Harmoninen keskiarvo?
Henri Tapani Heinonen
--
Verbien taivutuskaava (http://koti.mbnet.fi/henrihe/tiede/verbikaava.html),
päivitetty 18.6.2002.
Jussi Piitulainen
> Mikä on harmoninen keskiarvo? Missä sitä tarvitaan?
Robert J. MacG. Dawson kirjoitti hiljan sci.stat.edu-ryhmään kuvauksen
eri keskiarvoista. Sen mukaan harmoninen keskiarvo on käänteislukujen
aritmeettisen keskiarvon käänteisluku ja sitä käytetään lähinnä
geometriassa - tilastotieteessä joskus harvoin, kun käänteisluvut
sattuvat jakautumaan symmetrisesti.
Siis 1/sum_k 1/x_k. Enempää en tiedä.
(Dawsonin mukaan f"or mathematicians, it's the conjugate of the
arithmetic mean under the reciprocal transformation". Sci.stat.edu ei
osannut kertoa tästä conjugate under transform -käsitteestä enempää.)
--
Jussi
Seppo Pitkänen
Dawsonin määritelmä), mutta melkoinen harvinaisuus keskilukuna. En
muista/tunne geometrista käyttöä, mutta tilastotieteessä järkevää,
joskin harvinaista käyttöä mm. indeksilukujen konstruoinnin teoriassa.
Tuntuisi muuten sopivalta esim. keskimääräisen nopeuden kuvaamiseen,
samoin kuin toinen harvinaisempi "keskiarvo", geometrinen keskiarvo, eli
n:s juuri n lukumääräisten havaintojen tulosta. (Viimemainitulla on
tärkeää merkitystä enemmänkin: indeksilukujen teoria, betajakauman
käsittely, multiplikatiivisten kausaalimallien parametrien
estimaattoreiden hakeminen jne.).
S.P.
Jussi Piitulainen skrev:
Jussi Piitulainen
> Tuotahan se on, eli yksi per summa havaintojen käänteisluvuista
Itse asiassa tietysti per keskiarvo niistä.
Ei siis 1 / sum_k 1/x_k niin kuin kirjoitin vaan 1 / sum_k 1/nx_k niin
kuin tarkoitin. (Käy läpi luvut x_1, ..., x_k.)
--
Jussi
Jori Mantysalo
> Mikä on harmoninen keskiarvo?
Vastauksen jo saitkin, eli käänteislukujen keskiarvon käänteisluku.
Mutta yleisimmin voidaan eräänlaisia keskilukuja määritellä korottamalla
kaikki luvut potenssiin n, laskemalla näistä keskiarvo ja ottamalla
sitten n:s juuri. Kun n=-1, saadaan harmoninen keskiarvo ja kun n=1 on
tuloksena tavallinen keskiarvo. Esimerkiksi n=2 selvästi lisää yksittäisen
suuren luvun merkitystä ja n=0.5 taas "suosii" tasaista tulosta. Olipa
n mitä tahansa (paitsi nolla), niin usean saman luvun "keskiarvo" on aina
luku itse.
Olen joskus moniosaiseen tietokonepeliin tehnyt yhteispisteiden laskemisen
muistaakseni käyttäen arvoa n=0.8. Kokeilemalla löytää hyvän tuntuisen
arvon n:lle, ja laskukaava on yksinkertainen.
--
Vuokraa 50 neliötä Porin Sampolasta 320 eurolla kuukaudessa:
http://www.uta.fi/~jm58660/vuokraa.htm
Jussi Piitulainen
> Mutta yleisimmin voidaan eräänlaisia keskilukuja määritellä
> korottamalla kaikki luvut potenssiin n, laskemalla näistä keskiarvo
> ja ottamalla sitten n:s juuri. Kun n=-1, saadaan harmoninen
> keskiarvo ja kun n=1 on tuloksena tavallinen keskiarvo. Esimerkiksi
> n=2 selvästi lisää yksittäisen suuren luvun merkitystä ja n=0.5 taas
> "suosii" tasaista tulosta. Olipa n mitä tahansa (paitsi nolla), niin
> usean saman luvun "keskiarvo" on aina luku itse.
Geometrinen keskiarvo ei mene tähän muottiin, mutta nämä menevät
kaikki Dawsonin muottiin: käänteistransformaatio lukujen
transformaatioiden aritmeettisesta keskiarvosta. (Toisaalta Dawsonin
artikkelia tutkiessa minulta jäi huomaamatta, että harmoninen
keskiarvo on tätä muotoa.)
Geometrinen keskiarvo on kantaluku potenssiin logaritmien keskiarvo.
Tunteeko kukaan täällä käsitettä conjugate of something under a
transformation?
--
Jussi
Petri Kuukkanen
>Jori Mantysalo writes:
Geometrisenkin keskiarvon saa myös tuolla Jorin esittämällä tavalla,
kun laskee raja-arvon n:n lähestyessä nollaa.
Jos m(n) = [1/n * sum{i = 1..k} x_i ^ n] ^ (1/n), niin
- aritmeettinen summa on m(1)
- harmoninen summa on m(-1)
- geometrinen summa on lim{n->0} m(n)
--
pq
Valmari Antti
Jori Mantysalo writes:
> Mutta yleisimmin voidaan eräänlaisia keskilukuja määritellä
> korottamalla kaikki luvut potenssiin n, laskemalla näistä keskiarvo
> ja ottamalla sitten n:s juuri. Kun n=-1, saadaan harmoninen
> keskiarvo ja kun n=1 on tuloksena tavallinen keskiarvo. Esimerkiksi
> n=2 selvästi lisää yksittäisen suuren luvun merkitystä ja n=0.5 taas
> "suosii" tasaista tulosta. Olipa n mitä tahansa (paitsi nolla), niin
> usean saman luvun "keskiarvo" on aina luku itse.
Jussi Piitulainen continues:
! Geometrinen keskiarvo ei mene tähän muottiin
Muistelen, että kyllä menee. Geometrinen keskiarvo saadaan raja-arvona,
kun n lähestyy lukua 0. Myös maksimi ja minimi saadaan, kun n lähestyy
+ tai - ääretöntä.
--- AV
Henri Tapani Heinonen
news:qot4reb...@venus.ling.helsinki.fi...
> Robert J. MacG. Dawson kirjoitti hiljan sci.stat.edu-ryhmään kuvauksen
> eri keskiarvoista. Sen mukaan harmoninen keskiarvo on käänteislukujen
Onko tästä jo kauan? Mikä oli viestin otsikko?
Petri Kuukkanen
>Jos m(n) = [1/n * sum{i = 1..k} x_i ^ n] ^ (1/n), niin
>- aritmeettinen summa on m(1)
>- harmoninen summa on m(-1)
>- geometrinen summa on lim{n->0} m(n)
Tarkoitin tietysti "keskiarvo" noissa kolmessa kohdassa,
joissa lukee "summa"...
--
pq
Jussi Piitulainen
>> Robert J. MacG. Dawson kirjoitti hiljan sci.stat.edu-ryhmään
>> kuvauksen eri keskiarvoista. Sen mukaan harmoninen keskiarvo on
>> käänteislukujen
>
> Onko tästä jo kauan? Mikä oli viestin otsikko?
Kuukauden takaa:
From: Robert...@STMARYS.CA (Robert J. MacG. Dawson)
Subject: Re: "Flavours" of mean
Newsgroups: sci.stat.edu
Date: 5 Jul 2002 07:09:54 -0700
--
Jussi
Seppo Mustonen
palauttivat osaltaan mieleeni erään lähes 30 vuoden takaisen pohdintani,
joka koskee Yrjö Vartian tuolloin esittämää logaritmista keskiarvoa
ja sen yleistämistä useamman kuin kahden havainnon tapaukseen.
Olen laatinut kuvauksen asiasta Survo-ohjelmiston kotisivuille
www.survo.fi (Keskustelua -> Logaritmisesta keskiarvosta).
- Seppo Mustonen
Aki Karppinen
"Jussi Piitulainen" <jpii...@ling.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:qothei9...@venus.ling.helsinki.fi...
- Harmoonilla soitettu keskisarvo käyttää sointuja: 2^(1/12).
- Kuka lie..
- Joku vittu kirjoittaa minun nimellä.
Jaakko Raipala
x 30
> "Jussi Piitulainen" <jpii...@ling.helsinki.fi> kirjoitti
>> Henri Tapani Heinonen writes:
>> >> Robert J. MacG. Dawson kirjoitti hiljan sci.stat.edu-ryhmään
>> >> kuvauksen eri keskiarvoista. Sen mukaan harmoninen keskiarvo on
>> >> käänteislukujen
>> >
>> > Onko tästä jo kauan? Mikä oli viestin otsikko?
>>
>> Kuukauden takaa:
>>
>> From: Robert...@STMARYS.CA (Robert J. MacG. Dawson)
>> Subject: Re: "Flavours" of mean
>> Newsgroups: sci.stat.edu
>> Date: 5 Jul 2002 07:09:54 -0700
>> --
>> Jussi
>
> - Harmoonilla soitettu keskisarvo käyttää sointuja: 2^(1/12).
>
> - Kuka lie..
>
> - Joku vittu kirjoittaa minun nimellä.
Jaahas, joku on taas jättänyt lääkkeensä ottamatta.