Uzayda Vektörler
122 views
Skip to first unread message
Temel Gökçe
Aug 19, 2015, 2:51:43 PM8/19/15
to tmoz
Uzayda vektörler konusunu çalışırken Muharrem Şahin Hocam'ın müthiş anlatımını tekrar okudum.
Anlatırken her şeyi aşama aşama kurması konunun özünün anlaşılması açıdan çok etkili olmuş.
Bu söyleşinin herkes tarafından bir yerlere kaydedilmesi ve gerek duyulduğunda tekrar tekrar okunmasını tavsiye ediyorum.
Gruba yeni katılan arkadaşlar bu değerli bilgilerden mahrum kalmamalı.
Muharrem Hocam'a çok çok teşekkür ederim...
Muharrem Şahin:
Bir vektör uzayını germe üzerine sorulara verebildiğim cevaplarım:
karşılığı olarak getirilmiştir.
"Span" Türkçede isim olarak "karış", fiil olarak "karışlama"
anlamlarına gelir.
I.
v = k.v1
eşitliğinde, k reel sayısına sonsuz değişik değer verilerek,
v1 doğrultusundaki sayı doğrusunun her noktası elde edilebilir.
Bu sayı doğrusunun noktalarına karşılık gelen vektörlerin kümesi,
(Bir boyutlu vektör uzayı) bu v1 vektörü ile elde edilmiş olur.
- bu bir boyutlu uzay v1 vektörü ile üretilmiş olur.
- bu bir boyutlu uzayın her noktası v1 "karış"ı ile "karışlanmış" olur.
- v1 vektörü ile bu bir boyutlu uzayın her noktası taranmış olur.
- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayı germiş olur.
- v1 vektörü bu bir boyutlu uzayın bir "taban"ıdır. Bir "baz"ıdır.
II.
v1 ve v2 vektörleri doğrusal bağımlı olsunlar.
Örneğin; v1 = (1,2) ve v2 = (2,4) olsun.
v2 = 2.v1 olup vektörler doğrusal bağımlıdır.
Bu durumda "k.v1" ve "k.v2" uzayları aynı uzay olurlar.
"v1" ve "v2" vektörleri ayrı ayrı bu bir boyutlu uzayın birer
tabanı (birer bazı) olurlar.
Aynı bir boyutlu uzay, "k1.v1 + k2.v2" toplamında k1 ve k2 'ye
sınırsız sayıda değer verilerek de elde edilebilir.
Bu durumda da {v1,v2} kümesi aynı bir boyutlu uzayı "germiş"
ya da "üretmiş" olur. Ama; bu kümeye
- gereksiz eleman bulundurduğu için olacak - "taban" denmez.
{v1}, {v2}, {v1,v2} kümelerinden {v1} ve {v2} birer taban;
{v1,v2} ise sadece "üreteç"tir.
III.
v1 = (x1,y1) ve v2 = (x2,y2) vektörleri doğrusal bağımsız ise
-yani 1. dereceden bir denklemle aralarında bir bağıntı kurulamıyorsa-
R^2 nin her noktasını, v = k1.v1 + k2.v2 eşitliğindeki k1 ve k2
kat sayılarına uygun değerler vererek elde edebiliriz.
Bu durumda, R^2 nin elemanlarından kurulu {v1, v2, v3} gibi,
ikiden fazla elemanlı her kümenin doğrusal bağımlı olacağı açıktır.
IV.
v1 = (x1,y1,z1) ve v2 = (x2,y2,z2) vektörleri doğrusal bağımsız ise
tüm "k1.v1 + k2.v2" vektörlerinin kümesi, yine 2 boyutlu bir uzaydır.
{v1,v2} kümesi yine 2 boyutlu bir uzayı gerer.
Bu 2 boyutlu uzay R^2 değil, R^3 'ün bir alt uzayıdır.
Yani; 3 boyutlu uzaydaki konumu bilinen bir düzlemdir.
Bu durumda, {v1,v2,v3} kümesi doğrusal bağımlı da olabilir, bağımsız da.
Genel olarak; n boyutlu uzayın vektörlerinden oluşan n+1 elemanlı
bir küme kesinlikle doğrusal bağımlı olur.
V.
1. v = (4) vektörü bir boyutlu uzayın sıfırdan farklı bir vektörüdür.
-Bu vektör, 1 boyutlu uzayın bir tabanıdır.
- (4) vektörü, içinde bulunduğu uzayı gerer.
2. v = (1,2) vektörü iki boyutlu uzayın bir vektörüdür.
Tüm "k.v" vektörlerinin kümesi R^2 nin bir alt uzayı olan
1 boyutlu bir uzayı gerer.
{(1,2)} kümesi, içinde bulunduğunu bildiğimiz uzayı germez.
Şöyle söyleyelim:
v = (1,2) vektörü, içinde bulunduğu 2 boyutlu uzayı germez;
bunun bir alt uzayını gerer.
3. v1 = (1,3) ve v2= (2,-1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin
içinde bulunduğu uzayı gerer. (v1 ve v2 doğrusal bağımsız olduğu için)
4. v1 = (1,3) ve v2 = (2,6) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde bulunduğu
iki boyutlu uzayı germez. R^2 nin bir alt uzayını gerer.
5. v1 = (1,0,-2) ve v2 = (-2,0,4) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde
bulunduğu 3 boyutlu uzayı germez. R^3 ün 1 boyutlu bir alt uzayını gerer.
6. v1 = (1,0,-2) ve v2 = (2,3,1) vektörlerinin kümesi, bu vektörlerin içinde
bulunduğu R^3 uzayını germez. R^3 ün 2 boyutlu bir alt uzayını gerer.
7. v1 = (1,2,3), v2 = (2,-1,0), v3 = (0, -2, 1), v4 = (-1,3,-2) olmak üzere
{v1,v2,v3} kümesi R^3 uzayını gerer.
{v1,v2,v3,v4} kümesi R^3 uzayını gerer.
Önceki açıklamalarım da yararlı olabilir:
1. R^2 nin bir bazı olarak e1 = (1,0) ve e2 = (0,1) vektörleri alınabileceği gibi;
v1 = (2,4) ve v2 = (-1,1) vektörleri de alınabilir.
Herhangi bir (x,y) noktasını x.e1 + y.e2 toplamı ile gösterebileceğimiz gibi;
a.v1 + b.v2 toplamı ile de elde edebiliriz.
2. Koordinat eksenleri dik olmak zorunda değildir.
Örneğin; doğrusal bağımsız vektörlerden,
v1 = (2,4)'ü taşıyan doğru x ekseni,
v2 = (-1.1)'i taşıyan doğru y ekseni olarak alınabilir.
Böyle bir koordinat sisteminde her bir (x,y) noktası
x.v1 + y.v2 toplam vektörünün gösterdiği bir vektöre
karşılık gelir.
3. (2,4) = k.(1,2) eşitliğini sağlayan bir k değeri var
olduğundan (2,4) ve (1,2) vektörleri lineer bağımlıdır.
(2,4) = k.(3,1) eşitliğini sağlayan bir k değeri
bulunmadığından (2,4) ve (3,1) vektörleri lineer bağımsızdır.
a.(2,4) + b.(3,1) = (-1,-7) eşitliğini sağlayan a ve b değerleri
bulunabileceğinden (2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri lineer bağımlıdır.
4. R^2 uzayının her (x,y) noktası
(x,y) = a.(2,4) + b.(3,1) toplamı ile elde edilebileceği gibi,
(x,y) = c.(2,4) + d.(3,1) + e.(-1,-7) toplamı ile de elde edilebilir.
(2,4), (3,1) vektörleri R^2'yi gererler. Bunlar lineer bağımsız
olduğundan bir baz oluştururlar.
(2,4), (3,1), (-1,-7) vektörleri de R^2 uzayını gererler. Ancak;
bunlar lineer bağımlı olduklarından bir baz oluşturmazlar.
Bunlara "üreteç" denir. "Baz" denmez.
...
"Vektörlerin doğrusal bağımlı olması"
sadece "paralel olmaları" demek değildir.
Karışıklık "doğrusal" sözcüğünden kaynaklanıyor.
Buradaki "doğrusal", "bir doğru üzerinde olma"
anlamında değil;
"birinci dereceden denklemlerle birbirine bağlı olma" anlamında.
Örneğin; ax + by + cz = d eşitliği x, y, z arasında doğrusal bir bağıntıdır.
Aynı şekilde;
k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0 eşitliği v1, v2, v3 vektörleri arasında doğrusal
bir bağıntıdır. v1, v2, v3 vektörleri bu doğrusal bağıntı ile birbirlerine bağlı ise
"bu vektörler doğrusal bağımlıdır." deriz.
...
Şunu da belirtmek gerek:
"Vektör uzayı" kavramı programın dışında kalır.
Biz, temel kavramların bizi zorladığı kadarına giriyoruz.
"Vektör uzayı" kavramı, bildiğimiz vektörleri de
kapsayan daha üst bir kavramdır.
Nokta kümelerinin dışındaki kümeler de
vektör uzayı kurallarına uyabilir.
Bunun yanında, her nokta kümesi de
bir vektör uzayı oluşturmaz.
Örneğin; R^2 de orijinden geçen her doğrunun
noktalarının kümeleri birer vektör uzayı olduğu halde,
orijinden geçmeyen doğruların noktalarının
kümeleri birer vektör uzayı değildir.
Aynı şekilde; R^3 te orijinden geçen doğru ve
düzlemlerin noktalarının kümeleri birer vektör uzayıdır.
Geçmeyenlerinki değildir.
--------------------------------------------------------------
k1, k2, k3,...,kn reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanıyorsa
v1, v2, v3,...,vn vektörleri doğrusal bağımlıdır.
"Doğrusal bağımlılık", "paralellik"le açıklanan bir kavram değildir.
Vektör sayısı 2 olduğunda, "paralellik" tanımın sonucu olarak gelir.
Üç vektörün doğrusal bağımlı olması, onların aynı düzlemde
olması sonucunu getirir.
-------------------------------------------------------------
Vektörlerin paralelliği ile doğruların paralelliği
biraz farklıdır.
Vektörlerde paralellik, çakışıklığı da kapsar.
Bu yüzden, "vektörlerin paralelliği" için,
"aynı doğrultuda olma" terimini kullanmak daha doğru olur.
"Vektör" bir geometrik şekil değildir.
Geometrik şeklin üzerinde bir kavramdır.
Paralel iki doğru, konumları belirli birer noktalar kümesidir.
Dolayısıyla; paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
"Paralel iki vektör" denildiğinde belirli konumlar verilmiş olmaz.
----------------------------------------------------------------
"Germe" sözcüğü ile karşılanan "span" sözcüğü, aynı zamanda,
isim olarak "bir köprünün ardışık iki ayağı arasındaki kısmı";
fiil olarak da "köprünün iki ayağı arasındaki kısmının inşası"
anlamına gelir.
Sanıyorum; bu anlamı ile "bir vektör uzayının tabanı",
"bu tabanlar üzerine vektör uzayının kurulması"
kavramları ile daha uyumlu olur.
Bir uzayı üreten lineer bağımsız vektör sayısına
o uzayın boyutu denir.
(x1, x2, x3, x4) dört boyutlu uzayın bir noktasıdır.
{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} kümesi
bu uzayın bir tabanıdır.
Dikkat edilirse; 4 tane doğrusal bağımsız vektörden oluşur.
------------------------------------------------------------------------
Vektörlerin paralelliği ile doğruların paralelliği
biraz farklıdır.
Vektörlerde paralellik, çakışıklığı da kapsar.
Bu yüzden, "vektörlerin paralelliği" için,
"aynı doğrultuda olma" terimini kullanmak daha doğru olur.
"Vektör" bir geometrik şekil değildir.
Geometrik şeklin üzerinde bir kavramdır.
Paralel iki doğru, konumları belirli birer noktalar kümesidir.
Dolayısıyla; paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
"Paralel iki vektör" denildiğinde belirli konumlar verilmiş olmaz.
"Akıllılar hep kuşku içindeyken,aptallar küstahca kendinden emindirler."
BERTNARD RUSSELL
Y Yılmaz
Aug 19, 2015, 4:56:32 PM8/19/15
to tm...@googlegroups.com
Teşekkürler Muharrem hocam ve Temel hocam.
A B
Aug 19, 2015, 5:02:44 PM8/19/15
to tm...@googlegroups.com
Çok güzel İyi ki varsın Muharrem hocam Ellerinden öpüyorum.Matematiği üniversitede değil siz değerli hocalarım sayesinde gurupta öğreniyoruz Tekrar tekrar teşekkürler
19 Ağustos 2015 21:51 tarihinde Temel Gökçe <temel...@gmail.com> yazdı:
--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu http://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAKA3_-GupQqRDm_3LOQaHrObd86WaqLEB5Y4xaX0QgusPx3BUw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.
Muharrem Şahin
Aug 20, 2015, 11:26:51 AM8/20/15
to tm...@googlegroups.com
Temelciğim:
Bu güzel sunumun için çok teşekkürler.
Böyle değer verildiğini gördükçe
daha fazlasını verebilmek istiyorum.
Öpüyorum Temelciğim.
Yalçıncığım;
AB Hocam;
Sizleri de öpüyorum.
20 Ağustos 2015 00:02 tarihinde A B <matema...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAM%3D9mq5LCP23XptjKJSm_2sDv03UkArLY0UVxXkdDmj6YZ-3LA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
.
hakan bakırcı
Aug 20, 2015, 11:51:33 AM8/20/15
to tm...@googlegroups.com
Teşekkürler Temel hocam ve tabiki Muharrem hocam.
20 Ağustos 2015 08:26 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> yazdı:
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcP0_9%3DRpBZHAqaKqsy6rMxeSosfafDnj-BBEcF3CeCS-A%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Murat Çelikkaya
Aug 20, 2015, 2:30:29 PM8/20/15
to tm...@googlegroups.com
Çok teşekkür ederim Muharrem Hocam ve paylaşım için Temel Hocam.
Muharrem Hocam'ın bu kutsi ilim hizmetleri, insanlıktan nasibini almış herkese ışık tutup yollarını aydınlatacaktır.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAA_zXfiLJ-Q5oKnxY_tDPVnLuVNeyUkujoygv5autf40qmT_Jg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages