Aritmetica De Repetto 1 Libro Completo Pdf

[Tony Phan]

Tambin de la Aritmtica surgieron ms smbolos y expresiones a fin de simplificar nmeros, las ms conocidas son las races cbicas y cuadradas, las cuales les dan a un nmero una versin simplificada del mismo, son ideales para expresar nmeros complicados de leer, al resolver problemas matemticos.

Los orgenes de la aritmtica se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemtica misma, y de la ciencia en general. Los registros ms antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representacin numrica y calendarios.

Hay evidencias de que los babilonios tenan slidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmtica elemental hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de geometra y astronoma. Solo se puede especular sobre los mtodos utilizados para generar los resultados aritmticos, tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de ternas pitagricas, pero sin mostrar cmo se gener la lista.

Los antiguos textos Shulba-sutras (datados ca. 800 a. C. y 200 a. C.) recopilan los conocimientos matemticos de la India durante el perodo vdico; constan de datos geomtricos relacionados con la construccin de altares de fuego, e incluyen el problema de la cuadratura del crculo.

El sistema de numeracin egipcio, basado en fracciones unitarias, permita efectuar cuentas aritmticas avanzadas, como se muestra en papiros conservados como el Papiro de Mosc o el Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) que muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones, as como los problemas de determinar el volumen de una esfera o el volumen de una prmide truncada. El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 das del calendario egipcio, adems de ser el primer calendario solar conocido.

La aritmtica en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de las propiedades de los nmeros, y no inclua clculos prcticos; los mtodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta particularidad fue heredada a los europeos durante la Edad Media, y no fue hasta el Renacimiento que la teora de nmeros y los mtodos de clculo comenzaron a considerarse aritmticos.

Diofanto de Alejandra (siglo III d. C.), es el autor de Arithmetica, una serie de libros sobre ecuaciones algebraicas, donde por primera vez se reconoce a las fracciones como nmeros y se utilizan smbolos y variables como parte de la notacin matemtica; redescubierto por Pierre de Fermat en el siglo XVII. Las hoy llamadas ecuaciones diofnticas condujeron a un gran avance en la teora de nmeros.

Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de clculo para fines econmicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron seal de la importancia que tuvo la administracin incaica. Esto dot a los incas de una aritmtica sencilla pero efectiva para fines contables; basada en un sistema decimal, conocieron el cero y dominaron la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin.

La matemtica hind alcanz su madurez durante los siglos I al VIII, con el invento trascendental de la notacin posicional, empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeracin de base 10 (con diez dgitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, este no era posicional, ni posea el cero, el cual fue transmitido a occidente mucho ms tarde por los rabes, que le llamaban hesab, a travs de la Espaa e Italia medievales.

El sistema de numeracin decimal aparece ya en el Sryasiddhanta, pequeo tratado que data probablemente del siglo VI. Los trabajos matemticos de los hindes se incorporaron en general a las obras astronmicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Hacia 1150, Bhaskara escribi un tratado de aritmtica en el que expona el procedimiento del clculo de races cuadradas. Se trata de una teora de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geomtrica, como lo hacan los griegos, sino en una forma que se puede llamar algebraica.

En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este mtodo con admiracin, indicando no obstante que el mtodo indio iba ms all de esa descripcin. Las mltiples ventajas prcticas y tericas del sistema de notacin posicional con cero dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de la matemtica. Los modernos algoritmos de clculo fueron posibles gracias a la introduccin de los nmeros rabes y la notacin decimal posicional.

Tres distintos tipos de sistemas aritmticos se empleaban simultneamente alrededor del siglo X: la aritmtica por conteo con los dedos, con los numerales enteramente escritos en palabras, era el mtodo empleado por la comunidad mercantil; el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto rabe, provena de la matemtica babilnica y los matemticos del islam lo usaron principalmente para el trabajo astronmico; el tercer sistema fue la aritmtica de los numerales indios y las fracciones con valor posicional decimal.

El trmino aritmtica tambin hace referencia a la teora de nmeros, la cual desarrolla y profundiza las propiedades de los nmeros (enteros) relacionadas con su primalidad, divisibilidad y las soluciones de ecuaciones en los enteros; en particular, el teorema fundamental de la aritmtica y las funciones aritmticas se desarrollan dentro de este marco y este es el uso reflejado en A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport en frases como: "aritmtica de primer orden" o "alta aritmtica".

La teora de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas con los conjuntos infinitos, as como los problemas derivados de la nocin de cantidad infinitesimal, entre otros, llevaron a la llamada crisis de los fundamentos de la matemtica, a principios del siglo XX. En ese contexto, David Hilbert y otros matemticos colaboradores propusieron el llamado programa de Hilbert como respuesta al problema de los fundamentos. Dicho programa pretenda librar de paradojas el trabajo matemtico mediante la formalizacin y la axiomatizacin explcita de diversas ramas de la matemtica. En el caso de la aritmtica, ya Giuseppe Peano haba propuesto los llamados axiomas de Peano para la aritmtica. Estos axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podan ser formalizados en un sistema lgico de primer orden, aunque al principio no se pens que eso constituyera un problema, por lo que por algn tiempo se trabaj en la fundamentacin de la aritmtica y la teora de conjuntos usando lenguajes formales de primer orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufrira un revs importante cuando Kurt Gdel prob que la formalizacin de la aritmtica mediante un sistema de primer orden en el ms puro estilo del programa de Hilbert era problemtico.

En 1931, Kurt Gdel demostr sus dos famosos teoremas de incompletitud. El primer teorema se refiere a una axiomatizacin de la aritmtica como teora de primer orden, donde el conjunto de axiomas fuera recursivo (es decir, existiera un algoritmo que permitiera decidir en un nmero finito de pasos si una proposicin dada era o no un axioma, ya que la formalizacin requiere un nmero infinito de axiomas, todos ellos instancias de un nmero finito de esquemas de axioma). Este primer teorema demostraba que aceptando que dicha teora es consistente entonces necesariamente debe ser incompleta. Es decir, suponiendo que dicha teora no diera lugar nunca a contradicciones (consistencia) entonces siempre habra una proposicin tal que ni ella ni su contrario son demostrables. Asumiendo esta interpretacin, lo anterior se puede entender como que existen afirmaciones ciertas no deducibles dentro de la teora. Gdel demostr este teorema construyendo explcitamente una frmula, tal que ni esta ni su negacin fueran demostrables. El segundo teorema de Gdel es an ms ambicioso, Gdel prob que un conjunto de frmulas dentro de un lenguaje formal que formalizara la aritmtica poda "gdelizarse", es decir, representarse por un subconjunto de nmeros enteros, tal que a cada proposicin del conjunto corresponda un nico nmero y a cada nmero del conjunto corresponda una proposicin o frmula. Este teorema asevera que la consistencia de la propia aritmtica es indemostrable dentro de la aritmtica, ya que el conjunto de nmeros de Gdel asociado al conjunto de teoremas demostrables no era representable dentro de la teora como subconjunto recursivo.

Los teoremas de incompletitud tuvieron un efecto demoledor sobre el programa de Hilbert, por lo que se buscaron generalizaciones ms sofisticadas para formalizar la aritmtica. Si bien, puede construirse un lenguaje de primer orden para la aritmtica que sea consistente y completo, pero a condicin de introducir un nmero infinito de axiomas adicionales y sin que el conjunto aadido sea recursivo, lo cual carece de inters prctico ya que sera imposible describir explcitamente ese conjunto de axiomas mediante algn procedimiento algortmico razonable. Por esa razn, se comenz a trabajar sobre la construccin de sistemas para formalizar la aritmtica mediante lenguajes formales de segundo orden. Puede probarse que la llamada aritmtica de segundo orden completa, admite un nico modelo que en esencia puede identificarse con los nmeros naturales formalizados menos rigurosamente por los axiomas de Peano. Sin embargo, esa trivialidad del conjunto de modelos de la teora la hace poco interesante en muchos aspectos, es por esta razn por lo que se han buscado modelos de aritmtica de segunda orden lgicamente ms dbiles, con el fin de averiguar qu partes de la matemtica son formalizables utilizando un lenguaje formal ms restrictivo. En la actualidad, se han construido un cierto nmero de lenguajes de segundo orden para la aritmtica, y el estudio de los mismos es importante en la llamada matemtica inversa que busca averiguar cul es el sistema lgicamente ms restrictivo que permite formalizar ciertas reas de la matemtica.

c80f0f1006