Cantorista
Antti
sitä ei voida tehdä) voidaan merkitä punaisilla tai mustilla lapuilla. Tai
minkä värisillä tahansa. Voidaan ne silloin mielikuvituksen avulla merkitä
myös juoksevalla numeroinnilla? Alkaen mistä tahansa alkiosta ja päätyen
mihin tahansa alkioon. Kuitenkin siten että kaikki alkiot ovat merkityt
jollakin numerolla alkaen 1:tä päättyen viimeiseen, jonka merkitsemisen
jälkeen siis kaikki alkiot on merkitty. Onko siis tällainen joukko ääretön?
Kari Pasanen
ja on täällä muitakin kirjoittajia, jotka varmasti mielellään opettavat
nuoria kavereita, jotka haluavat oppia. Siis: Otathan annetun opin vastaan
etkä ala turhaa väittelyä.
Antti kirjoitti Perjantai 15. Marraskuuta 2002 20:14:
> Jos siis äärettömän joukon kaikki alkiot (mielikuvituksella. Koska käsin
> sitä ei voida tehdä) voidaan merkitä punaisilla tai mustilla lapuilla. Tai
> minkä värisillä tahansa. Voidaan ne silloin mielikuvituksen avulla merkitä
> myös juoksevalla numeroinnilla?
Voidaan, jos kyseessä oleva ääretön joukko on numeroituva. Silloin joukon
alkiot voidaan pistää jonoon, luetella ne: "yksi", "kaksi", jne. Näin saat
yksikäsitteisen ja kääntäen yksikäsitteisen eli bijektiivisen vastaavuuden
kyseessä olevan joukon ja luonnollisten lukujen joukon {1, 2, 3, ...}
välille. (Joidenkin matemaatikkojen ja oppikirjojen mukaan myös nolla on
luonnollinen luku, toisten taas ei. Se on tässä hyvin epäoleellinen asia!)
Huomaathan, että vaikka numeroituvan joukon alkioiden jono ei pääty,
jokaisella alkiolla on oma numeronsa. Näin on juuri sillä oletuksella, että
joukko on numeroituva. Se on sopimuksenvarainen määritelmä, eikä siitä
kannata kinata, onko koko numerointi mahdollinen prosessi. Näin vain
oletetaan, että se on.
Jo Cantor todisti, että on olemassa myös äärettömiä joukkoja, joita ei voi
numeroida. Sellaisia joukkoja sanotaan ylinumeroituviksi. Esimerkkinä
ylinumeroituvasta joukosta on reaalilukujen joukko.
> Alkaen mistä tahansa alkiosta ja päätyen
> mihin tahansa alkioon. Kuitenkin siten että kaikki alkiot ovat merkityt
> jollakin numerolla alkaen 1:tä päättyen viimeiseen, jonka merkitsemisen
> jälkeen siis kaikki alkiot on merkitty.
Taas vaadit sitä "viimeistä" alkiota, jota ei ole olemassakaan. Ei ole
olemassa "viimeistä" eli suurinta luonnollista lukuakaan, eihän? Oli
sinulla mikä tahansa luku käsillä, voit aina lisätä siihen ykkösen ja saat
suuremman luvun. Luonnollisten lukujen jono ei pääty koskaan.
> Onko siis tällainen joukko ääretön?
Jos joukon alkiot on lueteltu jonossa, jolla on sekä alku että loppu, niin
se joukko on äärellinen.
Kari Pasanen
(entinen nokialainen)
Tero Tilus
> Jos siis äärettömän joukon kaikki alkiot (mielikuvituksella. Koska
> käsin sitä ei voida tehdä) voidaan merkitä punaisilla tai mustilla
> lapuilla. Tai minkä värisillä tahansa. Voidaan ne silloin
> mielikuvituksen avulla merkitä myös juoksevalla numeroinnilla?
Minkä tahansa joukon alkiot voidaan merkitä punaisilla tai muistilla
lapuilla esim. siten, että valitaan kaksi alkiota, jotka merkitään
punaisilla ja loput merkitään mustilla. Tämä ei tarkoita sitä, että
ne voitaisiin myös numeroida (eli joukko olisi yhtämahtava kuin
luonnollisten lukujen joukko), koska on olemassa luonnollisten lukujen
joukkoa mahtavampia joukkoja (vrt. Cantor).
> Alkaen mistä tahansa alkiosta ja päätyen mihin tahansa alkioon.
> Kuitenkin siten että kaikki alkiot ovat merkityt jollakin numerolla
> alkaen 1:tä päättyen viimeiseen, jonka merkitsemisen jälkeen siis
> kaikki alkiot on merkitty. Onko siis tällainen joukko ääretön?
Ääretön... jaaha... Oletetaan, että numerointi suoritetaan "alkaen
1:tä päättyen viimeiseen". Olkoon viimeinen numero m (luonnollinen
luku). Nyt havaitsemme, että numeroimassamme joukossa on m alkiota,
eli se on äärellinen.
--
Tero Tilus / Jyväskylän yliopisto / Matematiikan verkko-opetus
gsm (050) 363 5235 / koti (014) 254 070 / työ (014) 260 2768
Aki M Suihkonen
Tero Tilus <ter...@jyu.ROSKAPOIS.fi.invalid> wrote:
>Ääretön... jaaha... Oletetaan, että numerointi suoritetaan "alkaen
>1:tä päättyen viimeiseen". Olkoon viimeinen numero m (luonnollinen
>luku). Nyt havaitsemme, että numeroimassamme joukossa on m alkiota,
>eli se on äärellinen.
Cantorhan esitti, että jos luonnollisten lukujen joukko värjättäisiin
punaisilla ja mustilla lapuilla numerojärjestyksessä
vuorotellen ja järjestettäisiin uudelleen siten, että punaiset
laput olisivat ensin, niin kyseisen joukon koko olisi yhtenevä
reaalilukujen joukon kanssa. Intuitiivinen tulkinta vaatii,
että punaisissa lapuissa olisi viimeinenkin alkio.
Ei ihme, että isäntä vietti aikaa lataamossa.
--
Problems 1) do NOT write a virus or a worm program
"A.K.Dewdney, The New Turing Omnibus; Chapter 60: Computer viruses"
Aki M Suihkonen
Erno Simila <ersi...@paju.oulu.fi> wrote:
>asui...@cc.hut.fi (Aki M Suihkonen) wrote:
>> Cantorhan esitti, että jos luonnollisten lukujen joukko värjättäisiin
>> punaisilla ja mustilla lapuilla numerojärjestyksessä vuorotellen ja
>> järjestettäisiin uudelleen siten, että punaiset laput olisivat ensin,
>> niin kyseisen joukon koko olisi yhtenevä reaalilukujen joukon kanssa.
>
>Mistäs tällainen tieto on peräisin? Olen kyllä lukenut, että Cantor
>koki hermoromahduksen yrittäessään todistaa, ettei ole olemassa
>joukkoa, jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja
>reaalilukujen välissä (kontinuumihypoteesi).
Kuvailin juuri omin sanoin tämän hypoteesin; Cantorhan onnistui
todistamaan, että {0,2,4,..., 1,3,5,... }on ylinumeroituva.
Erno Simila
> > Kuvailin juuri omin sanoin tämän hypoteesin; Cantorhan onnistui
> > todistamaan, että {0,2,4,..., 1,3,5,... }on ylinumeroituva.
>
> joukko.
No, niinpäs näkyy. Itse olin jo sen verran keskittynyt omaan
tulkintavirheeseeni, etten edes noin ilmiselvää asiaa tullut
ajatelleeksi. Minkäs teet, kun aivot ovat lakisääteisellä
viikonloppuvapaalla. Työehtosopimusta rustatessa jäin pahasti
alakynteen.
En sitten tiedä, oliko Suihkosella mielessään se yksinkertainen
todistus, jossa osoitetaan kokonaislukujen - ei toki reaalilukujen -
olevan yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko. Luultavasti
ei, mutta joka tapauksessa tuossa todistuksessahan voidaan vaikkapa
positiiviset kokonaisluvut kuvata parillisiksi (f(n) = 2n, n>=0) ja
negatiiviset parittomiksi (f(-n) = 2n - 1, n>0). jolloin saatu
kuvaus on ilman muuta bijektio.
> Cantorin lauseena kulkee tulos, jonka mukaan jos X on joukko
> ja P(X) on sen potenssijoukko (eli kaikkien osajoukkojen joukko),
> niin ei ole olemassa bijektiota X->P(X).
Tuon todistaminen oli muuten ihka ensimmäisenä harjoitustehtävänä
eräässä matemaattisen logiikan luentomonisteessa. Samassa prujussa
määriteltiin yhtämahtavuus siten, että joukoilla A ja B on sama
mahtavuus, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f: A -> B.
Samalla kuitenkin todettiin, ettei kyseessä ole täsmällinen
määritelmä, vaikkakin riittävän tarkka silloiseen asiayhteyteen.
Tuon tarkan määritelmän haluaisin nähdä, varsinkin jos joku sen
viitsii suosiollisesti tänne kirjoittaa.
--
"Ruumis se ruakaa tarttee, sialu ellää vellillä." (Pohjois-Pohjanmaa)
-- Erkki Tanttu: Repliikit reiraan - kuvitettuja sananparsia
Antti Isokorpi
>... matemaattisen logiikan luentomonisteessa. Samassa prujussa
>määriteltiin yhtämahtavuus siten, että joukoilla A ja B on sama
>mahtavuus, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f: A -> B.
>Samalla kuitenkin todettiin, ettei kyseessä ole täsmällinen
>määritelmä, vaikkakin riittävän tarkka silloiseen asiayhteyteen.
>Tuon tarkan määritelmän haluaisin nähdä, varsinkin jos joku sen
>viitsii suosiollisesti tänne kirjoittaa.
>
Käsissäni on teos/pruju, jonka tunnistetiedot
ovat seuraavat:
Toivo Nieminen
Joukko-opin ja algebran alkeet
Limes ry
Helsinki, _1976_
Siinä lukee:
5. __Äärelliset ja äärettömät joukot__
1. __Yhtä mahtavat joukot__
__Määritelmä 5.1__: Joukko X on __yhtä mahtava__ kuin
joukko Y, jos on olemassa bijektio X -> Y. Jos joukko
X on yhtä mahtava kuin joukko Y, niin merkitsemme ly-
hyesti X ~ Y.
Äsken kävin vilkaisemassa, mitä _tänään_ asiasta sanoo
<http://mathworld.wolfram.com>
Siellä luki:
Two sets A and B are said to be _equipollent_ iff
there is a one-to-one function (i.e., a bijection)
from A onto B (Moore 1982, p. 10; Rubin 1967, p. 67;
Suppes 1972, p. 91).
The term _equipotent_ is sometimes used instead of
equipollent.
Paljon ei ole muuttunut.
Toisin kuin Erno, minä en halua nähdä __uusia määri-
telmiä__, jos ei vanhoissa ole havaittu vikaa. ( <-
olevinaan vitsi )
Antti Isokorpi
Erno Simila
> > sama mahtavuus, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f: A -> B.
Toivo Nieminen, Joukko-opin ja algebran alkeet:
| __Määritelmä 5.1__: Joukko X on __yhtä mahtava__ kuin
| joukko Y, jos on olemassa bijektio X -> Y.
http://mathworld.wolfram.com :
# Two sets A and B are said to be _equipollent_ iff there is a
# one-to-one function (i.e., a bijection) from A onto B
Antti Isokorpi <antti.i...@kolumbus.fi> wrote:
> Paljon ei ole muuttunut.
Ei. Tosin nyt jäi vielä enemmän kummastuttamaan, mitä tuo edellä
muistinvaraisesti lainaamani (prof. Paavo Turakaisen laatima)
logiikan pruju mahtaa tarkoittaa. Tarkistin asian, ja siinä
todellakin sanotaan: "Tämä ei ole täsmällinen määritelmä mutta
riittää seuraavassa."
--
"Kyllä ennustokset aina paikkansa pittää kunei ilmat vaan ruppee
rillaamaan." (Häme)
Antti Isokorpi
Erno aloitti, en minä.
>>Paljon ei ole muuttunut.
>>
>
>Ei. Tosin nyt jäi vielä enemmän kummastuttamaan, mitä tuo edellä
>muistinvaraisesti lainaamani (prof. Paavo Turakaisen laatima)
>logiikan pruju mahtaa tarkoittaa. Tarkistin asian, ja siinä
>todellakin sanotaan: "Tämä ei ole täsmällinen määritelmä mutta
>riittää seuraavassa."
>
>
En tunne asiaa, mutta veikkaan, että sanat on vain asetettu huonosti, kun
tarkoitus on ollut sanoa, että siitä yhtämahtavuudesta toisessa yhteydessä
edetään ordinaaleihin, kardinaaleihin, vahvasti hypersaavuttamattomiin
kardinaaleihin ja muihin kirkonmiehiin, joista minä taas en tiedä höläyksen
pöläystä. Ts. yhtämahtavuudesta puhuminen riittää "tässä yhteydessä",
mutta kun noihin muihin juttuihin mennään, niin tarvitaan järeämpää
kalustoa, ja paljon.
Antti Isokorpi
Aki M Suihkonen
Erno Simila <ersi...@paju.oulu.fi> wrote:
>Ville Hakulinen <vi...@e.math.helsinki.fi> wrote:
>> In article <ar5paj$siv$1...@nntp.hut.fi>, Aki M Suihkonen wrote:
>> > Kuvailin juuri omin sanoin tämän hypoteesin; Cantorhan onnistui
>> > todistamaan, että {0,2,4,..., 1,3,5,... }on ylinumeroituva.
>>
>> No ei todellakaan onnistunut. Tuohan on vain luonnollisten lukujen
>> joukko.
Miten niin 'vain'? Sehän on todistetusti yhtä mahtava, kuin
algebrallisten lukujen joukko.
... eli allekirjoittaneella ei ollut mielessään todistus kokonaislukujen
numeroituvuudesta. Kertoisin, mitä ajoin takaa, jos osaisin.
Valitettavasti ymmärrykseni loppuu kun aletaan puhumaan
aleph_nullista ja ykkösestä.
Käsittääkseni kuitenkin mainitsemani joukko sisältää alkion,
joka ei ole numeroituva, joten joukko on alkuperäistä mahtavampi
ja siten yhtä suuri kuin algebrallisten lukujen joukko, mutta
ei niin mahtava (välttämättä) kuin reaaliluvut.
Erno Simila
> >Ville Hakulinen <vi...@e.math.helsinki.fi> wrote:
> >> > Kuvailin juuri omin sanoin tämän hypoteesin; Cantorhan onnistui
> >> > todistamaan, että {0,2,4,..., 1,3,5,... }on ylinumeroituva.
> >>
> >> No ei todellakaan onnistunut. Tuohan on vain luonnollisten lukujen
> >> joukko
>
> algebrallisten lukujen joukko.
Algebrallisten lukujen joukko on numeroituvasti ääretön, ts. yhtä
mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko.
Antamasi lukujoukko on vain luonnollisten lukujen joukko esitettynä
"normaalista" järjestyksestä poikkeavalla tavalla.
> Käsittääkseni kuitenkin mainitsemani joukko sisältää alkion, joka
> ei ole numeroituva,
Ei kai joukon yksittäisten alkioiden numeroituvuudella ole mitään
merkitystä koko joukon numeroituvuuden kannalta. Merkitystä on vain
sillä, onko koko joukolta mahdollista konstruoida bijektio
luonnollisten lukujen joukolle.
Esim. Jos A on joukko, merkitään P(A):lla sen kaikkien osajoukkojen
joukkoa. Olkoon A reaalilukujen joukko. Tällöin joukko { A, P(A),
P(P(A)), P(P(P(A))), ... } on selvästi numeroituva joukko, jonka
kaikki alkiot ovat ylinumeroituvia.
Antamasi joukon J tapauksessa kuvaus f: J->N, f(a) = a on bijektio.
Tämä on tietysti ilmiselvää, sillä J = N.
> joten joukko on alkuperäistä mahtavampi ja siten yhtä suuri kuin
> algebrallisten lukujen joukko, mutta ei niin mahtava (välttämättä)
> kuin reaaliluvut.
Algebrallisten lukujen joukko ei ole mahtavampi kuin luonnollisten
lukujen joukko, vaan yhtä mahtava. Tämä on se lause, jonka Cantor
todisti vuonna 1874.
Kontinuumihypoteesin (CH) negaatiota ei voida todistaa ZFC:ssä
(Gödel 1939). Näin ollen jos ZFC:tä laajennetaan CH:n negaatiolla,
saadaan ristiriidaton systeemi ZFC+{~CH}, jolla täten on olemassa
malli. Tässä uudessa systeemissä kuvailemaasi mahtavuutta olevan
joukon olemassaolo on triviaalisti todistettavissa (aksiomina ~CH).
ZFC:stä käsin sellaisen olemassaolo on puolestaan mahdotonta
todistaa.
CH on samantapainen ilmiö joukko-opissa kuin paralleeliaksiomi
geometriassa. Otetaanpa käyttöön se itse tahi sen negaatio saadaan
kummassakin tapauksessa aikaan ristiriidaton ja siten teoreettisesti
mielekäs systeemi.
Risto Kauppila
Antti Isokorpi wrote:
>
>> ... matemaattisen logiikan luentomonisteessa. Samassa prujussa
>> määriteltiin yhtämahtavuus siten, että joukoilla A ja B on sama
>> mahtavuus, mikäli on olemassa bijektiivinen kuvaus f: A -> B.
>> Samalla kuitenkin todettiin, ettei kyseessä ole täsmällinen
>> määritelmä, vaikkakin riittävän tarkka silloiseen asiayhteyteen.
>> Tuon tarkan määritelmän haluaisin nähdä, varsinkin jos joku sen
>> viitsii suosiollisesti tänne kirjoittaa.
>>
>
> Käsissäni on teos/pruju, jonka tunnistetiedot
> ovat seuraavat:
>
> Toivo Nieminen
> Joukko-opin ja algebran alkeet
> Limes ry
> Helsinki, _1976_
>
> Siinä lukee:
>
> 5. __Äärelliset ja äärettömät joukot__
>
> 1. __Yhtä mahtavat joukot__
>
> __Määritelmä 5.1__: Joukko X on __yhtä mahtava__ kuin
> joukko Y, jos on olemassa bijektio X -> Y. Jos joukko
> X on yhtä mahtava kuin joukko Y, niin merkitsemme ly-
> hyesti X ~ Y.
>
Sama määritelmä tässä monisteessa oli jo lukuvuonna 1972/1973
kun valmistauduin sen avulla Algebra 1:n loppukokeeseen Hgin
yliopistossa. Moniste on sittemmin hävinnyt mutta määritelmä
on jäänyt päähän.
Jossain olen tavannut määritelmän seuraavassa
muodossa: A on mahtavampi kuin B joss on olemassa surjektio
A->B . Sitten A ja B ovat yhtä mahtavia joss A on mahtavampi kuin
B ja B on mahtavampi kuin A.
Tuossa voisi kai (suuntaa vaihtamalla) käyttää injektiotakin.
Tämähän on ns naiivia joukko-oppia, joka matematiikassa
useimmiten riittää. Lueskelin kuitenkin joskus kauan sitten
Robert Stollin teosta Set Theory and Logic(Freeman & Co,
opuksesta näyttää olevan Doverin(siis halpa) uusintapainos).
Muistelen hämärästi että siinä tästä yksinkertaiselta
tuntuvasta asiasta tehtiin iso numero. Useat matematiikan
luennoitsijat varoittivat että monet asiat saattavat olla
varsinaisen logiikan puolella paljon hankalampia.
rike
Tuomas T Korppi
: In article <87bs4l1...@poet.pp.nic.fi>, Erno Simila wrote:
:> Kontinuumihypoteesin (CH) negaatiota ei voida todistaa ZFC:ssä
:> (Gödel 1939). Näin ollen jos ZFC:tä laajennetaan CH:n negaatiolla,
:> saadaan ristiriidaton systeemi ZFC+{~CH}, jolla täten on olemassa
:> malli. Tässä uudessa systeemissä kuvailemaasi mahtavuutta olevan
: Toinen väite ei seuraa ensimmäisestä; ensimmäisestä seuraa vain
: että ZFC+CH on ristiriidaton
Huomautettakoon vielä, että ei tiedetä, onko ZFC+CH ristiriidaton.
Tiedetään vain, että _jos_ ZFC on ristiriidaton, _niin_myös_ ZFC+CH on
ristiriidaton.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
** Kanuunoita sijoitettiin ympäri planeettaa ja ne ***********
** naamioitiin puolustuslaitteiksi, jotta kukaan ei olisi ****
** epäillyt mitään. (Stanislaw Lem: Kyberias) ****************
Erno Simila
>> Kontinuumihypoteesin (CH) negaatiota ei voida todistaa ZFC:ssä
>> (Gödel 1939). Näin ollen jos ZFC:tä laajennetaan CH:n negaatiolla,
>> saadaan ristiriidaton systeemi ZFC+{~CH}
> Toinen väite ei seuraa ensimmäisestä; ensimmäisestä seuraa vain
> että ZFC+CH on ristiriidaton
Joo, huomasin tuon itsekin jälkeenpäin, mutta ehdit lähettää
viestisi juuri, kun olin omaan viestiini oikaisukommenttia
kirjoittamassa. Joka tapauksessa kiitos korjauksesta.
Se tärkeä lemmahan, jonka ansiosta ZFC+CH:n ristiriidattomuus
seuraa tuosta ensimmäisestä väitteestä (mikäli ZFC on
ristiriidaton), kuuluu seuraavasti:
Olkoon F ristiriidaton systeemi, ja H sen hyvin muodostettu
ilmaisu. Jos H ei ole F:n teoreema, ts. F:ssä ei voida suoraan
aksiomeista lähtien muodostaa sallittua muotoa olevaa
päättelyketjua (todistusta) H:lle, niin F + {~H} on
ristiriidaton.
Toisaalta jos ~H ei ole F:n teoreema, niin F + {H} on
ristiriidaton.
--
Erno Similä
Ilkka Kokkarinen
"Tuomas T Korppi" <kor...@cc.helsinki.fi> wrote in message
news:argfa4$cin$1...@oravannahka.helsinki.fi...
> Huomautettakoon vielä, että ei tiedetä, onko ZFC+CH ristiriidaton.
> Tiedetään vain, että _jos_ ZFC on ristiriidaton, _niin_myös_ ZFC+CH on
> ristiriidaton.
Herääkin kysymys: miksi samankaltaista todistusta ei toisteta yksi
kerrallaan kaikille ZFC:n aksioomille, ja näin osoiteta ZFC:n olevan
ristiriidaton olettaen, että sen ensimmäinen aksiooma on ristiriidaton?
Ilkka Kokkarinen
Risto Kauppila
Ville Hakulinen wrote:
> In article <slrnatc3ii....@itu.st.jyu.fi>, Tero Tilus wrote:
>
>>Ääretön... jaaha... Oletetaan, että numerointi suoritetaan "alkaen
>>1:tä päättyen viimeiseen". Olkoon viimeinen numero m (luonnollinen
>>luku). Nyt havaitsemme, että numeroimassamme joukossa on m alkiota,
>>eli se on äärellinen.
>>
>
> Näin sivukommenttina mainittakoon, että jos joukkoa numeroidaan
> kardinaalien sijasta mielivaltaisilla ordinaaleilla, niin tällöin
> todellakin seuraajaordinaalien kohdalla numeroinnissa on viimeinen
> luku. Mikään ei estä esim. seuraavanlaista numerointia:
> 0,1,2,3,...,omega,omega+1,omega+2.
>
> Tai jos ei kaivata hyvinjärjestystä, vaan lineaarijärjestys riittää,
> niin onhan toki suljetussa yksikkövälissä [0,1] viimeinen alkio.
>
Analyysissä käytetty termi suurin alkio aiheuttaa ehkä vähemmän
väärinkäsityksiä. Alalla aivan diletanttina haluaisin esittää
tähän sivukommenttiin seuraavan alahuomautuksen.Yksikkövälillähän
on numeroituva määrä rationaalilukuja. Jos nyt jollekin tulee
mieleen että ykkönen olisi jossain niiden numeroinnissa
"viimeinen" alkio niin ei se näin tietysti ole vaan ykkösellä
on seuraaja joka on reaalilukuna pienempi kuin 1.
rike
Erno Simila
> Kontinuumihypoteesin (CH) negaatiota ei voida todistaa ZFC:ssä
> (Gödel 1939). Näin ollen jos ZFC:tä laajennetaan CH:n negaatiolla,
> saadaan ristiriidaton systeemi ZFC+{~CH}, jolla täten on olemassa
> reaalilukujen välissä olevan joukon] mahtavuutta olevan
> joukon olemassaolo on triviaalisti todistettavissa (aksiomina ~CH).
> ZFC:stä käsin sellaisen olemassaolo on puolestaan mahdotonta
> todistaa.
Jotta mitään ei jäisi epäselväksi ja koska tätä ryhmää lukevat
muutkin kuin matematiikan opiskelijat / asiantuntijat, niin
täytyy vielä mainita, että yllä lainaamani teksti on konsistentti
vain siinä tapauksessa, että ensimmäisen virkkeen asemesta
mainitaan Paul Cohenin todistaneen itse CH:n todistumattomuuden
ZFC:ssä. Ja kaikessa siis oletetaan ZFC:n ristiriidattomuus,
kuten tässä ryhmässä on jo muutamaan kertaan tullut mainittua.
Itse Cohenin todistuksesta en tiedä mitään, saati sitten
joukko-opillisesta pakotuksesta, joten on täysin mahdollista,
että esittämäni yksinkertainen päättely korjatussa muodossaan on
silti täysin turha. Näinhän on, mikäli mainittuun Cohenin
todistukseen sisältyy jo itseensä ZFC+{~CH}:n ristiriidattomuuden
toteaminen edellä mainituin oletuksin. Onhan toki niin, että CH
ei voi olla ZFC:n teoreema, jos ZFC ja ZFC+{~CH} ovat molemmat
ristiriidattomia. Tästä Hakulinen, Korppi tai joku muu osaa
varmaankin kertoa lisää tai ainakin suositella jotain hyvää
opusta, mikäli jollakulla on halua jatkaa aiheesta pintaa
syvemmälle.
--
Erno Similä
Mikko Kangasmaki
: täytyy vielä mainita, että yllä lainaamani teksti on konsistentti
: vain siinä tapauksessa, että ensimmäisen virkkeen asemesta
: mainitaan Paul Cohenin todistaneen itse CH:n todistumattomuuden
: ZFC:ssä. Ja kaikessa siis oletetaan ZFC:n ristiriidattomuus,
Hieman asiaan liittyen oli 'Tieteessä tapahtuu'-lehden toissa numerossa
mielenkiintoinen artikkeli Uuno Saarniosta, unohdetusta filosofista.
Muistaakseni TTKKn dosentti Jari Palomäki oli sen kirjoittanut.
Tämä Saarnion Uuno nimittäin oli ilmeisesti aivan vakuuttunut siitä, että
oli todistanut kontinuumihypoteesin todeksi. Hän väitti muistaakseni
käyttävänsä jotakin 'konstruktiivista menetelmää'. Lisäksi hänen
todistuksensa oli julkaistu aivan matemaattisissa lehdissä. Menin
tietenkin sutena MathSciNettiin, ja luin briiffit revjuuvit linkitettyinä
peedeeäffinä, ja siellä sitten tyynesti sanottiin, että tässä on virhe,
tai tuossa on virhe.
Sen koommin en ole asiaan tutustunut, koska otaksun sen vaativan kauheasti
vaivaa.
Jos joku teistä vaivautuu niihn tutustumaan, niin kertokaa ihmeessä
enemmän. Palomäki tuntuu olevan vähän ulalla matematiikan kanssa
artikkelissaan, joka muuten löytyy osoitteesta
www.tsv.fi/ttapaht/026/sisalto.htm
Henri Tapani Heinonen
viestissä:ar5j0o$tps$1...@nntp.hut.fi...
> Cantorhan esitti, että jos luonnollisten lukujen joukko värjättäisiin
> punaisilla ja mustilla lapuilla numerojärjestyksessä
> vuorotellen ja järjestettäisiin uudelleen siten, että punaiset
> laput olisivat ensin, niin kyseisen joukon koko olisi yhtenevä
> reaalilukujen joukon kanssa. Intuitiivinen tulkinta vaatii,
> että punaisissa lapuissa olisi viimeinenkin alkio.
> Ei ihme, että isäntä vietti aikaa lataamossa.
Onko joku lukenut Art Housen kirjaa "Mieli ja äärettömyys"? Se lienee hyvin
mielenkiintoinen.
--
Verbien taivutuskaava (http://koti.mbnet.fi/henrihe/tiede/verbikaava.html)