Numeros Decimais
Macabeo Eastman
A leitura dos nmeros decimais feita pela unio da parte inteira do nmero (expressa antes da vrgula) e a quantidade de casas decimais (depois da vrgula) que corresponde a parte fracionria: dcimo, centsimo, milsimo, dcimo de milsimo, centsimo de milsimo, milionsimo, etc.
Operaes com nmeros decimais so muito presentes no dia a dia. Os nmeros decimais, que fazem parte do conjunto dos nmeros racionais, tm como principal caracterstica a representao de seus elementos na forma de frao, ou seja, todo nmero que pode ser escrito na forma de uma frao um nmero decimal. Como bem sabemos, esse conjunto numrico possui as quatro operaes bsicas bem definidas: adio, subtrao, multiplicao e diviso.
A fim de facilitar as definies que viro, a seguir estabelecemos algumas nomenclaturas. Um nmero decimal formado por sua parte inteira e pela parte decimal. A parte decimal organizada da seguinte maneira: dcimo, centsimo, milsimo, dcimo de milsimo, centsimo de milsimo e assim por diante.
A adio de nmeros decimais definida de maneira semelhante adio de nmeros inteiros, nessa operao devemos somar parte inteira com parte inteira, dcimos com dcimos, centsimos com centsimos, e assim sucessivamente. Em outras palavras, devemos colocar vrgula abaixo de vrgula, veja o exemplo.
A multiplicao entre dois nmeros decimais pode ser realizada de duas formas: podemos operar de maneira semelhante da multiplicao de dois nmeros inteiros, somando, ao final, a quantidade de casas decimais dos dois nmeros e colocando-as no resultado; ou podemos transformar os nmeros decimais em fraes e utilizar a multiplicao de frao.
Utilizando os dois mtodos, determine o produto entre 0,42 e 1,2. Antes de efetuar a multiplicao, perceba que 0,42 possui duas casas decimais e que o nmero 1,20 possui duas delas. A soma disso resulta em quatro casas decimais, ou seja, o resultado dever ter quatro casas decimais.
Existem duas formas de ler os nmeros decimais. Numa delas dizemos a parte inteira, depois a virgula e em seguida os dgitos da parte decimal, um a um. Por exemplo, o nmero 63,7295 lido assim: "Sessenta e trs virgula sete dois nove cinco".
Tambm comum agrupar os nmeros na parte decimal da forma que for mais adequada. Se eles estiverem em grupos de dois, so lidos assim: "sessenta e trs vrgula setenta e dois noventa e cinco".
Quando lemos um nmero decimal usando os valores posicionais, devemos mencionar primeiro a parte inteira e, em seguida, a parte decimal na sua totalidade, dizendo as menores partes contidas no nmero.
Tambm comum dizer a palavra inteiros para diferenciar mais claramente a parte inteira da decimal. O nmero 134,009823 lido assim: "Cento e trinta e quatro inteiros, nove mil oitocentos e vinte e trs milionsimos".
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Este tipo de decimais bem interessante: sua parte decimal no termina , infinita e alm disso, se repete da mesma forma periodicamente. Pense no nmero 0,11111 ..., onde os que esto na parte decimal continuam indefinidamente.
Este o tipo de decimal mais curioso. Eles possuem uma parte decimal que, alm de ser infinita, no se repete periodicamente. O mais impressionante que alguns destes nmeros esto intimamente relacionados a muitos fenmenos naturais e so usados em diferentes reas do conhecimento. Assim so os casos do pi (pi), razo entre a circunferncia e o dimetro de um crculo; e , em homenagem ao matemtico suo Leonhard Euler; ou varphi (fi), tambm conhecido como nmero de ouro e isso relaciona matemtica, biologia, arte e muito mais.
Estabelecer relaes de ordem entre os nmeros determinar qual deles maior e qual menor. J sabemos como estabelecer relaes de ordem entre nmeros naturais, inteiros e racionais. Agora veremos como fazer isso com os decimais.
Comeamos comparando cada valor posicional da esquerda para a direita. Isto significa que a prioridade est sendo dada aos mais significativos: aqueles que representam o maior nmero de unidades.
Novamente devemos comear da esquerda para a direita. Neste caso, os dois nmeros comeam nas unidades: cada um tem dois. Como este valor posicional no determinou qual o maior, continuamos com o prximo esquerda.
Esta pgina trata do estudo de fraes e nmeros decimais, bem como seus fatos histricos, propriedades, operaes e aplicaes. As fraes decimais e nmeros decimais possuem notria importncia cotidiana. Tais conceitos so usados em muitas situaes prticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar \(1/2\) kg de caf por 2,80 e pagando a compra com uma nota de 5,00, obtm-se 2,20 de troco. Neste exemplo, observamos o uso de fraes e nmeros decimais. Atravs deste tipo de compra, usamos o conceito de frao decimal juntamente com o sistema de pesagem (\(1/2\) kg, nmeros decimais juntamente com o sistema monetrio. Muitas outras situaes utilizam de fraes e nmeros decimais.
Em geral, os babilnios usavam fraes com denominador \(60\). Talvez o uso do nmero \(60\) pelos babilnios se deve ao fato que um nmero menor do que \(100\) com a maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fraes com denominador \(12\). Provavelmente os romanos usavam o nmero \(12\) por ser um nmero que embora pequeno, possui um nmero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notaes foram usadas para representar fraes. A atual maneira de representao data do sculo XVI.
Stevin (engenheiro e matemtico holands), em 1585 ensinou um mtodo para efetuar todas as operaes por meio de inteiros, sem o uso de fraes, no qual escrevia os nmeros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posio ocupada pela vrgula no numeral decimal. A notao abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemtico escocs.
Por muito tempo os nmeros decimais foram usados apenas para clculos astronmicos em virtude da preciso proporcionada. Os nmeros decimais simplificaram muito os clculos e passaram a ser usados com mais nfase aps a criao do sistema mtrico decimal.
Em geral, transforma-se uma frao decimal em um nmero decimal fazendo com que o numerador da frao tenha o mesmo nmero de casas decimais que o nmero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a diviso do numerador pelo denominador. Por exemplo:
Tambm possvel transformar um nmero decimal em uma frao decimal. Para isto, toma-se como numerador o nmero decimal sem a vrgula e como denominador a unidade (\(1\)) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero dado. Como exemplo, temos:
Como visto antes, se multiplicamos tanto o dividendo como o divisor de uma frao por 10, 100 ou 1000, o quociente no se altera. Usando essas informaes podemos efetuar divises entre nmeros decimais como se fossem divises de nmeros inteiros.
Por exemplo, para realizar a diviso: \(3,60,4\), notamos que tanto o dividendo como o divisor possuem apenas uma casa decimal, assim, multiplicando o numerador e o denominador da frao por 10, obtemos nmeros inteiros no numerador e no denominador da frao. Na prtica, dizemos que estamos cortando a vrgula.
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor um inteiro, logo multiplicamos ambos por \(100\) para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero inteiros.
Exerccio: Uma pessoa de bom corao doou \(35\) medidas de terra para \(700\) pessoas. Sabendo-se que cada medida corresponde a \(24.200\) metros quadrados, qual ser a rea que cada um receber?
Assim a diviso de 35 por 700 transformada numa diviso de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vrgula aps o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente fica dividido por 100.
Igualamos o nmero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessrios. Aps esta operao, temos dois nmeros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual o maior deles. Alguns exemplos, so:
Nmeros decimais so nmeros no inteiros que se usa uma vrgula, indicando que o algarismo a seguir pertence ordem das dcimas, os nmeros decimais podem ter um nmero finito ou infinito de casas decimais, podendo ser racional ou irracional. Os nmeros decimais tambm aparecem no dinheiro para representar os centavos.
Simon Stevin, engenheiro e matemtico holands, em 1585 elaborou um mtodo para efetuar operaes por meio de nmeros inteiros, sem o uso de fraes, no qual ordenava os nmeros naturais sobre os algarismos do numerador, o que indicava a posio a ser ocupada pela vrgula no numeral decimal.
Durante muito tempo os nmeros decimais foram empregados apenas para clculos astronmicos em virtude da preciso proporcionada. Esses nmeros simplificaram muito os clculos e passaram a ser usados com mais nfase aps a criao do sistema mtrico decimal.
Outra maneira de representar as dzimas peridicas sem utilizar os trs pontos ( . . . \displaystyle ... ), com um segmento de reta em cima do nmero que se repete, veja os exemplos de cima representados nessa forma:
Existe uma discuo que fala que a dzima peridica simples 0,999... igual a 1, Provas variadas dessa igualdade, com diferentes graus de rigor matemtico, tm sido formuladas, considerando-se, entre outros pontos essenciais, o desenvolvimento (e a apresentao) preferencial dos nmeros reais, os pressupostos bsicos, o contexto histrico e, tambm, o pblico-alvo. Assim, essa relao de identidade passou a ser acolhida e considerada pelos matemticos e, em consequncia, tem sido transmitida aos aprendizes, na dinmica didtico-pedaggica da matemtica. Leia mais sobre o assunto no artigo 0,999... na Wikipdia!
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