apua todennäköisyyslaskuun 2 (lukion matematiikka)
arpa...@gmail.com
etunimi oli Sari (4% tytöistä) ja yleisin poikien nimi Jari (6%
pojista). Kuinka monta tuolloin syntynyttä mies-nainen-paria tulee
vähintään olla koolla, jotta kannattaisi lyödä vetoa sen puolesta,
että joukossa on ainakin yksi Sari ja ainakin yksi Jari?
Vastaus: 25 (epäyhtälö (1 - 0,96^n)*(1-0,94^n)>0,5
Sanallisesti siis P(1 - ei kertaakaan saria)*P(1 - ei kertaakaan
jaria) = P(ainakin yksi sari)*P(ainakin yksi jari)=P(ainakin yksi sari
ja ainakin yksi jari)
-------------------------------------------------------------------
Noppaa heitetään kuudesti. Mikä on todennäköisyys, että tulee ainakin
yksi silmäluku 5 ja ainakin yksi silmäluku 6?
Jos laskee kuten yllä saadaan P(1 - ei yhtään 5)*(1 - ei yhtään 6) =
P(ainakin yksi 5)*(ainakin yksi 6)= P(ainakin yksi 5 ja ainakin yksi
6)
Näin saadaan kuitenkin väärä vastaus, joka on n. P= 0,44236
Oikeavastaus saadaan seuraavasti:
1- P(ei yhtään 5 tai ei yhtään 6)
Osaan kirjoittaa tämän vain seuraavaan muotoon:
= 1 - (P(ei yhtään 5) + P(ei yhtään 6) - P(ei yhtään ja 5 ja ei yhtään
6)== 0,44246 kuten yllä.
Kirjan takana ratkaisu on 0,42. Mitä teen väärin. Mitä eroa on
tehtävällä jari/sari verrattuna näihin nopan heittoihin?
Voisiko joku erotella vähän mitä tarkoittaa 1- P(ei yhtään 5 tai ei
yhtään 6) .
Seppo Miettinen
> Osaan kirjoittaa tämän vain seuraavaan muotoon:
> = 1 - (P(ei yhtään 5) + P(ei yhtään 6) - P(ei yhtään ja 5 ja ei yhtään
> 6)== 0,44246 kuten yllä.
>
>
> Kirjan takana ratkaisu on 0,42. Mitä teen väärin.
Yhtäläisyysmerkin edestä puuttuu yksi sulku, mutta muuten lienee
näppäilyvirhe, sillä minä saan näppäilyn tulokseksi 0,42. Tarkemmin 1 -
(0,3349 + 0,3349 - 0,08778) = 0,4179.
Seppo
Ohman
Ole tarkkana noiden "ja" ja "tai" - sanojen kanssa. Jos ajattelet
joukkoja, "ja" vastaa leikkausta,"tai" unionia.
(ei yhtään 5 tai ei yhtään 6) sisältää senkin mahdollisuuden, että ei
ole viitosta e i k ä kuutosta.
P(ei viitosta) = (5/6)^6, P(ei kuutosta) =(5/6)^6, P(ei viitosta eikä
kuutosta) = (4/6)^6.
(5/6)^6 +(5/6)^6 - (4/6)^6 = 0.58, 1 - 0.58 = 0.42
Siis se, että tulee ainakin yksi viitonen ja ainakin yksi kuutonen on
sen joukon komplementti, missä (ei ollenkaan viitosta tai ei ollenkaan
kuutosta - ei kumpaakaan).
Eli: joukkojen (ei ollenkaan viitosta) ja (ei ollenkaan kuutosta)
unionista pitää vähentää niiden leikkaus (ei viitosta eikä kuutosta),
jotta tämä joukko ei esiinny unionissa kahteen kertaan.
Unioni lienee yhteisjoukko ja leikkaus yhdysjoukko jossain
terminologiassa.
Ohman
TM
> 1960- ja 1970-lukujen vaihteessa yleisin tytöille annettu ensimmäinen
> etunimi oli Sari (4% tytöistä) ja yleisin poikien nimi Jari (6%
> pojista). Kuinka monta tuolloin syntynyttä mies-nainen-paria tulee
> vähintään olla koolla, jotta kannattaisi lyödä vetoa sen puolesta,
> että joukossa on ainakin yksi Sari ja ainakin yksi Jari?
>
> Vastaus: 25 (epäyhtälö (1 - 0,96^n)*(1-0,94^n)>0,5
> Sanallisesti siis P(1 - ei kertaakaan saria)*P(1 - ei kertaakaan
> jaria) = P(ainakin yksi sari)*P(ainakin yksi jari)=P(ainakin yksi sari
> ja ainakin yksi jari)
>
> -------------------------------------------------------------------
>
> Noppaa heitetään kuudesti. Mikä on todennäköisyys, että tulee ainakin
> yksi silmäluku 5 ja ainakin yksi silmäluku 6?
>
> Jos laskee kuten yllä saadaan P(1 - ei yhtään 5)*(1 - ei yhtään 6) =
> P(ainakin yksi 5)*(ainakin yksi 6)= P(ainakin yksi 5 ja ainakin yksi
> 6)
Tässä on virhe. Tapahtumat A = "ainakin yksi 5" ja B = "ainakin yksi 6"
ovat toisistaan riippuvia. Jos esim. tulee kuusi viitosta niin ei enää
voi tulla kuutosia, eli ovat selvästi riippuvia. Niinpä
P(A ja B) = P(A)*P(B|A) ei ole sama kuin P(A)*P(B)
> Osaan kirjoittaa tämän vain seuraavaan muotoon:
> = 1 - (P(ei yhtään 5) + P(ei yhtään 6) - P(ei yhtään ja 5 ja ei yhtään
> 6)== 0,44246 kuten yllä.
>
Laskuvirhe.
P(ei yhtään 5) = P(heitetään kuusi kertaa 1,2,3,4 tai 6) = (5/6)^6,
P(ei yhtään 6) = P(heitetään kuusi kertaa 1,2,3,4 tai 5) = (5/6)^6,
P(ei yhtään ja 5 ja ei yhtään 6) = P(heitetään kuusi kertaa 1,2,3 tai 4)
= (4/6)^6.
Näillä lausekkeesta tulee 0,4179...
>
> Kirjan takana ratkaisu on 0,42. Mitä teen väärin. Mitä eroa on
> tehtävällä jari/sari verrattuna näihin nopan heittoihin?
Jarien määrä miesten joukossa ei riipu Sarien määrästä naisten joukossa, eli
P(ainakin yksi sari ja ainakin yksi jari) = P(ainakin yksi
sari)*P(ainakin yksi jari)
>
> Voisiko joku erotella vähän mitä tarkoittaa 1- P(ei yhtään 5 tai ei
> yhtään 6) .
Merkitään A = "ainakin yksi 5" ja B = "ainakin yksi 6", jolloin ei(A) =
"ei yhtään 5" ja ei(B) = "ei yhtään 6". Näistä saadaan de Morganin säännöllä
P(A ja B) = P( ei( ei(A) tai ei(B) ) ) = 1 - P( ei(A) tai ei(B) ).
De Morgan sanallisesti olisi siis jotain tyyliin, että todennäköisyys
sille, että tulee ainakin yksi 5 ja ainakin yksi 6 on yhtäsuuri kuin
todennäköisyys sille, että ei käy niin, että ei tule yhtään 5 tai yhtään 6.
Ohman
>
> - Näytä siteerattu teksti -
Sorry:toisinpäin,unioni on tietenkin yhdysjoukko ja leikkaus
yhteisjoukko (yhteinen joukko). Siksi käytän unionia ja leikkausta kun
nämä toiset termit tahtovat mennä väärin.
Pitäisi kysyä numerosta 020202.
Vai mitenkä se oli?
Ohman
Ohman
väärin.Kohdasta "Siis se.." alkaen tarkoitin vain sitä, että jos
luetteloidaan sarjat, joissa ei ole viitosta (joukko A) ja ne
sarjat,joissa ei ole kuutosta (joukko B), niin sarjat joista sekä 5
että 6 puuttuvat tulevat luetteloitua kahteen kertaa.Leikkaus AB on
sekä A:n että B:n osajoukko.Kun siis lasketaan joukon A U B
mittaa,P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB). Joukko (ainakin yksi 5 ja
ainakin yksi 6) on siis joukon A U B komplemetti.
Tämä kaikki on kyllä itsestään selvää, mutta kirjoitin nyt kumminkin
kun ensin tuli sanottua huonosti siinä loppuselittelyssä
Ohman
arpa...@gmail.com
syventävällä kurssilla opetellutkin ja ilmeisesti niille siis löytyy
käyttöäkin siinä vaiheessa kun lausekkeiden pyörittely pelkkien
joukkokuvioiden ja ajatusten avulla ei enää onnistu. Ilman niitä
kuitenkin vielä mennään, mutta onneksi tämä tehtävä nyt edustaa sitä
lukion todennäköisyyslaskujen vaikeinta antia, eli yleinen
yhteenlaskusääntö + kertolaskusääntö + toistokoe + vaikeus hahmottaa
koska noppaa heitetään 6 kertaa.
Joukkoajattelu oli taas kerran enemmän kuin hyödyllinen. Onneksi tämä
oli sentään käyttämäni WSOY:n kirjan vaikein todennäköisyyslasku, niin
ei tässä nyt tarvitse vielä hiuksia alkaa repimään. Ilmeisesti
jatkossa tuo joukko-oppi ja sen säännötkin tulevat sitten paremmin
apuun todariin.