme birikimi gerekir, diğer türlü buna benzer herhangi bir test sorusu için türevle filan uğraşmak

bana göre fantastik ve cidden ikinci plandadır, suya yazmaktan farksız olur. (size katıldığım nokta)

katkılarınız için teşekkür ederim.

4 Şubat 2012 19:37 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

[Muharrem Şahin]

Barbaros Hocam;

"TMOZ'dan TMOZ'a-2" başlığında da asıl amacım,

bu türden denklemleri kavramayı sağlamaktı.

Ama; başlangıçta soruların hatalı kurgulandıklarını

düşündüğüm için konu dağılmıştı.

Arkadaşlarıma, asıl söylemek istediğimi aktaramamıştım.

Bu soruda da aynı amacımı sürdürüyorum.

İlgili arkadaşlarım izliyorlardır sanıyorum.

Sevgiler.

Not: Sana ve ilgilenenlere bir Cumartesi eğlencesi: 

       Erdal Hocamın ve senin çözdüğün sorunun

       cevabını ben "x.f ''(x) = - f '(x) " olarak veriyorum.

       Bu durumda;

     - Ya bağıntı hatalı,

     - Ya ben hatalıyım,

     - Ya siz hatalısınız (bu değil.:)) )

     - Ya da hiçbir yerde hata yok.

Hangisi?

[Muharrem Şahin]

4 Şubat 2012 20:14 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

[özgür yıldıran(paradoks_78)]

x.f(x)-y.f(y)=(x-y)f(x+y) ise f'(2x)=?  her ikitarafı (x-y) ile bölersek  (x.f(x)-yf(y))/(x-y)=f(x+y)  limy->x  (x.f(x)-yf(y))/(x-y)=f(x+y) o/o belirsizliği gelir burdan l hospital uygulanırsa f(x)+xf'(x)=f(2x) olur.her iki tarafın türevi alınırsa f'(x)+f'(x)+x.f''(x)=f'(2x).2 olur.birazcık zorlanmakla beraber bu fonksiyonun f(x)=mx olduğunu görürsek ikinci türevi 0 ve istenen 2f'(x)=f'(2x).2 oldğu görülür

6 Şubat 2012 01:01 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--
Yanlış anlaşılmalara ve polemik oluşturacak durumlara meydan verecek mesajlardan kaçınalım lütfen...
 
EKLEDİĞİNİZ RESİMLERİN BOYUTLARINA LÜTFEN DİKKAT EDİNİZ!!!...
 
YOLLADIĞINIZ MESAJLARA LÜTFEN KONU BAŞLIĞI YAZINIZ!!!...
 
http://www.facebook.com/pages/Matematik-Geometri/150709609688?ref=mf

--





Ulubatlı Hasan Anadolu Lisesi  BURSA

[Muharrem Şahin]

"Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f fonksiyonu her x , y gerçek sayısı için

x.f(x) - y.f(y) = (x-y).f(x+y) 

bağıntısını sağlamaktadır.

Buna göre; f '(2x) ifadesini f '(x) türünden bulunuz."

Bundan sonraki  "TMOZ'dan TMOZ'a -4"

başlığında bu tip sorularla ilgili daha ayrıntılı

düşüncelerimi paylaşacağım.

Şimdilik bu soruya benim çözümlerimi vereyim:

I. yol

Verilen bağıntının iki tarafının x'e göre türevini alalım:

f(x) + x.f '(x) = f(x+y) + (x-y).f '(x+y)

Bu türev eşitliğinde y = x koyalım:

f(x) + x.f '(x) = f(2x) ise,

x.f '(x) = f(2x) - f(x)  olur.            (1)

Bir de y = -x koyalım:

f(x) + x.f '(x) = f(0) + 2x.f '(0) ise,

x.f '(x) = f(0) + 2x.f '(0) -f(x) olur.  (2)

(1) ve (2)'den

f(2x) - f(x) = f(0) + 2x.f '(0) -f(x) ise

f(2x) = f(0) - 2.f '(0).x ise

f(t) = -2.f(0).t + f(0) ise

f(t) = m.t + n bulunur.

f '(t) = m olacağından

f '(2a) = f '(a) olacaktır.

II. yol

Verilen bağıntının iki tarafının x'e göre türevini alalım:

f(x) + x.f '(x) = f(x+y) + (x-y).f '(x+y)

Bu türev eşitliğinde iki tarafın y'ye göre türevini alalım:

0 = f '(x+y) - f '(x+y) + (x-y).f ''(x+y) ise

f ''(x+y) = 0 ise

f ''(t) = 0 olur.

Bu bize f '(x) in sabit olduğunu gösterir.

Öyleyse;

f '(2a) = f '(a) olacaktır.

İlgilenenlerin dikkatine sunuyorum.

 

[Muharrem Şahin]

Fatih Kaya Hocam

ve diğer merak edenler için güncelliyorum.

[YYılmaz]

Muharrem hocam merhabalar,

son çözümünüzdeki 2. yolda

x e göre türevli bir fonksiyonun

y ye göre türevini aldığımızda fonksiyonun 2. türevini mi bulmuş oluyoruz.(bu durumda x = y  almış olmuyor muyuz)

Teşekkürler

[Y Yılmaz]

https://groups.google.com/forum/?hl=tr&fromgroups=#!category-topic/tmoz/6QMu-ubWkgo

[Muharrem Şahin]

Evet, Yalçın Hocam.

x'e göre türev eşitliğinin y'ye göre türevi,

f nin 2. türevi oluyor.

Çok ince bir ayrıntıyı yakalamışsın.

Bu bize, ne kadar özgür davranabileceğimizi de

gösteriyor.

Örneğin;

f(x) = x^2 den

f(x+y) = x^2 + 2xy + y^2

üzerinde görebilirsin.

Sevgiler. 

[Y Yılmaz]

Teşekkürler  saygıdeğer hocam.