Äärettömyyksistä
TR
vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
TR
Lauri Alanko
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
Jos tulisi, niin silloin pii olisi rationaaliluku.
Lauri Alanko
l...@iki.fi
Heikki Kaskelma
>TR:
> > Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> > vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
>
> Jos tulisi, niin silloin pii olisi rationaaliluku.
Voisi olla, mutta voisi olla olemattakin.
Voisihan siellä olla äärettömästi muitakin numeroita.
Ja tällainen todennäköisyys sitten hei!
Joko siellä on sellainen kohta tai sitten ei,
sitä vaan ei tiedetä onko vai ei.
Heikki Kaskelma
Ilkka Kokkarinen
"TR" <trat...@yahoo.com> wrote in message
news:30f74ecf.03012...@posting.google.com...
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
Voidaanko sanoa, että Goldbachin konjektuuri on tosi 50 prosentin
todennäköisyydellä?
Ilkka Kokkarinen
Jukka Kohonen
Kysymys on ilmeisesti tarkoitettu retoriseksi, mutta vastataan silti:
Voidaan toki.
(Tällöin täytyy tietysti olla käytössä tähän sopiva merkitys
käsitteelle "todennäköisyys". Frekventistisellä tulkinnalla tuo väite
olisi hiukan omituinen. Mutta kannattaa huomata, että mikään
esimerkiksi todennäköisyys- kentän aksioomissa ei edellytä
frekventismiä.)
--
Jukka....@iki.fi
* Ei auta itku markkinoilla - turkki juoda pitää
Timo J Rinne
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
Voidaan sanoa 100% varmasti, että äärellisessä desimaalimäärässä ei
ikinä löydy kohtaa jonka jälkeen tulee äärettömästi peräkkäisiä
ykkösiä. Jos sellainen kohta olisi olemassa, niin pii ei olisi
irrationaalinen vaan voitaisiin esittää kahden kokonaisluvun
osamääränä. Todistus löytyy vaikkapa osoitteesta
http://www.shu.edu/projects/reals/infinity/irrat_nm.html
tai muusta sopivasta paikasta.
Koska pii ei missään vaiheessa ole jaksollinen, niin voidaan varsin
luontevasti olettaa, että minkä tahansa desimaalin jälkeen löytyy
mielivaltaisen paljon ykkösiä, kunhan vain tarpeeksi pitkälle
mennään. Väliin tuppaa vain muitakin numeroita. Taitaa olla jopa
niin, että riittävän pitkälle mentäessä löytyisi jopa mielivaltaisen
pituisia, vaan ei äärettömiä, jonoja peräkkäisiä ykkösiä. Mutta
missään vaiheessa ei päästä tilanteeseen, jossa pii voitaisiin esittää
tarkasti pelkillä numeroilla.
//Rinne
Jussi Pihlajamäki
viestissä:30f74ecf.03012...@posting.google.com...
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
>
> TR
Eikös todennäköisyys olisi pikemminki:
0,1*0,1*0,1*...
Siis jos oletetaan, että kaikki numerot tietyllä paikalla ovat yhtä
todennäköisiä.
Tällöin yksittäisen ykkösen todennäköisyys on tuo 10%, siis jokaisen
äärettömän monen yksittäisen ykkösen, ja sitten nämä todennäköisyydet
kerrotaan keskenään...
Jorma Jalasto
"TR" <trat...@yahoo.com> skrev i meddelandet
news:30f74ecf.03012...@posting.google.com...
Ei, mutta olen varmalta taholta kuullut, että Edvin Laineen
ohjaama "Tuntematon sotilas" on useampaankin kertaan jo
aivan alkupäässä.
Jorma
Erkka
äärettämän määrän ei vaan ykkösiä, vaan myös muita lukuja. Ts väite 10% on
väärä. Oikea väite on 100% (tätä on varmaan mahdoton todistaa oikeaksi tai
vääräksi).
Erkka
"TR" <trat...@yahoo.com> wrote in message
news:30f74ecf.03012...@posting.google.com...
Kalle Kivimaa
> mennään. Väliin tuppaa vain muitakin numeroita. Taitaa olla jopa
> niin, että riittävän pitkälle mentäessä löytyisi jopa mielivaltaisen
> pituisia, vaan ei äärettömiä, jonoja peräkkäisiä ykkösiä. Mutta
Tämä ei liene mahdotonta mutta ei myöskään välttämätöntä. Voinee olla
myös niin, että desimaalin m jälkeen ei ole lainkaan kahta perättäistä
samaa numeroa.
--
* Zathras is used to being beast of burden to other peoples' needs. Very *
* sad life. Probably have very sad death, but at least there is symmetry. *
* (Babylon 5, War Without End) *
* PGP public key available @ http://www.iki.fi/killer *
Tuomas Yrjövuori
>
> Ei, mutta olen varmalta taholta kuullut, että Edvin Laineen
> ohjaama "Tuntematon sotilas" on useampaankin kertaan jo
> aivan alkupäässä.
"Todennäköisyys tähän on nolla (0), mutta silti se on mahdollista."
Matemaattinen pähkinä:
Onko ylläoleva ilmaus oikein? ;-)
--
Tuomas Yrjövuori
Esa Sakkinen
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
100% todennäköisyydellä - ja kohta on desimaalipilkun kohdalla :)
Ville
Eikö esim. piistä johdettu luku, jonka kaikki '1'-desimaalit on korvattu '2'-desimaalilla , ole irrationaaliluku?
Mistäs sitten tiedät, ettei piitä ole jostain desimaalista lähtien konstruoitu em. tavalla (hassu kehäpäätelmä) :).
Ville
että todennäköisyys em. ykkösten esiintymiseen on 100%.
Jukka Kohonen
>Onko todellakin niin, ettei voida konstruoida irrationaalilukua, jonka
>desimaaleissa ei esiinny ykköstä?
Ei ole niin. Kyllä sellainen voidaan aivan helposti konstruoida.
Vaikkapa ottamalla luku 0.222... ja korvaamalla kakkosia nollilla
äärettömästi jollain systemaattisella, mutta ei jaksollisella tavalla.
Esim. pannaan nolla kaikkiin niihin desimaalipaikkoihin, joiden
järjestysnumero on alkuluku. Saatu luku ei ole rationaalinen, ja ei
ole ykkösiä yhtään.
Timo Korvola
> "Ilkka Kokkarinen" <imk...@rogers.com> writes:
> >Voidaanko sanoa, että Goldbachin konjektuuri on tosi 50 prosentin
> >todennäköisyydellä?
>
> Kysymys on ilmeisesti tarkoitettu retoriseksi, mutta vastataan silti:
> Voidaan toki.
>
> (Tällöin täytyy tietysti olla käytössä tähän sopiva merkitys
> käsitteelle "todennäköisyys".
Tuota, millainenhan todennäköisyysavaruus sinulla mahtoi olla
mielessä? Siis niin, että "Goldbachin konjektuuri on tosi" on
tapahtuma, jonka todennäköisyys on 0,5.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Kalle Kivimaa
> 100% todennäköisyydellä - ja kohta on desimaalipilkun kohdalla :)
Mitenkäs tämä muuten todistetaan?
--
* Killerin laki: Portviinin määrästä riippumatta maailmassa on aina *
* liian vähän portviiniä. *
Jukka Kohonen
>koh...@cc.helsinki.fi (Jukka Kohonen) writes:
>> "Ilkka Kokkarinen" <imk...@rogers.com> writes:
>> >Voidaanko sanoa, että Goldbachin konjektuuri on tosi 50 prosentin
>> >todennäköisyydellä?
>>
>> Kysymys on ilmeisesti tarkoitettu retoriseksi, mutta vastataan silti:
>> Voidaan toki.
>
>mielessä? Siis niin, että "Goldbachin konjektuuri on tosi" on
>tapahtuma, jonka todennäköisyys on 0,5.
No todennäköisyysavaruushan (kolmikko \Omega,A,P) on helppo
konstruoida.
Otetaan avaruudeksi 2-alkioinen joukko propositioita:
\Omega = {\omega1 = "G. on tosi", \omega2 = "G. on epätosi"}.
Tn-kentän sigma-algebran arvaatkin, kun avaruus on äärellinen.
Ja asetetaan alkeistapahtumien todennäköisyydet:
P{\omega1} = 1/2,
P{\omega2} = 1/2.
Lisäksi tietysti P(\emptyset) = 0 ja P(\Omega) = 1.
Siinä meillä nyt on tn-avaruus, jossa alkeistapahtuman "G. on tosi"
todennäköisyys (so. se arvo, jonka eräs funktio P siihen liittää)
on puoli, ja samaten alkeistapahtuman "G. on epätosi". Kaikki
tn-avaruuden aksioomat ovat voimassa.
Jos tämä tuntuu jotenkin hämmästyttävältä, niin kannattaa tsekata,
ettei kuvittele tn-avaruuden aksioomien sanovan jotain enemmän kuin
mitä ne oikeasti sanovat.
Ehkä tarkoitit kysymykselläsi jotain muuta kuin itse tn-avaruuden
rakennetta, esim. sitä, miten tuo tn-funktio P on tarkoitus _tulkita_?
No, esimerkiksi sopivana subjektiivisena todennäköisyytenä.
Jukka Kohonen
>Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
>vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
Kysymyksen asettelu on jo alunperin hiukan epämääräinen.
"Jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä" voisi tarkoittaa
a) että mitään muuta ei tulekaan, so. siitä kohdasta alkaen sekvenssi
on 11111...
b) että sen jälkeen on (muun muassa) ääretön määrä ykkösiä.
Osa vastanneista on ilmeisesti tulkinnut tavalla a, ja osa tavalla b.
Jos a) pätisi, niin pii olisi rationaaliluku. Ja näinhän ei ole.
Siis a) ei päde.
Sen sijaan b) on ilmeisesti avoin kysymys. Ainakin sci.mathissa tuota
kysytään aika ajoin ja säännöllisesti siihen vastataan, että ei sitä
tiedetä. Olenkin hiukan hämmästynyt, kun täällä on useampikin vastaaja
ilmoittanut, että kyllä niitä ykkösiä _on_ siellä joukossa ääretön määrä.
Jos joku on tosiaan nähnyt tällaisen todistetun jossain, voisiko antaa
viitteen?
Väite _tuntuu_ toki luontevalta, koska ne desimaalit, jotka tunnetaan,
ovat jotakuinkin tasan jakautuneet numeroihin 0...9. Mutta eihän tämä
mitään _todista_ siitä, miten ne loput desimaalit (joita ei tunneta)
ovat jakautuneet.
Jukka Kohonen
>Väite _tuntuu_ toki luontevalta, koska ne desimaalit, jotka tunnetaan,
>ovat jotakuinkin tasan jakautuneet numeroihin 0...9. Mutta eihän tämä
>mitään _todista_ siitä, miten ne loput desimaalit (joita ei tunneta)
>ovat jakautuneet.
Täsmennys: Tarkoitan tässä väitettä "Piin desimaalikehitelmässä on
ääretön määrä ykkösiä". Alkuperäisen kysyjän esittämä todennäköisyysväite
on sitten vielä eri asia...
Jorma Jalasto
"Tuomas Yrjövuori" <tuomas.y...@hut.fi> skrev i
meddelandet news:3E2D0362...@hut.fi...
Yllä ölevista vain ylempi on oikein. Sekin on epätarkka
"useampaan kertaan" pitäisi olla "äärettömän monta kertaa".
Todennäköisyys tähän on 1 (1), muttä silti se ei ole varmaa.
Jorma
Tuomas Yrjövuori
>
> > > ohjaama "Tuntematon sotilas" on useampaankin kertaan jo
> > > aivan alkupäässä.
> >
> > "Todennäköisyys tähän on nolla (0), mutta silti se on
> > mahdollista."
> >
> > Matemaattinen pähkinä:
> > Onko ylläoleva ilmaus oikein? ;-)
>
> "useampaan kertaan" pitäisi olla "äärettömän monta kertaa".
>
> Todennäköisyys tähän on 1 (1), muttä silti se ei ole varmaa.
Minusta olet väärässä. Oikea vastaus postaamaani "pähkinään" on 'kyllä'.
Myönnetään, että käsittelin asiaa pähkinän muodossa syystä, että näin
annan itsestäni älykkäämmän vaikutelman kuin mitä oikeasti olen ;)
Normaalisti tällaisissa tilanteissa ohjataan follarisuositukset (joita
ei niitäkään kuulemma pidä noudattaa) .huuhaaseen ym.
Koska kirjoitat ihka ensimmäistä kertaa .matematiikkaan (ellet sitten
ole kirjoitellut aikaisemmin nimimerkillä), olet todennäköisesti
vakavalla mielellä liikkeellä ja sinulla on ko. aiheesta jotain
erityisosaamista tai aihe on muuten vain sydäntäsi lähellä.
Siksi on ohjannut jatkoja :)
--
Tuomas Yrjövuori
Jorma Jalasto
> Jorma Jalasto wrote:
> >
> > > > ohjaama "Tuntematon sotilas" on useampaankin kertaan
jo
> > > > aivan alkupäässä.
> > >
> > > "Todennäköisyys tähän on nolla (0), mutta silti se on
> > > mahdollista."
> > >
> > > Matemaattinen pähkinä:
> > > Onko ylläoleva ilmaus oikein? ;-)
> >
> > Yllä ölevista vain ylempi on oikein. Sekin on epätarkka
> > "useampaan kertaan" pitäisi olla "äärettömän monta
kertaa".
> >
> > Todennäköisyys tähän on 1 (1), muttä silti se ei ole
varmaa.
>
> Minusta olet väärässä. Oikea vastaus postaamaani
"pähkinään" on 'kyllä'.
> Myönnetään, että käsittelin asiaa pähkinän muodossa
syystä, että näin
> annan itsestäni älykkäämmän vaikutelman kuin mitä oikeasti
olen ;)
Alkuperäinen kysyjä ei saanut kunnollista vastausta vakavaan
kysymykseensä, joka kenties ei ihan riittänyt
tiedekysymykseksi. Kysymyshän kuului:
Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin
desimaaleissa tulee vastaan kohta jonka jälkeen tulee
äärettömästi ykkösiä?
Tulkitsin kysymyksen niin että kysyjä tarkoittaa peräkkäisiä
ykkösiä.
Mielestäni voidaan olettaa.
1. Piin desimaaleja on numeroituvasti ääretön määrä.
2. Piin desimaalit tulevat ikäänkuinkin sattumanvaraisuutta
noudattaen.
Piin desimaaleissa tulee vastaan kohtia joissa on useita
ykkösiä peräkkäin. Joukossa on erittäin pitkiä ykkösjonoja.
Käsittääkseni kysyjä halusi tietää onko joku näistä jonoista
äärettömän pitkä. Tähän kysymykseen vastasin ei.
Lisäsin kuitenkin kohdan, jossa totesin tulevan ( erittäin
pitkiä ykkösjonoja ja myös kaikkia muita
merkkijonoja. Esimerkkinä mainitsin merkkijonon, joka
muodostaisi DVD ) koodin elokuvasta.
Siihen tarvittäva merkkijono on pitkä, mutta äärellinen.
Tämä merkkimäärä voi tietenkin olla monessa eri
järjestyksessä. Sitä osoittava luku on edelleen äärellinen.
Jos otetaan näin monta merkkiä piin desimaaleista, sisältää
tämä merkkiketju kaikki mahdolliset elokuvat tai muut yhtä
pitkät kombinaatiot keskimäärin yhden kerran.
Jos nyt jaetaan ääretön luvulla, joka on äärellinen,
vaikkakin hyvin suuri, saadaan ääretön. Siispä tämä tulee
toistumaan äärettömän monta kertaa.
>
> Normaalisti tällaisissa tilanteissa ohjataan
follarisuositukset (joita
> ei niitäkään kuulemma pidä noudattaa) .huuhaaseen ym.
Miksi?
Niinkuin tiedät ei huuhaa ole mikään kaatopaikka, vaan
luovien kirjoittajien temmellyskenttä.
> Koska kirjoitat ihka ensimmäistä kertaa .matematiikkaan
(ellet sitten
> ole kirjoitellut aikaisemmin nimimerkillä), olet
todennäköisesti
> vakavalla mielellä liikkeellä ja sinulla on ko. aiheesta
jotain
> erityisosaamista tai aihe on muuten vain sydäntäsi
lähellä.
Tämän ymmärtämiseen ei tarvita mitään erityisosaamista.
Jorma
Heikki Kaskelma
> Mielestäni voidaan olettaa.
> 1. Piin desimaaleja on numeroituvasti ääretön määrä.
> 2. Piin desimaalit tulevat ikäänkuinkin sattumanvaraisuutta
> noudattaen.
Olettaa voidaan, mutta tulevatko todella
"ikäänkuinkin sattumanvaraisuutta noudattaen"?
Tätä ovat monet selvitelleet
mutta vielä ei ole tulosta tullut.
Heikki Kaskelma
Timo Korvola
> 2. Piin desimaalit tulevat ikäänkuinkin sattumanvaraisuutta
> noudattaen.
Tarkoittanet, että pii olisi normaali kymmenjärjestelmässä, eli mikä
tahansa n numeron mittainen jono esiintyisi kehitelmässä frekvenssillä
1/10^n. Tätä ei tiedetä. Desimaaleja on laskettu suunnilleen
biljoona, ja tasaisesti ne näyttäisivät jakautuvan. Todistaa ei
kuitenkaan osata edes sitä, että jokainen numero esiintyisi äärettömän
monta kertaa.
Tuomas Yrjövuori
>
> Alkuperäinen kysyjä ei saanut kunnollista vastausta vakavaan
> kysymykseensä, joka kenties ei ihan riittänyt
> tiedekysymykseksi.
Tuohon en ota vahvasti kantaa muuta kuin, että lienet oikeassa.
Toisaalta harrastuspohjaista matematiikkaryhmää ei taida olla olemassa
(eikä välttämättä kannata ollakaan).
Jotkut ovat ehdottaneet tuollaisten kysymysten lähettämistä .opiskeluun,
mutta ymmärrän kyllä miksei tämä tunnu luontevalta.
Näistä asioista kuuluisi puhua .nyysseissä tai .ryhmat+listoissa, mutta
tuskinpa tämän takia kannattaa jatkoja ohjata.
Joku muu sen tehköön jos tuntee tarpeelliseksi. Turhan usein nuotion
sammutus jätetään yllä mainittujen nyyssiteknisten ryhmien tehtäväksi.
Eihän tässä nyt mistään autiolla saarella selviytymisestä ole kysymys.
> Kysymyshän kuului:
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin
> desimaaleissa tulee vastaan kohta jonka jälkeen tulee
> äärettömästi ykkösiä?
Vastataanpas nyt sitten, vaikka pelkään, että menee metsään.
Minusta ei voida.
(Ymmärrän kyllä, että virallinen vastaus saattaa olla, ettei tuohon
kysymykseen ole vastausta.)
> Tulkitsin kysymyksen niin että kysyjä tarkoittaa peräkkäisiä
> ykkösiä.
Niin minäkin _tulkitsin_. Nimimerkki TR:n kysymys todellakin oli hyvin
väljä.
> Mielestäni voidaan olettaa.
> 1. Piin desimaaleja on numeroituvasti ääretön määrä.
Samaa mieltä.
> 2. Piin desimaalit tulevat ikäänkuinkin sattumanvaraisuutta
> noudattaen.
Samaa mieltä.
Noita ei kai kuitenkaan voi todistaa niin kuin viisaammaat täällä jo
totesivatkin.
> Piin desimaaleissa tulee vastaan kohtia joissa on useita
> ykkösiä peräkkäin. Joukossa on erittäin pitkiä ykkösjonoja.
> Käsittääkseni kysyjä halusi tietää onko joku näistä jonoista
> äärettömän pitkä. Tähän kysymykseen vastasin ei.
Samaa mieltä.
> Lisäsin kuitenkin kohdan, jossa totesin tulevan ( erittäin
> pitkiä ykkösjonoja ja myös kaikkia muita
> merkkijonoja. Esimerkkinä mainitsin merkkijonon, joka
> muodostaisi DVD ) koodin elokuvasta.
Ymmärsin kyllä. Kysyin ihan vakavalla mielellä omaa kysymystäni :)
Sehän oli suunnilleen (ilman keplottelua): Eikö tuon todennäköisyys
olekin 0, vaikka se onkin mahdollista?
Tätäkään ei varmasti voida todistaa. Täytyy vain luottaa intuitioon.
Paljon todennäköisempää olisi jos Tuntematon sotilas löytyisi _kirjana_
piin desimaaleista. Kuitenkin tämänkin todennäköisyys olisi tasan nolla,
vaikka se olisikin suurempi kuin sinun esimerkkissäsi.
Taidamme olla sittenkin aika samoilla linjoilla tässä asiassa ;)
> Niinkuin tiedät ei huuhaa ole mikään kaatopaikka, vaan
> luovien kirjoittajien temmellyskenttä.
Nimenomaan. Tästä syystä .huuhaastakin on monesti ohjattu jatkot
.varaventtiiliin. Kaikkien kyvyt (esimerkiksi minun) eivät välttämättä
riitä kunnon .huuhaaseen. Mutta missäs harjoitella muualla kuin
huuhaa-ryhmässä? Matematiikkaryhmässä vai?
Tämä oli taas asiaa, joka ei kuulu tiederyhmiin. Pahoittelen.
--
Tuomas Yrjövuori
Jorma Jalasto
"Heikki Kaskelma" <kashei+...@mas-oy.com> skrev i
meddelandet news:iGGX9.347$H4....@news.kpnqwest.fi...
Tarvittavan koodauksen löytymiseksi riittää, etteivät
desimaalit muutu äärellisen alueella jaksolliseksi. Tämä
lienee kaikkien uskottavissa.
Jorma
Jukka Kohonen
>Tarvittavan koodauksen löytymiseksi riittää, etteivät
>desimaalit muutu äärellisen alueella jaksolliseksi. Tämä
>lienee kaikkien uskottavissa.
Mitä tarkoitat?
Jaksottomuus on toki tiedossa (eikä vain "uskottavissa"). Sehän seuraa
suoraan piin irrationaalisuudesta.
Mutta jaksottomuudesta ei seuraa, ettei jotain _muuta_ erikoista
säännönmukaisuutta olisi. Jaksottomuudesta ei esimerkiksi seuraa,
että kaikkia numeroita löytyisi pitkän päälle yhtä paljon.
Hansen Henri
: Mutta jaksottomuudesta ei seuraa, ettei jotain _muuta_ erikoista
: säännönmukaisuutta olisi. Jaksottomuudesta ei esimerkiksi seuraa,
: että kaikkia numeroita löytyisi pitkän päälle yhtä paljon.
Tuo on tietysti totta. Monet tuntuvat toisaalta ajattelevan, että
tarvitaan jotain erityistä "satunnaisuutta", jotta kaikki mahdollisuudet
voisivat löytyä sekä että jos kaikki löytyvät, niin kyse on jonkinlaisesta
satunnaisuudesta.
Esimerkiksi luvussa
0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031...
ei ole mitään "satunnaisuutta", vaan sen n:s desimaali voidaan laskea
erittäinkin helposti. Kuitenkin etenkin tämä luku sisältää kaikki
mahdolliset elokuvat jne desimaaleinaan täysin riippumatta koodauksesta.
Kaikki numerot 0..9 esiintyvät siinä äärettömän monta kertaa, siinä on
mielivaltaisen pitkiä sekvenssejä mitä hyvänsä numeroa jne jne.
Ja silti se on täysin epämielenkiintoinen irrationaaliluku.
--
God and our good cause fight upon our side; The prayers of holy saints
and wronged souls, Like high-reared bulwarks, stand before our faces.
(Richard III, 5.2)
Teemu O Hautala
> Voidaanko sanoa, että 10 % todennäköisyydellä piin desimaaleissa tulee
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
Eiköhän näin voi sanoa vain subjektiivisena todennäköisyytenä, kun
kyseessä ei ole satunnaiskoe. Sama kuin todennäköisyys väitteelle
"Helsinki on maailman pohjoisin pääkaupunki", ennen kuin katsoo karttaan.
Miikka Lahti
Timo Korvola wrote:
>
> Tarkoittanet, että pii olisi normaali kymmenjärjestelmässä, eli mikä
> tahansa n numeron mittainen jono esiintyisi kehitelmässä frekvenssillä
> 1/10^n. Tätä ei tiedetä. Desimaaleja on laskettu suunnilleen
> biljoona, ja tasaisesti ne näyttäisivät jakautuvan. Todistaa ei
> kuitenkaan osata edes sitä, että jokainen numero esiintyisi äärettömän
> monta kertaa.
Binäärijärjestelmässä osataan, muutenhan luku olisi jaksollinen.
Risto Paasivirta
Tuomas =?iso-8859-1?Q?Yrj=F6vuori?= <tuomas.y...@hut.fi> wrote:
>> Lisäsin kuitenkin kohdan, jossa totesin tulevan ( erittäin
>> pitkiä ykkösjonoja ja myös kaikkia muita
>> merkkijonoja. Esimerkkinä mainitsin merkkijonon, joka
>> muodostaisi DVD ) koodin elokuvasta.
>
>Ymmärsin kyllä. Kysyin ihan vakavalla mielellä omaa kysymystäni :)
>
>Sehän oli suunnilleen (ilman keplottelua): Eikö tuon todennäköisyys
>olekin 0, vaikka se onkin mahdollista?
Riippuen piin ominaisuuksista, todennäköisyys voi olla mitä
tahansa.
Esm. luvut 0.12345678910111213... ja 0.12345678910121314...
edellisessä esiintyy _kaikki_ äärelliset desimaaliosajonot,
olevat ja tulevat DVD-elokuvat mukaanlukien, jälkimmäisessä
vain ne DVD:t joiden desimaaliesityksessä ei ole kahta samaa
desimaalia peräkkäin. ;-)
>Tätäkään ei varmasti voida todistaa. Täytyy vain luottaa intuitioon.
Entäs kun kysytään niinpäin, että kumpi on todennäköisempi,
reaaliluku, jonka desimaaliesituksessä valittu desimaalijono
(esm. se DVD) esiintyy ainakin kerran vai jonka esityksessa
valittu jono ei esiinny? Oisko jälkimmäinen joukko ylinumeroituva
mutta 0-mittainen? Taijotainsinnepäin. Ja todennäköisyydet siis
1 ja 0?
>Paljon todennäköisempää olisi jos Tuntematon sotilas löytyisi _kirjana_
>piin desimaaleista. Kuitenkin tämänkin todennäköisyys olisi tasan nolla,
>vaikka se olisikin suurempi kuin sinun esimerkkissäsi.
Itse vaikkaisin että todennäköisyys, ettei jokin valittu äärellinen
desimaalijono esiinny piin likiarvossa on 0. (Ja että sekä DVD että
kirja löytyisi todennäköisyydellä 1.) Perustelua en oikein osaa
formuloida, jotain siihen suuntaan että kokonaan puuttuva desimaali-
osajono meinaisi jonkinlaisen struktuurin löytämista.
>Taidamme olla sittenkin aika samoilla linjoilla tässä asiassa ;)
Mää en ole. Luulisin kai ehkä.
>Tuomas Yrjövuori
Risto
--
"ATK on rikki!"
Aki Karppinen
> vastaan kohta jonka jälkeen tulee äärettömästi ykkösiä?
>
- Piinhän desimaaleja voidaan todella pitää rehellisenä
satunnaisoperaationa!
- Todennäköisyys esim. 10kpl peräkkäiselle 1:lle on (1/10)^10.
- Jos 1:iä on äärettömästi on todennäköisyys (1/10)^(ääretön)= noin 0.0%
- 0.111... = 10x=1.11
x=0.11
-----------------
9x=1.000
x=1/9
muut: 0.0111...= 1/90, 0.001111...= 1/900 jne..
kun nuo ynnätään johonkin piin likiarvoon saadaan: esim.
3.141111111=3.14+1/900 =314/100+1/900=??? enpä jaksa laskea...
- Onko luvun 1/9 ja muiden 3.141592611111... lukujen osuus koko lukusuorasta
sitten tasan 0%? Öh. empä tiedä... Hiukan yli!
! Aki !
TR
kaikille vastanneille ja olen pahoillani jos laitoin harrastelijan,
mutta matikasta aina kiinnostuneen, kysymykseni väärään ryhmään.
Kysymyksen historia juontaa erääseen iltaan, kun mietin lukioaikoja ja
siellä pitkään erilaisista äärettömyyksistä matematiikan tunnilla
keskusteltuamme matikanopettajan toteamusta, että: "Matematiikka ei
oikein osaa äärettömyyksiä".
Muistaakseni käsittelimme kysymyksiä tyyliin, ääretön kertaa ääretön
on edelleen ääretön ja ääretön jaettuna äärettömällä ei ole
määritelty, loogisia kumpikin, mielestäni. Joitakin ongelmia
äärettömyyksien käsittelyssä tuli jo tuolloin ilmi ja ilmaan jäi
roikkumaan tieto, että niitä oli vielä paljon enemmänkin, mutta joita
ei vielä voinut, tai opettaja osannut, meille lukiolaisille kertoa.
Asia jäi askarruttamaan.
Miten matematiikka nykyään 'osaa' käsitellä äärettömyyksiä? Onko
edistystä tapahtunut? Mitä ongelmia löytyy?
Ymmärrän, että matematiikka ihmisen rakentamana on rajallinen (kuten
kirjoitettu laki) siinä missä ihminenkin, mutta luulisin, että
kehitystä kuitenkin tapahtuisi. Toisaalta taitaa olla niin, että
jotkin asiat 'tiedämme' olevan tietyllä tavalla, mutta käyttämämme
rakennelmat eivät niitä pysty käsittelemään.
TR
Timo J Rinne
> - Piinhän desimaaleja voidaan todella pitää rehellisenä
> satunnaisoperaationa!
No voi sitä ainakin pitää satunnaisen kaltaisena, mutta satunnaisena
tuskin, koska satunnainenhan ei kompressoidu, mutta pii kompressoituu,
vieläpä äärettömän tehokkaasti, koska piin desimaaleja voidaan laskea
äärettömästi äärellisen pituisesta sarjaesityksestä.
Voiko tuota desimaalien satunnaisuutta todistaa?
//Rinne
Kalle Kivimaa
> keskusteltuamme matikanopettajan toteamusta, että: "Matematiikka ei
> oikein osaa äärettömyyksiä".
Kyllä matematiikka osaa käsitellä äärettömyyksiä. Kokonaan toinen
juttu on sitten se, että joillain laskuoperaatioilla on
intuitiivisesti "väärä" vastaus, kun äärettömiä käsitellään. Toisaalta
minä en ole mikään matemaatikko, joten voin olla väärässäkin :)
--
* Sufficiently advanced magic is indistinguishable from technology (T.P) *
Kari Pasanen
> Itse vaikkaisin että todennäköisyys, ettei jokin valittu äärellinen
> desimaalijono esiinny piin likiarvossa on 0. (Ja että sekä DVD että
> kirja löytyisi todennäköisyydellä 1.) Perustelua en oikein osaa
> formuloida, jotain siihen suuntaan että kokonaan puuttuva desimaali-
> osajono meinaisi jonkinlaisen struktuurin löytämista.
Täällä on käyty mielenkiintoista keskustelua piin ominaisuuksista pääasiassa
harrastajamatemaatikkojen kesken. Harrastaja minäkin olen, mutta jospa nyt
jotakin asiasta tietämääni lisäisin tänne.
Kuten on jo sanottu, tässä on kysymys siitä, millaisella
todennäköisyysmitalla kysyttyä todennäköisyyttä mitataan - ja miten sitä
todennäköisyyttä tulkitaan. Koska pii on ihan tietty luku, jolla on tietyt
ominaisuudet siitä riippumatta, tiedämmekö (matemaattisen todistuksen
olemassaolon mielessä) jonkin ominaisuuden voimassaoloa, todennäköisyyttä
ei voi tulkita muuten kuin subjektiivisena todennäköisyytenä: "Musta
tuntuu, että näin on todennäköisyydellä p." Muuten meillä on
todennäköisyyden sijasta varmuus: näin on tai näin ei ole.
Kuten mikä tahansa tutkittavaksi valittu luku sen jälkeen, kun valinta on jo
suoritettu, pii ei ole mikään erityisen "mielivaltainen" tai "satunnaisesti
valittu" luku. Jos se kuitenkin sellainen olisi - kuvitellaanpa, että
reaaliluvun murto-osa (kokonaisosan ylittävä osa) valitaan tasaisella
jakaumalla väliltä [0, 1[ ja ikään kuin sattumalta saadaan juuri piin
murto-osa, juuri näin todennäköisyydellä nolla -, niin lukujonojen
tasajakaumateorian nojalla jotakin voidaan sanoa.
Seuraavat määritelmät ja tulokset jäävät jossakin määrin ilmaan, koska tässä
ei ole mahdollista esittää kaikkia niitä edeltäviä määritelmiä ja tuloksia.
Määritelmä: Reaaliluku a on normaali kannan k (luonnollinen luku, k >= 2)
suhteen, jos jono (a k^n) on tasajakautunut mod 1. Reaaliluku a on
absoluuttisesti normaali, jos se on normaali jokaisen kannan suhteen.
Lause: Melkein kaikki reaaliluvut ovat absoluuttisesti normaaleja.
Ilmaisu "melkein kaikki" tarkoittaa: lukuunottamatta mitätöntä joukkoa eli
joukkoa, jonka (Lebesguen) mitta on nolla. Koska normaalius on selvästi
1-jaksollinen ilmiö, tulkitsemalla kaikki reaaliluvut mod 1 sitä voidaan
tutkia perusjoukossa [0, 1[, jonka sopivaan sigma-algebraan rajoitettuna
Lebesguen mitta on todennäköisyysmitta.
Lause voidaan tulkita, että "melkein kaikkien" lukujen k-kantaisissa
esityksissä missä tahansa kannassa k mikä tahansa äärellispituinen
"desimaalijono" esiintyy äärettömän monta kertaa ja "yhtä usein" kuin mikä
tahansa saman pituinen "desimaalijono". (Käytän lainausmerkkejä, koska
kymmenkantaiseen esitykseen varattu sana ei ole oikea, mutta on kuitenkin
tässä kontekstissa ymmärrettävissä.)
Vain harvoista irrationaaliluvuista on todistettu niiden normaalius jonkin
tietyn kannan suhteen tai absoluuttinen normaalius. Sitä ei ole luultavasti
vieläkään todistettu esim. piistä. Niinpä:
Jos pii ei satu kuulumaan siihen mitättömään eli nollamittaiseen joukkoon,
jonka alkiot eivät ole absoluuttisesti normaaleja, niin piikin on
absoluuttisesti normaali ja sen desimaalikehitelmästä löytyy äärettömän
monta kertaa mikä tahansa äärellispituinen desimaalijono
Kari Pasanen
> Kysymyksen historia juontaa erääseen iltaan, kun mietin lukioaikoja ja
> siellä pitkään erilaisista äärettömyyksistä matematiikan tunnilla
> keskusteltuamme matikanopettajan toteamusta, että: "Matematiikka ei
> oikein osaa äärettömyyksiä".
Kyllä osaa, monessakin mielessä: Joukkojen äärettömät mahtavuudet;
äärettömyys lukujonon tai funktion raja-arvona tai arvona, jota jonon
indeksi tai funktion argumentti "lähestyy". Monenlaisia yleistyksiä löytyy.
> Muistaakseni käsittelimme kysymyksiä tyyliin, ääretön kertaa ääretön
> on edelleen ääretön ja ääretön jaettuna äärettömällä ei ole
> määritelty, loogisia kumpikin, mielestäni.
Näissä esimerkeissä "ääretön" on funktion tai sen argumentin raja-arvo.
Kaikki funktiot eivät käyttäydy siististi äärettömyyden läheisyydessä eli
eivät ole jatkuvia äärettömyydessä (eli ei ole olemassa raja-arvoa tai on
olemassa raja-arvo, joka eroaa funktion arvosta).
Esimerkiksi reaalilukujen kertolasku: f(x, y) = xy.
Funktio f saadaan jatkuvaksi jomman kumman argumentin äärettömyyspisteissä
asettamalla
f(a, oo) = f(oo, a) = (a:n merkki) oo, kun a <> 0,
f(oo, oo) = oo,
ja samaan tapaan negatiivisille äärettömyyksille. Mutta ei ole mitään
mahdollista tapaa määritellä f(0, oo) siten, että funktio olisi jatkuva,
koska antamalla toisen argumentin lähestyä nollaa ja toisen äärettömyyttä
eri tavoin raja-arvoksi voidaan saada ihan mikä tahansa reaaliluku tai +oo
tai -oo.
On pelkkä sopimus, että voidaan luopua eo. funktiomerkinnästä tai
eksplisiittisestä raja-arvosta ja kirjoittaa esim. 2oo = oo tarkoittaen
sillä kyseisen kaksiargumenttisen funktion raja-arvoa, kun toinen
argumentti lähestyy 2:ta ja toinen oo:tä. Merkintä 0oo on määrittelemätön
juuri sillä perusteella, että sen implisiittisesti tarkoittamaa raja-arvoa
ei ole olemassa.
Joissakin tapauksissa on siltä kätevää määritellä kaksiargumenttisten
funktioiden "määrittelemättömiä" arvoja vähät välittämällä jatkuvuudesta.
Esim. minun mielestäni 0^0 = 1 vaikka ei ole olemassa raja-arvoa y^x, kun
x->0 ja y->0 toisistaan riippumattomasti.
Kari Pasanen
Aki M Suihkonen
>"Aki Karppinen" <karp...@proffa.cc.tut.fi> wrote:
>> - Piinhän desimaaleja voidaan todella pitää rehellisenä
>> satunnaisoperaationa!
>
>No voi sitä ainakin pitää satunnaisen kaltaisena, mutta satunnaisena
>tuskin, koska satunnainenhan ei kompressoidu, mutta pii kompressoituu,
>vieläpä äärettömän tehokkaasti, koska piin desimaaleja voidaan laskea
>äärettömästi äärellisen pituisesta sarjaesityksestä.
Ei todellakaan voida. Jokainen piin sarjakehitelmä sisältää äärettömyyttä
tarkoittavan notaation. Olipa käytetty algoritmi nopeasti tai hitaasti
konvergoituva, piin etäisten desimaalien laskeminen vaatii alati
kasvavaa sananleveyttä. Siten automaattikaan ei ole äärellinen.
--
Problems 1) do NOT write a virus or a worm program
"A.K.Dewdney, The New Turing Omnibus; Chapter 60: Computer viruses"
Hansen Henri
: Ei todellakaan voida. Jokainen piin sarjakehitelmä sisältää äärettömyyttä
: tarkoittavan notaation. Olipa käytetty algoritmi nopeasti tai hitaasti
: konvergoituva, piin etäisten desimaalien laskeminen vaatii alati
: kasvavaa sananleveyttä. Siten automaattikaan ei ole äärellinen.
Uskon ja luulen, että sellainen automaatti, joka laskee piin desimaaleja,
vaatii äärettömän määrän muistia ainoastaan tulosteelleen.
Hansen Henri
: Ei todellakaan voida. Jokainen piin sarjakehitelmä sisältää äärettömyyttä
: tarkoittavan notaation. Olipa käytetty algoritmi nopeasti tai hitaasti
: konvergoituva, piin etäisten desimaalien laskeminen vaatii alati
: kasvavaa sananleveyttä. Siten automaattikaan ei ole äärellinen.
Meinasin jo möläyttää (tai möläytinkin, mutta canceloin), että automaatti
tarvitsee äärettömän verran muistia tms vain tulosteelleen, mutta tarkkaan
ottaen se ei taida pitää paikkaansa, koska täytynee tietää jotain siitä,
monettako desimaalia ollaan laskemassa.
Äärellisellä automaatilla ei merkkijonoa 3.141... voi hyväksyä, koska
piin desimaalit eivät voi mitenkään olla säännöllinen lauseke.
Herääkin kysymys: Koska selvästi turingin koneella voi hyväksyä piin
mielivaltaisia alkuosia, niin mikä on heikoin automaatti, joka tunnistaa
"väärän piin". Eli toisin sanoen ilmoittaa, että ko. merkkijono ei ole
piin desimaaliesitys, kun ensimmäinen väärä merkki tulee vastaan.
Valmari Antti
Timo J Rinne kirjoitti piistä:
> No voi sitä ainakin pitää satunnaisen kaltaisena, mutta satunnaisena
> tuskin, koska satunnainenhan ei kompressoidu, mutta pii kompressoituu,
> vieläpä äärettömän tehokkaasti, koska piin desimaaleja voidaan laskea
> äärettömästi äärellisen pituisesta sarjaesityksestä.
Aki M Suihkonen vastasi:
! Ei todellakaan voida. Jokainen piin sarjakehitelmä sisältää äärettömyyttä
! tarkoittavan notaation. Olipa käytetty algoritmi nopeasti tai hitaasti
! konvergoituva, piin etäisten desimaalien laskeminen vaatii alati
! kasvavaa sananleveyttä. Siten automaattikaan ei ole äärellinen.
Kumpikin käytti sen verran sumeita ilmaisuja, että en ole varma mitä
he tarkoittivat. Joka tapauksessa:
> mutta satunnaisena
> tuskin, koska satunnainenhan ei kompressoidu, mutta pii kompressoituu
Näin on. Yksittäisen äärettömän merkkijonon satunnaisuudesta on mielekästä
puhua Kolmogorov-kompleksisuuden teorian valossa. Tällä mittarilla mitattuna
piin desimaaliesitys on niin epäsatunnainen kuin olla voi.
Jos otetaan piin desimaaliesityksen alkuosa pituudeltaan n, sen
Kolmogorov-kompleksisuus on sekä huonoimmillaan että keskimäärin kertaluokkaa
Theta( log n ). Sen sijaan satunnaiselle jonolle vastaava lukema on
Theta( n ).
Näin on, koska piin desimaaliesityksen minkä tahansa alkuosan laskemiseen
kykenevä algoritmi voidaan ilmaista vakiomittaisella merkkijonolla,
joka ottaa halutun pituuden syötteekseen. Log n bittiä tarvitaan sen
kertomiseen, kuinka pitkä alkuosa halutaan.
On siis oikein sanoa, että piin desimaaliesitys tiivistyy hyvin paljon,
(vakioyhteenlaskettavaa vaille) niin paljon kuin luvun desimaaliesitys
ylipäänsä voi tiivistyä. On makuasia, onko ilmaus "äärettömän tehokkaasti"
oikeutettu.
! piin etäisten desimaalien laskeminen vaatii alati
! kasvavaa sananleveyttä.
Tämäkin on totta (kutakuinkin, koska alati kasvavan sanaleveyden tilalla
voi käyttää muita temppuja. Mutta siis on totta, että mitä pitemmälle
halutaan laskea, sitä enemmän tarvitaan muistia).
! Jokainen piin sarjakehitelmä sisältää äärettömyyttä
! tarkoittavan notaation.
En ymmärrä, mitä tämä tarkoittaa. Joka tapauksessa pii on tässä suhteessa
samanveroinen kuin esimerkiksi 0,111... Onhan tässäkin "äärettömyyttä
tarkoittava notaatio", nimittäin "...".
Sellainen ero on, että rationaalilukujen desimaaliesitykset voi hyväksyä
äärellisillä automaateilla, mutta muiden lukujen ei. Tämä seuraa siitä,
että rationaaliluvut ovat tismalleen ne luvut, joiden desimaaliesitys
on jaksollinen. On helppo suunnitella äärellinen automaatti, joka ensin
lukee alkuosan ja sitten jää kiertämään jakson mukaista silmukkaa.
Toisaalta, jos automaatti hyväksyy jonkin desimaaliluvun kaikki alkuosat,
niin tarpeeksi monta merkkiä luettuaan se väkisin palaa tilaan jossa on
ollut, minkä vuoksi se hyväksyy jonkin jaksollisen desimaaliluvun kaikki
alkuosat. Siis se joko hyväksyy monta desimaalilukua, missä tapauksessa
sen ei voi sanoa laskevan minkään yksittäisen luvun desimaaliesitystä; tai
sitten sen hyväksymä ainoa luku on rationaaliluku.
--- Antti Valmari ---
Aki Karppinen
"Hansen Henri" <han...@cs.tut.fi> kirjoitti
viestissä:b0rr5q$qs8$3...@news.cc.tut.fi...
> Äärellisellä automaatilla ei merkkijonoa 3.141... voi hyväksyä, koska
> piin desimaalit eivät voi mitenkään olla säännöllinen lauseke.
> Herääkin kysymys: Koska selvästi turingin koneella voi hyväksyä piin
> mielivaltaisia alkuosia, niin mikä on heikoin automaatti, joka tunnistaa
> "väärän piin". Eli toisin sanoen ilmoittaa, että ko. merkkijono ei ole
> piin desimaaliesitys, kun ensimmäinen väärä merkki tulee vastaan.
- Tehokkain merkkijono piin ilmaisemiseksi on jokin sarjakehitelmä, summa(S)
tai integraali(I).
- Kaivoin vektorianalyysi-prujustani piille kehitelmän: (ää = ääretön)
pi = (ää I -ää)((e^(-x^2))dx)^2
- Fourier-kirjani tunnisti kehitelmän:
pi = sqrt(6*(ää Sn 1)(1/nn))
ää =1000 000; kokeillaan C++: lla.
pi=3.141592
double x,p;
x=0;p=0;
for (i=1;i<1000000;i++)
{
p=p+1/(x*x);
x=x+1;
}
p=
printf("\npiin likiarvo: %e\n", sqrt(6*p));
- Piin tarkkuuden rajaa tässä käytännössä sqrt(6).
- doublen tarkkuus oli pettymys.
- Itse olen keksinyt kehitelmän ympyrän alasta piin kehitelmän:
pi = 4*(1 I 0 )(sqrt(1-xx)dx)
- Muutetaan integer sigmaksi. Piin likiarvo M desimaalilla on:
(dx=1/M)( yläraja=M/1 ) (uusi x= M * vanha x, vanha x=uusi x/M)
pi=4*((M Sx 0)(sqrt(1-xx/MM)*(1/M) ))
pi=4*((M Sx 0)(sqrt(MM-xx)/MM*(1/M) ))
pi=4/(M*M)*((M Sx 0)(sqrt(MM-xx) ))
- Voidaan laskea suurilla neliöjuurilla.
esim. M=10:
pi = (4/10)*(10 Sx 0)(sqrt(100-xx))
= 0.04*(sqrt 100+sqrt 99 +sqrt 96+..sqrt 91+sqrt 84+
sqrt 75+sqrt 64+ sqrt 51+sqrt 36+sqrt 19+ sqrt 0)
= 3.3
M=1000 000:
pi= (4/10)*(1000 Sx 0)(sqrt(1000 000-xx))
pi=3.141595 (ei menny C++:lla sekuntiakaan!)
! Aki Karppinen !
? Pitäisikö ohjelmoida 1000 * double ?