Primero tienes que definir un poco mejor que es lo que quieres hacer, si la accion se completa de forma sincronica simplemente puedes usar un flashbag. Si la operacion se completa de forma asincronica ya tienen 2 opciones...
que tu mismo hagas un request luego de X tiempo longpooling o directamente un timer (simple), o que utilices notificaciones push de algun tipo para que el servidor se conecte con el cliente lo cual ya es un mundo aparte (muy dificil).
Suponiendo que quieras lo segundo tienes que investigar como implementar websockets si queres una solucion completa o sino algo que te recomienda symfony es Mercure.