Özdeş nesnelerin dağıtımı - Paylaşım

[Muharrem Şahin]

Örnek Problem

3 özdeş kitap 3 özdeş kutuya birer birer rastgele dağıtılacaktır.

Kitaplardan ilki rastgele bir kutuya konulacak, kutu kapatılacak; sonraki kitap yine 3 kutudan rastgele birine konulacaktır.

a. Yalnız bir kutunun boş kaldığı kaç farklı dağıtım yapılabilir?

b. Yalnız bir kutunun boş kalması olasılığı kaçtır?

                                              Muharrem Şahin

Çözüm

a. Kutular A, B, C; kitaplar a, b, c olsun.

(abc,0,0) biçiminde C(3,1) = 3 değişik dağıtım;

(ab,c,0) biçiminde C(3,1).3! = 18 değişik dağıtım;

(a,b,c) biçiminde 3! = 6 değişik dağıtım yapılabilir.

Bu değişik dağıtımların her değişik türü bize 1 tane olarak görünür.

b. Tüm dağıtımların sayısı, 3^3 = 27’dir.

İki kutunun boş kalması olasılığı, 3/27 = 1/9;

Yalnız bir kutunun kutunun boş kalması olasılığı 18/27 = 2/3;

Hiçbir kutunun boş kalmaması olasılığı 6/27 = 2/9 bulunur.

--

.

[Muharrem Şahin]

3 kitaptan her birinin, eş olasılıkla, 3 kutuya rastgele dağıtılacağı varsayımıyla:

İlk kitap herhangi bir kutuya gidecek (bunun olasılığı 1)

İkinci kitabın ilkiyle aynı kutuya gitme olasılığı: 1/3

Üçüncü kitabın ilkiyle aynı aynı kutuya gitme olasılığı: 1/3

O halde, 3 kitabın da aynı kutuya gitme olasılığı (1/3)·(1/3) = 1/9

Bu, aynı zamanda, dağıtımdan sonra 2 boş kutu kalma olasılığıdır.

Yine ilk kitap rastgele bir kutuya gittikten sonra,

İkinci kitabın ilkinden farklı bir kutuya gitme olasılığı: 2/3

Üçüncü kitabın ilk ikisinden farklı (yani kalan boş) kutuya gitme olasılığı: 1/3

O halde, 3 kitabın her birinin farklı kutulara gitme olasılığı: (2/3)·(1/3) = 2/9

Bu, aynı zamanda, dağıtımdan sonra boş kutu kalmama olasılığıdır.

Geriye, dağıtımdan sonra yalnızca 1 kutunun boş olması durumu kaldı. Bunun da olasılığı,

1 - 1/9 - 2/9 = 2/3 olur. Nejat Aydın Hocamızın çözümü.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 8 Mar 2025 Cmt, 15:23 tarihinde şunu yazdı:

--

.