Döndürme sorusu

[Esat KUMRU]

  Bu gün " x-y+4=0 doğrusunun orjin etrafında 45 derece döndürülmesi ile elde edilen denklemi bulunuz" şeklinde bir soruyu çözerken önce formülden giderek çözdüm. Herhangi bir A(x,y) noktasının orjin etrafında alfa derece döndürülmesi ile elde edilen B noktası (x.cosalfa-y.sinalfa, x.sinalfa+y.cosalfa) dır mantığı ile x yerine x.cos45-y.sin45   ve y yerine de x.sin45+y.cos45 yazdım. y=2kök2 doğrusu çıktı. Ama eksenleri kestiği noktaları aynı formülle döndürerek yapınca x+2kök2=0 çıkıyor ve doğrusu da bu. Sizce ilk çözümde sorun nerededir?

[Muharrem Şahin]

Problem

"d: x-2y-2 = 0 doğrusunun

orijin etrafında 

pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle 

elde edilecek doğrunun denklemini yazınız."

Çözüm

d doğrusu üzerindeki bir nokta P(x,y),

P nin pozitif yönde 90 derece döndürülmüşü P'(x',y') olsun.

x' = -y ve y' = x  olur.

x = y' ve y = -x' olup bu değerler d nin denklemini sağlar.

d': y'+2x'-2 = 0 olur.

Koordinat sistemi aynı kalacağından üsler atılır:

d': y+2x-2 = 0  elde edilir.  

...

Problem

"G: y = f(x) eğrisinin

orijin etrafında 

pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle 

elde edilecek eğrinin denklemini yazınız."

Çözüm

G eğrisi üzerindeki bir nokta P(x,y),

P nin pozitif yönde 90 derece döndürülmüşü P'(x',y') olsun.

x' = -y ve y' = x  olur.

x = y' ve y = -x' olup bu değerler, y = f(x) denklemini sağlar.

-x' = f(y')  denklemi bulunur.

Bu denklem P'(x',y') noktalarının sağladığı denklemdir.

P' noktalarının geometrik yeri olan G' eğrisinin denklemidir..

Koordinat sistemi aynı kalacağından üsler atılır:

G': -x' = f(y') ------>  G': x = -f(y)  elde edilir.  

...

Problem

G: y = f(x) eğrisinin

orijin etrafında 

pozitif yönde

a açısı kadar döndürülmesi ile 

elde edilecek eğrinin denklemini bulunuz.

Çözüm

G eğri üzerindeki bir nokta P(x,y) ve bunun dönme dönüşümü

altındaki görüntüsü P'(x',y') olsun 

Ix'I        Icosa    -sinaI    IxI

I  I =     I                  I  . I  I   ----------> x' = x.cosa - y.sina,   y' = x.sina + y.cosa 

Iy'I        Isina     cosaI    IyI

      IxI        Icosa     sinaI    Ix'I

=>  I  I =     I                  I  . I  I  -----> x = x'.cosa + y'.sina,    y = -x'.sina + y'.cosa

      IyI        I-sina    cosaI    Iy'I

Bu son x ve y değerleri, G: y = f(x) denklemini sağlar.

(x',y') ikilisinin sağladığı denklem bulunur.

Elde edilecek son denklem, G eğrisinin dönme dönüşümü altındaki görüntüsü olan

G' eğrisinin denklemi olur.

x', y' koordinatları aynı koordinat sisteminde olduğundan

üsler atılırsa,

G' eğrisinin xoy koordinat sistemindeki denklemi elde edilir. 

2 Ocak 2016 19:12 tarihinde Esat KUMRU <esat...@gmail.com> yazdı:

  Bu gün " x-y+4=0 doğrusunun orjin etrafında 45 derece döndürülmesi ile elde edilen denklemi bulunuz" şeklinde bir soruyu çözerken önce formülden giderek çözdüm. Herhangi bir A(x,y) noktasının orjin etrafında alfa derece döndürülmesi ile elde edilen B noktası (x.cosalfa-y.sinalfa, x.sinalfa+y.cosalfa) dır mantığı ile x yerine x.cos45-y.sin45   ve y yerine de x.sin45+y.cos45 yazdım. y=2kök2 doğrusu çıktı. Ama eksenleri kestiği noktaları aynı formülle döndürerek yapınca x+2kök2=0 çıkıyor ve doğrusu da bu. Sizce ilk çözümde sorun nerededir?

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/2703f3ce-b9cf-42b8-a22b-5994715df741%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Esat KUMRU]

Hocam çok teşekkür ederim.

[Burak Ugar]

Sayın Muharrem Hocam,

"G: y = f(x) eğrisinin

orijin etrafında 

pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle 

elde edilecek eğrinin denklemini yazınız."

 

bu probleme sayısal örneklerle desteklediğiniz bir problem daha örnek verirseniz çok memnun olurum.

Saygılar..

[Muharrem Şahin]

Problem

"d: x-2y-2 = 0 doğrusunun

orijin etrafında 

pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle 

elde edilecek doğrunun denklemini yazınız."

Çözüm

d doğrusu üzerindeki bir nokta P(x,y),

P nin pozitif yönde 90 derece döndürülmüşü P'(x',y') olsun.

x' = -y ve y' = x  olur.

x = y' ve y = -x' olup bu değerler d nin denklemini sağlar.

d': y'+2x'-2 = 0 olur.

Koordinat sistemi aynı kalacağından üsler atılır:

d': y+2x-2 = 0  elde edilir.  

...

Dönme dönüşümü

yalnız doğrulara değil,

her türden şekillere uygulanabilir.

Bu tür problemlerin

genel çözüm yöntemi,

en etkili çözüm yöntemidir.

Aşağıda veriyorum:

Problem

"G: y = f(x) eğrisinin

orijin etrafında 

pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle 

elde edilecek eğrinin denklemini yazınız."

Çözüm

G eğrisi üzerindeki bir nokta P(x,y),

P nin pozitif yönde 90 derece döndürülmüşü P'(x',y') olsun.

x' = -y ve y' = x  olur.

x = y' ve y = -x' olup bu değerler, y = f(x) denklemini sağlar.

-x' = f(y')  denklemi bulunur.

Bu denklem P'(x',y') noktalarının sağladığı denklemdir.

P' noktalarının geometrik yeri olan G' eğrisinin denklemidir..

Koordinat sistemi aynı kalacağından üsler atılır:

G': -x' = f(y') ------>  G': x = -f(y)  elde edilir.  

...

Problem

G: y = f(x) eğrisinin

orijin etrafında 

pozitif yönde

a açısı kadar döndürülmesi ile 

elde edilecek eğrinin denklemini bulunuz.

Çözüm

G eğri üzerindeki bir nokta P(x,y) ve bunun dönme dönüşümü

altındaki görüntüsü P'(x',y') olsun 

Ix'I        Icosa    -sinaI    IxI

I  I =     I                  I  . I  I   ----------> x' = x.cosa - y.sina,   y' = x.sina + y.cosa 

Iy'I        Isina     cosaI    IyI

      IxI        Icosa     sinaI    Ix'I

=>  I  I =     I                  I  . I  I  -----> x = x'.cosa + y'.sina,    y = -x'.sina + y'.cosa

      IyI        I-sina    cosaI    Iy'I

Bu son x ve y değerleri, G: y = f(x) denklemini sağlar.

(x',y') ikilisinin sağladığı denklem bulunur.

Elde edilecek son denklem, G eğrisinin dönme dönüşümü altındaki görüntüsü olan

G' eğrisinin denklemi olur.

x', y' koordinatları aynı koordinat sisteminde olduğundan

üsler atılırsa,

G' eğrisinin xoy koordinat sistemindeki denklemi elde edilir. 

...

Örnek

y = x^2 eğrisinin

pozitif yönde 45 derece döndürülmesiyle

elde edilecek eğrinin denklemini bulmak için

x yerine kök2/2.(x+y)

y yerine kök2/2.(-x+y) konulur. (Son açıklamaya göre.)

x^2+2xy+y^2+kök2.x- kök2.y = 0

[Muharrem Şahin]

Bir 

"yanlış anlama" borcum vardı.

Bir kısmını ödemek istedim.:)

16 Mart 2018 14:06 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:

--

.

[Burak Ugar]

Estağrufullah sayın hocam kimsenin kimseye bir borcu yok. Hepimiz birbirimize yardımcı oluyoruz. Teşekkür ederim örneğiniz için

Hürmetler..

2 Ocak 2016 Cumartesi 20:12:55 UTC+3 tarihinde Esat KUMRU yazdı: