äärettömien joukkojen numerointi on ristiriitaista
Petri Keckman
kuin R.
Kaikki desimaalit pyöritetään ympäri 0..9 jolloin ne saa kaikki mahdolliset
arvonsa
ja kuviteltavana aikana ääretön olisi lueteltu kaikki reaaliluvut väliltä
0..1
Function n()
rivi = 0
For i3 = 0 To 9
For i2 = 0 To 9
For i1 = 0 To 9
If rivi <= 20 Or (rivi >= 100 And rivi <= 110) Or (rivi >= 500 And rivi <=
510) Then Debug.Print Format(rivi, "000"); ": 0."; Debug.Print Trim(i1);
Trim(i2); Trim(i3); Debug.Print "..."
End If
rivi = rivi + 1
Next i1
Next i2
Next i3
End Function
Olisi helppo tarvittaessa tehdä loopit, joissa ei tarvitse ennalta lyödä
lukkoon sitä että vain kaikki kolme ensimmäistä lukua saavat kaikki arvot
0...9
Siis kolme sisäkkäistä looppia, joissa kolme ensimmäistä desimaalia käy
kaikki arvonsa läpi...Voisin tosiaan tehdä vaikka konekielisien ohjelman
joka alkaisi tästä ikuisuuten tuottaa desimaalilukuja ja kuviteltavissa
olevassa pisteessa ääretön olisi tuottanut kaikki desimaaliluvut. Ja voisin
sen vielä todistaa matemaattis-loogisesti sillä olen käynnyt aikoinaan
kurssin nimeltä Science of programming, missä todistettiin ohjelmia
oikeiksi, jos sinun järkeäsi ei riitä tämän ajattelu vielä vakuuttamaan.
000: 0.000...
001: 0.100...
002: 0.200...
003: 0.300...
004: 0.400...
005: 0.500...
006: 0.600...
007: 0.700...
008: 0.800...
009: 0.900...
010: 0.010...
011: 0.110...
012: 0.210...
013: 0.310...
014: 0.410...
015: 0.510...
016: 0.610...
017: 0.710...
018: 0.810...
019: 0.910...
020: 0.020...
.
.
.
100: 0.001...
101: 0.101...
102: 0.201...
103: 0.301...
104: 0.401...
105: 0.501...
106: 0.601...
107: 0.701...
108: 0.801...
109: 0.901...
110: 0.011...
.
.
.
500: 0.005...
501: 0.105...
502: 0.205...
503: 0.305...
504: 0.405...
505: 0.505...
506: 0.605...
507: 0.705...
508: 0.805...
509: 0.905...
510: 0.015...
.
.
.
Sitten voin osoittaa, että vastaavalla tavalla kuin Cantor todisti, että
reaalilukuja ei voida luetella, voidaan myös "todistaa"
että luonnollisia lukuja ei voida luetella.
1:1
2:2
.
.
.
999:999
.
.
.
Konstruoidaan nyt jokaisen luvun kohdalla luku n+1. Se ei ole aiemmin
esiintynyt luettelossa. Siis jokaisen luvun kohdalla on konstruoitavissa
luku, joka ei ole listassa. Tästä seuraa ihan induktio todistuksena, että on
konstruoitavissa luku, joka ei ole listassa. Tilanne on täsmälleen sama kuin
Cantorin tavassa todistaa, että R ei ole numeroituva: taulukkoa käytiin läpi
siten, että jokaisen luvun kohdalla konstruoitiin luku joka eroaa siitä
luvusta ja pääteltiin että taulukosta puutuu jokin luku.
Sitten voin todistaa että R voidaan luetella myös toisella tavalla. Tai
oikeastaan samalla tavalla kuin Cantor yritti todistaa että sitä ei voida
luetyella! Nimittäin:
Jos nyt väität, että tämä r kuitenkin löytyy luettelosta joltain
mielivaltaiselta paikalta t, voimme aivan hyvin tarkistaa luvun r t:nnen
desimaalin. Se on dt, joka eroaa luvun t t:nnestä desimaalista yhdellä. Ts.
luku r ei sittenkään ollut luettelossa
**************************
Ok, löysit ainakin yhden luvun joka ei kuulunut listaan. Muodostetaan uusi
lista, johon laitetaan tuo r ensimmäiseksi. Sisältääkö se nyt kaikki luvut?
Ei vai? Todista - ai löysit uuden luvun joka ei kuulu listaan - muodostetaan
uusi lista, johon se laitetaan ensimmäiseksi. Eli aina kun yrität todistaa
että listasta puuttuu jokin desimaaliluku, niin samantien voin näyttää sulle
listan jossa se on ja kumota todistuksesi ad.infinitum...
Tässä nyt taistelee kolme todisusta jotka ovat ristiriidassa. Ja se johtuu
vain siitä että leikitään äärettömällä.
http://koti.welho.com/pkeckman/Cantor.htm
--
Petri Keckman
Jukka K. Korpela
> Ensin näytän pienellä Visual Basic koodin pätkällä että N on yhtä
> mahtava kuin R.
Ihan hauska mätäkuun juttu. Siis ainakin suhteellisesti. Ei ihan se
tavallisin 0 = 1 -todistus.
> Kaikki desimaalit pyöritetään ympäri 0..9 jolloin ne saa kaikki
> mahdolliset arvonsa
> ja kuviteltavana aikana ääretön olisi lueteltu kaikki reaaliluvut
> väliltä 0..1
Niin, nyt sinun tarvitsee enää todistaa - käyttääkseni sinun epämääräistä
käsitteistöäsi - että se pyörittäminen sujuu numeroituvalla määrällä
askelia eli että se kuvittelemasi aika ääretön on vain numeroituvasti
ääretön. Saa suorittaa. Mitään ohjelmaa ei tarvitse kirjoittaa, ihan
tavallinen matemaattinen todistus vain.
--
Yucca, http://www.cs.tut.fi/~jkorpela/indexfi.html
Juttuja matematiikasta ja fysiikasta:
http://www.cs.tut.fi/~jkorpela/matikka/
Petri Keckman
"Jukka K. Korpela" <jkor...@cs.tut.fi> kirjoitti
viestissä:Xns93DAD1A5CC81...@193.229.0.31...
> Niin, nyt sinun tarvitsee enää todistaa - käyttääkseni sinun epämääräistä
> käsitteistöäsi - että se pyörittäminen sujuu numeroituvalla määrällä
> askelia eli että se kuvittelemasi aika ääretön on vain numeroituvasti
> ääretön.
Älä nyt höpötä. Jos yritän osoittaa (no ok, en yrittäönyt sitä niin
formaattisen tarkasti) että Spinoza oli, on ja tulee olemaan oikeassa,, että
on vain yhdenlainen äärettömyys, niin en minä sellaisen "todistamisessa" voi
tukeutua numeroituvasti äärettömän käsitteeseen.
Eikös tälläinen pitäisi selvitä jo logiikan alkeiskurssilla.
Et ilmeisesti huomannut että viestissä oli lopussa kaksi lisää todistusta,
joilla yritän osoittaa mitä ristiriitaisuuksia äärettömän käsite
matemaatiikkan tuo.
Teidän nykypäivän matemaatikoiden olisi osoitettava missä teen
päättelyissäöni virheen siellä viestin kahdessa viimeisessä todistelussa.
Juha Lemmetti
>
> http://koti.welho.com/pkeckman/Cantor.htm
>
Huhhuh, tuohonhan on jo nähty aikaa ja vaivaa :-)
Mutta, kun nyt kerran kysyt sitä ajatusvirhettä, niin se taitaapi tulla
siinä vaiheessa, että et huomioi noiden "luetteloitujen reaalilukujen"
olevan itse asiassa äärettömän pitkiä. Se on se iso ero luonnollisiin
lukuihin verrattuna - lista on "kahteen suuntaan ääretön", lukuja on
ääretön määrä JA jokainen luku on äärettömän pitkä.
Luonnollisilla luvuilla itse luvut eivät ole äärettömän pitkiä, joten kun
luot tuota "listasta löytymätöntä lukua", niin jokaisella askeleella
luomasi luku tulee kuitenkin listassa myöhemmin (niinkuin sanotkin).
Reaaliluvuilla tämä lisäys ei käy päinsä siitä syystä, että itse asiassa
lisäilet äärellisen pitkiä lukuja - et koskaan pääse siihen äärettömän
pitkään lukuun, joka loppujen lopuksi sitten löytyisi listasta.
Ja lisäksi sinulle onkin jo muilla foorumeilla sanottu se huomio, että
tuota diagonaaliluvun generointia ei tehdä askelittain - niitä askelia kun
pitäisi ottaa se ääretön määrä, mikä oikein ei sovi. Se luku generoidaan
"kerralla" - eli määritellään sen kaikki desimaalit ensimmäisestä
eteenpäin (olettaen että on jokin numeroituva reaalilukujen lista).
Tämä siis epämatemaattinen huomio - ei saa liekittää kauhean pahasti :-)
*J
Risto Paasivirta
Jukka K. Korpela <jkor...@cs.tut.fi> wrote:
>"Petri Keckman" <pkec...@welho.com> wrote:
>Ihan hauska mätäkuun juttu. Siis ainakin suhteellisesti. Ei ihan se
Oletetaan että N on numeroituva jolloin kaikki
kokonaisluvut voidaan kirjoittaa listaksi näin:
...0000001
...0000002
...
...0235351
jne.
Muodostetaan kokonaisluku x valitsemalla x:n n:s
desimaali (oikealta vasemmalle) eri desimaaliksi
kuin listassa n:nen luvun n:s desimaali. Selvästi
x ei ole kokonaislukujen listassa. Siis N ei ole
numeroituva. ;-)
Risto
--
"ATK on rikki!"
Petri Keckman
"Juha Lemmetti" <ju...@nowhere.invalid> kirjoitti
viestissä:slrnbjvk82...@assari.cc.tut.fi...
> Mutta, kun nyt kerran kysyt sitä ajatusvirhettä, niin se taitaapi tulla
> siinä vaiheessa, että et huomioi noiden "luetteloitujen reaalilukujen"
> olevan itse asiassa äärettömän pitkiä.
Miksei nykymatikka hyväksy äärettömän pitkiä luonnollisia lukuja esim.
33333333333...........?
Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa jos
leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
Ja leikitään raja-arvoilla, joissa otetaan äärettömän monta askelta. Silloin
seuraavien väitteiden raja-arvo:
3/1=3
33/11=3
.
on=
33333333333..../11111111111111.....=3
> Se on se iso ero luonnollisiin
> lukuihin verrattuna - lista on "kahteen suuntaan ääretön", lukuja on
> ääretön määrä JA jokainen luku on äärettömän pitkä.
>
Puhutko tässä nyt siitä Visual Basicilla tehdystä listasta, jossa yritin
luoda siisitin bijektion N->[0...1]
nbvc -> 0.cvbn
Eivätkä kaikki reaaliluvut ole äärettömän pitkiä. Höh. Eikös se ole niin
että irrationaaliluvut ovat äärettömän pitkiä. Mutta ei esim. desimaaliluku
0.12345 ole kuin viiden desimaalin pituinen. Siis todistiko Cantor että
reaalilukuja ei voida luetella vai irrationaalilukuja? Vai sekotanko nyt
itse ihan peruskäsitteet? ;)
> Luonnollisilla luvuilla itse luvut eivät ole äärettömän pitkiä, joten kun
> luot tuota "listasta löytymätöntä lukua", niin jokaisella askeleella
> luomasi luku tulee kuitenkin listassa myöhemmin (niinkuin sanotkin).
> Reaaliluvuilla tämä lisäys ei käy päinsä siitä syystä, että itse asiassa
> lisäilet äärellisen pitkiä lukuja - et koskaan pääse siihen äärettömän
lisäilen äärellisen pitkiä? En koskaan pääse? Kasvaahan niiden reaalilukujen
desimaaliosa rajatta kohti äärettömyyttä ja samoin luonnollisten lukujen
pituus.
Se listahan on muuten sellainen:
108: 0.801...
109: 0.901...
110: 0.011...
Että näkee heti mikä desimaaliluku luku vastaa jotain luonnollista lukua so.
vaihdetaan numeroiden järjestystä ja pistetään 0. eteen.
Toisinkuin esim. Cantorin tavassa todistaa että löytyy bijektio N->Q, niin
ei ole suoraa keinoa sanoa mikä lukupari n/m vastaa jotakin luonnollista
lukua, vaan se täytyy käsittääkseni aina konstruoida se taulukko (koska n/m
samaistetaan (i*n)/(i*m):n kanssa)
> pitkään lukuun, joka loppujen lopuksi sitten löytyisi listasta.
>
En pääse en. Sellaista se on kun äärettömällä leikitään. Eikä tuo visual
Basic temppu niin oleellinen ollut. Hyvä yritys? Mutta kyllähä sillä
hommalla se raja-arvo on että se tuottaa kaikki mahdolliset, myös äärettömän
pitkät desimaaliluvut (ja luonnolliset), jos kerran tällaiset äärettömän
askeleiset operaatiot nykymatematiikassa hyväksytään.
> Ja lisäksi sinulle onkin jo muilla foorumeilla sanottu se huomio, että
> tuota diagonaaliluvun generointia ei tehdä askelittain - niitä askelia kun
> pitäisi ottaa se ääretön määrä, mikä oikein ei sovi. Se luku generoidaan
> "kerralla" - eli määritellään sen kaikki desimaalit ensimmäisestä
> eteenpäin (olettaen että on jokin numeroituva reaalilukujen lista).
No ei tehdä sitäkään sitten askeleittain kun aina kun olet kerralla
generoidut sen luvun, joka ei kuulu listaan, niin näytän sulle uuden listan
jossa on kaikki samat desimaalit kuin edellisessä + se mikä ei kuulunut
listaan. Ja sitten samantien kun generoit tähän uuteen listaan desimaalin,
joka siitä puuttuu, niin generoin sulle listan jossa on kaikki + se mikä
siitä puuttu....ja nämä generoidaan kerralla.
Petri Keckman
"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
viestissä:bhontv$fvb$1...@horus.co.jyu.fi...
> Oletetaan että N on numeroituva jolloin kaikki
> kokonaisluvut voidaan kirjoittaa listaksi näin:
> ...0000001
> ...0000002
> ...
> ...0235351
> jne.
> Muodostetaan kokonaisluku x valitsemalla x:n n:s
> desimaali (oikealta vasemmalle) eri desimaaliksi
> kuin listassa n:nen luvun n:s desimaali. Selvästi
> x ei ole kokonaislukujen listassa. Siis N ei ole
> numeroituva. ;-)
Vielä hetki sitten olisin olut kanssasi samaa mieltä. Mutta kuten toisaalta
olet jo oppinut:
Voidaan heti tuottaa uusi lista, jonka alkuun laitetaan se x:
x
...0000001
...0000002
...
...0235351
jne...
Tässä on nyt ne kaikki jotka joku oli yrittänyt luetella + se x, joka siitä
puuttui.
Sitten konstruoidaan tai generoidaan tai tuotetaan uusi x - olkoon se x',
joka puuttuu tuosta toisesta listasta ja tehdään
kolmas lista x',x',....00001,...000002 jne....ja nämä nämä kaikki listat
voidaan kuulemma generoida silleen kerralla ilman astettaisia vaiheita -
suoraan läpi äärettömyyden täältä ikuisuuteen - niin tällainen lista
sitten sisältää kaikki luonnolliset luvut.
Eli N onkin numeroituva.
Petri Keckman
> Niin, nyt sinun tarvitsee enää todistaa - käyttääkseni sinun epämääräistä
> käsitteistöäsi - että se pyörittäminen sujuu numeroituvalla määrällä
> askelia eli että se kuvittelemasi aika ääretön on vain numeroituvasti
> ääretön.
Yritätkö väittää, että tästä hetkestä eteenpäin aikaa olisi sekä
ei-numeroituvasti äärettömästi ja/tai numeroituvasti äärettömästi eteenpäin?
Siis jos maailmankaikkeus laajenisi tästä eteenpäin ikuisesti, niin siinä
olisi jotenkin kaksi ikuisuutta?
Minun epämäääräistä käsitteistöä? Kyllä se on nykymatemaatikot, jotka
leikiivät noilla eri ääretöttömyyden lajeilla joista kai ensimmäinen on se
numeroituvasti ääretön, sitten tulee numeroitumattomasti ääretön jne...kun
sitten pistetään potenssijoukoksi toi ääretön niin päästään aina seuraavaan
äärettömään ad.infinitum.
Vai piäisikö vain puhua niistä alef1, alef2 vms....jotta tunnet olosi
turvallisemmaksi (ettei tarvitse käyttää _minun_?! epämääräistä
käsityteistöä)
Risto Paasivirta
Samalla (virheellisellä) päättelyllä R on numeroituva.
Jos joukko on numeroituva, KAIKKI alkiot on mahdollista
laittaa alkuperäiseen listaan.
(Vitsi tuossa minun epätodistuksessa oli, että muodostettu x
on "ääretön" luku tyyliin ...11111112. Tietysti, jos laajen-
netaan kokonaisluvut moisiin äärettömiin lukuihin, niitä ON
ylinumeroituva määrä.)
Aatu Koskensilta
> Ensin näytän pienellä Visual Basic koodin pätkällä että N on yhtä mahtava
> kuin R.
> Kaikki desimaalit pyöritetään ympäri 0..9 jolloin ne saa kaikki mahdolliset
> arvonsa
> ja kuviteltavana aikana ääretön olisi lueteltu kaikki reaaliluvut väliltä
> 0..1
Mistä näin päättelet? Olet osoittanut vain, että kaikki päättyvät
rationaaliluvut voidaan listata. Merkitään askeleessa t saatavaa lukua
merkinnällä l(t). Nyt esim. l(0) = 0,0, l(1) = 0,1, .., l(10) = 0,01,
l(11) = 0,11, jne. Kerro minulle mikä luonnollinen luku pitää t:n
arvoksi antaa, että saamme 2:n neliöjuuren desimaalikehitelmän
desimaalipilkun jälkeen tulevan osan?
> Sitten voin osoittaa, että vastaavalla tavalla kuin Cantor todisti, että
> reaalilukuja ei voida luetella, voidaan myös "todistaa"
> että luonnollisia lukuja ei voida luetella.
>
> 1:1
> 2:2
> .
> .
> .
> 999:999
> .
> .
> .
> Konstruoidaan nyt jokaisen luvun kohdalla luku n+1. Se ei ole aiemmin
> esiintynyt luettelossa.
>
> Siis jokaisen luvun kohdalla on konstruoitavissa
> luku, joka ei ole listassa. Tästä seuraa ihan induktio todistuksena, että on
> konstruoitavissa luku, joka ei ole listassa. Tilanne on täsmälleen sama kuin
> Cantorin tavassa todistaa, että R ei ole numeroituva: taulukkoa käytiin läpi
> siten, että jokaisen luvun kohdalla konstruoitiin luku joka eroaa siitä
> luvusta ja pääteltiin että taulukosta puutuu jokin luku.
Tämä on roskaa. Luku n+1 esiintyy listassasi kohdassa n+1. Sillä
esiintyykö se ennen vai jälkeen luvun n esiintymistä ei ole mitään
väliä. Cantorin todistuksessa konstruoidaan yksi reaaliluku, joka eroaa
*kaikista* luvuista listassa. Koska listasta ei tehty mitään oletuksia,
pätee todistus kaikille reaalilukujen listoille.
> Sitten voin todistaa että R voidaan luetella myös toisella tavalla. Tai
> oikeastaan samalla tavalla kuin Cantor yritti todistaa että sitä ei voida
> luetyella! Nimittäin:
>
> Jos nyt väität, että tämä r kuitenkin löytyy luettelosta joltain
> mielivaltaiselta paikalta t, voimme aivan hyvin tarkistaa luvun r t:nnen
> desimaalin. Se on dt, joka eroaa luvun t t:nnestä desimaalista yhdellä. Ts.
> luku r ei sittenkään ollut luettelossa
> **************************
> Ok, löysit ainakin yhden luvun joka ei kuulunut listaan. Muodostetaan uusi
> lista, johon laitetaan tuo r ensimmäiseksi. Sisältääkö se nyt kaikki luvut?
> Ei vai? Todista - ai löysit uuden luvun joka ei kuulu listaan - muodostetaan
> uusi lista, johon se laitetaan ensimmäiseksi. Eli aina kun yrität todistaa
> että listasta puuttuu jokin desimaaliluku, niin samantien voin näyttää sulle
> listan jossa se on ja kumota todistuksesi ad.infinitum...
Mutta missään vaiheessa et löydä listaa, jota ei voisi osoittaa
epätäydelliseksi. Prosessisi ei siis osoita, että tällainen lista olisi
olemassa.
Cantorin todistus itse asiassa osoittaa, ettei ole olemassakaan listaa,
joka täyttäisi ehdon
1) jokainen reaaliluku väliltä [0,1] on listattu
joten sinun on aivan turha yrittää paikata listaasi.
--
Aatu Koskensilta (aatu.kos...@xortec.fi)
"Wovon man nicht sprechen kann, daruber muss man schweigen"
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus
Vesa-Matti Sarenius
>Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa jos
>leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
No ei vaan 3+30+300+3000+...=inf
>3/1=3
>33/11=3
>.
>on=
>33333333333..../11111111111111.....=3
Ei oo vaan inf/inf, jota ei ole määritelty...
Kannattaisi vaan uskoa Gödeliä, Cantoria, Hilbertiä ja muita oikeita
matemaatikoita, jos ei usko meitä nykyajan matemaatikoita...
Ja kannattaisi tutustua N:n joukko-opilliseen konstruktioon. Esim.
Ciesielski- Set Theory For The Working Mathematician. Jos rahkeet
riittää, niin miksei myöskin R:n...
Jälkimmäinen vaikkapa:
http://arxiv.org/pdf/math.GN/0301015.pdf
--
Vesa-Matti Sarenius, M.Sc. * - Am I a man or what? - A What!*
mailto:sarenius.at.paju.oulu.fi * - What? - Yes, that's right! *
Finland, Europe. Tel. +358-8-333030 * * * * * * * *
Vesa-Matti Sarenius
>>33333333333..../11111111111111.....=3
>
>Ei oo vaan inf/inf, jota ei ole määritelty...
Ihminen, joka ei tee virheitä, ei tee yleensä mitään muutakaan.
Siis tokihan jono 3/1,33/11,333/111... lähestyy 3:sta, koska
se on vakiojono 3,3,3,3,...
Muuten mielipiteeni pitää paikkansa.
Valmari Antti
Petri Keckman kirjoitti:
> 008: 0.800...
> 009: 0.900...
> 010: 0.010...
> 011: 0.110...
Tuo luettelointi sisältää vain päättymättömään nollien jonoon "loppuvia"
desimaalilukuja (vaikka kovasti olet muuta väittänyt). Se ei sisällä
esimerkiksi luvun 1/3 desimaalikehitelmää. Sen vuoksi tuo luettelointi
ei osoita, että N olisi R.
> Konstruoidaan nyt jokaisen luvun kohdalla luku n+1. Se ei ole aiemmin
> esiintynyt luettelossa. Siis jokaisen luvun kohdalla on konstruoitavissa
> luku, joka ei ole listassa.
Siitä, että kyseinen luku ei ole esiintynyt luettelossa *aiemmin* ei
tietenkään voi päätellä, että se ei esiinny luettelossa *missään kohdassa*.
> Tästä seuraa ihan induktio todistuksena, että on
> konstruoitavissa luku, joka ei ole listassa.
Ei seuraa. Siitä seuraa, että *jokaiselle* luettelon *alkuosalle*
on konstruoitavissa luku, joka ei ole kyseisessä alkuosassa. Koko
luettelosta ei tämäntyyppinen todistus sano mitään.
> Tilanne on täsmälleen sama kuin
> Cantorin tavassa todistaa, että R ei ole numeroituva: taulukkoa käytiin läpi
> siten, että jokaisen luvun kohdalla konstruoitiin luku joka eroaa siitä
> luvusta ja pääteltiin että taulukosta puutuu jokin luku.
Tilanne ei ole ollenkaan sama. Cantorin konstruktiossa saatiin *yksi*
luku, joka poikkeaa kaikista luettelon luvuista. Siis yksi ja sama luku!
Omassa konstruktiossasi tehdään jokaiselle luettelon luvulle eri luku.
> Ok, löysit ainakin yhden luvun joka ei kuulunut listaan. Muodostetaan uusi
> lista, johon laitetaan tuo r ensimmäiseksi. Sisältääkö se nyt kaikki luvut?
> Ei vai? Todista - ai löysit uuden luvun joka ei kuulu listaan - muodostetaan
> uusi lista, johon se laitetaan ensimmäiseksi. Eli aina kun yrität todistaa
> että listasta puuttuu jokin desimaaliluku, niin samantien voin näyttää sulle
> listan jossa se on ja kumota todistuksesi ad.infinitum...
Oikeassa todistuksessa *aloitetaan* sillä hypoteettisella luettelolla,
jossa *ovat jo kaikki* reaaliluvut. Siksi se on immuuni vastaväitteellesi.
> Miksei nykymatikka hyväksy äärettömän pitkiä luonnollisia lukuja esim.
> 33333333333...........?
> Siksikö että tulisi ristiriitoja?
Ehkä niin voi sanoa. Sellaisten lukujen teoria voidaan kehittää, jos
halutaan. Sellainen luku voidaan määritellä vaikka funktiona
luonnollisilta luvuilta numeromerkkien joukolle (ehkä täydennettynä
etumerkillä). Niille ei kuitenkaan voi saada kaikkia niitä
ominaisuuksia, jotka olemme tottuneet vaatimaan luvuilta. Sen takia
on nähty viisaammaksi olla kutsumatta moisia olentoja luvuiksi.
> Ja leikitään raja-arvoilla, joissa otetaan äärettömän monta askelta. Silloin
> seuraavien väitteiden raja-arvo:
Raja-arvona saatu olio, sikäli kuin sen ylipäänsä voi väittää olevan
olemassa, ei välttämättä käyttäydy sillä tavoin kuin ne oliot, joita
rajaprosessissa käytetään. Esimerkiksi neliöjuuri(2) voidaan esittää
rationaalilukujen jonon raja-arvona, vaikka se ei itse ole
rationaaliluku.
> Eivätkä kaikki reaaliluvut ole äärettömän pitkiä. Höh. Eikös se ole niin
> että irrationaaliluvut ovat äärettömän pitkiä. Mutta ei esim. desimaaliluku
> 0.12345 ole kuin viiden desimaalin pituinen. Siis todistiko Cantor että
> reaalilukuja ei voida luetella vai irrationaalilukuja? Vai sekotanko nyt
> itse ihan peruskäsitteet? ;)
Päättyvät desimaalijonot (kuten 0,12345) samaistetaan niiden
päättymättömien kanssa, jotka saadaan jatkamalla jonoa loputtomiin
lisäämällä nollaa. Siis 0,12345 = 0,12345000000...
Päättyvät desimaalijonot ovat peräisin luvuista muotoa
kokonaisluku / kymmenen potenssi.
Rationaalilukujen desimaaliesitykset ovat päättyviä tai jaksollisia
--- riittää sanoa "jaksollisia", koska päättyvyys samaistetaan sen
kanssa, että jaksona on "0". (Huomaa, että desimaaliluvun jakso ei
välttämättä ala heti desimaalipilkusta, vaan jaksoa ennen voi olla
mitä vain.)
Rationaaliluvut voi luetella. Myös päättyvät desimaalijonot (joka on
rationaalilukujen aito osajoukko) voi luetella, mistä olet itse
antanut esimerkin. Jos Cantorin diagonalisointia sovelletaan
päättyvien desimaaliesitysten luetteloon, niin saadaan päättymätön
desimaaliluku. Jos sitä sovelletaan rationaalilukujen
desimaaliesitysten luetteloon, niin syntyvä luku ei ole jaksollinen
eikä siksi rationaaliluvun desimaaliesitys.
Irrationaalilukujen desimaaliesitykset ovat jaksottomia (ja siksi
myös päättymättömiä).
> No ei tehdä sitäkään sitten askeleittain kun aina kun olet kerralla
> generoidut sen luvun, joka ei kuulu listaan, niin näytän sulle uuden listan
> jossa on kaikki samat desimaalit kuin edellisessä + se mikä ei kuulunut
> listaan.
Mutta sehän on askelittain tekemistä: tehdään uusia ja uusia
luetteloita.
> ...ja nämä generoidaan kerralla.
Ei ole hyvin määritelty operaatio, joten ei käy. Jos luettelon eteen
lisätään äärettömän monta alkiota, ei lopputulos ole luettelo. Mikä
esimerkiksi on kyseisen lopullisen luettelon kolmas alkio?
Sen sijaan Cantorin diagonalisoinnin käyttämä temppu on hyvin
määritelty. Voidaan vaikka heti käydä katsomassa, mikä on syntyvän
luvun miljoonas desimaali, eikä vastaus muutu prosessin jatkuessa.
> Sitten konstruoidaan tai generoidaan tai tuotetaan uusi x - olkoon se x',
> joka puuttuu tuosta toisesta listasta ja tehdään
> kolmas lista x',x',....00001,...000002 jne....ja nämä nämä kaikki listat
> voidaan kuulemma generoida silleen kerralla ilman astettaisia vaiheita
Ei voida. Mutta Cantorin diagonalisoinnin tuottama reaaliluku voidaan.
> Minun epämäääräistä käsitteistöä? Kyllä se on nykymatemaatikot, jotka
> leikiivät noilla eri ääretöttömyyden lajeilla
Ainakin päättelysi on aika epämääräistä, ja vaikuttaa siltä, että
et ole täysin ymmärtänyt niitä nykymatemaatikkojen todistuksia, joista
puhut. Oletko tosissasi etsimässä ymmärrystä, vai trollaatko vain?
--- Antti Valmari ---
Juha Lemmetti
> 33333333333...........?
> Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa jos
> leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
Vastauksena tuohon vastakysymys:
mitä eroa on "äärettömän pitkillä luonnollisilla luvuilla"
a=333... ja b=666...?
äkkiähän 10 * a = a, mistä seuraa a = 0 (???)
Mutta: tuossa siis on se sinun ajatusmallisi virhe:
1) Luonnolliset luvut ovat äärellisen pituisia
2) Kun teet diagonaaliluvun luonnollisille luvuille, siitä tulee
"äärettömän pitkä", joten sen ei pitäisikään kuulua listaan
Reaaliluvut ovat äärettömän pitkiä (esim. juuri esitetyllä
nollallajatkamisella) -> äärettömän pitkän diagonaaliluvun pitäisi löytyä
listasta.
*J
Jukka Kohonen
>Vastauksena tuohon vastakysymys:
>mitä eroa on "äärettömän pitkillä luonnollisilla luvuilla"
>a=333... ja b=666...?
>
>äkkiähän 10 * a = a, mistä seuraa a = 0 (???)
Koitetaas sitten panna ääretön häntä vasemmalle eikä oikealle:
a = ...3333
10a = ...3330
=> 10a = a-3
=> a = -1/3
;-)
--
Jukka....@iki.fi
* Ei hulluja kynnetä eikä kylvetä, itsestään niitä kasvaa (suom. sananlasku)
Petri Keckman
"Aatu Koskensilta" <aatu.kos...@xortec.fi> kirjoitti
viestissä:eV_%a.1463$Xq6...@reader1.news.jippii.net...
> Petri Keckman wrote:
> Kerro minulle mikä luonnollinen luku pitää t:n
> arvoksi antaa, että saamme 2:n neliöjuuren desimaalikehitelmän
> desimaalipilkun jälkeen tulevan osan?
>
Kerro sinä ensin minulle mikä t:n arvoksi annetaan, että saadaan neliöjuuri
2:n määritelmästä luotua sille desimaalipilkun jälkeen tuleva osa?
Ku siis sqr(2)=s1+s2+...+st
Ilmeisesti ääretön. Ja näkeehän tuon selkeästi siististä bijektiostani,
jossa esim. fn(210)= 0.012 eli siis kokonaisluku luetellaan käänteisessä
järjestyksessä.
Eikö vastaus kysymykseesi ole silloin ilmiselvästi: fn(...1373265312414)
= 0,4142135623731...
1)
> Cantorin todistuksessa konstruoidaan yksi reaaliluku, joka eroaa
> *kaikista* luvuista listassa. Koska listasta ei tehty mitään oletuksia,
> pätee todistus kaikille reaalilukujen listoille.
>
Konstruoidaan kun käydään ääretön lista läpi?
2)
> Mutta missään vaiheessa et löydä listaa, jota ei voisi osoittaa
> epätäydelliseksi. Prosessisi ei siis osoita, että tällainen lista olisi
> olemassa.
>
Niin minäkin konstruoin sillä, että laitan aina ne yhdestä listasta
puuttuvat luvut heti seuraavan listan alkuun, yhden listan, joka syntyy kun
listoja käydään äärettömän monta kertaa läpi.
Samalla logiikalla kun sinä kritisoit 2), minä voisin kritisoida 1):stä,
jossa et missään vaiheessa löydä lopullista lukua, joka puuttuu listasta
joka on ääretön. Tai jos annat sille päättymättömän desimaaliesitelmän, niin
pistän sen seeuraavan alkuun. Missään vaiheessa et saa tehtyä lopullista
listaa josta puuttuisi kaikki desimaaliluvut, koska törkkään sulle heti
uuden.
.
Petri Keckman
"Vesa-Matti Sarenius" <sare...@paju.oulu.fi> kirjoitti
viestissä:slrnbk0v8f....@paju.oulu.fi...
> In article <bhoono$9v8$1...@nyytiset.pp.htv.fi>, Petri Keckman wrote:
> >Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa
jos
> >leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
>
> No ei vaan 3+30+300+3000+...=inf
niin niin nykymatikan mukaan. Mutta samat sanat sulle kuin muillekin, että
jos olen omaksunut matemaatikan, jossa ääretöntä ei hyväksytä, niin on
turhaa yrittää kumota ajatuksiani sillä että inttää vaan että nykymatikassa
toi on tätä ja toi on tota.
3=3
3+30=33
3+30+300=333
näkeehän tästä apinakin, että jos näitä lauseita jatketaan nykymatikssa
hyväksytyn äärettömän monta kertaa, niin siitä seuraa, että
3+30+300+3000+....=3333333333333333...........
> >33333333333..../11111111111111.....=3
>
> Ei oo vaan inf/inf, jota ei ole määritelty...
Jos kritisoin nykymatikan ääretöntä, niin turha inttää että nykymatikssa
sitä tai tota.
> Kannattaisi vaan uskoa Gödeliä, Cantoria, Hilbertiä ja muita oikeita
> matemaatikoita, jos ei usko meitä nykyajan matemaatikoita...
>
No kyllä noi tuttuja heppuja on.
> Ja kannattaisi tutustua N:n joukko-opilliseen konstruktioon. Esim.
> Ciesielski- Set Theory For The Working Mathematician. Jos rahkeet
> riittää, niin miksei myöskin R:n...
>
Kyllä joo matikkaa ollaan yliopistossakin luettu.
> Jälkimmäinen vaikkapa:
>
> http://arxiv.org/pdf/math.GN/0301015.pdf
>
Jutut näytti ihan tutulta. Kai noihin oon törmänny joskus 15 vuotta sitten
HY:ssä. Tainnu unohtua vaan...
Petri Keckman
"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
viestissä:bhpnm6$70s$1...@horus.co.jyu.fi...
> In article <bhoph9$ahm$1...@nyytiset.pp.htv.fi>,
> >Sitten konstruoidaan tai generoidaan tai tuotetaan uusi x - olkoon se x',
> >joka puuttuu tuosta toisesta listasta ja tehdään
> >kolmas lista x',x',....00001,...000002 jne....
> Samalla (virheellisellä) päättelyllä R on numeroituva.
> Jos joukko on numeroituva, KAIKKI alkiot on mahdollista
> laittaa alkuperäiseen listaan.
>
> (Vitsi tuossa minun epätodistuksessa oli, että muodostettu x
> on "ääretön" luku tyyliin ...11111112. Tietysti, jos laajen-
> netaan kokonaisluvut moisiin äärettömiin lukuihin, niitä ON
> ylinumeroituva määrä.)
>
Todellisuudessa äärettömän jakaminen numeroituvaan ja ylinumeroituvaan on
ristiriitaista.
Tai sanotaan nyt, että ei tarvitse ruveta väittelemään: "Että se miten mninä
näen matikan niin, ..."
Petri Keckman
"Valmari Antti" <ava@.c.s...t.u.t...f.i.invalid> kirjoitti
viestissä:bhqcef$g4o$1...@news.cc.tut.fi...
>
> Petri Keckman kirjoitti:
> Tuo luettelointi sisältää vain päättymättömään nollien jonoon "loppuvia"
> desimaalilukuja (vaikka kovasti olet muuta väittänyt). Se ei sisällä
> esimerkiksi luvun 1/3 desimaalikehitelmää. Sen vuoksi tuo luettelointi
> ei osoita, että N olisi R.
No hyvä. Täydennetään bijektiota N:ltä R:lle siten että kaikki tollaiset
murtoluvut bijektioidaan Cantorin tapaan, sillä typerällä
taulukolla...siinähän oli paikka 1/3:lle.
Ja sitten ne todella päättymättömät desimaalikehitelmät...no sellaisia ei
ihmiselle oikein olekaan.
Eihän ihminenkään tiedä niitten lopullista tarkkaa arvoa.
Mutta kyllä siinä oli selkeä paikka 0.33333333333333.......:llekin
fn(333333.........) = 0.3333333333333...........
Jos hyväksytään äärettömän pitkät luonnolliset luvut. Minä en niitä hyväksy,
mutta en ole kenekään nykymatemaatikonkaan, joka hyväksyy äärettömän käytön,
nähnyt kuullut mitenkään perustelevan miksi niintä ei hyväksytä. Siksikö
vain, että joukon N nimi sattuu olemaan "luonnolliset" luvut. Ja siksi ne
täytyy säilyttäää luonnollisina?
> Ei seuraa. Siitä seuraa, että *jokaiselle* luettelon *alkuosalle*
> on konstruoitavissa luku, joka ei ole kyseisessä alkuosassa. Koko
> luettelosta ei tämäntyyppinen todistus sano mitään.
>
Eikös induktiotodistus ole luonteeltaan juuri sellainen, että todetaan että
jos f(n), niin f(n+1) ja sitten näytetään että f(1), josta seuraa että
kaikille pätee f(n).
> Tilanne ei ole ollenkaan sama. Cantorin konstruktiossa saatiin *yksi*
> luku, joka poikkeaa kaikista luettelon luvuista. Siis yksi ja sama luku!
Sitten induktio todistuskaan ei päde. Minähän todistin induktiolla että
listan kaikille luonnolliselle luvuille pätee, että on konstruoitavissa luku
joka ei kuulu listaan.
> Omassa konstruktiossasi tehdään jokaiselle luettelon luvulle eri luku.
>
Niinhän Cantrorin todistuksessakin loppujen lopuksi...tai jos väitetään että
se voitaisiin kerralla tehdä, niin samaahan väitetään induktio
todistukseenkin.
> Oikeassa todistuksessa *aloitetaan* sillä hypoteettisella luettelolla,
> jossa *ovat jo kaikki* reaaliluvut. Siksi se on immuuni vastaväitteellesi.
>
Täh?`Piti yrittämän tavalla toisella konstruoida lista jossa olisi kaikki
reaaliluvut. Kai siihen saa käyttää muitakin tapoja kuin herra Cantor keksi.
> Ehkä niin voi sanoa. Sellaisten lukujen teoria voidaan kehittää, jos
> halutaan.
No ei haluta. Mutta nykymatikan pitäisi ne hyväksy. Mutta se ei hyväksy
niitä kun joutuisi ristiriitaan.
> Ei ole hyvin määritelty operaatio, joten ei käy.
Joo. Et sinäkään niin hyvin määrittele perustelujasi, kun toteat vain että
ei ole kovin hyvin määritelty, joten eui käy.
> Jos luettelon eteen
> lisätään äärettömän monta alkiota, ei lopputulos ole luettelo. Mikä
> esimerkiksi on kyseisen lopullisen luettelon kolmas alkio?
Pidetään ensimmäisenä sitä mikä siinä eka oli alunperinkin ja otetaan joka
toinen "ylempää" ja joka toinen "alempaa"
> Ainakin päättelysi on aika epämääräistä, ja vaikuttaa siltä, että
> et ole täysin ymmärtänyt niitä nykymatemaatikkojen todistuksia, joista
> puhut. Oletko tosissasi etsimässä ymmärrystä, vai trollaatko vain?
Kertokaa nyt jo hemmetissä mitä tuo trollaus tarkoittaa?
http://koti.welho.com/pkeckman/Cantor.htm
http://batman.jypoly.fi/~saku/lehti/online/32/osastot/sekalaiset/suhtari.htm
l
Petri Keckman
"Juha Lemmetti" <ju...@nowhere.invalid> kirjoitti
viestissä:slrnbk1j3q...@assari.cc.tut.fi...
> On 2003-08-17, Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
> > Miksei nykymatikka hyväksy äärettömän pitkiä luonnollisia lukuja esim.
> > 33333333333...........?
> > Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa
jos
> > leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
>
> Vastauksena tuohon vastakysymys:
> mitä eroa on "äärettömän pitkillä luonnollisilla luvuilla"
En ole vielä määritellyt niiden äärettömän pitkien luonnollisten lukujen
laskutoimituksia. Enkä taida määritelläkään, kun ihmnettelin vain miksei
ääretöömällä leikkivät nykymatemaatikot niitä hyväksy.
> Reaaliluvut ovat äärettömän pitkiä (esim. juuri esitetyllä
> nollallajatkamisella)
No saadaanhan luonnollisitakin luvuitsa äärettömän pitkiä kun esitetään ne
Risto Paasivirran esittämällä tavalla ...000001.
Ja siinä minun Visula basic listassa:
504: 0.405...
505: 0.505...
506: 0.605...
507: 0.705...
.
.
.
,,,26531241: 0,414213562...
On yhtä selkeästi määritelty vasenpuoli kuin oikea puoli. Anna sinä ensin
minulle tarkka arvo oikealla puolella olevasta äärettömän pitkästä
reaaliluvusta, niin on helppoa määritellä sitä vastaava luonnollinen luku.
Numerot vain luetellaan nurinkurisessa järjestyksessä.
Jukka Kohonen
>Kertokaa nyt jo hemmetissä mitä tuo trollaus tarkoittaa?
Kyllä sinä sen tiedät. Trollaat vaan että et muka tiedä.
Follarit.
Petri Keckman
"Jukka Kohonen" <koh...@cc.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:bhqt5f$qih$1...@oravannahka.helsinki.fi...
> >Kertokaa nyt jo hemmetissä mitä tuo trollaus tarkoittaa?
> Kyllä sinä sen tiedät. Trollaat vaan että et muka tiedä.
troll:
peikko
uistin
hiisi
kalastaa uistimella
rallattaa
laulaa kaanonia
Yritän kertoa miten tietyt matematiikan ilmiöt itse näen. Näen ne niin että
äärettömän käyttö johtaa ristiriitoihin matematiikassa.
Haukuttiin minua trolliksi tuolla tiede.net:ssäkin kun kumosin erikoista
suhteellisuusteoriaa, mutta sitten ääni muuttui kellossa:
"****** - Nyt ymmärrän täysin sinua Petri.
Asia valkeni minullekin, kun kävin kotisivuillasi
http://koti.welho.com/pkeckman/Artikkeleita.html (sieltä 1 tai 2)
Olimpas hieman hätäinen ja tuli tehtyä suuria virhearviointeja. Suosittelen
muillekin lukemalla AJATUKSELLA läpi Petrin sivut - huomaatte, että Petri on
OIKEASSA."
Yritän minä keskustella ES:n järjettömyydestä sfnet.tiede.fysiikka
alueellakin, mutta ei tunnu oikein keskustelua syntyvän. Senkin homman
suhteen näen asiat hyvin selkeästi. Enkä voi muuta kuin kokea olevani
oikeassa. En osaa muuta ajatella näiden ilmiöiden suhteen.
Häirikkö?
Sitäkö trollaus on. Tahallista häiriköintiä? Ehkä tapani nettikeskustella ei
ole oikein...
Risto Paasivirta
Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
>Todellisuudessa äärettömän jakaminen numeroituvaan ja ylinumeroituvaan on
>ristiriitaista.
Todellisuudessa moinen ristiriita johtuu virheellisestä
todistuksesta.
Petri Keckman
"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
viestissä:bhqvpq$s8s$1...@horus.co.jyu.fi...
> Todellisuudessa moinen ristiriita johtuu virheellisestä
> todistuksesta.
>
Minä en näe mitään eroa siinä, että mukamas käydään jokin ääretön lista läpi
ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä reaaliluku.
Ja siinä, että
käydään
jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä reaaliluku,
laitetaan se uuten listaan ja käydään jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan
jokin äärettömän pitkä reaaliluku.ja
käydään jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä
reaaliluku ja
käydään jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä
reaaliluku....
Se voi olla että en ole vaivautunut teille todistamaan aukottomasti että
äärettömän käyttö ja käsitteet numeroituvuus johtavat ristiriitaan. Minulla
on selkeä intuitiivinen näkemys siitä. Eikä matematiikassa voida mitään
aukottomasti todistaakaan. Täällähän on jo käynnyt ilmi, että edes
induktiotodistus ei teitä vakuuta: Jokaisen luonnollisen luvun kohdalla on
konstruoitavissa luku, joka ei ole vielä ollut listassa -> on
konstruoitavissa luku joka ei ole listassa, vaikka se käytäisiin äärettömään
asti läpi.
Väitättekö, että induktiotodistukset eivät toimi? Voitte perustella sitä
vain mielipiteenomaisilla jaaritteluilla, että ei voi käyttää induktiota
tossa, kun pälä pälä ja pälä pälä, mutta tehän te vasta olettekin kumoamassa
nykymatikkaa, jos ette usko induktio todistukseen.
Jukka Kohonen
>Väitättekö, että induktiotodistukset eivät toimi?
Emme suinkaan. Väitämme, että sinä et ymmärrä mikä on induktio-
todistus ja mikä ei.
Vesa-Matti Sarenius
>On yhtä selkeästi määritelty vasenpuoli kuin oikea puoli. Anna sinä ensin
>minulle tarkka arvo oikealla puolella olevasta äärettömän pitkästä
>reaaliluvusta, niin on helppoa määritellä sitä vastaava luonnollinen luku.
Okei: pii. Tarkasti:"ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan."
Ja sitä vastaava luku oli?
Tai:
0,15115111511115111115...
Vesa-Matti Sarenius
>niin niin nykymatikan mukaan. Mutta samat sanat sulle kuin muillekin, että
>jos olen omaksunut matemaatikan, jossa ääretöntä ei hyväksytä, niin on
>turhaa yrittää kumota ajatuksiani sillä että inttää vaan että nykymatikassa
>toi on tätä ja toi on tota.
Väärin, minä uskon, että eri äärettömiä on ylinumeroituvasti ääretön määrä!
>
>> >33333333333..../11111111111111.....=3
>>
>> Ei oo vaan inf/inf, jota ei ole määritelty...
>
>Jos kritisoin nykymatikan ääretöntä, niin turha inttää että nykymatikssa
>sitä tai tota.
Tuo yo. väitteenihän on täyttä paskaa, koska ko. jono on tosiaan vakiojono
3,3,3,3,..., joka lähestyy 3:sta.
>> Kannattaisi vaan uskoa Gödeliä, Cantoria, Hilbertiä ja muita oikeita
>> matemaatikoita, jos ei usko meitä nykyajan matemaatikoita...
>>
>
>No kyllä noi tuttuja heppuja on.
Ei riitä, jos tuntee heput, pitää tuntea myös heidän tuloksensa.
>> Ja kannattaisi tutustua N:n joukko-opilliseen konstruktioon. Esim.
>> Ciesielski- Set Theory For The Working Mathematician. Jos rahkeet
>> riittää, niin miksei myöskin R:n...
>>
>
>Kyllä joo matikkaa ollaan yliopistossakin luettu.
Mutta kuinka paljon? Ei ilmeisesti riittävästi! Kerro ihan omin sanoin,
kuinka luonnolliset luvut konstruoidaan ZF-aksiomista lähtien, niin uskon!
>> http://arxiv.org/pdf/math.GN/0301015.pdf
>>
>
>Jutut näytti ihan tutulta. Kai noihin oon törmänny joskus 15 vuotta sitten
>HY:ssä. Tainnu unohtua vaan...
Se olisi kyllä uutta, kun todistus, joka papereissa esitetään on uusi!
Kerro nyt ne laskutoimitusten määrittelyt äärettömille luonnollisille
luvuille, alista teoriasi kritiikille. Pelkät uteleperustelut eivät
tunnetusti matemaatikoille riitä!
Vesa-Matti Sarenius
>"Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
>>Väitättekö, että induktiotodistukset eivät toimi?
>
>Emme suinkaan. Väitämme, että sinä et ymmärrä mikä on induktio-
>todistus ja mikä ei.
Yhdyn kuoroon. Tästä aiheesta kannattaisi katsoa Donald E. Knuthin
The Art of Computer Programming -kirjasarjan eka osaa...
Väärällä induktiolla saa todistettua melkein mitä vain! 1=0 on pientä!
Vesa-Matti Sarenius
>In article <bhr350$o1$1...@oravannahka.helsinki.fi>, Jukka Kohonen wrote:
>>"Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
>>>Väitättekö, että induktiotodistukset eivät toimi?
>>
>>Emme suinkaan. Väitämme, että sinä et ymmärrä mikä on induktio-
>>todistus ja mikä ei.
Vielä helpommalla (kuin Knuthin kirja) pääsee liikkeelle:
http://solmu.math.helsinki.fi/1997/1/retki.html
Petri Keckman
"Petri Keckman" <pkec...@welho.com> kirjoitti
viestissä:bhr6cm$qa0$1...@nyytiset.pp.htv.fi...
>
> "Vesa-Matti Sarenius" <sare...@paju.oulu.fi> kirjoitti
> viestissä:slrnbk24ge....@paju.oulu.fi...
> > Tai:
> >
> > 0,15115111511115111115...
> >
>
> Tämähän on ainakin helppo f(...5111115111151111151) =
> 0,15115111511115111115...
>
> tietysti.
>
>
korjaan f(111111111111111111111111111111111111...5111115111151111151) =
0,15115111511115111115..1111111111111111111.......
tietysti.
Petri Keckman
Petri Keckman
>
> Ja sitä vastaava luku oli?
>
Jos tuollaiset sanalliset määritelmät kelpaa, niin #luku joka saadaan kun
luvun "Ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan." desimaaliosan
numerot luetellaan käänteisessä järjestyksessä."
f( ...........985356295141 )=0,141592653589...
Petri Keckman
> >On yhtä selkeästi määritelty vasenpuoli kuin oikea puoli.
> Ja sitä vastaava luku oli?
>
Onhan tämä nyt selvää, että näin luotu kuvaus N->R:
f(13)= 0.310...
f(14)= 0.410...
f(15)= 0.510...
f(16)= 0.610...
f(17)= 0.710...
f(18)= 0.810...
f(19)= 0.910...
f(20)= 0.020...
on paljon selkeämpi kuin esim Cantorin kuvaus N->Q
Sanopas sinä esim. Mille murtoluvulle kuvautuu 1234235436456464 siinä
taulukkotempussa?
Ei ole olemassa selkeää lauseketta sen laskemiseen? Vai onko muka?
Minun kuvauksesta näkee heti, että jos jompi kumpi on vain määritelty
(laskettavissa mielivaltaisen pitkälle numeroesityksenä), niin toinenkin on.
Jukka Kohonen
>"Vesa-Matti Sarenius" <sare...@paju.oulu.fi> kirjoitti:
>> Ja sitä vastaava luku oli?
>
>Jos tuollaiset sanalliset määritelmät kelpaa, niin #luku joka saadaan kun
>luvun "Ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan." desimaaliosan
>numerot luetellaan käänteisessä järjestyksessä."
>
>f( ...........985356295141 )=0,141592653589...
Jokainen N:n alkio on äärellisen mittainen. Tuo olio, joka sinulla on
f:n sulkujen sisällä, ei siis selvästikään ole N:n alkio. Sorry, no bonus.
Petri Keckman
"Jukka Kohonen" <koh...@cc.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:bhr7il$2l5$4...@oravannahka.helsinki.fi...
> Jokainen N:n alkio on äärellisen mittainen. Tuo olio, joka sinulla on
> f:n sulkujen sisällä, ei siis selvästikään ole N:n alkio. Sorry, no bonus.
>
Matematiikassa käytetään raja-arvoja joissa otetaan äärettömän monta askelta
ja päätellään ja todistellaan että mitä saadaan aikaiseksi kun n kasvaa
1->äär.
N:ään kuuluvat kaikki luvut n+1, jos n kuuluu N:ään.
Sanopas miten käy funktiolle luvunpituus(n) kun n kasvaa rajatta? Mikä on
sen raja-arvo? Eikö se ole ääretön?
Risto Paasivirta
Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
>"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
>viestissä:bhqvpq$s8s$1...@horus.co.jyu.fi...
>> Todellisuudessa moinen ristiriita johtuu virheellisestä
>> todistuksesta.
>Minä en näe mitään eroa siinä, että mukamas käydään jokin ääretön lista läpi
>ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä reaaliluku.
>Ja siinä, että
> käydään
>jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä reaaliluku,
>laitetaan se uuten listaan ja käydään jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan
Minä näen. Kun aloitetaan oletuksella: "listataan _kaikki_",
niin sitten ne joko on kaikki listassa tai oletus on väärä,
joka nähdään tekemällä listasta puuttuva olio.
Jälkimmäisessä aloitetaan oletuksella: "listataan _kaikki_",
tehdään listasta puuttuva olio ja jatketaan ikäänkuin
oletus olisi ollut _oikein_...
(Jos jälkimmäisessa aloitetaan "Otetaan numeroituva lista
reaalilukuja" saadaan ehkä lopputulokseksi numeroituva lista
reaalilukuja, mutta ei kyllä todistusta reaalilukujen
joukon suuruudesta...)
>Se voi olla että en ole vaivautunut teille todistamaan aukottomasti että
>äärettömän käyttö ja käsitteet numeroituvuus johtavat ristiriitaan. Minulla
>on selkeä intuitiivinen näkemys siitä. Eikä matematiikassa voida mitään
>aukottomasti todistaakaan. Täällähän on jo käynnyt ilmi, että edes
>induktiotodistus ei teitä vakuuta: Jokaisen luonnollisen luvun kohdalla on
>konstruoitavissa luku, joka ei ole vielä ollut listassa -> on
>konstruoitavissa luku joka ei ole listassa, vaikka se käytäisiin äärettömään
>asti läpi.
Todistuksesta puuttuu sellainen tärkeä yksityiskohta, että
näin konstruoitavat "luonnolliset luvut" todella olisivat
olemassa. Muodollinen todistus on välttämätön jos väitetään
että tässä (normaalisti käytettyjen aksioominen pohjalta)
todistetaan jonkin sortin ristiriita.
(Vastaavasti kuin irrationaalilukujen olemassaolo ei ole
itsestään selvää ilman todistusta (tehdään jossain perus-
kurssilla) ja todistuksessa tarvitaan aksioomaa, joka sanoo
jotain sentapaista, että ylhäältä rajoitetut kasvavat sarjat
suppenee.)
>Väitättekö, että induktiotodistukset eivät toimi? Voitte perustella sitä
>vain mielipiteenomaisilla jaaritteluilla, että ei voi käyttää induktiota
>tossa, kun pälä pälä ja pälä pälä, mutta tehän te vasta olettekin kumoamassa
>nykymatikkaa, jos ette usko induktio todistukseen.
Ei, kun ongelma on se että tässä nimenomaisessa tapauksessa
tuotettu olio ei ole (luonnollinen tai reaali-) luku.
Jukka Kohonen
>N:ään kuuluvat kaikki luvut n+1, jos n kuuluu N:ään.
Niin. Ne ovat siis kaikki äärellisiä. Yksikään N:n alkio ei ole
äärettömän pituinen.
>Sanopas miten käy funktiolle luvunpituus(n) kun n kasvaa rajatta? Mikä on
>sen raja-arvo? Eikö se ole ääretön?
Kuten sinulle on jo kerrottu: Siitä, että jonkin jonon raja-arvolla on
jokin ominaisuus, ei seuraa, että yhdelläkään jonon alkioista olisi
tuota ominaisuutta.
Jos et tätä hahmota, ei sulla oikein ole eväitä äärettömyyksien
käsittelyyn. Kannattaisi suorittaa ne peruskurssit.
Petri Keckman
> Juttuja matematiikasta ja fysiikasta:
> http://www.cs.tut.fi/~jkorpela/matikka/
>
Hyvät sivut.
Anteeksi että taisin vastailla vähän töykeästi.
Risto Paasivirta
Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
>Sanopas miten käy funktiolle luvunpituus(n) kun n kasvaa rajatta? Mikä on
>sen raja-arvo? Eikö se ole ääretön?
Rajatta kasvavilla funktioilla ei ole reealista raja-arvoa.
Sanotaan että "raja-arvo on ääretön", mutta ääretön ei ole
reaaliluku.
Petri Keckman
"Jukka Kohonen" <koh...@cc.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:bhr8t2$2l5$5...@oravannahka.helsinki.fi...
> Siitä, että jonkin jonon raja-arvolla on jokin ominaisuus, ei seuraa, että
yhdelläkään jonon alkioista olisi
> tuota ominaisuutta.
>
Tuolla perusteella voidaankin poistaa matematiikasta sellaiset roskat kuin
äärettömän pitkät reaaliluvut tai irrationaaliluvut.
Esim sqrt(2)=s1+s2+s3+...
Nimittäin näistähän saadaan jono:
s1
s1+s2
s1+s2+s3
.
.
.
Näistä millään ei ole sitä ominaisuutta että ne olisivat sqrt(2)
Eli yhdelläkään tuon äärettömän jonon alkioista ei ole sitä ominaisuutta,
että ne olisivat sqrt(2)
Kuitenkin väität että jono lähestyy sqrt(2):sta
Miksi minä en voi samoin todeta, että yhdelläkään jonon
1
2
3
.
.
.
arvoista ei ole sitä ominaisuutta että ne olisivat äärettömän pitkiä,
kuitenkin väitän että jono lähestyy äärettömän pitkää lukua.
Ja jos s1+s2+s3+...=sqrt(2) niin samoin tuon alemman jonon pituuden arvo on
ääretön.
Petri Keckman
"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
viestissä:bhr90f$63o$1...@horus.co.jyu.fi...
En kai minä olekaan väittämässä että äärettömän pitkän kokonaisluvun pituus
olisi reaalinen!
En muista missä yhteydessä tuo tuo oli, mutta kyllä siinä kai oli tarkoitus
osoittaa että luvun pituudeksi tulee ääretön.
Ja hyvä! Joku on kerrankin samaa mieltä? Luvun pituudeksi tulee ääretön.
Petri Keckman
"Risto Paasivirta" <r...@horus.co.jyu.fi> kirjoitti
viestissä:bhr7o9$4ph$1...@horus.co.jyu.fi...
> In article <bhr145$ls6$1...@nyytiset.pp.htv.fi>,
> Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
> >Minä en näe mitään eroa siinä, että mukamas käydään jokin ääretön lista
läpi
> >ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä reaaliluku. Ja siinä, että
> >käydään jokin ääretön lista läpi ja tuotetaan jokin äärettömän pitkä
reaaliluku,
> >laitetaan se uuten listaan ja käydään jokin ääretön lista läpi ja
tuotetaan
>
> Minä näen. Kun aloitetaan oletuksella: "listataan _kaikki_",
> niin sitten ne joko on kaikki listassa tai oletus on väärä,
> joka nähdään tekemällä listasta puuttuva olio.
>
Ajattele algoritmillisesti. Siis täytyyhän se ensimmäinen listakin jotenkin
tehdä. Vaikka jollain ohjelmalla. Muutetaan algoritmia. Se on edelleen
algoritmi, joka tekee listan jossa on kaikki.
Miokä helvetin pakkooletus se on että pitää olla heti valmis lista. Pitää
vain osoittaa, että oon olemassa algoritmi jolla sellainen lista voidaan
tuottaa. Sen puuttuvan desimaalin tuottaminenhan on algoritmillista. Se
kuuluu osana siihenalgoritmiin joka kuviteltavissa olevassa ajallisessa
ikuisuudessa luettelisi kaikki reaaliluvut. Mahdotontahan se on käytännössä,
mutta niin on kaikki äärettömillä toiminnoilla pelleily äärellisessä
maailmassa.
On niissä eroa. Mutta eihän sen ensimmäisen listan tuottava algoritmikaan
koskaan pysähdy, jos se on järkevä tai kukaan tosissaan yrittääkään väittää
tuottavansa kaikkia reaalilukuja 0...1 - sen täytyy olla samanluonteinen
kuin minkä esitin jossa luupissa pyöritetään "kaikki" desimaalit 0...9:ään.
Algoritmi mikä algoritmi se on sekin millä tuotetaan kaikkien reaalilukujen
lista vähän jatkamalla sitä algoritmia, millä Cantor "todisti" että ei voida
luetella.
Petri Keckman
"Juha Lemmetti" <ju...@nowhere.invalid> kirjoitti
viestissä:slrnbjvk82...@assari.cc.tut.fi...> Mutta, kun nyt kerran kysyt sitä ajatusvirhettä, niin se taitaapi tulla
> siinä vaiheessa, että et huomioi noiden "luetteloitujen reaalilukujen"
> olevan itse asiassa äärettömän pitkiä. Se on se iso ero luonnollisiin
> lukuihin verrattuna - lista on "kahteen suuntaan ääretön", lukuja on
> ääretön määrä JA jokainen luku on äärettömän pitkä.
Jos tuollaisilla argumenteilla kumotaan N->R kuvaus, niin eikös samalla
argumetilla kumota N->Q kuvaus?
Siis siinä taulukkotempussa on ääretön x ääretön rationaalilukuja ja
luonnollisia lukuja vain ääretön.
Kalle Kivimaa
> Miokä helvetin pakkooletus se on että pitää olla heti valmis lista. Pitää
Ei se olekaan mikään pakko-oletus. Kritisoimassasi todistuksessa se
kyllä oletetaan, mutta toki voit olla olettamatta, mutta älä silloin
kuvittele samanlaisen etenemistavan toimivan.
> On niissä eroa. Mutta eihän sen ensimmäisen listan tuottava algoritmikaan
> koskaan pysähdy, jos se on järkevä tai kukaan tosissaan yrittääkään väittää
> tuottavansa kaikkia reaalilukuja 0...1 - sen täytyy olla samanluonteinen
Jos se "algoritmi" ei koskaan pysähdy, se ei ole algoritmi. Yksi
algoritmin (neljästä) perusmääritelmistä on pysähtymisvaatimus.
--
* Sacherin toinen laki: Elämä ilman suklaakakkua ei ole elämää. *
* PGP public key available @ http://www.iki.fi/killer *
Kalle Kivimaa
> Kuitenkin väität että jono lähestyy sqrt(2):sta
Väitä vain, varmaan kaikki täällä ovat samaa mieltä kanssasi.
> Ja jos s1+s2+s3+...=sqrt(2) niin samoin tuon alemman jonon pituuden arvo on
> ääretön.
Ei ole vaan sen jonon pituuden _raja-arvo_ on ääretön eli siis pituus
_lähestyy_ ääretöntä, ihan samoin kuin ylhäällä sqrt(2):n tapauksessa
jo totesitkin.
Onko tässä nyt niin että siinä missä matemaatikot (yleensä)
tunnustavat äärettömän olevan poikkeava ja vaarallinen käsite, sinä
väkisin yrität tehdä siitä numeron (pun intended)? Oletko tutustunut
laajennettujen reaalilukujen joukkoon lainkaan?
Petri Keckman
"Kalle Kivimaa" <nos...@killeri.net> kirjoitti
viestissä:87isouu...@home.killeri.net...
> "Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
> Jos se "algoritmi" ei koskaan pysähdy, se ei ole algoritmi. Yksi
> algoritmin (neljästä) perusmääritelmistä on pysähtymisvaatimus.
>
Tuo algoritmin "määritelmä" on määritelty toista matematiikkaa kuin
nykymatematiikkaa varten, jossa operoidaan ääretön askeisilla suorituksilla.
Ja toista käytäntökin varten kuin nykypäivän käytäntöä varten. Ja tuskin se
nyt Jumalan määritelmä on algoritmille.
Voidaan siihen ohjelmaan yksi sellainen pieni näppäin interrupti lisätä,
että jos vaikka käyttäjä painaa "p", niin sitten se pysähtyy. Noin, nyt se
ositten algoritmi.
Ehkä ollaan jotenkin osattu ennakoida sitä että matematiikasta poistetaan
ääretön ja otetaan käyttöön uusi matematiikka, kun Metafyysiken Von
Helsingforsin jälkeenjättämät n+1 sivuiset kirjoitukset matematiikan
ristiriidoista löydetäään n+1 vuotta hänen kuiolemansa jälkeen uudestaan.
Minusta sellainen ohjelma joka ihan vain vittuillakseen tuottaisi esim.
niintä bijektioita f(nmlkm) = omklmn olisi kyllä ...niin jos joku ihminen on
määritellyt että se ei ole algoritmi, niin se ei ole.
Taidankin ruveta taiteilijaksi ja tehdä sellaisen ohjelman oikein
konekielellä helevetin nopeaksi, viilaisi vielä ulkonäköä:
f(123456) = 0.654321
Eli jättäisi tulostuksest pois noi loppu nollat ja sitten otsikkona olisi
"Tämä ei ole algoritmi".
(Ainakaan tämä ei ole algoritmi matemaatikoiden mielestä - ja erityisesti
tämä ei ole algoritmi matalaotsaisten mänttien ihannemaan asukkaiden eli
suomalaisten mielestä. Se on tässä maassa sama sekä fysiikan että
matematiikan puolellla. Molemmissa vallitsevana kulttuurina on jonkinlainen
ankaran isällisen kasvatuksen jättämän trauman uskaltamattomuus ja
haluttomuus pohtia oman tieteenalansa filosofisia peruskysymyksiä, vaan
otetaan kaikki mitä kirjat sanoo lähes jumalallisena ilmoituksena
totuudesta.)
00005: 0.50000000000000000000
00006: 0.60000000000000000000
00007: 0.70000000000000000000
00008: 0.80000000000000000000
00009: 0.90000000000000000000
00010: 0.01000000000000000000
00011: 0.11000000000000000000
00012: 0.21000000000000000000
.
.
.
49984: 0.48994000000000000000
49985: 0.58994000000000000000
49986: 0.68994000000000000000
49987: 0.78994000000000000000
49988: 0.88994000000000000000
.
.
.
5676000: 0.00067650000000000000
5677000: 0.00077650000000000000
5678000: 0.00087650000000000000
5679000: 0.00097650000000000000
5680000: 0.00008650000000000000
5681000: 0.00018650000000000000
5682000: 0.00028650000000000000
5683000: 0.00038650000000000000
Petri Keckman
"Kalle Kivimaa" <nos...@killeri.net> kirjoitti
viestissä:87ekziu...@home.killeri.net...
> "Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
> > Kuitenkin väität että jono lähestyy sqrt(2):sta
> Väitä vain, varmaan kaikki täällä ovat samaa mieltä kanssasi.
>
Mitä? Kuka väittää? Joku toinen väitti jono lähestyy srqt(2):sta
Ja kaikki ovat varmaan samaa mieltä? Eli tarkoitatko että eivät ole? Minä
sitten inhoan tahallista epäselvää kommunikointia.
> > Ja jos s1+s2+s3+...=sqrt(2) niin samoin tuon alemman jonon pituuden arvo
on
> > ääretön.
>
> Ei ole vaan sen jonon pituuden _raja-arvo_ on ääretön eli siis pituus
> _lähestyy_ ääretöntä, ihan samoin kuin ylhäällä sqrt(2):n tapauksessa
> jo totesitkin.
No niin minä tarkoitin myös tuon pituuden kanssa. Että sen jonon pituuden
raja-arvo lähestyy ääretöntä. Mutta nykymatemaatikot samaistavat sqrt(2):n
arvon ja sen jonon raja-arvon. Vaikka jono ei koskaan saavuta raja-arvoa, ne
lykkäävät yhtäsuuruus merkin että sqrt(2)=s1+s2+s3+...
Yhtä hyvin minä voin sanoa että jononpituus=raja-arvo(jonopituus)=ääretön
> Onko tässä nyt niin että siinä missä matemaatikot (yleensä)
> tunnustavat äärettömän olevan poikkeava ja vaarallinen käsite, sinä
> väkisin yrität tehdä siitä numeron (pun intended)?
Ei en yritä tehdä äärettömästä numeroa. Ehkä tarkoitat taas muuta kuin
sanot.
"pun intended" = keksiä sanaleikkejä?
Aika itsestäänselvästi suurena totuutena noita Cantorin naurettavia
taulukkotemppu todistuksia pidetään joissa operoidaan taulukoilla joissa on
äärttömän monta saraketta ja riviä ja listataan äärettömän monta riviä
luetteloon ja konstruoidaan siitä äärettömän pitkä desimaali - että ei kyllä
ilmene mitenkään nykymatematiikassa se että ääretön olisi vaarallinen
käsite.
> Oletko tutustunut
> laajennettujen reaalilukujen joukkoon lainkaan?
>
En muista. Mitäs ne. trans lukujen teoria? Vai mikä hitto se oli?
Transestiittiiset luvut...
Petri Keckman
"Jukka Kohonen" <koh...@cc.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:bhr7il$2l5$4...@oravannahka.helsinki.fi...
> >Jos tuollaiset sanalliset määritelmät kelpaa, niin #luku joka saadaan kun
> >luvun "Ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan." desimaaliosan
> >numerot luetellaan käänteisessä järjestyksessä."
> >
> >f( ...........985356295141 )=0,141592653589...
>
> Jokainen N:n alkio on äärellisen mittainen. Tuo olio, joka sinulla on
> f:n sulkujen sisällä, ei siis selvästikään ole N:n alkio. Sorry, no bonus.
>
No voi hemmetti. Tuo f( ...........985356295141 )=0,141592653589... oli vain
selkeyttämässä esitystä.
Ethän sinäkään antanut kuin sanallisen määritelmän piistä. Siis minäkin voin
antaa luvusta, joka kuvautuu sille.
f(luku joka saadaan kun
luvun "Ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan." desimaaliosan
numerot luetellaan käänteisessä järjestyksessä."
)="Ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan"
Kalle Kivimaa
> Mitä? Kuka väittää? Joku toinen väitti jono lähestyy srqt(2):sta
Hups, anteeksi, luin huolimattomasti vastatessani.
--
* Outside of a dog, a book is man's best friend. Inside of a dog, it's *
* too dark to read. (Groucho Marx) *
Vesa-Matti Sarenius
>Ajattele algoritmillisesti. Siis täytyyhän se ensimmäinen listakin jotenkin
>tehdä. Vaikka jollain ohjelmalla. Muutetaan algoritmia. Se on edelleen
>algoritmi, joka tekee listan jossa on kaikki.
Siihen seis. Kuinka algoritmisi päättyy? Kun yksi algoritmin perusoletuksista
on kuitenkin, että se päättyy. Algoritmi on yksikäsitteinen toimintaohje, joka
saattaa jonkin tehtävän valmiiksi äärellisessä ajassa.
Vesa-Matti Sarenius
Hieman ongelmia aiheuttaa vain se, että et ole määritellyt
lukuja ...511111511115111, jne. mitenkään. Numeroituvuushan
tarkoittaa bijektiota luonnollisilta luvuilta joukolle, mutta em.
luku ei ole luonnollinen luku.
Jos pystyt sen määrittelemään ja osoittamaan yhtä mahtavaksi luonnollisten
lukujen joukon kanssa, niin uskon sinua vilpittömästi ja kumarran suuntaasi
ja alan välittömästi tutkimaan uutta matematiikkaasi vaikken lukuteoriasta
juuri mitään (topologina) ymmärräkään. Haempa tutkimukseeni vielä apurahaakin!
Mutta todistukseesi saakka kaikki on humpuukia ja tyhjänpäiväistä
pseudomatemaattista pörräämistä päättymättömine algoritmeineen...
Juha Lemmetti
> "Juha Lemmetti" <ju...@nowhere.invalid> kirjoitti
>> Mutta, kun nyt kerran kysyt sitä ajatusvirhettä, niin se taitaapi tulla
>> siinä vaiheessa, että et huomioi noiden "luetteloitujen reaalilukujen"
>> olevan itse asiassa äärettömän pitkiä. Se on se iso ero luonnollisiin
>> lukuihin verrattuna - lista on "kahteen suuntaan ääretön", lukuja on
>> ääretön määrä JA jokainen luku on äärettömän pitkä.
>
> Jos tuollaisilla argumenteilla kumotaan N->R kuvaus, niin eikös samalla
> argumetilla kumota N->Q kuvaus?
>
> Siis siinä taulukkotempussa on ääretön x ääretön rationaalilukuja ja
> luonnollisia lukuja vain ääretön.
Itse asiassa ei, koska niitä lukuja on vain 2 * ääretön ( :-) )
Jos kirjoitat murtoluvun peräkkäin muodossa osoittaja/nimittäjä, niin
siinä on kaksi äärellisen mittaista lukua ja kauttaviiva välissä ->
tuloksena on äärellisen mittainen luku.
Näin ollen rationaaliluvut voisi luetella vaikka 11-järjestelmässä, jos
11. merkki on "/". Luettelon ongelma olisi se, että siihen jäisi turhan
paljon aukkoja. Se taulukkoversio on tässä suhteessa kivempi.
Ja taas vastakysymys:
Oli hotellinpitäjä (annetaan hänelle vaikka nimeksi Hilbert), jolla oli
hotelli. Hotelli oli siitä erikoislaatuinen, että siinä oli
(numeroituvasti) ääretön määrä huoneita. Lisäksi hotelli oli ääriään
(äärettömyyttään?) myöten täynnä, eli vapaita huoneita ei ollut.
No, hotelliin tuli matkalaispariskunta, joka olisi halunnut vuokrata
huoneen. Hotellinpitäjä joutui toteamaan, että vapaita huoneita ei ollut.
Matkalaispariskunta pahoitti tästä mielensä, koska kaikki muutkin hotellit
olivat täynnä ja he olivat väsyneitä. Hetken asiaa tuumittuaan
hotellinpitäjä keksi. Hän pyysi ystävällisesti huoneen 1 pariskuntaa
siirtymään huoneeseen 2, huoneen 2 pariskuntaa siirtymään huoneeseen 3 ja
niin edelleen. Näin huone 1 vapautui matkalaisille ja kaikki olivat
tyytyväisiä (paitsi ääretön osajoukko äärettömästä luvusta vieraita, jotka
joutuivat vaihtamaan huonetta myöhään illalla).
Sade ulkona yltyi, ja yht'äkkiä ovelle törmäsi saksalainen turistiseurue,
jossa oli (numeroituvasti) ääretön määrä jäseniä.
Mitä teki hotellinpitäjä?
http://hilbertwi.areaguides.net/hotels.html
*J
Risto Paasivirta
Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
>En kai minä olekaan väittämässä että äärettömän pitkän kokonaisluvun pituus
>olisi reaalinen!
Ei, kun sinä olet väittämässä, että "äärettömän pitkä kokonaisluku"
olisi reaalinen (luonnollinen luku).
>En muista missä yhteydessä tuo tuo oli, mutta kyllä siinä kai oli tarkoitus
>osoittaa että luvun pituudeksi tulee ääretön.
>
>Ja hyvä! Joku on kerrankin samaa mieltä? Luvun pituudeksi tulee ääretön.
Desimaalirimpsun pituudeksi tulee... Se että rimpsu vastaa jotain
_lukua_ on todistamatta.
Aatu Koskensilta
> "Aatu Koskensilta" <aatu.kos...@xortec.fi> kirjoitti
> viestissä:eV_%a.1463$Xq6...@reader1.news.jippii.net...
>
>>Petri Keckman wrote:
>>Kerro minulle mikä luonnollinen luku pitää t:n
>>arvoksi antaa, että saamme 2:n neliöjuuren desimaalikehitelmän
>>desimaalipilkun jälkeen tulevan osan?
>>
>
>
> Kerro sinä ensin minulle mikä t:n arvoksi annetaan, että saadaan neliöjuuri
> 2:n määritelmästä luotua sille desimaalipilkun jälkeen tuleva osa?
> Ku siis sqr(2)=s1+s2+...+st
>
> Ilmeisesti ääretön. Ja näkeehän tuon selkeästi siististä bijektiostani,
> jossa esim. fn(210)= 0.012 eli siis kokonaisluku luetellaan käänteisessä
> järjestyksessä.
>
> Eikö vastaus kysymykseesi ole silloin ilmiselvästi: fn(...1373265312414)
> = 0,4142135623731...
...1373265312414 ei ole luonnollinen luku. Jos haluat jostain kumman
syystä kutsua järjestystyypin omega* (normaalien luonnollisten lukujen
järjestys väärinpäin) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}-jonoja luonnollisiksi
luvuiksi, niin silloin sinun määritelmäsi mukaan luonnollisten lukujen
joukon kardinaliteetti on sama kuin reaalilukujen (normaalin määritelmän
mukaan) joukon. Sinun "luonnolliset lukusi" eivät kuitenkaan toteuta
normaaleja luonnollisia lukuja koskevia aksioomia, mm. induktio aksioomaa.
> 1)
>
>>Cantorin todistuksessa konstruoidaan yksi reaaliluku, joka eroaa
>>*kaikista* luvuista listassa. Koska listasta ei tehty mitään oletuksia,
>>pätee todistus kaikille reaalilukujen listoille.
>>
>
>
> Konstruoidaan kun käydään ääretön lista läpi?
"Konstruoidaan" abstraktissa mielessä. Tässä konstruoimisella ei
tarkoiteta mitään todellista ihmisen tai koneen suorittamaa prosessia,
vaan eksplisiittistä määritelmää. Matematiikassa usein käytetään
tällaista kieltä siten, että sanomme, että jokin objekti A konstruoidaan
objektista B jos on olemassa eksplisiittinen määritelmä A:lle kun B
oletetaan tunnetuksi. Tässä siis B on mikä tahansa lista reaalilukuja
(eli funktio B: N --> R, missä N on normaali luonnollisten lukujen
joukko, joke toteuttaa induktio aksiooman, eikä siis sisällä esim. sinun
lukuasi ...1373265312414) ja A on reaaliluku, jonka määrittelemme
eksplisiittisesti siten, että A(i) (A:n i:s desimaali) != B(i)(i).
> 2)
>
>>Mutta missään vaiheessa et löydä listaa, jota ei voisi osoittaa
>>epätäydelliseksi. Prosessisi ei siis osoita, että tällainen lista olisi
>>olemassa.
>>
>
> Niin minäkin konstruoin sillä, että laitan aina ne yhdestä listasta
> puuttuvat luvut heti seuraavan listan alkuun, yhden listan, joka syntyy kun
> listoja käydään äärettömän monta kertaa läpi.
Mistä päättelet, että äärettömän prosessin seurauksena syntyy mikään
täydellinen lista? Oletetaan, että sinulla on jokin prosessi, jota
voimme kuvata funktiolla Uusi(Lista,Diagonaaliluku), joka tuottaa sinun
uuden listasi kun sille annetaan aikaisempi lista ja siitä konstruoitu
diagonaaliluku. Väität siis, että kun iteroimme tätä funktiota esim.
omega kertaa (yhtä monta kertaa kuin on normaaleja luonnollisia lukuja
ja niiden luonnollisessa järjestyksessä), saamme täydellisen listan?
Tämä on väärin. Lista on yhä epätäydellinen ja voin siitäkin konstruoida
diagonaaliluvun. Voimme sitten jatkaa vaiheesiin omega+1, omega+2, ...,
ja vihdoin taasen äärettömän ajan kuluttua vaiheeseen omega+omega.
Tämäkin lista on diagonalisoitavissa. Missään vaiheessa et saa aikaan
listaa, jossa olisi kaikki reaaliluvut. Jos väität, että saat, osoita se
kohta (=ordinaaliluku) tästä progressiosta, jossa sinulla on täydellinen
lista.
> Samalla logiikalla kun sinä kritisoit 2), minä voisin kritisoida 1):stä,
> jossa et missään vaiheessa löydä lopullista lukua, joka puuttuu listasta
> joka on ääretön.
Ei *minun* sitä tarvitse löytää. Riittää että se on matemaattisessa
mielessä olemassa. Ja se on, minkä Cantorin todistus osoittaa.
> Tai jos annat sille päättymättömän desimaaliesitelmän, niin
> pistän sen seeuraavan alkuun. Missään vaiheessa et saa tehtyä lopullista
> listaa josta puuttuisi kaikki desimaaliluvut, koska törkkään sulle heti
> uuden.
Huh? En minä yritä tehdä listaa vaan *sinä*. Todistaakseni väitteeni
minun täytyy vain osoittaa jokainen yrityksesi virheelliseksi. Cantorin
todistus antaa siihen menetelmän, joka toimii aina.
--
Aatu Koskensilta (aatu.kos...@xortec.fi)
"Wovon man nicht sprechen kann, daruber muss man schweigen"
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus
Tuomas T Korppi
: "Juha Lemmetti" <ju...@nowhere.invalid> kirjoitti
: viestissä:slrnbk1j3q...@assari.cc.tut.fi...
:> On 2003-08-17, Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
:> > Miksei nykymatikka hyväksy äärettömän pitkiä luonnollisia lukuja esim.
:> > 33333333333...........?
:> > Siksikö että tulisi ristiriitoja? Eikö tuollaisia ole kuitenkin olemassa
: jos
:> > leikitään äärettömän pitkillä summilla 3+30+300+3000+...=33333333333....
:>
:> Vastauksena tuohon vastakysymys:
:> mitä eroa on "äärettömän pitkillä luonnollisilla luvuilla"
: En ole vielä määritellyt niiden äärettömän pitkien luonnollisten lukujen
: laskutoimituksia. Enkä taida määritelläkään, kun ihmnettelin vain miksei
: ääretöömällä leikkivät nykymatemaatikot niitä hyväksy.
"Hyväksy", missä mielessä? Nykymatemaatikkojen mielestä niin
luonnollisten lukujen joukko (jossa ei ole äärettömän pitkiä lukuja)
kuin p-adisten kokonaislukujen joukot (joissa on äärettömän pitkiä
lukuja) ovat molemmat olemassa. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että
äärettömän suuret p-adiset kokonaisluvut olisivat luonnollisia lukuja.
Luonnollisilla luvuilla on aivan älyttömän paljon enemmän käyttöä kuin
p-adisilla kokonaisluvuilla, ja tämä on toinen niistä syistä, minkä
takia luonnollisten lukujen struktuuri on se, mitä yleisesti käytetään.
Toinen syy on se, että luonnollisten lukujen joukko ei olennaisesti
riipu siitä, missä kannassa luvut esitetään, mutta p-adisten kokonaislukujen
joukot ovat erilaisia riippuen siitä, mikä on lukujärjestelmän kantaluku
p.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
------------------------------------------------------------
To become a person, I must degrade myself intellectually.
- Golem XIV
Valmari Antti
Petri Keckman kirjoitti:
> Jos hyväksytään äärettömän pitkät luonnolliset luvut. Minä en niitä hyväksy,
> mutta en ole kenekään nykymatemaatikonkaan, joka hyväksyy äärettömän käytön,
> nähnyt kuullut mitenkään perustelevan miksi niintä ei hyväksytä. Siksikö
> vain, että joukon N nimi sattuu olemaan "luonnolliset" luvut. Ja siksi ne
> täytyy säilyttäää luonnollisina?
Kuten sanoin, "äärettömien luonnollisten lukujen" teoria voidaan
kehittää. "Numeromerkkien luettelu takaperin" -konstruktiosi lienee
niille ihan pätevä (se tarvitsee hieman täsmennyksiä esimerkiksi sen
vuoksi, että 0,999... = 1,000..., mutta tällaiset lienevät hoidettavissa).
Konstruktiosi osoittaa, että reaalilukuja on yhtä paljon kuin "äärettömiä
luonnollisia lukuja". Tämä on totta. Kumpiakin on ylinumeroituva määrä.
> Eikös induktiotodistus ole luonteeltaan juuri sellainen, että todetaan että
> jos f(n), niin f(n+1) ja sitten näytetään että f(1), josta seuraa että
> kaikille pätee f(n).
Esillä olleessa tapauksessa sana "kaikki" tarkoittaa "luettelon jokainen
äärellinen alkuosa". Se on eri asia kuin "koko ääretön luettelo".
> Joo. Et sinäkään niin hyvin määrittele perustelujasi, kun toteat vain että
> ei ole kovin hyvin määritelty, joten eui käy.
Todistuksen taakan katsotaan yleensä kuuluvan sen harteille, joka esittää
yleisesti hyväksyttyjen vastaisia väitteitä.
Mutta olkoon, yritän toista näkökulmaa asiaan (vaikka tiedänkin sen turhaksi.
Jospa tätä lukee joku oikeasti oppimishaluinenkin!)
Vaikka Cantorin diagonalisointi ajateltaisiin päättymättömänä prosessina eikä
kertaheitolla tehtävänä asiana, niin
(a) jo tehtyä työtä ei jouduta uusimaan, ts. kun n:s desimaali on saanut
arvonsa, kyseinen arvo säilyy jatkossakin; ja
(b) kukin desimaali saa aikanaan arvonsa.
On jäänyt (ja tulee jäämään) todistamatta, että jos reaalilukujen luetteloa
täydennetään lisäämällä sinne yksi kerrallaan lukuja, niin jokainen reaaliluku
tulee aikanaan lisättyä.
> Tuolla perusteella voidaankin poistaa matematiikasta sellaiset roskat kuin
> äärettömän pitkät reaaliluvut tai irrationaaliluvut.
On totta, että esimerkiksi kysymys neliöjuuri(2):n olemassaolosta ei ole
yhdentekevä. Sen olemassaolo voidaan todistaa esimerkiksi
täydellisyysaksioomasta käsin, mutta aina voidaan kysyä, miksi
täydellisyysaksioomaan pitäisi "uskoa".
Viime kädessä kyse on siitä, että toisaalta neliöjuuri(2) on havaittu
tarpeelliseksi ja hyödylliseksi, ja toisaalta on onnistuttu kehittämään
sisäisesti ristiriidaton ja matemaatikkoja tyydyttävä (ja esimerkiksi
fyysikoille ja insinööreille hyödyllinen) teoria, jossa neliöjuuri(2) on
mukana. Kyseinen teoria ei ole aivan helppo (eikä sitä tietääkseni selitetä
kunnolla kansantajuisesti juuri missään), joten en ihmettele, jos Sinulla
on vaikeuksia ymmärtää sitä.
Äärettömät käsitellään kyseisessä teoriassa suurella huolella ja
varovaisuudella.
> Miksi minä en voi samoin todeta, että yhdelläkään jonon
>
> 1
> 2
> 3
> .
> .
> .
>
> arvoista ei ole sitä ominaisuutta että ne olisivat äärettömän pitkiä,
> kuitenkin väitän että jono lähestyy äärettömän pitkää lukua.
Kyllä, on aivan mahdollista ajatella, että kyseinen jono lähestyy jotakin,
jonka voi halutessaan ajatella "äärettömän pitkäksi luvuksi", ja kokeilla,
saisiko sillä tavalla aikaan käyttökelpoista ja/tai mielenkiintoista
matematiikkaa.
> Ajattele algoritmillisesti.
Ajattele itse sitä, että jos kaikkien reaalilukujen luettelo todella olisi
olemassa, niin silloin olisi mahdollista tehdä diagonalisointi sille. Tätä
tosiasiaa ei voi paeta puhumalla loputtomasta määrästä vajaita listoja.
Matemaatikon käsitys "luvallisesta konstruktiosta" on lievempi kuin
algoritmisen konstruoitavuuden vaatimus. Sen vuoksi algoritmit sopivat
tähän keskusteluun huonosti. Kaikkia reaalilukuja ei voi tuottaa algoritmisesti.
Mitä tulee "mahdottomuuteen" ja "mahdollisuuteen" algoritmien yhteydessä,
niin asia on perin juurin tutkittu. Cantorin diagonalisoinnin soveltaminen
tuottaa sillä alueella useita erilaisia hierarkioita riippuen siitä miten
ja mihin sitä sovelletaan.
> (Ainakaan tämä ei ole algoritmi matemaatikoiden mielestä - ja erityisesti
> tämä ei ole algoritmi matalaotsaisten mänttien ihannemaan asukkaiden eli
> suomalaisten mielestä. Se on tässä maassa sama sekä fysiikan että
> matematiikan puolellla. Molemmissa vallitsevana kulttuurina on jonkinlainen
> ankaran isällisen kasvatuksen jättämän trauman uskaltamattomuus ja
> haluttomuus pohtia oman tieteenalansa filosofisia peruskysymyksiä, vaan
> otetaan kaikki mitä kirjat sanoo lähes jumalallisena ilmoituksena
> totuudesta.)
Kysyin aiemmin "Oletko tosissasi etsimässä ymmärrystä, vai trollaatko vain?"
Selväksi tuli!
--- Antti Valmari ---
Petri Keckman
"Juha Lemmetti" <ou...@nowhere.invalid> kirjoitti
viestissä:slrnbk3fv2...@assari.cc.tut.fi...
> On 2003-08-18, Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
> > Siis siinä taulukkotempussa on ääretön x ääretön rationaalilukuja ja
> > luonnollisia lukuja vain ääretön.
>
> Itse asiassa ei, koska niitä lukuja on vain 2 * ääretön ( :-) )
>
> Jos kirjoitat murtoluvun peräkkäin muodossa osoittaja/nimittäjä, niin
> siinä on kaksi äärellisen mittaista lukua ja kauttaviiva välissä ->
> tuloksena on äärellisen mittainen luku.
>
Jos sulla on 4 rivinen ja 4 sarakkeinen taulukko niin sulla on 4*4 alkoita.
Jos taulukossa on ääretön määrä rivejä ja ääretön määrä sarakkeita, niin
siinä on ääretön*ääretön määrä alkioita.
Mitä sitten, että on äärellisen mittainen luku? Niitä lukuja on ääretön *
ääretön kpl.
siis tämähän se oli se sinun ensimmäinen väite:
2)
> > Mutta, kun nyt kerran kysyt sitä ajatusvirhettä, niin se taitaapi tulla
> > siinä vaiheessa, että et huomioi noiden "luetteloitujen reaalilukujen"
> > olevan itse asiassa äärettömän pitkiä. Se on se iso ero luonnollisiin
> > lukuihin verrattuna - lista on "kahteen suuntaan ääretön", lukuja on
> > ääretön määrä JA jokainen luku on äärettömän pitkä.
Niin aivan vastaavan paljonhan Cantor tarvitsee luonnollisia lukuja
voidakseen täyttää taulukon, jossa on ääretön * ääerötön määrä soluja.
taulukko:
1 2 3 4 5......
1 x x x x ....
2 x x x x ....
3 x x x x ....
4 x x x x ....
. . . . . ....
. . . . . ....
. . . . . ....
lista reaaliluvuista:
1 0,10000000000000000000.......
2 0,20000000000000000000.......
3 0,30000000000000000000.......
.
.
.
Pidätkö siis edelleen kiinni väitteestä 2)?
ja 1)
Silloin olet samaa mieltä kuin minä ja olet ainakin itsellesi todistanut,
että ei ole eroa numeroituvasti äärettömässä joukossa ja yli-numeroituvasti
äärettömän joukon "alkioiden määrässä". Niitä on tasan ääretön kpl.
> Näin ollen rationaaliluvut voisi luetella vaikka 11-järjestelmässä, jos
> 11. merkki on "/". Luettelon ongelma olisi se, että siihen jäisi turhan
> paljon aukkoja. Se taulukkoversio on tässä suhteessa kivempi.
>
Ja siinä taulukko versiossakin muuten noiden aukkojen määrä lähestyy
ääretöntä. Onko sillä väliä onko niitä luonnollisia lukuja varaa tuhlata
nopeasti äärettömän paljon vai hitaasti, kun lopputulos on sama: niitä
tuhlataan äärettömän paljon ja silti niitä riittää kaikille ääretön*ääretön
määrälle murtolukuja..
> Ja taas vastakysymys:
>
Vanha vitsi. Kuulin ekan kerran keskikoulun 3:lla luokalla.
Kalle Kivimaa
> Silloin olet samaa mieltä kuin minä ja olet ainakin itsellesi todistanut,
> että ei ole eroa numeroituvasti äärettömässä joukossa ja yli-numeroituvasti
> äärettömän joukon "alkioiden määrässä". Niitä on tasan ääretön kpl.
Tehdään seuraavanlainen kuvaus rationaaliluvuista luonnollisiin
lukuihin:
1/1 = 1
-1/1 = 2
1/2 = 3
-1/2 = 4
2/1 = 5
-2/1 = 6
2/2 = 7
-2/2 = 8
1/3 = 9
-1/3 = 10
3/1 = 11
-3/1 = 12
2/3 = 13
-2/3 = 14
3/2 = 15
-3/2 = 16
3/3 = 17
-3/3 = 18
1/4 = 19
-1/4 = 20
4/1 = 21
-4/1 = 22
2/4 = 23
-2/4 = 24
4/2 = 25
-4/2 = 26
3/4 = 27
-3/4 = 28
4/3 = 29
-4/3 = 30
4/4 = 31
-4/4 = 32
.
.
.
Tämä kuvaus siirtää jokaisen rationaaliluvun yksikäsitteisesti
luonnollisesksi luvuksi. Mitä tahansa rationaalilukua vastaava
luonnollinen luku on laskettavissa äärellisessä ajassa. Osoitapa
vuorostasi, että vastaavanlainen kuvaus on olemassa reaaliluvuille
sortumatta käyttämään äärettömän pitkiä "luonnollisia" lukuja.
Vaihtoehtoisesti voit toki osoittaa kuvaukseni virheelliseksi.
--
* Dean's Rule #45. The truth hurts for a moment. *
* A lie hurts for a long time. *
Petri Keckman
"Kalle Kivimaa" <nos...@killeri.net> kirjoitti
viestissä:87ada5r...@home.killeri.net...
> "Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
> Tämä kuvaus siirtää jokaisen rationaaliluvun yksikäsitteisesti
> luonnollisesksi luvuksi.
> 1/1 = 1
> 2/2 = 7
> 4/4 = 31
Rationaaliluvuissa samaistetaan n*i/m*i ja n/m.
Sinä olet esittänyt "bijektiossasi" jo kolme luonnollista luku 1, 7, 31
vastaamaan murtolukua 1/1.
Loppuosaa mietin vielä...
Mutta olen kyllä sitä mieltä näin tietokoneiden aikakaudella, että
matematiikassa voitaisiin luopua äärettömän pitkistä reaaliluvuista, kun
reaaliluvuille tietokoneessakin löytyy vain äärellisen pitkiä esitysmuotoja.
Silloinhan se on vain se miten ne bittijonot tulkitaan.
N(01001001100011)=R(01001001100011)
N(00101001001100)=R(00101001001100)
Vesa-Matti Sarenius
>matematiikassa voitaisiin luopua äärettömän pitkistä reaaliluvuista, kun
>reaaliluvuille tietokoneessakin löytyy vain äärellisen pitkiä esitysmuotoja.
Reaaliluvuille ei ole desimaalilukuina äärellisen pitkiä esitysmuotoja,
sellaisia kutsutaan rationaaliluvuiksi. Väitän, että reaaliluvuille EI LÖYDY
tietokoneessa esitysmuotoja (tai siis irrationaaliluvuille), ei ole
ainakaan itselleni tullut vastaan. Matemaattisten ohjelmistojenkin tarkat
arvot (sqrt(2), pii) ovat ns. symbolisia termejä, jotka eivät ole lukuja
laisinkaan.
OT: tietääkö muuten joku, mikä on sadannen miljoonannen Fibonacci-luvun
likiarvo? Nyt tietää: n. 4.737103473456336962548971313*10^20898763.
Alkoi ahistamaan, niin piti laittaa mukaan jotakin asiaankin liittyvää.
Petri Keckman
"Valmari Antti" <ava@.c.s...t.u.t...f.i.invalid> kirjoitti
viestissä:bhsvcs$nje$1...@news.cc.tut.fi...
>
> 0,999... = 1,000..
Tällaiset osoittaa että ihmisen kannattaisi lopettaa äärettömän pitkillä
desimaaliosilla pelleily. Me emme tunne tai pysty esittämään tai käyttämään
reaalilukuja kuin äärellisellä tarkkuudella.
> (a) jo tehtyä työtä ei jouduta uusimaan, ts. kun n:s desimaali on saanut
> arvonsa, kyseinen arvo säilyy jatkossakin; ja
No ok, minä tuotan jokaisen luonnollisen luvun kohdalla luvun, jossa panen
siihen 1 perään.
1:1
2:11
3:111
4:1111
.
.
.
Jo tehtyä työtä ei jouduta uusimaan.
>
> (b) kukin desimaali saa aikanaan arvonsa.
>
> On jäänyt (ja tulee jäämään) todistamatta, että jos reaalilukujen
luetteloa
> täydennetään lisäämällä sinne yksi kerrallaan lukuja, niin jokainen
reaaliluku
> tulee aikanaan lisättyä.
>
Sen kuin kasvatetaan ensimäistä desimaalia yhdellä, jos se on 9, siitä tulee
0 ja kasvateaan seuraava desimaalia yhdellä. Ihan niinkuin siinä visual
basic ohelmassa.
Otetaan aluksi lista:
0.1
Edellisellä konstruktiolla saadaan, että siitä puuttuu 0.2
Laitetaan se nyt perään, saadaan
0,1
0,2
Tästä puuttuu 0,3 jne....
Jokainen äärellisen pituinen reaaliluku tulee aikanaan lisättyä. Enkä minä
enää muita hyväksykään, jos te ette kerran hyväksy äärettömän pitkiä
luonnollisia lukuja.
> Viime kädessä kyse on siitä, että toisaalta neliöjuuri(2) on havaittu
> tarpeelliseksi ja hyödylliseksi, ja toisaalta on onnistuttu kehittämään
Onhan se hyödyllinen, mutta ei vain ole kovin käytännöllinen sellainen
esitys, jossa on äärettömän monta desimaalia.
> > Miksi minä en voi samoin todeta, että yhdelläkään jonon
> >
> > 1
> > 2
> > 3
> > .
> > .
> > .
> >
> > arvoista ei ole sitä ominaisuutta että ne olisivat äärettömän pitkiä,
> > kuitenkin väitän että jono lähestyy äärettömän pitkää lukua.
>
> Kyllä, on aivan mahdollista ajatella, että kyseinen jono lähestyy jotakin,
> jonka voi halutessaan ajatella "äärettömän pitkäksi luvuksi", ja kokeilla,
> saisiko sillä tavalla aikaan käyttökelpoista ja/tai mielenkiintoista
> matematiikkaa.
Voi ei apua! Kun minä haluaisin poistaa koko äärettömän matematiikasta.
Äärettömän pitkät luonnolliset luvut otin mukaan tarkasteluihin vain siitä
syystä että nykymatematiikassa käytetään äärettömän pitkiä reaalilukuja,
summia, sarjoja ja muuta puuta heinää.
>
> > Ajattele algoritmillisesti.
>
> Ajattele itse sitä, että jos kaikkien reaalilukujen luettelo todella olisi
> olemassa, niin silloin olisi mahdollista tehdä diagonalisointi sille. Tätä
Loppujen lopuksi olen sitä mieltä että ensimmäistäkään äärettömän pitkää
reaalilukua ei ole olemassa. Joten listassa ei ole ensimmäistäkään alkiota.
Päättänen keskustelun tähän. Tämän keskustelulistan pituus alkaa lähestyä jo
liian isoja lukuja.
Sen haluan sanoa vielä siitä algoritmin päättymisen vaatimuksesta, että
kaikki tietokoneen toiminta on palautettavissa siihen, että jos jotkin
sähkövaraukset
(syötebitit) ovat vaikka 101011 ja jotkin bitit (ohjelma) ovat 101001, niin
ne määräävät tiettyjen sääntöjen perusteella (prosessorin toiminta), että
tulosteeksi
tulee jotkin bitit, esimerkiksi 1101010.
Ei yhdessä tietokoneessa ajeta kuin yhtä ja samaa ohjelmaa alusta loppuun.
Ne joita kutsutte ohjelmiksi ovat itseasissa syötteitä tietokoneelle.
Erillinen algoritmi on ajatuksellinen harha. Ja kakki tietokoneet ovat
ikuisessa luupissa, niin kauan kunnes ne ulkopuolelta sammutetaan. Eli
ainoat olemassaoleva olevat algoritmit eivät ole algoritmin määritelmän
mukaisia. Kummassa on vika? Algoritmin määritelmässä vai todellisuudessa?
Juha Lemmetti
> Jos sulla on 4 rivinen ja 4 sarakkeinen taulukko niin sulla on 4*4 alkoita.
>
> Jos taulukossa on ääretön määrä rivejä ja ääretön määrä sarakkeita, niin
> siinä on ääretön*ääretön määrä alkioita.
Juups, totta. Pseudomatematiikassa on se vika, että se vuotaa kuin seula.
> Pidätkö siis edelleen kiinni väitteestä 2)?
>
> ja 1)
>
> Silloin olet samaa mieltä kuin minä ja olet ainakin itsellesi todistanut,
> että ei ole eroa numeroituvasti äärettömässä joukossa ja yli-numeroituvasti
> äärettömän joukon "alkioiden määrässä". Niitä on tasan ääretön kpl.
Niin, tuo on totta. Jos luetteloidaan luonnolliset luvut ja reaaliluvut,
niitä on yhtä monta. Ongelma on siinä, että siinä reaalilukujen
luettelossa ei ole läheskään kaikkia reaalilukuja...
*J
Vesa-Matti Sarenius
>Jokainen äärellisen pituinen reaaliluku tulee aikanaan lisättyä. Enkä minä
>enää muita hyväksykään, jos te ette kerran hyväksy äärettömän pitkiä
>luonnollisia lukuja.
Äärellisen mittaiset (desimaaliesityksenä) reaaliluvut ovat tasan
kokonaisluvut ja jotkin rationaaliluvuista (ei esim. -1/3).
Irrationaaliluvut ovat aina ÄÄRETTÖMÄN pitkiä desimaalilukuna.
Toinen vaatimus on, että desimaaliosassa ei toistu mikään
(äärellinen, tottakai) jono äärettömän monta kertaa peräkkäin (siis
tarkoitan tietty esim. 0,124124124..., joka ei ole irrationaalinen
vaikka onkin päättymätön (=124/999)).
Koska haluat VÄÄRÄN todistuksesi toimivan, et halua uskoa OIKEITA
määritelmiä ja tuloksia. Näinhän saa minkä tahansa todistuksen toimimaan!
Mikä tässä on niin vaikeaa. Konstruoi kuvailemasi äärettömän luonnolliset
luvut, vaikka ZF... ...okei, juhlan kunniaksi ZFC:stä lähtien ja todista
niille ensin väittämäsi ominaisuudet (että niiden joukko on yhtämahtava
luonnollisten lukujen joukon kanssa i.e. niitä on numeroituva määrä), niin
tähän keskusteluun tulee jotakin järkeä!
>syystä että nykymatematiikassa käytetään äärettömän pitkiä reaalilukuja,
>summia, sarjoja ja muuta puuta heinää.
En ole ikinä nähnyt yhtään äärettömän pitkää sarjaa (i.e. jonon summaa). Ja
olen sentään nähnyt Juicenkin livenä!
>Päättänen keskustelun tähän. Tämän keskustelulistan pituus alkaa lähestyä jo
>liian isoja lukuja.
Äärellisenä tässä on kuintenkin pysytty.
>ikuisessa luupissa, niin kauan kunnes ne ulkopuolelta sammutetaan. Eli
>ainoat olemassaoleva olevat algoritmit eivät ole algoritmin määritelmän
>mukaisia. Kummassa on vika? Algoritmin määritelmässä vai todellisuudessa?
Ei algoritmilla ja tietokoneella ole mitään tekemistä keskenään! Siinä
olet lentänyt myös metsään. Algoritmi on formaali käsite. Tietokone
murskaa lukuja -> kaksi eri asiaa!!
Kalle Kivimaa
> Jokainen äärellisen pituinen reaaliluku tulee aikanaan lisättyä. Enkä minä
> enää muita hyväksykään, jos te ette kerran hyväksy äärettömän pitkiä
> luonnollisia lukuja.
Eli hylkäät kaikki irrationaaliluvut. Selvä, käsittelet siis
rationaalilukuja ja rationaalilukujen mahtavuus _on_ sama kuin
luonnollisten lukujen. Olemme yhtä mieltä asiasta, eikö olekin hienoa :)
--
* Those are my principles. If you don't like them I have others. *
* (Groucho Marx) *
Petri Keckman
"Vesa-Matti Sarenius" <sare...@paju.oulu.fi> kirjoitti
viestissä:slrnbk4rgb....@paju.oulu.fi...
> In article <bhtfp8$8ce$1...@nyytiset.pp.htv.fi>, Petri Keckman wrote:
No voi vittu lopettakaa te jo. Minä lopetin jo. En lukenut trollaustasi
loppuun.
Ihan tyhmää tulla selostamaan mitä ovat reaalilvut tai muuta. Kyllä minä ne
tiedän.
Minä en vain hyväksy niitä todellisina. Ne eivät kuulu minun TODELLISUUTEEN.
Minulle ei ääretöntä ole.
Olen omaksunut Pythagoralaisen maailmankuvan. Enkä tunnusta muita kuin
rationaalilukuja todellisiksi. Ei tarvitse todistella, että se on "väärä"
maailmakuva.
Se on minun matematiikkaani.
Katsos kun minä saan harrastaa matematiikkaa niin kuin huvittaa. En ole
opiskelija eikä leipä ole eikä tule olemaan siitä mitenkään kiinni.
Juha Autero
> Olen omaksunut Pythagoralaisen maailmankuvan. Enkä tunnusta muita kuin
> rationaalilukuja todellisiksi. Ei tarvitse todistella, että se on "väärä"
> maailmakuva.
Nyt minä uskon, että olet trolli. Toisessa viestiketjussa kun
todistit, että ei ole olemassa neliötä, jonka sivun pituus ja
lävistäjä olisivat kokonaislukuja. Jos kaikki luvut ovat
rationaalilukuja, niin tuo ei pidä paikkaansa.
--
Juha Autero
http://www.iki.fi/jautero/
Eschew obscurity!
Petri Keckman
"Juha Autero" <Juha....@iki.fi> kirjoitti
viestissä:87u18de...@jautero.no-ip.org...
> "Petri Keckman" <pkec...@welho.com> writes:
> Toisessa viestiketjussa kun
> todistit, että ei ole olemassa neliötä, jonka sivun pituus ja
> lävistäjä olisivat kokonaislukuja. Jos kaikki luvut ovat
> rationaalilukuja, niin tuo ei pidä paikkaansa.
>
Nykymatemaatikot eivät nähtävästi osaa ajatella abstraktisti.
Edelleenkään sellainen päättymätön äärettömän pitkä desimaalikehitelmä ei
vastaa minulle mitään todellista lukua. Siis äärettömän pitkä. Ymmärrätkö?
Ei
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^1
0^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^1
0^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^1
0^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10^1000000000000000000000
desimaalia, vaan ä ä ä ä ä r e t t ö m ä s t i
desimaaleja.
Ei sellaista todellisuudessa ole muuta kuin ihmisen mielikuvitus luo
sellaisen harhaisen käsityksen kuin ääretön.
Minun matematiikassa sqrt(2) tarkoittaa likiarvoa teidän sqrt(2):lle.
Risto Paasivirta
Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
>Olen omaksunut Pythagoralaisen maailmankuvan. Enkä tunnusta muita kuin
>rationaalilukuja todellisiksi. Ei tarvitse todistella, että se on "väärä"
>maailmakuva.
Ei se ole väärä - tarvii vain tiputtaa yksi tai useampi reaali-
lukujen aksioomamista, niin irrationaaliluvut katoavat - mutta
perin hankala maailma, jossa mikään ei ole jatkuvaa, neliöillä
ei ole lävistäjiä ja ympyrän kehä ei ole suhteessa halkaisijaan.
Positiivista on, ettei tarvi turhaan opetella differentiaali-
ja integraalilaskentaa... ;-)
Vesa-Matti Sarenius
>Positiivista on, ettei tarvi turhaan opetella differentiaali-
>ja integraalilaskentaa... ;-)
Hitto, tuota aspektia en olekaan ajatellut. Kuullostaa pelottavan
houkuttelevalta ;)
Vesa-Matti Sarenius
>No voi vittu lopettakaa te jo. Minä lopetin jo. En lukenut trollaustasi
>loppuun.
Näinhän se huono väittelijä aina argumentointinsa lopettaa:"te olette
perseestä, minä olen oikeassa, näkemiin!"...
Trolli tarkoittaa viestejäni esimerkiksi sfnet.keskustelu.uskonto-ryhmässä.
Tähän ryhmään olen pyrkinyt postittamaan ihan asiaa (joskus tulee tosin
virheitä, mutta niitähän tulee kaikille).
Ari T Koistinen
: Todellisuudessa äärettömän jakaminen numeroituvaan ja ylinumeroituvaan on
: ristiriitaista.
: Tai sanotaan nyt, että ei tarvitse ruveta väittelemään: "Että se miten mninä
: näen matikan niin, ..."
Väittäessäsi tuon olevan ristiriitaista, niin mitä tarkkaan ottaen
väität?
Sitäkö, että näkemyksesi mukaan kaikille äärettömille joukoille A
olisikin olemassa (vastoin yleistä käsitystä) bijektio N->A (*), vai että
on mielestäsi ristiriitaista erotella joukkoja tuon bijektion
olemassaolon tai olemassaolemattomuuden perusteella? Oletan sinun
väittävän jälkimmäistä.
Kuitenkin monien tärkeiden matemaattisten tulosten pätevyysalueen raja esim.
topologiassa, yleisessä mittateoriassa ja laskettavuuden teoriassa on
juuri tuo numeroituvien ja ei-numeroituvien (l. ylinumeroituvien)
joukkojen raja. Toki on olemassa myös ominaisuuksia, jotka ovat sekä
äärettömästi numeroituvilla että ylinumeroituvilla joukoilla: kummankaan
alkioita et voi esimerkiksi elinaikanasi luetella etkä laittaa mitään
tietokoneohjelmaa tulostamaan niitä. Se ei kuitenkaan tarkoita, että
joukot olisivat samanlaiset kaikilta muiltakin ominaisuuksiltaan. Mitä
ristiriitaista tässä on?
(*) Määritelmän mukaan A:n numeroituvuus tarkoittaa bijektion N-A
olemassaoloa. N tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa.
--
Ari Koistinen
www.helsinki.fi/~atkoisti
Ari T Koistinen
: Petri Keckman <pkec...@welho.com> wrote:
: : Todellisuudessa äärettömän jakaminen numeroituvaan ja ylinumeroituvaan on
: : ristiriitaista.
: : Tai sanotaan nyt, että ei tarvitse ruveta väittelemään: "Että se miten mninä
: : näen matikan niin, ..."
: Väittäessäsi tuon olevan ristiriitaista, niin mitä tarkkaan ottaen
: väität?
Jahas, threadin loppupuolella asia tulikin esille. Toteamus "olen
pythagoralainen" hiljentää vastaanväittäjät. :) Paitsi ehkä ei ryhmässä
sfnet.keskustelu.uskonto.
t. Ari
Tero Tilus
> Pelkät uteleperustelut eivät tunnetusti matemaatikoille riitä!
^^^^^^^^^^^^^^^
Kerrassaan loistava sana! Saanen itsekin käyttää rojalttivapaasti?
--
Tero Tilus ...... http://www.iki.fi/tero.tilus/ ....... GSM 050-3635235
http://www.tulus.org/ http://www.maahinkainen.org/ http://www.effi.org/
http://www.mediaseitti.fi/ ............. http://www.cc.jyu.fi/yhd/toys/
Vesa-Matti Sarenius
>Vesa-Matti Sarenius kirjoitteli:
>> Pelkät uteleperustelut eivät tunnetusti matemaatikoille riitä!
> ^^^^^^^^^^^^^^^
>
>Kerrassaan loistava sana! Saanen itsekin käyttää rojalttivapaasti?
Tottakai! Kaikki tiedettä tekevät kyllä tietävät, mistä on kyse...
--
Vesa-Matti Sarenius, M.Sc. * Kun on joskus lähdettävä, *
mailto:sarenius.at.paju.oulu.fi * taivaan tähdet jäävät *
Finland, Europe. * öisin pimeään loistamaan. *
* * * * * * * * * Göstan muistoa kunnioittaen *
Sampo Smolander
> Tässä nyt taistelee kolme todisusta jotka ovat ristiriidassa. Ja se johtuu
> vain siitä että leikitään äärettömällä.
Kuten Janne Kärki huomautti filosofiaryhmässä, niin tämän keskustelun
voisi itseasiassa käydä vähän rakentavamminkin.
Jos jostain löytyisi ihminen joka tuntisi matematiikan historiaa
sen verran, että tietäisi millaisella ajattelulla ja millaisilla
argumenteilla[1] Cantoria vastustettiin silloin kun hän ensimmäistä
kertaa toi julki ajatuksiaan äärettömästä, niin olisi mielenkiintoista
kuulla ovatko Petrin ajatukset noiden yli sadan vuoden takaisten
matemaatikkojen ajatusten toisintoja, vai onko Perti väärinymmärtänyt
asian jotenkin ihan uudella tavalla.
[1] Valitettavasti ainakaan minun asiantuntemukseni ei riitä tähän.
Tuomas T Korppi
: Jos jostain löytyisi ihminen joka tuntisi matematiikan historiaa
: sen verran, että tietäisi millaisella ajattelulla ja millaisilla
: argumenteilla[1] Cantoria vastustettiin silloin kun hän ensimmäistä
: kertaa toi julki ajatuksiaan äärettömästä,
Käsittäkseni (järkevän) kritiikin ydin oli siinä, että Cantor-tyyppinen
joukko-oppi olettaa sellaisten luonnollisten lukujen osajoukkojen
(vastaavasti funktioiden jne...) olemassaoloa, joita ei voida
karakteristoida yhtään mitenkään. (Kielessä on vain numeroituva määrä
ilmauksia, joten nimiä tai karakterisaatioita ei riitä kaikille
luonnollisten lukujen joukon osajoukoille.) Kriitikot olisivat halunneet
hyväksyä luonnollisten lukujen joukon osajoukoiksi pelkästään sellaiset
osajoukot, jotka voidaan määritellä tai konstruoida jollain eksplisiittisellä
tavalla. Tämä on se kritiikki, joka myöhemmin jalostui
konstruktivismiksi/intuitionismiksi.
: niin olisi mielenkiintoista
: kuulla ovatko Petrin ajatukset noiden yli sadan vuoden takaisten
: matemaatikkojen ajatusten toisintoja, vai onko Perti väärinymmärtänyt
: asian jotenkin ihan uudella tavalla.
Itse en ole löytänyt Petrin ajatuksista mitään punaista lankaa.
Toisinaan hän näyttää kannattaneen oppia, joka sulkee pois kaikki
äärettömän mittaiset desimaalikehitelmät. Tämä oppi on sukua
finitismille, joka haluaa sulkea pois kaiken äärettömän matematiikasta,
ja jota voidaan pitää eräänlaisena konstruktivismin extreme-versiona.
Finitistitkin kuitenkin käsittääkseni hyväksyvät rationaaliluvut, ja jos
suljemme pois kaikki äärettömän desimaalikehitelmän omaavat reaaliluvut,
menee samalla lapsi (nimittäin vaikkapa 1/3) pesuveden mukana.
Toisinaan hän taas on vaatinut, että luonnollisiksi luvuiksi pitäisi
hyväksyä myös sellaiset luvut, joilla on äärettömän pitkiä
desimaalikehitelmiä. Tätä kritiikkiä ei saa jalostettua mihinkään
järkevään muotoon, sillä äärettömän pitkiä desimaalikehitelmiä omaavilla
p-adisilla luvuilla on tietääkseni liian pahoja algebrallisia
ominaisuuksia (käsittääkseni näille ei saa määriteltyä mm.
laskutoimitusten kanssa yhteensopivaa suuruusjärjestystä). Toisekseen
näillekin tarvitaan luonnollisten lukujen joukkoa indeksoimaan
desimaaleja (en tiedä, onko kukaan pystynyt korvaamaan
luonnollisten lukujen joukkoa lukujen desimaalien indeksijoukkona jollain
transfiniittisen pituisella järjestyksellä ja saamaan konsistenttia hyvät
algebralliset ominaisuudet omavaa struktuuria). Kolmannekseen tämä
kritiikki ei huomioi sitä vapautta, joka matematiikassa on struktuurien
määrittelyssä. Mikäli "äärellisen kokoinen luonnollinen luku" on mielekäs
käsite, ei sillä ole mitään väliä, kutsutaanko niitä luonnollisiksi luvuiksi
vai joiksikin muiksi.
Parhaillaan suurten lukujen konstruoiminen voisi johtaa kahden mielekkään
järjestelmän rinnakkaiseloon, siis äärellisen kokoisten ja äärettömän
kokoisten lukujen järjestelmien. Jotain tähän suuntaan ovat Conwayn
surreaaliluvut, mutta Conwaylla konstruktion lähtökohtana on
transfiniittinen rekursio ja lopputuloksena järjestetty kunta;
desimaalikehitelmät eivät ihan oikeasti ole kovin hedelmällinen
lähestymistapa lukujen tutkimiseen.
Eräs sekopäinen oppi äärettömän pitkien luonnollisten lukujen puolesta
löytyy tyypiltä nimeltä Ludwig Plutonium (googlettakaa, jos välttämättä
haluatte tietää.) Tyyppi väittää, että pa:n induktioaksiooma on
ristiriitainen, joten lukujärjestelmään tulee välttämättä äärettömän
suuria lukuja. Asia on hänestä niin itsestään selvä, ettei hän ole
vaivautunut todistamaan sitä. Suoraan sanottuna tämän tyypin kirjoitukset
ovat se, joka minulle on useimmin tullut mieleen Keckmanin kirjoituksia
lukiessa.
Tuomas T Korppi
: Jos jostain löytyisi ihminen joka tuntisi matematiikan historiaa
: sen verran, että tietäisi millaisella ajattelulla ja millaisilla
: argumenteilla[1] Cantoria vastustettiin silloin kun hän ensimmäistä
: kertaa toi julki ajatuksiaan äärettömästä,
Käsittäkseni (järkevän) kritiikin ydin oli siinä, että Cantor-tyyppinen
joukko-oppi olettaa sellaisten luonnollisten lukujen osajoukkojen
(vastaavasti funktioiden jne...) olemassaoloa, joita ei voida
karakteristoida yhtään mitenkään. (Kielessä on vain numeroituva määrä
ilmauksia, joten nimiä tai karakterisaatioita ei riitä kaikille
luonnollisten lukujen joukon osajoukoille.) Kriitikot olisivat halunneet
hyväksyä luonnollisten lukujen joukon osajoukoiksi pelkästään sellaiset
osajoukot, jotka voidaan määritellä tai konstruoida jollain eksplisiittisellä
tavalla. Tämä on se kritiikki, joka myöhemmin jalostui
konstruktivismiksi/intuitionismiksi.
: niin olisi mielenkiintoista
: kuulla ovatko Petrin ajatukset noiden yli sadan vuoden takaisten
: matemaatikkojen ajatusten toisintoja, vai onko Perti väärinymmärtänyt
: asian jotenkin ihan uudella tavalla.
Itse en ole löytänyt Petrin ajatuksista mitään punaista lankaa.
Toisinaan hän näyttää kannattaneen oppia, joka sulkee pois kaikki
äärettömän mittaiset desimaalikehitelmät. Tämä oppi on sukua
finitismille, joka haluaa sulkea pois kaiken äärettömän matematiikasta,
ja jota voidaan pitää eräänlaisena konstruktivismin extreme-versiona.
Finitistitkin kuitenkin käsittääkseni hyväksyvät rationaaliluvut, ja jos
suljemme pois kaikki äärettömän desimaalikehitelmän omaavat reaaliluvut,
menee samalla lapsi (nimittäin vaikkapa 1/3) pesuveden mukana.
Toisinaan hän taas on vaatinut, että luonnollisiksi luvuiksi pitäisi
hyväksyä myös sellaiset luvut, joilla on äärettömän pitkiä
desimaalikehitelmiä. Tätä kritiikkiä ei saa jalostettua mihinkään
järkevään muotoon, sillä äärettömän pitkiä desimaalikehitelmiä omaavilla
p-adisilla luvuilla on tietääkseni liian pahoja algebrallisia
ominaisuuksia (käsittääkseni näille ei saa määriteltyä mm.
laskutoimitusten kanssa yhteensopivaa suuruusjärjestystä). Toisekseen
näillekin tarvitaan luonnollisten lukujen joukkoa indeksoimaan
desimaaleja (en tiedä, onko kukaan pystynyt korvaamaan
luonnollisten lukujen joukkoa lukujen desimaalien indeksijoukkona jollain
transfiniittisen pituisella järjestyksellä ja saamaan konsistenttia hyvät
algebralliset ominaisuudet omavaa struktuuria). Kolmannekseen tämä
kritiikki ei huomioi sitä vapautta, joka matematiikassa on struktuurien
määrittelyssä. Mikäli "äärellisen kokoinen luonnollinen luku" on mielekäs
käsite, ei sillä ole mitään väliä, kutsutaanko niitä luonnollisiksi luvuiksi
vai joiksikin muiksi.
Parhaimmillaan suurten lukujen konstruoiminen voisi johtaa kahden mielekkään
ilmari hyvönen
> Jos jostain löytyisi ihminen joka tuntisi matematiikan historiaa
> sen verran, että tietäisi millaisella ajattelulla ja millaisilla
> argumenteilla[1] Cantoria vastustettiin silloin kun hän ensimmäistä
> kertaa toi julki ajatuksiaan äärettömästä, niin olisi mielenkiintoista
> kuulla ovatko Petrin ajatukset noiden yli sadan vuoden takaisten
> matemaatikkojen ajatusten toisintoja, vai onko Perti väärinymmärtänyt
> asian jotenkin ihan uudella tavalla.
eipä löydy juuri asiantuntemusta, mutta muistuipa mieleen
artikkeli joka käsittelee lehtiin lähetetyjä yrityksiä
kumota Cantorin argumentti:
"An editor recalls some hopeless papers", Wilfrid Hodges,
Bulletin of Symbolic Logic, 4, 1 - 16, 1998
löytyy sivulta
http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/04-toc.htm
tuossa sivuttiin jotain petrinkin esittämiä ajatuksia
muistaakseni.
trv.ilmari
--
ilmari hyvönen
Tuomas T Korppi
: Jos jostain löytyisi ihminen joka tuntisi matematiikan historiaa
: sen verran, että tietäisi millaisella ajattelulla ja millaisilla
: argumenteilla[1] Cantoria vastustettiin silloin kun hän ensimmäistä
: kertaa toi julki ajatuksiaan äärettömästä,
Luin Brouweria (1910 tjsp) sunnuntaina, ja hänen vastustuksensa kohdistui
lähinnä siihen, että Cantor tulkitsi bijektion N->R olemassaolemattomuuden
eroksi joukkojen N ja R koissa. Brouwerin mielestä ylinumeroituvat
kardinaaliluvut eivät ole mielekkäitä (hänen mukaansa prosessi, jolla
ordinaaleja konstruoidaan tuottaa vain numeroituvia joukkoja), joten
Cantorin tapa liittää jokaiseen joukkoon sen kokoa kuvaava
kardinaaliluku ei ole mielekäs. Brouwerkin käsittääkseni
tunnusti, ettei ole olemassa bijektiota N->R, mutta hänen mielestään tämä
on ennemmin seurausta siitä, että matemaatikko konstruoi N:n ja R:n eri
tavoilla kuin erosta joukkojen N ja R koissa.