MAAILMAN VAIKEIN LASKU?
Sami Nurminen
EI OLE VIELÄ PYSTYTTY RATKAISEMAAN,NIIN SANOTTUJA MAHDOTTOMIA??
Tapio Hurme
"math*"
Sivuja löytyy - sanoisinko viljalti - på svenska ymnigt.
Lukuteoreettiset ongelmat ovat hauskoja, koska niiden esittäminen on
yksinkertaista ja jokainen ymmärtää ne helposti. Todistaminen onkin sitten
vaikeampaa. Taatusti mukavampaa ja halvempaa hupia kuin ristisanatehtävien
ratkaiseminen. :-)
Kas- tässäpä kolme noin niinkuin alkupaloiksi:
1) Aloita vaikka tästä kivasta Erdos-Straus ongelmasta:
Todista tai todista vääräksi, että jokaiselle kokonaisluvulle n>1,
(4/n)=(1/x)+(1/y)+(1/z) joillekin positiivisille kokonaisluvuille x,y ja z.
2) Todista, että jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin 2 voidaan
esittää kahden alkuluvun summana. (Goldbachin konjektuuri). Tämä lienee
ehkä nykyisin haastavin ongelma sen jälkeen kun Fermatin viimeinen teoreema
osoitettiin oikeaksi.
3)Löydä kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle : x^2 -1 =n! (!=kertoma) ja n
mikä hyvänsä kokonaisluku.
Onnea ja menestystä nitkaassa tehtävässänne.
Tapio
Sami Nurminen <saj...@sci.fi> kirjoitti
viestissä:38A01D53...@sci.fi...
Tuomas T Korppi
: Vaikka miten paljon. Käytä hakukonetta ja syötä: "Unsolved" "problem"
: "math*"
: Sivuja löytyy - sanoisinko viljalti - på svenska ymnigt.
: Lukuteoreettiset ongelmat ovat hauskoja, koska niiden esittäminen on
: yksinkertaista ja jokainen ymmärtää ne helposti. Todistaminen onkin sitten
: vaikeampaa. Taatusti mukavampaa ja halvempaa hupia kuin ristisanatehtävien
: ratkaiseminen. :-)
Korostettakoon vielä, että lukuteorian todistuvien(*) väitteiden luokka on
rekursiivisesti numeroituva muttei rekursiivinen. Käytännössä tämä
tarkoittaa sitä, ettei koskaan päästä tilanteeseen, missä kaikki
lukuteoreettiset ongelmat olisi ratkaistu; aina on olemassa lisää
väitteitä, joille ei löydetty todistuksia, eikä esim. sellaista
tietokoneohjelmaa voida tehdä, että saatuaan lauseen syötteeksi se
tulostaisi todistuksen tai ilmoittaisi, ettei todistusta ole olemassa.
(*) Peanon aksioomista
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
---------------------------------------------------------------------------
Nevermore.
- the Raven
Kari Tikkanen
: ONKO MAAILMASSA TÄLLÄ HETKELLÄ SELLAISTA LASKUA,JOTA
: EI OLE VIELÄ PYSTYTTY RATKAISEMAAN,NIIN SANOTTUJA MAHDOTTOMIA??
Kolmen kappaleen ongelman yleinen ratkaisu analyyttisesti.
Kappaleet tässä voivat olla alkeishiukkasia tai vaikka planeettoja.
Tietokoneella pystytään kyllä approximoimaan.
--------------------------------------------------------------------
Kari Tikkanen ! . . -#- ! b ! begin
FIN-90550 OULU ! ! ! I = / f(x)dx ! s:=s+Eq(i);
FINLAND ! . . Vega ! a ! end
--------------------------------------------------------------------
http://www.student.oulu.fi/~ktikkane
Tapio Ranta-aho
>ONKO MAAILMASSA TÄLLÄ HETKELLÄ SELLAISTA LASKUA,JOTA
>EI OLE VIELÄ PYSTYTTY RATKAISEMAAN,NIIN SANOTTUJA MAHDOTTOMIA??
Jos on puutetta tekemisestä, niin suosittelen
kulman kolmiajakamisen ongelmaa.
Eli piirrä viivottimen avulla A4 paperille sattumanvarainen kulma kahden
viivan avulla. Sen jälkeen viivottimen, kynän ja harpin avulla
jaa kulma kolmeen täsmälleen yhtäsuureen osaan.
Kerro täällä miten onnistui :)
Miska Holopainen
>2) Todista, että jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin 2 voidaan
>esittää kahden alkuluvun summana. (Goldbachin konjektuuri). Tämä lienee
>ehkä nykyisin haastavin ongelma sen jälkeen kun Fermatin viimeinen teoreema
>osoitettiin oikeaksi.
Mitä tää jälkimmäinen pitää sisällään?
Jorma Kypp|
Meidän aivoillamme ja meidän dimensioissamme..;)
Matti Saarinen
Olkoot x,y,z ja n positiivia, nollasta eroavia, kokonaislukuja
ja n > 2. Tällöin yhtälöllä
x^n + y^n = z^n
ei ole ratkaisua. Tämän todisti viimein englantilainen Andrew
Wiles vuonna 1995.
--
- Matti -
Tuomas T Korppi
: Käsittääkseni tämä on ratkaistu eli että ei voi ratkaista.
: Meidän aivoillamme ja meidän dimensioissamme..;)
Ei, vaan meidän harpeillamme ja viivottimillamme. Tuskin meidän aivoilla
on _tässä_ yhteydessä mitään tekemistä.
Ilari Heikkinen
> Olkoot x,y,z ja n positiivia, nollasta eroavia, kokonaislukuja
> ja n > 2. Tällöin yhtälöllä
>
> x^n + y^n = z^n
>
> ei ole ratkaisua. Tämän todisti viimein englantilainen Andrew
> Wiles vuonna 1995.
>
> --
> - Matti -
Lisäyksenä vielä että x,y ja z täytyy olla peräkkäisiä lukuja, yhtälöhän
todellakin toteutuu x:n, y:n ja z:n arvoilla 3,4 ja 5 kun n=2, mutta tämäkin
(tietääkseni) rajoittuu vain näihin edellämainittuihin lukuihin (x,y,z >1)
Matti
Ilari Heikkinen <ihei...@nettilinja.fi> wrote in message
news:881t9m$ep5$1...@tron.sci.fi...
Höpö höpö. x, y ja z saavat olla mitä vain nollasta poikkeavia
kokonaislukuja. Fermat'n suuri lausehan on suora yleistys Pythagoraan
lauseesta.
Tapio Hurme
Fermatin viimeisen lauseen (=FLT) yleistyksestä eli Bealin kojektuurista on
luvassa selkeää rahaa. Palkinto on 75000 USD ja kilpailu julkistettiin
joulukuussa 1997.
Palkinto maksetaan joko todistuksesta tai vastaesimerkistä. Raha on American
Mathematical Societyn hallussa. Lisää tietoa löydät hakukoneesta sanoilla
"Beal" , "conjecture" "prize".
Yhteyshenkilö on professori R. Daniel Mauldin: e-mail
mau...@dynamics.math.unt.edu
Ongelman muotoilu on:
Jos A^x + B^y = C^z, missä A,B,C, x,y ja z ovat positiivisia kokonaislukuja
ja x,y ja z ovat kaikki suurempia kuin 2, niin silloin A:lla , B:llä ja
C:llä täytyy olla yhteinen tekijä.
Ollako vai eikö olla - kas´ siinäpä pulmanne - Sir. 8-o
Tapio
Sami Nurminen
Antti-Juhani Kaijanaho
> ONKO MAAILMASSA TÄLLÄ HETKELLÄ SELLAISTA LASKUA,JOTA EI OLE VIELÄ
> PYSTYTTY RATKAISEMAAN,NIIN SANOTTUJA MAHDOTTOMIA??
Älä huuda. Korviin sattuu.
Olet ymmärtänyt yhden asian todella väärin. Matematiikassa "mahdoton"
ei tarkoita "ei ole vielä pystytty ratkaisemaan". Matemaatikon
mahdoton on oikeasti mahdoton: mahdottoman tehtävän ratkaiseminen on
looginen ristiriita. Tämä väärinkäsitys taitaa olla yksi syy sille,
miksi trisektoreitakin[1] maailmasta vielä löytyy.
Esimerkki: Ei ole vielä pystytty ratkaisemaan, onko P = NP. Mutta sen
sijaan on mahdotonta löytää rationaalilukua x siten, että x^2 = 2.
Edellisen tehtävän ratkaisemisen yrittäminen on kunnioitettava teko,
jälkimmäisen ratkaisemisen yrittäminen on sitä säälittävämpää, mitä
enemmän yrittäjä tuntee matematiikkaa.
[1] Ihminen, joka pyrkii ratkaisemaan kulman kolmiajakamisen ongelman,
tai jonkin muun kuuluisan mahdottoman tehtävän.
--
%%% Antti-Juhani Kaijanaho % ga...@iki.fi % http://www.iki.fi/gaia/ %%%
""
(John Cage)
Ilari Heikkinen
Matti <Matti.R...@helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:881vdc$egv$1...@oravannahka.helsinki.fi...
> Höpö höpö. x, y ja z saavat olla mitä vain nollasta poikkeavia
> kokonaislukuja. Fermat'n suuri lausehan on suora yleistys Pythagoraan
> lauseesta.
Kiitoksia väärinkäsitykseni paikkamisesta, ties mitä tämä olisi
tulevaisuudessa vielä aiheuttanut ;)
Ilari Heikkinen
Ville Hakulinen <ville.h...@xhelsinki.fix> kirjoitti
viestissä:881v5q$vbg$1...@sirppi.helsinki.fi...
> Entäs seuraavat kolmikot? 6,8,10; 9,12,15; 12,16,20; Tai jokin muu
> kuin 3,4,5:n monikerta: 5,12,13.
>
> n=2:n tapauksessa ratkaisuja _on_; kyse oli tapauksesta n>2.
Kuriositeettina
> mainittakoon, että 3^3+4^3+5^3=6^3.
> Ville
Taisin viestissäni mainta että _peräkkäisiä_ kokonaislukuja... niitäpä ei
taida muita löytyä kuin 3,4 ja 5, millä xē+yē=zē...
Kari Tikkanen
: Olet ymmärtänyt yhden asian todella väärin. Matematiikassa "mahdoton"
: ei tarkoita "ei ole vielä pystytty ratkaisemaan". Matemaatikon
: mahdoton on oikeasti mahdoton: mahdottoman tehtävän ratkaiseminen on
: looginen ristiriita. Tämä väärinkäsitys taitaa olla yksi syy sille,
: miksi trisektoreitakin[1] maailmasta vielä löytyy.
: Esimerkki: Ei ole vielä pystytty ratkaisemaan, onko P = NP. Mutta sen
: sijaan on mahdotonta löytää rationaalilukua x siten, että x^2 = 2.
: Edellisen tehtävän ratkaisemisen yrittäminen on kunnioitettava teko,
: jälkimmäisen ratkaisemisen yrittäminen on sitä säälittävämpää, mitä
: enemmän yrittäjä tuntee matematiikkaa.
: [1] Ihminen, joka pyrkii ratkaisemaan kulman kolmiajakamisen ongelman,
: tai jonkin muun kuuluisan mahdottoman tehtävän.
: --
: %%% Antti-Juhani Kaijanaho % ga...@iki.fi % http://www.iki.fi/gaia/ %%%
Am Math Monthly:ssa taisi olla useita vuosia sitten fysikaalinen ratkaisu
tuohon kolmiajakamiseen, se oli sellainen riippuva laite, jonka luotisuora
asettui kulman 1/3 kulmaan. Matem se ei ole tyydyttävä koskei harpilla
ja viivaimella ja kait teoreettisesti se heiluri vaatii äärettömän
heilahdusten määrän asettuakseen.
--------------------------------------------------------------------
Kari Tikkanen ! . . -#- ! b ! begin
FIN-90550 OULU ! ! ! I = / f(x)dx ! s:=s+Eq(i);
FINLAND ! . . Vega ! a ! end
--------------------------------------------------------------------
Epädetermininistiä algoritmeja ja muita omituisuuksia
http://www.student.oulu.fi/~ktikkane/fil_det.html
Antti-Juhani Kaijanaho
> Matem se ei ole tyydyttävä koskei harpilla ja viivaimella ja kait
> teoreettisesti se heiluri vaatii äärettömän heilahdusten määrän
> asettuakseen.
Sopivilla työkaluilla (esim kulmamittari) kolmiajakaminen on
triviaalia. Pointti siinä mahdottomuudessa on se, että se ei onnistu
viivaimella ja harpilla. Muistaakseni jo antiikin aikana osattiin
ratkasita kolmiajakaminen jollakin hieman erilaisella työkalujoukolla.
--
%%% Antti-Juhani Kaijanaho % ga...@iki.fi % http://www.iki.fi/gaia/ %%%
""
(John Cage)
Antti
> viivan avulla. Sen jälkeen viivoittimen, kynän ja harpin avulla
> jaa kulma kolmeen täsmälleen yhtä suureen osaan.
Suomalainenhan ei usko ennen kuin koittaa..
Mielestäni tämä toimii.
Jaetaan ensin kulma pienempiin osiin. Ensin 2teen ja taas kumpikin 2teen
Kunnes osat ovat alle 45 astetta. (kahtia jaot onnistuvat harpilla ja
viivoittimella?) Kukin jakoviiva olkoon vasemmalta laskien j1, j2 jne.
Otetaan harppiin mielivaltainen leveys (joita paperin koosta riippuen
pitäisi kuitenkin mahtua max. 6 kpl.
Jaetaan vasen kolmion sivu (oikeakin kelpaisi) 3kp näitä jakovälejä.
Jatkossa jv.)
Otetaan harppiin kaikkien kolmen jv. mitta.
Piirretään kaari tällä mitalla vasemman ja oikean sivun välille harpin
kärjen ollessa kolmion kärjessä.
Asetetaan harpin kärki vasemman sivun 3.nnen jv. päähän ja piirretään
leikkaus oikeaan sivuun. Harpin ollessa mitassa 3 kertaa jv. (mikäli kulma
alle 45 astetta muuten j1.) Vedetään viiva harpin kärjestä leikkaukseen.
Jaetaan viiva 3 jv:iin (pitäisi mennä tasan) ensimmäinen piste vasemmalta 1
apuväli (jatkossa 1av.) toinen 2av.
Asetetaan harpin kärki oikean sivun ja kaaren yhtymäkohtaan (mikäli kulma
alle 45 astetta. Muuten j1.) Piirretään leikkaus vasempaan sivuun. Harpin
ollessa mitassa 3 kertaa jv. Vedetään viiva harpin kärjestä leikkaukseen.
Jaetaan viiva 3 jv:iin (pitäisi mennä tasan) ensimmäinen piste vasemmalta
1lisäväli (jatkossa 1lv.)
Vedetään apuviiva kulman kärjen ja 1av välissä olevalle kaarelle.
Vedetään apuviiva kulman kärjen ja 1lv välissä olevalle kaarelle.
Jaetaan harpilla apuviivojen väli (kaarelta) 2teen. Tämä vasemman laidan
kaaren alkupisteen ja apuviivojen väli on kulman 1/3-, tai jos kulma on
jaettu kahtia 1/6-, jos jaettu 4 llä. 1/12-, jos jaettu 8 lla 1/24- osa.
Jos kulma on jaettu osiin voidaan esimerkiksi j1 ja j2 väli jakaa kuten
vasen sivu ja j1.
Jos kulma on lähellä 45 astetta josta silmämääräisesti ei näe onko yli ali
tai tasan. Jatketaan kaarta jonka leveys on 3 kertaa jv. harpin kärjen
ollessa kulman kärjessä, vähintään toinen vastaava matka.
Piirretään harpilla ja viivoittimella kohtisuora kulman vasemman sivun ja
kulman kärjen kohdalle. (jatkaen vasenta sivua kulman ulkopuolelle.) Jos
vasemman ja oikean sivun välinen matka kun sitä jatketaan oikealta sivulta
oikealle ohittaa äsken piirretyn kohtisuoran. Kulma on silloin vähemmän kuin
45 astetta. Jolloin ei tarvita kulman jakoa.
Jos ei voida nähdä onko kulma yli tai ali 180 astetta, voidaan piirtää
vasemman sivun jatke ohi kulman. Jos jatke jää jaettavan kulman sisään on
kulma alle 180 astetta. Jolloin tarvitaan jako 2teen ja kumpikin 2teen.
Muuten kulma jaetaan 2teen Osat 2teen ja vielä kerran kukin 2teen.
Missä mokasin?
Jyrki Lahtonen
Mikäli ymmärsin konstruktioehdotuksesi oikein, niin mokasit
siinä, ettei sekantin jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan
suinkaan jaa kulmaa yhtäsuuriin osiin: keskimmäinen sekantin
pala on aavistuksen verran lähempänä kulman kärkeä kuin
reunimmaiset, joten sitä vastaa isompi osa kulmaa.
En kuitenkaan viitsinyt lukea juttuasi kovin tarkkaa. Mate-
maatikon yleissivitykseen kuuluu tieto siitä, että yleisen
kulman kolmijako (harppi-viivoitin konstruktiona) on mahdotonta.
Maallikoille selvennykseksi, että tämä EI tarkoita sitä, ettei
kukaan vaan ole ollut niin fiksu, että olisi keksinyt miten
temppu tehdään. Vaan on TODISTETTU, että se ei ole lainkaan
mahdollista.
Todistus ei edes ole kovin vaativa (Turussa toisen vuoden
algebran kurssilla, jota minullakin on pari kertaa ollut
ilo luennoida), mutta en aio sitä tässä forumissa esittää.
Löytynee melkein kaikista kuntalaajennusten teorian alkeita
esittelevästä kirjasta (esim. N.Jacobson Basic Algebra I)
--
Jyrki Lahtonen, Ph.D.
Department of Mathematics,
University of Turku,
FIN-20014 Turku, Finland
Markku Halmetoja
: Eli piirrä viivoittimen avulla A4 paperille sattumanvarainen kulma kahden
: > viivan avulla. Sen jälkeen viivoittimen, kynän ja harpin avulla
: > jaa kulma kolmeen täsmälleen yhtä suureen osaan.
: Vieläkö viivoitinta saa käyttää?
: Suomalainenhan ei usko ennen kuin koittaa..
Mikko Pekkarisen matikkasivuilla
http://www.cs.tut.fi/~empii/matikka/index.html
on kulman kolmijako esitetty. Pelkästään harpilla ja
viivaimella homma onnistuu, mutta tuloksena on
PÄÄTTYMÄTÖN (:-)) prosessi!
-mh-
Antti
>viivaimella homma onnistuu, mutta tuloksena on
>PÄÄTTYMÄTÖN (:-)) prosessi!
>-mh-
No ainakin kierros kierrokselta lähestytään päämäärää.
Antti Alhonen
>
> ONKO MAAILMASSA TÄLLÄ HETKELLÄ SELLAISTA LASKUA,JOTA
> EI OLE VIELÄ PYSTYTTY RATKAISEMAAN,NIIN SANOTTUJA MAHDOTTOMIA??
On, -1 neliöjuuri :)
mkar...@iki.fi
Kuis niin? Onhan olemassa kompleksiluvut ja imaginääriyksikkö. ;)
i^2 = -1 josta
sqrt(-1) = i
--
Miika Karanki
Johnny Hazard
>>On, -1 neliöjuuri :)
>
>Kuis niin? Onhan olemassa kompleksiluvut ja imaginääriyksikkö. ;)
>i^2 = -1 josta
>sqrt(-1) = i
Eli sqrt(-1) ei voida saada mitään arvoa, mutta on havaittu
lyhyemmäksi kirjoittaa sen tilalle i. Eli koko kompleksimatikan
voisi johtaa ilman i kirjainta kirjoittamalla sqrt(-1) joka
paikkaan. Eli i ei ole ratkaisu tehtävään sqrt(-1).
Jyri Pieko
news:slrn8df71k...@uni.kaapeli.net...
> Eli sqrt(-1) ei voida saada mitään arvoa, mutta on havaittu
> lyhyemmäksi kirjoittaa sen tilalle i. Eli koko kompleksimatikan
> voisi johtaa ilman i kirjainta kirjoittamalla sqrt(-1) joka
> paikkaan. Eli i ei ole ratkaisu tehtävään sqrt(-1).
Tällaisella järkeilyllä kaikilla sqrt(x) ei ole "ratkaisua" edes reaaliluvun
x:n positiivisilla arvoilla. Samoin pii:llä, e:llä jne. ei ole sen kummempaa
"ratkaisua" kuin symbolinen ilmaisu. Ilmeisesti ajatellaan, että jotkut
symbolit ovat oikeampia lukuja kuin toiset symbolit ja että jälkimmiäiset
pitäisi voida lausua edellisten avulla. Matemaattisessa lausekkeessa, esim.
sqrt(x) ei ole mitään ratkaisemista; se voidaan esittää toisenlaisena,
enemmän tai vähemmän sievennettynä lausekkeena.
--
JyriP
Henri Hansen
: Tällaisella järkeilyllä kaikilla sqrt(x) ei ole "ratkaisua" edes reaaliluvun
: x:n positiivisilla arvoilla. Samoin pii:llä, e:llä jne. ei ole sen kummempaa
: "ratkaisua" kuin symbolinen ilmaisu.
Jos sqrt(-1) = i, niin koska sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b), niin 1 =
sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1) * sqrt(-1) = i*i = -1. Mikä on
ristiriita. Ei siis voi olla, että sqrt(-1) = i.
: Ilmeisesti ajatellaan, että jotkut
: symbolit ovat oikeampia lukuja kuin toiset symbolit ja että jälkimmiäiset
: pitäisi voida lausua edellisten avulla. Matemaattisessa lausekkeessa, esim.
: sqrt(x) ei ole mitään ratkaisemista; se voidaan esittää toisenlaisena,
: enemmän tai vähemmän sievennettynä lausekkeena.
Höpö höpö.
--
han...@monorecords.com --- http://get.to/FuFu
"Olen turvassa tekniikan ympäröimänä,
aivot on kahlittuna turvavöillä" -I. Alanko
Janne Koponen
> Jyri Pieko wrote :
> : Tällaisella järkeilyllä kaikilla sqrt(x) ei ole "ratkaisua" edes reaaliluvun
> : x:n positiivisilla arvoilla. Samoin pii:llä, e:llä jne. ei ole sen kummempaa
> : "ratkaisua" kuin symbolinen ilmaisu.
> Jos sqrt(-1) = i, niin koska sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b), niin 1 =
> sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1) * sqrt(-1) = i*i = -1. Mikä on
> ristiriita. Ei siis voi olla, että sqrt(-1) = i.
Itseasiassa "virhe" löytyy jo siitä, että väität, että vain 1=sqrt(1),
sillä neliöjuurihan määritellään sellaiseksi luvuksi, joka korotettuna
toiseen on alkuperäinen luku. (aina siitä ei käytetä kuitenkaan kuin
toista arvoa) eli toisinpäin käännettynä sqrt(1)=+/-1.
Ja vastaavasti sqrt(-1)=+/-i, jolloin yhtälöllesi saadaan muoto
1 = sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1) * sqrt(-1) = (+/-)i*(+/-)i = (+/-)1
jolloin siis saamme jo toiseksi viimeiseen yhtälöön (+/-)i*i ja niistä
toinen vastaus johtaa alkuperäiseen +1. Eli aina ottaessasi neliöjuuren
jostakin luvusta, joudut ottamaan huomioon molemmat merkit.
Janne
--
Janne Koponen
http://www.jyu.fi/%7ejoykop/
Henri Hansen
: Itseasiassa "virhe" löytyy jo siitä, että väität, että vain 1=sqrt(1),
Totta. Nyt hävettää... Toisaalta sqrt(x) on yleensä määritelty aina
positiiviseksi.
Tuli tuo vanha "kompa" mieleen. Oli tähän joku ihan
"oikea" ristiriitatodistuskin muistaakseni olemassa.
Muutoin olen sitä mieltä, että sqrt(-1) on väärin.
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> Johnny Hazard <haz...@altavista.net> wrote in message
> news:slrn8df71k...@uni.kaapeli.net...
>
>> Eli sqrt(-1) ei voida saada mitään arvoa, mutta on havaittu
>> lyhyemmäksi kirjoittaa sen tilalle i. Eli koko kompleksimatikan
>> voisi johtaa ilman i kirjainta kirjoittamalla sqrt(-1) joka
>> paikkaan. Eli i ei ole ratkaisu tehtävään sqrt(-1).
>
> x:n positiivisilla arvoilla. Samoin pii:llä, e:llä jne. ei ole sen kummempaa
> symbolit ovat oikeampia lukuja kuin toiset symbolit ja että jälkimmiäiset
> pitäisi voida lausua edellisten avulla. Matemaattisessa lausekkeessa, esim.
> sqrt(x) ei ole mitään ratkaisemista; se voidaan esittää toisenlaisena,
> enemmän tai vähemmän sievennettynä lausekkeena.
> JyriP
Hyvä kommentti, Jyri!
Tässä olen näkevinäni saman eron matemaatikon ja ei-matemaatikon "luku"-
käsitteessä, minkä olen tuonut esille jo pikku-Antin kanssa käymässäni
keskustelussa.
Ei-matemaatikko tarkastelee lukuja herkästi vain erilaisten laskutoimitus-
ten tuloksina, johonkin kanoniseen muotoon sievennettyinä merkkijonoina.
Matemaatikolle luku on abstraktimpi käsite: luvulla voi olla äärettömän
monta erilaista äärellistä esitystä, jotka kumminkin tarkoittavat yhtä ja
samaa lukua, tai ei yhtään äärellistä esitystä. Mitä tahansa käsiteltä-
vään lukuavaruuteen kuuluvaa lukua, ihan erityisesti mielivaltaista lukua,
voimme merkitä yhdellä symbolilla.
Mikä on sitten luku? Tähän kysymykseen ei ole yksikäsitteistä vastausta.
Meillä pitää ensin olla sopimus tarkastelussa olevasta lukuavaruudesta,
joka voi olla N, Z, Q, R, C tai jokin eksoottisempi avaruus. Kun sopimus
on olemassa, mikä tahansa sovitun joukon alkio on luku ja toisaalta mi-
kään olio, joka ei kuulu sovittuun joukkoon, ei ole luku - vaikka sillä
olisi jokin mielekkäältä näyttävä esitys.
_ _ _
Oikeus kirjoittaa tälle palstalle on tietenkin jokaisella - sitä en ole
ottamassa pois. Olen kuitenkin lievästi huolestunut siitä, että kun luki-
jana on vaikkapa tiedonhaluinen peruskoululainen, pystyykö tämä erottamaan
kirjoituksista asiantuntijan kirjoittamat jutut ja ehkä vain vähän lukijaa
oppineemman kirjoittajan jutut, jotka voivat johtaa harhaan.
Siispä pyydän, arvoisat lukijat: Harjoittakaa lähdekritiikkiä. Jutun si-
sällön luotettavuuden kannalta on merkitystä sillä, kuka on sen kirjoit-
tanut. Käsityksen luominen kirjoittajasta vaatii useamman artikkelin lu-
kemista, mutta se kannattaa. Sekin on otettava huomioon, että kuka tahansa
kirjoittaja voi joskus olla huolimaton tai epätarkka.
Kari Pasanen
Henri Hansen
: Matemaatikolle luku on abstraktimpi käsite: luvulla voi olla äärettömän
: monta erilaista äärellistä esitystä, jotka kumminkin tarkoittavat yhtä ja
: samaa lukua, tai ei yhtään äärellistä esitystä. Mitä tahansa käsiteltä-
: vään lukuavaruuteen kuuluvaa lukua, ihan erityisesti mielivaltaista lukua,
: voimme merkitä yhdellä symbolilla.
Tämä on aivan totta. Mielestäni on kuitenkin harhaanjohtavaa
automaattisesti samastaa jokin symbolinen esitys (esim. sqrt(-1)) johonkin
perusjoukon ( C ) alkioon (i). Ensiksikin: Tällainen samastaminen vaatii
(mielestäni), että symboli,merkitään nyt sitä vaikka s:llä ja alkio a
käsitellyssä mallissa ovat ekvivalentit.
On esimerkiksi selvää, että symboli 'pi' ei ole missään yleisesti
käytetyssä reaalilukujen mallissa samaistettvissa lukuun 3. Se voi
olla sitä esimerkiksi jos sille annetaan sen "perinteinen merkitys"
(ympyrän kehän suhden halkaisijaan) ja käytössä on vain positiiviset
kokonaisluvut ja lattiafunktio.
: Mikä on sitten luku? Tähän kysymykseen ei ole yksikäsitteistä vastausta.
: Meillä pitää ensin olla sopimus tarkastelussa olevasta lukuavaruudesta,
: joka voi olla N, Z, Q, R, C tai jokin eksoottisempi avaruus. Kun sopimus
: on olemassa, mikä tahansa sovitun joukon alkio on luku ja toisaalta mi-
: kään olio, joka ei kuulu sovittuun joukkoon, ei ole luku - vaikka sillä
: olisi jokin mielekkäältä näyttävä esitys.
Aivan niin. Tässä kohtaa protestoin esitystä sqrt(-1) vastaan, koska sitä
ei voi samastaa i:hin ilman ongelmia.
: Siispä pyydän, arvoisat lukijat: Harjoittakaa lähdekritiikkiä. Jutun si-
: sällön luotettavuuden kannalta on merkitystä sillä, kuka on sen kirjoit-
: tanut. Käsityksen luominen kirjoittajasta vaatii useamman artikkelin lu-
: kemista, mutta se kannattaa. Sekin on otettava huomioon, että kuka tahansa
: kirjoittaja voi joskus olla huolimaton tai epätarkka.
Sisällön luotettavuuden kannalta on merkitystä vain sillä, mitä sisältö
on. Sen voi olla kirjoittanut vaikka apina, joka on takonut
kirjoituskonetta riittävän kauan. Matematiikka on (sellaisenaan) pelkkää
merkkijonopeliä, ja "oikean ja väärän" erottaminen on vain matemaatikkojen
muodostaman yhteisön huutoäänestyksellä tekemä mielivaltainen sopimus.
Jos annettu esitys on tämän sopimuksen hengen ja kirjaimen mukainen, on
täysin merkityksetöntä kuka sen on kirjoittanut. Tämä kannattaa myös pitää
mielessä.
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> Tässä kohtaa protestoin esitystä sqrt(-1) vastaan, koska sitä
> ei voi samastaa i:hin ilman ongelmia.
Niinpä, ei voi. Eikä tunnetusti ole olemassa ongelmattomina kaikille komp-
leksiluvuille määriteltyinä funktioina esim.
- neliöjuurta,
- muita n:nsiä (n in N) tai kompleksisia juuria eikä
- eri kantaisia logaritmeja.
Nollalla ei ole logaritmia missään tapauksessa, mutta kaikki muut mainitut
oliot ovat kullekin kompleksiluvulle olemassa tiettyjen yhtälöiden ratkai-
suina. Eri asia on, ovatko ne funktioita - eivätkä ne tosiaan ole, koska
ratkaisut eivät ole yksikäsitteisiä.
Toisinaan hyväksytään monikäsitteiset merkinnät, esim. neliöjuurimerkinnän
katsotaan tarkoittavan yhtä hyvin kumpaakin juurta. Minä kuulun niihin ma-
temaatikoihin, jotka vastustavat jyrkästi merkintöjä, jotka näyttävät
funktioilta mutta eivät ole funktioita.
Toisaalta en vastusta esim. merkintöjen sqrt(z) tai log(z) käyttämistä,
kunhan niille määritellään yksikäsitteinen merkitys ja otetaan käsittelys-
sä huomioon, että määritelty funktio ei ole kokonainen analyyttinen funk-
tio eivätkä kaikki positiivisia reaalilukuja käsiteltäessä voimassa ole-
vat laskulait olekaan voimassa.
_ _ _
> Sisällön luotettavuuden kannalta on merkitystä vain sillä, mitä sisältö
> on. Sen voi olla kirjoittanut vaikka apina, joka on takonut
> kirjoituskonetta riittävän kauan.
Et erota käsitteinä sisällön oikeellisuutta (onko se todella validia) ja
luotettavuutta (voiko riittämättömästi asiantuntemusta omaava lukija
luottaa tekstiin sinänsä yrittämättä verifioida sitä omin puutteellisin
keinoin).
> Jos annettu esitys on tämän sopimuksen hengen ja kirjaimen mukainen, on
> täysin merkityksetöntä kuka sen on kirjoittanut.
Tällä tavalla voi tekstiin suhtautua vain henkilö, joka tuntee sopimuksen
hengen ja kirjaimen ja osaa niitä soveltaa.
Palstan enemmän ja vähemmän satunnaisissa lukijoissa on aivan ilmeisesti
henkilöitä, joille "oikean" ja "väärän" tunnistaminen suoraan on vaikeam-
paa kuin uskominen luotettavalta tuntuvan kirjoittajan tekstiin. Ainakin
he tarvitsevat lähdekritiikkiä. Mutta kyllä sitä harrastan minäkin ja -
myönnä pois - sinäkin.
Kari Pasanen
Hannu Helminen
Johnny Hazard <haz...@altavista.net> wrote in message
news:slrn8df71k...@uni.kaapeli.net...
> Eli sqrt(-1) ei voida saada mitään arvoa, mutta on havaittu
> lyhyemmäksi kirjoittaa sen tilalle i. Eli koko kompleksimatikan
> voisi johtaa ilman i kirjainta kirjoittamalla sqrt(-1) joka
> paikkaan. Eli i ei ole ratkaisu tehtävään sqrt(-1).
Tässä piilee pieni mutta tärkeä virheen mahdollisuus, joka jää usein
huomaamatta.
Kuten tässä säikeessä on jo toisaalla todettukin, on oikeastaan olemassa
kaksi neliöjuurifunktiota. Yleinen (kompleksinen) neliöjuurifunktio tuottaa
kaksi ratkaisua, esimerkiksi sqrt(-1) = {-i, i}, sqrt(4) = {-2, 2}. Sitten
on olemassa reaalinen neliöjuurifunktio, joka on määritelty vain
ei-negatiivisille reaaliluvuille, ja jotka tuottavat vastaukseksi yhden
ei-negatiivisen arvon, esimerkiksi sqrt(4) = 2.
Edellä sanotusta seuraa, että on väärin määritellä, että i = sqrt(-1). Tämä
ei määrittele i:tä yksikäsitteisesti, eikä tällä tavoin ei pystytä
erottamaan -i:tä i:stä. Itse asiassa -i ja i ovat hyvin lähellä toisiaan,
jopa siinä määrin että hyvin harva asia muuttuu jos ne vaihdetaan keskenään.
Niinpä koko 'kompleksimatikkaa' ei voida mitenkään johtaa pelkästään
kirjoittamalla sqrt(-1) joka paikkaan, kuten väität. Jos teet näin käyttäen
kaksiarvoista neliöjuurifunktiota, tulee melkein kaikista
kompleksilukulausekkeista kaksi- tai useampiarvoisia. Kompleksilukujen
yhtäsuuruuden määritelmästä tulee aika hankala.
Voisit myös keksiä vielä kolmannen, yksiarvoisen neliöjuurifunktion joka on
määritelty myös negatiivisille reaaliluvuille. Näin syntyvä matematiikka on
varsin mielenkiintoista. Koska i:tä ei voi erottaa -i:stä, on siis i = -i,
ja yleisemmin a+bi = a-bi. Geometrisesti ajateltuna tämä tarkoittaa, ettei
negatiivistä kompleksista puolitasoa ole olemassakaan koska se on sama kuin
peilattu positiivinen puolitaso. Järjestelmästä ei saa mitenkään
konsistenttia.
Peruslaskutoimituksia käyttämällä ei siis -i:tä voi mitenkään erottaa i:stä.
Oikea tapa onkin määritellä tämä jako eksplisiittisesti:
- määritellään kompleksiluvut järjestetyiksi reaalilukupareiksi (a, b)
- samaistetaan reaaliluvut kompleksilukujen kanssa seuraavasti: r = (r, 0)
- määritellään kompleksilukujen laskusäännöt
- huomataan, että z = +-(0, 1) on yhtälon z*z = (-1, 0) ratkaisu
- asetetaan symboli i = (0, 1)
Toivottavasti osasin sanoa sanottavani tarpeeksi selkeästi. Homman haukka on
siis se, kumpi tulee ensin, järjestetyt reaalilukuparit (a, b) vai luku i. i
voidaan määritellä (0, 1):n avulla, mutta ei toisinpäin. Ero ei ole pelkkää
saivartelua!
Kimmo Kettunen
> In article <8ba50v$r2n$6...@baker.cc.tut.fi>,
> Henri Hansen <han...@monorecords.com> writes:
> > Tässä kohtaa protestoin esitystä sqrt(-1) vastaan, koska sitä
> > ei voi samastaa i:hin ilman ongelmia.
>
> Niinpä, ei voi. Eikä tunnetusti ole olemassa ongelmattomina kaikille komp-
> leksiluvuille määriteltyinä funktioina esim.
> - neliöjuurta,
> - muita n:nsiä (n in N) tai kompleksisia juuria eikä
> - eri kantaisia logaritmeja.
>
> Nollalla ei ole logaritmia missään tapauksessa, mutta kaikki muut mainitut
> oliot ovat kullekin kompleksiluvulle olemassa tiettyjen yhtälöiden ratkai-
> suina. Eri asia on, ovatko ne funktioita - eivätkä ne tosiaan ole, koska
> ratkaisut eivät ole yksikäsitteisiä.
Tarkennuksena pitäisi varmaan mainita, että vaikka nämä eivät
ole hyvinmääriteltyjä kompleksitason funktioita, ne ovat
yksikäsitteisesti määriteltyjä analyyttisiä funktioita sopivalla
Riemannin pinnalla ts. oliolla, joka on lokaalisti kompleksitason
näköinen. On siis mahdollista käsitellä näitäkin kompleksianalyysin
keinoin. Useimmiten kyllä tosiaakin näkee merkintöjen sqrt(z) ja log(z)
väärinkäyttöä ja siitä seuraavia sekaannuksia.
Kimmo Kettunen
--
_______________________________________________________
Kimmo.K...@hut.fi
Antti-Juhani Kaijanaho
> Itseasiassa "virhe" löytyy jo siitä, että väität, että vain
> 1=sqrt(1), sillä neliöjuurihan määritellään sellaiseksi luvuksi,
> joka korotettuna toiseen on alkuperäinen luku
... sellaiseksi *positiiviseksi* luvuksi, joka ...
(ainakin näin reaaliakselilla)
--
Antti-Juhani Kaijanaho
http://www.iki.fi/gaia/