Representacion Geometrica De Los Orbitales Atomicos S P D F
Theodora Glime
La topologa es un rea de las matemticas que, en definitiva, no se encuentraexplcita en el mapa curricular del qumico; no obstante, est implcita en unainfinidad de fenmenos de relevancia para las ciencias qumicas, desde laestructura de molculas sencillas, la racionalizacin de sus propiedadeselectrnicas mediante la distribucin espacial de sus orbitales frontera, laconformacin que adoptan las macromolculas y sus arreglos supramoleculares. Eneste trabajo se presenta el concepto de espacio topolgico como modelomatemtico de la estructura de un sistema molecular. Este modelo es unaherramienta que sirve como complemento a los mtodos mecanocunticos yproporciona al qumico informacin valiosa sobre la estructura molecularcontenida en el patrn de conectividad entre los tomos que forman a lamolcula. En esta contribucin se describe la construccin del modelo para elcaso de conjuntos discretos como antecedente al estudio del espacio topolgicopara caso continuo.
Topology is an area in mathematics that is not included in the courses of aChemistry student; although it is important for a variety of relevant chemicalsciences phenomena, such as simple molecular structures, the study of electronicproperties through the spatial distribution of the frontier orbitals, or themacromolecules conformations and their supramolecular arrangements. In thiswork, the concept of topological space is discussed as a mathematical model of amolecular system. This model is a complementary tool for methods of quantummechanics and provides valuable information about a molecular structure withinthe connectivity pattern between the atoms of the molecule. In thiscontribution, a model is built for the case of a discrete set as an antecedentfor the study of the topological space as a continuous case.
La solucin de muchos problemas que recaen en la aplicacin de la qumica, parte de la comprensin de la informacin estructural ponderando diferentes efectos estricos, electrnicos y geomtricos de las molculas involucradas. El qumico, en su necesidad de conocer y comprender la estructura molecular, construye modelos que buscan ser los ms apegados a la realidad y esta construccin juega un papel muy importante en la ciencia y la tecnologa. Los modelos abarcan desde construcciones fsicas a escala (maquetas y modelos moleculares) hasta construcciones abstractas conformadas por sistemas de ecuaciones (modelos matemticos). Un modelo cientfico es, necesariamente, una representacin simplificada de un fenmeno de inters en el que nicamente se toman en cuenta las propiedades que resultan relevantes y, por otro lado, se ignoran aquellas que complican de manera innecesaria la representacin (Suckling et al., 1978; Maksic, 1987); estos modelos se aplican para plantear relaciones entre la estructura de una molcula y propiedades asociadas a su reactividad o actividad biolgica. En general, la comprensin de los elementos que definen la estructura de la materia es un proceso complejo que conlleva el desarrollo de habilidades intelectuales que trascienden al conocimiento bsico que se puede obtener de cualquier libro de qumica a nivel universitario, donde, normalmente, se presenta una visin sencilla de la estructura de una molcula. En principio, la estructura molecular parte de su concepcin como una figura geomtrica dentro de un espacio bidimensional o tridimensional, en donde esta geometra nos permite estudiar las propiedades que se mantienen invariantes, para ello, a tales objetos geomtricos se les debe aplicar diferentes transformaciones como son: la rotacin alrededor de un eje, la reflexin a travs de un plano, la traslacin del origen de referencia, la multiplicacin por un nmero positivo (escalamiento) o bien, transformaciones obtenidas como resultado de la composicin de dos o ms de aquellas.
De esta manera, la topologa es una rama de las matemticas que tiene que ver con la nocin de cercana y continuidad entre objetos matemticos, de tal manera que aporta criterios para determinar si dos objetos son equivalentes o no, lo que se verifica mediante la idea de transformar uno en otro mediante transformaciones continuas llamadas homeomorfismos, estas transformaciones pueden tener ciertas propiedades, las cuales, de existir, se llamarn propiedades topolgicas, o invariantes topolgicos (Brown, 1864; Sylvester, 1878; Ayers et al., 2015).
En trminos simples, la topologa estudia las propiedades de ciertos objetos matemticos conocidos como espacios topolgicos, los que pueden imaginarse como objetos hechos de un material elstico ideal, en ese sentido, una banda elstica es, slo, un ejemplo de este tipo de objetos en nuestra experiencia cotidiana. Un objeto topolgico puede transformarse en otro mediante alargamientos y torsiones, siempre y cuando no haya rupturas, desconexiones y/o nuevas conexiones. De esta manera, un objeto simple como el etano (3) se concibe como un objeto con propiedades geomtricas bien definidas, sin embargo, desde su equilibrio conformacional, se pueden generar sus correspondientes representaciones topolgicas, siempre y cuando su conectividad se mantenga constante (Esquema 1). En la representacin de los espacios topolgicos del etano, se observa que, a todo punto de uno de los objetos le corresponde uno y slo uno del otro, y a dos puntos vecinos de uno, corresponden dos puntos vecinos en el otro; as, se dir que ambos objetos son topolgicamente equivalentes y las propiedades que se mantienen invariantes en ambos son sus propiedades topolgicas, o invariantes topolgicos, en consecuencia, en el caso de existir rupturas o desconexiones al transformar uno en otro, habra que aceptar que se trata de objetos topolgicamente no equivalentes (Mendelson, 1963; Prasolov, 2000).
En este sentido, el desarrollo de la teora cuntica y su uso para realizar una descripcin ms acertada del mundo de los tomos y molculas ha trado consigo la necesidad de agregar temas avanzados de anlisis funcional, teora de grupos, matemticas discretas, variable compleja, estadstica, probabilidad, y, finalmente, de topologa, tema de inters en este trabajo. Hoy en da, se reconocen muchos fenmenos cuya representacin a travs de objetos topolgicos puede ser sumamente til para describir relaciones a travs del espacio; por ejemplo, la distribucin de la densidad electrnica y su construccin, a partir de la simetra de los orbitales y de toda la qumica que se ha logrado desarrollar a partir de esta propuesta, ha permitido relacionar un mecanismo de reaccin con la concepcin de los orbitales moleculares. La construccin de objetos topolgicos adecuados para describir estos conceptos podra ayudar de manera significativa al qumico a continuar y ampliar su visin de fenmenos optoelectrnicos, de reactividad, etc. El objetivo de este trabajo es describir, de manera informal e intuitiva, cmo la topologa se utiliza en el estudio de molculas mediante el concepto de invariante topolgico en la frmula estructural de un compuesto. Lo anterior conduce a la topologa en espacios discretos, esto es, en conjuntos finitos cuyos elementos se pueden numerar o contar.
Un concepto bsico asociado a la qumica es el de frmula estructural o constitucional de un compuesto, la cual incluye informacin sobre la composicin y estructura molecular del mismo. En la frmula estructural, una molcula se representa como un conjunto de tomos identificados por letras en un arreglo espacial bien definido mediante lneas que indican los enlaces entre ellos; as, la frmula estructural tiene una representacin grfica conocida como estructura de Lewis (Prelog, 1975/76; Polansky, 1989; Diudea y Lorentz, 1999). Los qumicos orgnicos Couper, Butlerov y Kekul fueron los pioneros en representar un enlace covalente entre dos tomos como una lnea que une a dos puntos. De esta manera, es normal describir molculas sencillas mediante este tipo de representaciones; por ejemplo, a continuacin, se muestran las estructuras de Lewis del propano (4) y del ciclobutano (5) con sus respectivas representaciones conformacionales (Figura 2).
Si en una estructura de Lewis se hace caso omiso de la naturaleza de los tomos y del tipo de enlace entre ellos, se tiene un ejemplo de lo que, en matemticas discretas, se conoce como un grafo. Un grafo es un objeto matemtico que describe con lneas las interconexiones entre objetos. En el caso de las grficas de Lewis, los objetos son los tomos y las lneas son los enlaces qumicos; en la Figura 3, podemos ver los grafos de las molculas 4 y 5, respectivamente. Los grafos simplifican el esquema molecular, ya que slo muestran como propiedad relevante, la conectividad en la molcula, es decir, los enlaces qumicos entre los tomos, haciendo a un lado otras caractersticas estructurales tales como la geometra, la estereoqumica y la quiralidad.
El primero, V, es el conjunto de vrtices, mientras que el segundo, E, es el conjunto de lados que se definen como parejas no ordenadas de vrtices distintos. El tratamiento matemtico de los grafos se conoce en la literatura como teora de grafos.
A una frmula estructural molecular se le puede asociar de manera nica un grafo, si cada uno de los tomos de la molcula, sin importar su naturaleza, queda representado mediante un pequeo crculo, formando as el conjunto de vrtices del grafo, V, y el conjunto de lados, E, que es un conjunto de pares no ordenados de vrtices distintos que se representa como lneas o aristas que unen a cada par de tomos enlazados, es decir con cada enlace entre dos tomos distintos. En este contexto se dice que la frmula estructural de una molcula queda modelada mediante un grafo molecular completo (Figura 3).
Dos vrtices en el grafo se llaman adyacentes si son el par que define a un lado; de tal manera que el grado de un vrtice se define como el nmero de sus vrtices adyacentes y, dos lados se dicen adyacentes si tienen un vrtice comn. Tomando en cuenta que, una trayectoria, es una sucesin de pares de vrtices adyacentes distintos, es decir, una sucesin de lados distintos y el nmero de lados que la forman es la longitud de la trayectoria; entonces, un grafo se dice conexo si para cada par de vrtices en el grafo, existe por lo menos una trayectoria que une un vrtice con el otro.
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