1=0.99999999?
Janne
että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
Jotenkin yhtälöllä.
Antti Haimi
Lause 1: ei:(1=0.9999999999)
Lause 2: Ainakin toinen näistä lauseista on epätosi.
Oletetaan, että lause 2 on epätosi. Siitä seuraa, että kumpikaan lauseista
ei ole epätosi, eli kummatkin ovat totta. Tämä ei ole mahdollista, sillä
oletuksena oli, että toinen lause on epätosi. Siis: lause 2:n on oltava
tosi. Tästä taas seuraa, että ensimmäisen lauseen on oltava epätosi, sillä
lause 2:n mukaan toisen on oltava epätosi. Seurauksena on
1=0.9999999999
Mikä parasta, tällä tavalla voi todistaa ihan mitä tahansa.
ah
Janne <jap...@saunalahti.fi> kirjoitti
viestissä:3A225D1F...@saunalahti.fi...
Mikko Loimula
Janne wrote:
> Siis miten se niinkun todistetaan,
> että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
> Jotenkin yhtälöllä.
Tämä kuuluu varmaan samaan sarjaan kuin 1 = 0 todistukset ja vastaavat,
eli rikotaan huomaamatta jotain laskusääntöä ja saadaan järjetön
vastaus. Oma suosikkini(helppo... :)
a + b = 0
a = -b | :(a + b)
a / (a + b) = -b / (a + b)
a / (a + b) + a / (a + b) = 0
(a + b) / (a + b) = 0
1 = 0
- Mikko Loimula
Mikko Loimula
Mikko Loimula wrote:
Ja heti menin kirjoitusvirheen tekemään :(
a + b = 0
a = -b | :(a + b)
a / (a + b) = -b / (a + b)
a / (a + b) + b / (a + b) = 0
Markku-Juhani Saarinen
: Janne wrote:
:> Siis miten se niinkun todistetaan,
:> että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
:> Jotenkin yhtälöllä.
: Tämä kuuluu varmaan samaan sarjaan kuin 1 = 0 todistukset ja vastaavat,
: eli rikotaan huomaamatta jotain laskusääntöä ja saadaan järjetön
: vastaus. Oma suosikkini(helppo... :)
Pläh..
Jos Janne tarkoitti 1=0.999999.. (huomaa pisteet) niin sitten kyllä
matematiikkojen kesken vallitsee konsensus, että juuri näin on asian laita.
En tiedä opetetaanko tätä jo lukiossa, mutta yliopistojen approbatur-tason
kursseilla varmasti.
http://ftp.univ-lyon1.fr/faq/by-name/sci-math-faq/0.999999
Yksi maallikoille intuitiivisesti parhaista argumenteista on:
1/11 = 0.0909090909...
+ 10/11 = 0.9090909090...
-------------------------
11/11 = 0.9999999999... = 1
-mj
Markku-Juhani O. Saarinen <mj...@jyu.fi> University of Jyväskylä, Finland
Jaakko Hirvonen
> Tämä kuuluu varmaan samaan sarjaan kuin 1 = 0 todistukset ja vastaavat,
> eli rikotaan huomaamatta jotain laskusääntöä ja saadaan järjetön
> vastaus.
Ei muuten kuulu.
Yksi tapa todistaa tuo ilman, etta mitaan tarvitsee laskea vaarin, on
katsoa esimerkiksi geometrisen sarjan avulla, mika on lausekkeen
0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
summa. Eli:
0.99999...= \sum_{n>0}9\times 0.1^n = 0.9/(1-0.1) = 1
-jh
Esa Toivonen
> : Janne wrote:
>
> :> Siis miten se niinkun todistetaan,
> :> että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
> :> Jotenkin yhtälöllä.
> Yksi maallikoille intuitiivisesti parhaista argumenteista on:
>
> 1/11 = 0.0909090909...
> + 10/11 = 0.9090909090...
> -------------------------
> 11/11 = 0.9999999999... = 1
Maallikko sekaantuu asiaan :)
Mikä sitten mahtaa olla vikana päinvastaisessa päättelyssä:
Mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999... , jossa sen ajateltaisiin
saavuttavan täyden ykkösen, voitaisiin 9:n paikalle sijoittaa esim. luku
9,1 - jolloin sarja saavuttaisi siinä nimenomaisessa kohdassa suuremman
arvon kuin alkuperäinen 0,999...999 saavuttamatta silti vielä täyttä
ykköstä.
Niinpä 0,999... ei ilmeisesti voi ikinä saavuttaa täyttä 1:tä.
--
Esa
Joel Yliluoma
> Siis miten se niinkun todistetaan,
> että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
> Jotenkin yhtälöllä.
Epämatemaatikon todistuksia:
Todistetaan todeksi:
x = 0.99999...
>>
x = 1 - 1/inf
1/inf = 0
1 - 0 = 1
Todistetaan valeeksi:
x = 0.99999...
>>
x = 1 - epsilon
epsilon > 0, täten x < 1.
--
Joel Yliluoma
http://iki.fi/bisqwit/
Jaakko Hirvonen
> Todistetaan valeeksi:
> x = 0.99999...
> >>
> x = 1 - epsilon
> epsilon > 0, täten x < 1.
Mistäs tuon epsilonin tiedät nollaa suuremmaksi? :)
Mutta topologiankirjaa selailtuani löytyi aineistoa, joka antaa ymmärtää
seuraavaa:
Jos x ja y ovat R:n eri pisteitä, on silloin olemassa pisteille
ympäristöt X ja Y, joiden leikkaus on tyhjä joukko.
Jos nyt sanotaan vaikka, että x=0.9999... ja y=1, väittäisinpä, ettei
ehdon täyttäviä ympäristöjä juuri taida löytyä.
Olli Tapio Jarvinen
: Maallikko sekaantuu asiaan :)
: Mikä sitten mahtaa olla vikana päinvastaisessa päättelyssä:
: Mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999... , jossa sen ajateltaisiin
: saavuttavan täyden ykkösen, voitaisiin 9:n paikalle sijoittaa esim. luku
: 9,1 - jolloin sarja saavuttaisi siinä nimenomaisessa kohdassa suuremman
: arvon kuin alkuperäinen 0,999...999 saavuttamatta silti vielä täyttä
: ykköstä.
Kyllä saavuttaisi -- ja ylittäisi -- ykkösen. Jos menet sinne
väliin ykkösen tunkemaan, on sun pantava yksi muistiin, eli:
0,9999999999...
*
Tähdellä merkitty (=kolmas yhdeksikkö) korvataan 9,1:llä:
0,999999999999...
+ 1
--------------
1,00009999999...
--
Olli Järvinen kirjoita: olta...@otol.fi
soita: 040 555 0624
lue: www.iki.fi/amint
OJ
> että 1=0,999999999999999 vai oliko se noin...
> Jotenkin yhtälöllä.
>
0,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx luvun voi kirjoittaa aina muotoon
x/9
tässä siis 9/9 = 1
Esa Toivonen
> Esa Toivonen (esa.to...@sci.fi) wrote:
> : Maallikko sekaantuu asiaan :)
> : Mikä sitten mahtaa olla vikana päinvastaisessa päättelyssä:
> : Mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999... , jossa sen ajateltaisiin
> : saavuttavan täyden ykkösen, voitaisiin 9:n paikalle sijoittaa esim. luku
> : 9,1 - jolloin sarja saavuttaisi siinä nimenomaisessa kohdassa suuremman
> : arvon kuin alkuperäinen 0,999...999 saavuttamatta silti vielä täyttä
> : ykköstä.
> Kyllä saavuttaisi -- ja ylittäisi -- ykkösen. Jos menet sinne
> väliin ykkösen tunkemaan, on sun pantava yksi muistiin, eli:
>
> 0,9999999999...
> *
> Tähdellä merkitty (=kolmas yhdeksikkö) korvataan 9,1:llä:
>
> 0,999999999999...
> + 1
> --------------
> 1,00009999999...
Niin, mutta sanoinkin, että tuo 9,1 (tai yleisemmin luku x josta pätee,
että 9 < x < 10) sijoitettaisiin mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999...
, jossa jatkumon ajateltaisiin jo *saavuttavan* täyden ykkösen - ei siis
ennen sitä.
Ilmeisesti tuollaista kohtaa ei löydy, koska jokaisen "viimeisen" ysin
tilalle voitaisiin aina ajatella sijoitettavaksi vieläkin isompi luku
ilman, että silti päädyttäisiin täyteen ykköseen.
Esittämäsi yhteenlaskutoimitus näyttäisi silloin ehkä tällaiselta:
0,9999...999@
+ 1 @ olisi *mikä hyvänsä* kohta, jossa
-------------- kokeiltaisiin saavuttaako lukusarja jo
0,9999...9991 sitä ennen täyden ykkösen.
Miksei näin ollen yhtä hyvin, kuin sanotaan 0,999... -jatkumon
loputtomasti lähestyvän ykköstä, voitaisi sanoa sen loputtomiin
*välttävän* ykköstä?
Onko kyse pelkistä sopimuksista - minkä takia yhtälöt näyttäisivät
todistavan toisella tavalla?
--
Esa
Kimmo Palin
>> Kyllä saavuttaisi -- ja ylittäisi -- ykkösen. Jos menet sinne
>> väliin ykkösen tunkemaan, on sun pantava yksi muistiin, eli:
>>
>> 0,9999999999...
>> *
>> Tähdellä merkitty (=kolmas yhdeksikkö) korvataan 9,1:llä:
>>
>> 0,999999999999...
>> + 1
>> --------------
>> 1,00009999999...
> Niin, mutta sanoinkin, että tuo 9,1 (tai yleisemmin luku x josta pätee,
> että 9 < x < 10) sijoitettaisiin mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999...
> , jossa jatkumon ajateltaisiin jo *saavuttavan* täyden ykkösen - ei siis
> ennen sitä.
1=0.999... vain kun nuo kolme pistettä todella tarkoittaa ääretöntä jonoa
yhdeksikköjä, joten tuo "jatkumo" ei saavuta täyttä ykköstä missään
äärellisessä kohdassa.
Usein äärettömät jutut ovat aika epäintuitiivisia: oma suosikkini on, että
luonnolliset luvut on rationaalilukujen aito osajoukko mutta silti
molemmissa joukoissa on yhtä paljon alkioita (yksi-yhteen vastaavuus) ja
reaalilukuja taas on niin paljon enemmän, ettei niitä voi laittaa edes
äärettömän pituiseen luetteloon. (Älä mieti tätä liikaa! Cantor mietti ja
tuli hulluksi.)
> Miksei näin ollen yhtä hyvin, kuin sanotaan 0,999... -jatkumon
> loputtomasti lähestyvän ykköstä, voitaisi sanoa sen loputtomiin
> *välttävän* ykköstä?
Idea on siinä että 0,999... ei ole "jatkumo" (eli se ei jatku mihinkään)
vaan se vain _on_ äärettömän pitkä desimaalikehitelmä. Tuon
desimaalikehitelmän äärelliset rajoittumat tosin 0,999...9 < 1 mutta
äärellisen ja äärettömän välillä on iso ero.
Jos oletetaan että 0,999... < 1 niin meillä on luku A siten että
0,999... < A < 1 (esim. A=(1+0,999...)/2 )
Selvästikin (jos joku osaa perustella paremmin niin kirjoittakaa) jossain
vaiheessa saadaan
0,999...9 < A < 0,999...99 < 0,999...
n ysiä n+1 ysiä Äärettömästi ysejä.
Tämä on kuitenkin ristiriita oletuksen 0,999... < A kanssa, joten 1:n ja
0,999...:n välissä ei ole lukuja, josta seuraa reaaliluvuilla (ja jopa
rationaaliluvuilla) että luvut ovat yhtäsuuret. (Tarkkaan ottaen tässä
todistettiin vain että 0,999... >= 1 mutta epäyhtälö toiseen suuntaan menee
samoin.)
> Onko kyse pelkistä sopimuksista - minkä takia yhtälöt näyttäisivät
Matematiikka on siitä hieno ala, ettei siinä tarvitse tehdä kompromisseja
tai (kompromissi-) sopimuksia. Tällaiset ongelmat (ja niiden ratkaisut)
ovat syy miksi matematiikkaa pidetään kauniina!
--
Kimmo Palin
tel. +1-803-5443693 USC P.O. Box 86232
University of South Carolina Columbia, SC 29225-0112
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> wrote:
> > Niin, mutta sanoinkin, että tuo 9,1 (tai yleisemmin luku x josta pätee,
> > että 9 < x < 10) sijoitettaisiin mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999...
> > , jossa jatkumon ajateltaisiin jo *saavuttavan* täyden ykkösen - ei siis
> > ennen sitä.
>
> 1=0.999... vain kun nuo kolme pistettä todella tarkoittaa ääretöntä jonoa
> yhdeksikköjä, joten tuo "jatkumo" ei saavuta täyttä ykköstä missään
> äärellisessä kohdassa.
En väittänytkään näin, vaan että päättelyni pätisi 'missä *hyvänsä*
kohdassa', jossa oletettaisiin luku 1 saavutetuksi.
Tuo kohta voidaan ilmaista vaikkapa: 0,999...999 , kuten viimeksi tein.
Siinä on siis selkeästi ääretön määrä "ysejä jonossa" nollan jälkeen
(sori etten hallitse asianmukaisia merkitsemistapoja ja ilmauksia :),
mutta yksinkertaisella yhteenlaskulla (ks. ed. artikkelini) voidaan
silti osoittaa, ettei ykköstä ole vielä saavutettu. Siis missä hyvänsä
kohdassa, aivan yleisesti.
Minusta tämä on vastaavasti ongelmana myös niissä todistuksissa, joissa
käytetään päättymättömiä desimaalijonoja, koska "lopusta päin"
tarkasteltuna niidenkin yhtenevyys tarkkoihin murtolukuihin voitaisiin
vastaavasti kyseenalaistaa.
"Lopusta päin" tarkastelu on merkintäteknisesti kuitenkin yhtä loogista
ja ongelmatonta kuin "alusta päin" tarkastelukin. Eli jos äärettömän
pitkä jono ilmaistaan kompaktisti sijoittamalla "..." johonkin kohtaan
jonoa ilmaisemaan äärettömyyttä, niin miksipä ei sitten yhtä hyvin
keskelle kuin loppuun (siis 0,999... = 0,999...999). Kyse on vain siitä
mitä sovitaan merkintöjen tarkoittavan.
Jälkimmäisen merkintätavan pohjalta voidaan kuitenkin osoittaa aivan
erilaisia asioita kuin ensimmäisen.
> Jos oletetaan että 0,999... < 1 niin meillä on luku A siten että
>
> 0,999... < A < 1 (esim. A=(1+0,999...)/2 )
En oleta tuota. Niin kauan kuin toisin osoitetaan, 0,999...:n suhteesta
ykköseen ei välttämättä voida sanoa tuossa mielessä MITÄÄN (paitsi jos
asia on sovittu, minkä kielsit). Sillä ei olisi itsestään (pelkän
lukujärjestelmän pohjalta) mitään selvää merkitystä (paitsi ehkä että se
"lähestyy loputtomasti" yhtä). Kuten olen pyrkinyt osoittamaankin, sitä
voidaan tulkita eri tavoin mm. sen mukaan tarkastellaanko sitä "alusta"
vai "lopusta" käsin konkretisoiden.
Tämä olisi linjassa sen kanssa, että kyse olisi perimmältään
sopimuksille perustuvasta jutusta, jolloin todistelu olisi vain tästä
suoraan johtuva itsestäänselvyys systeemin sisällä (ja esim.
todellisuusvastaavuudeltaan nimenomaan äärioloissa arvaamaton).
> Matematiikka on siitä hieno ala, ettei siinä tarvitse tehdä kompromisseja
> tai (kompromissi-) sopimuksia. Tällaiset ongelmat (ja niiden ratkaisut)
> ovat syy miksi matematiikkaa pidetään kauniina!
Pakkohan matematiikan on pohjautua sopimuksille siltä osin kuin se ei
pohjaudu havainnoille?
--
Esa
Jyrki Lahtonen
>
>
[saksittu kamaa]
>
> En väittänytkään näin, vaan että päättelyni pätisi 'missä *hyvänsä*
> kohdassa', jossa oletettaisiin luku 1 saavutetuksi.
>
> Tuo kohta voidaan ilmaista vaikkapa: 0,999...999 , kuten viimeksi tein.
Jos tässä on ääretön määrä ysejä kolmen pisteen paikalla, niin tuo
merkkijono ei esitä mitään reaalilukua, joten sille ei ole määritelty
mitään laskutoimituksiakaan, eikä vertailuoperaatioita, joten
kysymys siitä onko tuollainen merkkijono pienempi kuin yksi on yhtä
mielekäs kuin kysymys: Onko omena yhtä suuri kuin luku yksi?
>
> Siinä on siis selkeästi ääretön määrä "ysejä jonossa" nollan jälkeen
> (sori etten hallitse asianmukaisia merkitsemistapoja ja ilmauksia :),
> mutta yksinkertaisella yhteenlaskulla (ks. ed. artikkelini) voidaan
Yhteenlasku tuollaisille olioille ei ole määritelty, joten jotain
meni pieleen.
> silti osoittaa, ettei ykköstä ole vielä saavutettu. Siis missä hyvänsä
> kohdassa, aivan yleisesti.
>
> Minusta tämä on vastaavasti ongelmana myös niissä todistuksissa, joissa
> käytetään päättymättömiä desimaalijonoja, koska "lopusta päin"
> tarkasteltuna niidenkin yhtenevyys tarkkoihin murtolukuihin voitaisiin
> vastaavasti kyseenalaistaa.
>
> "Lopusta päin" tarkastelu on merkintäteknisesti kuitenkin yhtä loogista
> ja ongelmatonta kuin "alusta päin" tarkastelukin. Eli jos äärettömän
> pitkä jono ilmaistaan kompaktisti sijoittamalla "..." johonkin kohtaan
> jonoa ilmaisemaan äärettömyyttä, niin miksipä ei sitten yhtä hyvin
> keskelle kuin loppuun (siis 0,999... = 0,999...999).
Merkintäteknisestä ehkä, mutta silloin luovut mahdollisuudesta tehdä
laskutoimituksia.
> > Jos oletetaan että 0,999... < 1 niin meillä on luku A siten että
> >
> > 0,999... < A < 1 (esim. A=(1+0,999...)/2 )
>
> En oleta tuota. Niin kauan kuin toisin osoitetaan, 0,999...:n suhteesta
> ykköseen ei välttämättä voida sanoa tuossa mielessä MITÄÄN (paitsi jos
> asia on sovittu, minkä kielsit). Sillä ei olisi itsestään (pelkän
> lukujärjestelmän pohjalta) mitään selvää merkitystä (paitsi ehkä että se
> "lähestyy loputtomasti" yhtä). Kuten olen pyrkinyt osoittamaankin, sitä
> voidaan tulkita eri tavoin mm. sen mukaan tarkastellaanko sitä "alusta"
> vai "lopusta" käsin konkretisoiden.
>
> Tämä olisi linjassa sen kanssa, että kyse olisi perimmältään
> sopimuksille perustuvasta jutusta, jolloin todistelu olisi vain tästä
> suoraan johtuva itsestäänselvyys systeemin sisällä (ja esim.
> todellisuusvastaavuudeltaan nimenomaan äärioloissa arvaamaton).
Tässä sinulla on nyt ilmeisesti ongelmana, ettet tunnet reaalilukujen
konstruktiota riittävän hyvin. Sinulle ilmeisesti reaaliluvuksi kelpaa
mikä tahansa luettelo numeromerkkejä, kunhan luettelossa on enintään
yksi
desimaalipilkku/piste. Reaaliluvut oikeasti määritellään
hienosyisemmällä
tavalla, josta sitten seuraa, että jokaisella reaaliluvulla on
desimaali-
esitys (päättyvä tai päättymätön). Koululaiset useinkin samaistavat
reaaliluvun ja desimaaliesityksen. Koska samaistuksesta harvemmin on
harmia,
tämä sallitaan. Nyt sitten vaan sattuu olemaan niin, että päättyvillä
desimaaliluvuilla (esimerkiksi luvulla 1) on kaksi erinäköistä
desimaali-
esitystä 1 ja 0,9999... Tämä seuraa oikeastaan aika suoraan siitä, kun
todistetaan desimaaliesityksen olemassaolo.
>
> > Matematiikka on siitä hieno ala, ettei siinä tarvitse tehdä kompromisseja
> > tai (kompromissi-) sopimuksia. Tällaiset ongelmat (ja niiden ratkaisut)
> > ovat syy miksi matematiikkaa pidetään kauniina!
>
> Pakkohan matematiikan on pohjautua sopimuksille siltä osin kuin se ei
> pohjaudu havainnoille?
Tietyssä mielessä matematiikka pohjautuu sopimuksille, mutta ei lainkaan
havainnoille. Matematiikka eroaa tässä suhteessa jyrkästi fysiikasta.
Matematiikassa kaikki päätellään ja todistetaan muutamasta
sopimuksesta (aksioomasta) lähtien. Havainnot kyllä ohjaavat
matematiikan
opiskelua, opetusta, tutkimusta sekä uusien aksioomien valintaa, mutta
teoriaa
aksiomaattisesti kehiteltäessä niihin vetoaminen on ehdottomasti
kielletty.
Merkinnöistäkin tehdään sopimuksia, mutta ei aivan sillä tavalla kuin
ilmeisesti kuvittelet. Jos haluat merkinnän
0,999...9
tarkoittavan jotain reaalilukua, sinun olisi annettava vastaava
rationaalisten Cauchyn-jonojen ekvivalenssiluokka (tms.) Normaaleille
desimaaliesityksille jono saadaan helposti "desimaaliesitystä
katkomalla",
mutta tuo viimeinen ysi yllä muodostaa melko kovan ongelman:)
--
Jyrki Lahtonen, Ph.D.
Department of Mathematics,
University of Turku,
FIN-20014 Turku, Finland
Mikko Loimula
Markku-Juhani Saarinen wrote:
> Jos Janne tarkoitti 1=0.999999.. (huomaa pisteet)
...joita ei Jannen esimerkissä ollut.
Kaikenkaikkiaan aika kumma juttu, siis että 1=0.999... on tosi.
- Mikko Loimula
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > En väittänytkään näin, vaan että päättelyni pätisi 'missä *hyvänsä*
> > kohdassa', jossa oletettaisiin luku 1 saavutetuksi.
> >
> > Tuo kohta voidaan ilmaista vaikkapa: 0,999...999 , kuten viimeksi tein.
> Jos tässä on ääretön määrä ysejä kolmen pisteen paikalla, niin tuo
> merkkijono ei esitä mitään reaalilukua, joten sille ei ole määritelty
> mitään laskutoimituksiakaan, eikä vertailuoperaatioita, joten
> kysymys siitä onko tuollainen merkkijono pienempi kuin yksi on yhtä
> mielekäs kuin kysymys: Onko omena yhtä suuri kuin luku yksi?
Niin, 0,999...999 oli täysin *itse* konstruoimani havainnollistavaksi
tarkoitettu merkintätapa, jonka tarkoitus oli osoittaa omaksutun
merkintätavan merkitys lopputulokselle.
Ehkäpä sen ainoa hedelmä onkin siinä, että se osoittaa kansantajuisesti,
että subjektin väitteellä 1 = 0,999... on eksakti merkitys vain ennalta
sovitun teoreettisen systeemin sisällä, eikä mitään ennalta
(kokeilematta) selvää tekemistä käytännön sovellutusten kanssa.
Muussa tapauksessa voitaisiin aina konstruoida jokin esittämäni
kaltainen luku 0,999...xxx... , joka olisi suurempi kuin 0,999... ,
mutta pienempi kuin 1. (Siis missä hyvänsä lukusysteemissä, jossa
0,999... *reaalitodellisuutta vastaavasti* väitettäisiin olevan yhtä
kuin 1.)
> Tietyssä mielessä matematiikka pohjautuu sopimuksille, mutta ei lainkaan
> havainnoille. Matematiikka eroaa tässä suhteessa jyrkästi fysiikasta.
Toisin sanoen, matematiikkaa on mahdotonta soveltaa esim. fysiikassa
muuta kuin likimääräisesti, koska *käytännössä* ei voida tietää mitä
tarkoittaa tulos jostakin fysiikan laskelmasta, jossa on käytetty
päättymättömiä desimaalilukuja. Tällainen tulos on määritelty eksaktisti
vain matematiikan aksioomista käsin, ei lainkaan fyysisestä
todellisuusvastaavuudesta käsin.
Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisen tällaisen laskutoimituksen
oikeellisuus tai todellisuusvastaavuus pitäisi jollakin tavalla
tarkistaa ennen kuin siihen voitaisiin luottaa. Se taas on
äärettömyyksien suhteen mahdotonta muuta kuin likimääräisesti.
Aksioomapohjaisen ylimalkaisuuden (esim. 0,999... = 1) on tosin havaittu
riittävällä tarkkuudella toimivan siinä fyysisessä todellisuudessa missä
ihmiset yleensä elävät, mutta ei voi olla mitään takeita, että esim.
"äärettömän" käyttö toimii sellaisissa äärimmäisissä kohteissa kuin
maailmankaikkeuden kokoa, perusrakenteita ja perusvoimia
kartoitettaessa. Käytännön äärettömyyttä lähestyttäessä matematiikan
sopimuksenvarainen äärettömyys saattaisikin tuottaa yhä enemmän
poikkeavia ja vain ylimalkaisia (tai täysin vääriä) tuloksia
todellisuuteen verrattuna. Mikään ei takaa, etteikö silloin pätisikin,
että 0,999...999 < 1, eli että meidän matemaattisten käytännön
sovellutustemme äärettömän "jälkeen" tulisikin yhä jotain muuta.
--
Esa
.janne
1/3 = 0,33333...
1/3+1/3+1/3=1
=> 3*0.33333... = 1
Janne <jap...@saunalahti.fi> wrote in message
news:3A225D1F...@saunalahti.fi...
Jyrki Lahtonen
> > > kohdassa', jossa oletettaisiin luku 1 saavutetuksi.
> > >
> > > Tuo kohta voidaan ilmaista vaikkapa: 0,999...999 , kuten viimeksi tein.
>
> > merkkijono ei esitä mitään reaalilukua, joten sille ei ole määritelty
> > mitään laskutoimituksiakaan, eikä vertailuoperaatioita, joten
> > kysymys siitä onko tuollainen merkkijono pienempi kuin yksi on yhtä
> > mielekäs kuin kysymys: Onko omena yhtä suuri kuin luku yksi?
>
> Niin, 0,999...999 oli täysin *itse* konstruoimani havainnollistavaksi
> tarkoitettu merkintätapa, jonka tarkoitus oli osoittaa omaksutun
> merkintätavan merkitys lopputulokselle.
>
0,999... on erään reaaliluvun desimaaliesitys. Samalla reaaliluvulla
on myös toinen desimaaliesitys 1.
0,999...999 taas on jokin kuvitteellinen ääretön jono merkkejä, joka
ei esitä mitään reaalilukua ja näin ollen kysymys siitä, onko tämä
merkkijono pienempi kuin 1 on täysin mieletön. Vastaus ei millään
muotoa riipu merkintätavasta, koska 0,999... on eri asia kuin
0,999...999
(koska jälkimmäisessä on viimeinen desimaali ensimmäisessä ei).
[pitkä pätkä potaskaa saksittu]
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> Muussa tapauksessa voitaisiin aina konstruoida jokin esittämäni
> kaltainen luku 0,999...xxx... , joka olisi suurempi kuin 0,999... ,
> mutta pienempi kuin 1. (Siis missä hyvänsä lukusysteemissä, jossa
> 0,999... *reaalitodellisuutta vastaavasti* väitettäisiin olevan yhtä
> kuin 1.)
Esa, voisitko opiskella vähän matematiikkaa ennen kuin alat tällä pals-
talla kinaamaan tohtorien kanssa?
Sinun on opittava vielä paljon, ennen kuin kykenet käsittämään matema-
tiikan luonteen puhtaasti sopimuksiin perustuvana tieteenä. On esimer-
kiksi omaksuttava reaaliluvun käsite abstraktina oliona, jolla on ääret-
tömän monta erilaista ekvivalenttia (samaa lukua tarkoittavaa) merkintä-
tapaa. Kaikilla merkinnöillä on myös oltava täsmällinen merkitys.
Merkinnällä 0,999... tarkoitetaan yleisesti samaa kuin sarjalla
ääretön -k
Sigma 9 x 10 ,
k=1
josta voidaan helposti osoittaa, koska tässä on kyseessä geometrinen
sarja, että sarjan summa eli sen osasummien raja-arvo on 1.
Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
Kari Pasanen
Jyri Pieko
<kpas...@tnclus.tele.nokia.fi> wrote in message
news:2000Nov29.104005.1@tnclus...
> Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
> ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
Reaaliluvun 0.999...9 järkevä tulkinta lienee, että se on äärellinen
desimaaliluku, jossa desimaaleina on n kpl yhdeksikköjä. Se on täysin
määrätty, kun n ilmoitetaan. Siinä ei kuitenkaan ole ääretön määrä ysejä,
koska viimeinen ysi on kirjoittu näkyville. Äärettömän jonon viimeistä
numeroa ei voida kirjoittaa näkyville, koska sitä ei ole olemassakaan.
--
JyriP
Kalle Kivimaa
opiskelleelta.
Esa Toivonen wrote:
> Niin, mutta sanoinkin, että tuo 9,1 (tai yleisemmin luku x josta pätee,
> että 9 < x < 10) sijoitettaisiin mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999...
> , jossa jatkumon ajateltaisiin jo *saavuttavan* täyden ykkösen - ei siis
> ennen sitä.
Heetkinen. Me puhumme nyt jonkun luvun a desimaaliesityksistä.
Desimaalijärjestelmässä (eli kymmenjärjestelmässä) sallittuja merkkejä ovat
+ ja -, jotka osoittavat vain luvun suhdetta nollaan, pilkku, joka kertoo
luvun "koon", ja kymmenen numeromerkkiä 0-9, joille on määritelty suhteet
0<1<2<3<4<5<6<7<8<9. Et siis voi korvata esityksessä 0,9999... jotain
yhdeksikköä millään numeromerkillä, jonka arvo olisi suurempi kuin
yhdeksän. Jos tällainen numeromerkki olisi olemassa, olisi kyseessä
yksitoistajärjestelmän mukainen luku, jossa taasen alkuperäisen luvun a
esitys olisi aivan muu (esim. kymmenjärjestelmässä esitetty luku 10 onkin
yksitoistajärjestelmässä A, olettaen että merkit on järjestetty
0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<A ja rationaaliluvun 1/3 (kymmenjärjestelmässä) esitys
yksitoistajärjestelmässä _ei_ ole 0,333... vaan pikaisesti luultavasti
väärin laskien 0,373737...).
Ja sitten matematiikkaa oikeasti osaavat saavat kyllä ihan vapaasti kertoa,
missä a) menin metsään ja b) yksinkertaistin ihan liikaa, asbestipuku
löytyy kaapista jos nikseen tulee :)
> Miksei näin ollen yhtä hyvin, kuin sanotaan 0,999... -jatkumon
> loputtomasti lähestyvän ykköstä, voitaisi sanoa sen loputtomiin
> *välttävän* ykköstä?
Voihan näinkin sanoa. Asymptoottisesti lähestyvän ominaisuus kun on, että
äärellisissä tapauksissa raja-arvoa ei koskaan saavuteta. Tällöin
kuitenkin pitäisi puhua sarjan 0,9+0,09+0,009+... summasta, jolla on siis
raja-arvo yksi.
--
* There is no sweeter sound than the crumbling of your fellow man. *
* (Groucho Marx) *
* PGP public key available @ http://www.iki.fi/killer *
Kalle Kivimaa
> Reaaliluvun 0.999...9 järkevä tulkinta lienee, että se on äärellinen
> desimaaliluku, jossa desimaaleina on n kpl yhdeksikköjä. Se on täysin
> määrätty, kun n ilmoitetaan. Siinä ei kuitenkaan ole ääretön määrä ysejä,
Tämä on itse asiassa ainakin muussa kuin matemaattisessa tekstissä ainoana
näkemäni tulkinta. Ja tuossa on vielä oletettava, että n ei saa olla
ääretön, koska muuten kyseisellä merkinnällä ei ole mitään järkevää
tarkoitusta (luvun ja esitystavan äärellisyys ovat kaksi eri asiaa).
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > Niin, 0,999...999 oli täysin *itse* konstruoimani havainnollistavaksi
> > tarkoitettu merkintätapa, jonka tarkoitus oli osoittaa omaksutun
> > merkintätavan merkitys lopputulokselle.
> Ilmeisesti et siis ymmärtänyt. Vielä kerran:
>
> 0,999... on erään reaaliluvun desimaaliesitys. Samalla reaaliluvulla
> on myös toinen desimaaliesitys 1.
>
> 0,999...999 taas on jokin kuvitteellinen ääretön jono merkkejä, joka
> ei esitä mitään reaalilukua ja näin ollen kysymys siitä, onko tämä
> merkkijono pienempi kuin 1 on täysin mieletön. Vastaus ei millään
> muotoa riipu merkintätavasta, koska 0,999... on eri asia kuin
> 0,999...999
> (koska jälkimmäisessä on viimeinen desimaali ensimmäisessä ei).
Et ilmeisesti lukenut koko artikkeliani, koska takerruit (kieltämättä
ehkä hieman epätarkasti ilmaistuun) sivuseikkaan.
Olennaista oli se, ettei matemaattisella 0,999... = 1 totuudella ole
mitään suoraa todellisuusvastetta (sitä ei voida kokeellisesti todistaa
muuta kuin suhteessa matematiikan aksioomiin), eli tässä suhteessa
voitaisiin yhtä hyvin konstruoida muunkinlainen matemaattinen systeemi,
esim. sellainen, jossa 0,999...999 olisi määriteltävissä samaksi kuin
0,999... ja laskutoimituksissa mielekkääksi luvuksi.
Ja voisi vieläpä olla, että tällainen lukusysteemi ja sillä suoritetut
laskelmat (vaikkapa fysiikassa) pätisivät paremmin tai kattavammin
suhteessa fyysiseen todellisuuteen - myös äärimmäisen suuria
laskukohteita lähestyttäessä. Siis vähän niinkuin einsteinilainen
maailmankuva on kattavampi ja tarkempi riittävän isoissa puitteissa kuin
perinteinen newtonilainen, vaikka jälkimmäinen ihmisen arkisen
havaintokyvyn puitteissa toimiikin täsmällisesti.
--
Esa
Esa Toivonen
> Merkinnällä 0,999... tarkoitetaan yleisesti samaa kuin sarjalla
>
> ääretön -k
> Sigma 9 x 10 ,
> k=1
>
> josta voidaan helposti osoittaa, koska tässä on kyseessä geometrinen
> sarja, että sarjan summa eli sen osasummien raja-arvo on 1.
En ole kiistänytkään, etteikö 0,999... = 1 pätisi tietyllä tavalla
sovitun matemaattisen systeemin sisällä.
> Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
> ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
Kaikki muut asiaa kommentoineet näyttävät ymmärtäneen suoraan, mitä
sillä tarkoitin, koska kiistäminen on onnistunut. :)
--
Esa
Jyrki Lahtonen
>
> Jyrki Lahtonen <laht...@utu.fi> wrote:
>
> > Esa Toivonen wrote:
>
> > > Niin, 0,999...999 oli täysin *itse* konstruoimani havainnollistavaksi
> > > tarkoitettu merkintätapa, jonka tarkoitus oli osoittaa omaksutun
> > > merkintätavan merkitys lopputulokselle.
>
> > Ilmeisesti et siis ymmärtänyt. Vielä kerran:
> >
> > 0,999... on erään reaaliluvun desimaaliesitys. Samalla reaaliluvulla
> > on myös toinen desimaaliesitys 1.
> >
> > 0,999...999 taas on jokin kuvitteellinen ääretön jono merkkejä, joka
> > ei esitä mitään reaalilukua ja näin ollen kysymys siitä, onko tämä
> > merkkijono pienempi kuin 1 on täysin mieletön. Vastaus ei millään
> > muotoa riipu merkintätavasta, koska 0,999... on eri asia kuin
> > 0,999...999
> > (koska jälkimmäisessä on viimeinen desimaali ensimmäisessä ei).
>
> Et ilmeisesti lukenut koko artikkeliani, koska takerruit (kieltämättä
> ehkä hieman epätarkasti ilmaistuun) sivuseikkaan.
>
> Olennaista oli se, ettei matemaattisella 0,999... = 1 totuudella ole
> mitään suoraa todellisuusvastetta (sitä ei voida kokeellisesti todistaa
> muuta kuin suhteessa matematiikan aksioomiin)
MITÄÄN ei voi todistaa muuten kuin suhteessa matematiikan aksioomiin.
Jos tätä et ymmärrä, niin olet melko toivoton tapaus.
, eli tässä suhteessa
> voitaisiin yhtä hyvin konstruoida muunkinlainen matemaattinen systeemi,
> esim. sellainen, jossa 0,999...999 olisi määriteltävissä samaksi kuin
> 0,999... ja laskutoimituksissa mielekkääksi luvuksi.
Jos kerran haluat jatkaa, niin kerro nyt sitten vaikka aluksi (käydään
vaihe vaiheelta läpi tuo yleinen todistus sille, että 0,999...=1), miten
tällaisia desimaalilukuja, jossa desimaalien positioiden joukkoa vastaa
jokin muu ordinaali kuin omega, kerrotaan. Jos siis
x=0,999...999,
niin mikä on 10*x?
>
> Ja voisi vieläpä olla, että tällainen lukusysteemi ja sillä suoritetut
> laskelmat (vaikkapa fysiikassa) pätisivät paremmin tai kattavammin
Esitä sitten sellainen lukusysteemi tai pidä turpasi kiinni.
Olen kyllä tietoinen non-standardien reaalilukujen laajennusten
olemassaolosta, jos joku muu haluaa niitä tässä yhteydessä esitellä
niin siitä vaan. Sielläkin käsittääkseni (tässä kohtaa voin olla
väärässä) silti 0,999...=1 ja non-standardeille luvuille ei kerta
> suhteessa fyysiseen todellisuuteen - myös äärimmäisen suuria
> laskukohteita lähestyttäessä. Siis vähän niinkuin einsteinilainen
> maailmankuva on kattavampi ja tarkempi riittävän isoissa puitteissa kuin
> perinteinen newtonilainen, vaikka jälkimmäinen ihmisen arkisen
> havaintokyvyn puitteissa toimiikin täsmällisesti.
Fysikaalisen havaintokyvyn (=mittauskyvyn) puitteissa seuraavia
väitteitä on yhtä vaikea havaita (haluaisit itse ehkä käyttää tässä
sanaa
"todistaa", mutta kieltäydyn tekemästä niin, koska todistamisella ja
havaitsemisella ei ole mitään tekemistä keskenään)
1 = 1
0,999...=1
Niin kuin kaikki oikeat matemaatikot tietävät, nämähän ovat sama väite.
Kerro nyt sitten, miten havaitsemalla ylipäätään "todistetaan" jotkin
kaksi lukua samaksi.
Jyrki Lahtonen
Ehkä, jos kiistämisen onnistumisella tarkoitat sitä, että kaikki jotka
asiasta jotain tietävät, ovat kanssasi eri mieltä. :)
Kalle Kivimaa
> Olennaista oli se, ettei matemaattisella 0,999... = 1 totuudella ole
> mitään suoraa todellisuusvastetta (sitä ei voida kokeellisesti todistaa
> voitaisiin yhtä hyvin konstruoida muunkinlainen matemaattinen systeemi,
> esim. sellainen, jossa 0,999...999 olisi määriteltävissä samaksi kuin
> 0,999... ja laskutoimituksissa mielekkääksi luvuksi.
Empiirinen todistaminen on fysiikassakin jotain, mitä ei sallita.
Kokeellisesti voidaan teorioiden paikkaansapitävyyttä testata, mutta
sisäisesti ristiriitainen, havaintojen kanssa yhtäpitävä teoria on jo
lähtökohtaisesti aina virheellinen.
Ja jotta antamallasi konstruktiolla olisi yhtään mitään mahdollisuutta olla
mitään järkevää, on sinun aikasi kuluksi määriteltävä ääretön-käsite
uudestaan. Konstruktiosi kun vaatii, että ääretön merkkijono päättyisi,
mitä se ei määritelmän mukaan tee.
> Ja voisi vieläpä olla, että tällainen lukusysteemi ja sillä suoritetut
> laskelmat (vaikkapa fysiikassa) pätisivät paremmin tai kattavammin
> suhteessa fyysiseen todellisuuteen - myös äärimmäisen suuria
> laskukohteita lähestyttäessä. Siis vähän niinkuin einsteinilainen
Osoitapa nyt keskustelun pohjaksi joku fysikaalisen todellisuuden
matemaattinen piirre, mitä ei nykymatematiikalla voida kuvata/mallintaa.
Voinhan minäkin väittää, että fysiikkaa ei pitäisi esittää millään
luonnollisella kielellä, kun on varmaankin olemassa joku konstrukoitavissa
oleva kieli, jolla ilmaistuna fysikaaliset päätelmät pätisivät paremmin tai
kattavammin suhteessa todellisuuteen. Väittämä vain on täysin järjetön,
ellen samalla osoita edes yhtä piirrettä, jota ei voi suomeksi kuvata.
--
* Military intelligence is a contradiction in terms. (Groucho Marx) *
Kalle Kivimaa
> Olen kyllä tietoinen non-standardien reaalilukujen laajennusten
> olemassaolosta, jos joku muu haluaa niitä tässä yhteydessä esitellä
> niin siitä vaan. Sielläkin käsittääkseni (tässä kohtaa voin olla
Hei vaivautuisiko joku antamaan mielummin WWW-linkin tai vaihtoehtoisesti
helpohkosti saatavilla olevan kirjallisuusviitteen epästandardeihin
reaalilukuihin? Tasona mieluusti joku matematiikan perusopiskelijan taso,
niin saisi jotain irtikin :) Kiinnostus kun vaihteeksi heräsi...
--
* Sacherin toinen laki: Elämä ilman suklaakakkua ei ole elämää. *
Tapio
news:b78V5.178$j13....@read2.inet.fi...
> Hei vaivautuisiko joku antamaan mielummin WWW-linkin tai vaihtoehtoisesti
> helpohkosti saatavilla olevan kirjallisuusviitteen epästandardeihin
> reaalilukuihin? Tasona mieluusti joku matematiikan perusopiskelijan taso,
> niin saisi jotain irtikin :) Kiinnostus kun vaihteeksi heräsi...
>
> --
> * Sacherin toinen laki: Elämä ilman suklaakakkua ei ole elämää.
*
> * PGP public key available @ http://www.iki.fi/killer
*
Asiasta on paljon keskusteltu sci.math.ryhmässäkin. Faq-Aihe numero 1.
Tässäpä eräitä näkökantoja hypereaalien ja äärettömien kokonaislukujen
maailmasta yhdistettynä standardianalyysiin:
David Turner <dc...@cam.ac.uk> kirjoitti
viestissä:3A07551D...@cam.ac.uk...
> Guillermo Phillips wrote a bit more than:
(snip)
> No. A recurring decimal is defined as a limit. For example:
> 0.9999999... = lim (n->+inf) 1-1/(10^n)
> This makes analytical sense - the sequence converges on a limit (in this
> case 1)
>
> By your reasoning, ...9999999 would also be defined as a limit, for
> example:
> ...99999999 = lim (n->+inf) 10^n - 1
> However, this limit does not exist, therefore nor does ...9999999.
I Tapio wrote (11/7/00):
This limit does not exist within set of integers (finite) or within set of
infinite integers.
We have to consider what does limit mean. In this particular case the limit
is upper limit, i.e. what ...999 is approaching as n grows without limit.
How do we conclude what that limit would be? First we notice all the
placeholders (digit holders) in the sum ...9999 are occupied by digit 9 -
say: infinitely to the left. In other words: every a_n in the sum (n ->
+inf) a_n is 9.
We can express ...999 as the "greatest" infinite integer, as the point of
view is integers and the reference point is normal decimal dot. We may
simplify and say: Infinite integers are just expansion of finite integers
just like reals are expansion of finite decimal numbers.
Now- on the other hand- we must always have a situation "Give me a number
and I can always add one (1)" (Euclides). (BTW This means vice versa: Give
me to reals and I can always calculate the mean). How do we add one if all
the placeholders are occupied by 9´s ?. Assume we can add 1 as required.
...999 + 1=?
It is easy to imagine: We have carry "overflow" and the result equals to the
next greater "number", but now we just said ...999 is the greatest infinite
integer. Is this a contradiction? No it is not, because the next "number"
must be greater than any other (in)finite integer and that is according to
the definition omega. Note: Normally omega is defined as a number that is
greater than any integer, but after the definition and the expansion of the
concept "finite integers" to "infinite integers", omega exists "behind"
infinite integers.
Now we can define: omega = lim (n->+inf) 10^n - 1. Why not ...999 ?. The
reason is the same as in the case 0.999... The limit of 0.999.. equals to 1
(I never denied that = I always accepted that!). If we change the point of
reference from normal
decimal dot to "omega-dot" then we can write infinite integer ...999 like
this:
0,999... , where , means omega-dot, i.e. the reference point is now omega.
Because of consistency now it is evident lim 0,999... = omega or
transinfinite 1, i.e. the first number "behind" infinite integers. Note the
analogy to reals. This notation also presents the concept of "omega-zero".
The most important point is: omega is not equal to ...999 and vice versa.
Actually omega > ...9999. We must add 1 to ...999 to receive as a result
omega. BUT omega = lim (n->+inf) 10^n - 1, because omega is the upper limit
for the sum ...999 as the amount of 9´s increases without limit.
Similar and analogous situation: 1 is not equal to 0.999... , but lim
0.999.. =1, i.e. the sum is aproaching 1 as the amount of nines increases
after decimal dot infinitely. The concept of limit expresses the
out-most limit that is approached but never reached, because our expressions
do not have common point (tangential limit) but a "smallest possible
difference", which is integer 1 in the case of infinite integers and
"epsilon" in the case of reals, i..e. the smallest possible digit 1 in the
smallest possible placeholder. The limits in the cases of reals and infinite
integers are thefore asymptotical limit, i.e. there is no common point,
because every placeholder is occupied by some of the digit in the set
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. We can say we have "quantified digit jumps" or
quantum jumps within any placeholder a_n.
It follows: 1/3=0.333... as we have standard point (=dot) of reference.
Actually 0.333... is an approximation for 1/3.
(1/3)*omega= omega/3= ...333 (infinite integer) = 0,333... as we have omega
point (,) of reference.
We can ask: if lim 0.999...=1 and anyway on the other hand 0.999...<1, how
do you explain that? Answer: The limit is upper bound of the sum, but the
sum itself only approaches the limit.
Assume 0.999...=1 Expand both sides to infinite series, i.e :
0.999... = 9/10 + 9/100 +... +9/10^n , where n --> +oo
1.000.. = 1+0/10 +0/100 + ... + 0/10^n , where n --> +oo
If we now eliminate equal members from lhs and rhs, then we have to use
carry for the infinite serie that describes 1, i.e.
1= 9/10 +9/100 +... +10/10^n , where n --> +oo.
We can eliminate first 9/10 from lhs and rhs etc. Finaly we have 9/10^n =
10/10^n for all n as n-->+oo and after simplification 9=10, which is never
true. Therefore the limit of 0.999... equals to 1 but 0.999... <1. Instead
(9/10^n) + (1/10^n)=10/10^n,
where 1/10^n as n-->+oo equals to epsilon for all n. It´s limit equals to
zero, but there is no such a n so that 1/10^n=0. This is the whole point of
the concept of the asymptotical limit.
Further it follows: The standard indexing of a_n in the infinite sum starts
from standard metric reference point, i.e. from normal standard decimal
point. It should be evident we can transpone or inverse or invert the
indexing depending on what is the wanted point of reference. Examples:
...999. Here the right most digit is in the postion 1 if we use standard
indexing of a_n. If we look at the same placeholder from the reference point
of omega, then it´s index (n) is -oo, i.e. infinite "far" to the right
from omega. The same is valid for reals.
This arises a question: What is between 0.999... and 1 ? First: 0.999... +
epsilon=1, where epsilon is now the smallest possible "normal" real having
digit 1 at the index position (n= -oo) from the standard reference point.
This is easy to understand if we consider the concept of infinite integers -
above. In both cases we must have and pertain the requirement of
consistency!
If we calculate the mean of (0.999+1)/2 the standard answer is "nothing".
If we anyway expand our expression behind reals, we can find as an example
0.999...9,5000..., where ... means infinitely and , which is a new decimal
dot behind epsilon real. This is easy to understand if we ask: what is the
mean of omega + ...999 ? The answer is analogous 0,9999.5000... where , is
omega dot and . standard decimal dot, in other words the answer is in our
standard point of view like this ...999.5000... , where the lhs from
stardard decimal dot is infinite integer part and rhs from stardard decimal
dot is normal decimal part, i.e. 1/2.
The "mystery" of 3*1/3=1 or 3*0.333...=0.999... is also easy to explain. The
expression of 0.333... is an approximation with standard reals. There is
always a carry which leaves 1/3 behind omega position. 3*0.333...
(approximation)=0.999... but 3*0.333..., (1/3)=1. The consistency is again
explained.
Thus there is no contradictions if the concept limit is taken literally what
it really means according to the original definition of limit (=boundary
value).
From above it is evident the number system including infinite integers and
reals is totaly ordered and well ordered within sub-sets.
Hope this finaly helps and the case of existency of infinite integers and
the case of 0.999... is CLOSED, until some inconsistency is observed.
Thank you!
Tähän voisi vielä demontraation luontoisesti lisätä, että sum (1-1/10^n)
(n --> +oo) lausekkeessa oleva 1-1/10^n voidaan kirjoittaa myös
(10^n-1)/10^n. Nimittäjän ja osoittajan erotus on 1 riippumatta siitä
annetaanko tämän erotuksen laskemisen jälkeen n:n kasvaa rajatta ---> +oo.
Sellainen luku jonka osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret esittää lukua
1.
Tapio
> Dave
Antti
>Äärettömän jonon viimeistä
>numeroa ei voida kirjoittaa näkyville, koska sitä ei ole olemassakaan.
Mitenkäs se Cantor sitten varustaisi nämä kaikki merkit (viimeiseen saakka)
mustilla ja vakoisilla lapuilla? Tai diagonaali esityksessä tarkasteltaisiin
koko taulukko kun viimeistä numeroa ei ole olemassakaan?
Kun taas puhun "viimeisestä merkistä", en tarkoita mitään määrättyä
järjestystä, vaan sitä viimeistä merkkiä jonka jälkeen koko ääretön joukko
on merkitty.
Vesa-Matti Sarenius
>Joel Yliluoma <bis...@iki.fi.not.almost.invalid> wrote:
>
>> Todistetaan valeeksi:
>> x = 0.99999...
>> >>
>> x = 1 - epsilon
>> epsilon > 0, täten x < 1.
>
>Mistäs tuon epsilonin tiedät nollaa suuremmaksi? :)
>
>Mutta topologiankirjaa selailtuani löytyi aineistoa, joka antaa ymmärtää
>seuraavaa:
>
>Jos x ja y ovat R:n eri pisteitä, on silloin olemassa pisteille
>ympäristöt X ja Y, joiden leikkaus on tyhjä joukko.
Hausdorffin ehto pätee kyllä kaikille metrisille avaruuksille, mutta
ei välttämättä kaikille topologisille avaruuksille (edes R:ssä). Yllä
oleva väittämäsi on siinä määrin hivenen epäpätevä.
>Jos nyt sanotaan vaikka, että x=0.9999... ja y=1, väittäisinpä, ettei
>ehdon täyttäviä ympäristöjä juuri taida löytyä.
Oletetaan, että R on varustettu luonnollisella metriikalla
d(x,y)=|x-y|. Periytetään siitä topologia, jonka kannan muodostavat
avoimet pallot B(x,r), jossa r kuuluu Q:hun tai tässä tapauksessa
parempi olisi B(x,1/n), jossa n kuuluu N:ään. Saadaan luonnollinen
topologia R:lle. Tämä topologia on metristyvä (konstruktion vuoksi) ja
siten täyttää Hausdorffin ehdon (eli on siis T2-avaruus). Silloin olet
kyllä tiettävästi oikeassa.
Todistus menisi jotenkin näin:
Oletetaan, että x=1 ja y=0.999... ovat erisuuret. Tällöin olisi siis
olemassa avoimet pallot B(x,r1) ja B(y,r2), jotka eivät leikkaisi
toisiaan. Nyt meidän pitäisi saada jokin piste kuulumaan
ko. leikkaukseen. Mikäli leikkauksesta löytyisi piste, niin joko a)
x=y tai avaruus ei olisi Hausdorffin avaruus. Koska (R,T) oletetaan
metristyväksi ja siis Hausdorffiksi, niin x=y. Kysymys liikkuu siis
ko. pisteen löytämiseen. En kylläkään nyt keksi, miten se
tehtäisiin...
--
Vesa-Matti Sarenius, D.G.S.A * - Am I a man or what? - A What!*
mailto:sarenius.at.paju.oulu.fi * - What? - Yes, that's right! *
http://www.student.oulu.fi/~sarenius * * * * * * * * * * hmmmm! *
Finland, Europe. Tel. +358-8-342236 fax.+358-8-5305045. * * * * * *
Esa Toivonen
> Ja jotta antamallasi konstruktiolla olisi yhtään mitään mahdollisuutta olla
> mitään järkevää, on sinun aikasi kuluksi määriteltävä ääretön-käsite
> uudestaan. Konstruktiosi kun vaatii, että ääretön merkkijono päättyisi,
> mitä se ei määritelmän mukaan tee.
En tietenkään maallikkona pysty tuollaiseen, mutta toisessa artikkelissa
antamani havainnollinen esimerkki vihjaa soveliaasti, että JOS oletetaan
olevan olemassa *käytännössäkin* äärettömyyttä (matematiikan teorioiden
lisäksi), niin matemaatikoiden on ennen pitkää ITSE konstruoitava
äärettömän määrittelynsä sellaiseksi, että se sopii minun esittämääni
(jossa mm. 0,999...999 voisi olla mielekäs merkintätapa).
Ääretön maailmankaikkeushan olisi täynnä sellaisia potentiaalisten
"tilaputkien" silmukoita, jotka alkaisivat tästä, kiertäisivät
äärettömän pitkään jossain tuolla, ja päättyisivät lopulta takaisin
tähän. Äärettömiin jatkuminen ei silloin olisi sama kuin päättymättömyys
tai rajattomuus.
--
Esa
Esa Toivonen
> <kpas...@tnclus.tele.nokia.fi> wrote:
> > Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
> > ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
> Reaaliluvun 0.999...9 järkevä tulkinta lienee, että se on äärellinen
> desimaaliluku, jossa desimaaleina on n kpl yhdeksikköjä. Se on täysin
> määrätty, kun n ilmoitetaan. Siinä ei kuitenkaan ole ääretön määrä ysejä,
> koska viimeinen ysi on kirjoittu näkyville. Äärettömän jonon viimeistä
> numeroa ei voida kirjoittaa näkyville, koska sitä ei ole olemassakaan.
Miksei, yhtä hyvin kuin ensimmäisenkin? Miksei n voisi olla "ääretön"?
Ja miksei äärettömän jonon "äärettömyys" periaatteessa voisi yhtä hyvin
sijoittua jonon keskelle kuin loppuunkin? Jos näistä on taas olemassa
joidenkin henkilöiden tekemä sopimus, että ei voi, niin olisit voinut
sanoa, että "sopimuksen mukaan ei voi" tms., jolloin asia olisi tullut
kerralla selväksi. Silloin tosin 0,999... = 1 -todistusten hakeminen on
hiukan lamen tuntuista, koska sehän seuraa suoraan sopimuksista
itsestäänselvyytenä, yhtenä osana tätä erityistä matemaattista
sopimussysteemiä. Käsittääkseni se, että asiaan liittyisi jotakin
yllättävän tuntuista ja kiintoisaa, voisi seurata ainoastaan siitä, että
joku väittäisi tuon jollakin tavoin yleisesti olevan sovellettavissa
myös fyysiseen todellisuuteen.
Ja itseasiassa en tarkoittanut hakea äärettömän jonon viimeistä numeroa,
vaan minkä hyvänsä kohdan desimaalijonosta, jossa ääretön katsottaisiin
jo saavutetuksi. Eihän siihen tarvita muuta kuin ääretön määrä
yhdeksikköjä kolmen pisteen sijalle ja sitten yhdeksikkö lisää.
Tuolle löytyisi jopa havainnollinen vastine sellaisessa
maailmankaikkeudessa, joka olisi äärettömän suuri: matka mihin suuntaan
tahansa ja sieltä takaisin sisältäisi konkreettisen alkukohdan
äärettömän pitkän keskikohdan (jopa 2x :) ja konkreettisen loppukohdan
(joka siis tulisi äärettömän jälkeen).
Tarkoittaako tämä kaikki siis sitä, että nykyisen kaltaisella
matematiikalla ei voitaisi tehdä laskelmia äärettömässä universumissa,
jossa *käytännössä* voitaisiin joutua tekemään laskelmia, joissa
äärettömän jälkeen tai lisäksi tulisi vielä jotakin muuta?
--
Esa
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > Niin, mutta sanoinkin, että tuo 9,1 (tai yleisemmin luku x josta pätee,
> > että 9 < x < 10) sijoitettaisiin mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999...
> > , jossa jatkumon ajateltaisiin jo *saavuttavan* täyden ykkösen - ei siis
> > ennen sitä.
> Heetkinen. Me puhumme nyt jonkun luvun a desimaaliesityksistä.
> Desimaalijärjestelmässä (eli kymmenjärjestelmässä) sallittuja merkkejä ovat
> + ja -, jotka osoittavat vain luvun suhdetta nollaan, pilkku, joka kertoo
> luvun "koon", ja kymmenen numeromerkkiä 0-9, joille on määritelty suhteet
> 0<1<2<3<4<5<6<7<8<9. Et siis voi korvata esityksessä 0,9999... jotain
> yhdeksikköä millään numeromerkillä, jonka arvo olisi suurempi kuin
> yhdeksän.
Kuten sanoin jo aluksi, olen maallikko (lukiosta on jo KAUAN), joten
kielenkäyttööni ja merkintätapoihini ei sinänsä kannata takertua.
Ehdotukseni 9,1:n (tai jonkin luvun 9<x<10) lisäämisestä voi
käsittääkseni ilman vaikeuksia ymmärtää tarkoittavaksi jonon
*jatkumista* edelleen.
BTW, edelleen on jäänyt selvää vastausta vaille alkuperäinen
ongelmanasetteluni:
****** LAINAUS VANHASTA ARTIKKELISTA ******
Mikä sitten mahtaa olla vikana päinvastaisessa päättelyssä:
Mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999... , jossa sen ajateltaisiin
saavuttavan täyden ykkösen, voitaisiin 9:n paikalle sijoittaa esim. luku
9,1 - jolloin sarja saavuttaisi siinä nimenomaisessa kohdassa suuremman
arvon kuin alkuperäinen 0,999...999 saavuttamatta silti vielä täyttä
ykköstä.
Niinpä 0,999... ei ilmeisesti voi ikinä saavuttaa täyttä 1:tä.
****** LAINAUS PÄÄTTYY ******
Yleisemmin ilmaistuna: jonoon voidaan lisätä (jatkoksi) mihin HYVÄNSÄ
kohtaan lisädesimaaleja ilman, että ikinä saavutettaisiin yhtä.
Miksei tämä käytännössä pätevä tulos (0,999... ei ole 1) olisi paljon
merkittävämpi (esim. mahdollisten sovellutusten kannalta) kuin jossain
puhtaasti teoreettisessa ja sopimuksille pohjautuvassa systeemissä saatu
tulos (0,999... = 1)?
--
Esa
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> >
> > <kpas...@tnclus.tele.nokia.fi> wrote:
> > > Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
> > > ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
> >
> > Kaikki muut asiaa kommentoineet näyttävät ymmärtäneen suoraan, mitä
> > sillä tarkoitin, koska kiistäminen on onnistunut. :)
>
> Ehkä, jos kiistämisen onnistumisella tarkoitat sitä, että kaikki jotka
> asiasta jotain tietävät, ovat kanssasi eri mieltä. :)
En tietenkään tarkoita. Maailmassahan on lähes äärettömästi asiasta
jotain tietäviä ihmisiä, joiden mielipiteistä me kumpikaan emme voi
tässä tietää mitään.
Tarkoitin sitä, että ihminen ei vaivautuisi edes *yrittämään* sellaisen
väitteen kiistämistä, joka vaikuttaisi hänestä järjettömältä sen takia,
ettei hän olisi kokenut ymmärtävänsä mitä sillä yritetään tarkoittaa.
Kiistämisen sijaan hän kyselisi merkityksen perään.
Kumoamisyritelmistä päätellen olen siis onnistunut kommunikoimaan
ainakin jotakin perille saakka.
--
Esa
Kalle Kivimaa
> Mihin hyvänsä kohtaan jatkumoa 0,999... , jossa sen ajateltaisiin
> saavuttavan täyden ykkösen, voitaisiin 9:n paikalle sijoittaa esim. luku
> 9,1 - jolloin sarja saavuttaisi siinä nimenomaisessa kohdassa suuremman
Ongelmana tuossa on se, ettei sarja 0,9+0,09+0,009+... saavuta koskaan
summana ykköstä. Näinollen ei sellaista paikkaa ole olemassa. Niinpä
ollen alla oleva johtopäätöksesi on virheellinen.
> Yleisemmin ilmaistuna: jonoon voidaan lisätä (jatkoksi) mihin HYVÄNSÄ
> kohtaan lisädesimaaleja ilman, että ikinä saavutettaisiin yhtä.
Niin voitaisiinkin, jos jono olisi äärellinen. Äärettömän jonon loppuun et
voi lisätä desimaaleja, ellet uudelleenmäärittele ääretöntä.
> Miksei tämä käytännössä pätevä tulos (0,999... ei ole 1) olisi paljon
> merkittävämpi (esim. mahdollisten sovellutusten kannalta) kuin jossain
> puhtaasti teoreettisessa ja sopimuksille pohjautuvassa systeemissä saatu
> tulos (0,999... = 1)?
Miksi tämä puhtaasti teoreettinen ja sopimuksille pohjautuva tulos olisi
merkittävämpi kuin jossain ristiriidattomassa systeemissä saatu tulos?
Sinäkin tuossa omassa "todistuksessasi" oletat sovituksi aika monta asiaa,
harjoitustehtäväksi jätän kuinka monta. Usko pois, ilman aksioomia et
todista _yhtään_ mitään, jo pelkkä logiikka vaatii oletusten tekemistä.
Ja joo, on toki mahdollista, että esittämäsi kaltaiset laskusäännöt salliva
lukujärjestelmä olisi parempi kuin nykyään yleisesti käytetty. On myös
mahdollista, että jonain päivänä lehmät osaavat lentää </ilkeily>.
--
* Military justice is to justice what military music is to music. *
* (Groucho Marx) *
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
Lines: 132
In article <1ekvkig.y8...@mkcclxxxix.hdyn.saunalahti.fi>, esa.to...@sci.fi (Esa Toivonen) writes:
> Jyri Pieko <jyri...@yahoo.com> wrote:
>> Reaaliluvun 0.999...9 järkevä tulkinta lienee, että se on äärellinen
>> desimaaliluku, jossa desimaaleina on n kpl yhdeksikköjä. Se on täysin
>> määrätty, kun n ilmoitetaan. Siinä ei kuitenkaan ole ääretön määrä ysejä,
>> koska viimeinen ysi on kirjoittu näkyville. Äärettömän jonon viimeistä
>> numeroa ei voida kirjoittaa näkyville, koska sitä ei ole olemassakaan.
>
> Miksei, yhtä hyvin kuin ensimmäisenkin? Miksei n voisi olla "ääretön"?
> Ja miksei äärettömän jonon "äärettömyys" periaatteessa voisi yhtä hyvin
> sijoittua jonon keskelle kuin loppuunkin? Jos näistä on taas olemassa
> joidenkin henkilöiden tekemä sopimus, että ei voi, niin olisit voinut
> sanoa, että "sopimuksen mukaan ei voi" tms., jolloin asia olisi tullut
> kerralla selväksi.
Kyllä se on vain sopimus. En osaa sanoa, kenen alkuaan määrittelemä,
mutta oikein hyvä ja yleisesti tunnustettu sopimus. Puhutaan nyt matema-
tiikan jonokäsitteestä.
Jono (a_n) käsitetään yhteen suuntaan äärettömän pitkälle jatkuvaksi.
Oikeastaan kyseessä on kuvaus luonnollisten lukujen joukolta N siihen
perusjoukkoon, jonka alkioita jonon alkiot ovat. Siis jono ei ole konk-
reettinen, ihmisen paperille tai taululle kirjoittama jono alkioita vaan
abstrakti olio kuten matemaattiset oliot yleensäkin. Jono (a_n) on täy-
sin määritelty, kun jokaista luonnollista lukua kohti n on olemassa yk-
sikäsitteinen perusjoukon alkio a_n.
Desimaalijono on yleisen jonokäsitteen erikoistapaus: On nimenomaan
sovittu, että sellaisessa jonossa esiintyy vain alkioita symbolijoukosta
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Ei pidä suoraa päätä samastaa desimaa-
lijonoja ja reaalilukuja välillä [0, 1]. Reaalilukujen aksiomaattinen
määritelmä ja joukko-opillinen konstruktio ovat aivan muuta. Kun reaali-
luvut on määritelty ja sen lisäksi on tehty sopimus siitä, mitä reaali-
lukua kukin mahdollinen desimaalijono tarkoittaa, on sen jälkeen todis-
tettava asia, että jokaisella reaaliluvulla välillä [0, 1] on olemassa
sitä vastaava desimaalijono. Valitettavasti vastaavuus ei ole edes yksi-
käsitteinen. (Reaaliluvulla 1 on tosin yksikäsitteinen esitys, koska kä-
siteltiin vain kokonaisosattomia, "nolla pilkulla" alkavia desimaalijo-
noja.)
> Silloin tosin 0,999... = 1 -todistusten hakeminen on
> hiukan lamen tuntuista, koska sehän seuraa suoraan sopimuksista
> itsestäänselvyytenä, yhtenä osana tätä erityistä matemaattista
> sopimussysteemiä.
Niin se on, sopimusten seuraus, ja hyvin yksinkertainen. Geometrisen
sarjan summa. Eiköhän se puoli asiasta jo olekin riittävän hyvin käsi-
telty?
> Käsittääkseni se, että asiaan liittyisi jotakin
> yllättävän tuntuista ja kiintoisaa, voisi seurata ainoastaan siitä, että
> joku väittäisi tuon jollakin tavoin yleisesti olevan sovellettavissa
> myös fyysiseen todellisuuteen.
Sitähän sinä olet väittänyt (ehdottanut, ennustanut, mikä sana nyt lie-
neekin tähän sopivin), mutta sinulla ei ole esittää konkreettista luon-
nontieteellistä ongelmaa, joka vaatisi uudenlaista, matematiikan stan-
dardeista poikkeavaa reaalilukujen käsittelyä. Nykymatematiikka toimii
eksakteissa luonnontieteissä erinomaisen hyvin. Tämän epäilykin vaatii
mielestäni jo jonkinlaista esimerkkiä, joka antaisi epäilylle oikeutuk-
sen.
> Ja itseasiassa en tarkoittanut hakea äärettömän jonon viimeistä numeroa,
> vaan minkä hyvänsä kohdan desimaalijonosta, jossa ääretön katsottaisiin
> jo saavutetuksi. Eihän siihen tarvita muuta kuin ääretön määrä
> yhdeksikköjä kolmen pisteen sijalle ja sitten yhdeksikkö lisää.
Pelaat pelkillä merkinnöillä. Merkintöjesi vastaavuus reaalilukuihin
on selvittämättä.
> Tuolle löytyisi jopa havainnollinen vastine sellaisessa
> maailmankaikkeudessa, joka olisi äärettömän suuri: matka mihin suuntaan
> tahansa ja sieltä takaisin sisältäisi konkreettisen alkukohdan
> äärettömän pitkän keskikohdan (jopa 2x :) ja konkreettisen loppukohdan
> (joka siis tulisi äärettömän jälkeen).
>
> Tarkoittaako tämä kaikki siis sitä, että nykyisen kaltaisella
> matematiikalla ei voitaisi tehdä laskelmia äärettömässä universumissa,
> jossa *käytännössä* voitaisiin joutua tekemään laskelmia, joissa
> äärettömän jälkeen tai lisäksi tulisi vielä jotakin muuta?
Käytännön tarve todellakin puuttuu.
Minä kirjoitin:
>>>> Sen sijaan "omalle" merkinnällesi 0.999...9 et ole antanut etkä mitä
>>>> ilmeisimmin pystykään antamaan mitään järkevää tulkitaa.
Esa Toivonen kirjoitti:
>>> Kaikki muut asiaa kommentoineet näyttävät ymmärtäneen suoraan, mitä
>>> sillä tarkoitin, koska kiistäminen on onnistunut. :)
Jyrki Lahtonen kirjoitti:
>> Ehkä, jos kiistämisen onnistumisella tarkoitat sitä, että kaikki jotka
>> asiasta jotain tietävät, ovat kanssasi eri mieltä. :)
In article <1ekvjbe.16i...@mkcclxxxix.hdyn.saunalahti.fi>, esa.to...@sci.fi (Esa Toivonen) writes:
>
> En tietenkään tarkoita. Maailmassahan on lähes äärettömästi asiasta
> jotain tietäviä ihmisiä, joiden mielipiteistä me kumpikaan emme voi
> tässä tietää mitään.
"Lähes äärettömästi"? Kuinka paljon sinun äärettömäsi on?
> Tarkoitin sitä, että ihminen ei vaivautuisi edes *yrittämään* sellaisen
> väitteen kiistämistä, joka vaikuttaisi hänestä järjettömältä sen takia,
> ettei hän olisi kokenut ymmärtävänsä mitä sillä yritetään tarkoittaa.
> Kiistämisen sijaan hän kyselisi merkityksen perään.
Minä en tosiaankaan vaivautunut kiistämään vaan kyselin merkityksen perään.
Mutta eikös niin tee Lahtonenkin? Jostakin mahdollisesti näkemästäsi erosta
huolimatta olemme mielestäni tarkoittaneet oleellisesti samaa.
> Kumoamisyritelmistä päätellen olen siis onnistunut kommunikoimaan
> ainakin jotakin perille saakka.
En allekirjoittaisi tuota. Ymmärtäjäsi ovat aika vähissä. Ystävämme Antti
(antkalper) taitaa olla yksi heistä. Tässä keskustelussa tulee tosiaankin
esiin suhteemme äärettömiin jonoihin: Voidaanko jollakin tavalla jatkaa
jonoa vielä jonon viimeisenkin jäsenen jälkeen? Matemaatikoiden standardi-
vastaus on, että ei, mutta tätä vastausta on vaikeaa perustella, jos hae-
taan nimenomaan mielekkyysargumenttia. Sopimushan se on. Viittaan edellä
olevaan jonokäsitteen selostukseeni.
Matematiikka tutkii abstrakteja struktuureja. Toki voidaan rakentaa sel-
laisiakin, jotka sisältävät osanaan "tavalliset" luonnolliset luvut tai
reaaliluvut ja joiden sisällä voidaan suorittaa laskutoimituksia konsis-
tentisti. Näitä käsittelee Tapio Hurmeen pitkä kirjoitelma. Tällaisten
struktuurien rakentamisen mahdollisuus on aivan eri asia kuin se, onko
niistä jotakin "hyötyä". Hyöty tulee sovelluksista, jos niitä keksitään.
Kari Pasanen
Jyri Pieko
"Esa Toivonen" <esa.to...@sci.fi> wrote in message
news:1ekvkig.y8...@mkcclxxxix.hdyn.saunalahti.fi...
> > Äärettömän jonon viimeistä numeroa ei voida kirjoittaa
> > näkyville, koska sitä ei ole olemassakaan.
>
> Miksei, yhtä hyvin kuin ensimmäisenkin?
Johan siihen vastasin: sitä ei ole olemassa. Se on äärettömän jonon
ominaisuus.
> Ja miksei äärettömän jonon "äärettömyys" periaatteessa voisi yhtä hyvin
> sijoittua jonon keskelle kuin loppuunkin?
Koska ilmaiset jonon viimeisellä numerolla, että jono on äärellinen.
Kolmella pisteellä ilmaiset vain, että jono jatkuu samalla tavalla kuin
ennen pisteitä. Ei kolme pistettä ole äärettömän jonon symboli. Vasta kun
jätät pisteiden jälkeen ilmoittamatta jonon viimeistä numeroa, tulkitaan
jonon jatkuvan äärettömiin.
> Jos näistä on taas olemassa joidenkin henkilöiden tekemä sopimus,
> että ei voi, niin olisit voinut sanoa, että "sopimuksen mukaan ei voi"
> tms., jolloin asia olisi tullut kerralla selväksi.
Kaikki inhimilliset merkintätavat ovat sopimuksia. Olet kuitenkin antanut
kolmen pisteen-merkinnälle moniselitteisen merkityksen.
> Silloin tosin 0,999... = 1 -todistusten hakeminen on
> hiukan lamen tuntuista, koska sehän seuraa suoraan sopimuksista
> itsestäänselvyytenä
Merkinnät ovat sopimuksia ei se, että 0,999... = 1. Täällä on jo todistettu
eri tavalla miksi tämä väite pätee.
Äärettömistä jonoista on keskusteltu tässä ryhmässä varsin perusteellisesti
viime helmi-maalisuussa. Esan kannattaisi käydä ne lukemassa.
--
JyriP
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> Mitenkäs se Cantor sitten varustaisi nämä kaikki merkit (viimeiseen saakka)
> mustilla ja vakoisilla lapuilla?
Siten, että joukon "laputus" eli kuvaus joukkoon {0, 1} on jo olemassa.
Kustakin alkiosta voidaan tunnistaa ominaisuus, jonka perusteella sillä
on jomman kumman värinen lappu. Tämä on oletus. Sinun ei kannata kysellä,
onko sellaisia ominaisuuksia olemassakaan.
> Tai diagonaali esityksessä tarkasteltaisiin
> koko taulukko kun viimeistä numeroa ei ole olemassakaan?
Siinä meillä on käsillä kaksiulotteinen taulukko, jonka alkiot on indek-
soitu kahdella indeksillä. Kun indeksit on annettu, tiedetään myös, mikä
on sitä paikkaa vastaava alkio. Näin ollen myös diagonaalin alkiot tun-
netaan.
> Kun taas puhun "viimeisestä merkistä", en tarkoita mitään määrättyä
> järjestystä, vaan sitä viimeistä merkkiä jonka jälkeen koko ääretön joukko
> on merkitty.
Äärettömässä joukossa ei ole viimeistä alkiota. Koko joukko voidaan
silti käsitellä yhdessä hujauksessa. Sinun pitäisi ymmärtää kuvauksen
eli funktion käsite sekä täydellisen induktion periaate.
En viitsi toistaa vanhoja juttuja. Keskustelumme päättynee tällä erää
tähän, ellei sinulla ole jotakin todella uutta sanottavaa.
Kari Pasanen
Esa Toivonen
käsittämättömään meiliosoitteeseen.)
<kpas...@tnclus.tele.nokia.fi> wrote:
> esa.to...@sci.fi (Esa Toivonen) writes:
> > Ja miksei äärettömän jonon "äärettömyys" periaatteessa voisi yhtä hyvin
> > sijoittua jonon keskelle kuin loppuunkin? Jos näistä on taas olemassa
> > joidenkin henkilöiden tekemä sopimus, että ei voi, niin olisit voinut
> > sanoa, että "sopimuksen mukaan ei voi" tms., jolloin asia olisi tullut
> > kerralla selväksi.
> Kyllä se on vain sopimus. En osaa sanoa, kenen alkuaan määrittelemä,
> mutta oikein hyvä ja yleisesti tunnustettu sopimus.
Toisin sanoen missä hyvänsä systeemissä, jossa olisi tai oletettaisiin
olevaksi *aidosti* äärettömiä suuruuksia (kuten aiempi esimerkkini
äärettömästä universumista), minun esittämäni ajattelu- ja merkintätapa
olisi *todellisuuteen* nähden tarkempi ja sovellettavissaolevampi kuin
nykymatematiikan yleisesti hyväksymä?
Jos taas ääretöntä ei käytännössä esiinny missään, matematiikan
"ääretön" on käsitettävä pelkästään matemaattiseksi apuvälineeksi
äärellisiä sovellutuksia varten.
Tämä on minusta sen takia tärkeää huomata, että matematiikkaa tarkemmin
tuntemattomien ihmisten mielissä matematiikan väitteet
(kuten 0,999... = 1) saavat merkityksellisyytensä juuri siitä, että
niiden ajatellaan "matemaattisen aukottomasti" pätevän myös
todellisuuteen sovellettuna.
Mutta tällaisesta soveltuvuudesta ei siis voida sanoa YHTÄÄN MITÄÄN,
ennen kuin asia on käytännössä varmennettu joka tapaukseen erikseen,
koska matematiikan sopimukset eivät ole sidoksissa fyysiseen
havaintomaailmaan.
> > Tarkoittaako tämä kaikki siis sitä, että nykyisen kaltaisella
> > matematiikalla ei voitaisi tehdä laskelmia äärettömässä universumissa,
> > jossa *käytännössä* voitaisiin joutua tekemään laskelmia, joissa
> > äärettömän jälkeen tai lisäksi tulisi vielä jotakin muuta?
> Käytännön tarve todellakin puuttuu.
Käsittääkseni fysiikan piirissä on ainakin viimeisten vuosikymmenien
aikana (en tiedä aivan viime vuosista) pohdittu sitä viittaavatko
erilaiset epäsuorat todisteet universumin olevan äärellinen vaiko
ääretön. Jo ääretön-vaihtoehdon mahdolliseksi ajattelemisen pitäisi
minun mielestäni näkyä ainakin sitä mahdollisuutta käsittelevissä
teoreettisissa laskelmissa, jotta asiassa olisi mitään tolkkua. Mutta
kelpaako nykymatematiikan "ääretön" välttämättä siihen?
Ja eikö jo fysiikan maailmankuvahahmotusten moniulotteistaminen tuo aina
jokaiseen aiempaan ulottuvuuteen "lisää" äärettömästi? Esimerkiksi aikaa
voitaisiin ajatella äärettömänä ulottuvuutena.
Okei, en pysty hahmottamaan onko tuolla mitään tekemistä sen kanssa
katsotaanko 0,999... = 1 todeksi vai ei, mutta jotenkin tuntuisi,
etteivät jonkin erityisen *matemaattisen* järjestelmän "ääretöntä"
koskevat *sopimukset* välttämättä kelpaisi *käytännössä* esiintyvän tai
edes oletetun äärettömyyden hahmottamiseen taikka sen yhteydessä
mahdollisesti tehtäviin laskutoimituksiin.
--
Esa
Esa Toivonen
> "Esa Toivonen" <esa.to...@sci.fi> wrote:
> > Ja miksei äärettömän jonon "äärettömyys" periaatteessa voisi yhtä hyvin
> > sijoittua jonon keskelle kuin loppuunkin?
> Koska ilmaiset jonon viimeisellä numerolla, että jono on äärellinen.
> Kolmella pisteellä ilmaiset vain, että jono jatkuu samalla tavalla kuin
> ennen pisteitä. Ei kolme pistettä ole äärettömän jonon symboli. Vasta kun
> jätät pisteiden jälkeen ilmoittamatta jonon viimeistä numeroa, tulkitaan
> jonon jatkuvan äärettömiin.
Okei, tuo tarkoittanee sitä, ettei nykyisellä tavalla sovittu
matematiikka pystyisi lainkaan käsittelemään *käytännössä* esiintyvään
äärettömyyteen liittyviä laskelmia. Nykymatematiikan "ääretön" on siis
pelkkä teoreettinen apuväline *äärellisten* sovellutusten tekemiseen.
Käytännön sovellutuksessahan vielä äärettömän määrän jälkeenkin
voitaisiin ajatella tulevan yksittäin laskettavia lisiä - esim. aiempi
esimerkkini äärettömässä universumissa olevista tilasilmukoista, jotka
voivat alkaa ja loppua tietyssä kohdassa, mutta olla sillä välillä
äärettömän pitkiä.
> > Silloin tosin 0,999... = 1 -todistusten hakeminen on
> > hiukan lamen tuntuista, koska sehän seuraa suoraan sopimuksista
> > itsestäänselvyytenä
> Merkinnät ovat sopimuksia ei se, että 0,999... = 1. Täällä on jo todistettu
> eri tavalla miksi tämä väite pätee.
Sanoinkin "seuraa suoraan". Eli tiettyjen sopimusten olemassaolo
*sisältää* myös 0,999... = 1 -väitteen pätevyyden ko. systeemissä.
Vai oletetaanko matematiikan systeemin (tai käsityksemme siitä) voivan
kehittyä samaan tapaan kuin fysiikan maailmankuvan, siten että uudet
todistukset voisivat kumota tai uudelleenselittää vanhat?
Eli, täytyy joka kerta uudelleen todistaa, että esim. 0,999... = 1,
koska on teoriassa mahdollista, että joskus keksitään pätevä todistus
sille, että noin ei olekaan. Muutenhan uudelleen todistamisessa ei olisi
mitään järkeä.
> Äärettömistä jonoista on keskusteltu tässä ryhmässä varsin perusteellisesti
> viime helmi-maalisuussa. Esan kannattaisi käydä ne lukemassa.
Jyri kuule, ei minulla ole mitään epäilystä siitä, etteikö
nykymatematiikan systeemissä 0,999... = 1 olisi todistettavissa oleva
juttu.
Ikävää, että maallikkomaisesti muotoiltu sivuhuomautukseni matematiikan
ja todellisuuden suhteen sopimuksenvaraisesta epätarkkuudesta sai aikaan
näinkin paljon väärinkäsityksiä. Toivottavasti oli edes hauskaa
vaihtelua.
--
Esa
Kalle Kivimaa
> Käytännön sovellutuksessahan vielä äärettömän määrän jälkeenkin
> voitaisiin ajatella tulevan yksittäin laskettavia lisiä - esim. aiempi
> esimerkkini äärettömässä universumissa olevista tilasilmukoista, jotka
> voivat alkaa ja loppua tietyssä kohdassa, mutta olla sillä välillä
> äärettömän pitkiä.
Osoitapa nyt sitten, miksi et nykymatematiikan keinoin olettamiasi
konstrukteja pysty käsittelemään. Minä en näe siinä mitään ongelmaa, mutta
myönnän olevani maallikko.
> Vai oletetaanko matematiikan systeemin (tai käsityksemme siitä) voivan
> kehittyä samaan tapaan kuin fysiikan maailmankuvan, siten että uudet
> todistukset voisivat kumota tai uudelleenselittää vanhat?
Ei. Matematiikka pohjautuu aksioomille, jotka oletetaan tosiksi. Jos näihin
aksioomiin tehdään muutoksia, joudutaan toki lähtemään (melkein) alusta
liikkeelle. Jos taas aksioomiin ei tehdä muutoksia, ei niihin pohjautuvia
todistuksia jouduta uusimaan, ellei kyseistä todistusta havaita
virheelliseksi. Virheellinen todistuskaan ei vaikuta muihin todistuksiin,
elleivät nämä nojaudu juuri tähän todistukseen.
--
* Kettering's Law: Logic is an organized way of going wrong with confidence. *
Valmari Antti
Esa Toivonen kirjoitti:
> Nykymatematiikan "ääretön" on siis
> pelkkä teoreettinen apuväline *äärellisten* sovellutusten tekemiseen.
Ei ole.
> Käytännön sovellutuksessahan vielä äärettömän määrän jälkeenkin
> voitaisiin ajatella tulevan yksittäin laskettavia lisiä
Sellaisia tilanteita käsitellään nykymatematiikassa ainakin
äärettömien ordinaalien teoriassa.
> Vai oletetaanko matematiikan systeemin (tai käsityksemme siitä) voivan
> kehittyä samaan tapaan kuin fysiikan maailmankuvan, siten että uudet
> todistukset voisivat kumota tai uudelleenselittää vanhat?
Kalle Kivimaa kirjoitti:
! Ei. Matematiikka pohjautuu aksioomille, jotka oletetaan tosiksi. Jos näihin
! aksioomiin tehdään muutoksia, joudutaan toki lähtemään (melkein) alusta
! liikkeelle. Jos taas aksioomiin ei tehdä muutoksia, ei niihin pohjautuvia
! todistuksia jouduta uusimaan, ellei kyseistä todistusta havaita
! virheelliseksi. Virheellinen todistuskaan ei vaikuta muihin todistuksiin,
! elleivät nämä nojaudu juuri tähän todistukseen.
Nykyinen käsitys matematiikasta (tai pikemminkin nykyisistä käsityksistä
laajimmin hyväksytty) on tämä. Kukaan ei voi kuitenkaan taata, että se
olisi vallalla vielä vuonna 2100. Se ei ollut kai edes kunnolla oivallettu
vielä 1880, ja siihen asetettuja odotuksia jouduttiin rukkaamaan 1930-luvulla.
500 viime vuoden aikana on useasti käynyt niin, että uudet todistukset ovat
kumonneet tai "uudelleenselittäneet" vanhat.
> Tämä on minusta sen takia tärkeää huomata, että matematiikkaa tarkemmin
> tuntemattomien ihmisten mielissä matematiikan väitteet
> (kuten 0,999... = 1) saavat merkityksellisyytensä juuri siitä, että
> niiden ajatellaan "matemaattisen aukottomasti" pätevän myös
> todellisuuteen sovellettuna.
>
> Mutta tällaisesta soveltuvuudesta ei siis voida sanoa YHTÄÄN MITÄÄN,
> ennen kuin asia on käytännössä varmennettu joka tapaukseen erikseen,
> koska matematiikan sopimukset eivät ole sidoksissa fyysiseen
> havaintomaailmaan.
Asia ei ole noin yksioikoinen. Matematiikkaan on monia näkökulmia.
Matematiikkaa voi ajatella formaalina pelinä: asetetaan aksioomia ja
johdetaan tuloksia eikä ajatella niiden mahdollista merkitystä
tosiolevaisen kannalta. Näin sanottuna matematiikka kuulostaa jokseenkin
mielivaltaiselta, ja monet väittävät että mielivaltaista se onkin. Mutta
vaikka formaalien pelien maailmassa on valtavasti vapautta, sielläkin on
sääntöjä joita ei voi ohittaa. Formaalien pelien maailman sisäinen
rakenne tekee matematiikasta mielenkiintoista ja haastavaa silloinkin,
kun matematiikka halutaan nähdä vain formaalina pelinä.
Toisaalta matematiikan soveltaminen tosimaailmaan on tuottanut aivan
järkyttävän hyviä tuloksia. Ilman sitä tekniikka olisi aika alkeellista!
Matematiikan soveltamisessa on periaatteessa kyse vain siitä, että
valitaan mikä tahansa matemaattinen teoria, jonka aksioomat vastaavat
tutkittavassa tosimaailman tilanteessa vallitsevia lainalaisuuksia jollakin
tarkkuudella. Kun niin tehdään, niin teorian sisällä päätellyt
johtopäätöksetkin vastaavat tosimaailman tapahtumia jollakin tarkkudella.
Sattuu vain olemaan niin, että kaikista mahdollisista matemaattisista
teorioista reaalilukujen teoria, diff.int.laskenta jne. vastaavat suurta
joukkoa fysiikan tutkimia lainalaisuuksia. Niinpä ihmiskunta on havainnut
sen hyödylliseksi ja keskittänyt matemaattisen tarmonsa pääosan siihen.
Siihen on keskitytty niin voimakkaasti ja se toimii niin hyvin, että
ihmiskunnalta kesti kauan oivaltaa, että se ei ole absoluuttinen totuus
vaan ainoastaan formaali peli, joka vain sattuu toimimaan hyvin käytännön
sovelluksissa.
Tämä lienee matemaatikkojen pääosan näkökanta tänään. On kuitenkin kaksi
seikkaa, joiden vuoksi osa matemaatikoista uskoo, että matematiikan ja
todellisuuden välillä on sittenkin voimakkaampi suhde kuin "teoria vain
sattuu tuottamaan käyttökelpoisia ennusteita".
Ensimmäinen syy on se, että matematiikka toimii joissakin tilanteissa
aivan fantastisen hyvin, paljon paremmin kuin keinotekoiselta formaalilta
peliltä voisi kohtuudella odottaa. Jos matematiikka toimisi hyvin vain
tietokoneiden tutkimuksessa ei ehkä olisi syytä ihmetellä. Mutta matematiikka
toimii pahuksen hyvin nimenomaan aineen perusrakennetta tutkittaessa!
Toinen syy on se, että formaalit pelit eivät todellakaan voi olla minkälaisia
tahansa. Tämä tosiasia on kytköksissä muun muassa äärettömän olemukseen,
sekä siihen, mitä tietokoneilla voi periaatteessa laskea. Tämä on saanut
jotkut uumoilemaan, että on olemassa jonkinlaisia aineettomia lainalaisuuksia
jotka vaikuttavat sekä matematiikassa että tosimaailmassa. Formaalit pelithän
kytkeytyvät tosimaailmaan siten, että tietokone voi realisoida niitä.
--- Antti Valmari ---
Henri Hansen
:> Nykymatematiikan "ääretön" on siis
:> pelkkä teoreettinen apuväline *äärellisten* sovellutusten tekemiseen.
: Ei ole.
Hmm... Riippunee siitä, mitä sovellutuksella tarkoitetaan. Jos sillä
tarkoitetaan "sitä mitä insinöörit tekee", niin "äärettömiä"
sovellutuksia tuskin on olemassa. Vai millainen mielestäsi olisi ääretön
sovellutus?
: Nykyinen käsitys matematiikasta (tai pikemminkin nykyisistä käsityksistä
: laajimmin hyväksytty) on tämä. Kukaan ei voi kuitenkaan taata, että se
: olisi vallalla vielä vuonna 2100. Se ei ollut kai edes kunnolla
: oivallettu vielä 1880, ja siihen asetettuja odotuksia jouduttiin
: rukkaamaan 1930-luvulla.
On vaikea kuvitella, millaista olisi "post-formalistinen" matematiikka.
Erilaisia meta-näkemyksiä matematiikasta voidaan esittää, mutta jonkin
muun kuin formalistisen metodin ottaminen matematiikkaan vaatisi
jonkinlaisen kuhnilaisen paradigman vaihdoksen.
: 500 viime vuoden aikana on useasti käynyt niin, että uudet todistukset ovat
: kumonneet tai "uudelleenselittäneet" vanhat.
Jos uusi metodi ei voi selittää niitä vanhoja tuloksia, joita se ei
kumoa, se ei pysty saavuttamaan valta-asemaa. En usko, että matematiikka
on tässä poikkeus, vaan ennemminkin se on tässä suhteessa enemmän
säännönmukainen kuin muut tieteet.
: Ensimmäinen syy on se, että matematiikka toimii joissakin tilanteissa
: aivan fantastisen hyvin, paljon paremmin kuin keinotekoiselta formaalilta
: peliltä voisi kohtuudella odottaa. Jos matematiikka toimisi hyvin vain
: tietokoneiden tutkimuksessa ei ehkä olisi syytä ihmetellä. Mutta
: matematiikka toimii pahuksen hyvin nimenomaan aineen perusrakennetta
: tutkittaessa!
Minusta tässä ei varsinaisesti ole mitään ihmeellistä. Matematiikka on
kuitenkin hioutunut vuosituhansien (miljoonien?) saatossa. Koska ihminen
on erikoistunut juuri aivojensa käyttämiseen, niiden täytyy olla todella
tehokkaat. Jos ihmistä vertaa esimerkiksi krokotiiliin, niin ihminen on
monin verroin huonompi fyysisesti. Ihminen ei ole hyvä saalistamaan ja
ihmisen poikanen on avuton ja haavoittuva monta elämänsä ensimmäistä
vuotta. Ihminen ei kykene pakenemaan pedoilta, koska on niin hidas
juoksemaan. Ihminen ei pysty kiipeämään kovin hyvin. Ihmisellä on
äärimmäisen huono suojaväri. Kaikesta huolimatta ihminen on lisääntynyt
tehokkasti ja onnistunut hävittämään melkein kaikki kilpailijansa ja
saalistajansa elinpiiristään. Tämä johtuu siitä, että ihmisellä on
tehokkaat aivot.
Tässä valossa olisi äärimmäisen yllättävää, jos ihmisen luontaisimpaan
päättelykykyyn perustuva menetelmä _ei_ olisi tehokas tapahtumien
ennustamisessa.
--
han...@cc.tut.fi --- http://get.to/FuFu
"But it doesn't do anything!"
"Wrong. It does Nothing!"
Esa Toivonen
> Esa Toivonen kirjoitti:
Juuri tästä olen puhunut, ja puhuin ylläkin, hieman toisin sanoin. Kun
sanot, että soveltaminen on tuottanut hyviä tuloksia, silloinhan on kyse
juuri siitä, kun minä puhuin varmentamisesta erikseen jokaisessa
käytännön tapauksessa. Jos nimittäin varmentavaa vertailua
havaintomaailmaan ensinkään tarvitaan, niin sitten - jotta se olisi
tieteenfilosofisesti kestävää - vertailua täytyy ainakin *sanoa*
vaadittavan erikseen jokaisessa jollakin tavalla uudessa tapauksessa,
jossa olisi mahdollista, ettei vanha vertailutulos enää pädekään tai ei
ole enää yleistettävissä siihen. Muutenhan tehtäisiin perusteettomia
yleistyksiä ja seurauksena saattaisi olla virheellisiä käytännön
sovellutuksia. En epäile, etteikö tietyllä ihmisten havaintomaailmalle
läheisellä alueella olisi riittävästi todisteita siitä, että
vastaavuuttaa löytyy riittävästi - joskin sekin varmuus on saatu
"loputtomien" havaintojen kautta - mutta tämä ei poista sitä
mahdollisuutta ja kenties jopa luultavuutta, että esim. matematiikan
sopimusten mukainen ja siten teoreettinen "äärettömyys" ei lainkaan
vastaisi mahdollisen äärettömän universumin käytännössä esiintyvää
äärettömyyttä. Niinpä olisi esim. kyseenalaista vastaako väittämä
0,999... = 1 missään käytännöllisessä mielessä muita kuin teoreettisesti
olemassaolevia olosuhteita (huono ilmaus, mutta ymmärrät varmaan mitä
ajan takaa).
> Tämä lienee matemaatikkojen pääosan näkökanta tänään. On kuitenkin kaksi
> seikkaa, joiden vuoksi osa matemaatikoista uskoo, että matematiikan ja
> todellisuuden välillä on sittenkin voimakkaampi suhde kuin "teoria vain
> sattuu tuottamaan käyttökelpoisia ennusteita".
>
> Ensimmäinen syy on se, että matematiikka toimii joissakin tilanteissa
> aivan fantastisen hyvin, paljon paremmin kuin keinotekoiselta formaalilta
> peliltä voisi kohtuudella odottaa. Jos matematiikka toimisi hyvin vain
> tietokoneiden tutkimuksessa ei ehkä olisi syytä ihmetellä. Mutta matematiikka
> toimii pahuksen hyvin nimenomaan aineen perusrakennetta tutkittaessa!
>
> Toinen syy on se, että formaalit pelit eivät todellakaan voi olla minkälaisia
> tahansa. Tämä tosiasia on kytköksissä muun muassa äärettömän olemukseen,
> sekä siihen, mitä tietokoneilla voi periaatteessa laskea. Tämä on saanut
> jotkut uumoilemaan, että on olemassa jonkinlaisia aineettomia lainalaisuuksia
> jotka vaikuttavat sekä matematiikassa että tosimaailmassa. Formaalit pelithän
> kytkeytyvät tosimaailmaan siten, että tietokone voi realisoida niitä.
Newtonilainen maailmankuvakin toimii hyvin tietyllä tarkkuudella - niin
kauan kuin suoria havaintoja pystytään tekemään - muttei esim. silloin,
jos on riittävän isoja suureita kaavoihin sijoitettavaksi (tms.). Jos
olisi ääretön maailmankaikkeus, mitä tekemistä nykymatematiikan
*sovitun* ääretön-käsitteen sisällöllä voisi olla *käytännössä* sen
kanssa? Sitä ei voi MITENKÄÄN tietää.
--
Esa
Valmari Antti
Henri Hansen kirjoitti:
> On vaikea kuvitella, millaista olisi "post-formalistinen" matematiikka.
Totta kai se on vaikea kuvitella. 1800-luvun alkupuolella oli varmasti
vaikea kuvitella, millaista formalistinen matematiikka tulee olemaan.
> jonkin
> muun kuin formalistisen metodin ottaminen matematiikkaan vaatisi
> jonkinlaisen kuhnilaisen paradigman vaihdoksen.
Niitä on ollut matematiikassa ennenkin.
> Minusta tässä ei varsinaisesti ole mitään ihmeellistä. Matematiikka on
> kuitenkin hioutunut vuosituhansien (miljoonien?) saatossa. Koska ihminen
> on erikoistunut juuri aivojensa käyttämiseen, niiden täytyy olla todella
> tehokkaat.
Ihmiselle ei kuitenkaan ole kehittynyt levitointi- tai telepatiataitoa,
vaikka niistäkin olisi varmaan kovasti hyötyä olemassaolon julmassa
taistelussa. Pidän todennäköisenä ja ehkä sinäkin pidät, että ei ole
kehittynyt, koska luonnonlait eivät salli levitointia tai telepatiaa.
Minusta on huomionarvoista, suorastaan ihmeellistä, että luonnonlait
sallivat hyvin tehokkaan matematiikan. En tiedä mitään syytä miksi
niiden pitäisi sallia.
Esa Toivonen kirjoitti:
! tämä ei poista sitä
! mahdollisuutta ja kenties jopa luultavuutta, että esim. matematiikan
! sopimusten mukainen ja siten teoreettinen "äärettömyys" ei lainkaan
! vastaisi mahdollisen äärettömän universumin käytännössä esiintyvää
! äärettömyyttä.
Ensinnäkin, toistan, että matematiikan äärettömyyskäsite on monipuolisempi
ja joustavampi kuin näytät tietävän.
Toiseksi, on epäselvää, onko tosimaailmassa mitään ääretöntä.
Kolmanneksi, koko kysymyksesi näyttää perustuvan sellaiseen sekoiluun
sanoissa, että sitä on hankala havainnollistaa, mutta yritän. Jos olisit
kirjoittanut
tämä ei poista sitä
mahdollisuutta ja kenties jopa luultavuutta, että esim. matematiikan
sopimusten mukainen ja siten teoreettinen "äärettömyys" ei lainkaan
vastaisi mahdollisen purulöpsisen universumin käytännössä esiintyvää
purulöpsisyyttä.
niin virkkeessä ei olisi mitään kummallista --- jos universumi ei ole
ääretön vaan purulöpsinen, niin siihen ei tietenkään pidä soveltaa
teoreettista äärettömyyttä vaan teoreettista purulöpsisyyttä, mitä
ihmettä se sitten onkin.
Tällä esimerkillä yritin havainnollistaa sitä, että kun puhut mahdollisesti
äärettömästä universumista, ajattelet melko varmasti kuitenkin jotakin
matemaattisen äärettömyyden kaltaista. Näen neljä mahdollisuutta.
1. Ajattelet jotain sellaista äärettömyyden muotoa, jota matemaatikot
ovat tutkineet, mutta johon et itse ole matematiikassa törmännyt.
Esimerkkisi äärettömän 9-jonon sullomisesta ensimmäisen ja viimeisen
ysin väliin viittaavat tähän suuntaan.
2. Mielessäsi on jokin sellainen äärettömyyden muoto, joka on matemaattisesti
mahdollinen, mutta jota matemaatikot eivät vielä ole tutkineet.
Pidän tätä vaihtoehtoa melkoisen epätodennäköisenä.
3. Mielessäsi on äärettömyyden muoto, joka on sisäisesti ristiriitainen,
mutta et vielä ole huomannut ristiriitaa.
4. Ajatuksesi on niin alustava ja intuitiivinen, että se ei tarkoita
täsmällisesti ottaen mitään. Sen tarkemmaksi analysoimiseksi sitä pitäisi
täsmentää, mutta kukaan ei vielä tiedä miten sen saisi täsmälliseksi
mielekkäällä tavalla. Aiempien keskustelujen vuoksi pidän tätä
mahdollisuutta sangen uskottavana.
--- Antti Valmari ---
Esa Toivonen
> Esa Toivonen kirjoitti:
> ! tämä ei poista sitä
> ! mahdollisuutta ja kenties jopa luultavuutta, että esim. matematiikan
> ! sopimusten mukainen ja siten teoreettinen "äärettömyys" ei lainkaan
> ! vastaisi mahdollisen äärettömän universumin käytännössä esiintyvää
> ! äärettömyyttä.
> Ensinnäkin, toistan, että matematiikan äärettömyyskäsite on monipuolisempi
> ja joustavampi kuin näytät tietävän.
Kyse oli lähtökohtaisesti siitä, että matematiikassa ääretön jono
näköjään voi rajautua yhdestä päästä muttei toisesta. "Ääretön" siis
näyttäisi olevan eri tavalla rajattu käsite kuin mitä se väkisinkin
olisi esim. yleiskielen "äärettömässä maailmankaikkeudessa".
> Toiseksi, on epäselvää, onko tosimaailmassa mitään ääretöntä.
Laskelmiahan voidaan aina tehdä jo esimerkiksi sen takia, jos ei olla
ihan varmoja onko universumi äärellinen vai ääretön. Olisi ikävää, jos
äärettömyyslaskelmat menisivät täysin metsään juuri äärettömyyttä
lähestyttäessä sen takia, että käytetty äärettömyys-määritelmä olisi
liian puhtaasti teoreettinen ja havaintomaailmaan kytkeytymätön.
Toisaalta, voit olla oikeassa: Ehkä tämä on täysin turhaa keskustelua,
jos mitään oikeaa äärettömyyttä ei missään edes VOI olla olemassa. Mutta
sitten oikeastaan myöskään väittämällä 0,999... = 1 ei ole käytännössä
merkitystä muuta kuin ehkä joidenkin laskutoimitusten apuvälineenä,
jonka omasta tarkasta todellisuusvastaavuudesta ei voida sanoa yhtään
mitään. Siis voitaisiin sanoa, että 0,999... = 1 pätee matematiikan
systeemissä, mutta maailmassa ei ole mitään mitä kyseinen väittämä
pystyisi kuvaamaan.
> Kolmanneksi, koko kysymyksesi näyttää perustuvan sellaiseen sekoiluun
> sanoissa, että sitä on hankala havainnollistaa, mutta yritän. Jos olisit
> kirjoittanut
>
> tämä ei poista sitä
> mahdollisuutta ja kenties jopa luultavuutta, että esim. matematiikan
> sopimusten mukainen ja siten teoreettinen "äärettömyys" ei lainkaan
> vastaisi mahdollisen purulöpsisen universumin käytännössä esiintyvää
> purulöpsisyyttä.
>
> niin virkkeessä ei olisi mitään kummallista --- jos universumi ei ole
> ääretön vaan purulöpsinen, niin siihen ei tietenkään pidä soveltaa
> teoreettista äärettömyyttä vaan teoreettista purulöpsisyyttä, mitä
> ihmettä se sitten onkin.
>
> Tällä esimerkillä yritin havainnollistaa sitä, että kun puhut mahdollisesti
> äärettömästä universumista, ajattelet melko varmasti kuitenkin jotakin
> matemaattisen äärettömyyden kaltaista.
Ei se minun mielestäni ole mitään sanoissa sekoilua, etten ole
määritellyt "äärettömyyttä", vaikka käytän sanaa (luottaen sen
yleiskielisen pyöreän loputon-merkityksen ilmentävyyteen). Pikemminkin
moinen väite sinulta on sanoissa sekoilua. Lyhyemminkin olisit
määrittelyä voinut pyytää. :)
> Näen neljä mahdollisuutta.
>
> 1. Ajattelet jotain sellaista äärettömyyden muotoa, jota matemaatikot
> ovat tutkineet, mutta johon et itse ole matematiikassa törmännyt.
> Esimerkkisi äärettömän 9-jonon sullomisesta ensimmäisen ja viimeisen
> ysin väliin viittaavat tähän suuntaan.
Kukaan ei tuntunut hyväksyvän tällaista ajatusta täällä. Mutta esitin
esimerkin oletetusta äärettömästä universumista, jossa tilasilmukka
voisi alkaa ja loppua tunnetussa pisteessä x ja olla alkunsa ja loppunsa
välillä äärettömän pitkä. Ääretön maailmahan olisi itseasiassa täynnä
tällaisia silmukoita.
> 2. Mielessäsi on jokin sellainen äärettömyyden muoto, joka on matemaattisesti
> mahdollinen, mutta jota matemaatikot eivät vielä ole tutkineet.
> Pidän tätä vaihtoehtoa melkoisen epätodennäköisenä.
>
> 3. Mielessäsi on äärettömyyden muoto, joka on sisäisesti ristiriitainen,
> mutta et vielä ole huomannut ristiriitaa.
Onhan tämä aina mahdollista. Vaikea vain pohdiskella tätä alustavaa ja
intuitiivista vaihtoehtoa ilman mitään esimerkkiä, joka sopisi
esittämiini ajatuksiin. Mutta esimerkiksi se, että itse olisin käyttänyt
jossain kohdassa huolettomasti sanoja ja merkintöjä (esim. puhuessani
9,1:n lisäämisestä desimaalijonon perään), ei vielä välttämättä tarkoita
sitä ajatukseni sinänsä olisi ristiriitainen, vaan kyse voisi olla
pelkästä ilmaisemisen ongelmasta.
> 4. Ajatuksesi on niin alustava ja intuitiivinen, että se ei tarkoita
> täsmällisesti ottaen mitään. Sen tarkemmaksi analysoimiseksi sitä pitäisi
> täsmentää, mutta kukaan ei vielä tiedä miten sen saisi täsmälliseksi
> mielekkäällä tavalla. Aiempien keskustelujen vuoksi pidän tätä
> mahdollisuutta sangen uskottavana.
Minulle riittää se, että äärettömään universumiin mahtuisi loputon määrä
jotain käytännössä laskettavissa olevaa, esim. tiiliskiviä, atomeja tai
tilaa - eli että rajoja ei tulisi vastaan eikä esim. riittävän pitkä
matka johonkin suuntaan päätyisi kaareutuvan universumin tms. takia
takaisin alkupaikkaansa. En tiedä onko tässä kokoelmassa kuulemiani ja
lukemiani mahdollisuuksia mitään erityistä järkeä, kenties pitäisi vain
puhua *loputtomuudesta* missä hyvänsä suhteessa, ja jättää muut
tarkennukset pois sillä verukkeella, ettei sanojen merkityksiä
kuitenkaan pysty tarkasti haarukoimaan, ellei ole pohjaksi *osoittaa*
jotain konkreettista.
Mutta kuten sanottua, JOTTA matematiikan "äärettömyydellä" olisi jokin
todellisuusvastaavuus, matemaatikkojen itsensähän pitäisi ajatella
jonkinlainen käytännön ääretön mahdolliseksi, joten oikeastaan tämä on
sinun ja muiden vastaanväittäjieni probleemi keksiä todellisuudessa
mahdollinen äärettömyyden ilmentymä, jonka kuvaajaksi matematiikan
"ääretön" kelpaisi. Jos se on esim. sellainen maailma, johon mahtuu
äärettömän suuria silmukoita, päädytään ilmeisesti ongelmiin, koska ne
voivat olla äärettömiä pelkästään keskeltäkin.
--
Esa
Kimmo Palin
> Kyse oli lähtökohtaisesti siitä, että matematiikassa ääretön jono
> näköjään voi rajautua yhdestä päästä muttei toisesta. "Ääretön" siis
> näyttäisi olevan eri tavalla rajattu käsite kuin mitä se väkisinkin
> olisi esim. yleiskielen "äärettömässä maailmankaikkeudessa".
Mahdatko sekoittaa "äärettömän" ja "rajoitetun". Esimerkiksi joukko
A = { x on rationaalinen ja 0<=x<=1 }
on rajoitettu mutta siinä on äärettömästi alkioita. Toisaalta A on
numeroituva, joten sen alkiot voidaan järjestää jonoon (a_n) n=1,2,3,...
mutta tässä jonossa ei ole viimeistä alkiota. (Järjestys ei voi olla
suuruusjärjestys sillä a_n < (a_n+a_{n+1})/2 < a_{n+1} eli A on "tiheä".
Merkintä a_{n+1} tarkoittaa alkiota indeksillä n+1. )
> Valmari Antti <ava@.c.s...t.u.t...f.i.invalid> wrote:
>> Toiseksi, on epäselvää, onko tosimaailmassa mitään ääretöntä.
Yleisemmin: "On epäselvää, onko tosimaailmassa mitään." (jatkot johonkin
metafysiikka ryhmään; jos sellainen on olemassa ;)
> Laskelmiahan voidaan aina tehdä jo esimerkiksi sen takia, jos ei olla
> ihan varmoja onko universumi äärellinen vai ääretön. Olisi ikävää, jos
> äärettömyyslaskelmat menisivät täysin metsään juuri äärettömyyttä
> lähestyttäessä sen takia, että käytetty äärettömyys-määritelmä olisi
> liian puhtaasti teoreettinen ja havaintomaailmaan kytkeytymätön.
Laskelmat tuskin menisivät metsään oli matemaattinen äärettömyys fyysisesti
todellista tai ei. Se on fyysikoiden ongelma korjata käsitteitään ja ruveta
laskemaan eri aksioomajärjestelmässä, jos laskut eivät vastaa havaintoja.
> Toisaalta, voit olla oikeassa: Ehkä tämä on täysin turhaa keskustelua,
> jos mitään oikeaa äärettömyyttä ei missään edes VOI olla olemassa. Mutta
> sitten oikeastaan myöskään väittämällä 0,999... = 1 ei ole käytännössä
> merkitystä muuta kuin ehkä joidenkin laskutoimitusten apuvälineenä,
Sillä on merkitystä loogisena seurauksena sovituista aksioomista. Ainakin
minulle tuo on itseisarvo.
> Ei se minun mielestäni ole mitään sanoissa sekoilua, etten ole
> määritellyt "äärettömyyttä", vaikka käytän sanaa (luottaen sen
> yleiskielisen pyöreän loputon-merkityksen ilmentävyyteen). Pikemminkin
> moinen väite sinulta on sanoissa sekoilua. Lyhyemminkin olisit
> määrittelyä voinut pyytää. :)
Nyt sanoit itsekkin ettei äärettömällä jonolla ole loppua. Eikä loputtomuus
vielä tarkoita äärettömyyttä: esimerkiksi ympyrällä ei ole alkua eikä loppua
mutta silti sen (kehän) pituus on äärellinen.
> 9,1:n lisäämisestä desimaalijonon perään), ei vielä välttämättä tarkoita
> sitä ajatukseni sinänsä olisi ristiriitainen, vaan kyse voisi olla
> pelkästä ilmaisemisen ongelmasta.
Wo von man nicht sprechen kan, daruber muss man schweigen! (Tai sitten
opettelee puhumaan.)
> Minulle riittää se, että äärettömään universumiin mahtuisi loputon määrä
> jotain käytännössä laskettavissa olevaa, esim. tiiliskiviä, atomeja tai
Eli: Maailmassa on enemmän kuin N tiiliskiveä, millä tahansa luonnollisella
luvulla N.??? Tämä ainakin on ihan tuttu ja turvallinen matemaattinen
äärettömyys.
> lukemiani mahdollisuuksia mitään erityistä järkeä, kenties pitäisi vain
> puhua *loputtomuudesta* missä hyvänsä suhteessa, ja jättää muut
> tarkennukset pois sillä verukkeella, ettei sanojen merkityksiä
> kuitenkaan pysty tarkasti haarukoimaan, ellei ole pohjaksi *osoittaa*
> jotain konkreettista.
Jos nyt kuitenkin puhuttaisiin pelkästä matematiikasta, johon havainnot
eivät kuulu, niin voit joko jättää äärettömyyden määrittelemättä ja antaa
sen perusominaisuudet aksioomina tai määritellä äärettömyyden joillain
yksinkertaisemmilla termeillä. Määrittelemättömyys olisi tietenkin kiva (jos
sen saa tehtyä ristiriidattomasti) mutta se aiheuttaisi tarpeen todistaa
kaikki tunnetut teoreemat tuossa uudessa systeemissä. (Esimerkiksi: Kaikilla
luonnollisilla luvuilla n on seuraaja n+1 ja n < n+1. Miten ääretön
suhtautuisi tähän?)
> "ääretön" kelpaisi. Jos se on esim. sellainen maailma, johon mahtuu
> äärettömän suuria silmukoita, päädytään ilmeisesti ongelmiin, koska ne
> voivat olla äärettömiä pelkästään keskeltäkin.
Mitä tarkoitat "silmukalla"? Yksikköympyrän jatkuva kuva jossain
avaruudessa? Ei vieläkään tuota keskeltä ääretöntä käyrää.
--
Kimmo Palin
tel. +1-803-5443693 USC P.O. Box 86232
University of South Carolina Columbia, SC 29225-0112
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> wrote:
>
> > Kyse oli lähtökohtaisesti siitä, että matematiikassa ääretön jono
> > näköjään voi rajautua yhdestä päästä muttei toisesta. "Ääretön" siis
> > näyttäisi olevan eri tavalla rajattu käsite kuin mitä se väkisinkin
> > olisi esim. yleiskielen "äärettömässä maailmankaikkeudessa".
>
> Mahdatko sekoittaa "äärettömän" ja "rajoitetun". Esimerkiksi joukko
> A = { x on rationaalinen ja 0<=x<=1 }
> on rajoitettu mutta siinä on äärettömästi alkioita.
Saatan sekoittaakin, jos asiaa tarkastellaan *pelkästään* matematiikan
käsitekehyksestä käsin. Mutta niinhän ei oikeastaan voida tehdä, koska
tarkastelussamme on kyse vertailevasta meta-analyysista matematiikan
käsitteiden ja havaintomaailman suhteesta. En tiedä voiko tällaiselle
meta-analyysille olla muuta kieltä kuin yleisesti käytössä oleva
yleiskieli (jota pitää sopivasti laajentaa yrittämällä sulauttaa yhteen
"molemmilta puolilta" sellaisia käsitteitä, joille löytyy yhteinen
merkitys molemmissa, niin että vertailu ylipäänsä käy mahdolliseksi),
mikä tietysti saattaa kuulostaa vitsiltä tarkkuutta vaadittaessa. Mutta
kaikki muut tekaistut kielet pohjaisivat "vielä enemmän" mihinkään
konkreettiseen perustumattomuudelle ja olisivat vielä enemmän ilmassa
kysymyksemme kokonaisuuteen nähden.
Toisaalta, jos kiellät tällaisen yleiskielen pätevyyden tässä
vertailussa sellaisin perustein, joilla mikä hyvänsä kieli olisi tässä
kelvoton, niin sitten ainakin pätee se mitä olen yrittänyt esittää, että
puhtaan matematiikan väittämillä ei sinänsä ole mitään todistettavissa
olevaa suoraa kytkentää havaintotodellisuuteen, muuta kuin siinä määrin
kuin on jokaisen väittämän osalta yksitellen kokeillen varmistettu.
Tällöin esim. 0,999... = 1 jäisi todellisuusvastaavuudeltaan
arvoitukseksi, koska äärettömiä jonoja ei todellisuudesta ilmeisestikään
löydy vertailukohteeksi ja vaikka löytyisikin, inhimillisesti
käsitettävä vertailu olisi ongelmallinen juttu.
Kun sanotaan, että luvussa 0,999... on äärettömästi ysejä jonossa, niin
on siis ensinnäkin saman tekevää onko tuossa jonossa kyseessä
matemaattisen käsitteistön mukaan kuitenkin "rajoitettu joukko".
Toiseksi, kuten itsekin viittasit, siinä on kuitenkin äärettömästi
alkioita ja tämä on olennaista todellisuusvastaavuuden etsimisen
kannalta. Tätä "äärettömyyttä" ja havaintotodellisuuteen oletettua
äärettömyyttä nyt pitäisi verrata keskenään. Kuten sanottua, jos tämä on
toivoton tehtävä, sekin sopii minulle, koska silloin epäilykseni, että
väittämälle 0,999... = 1 ei löydy mitään todellisuusvastetta, tuntuisi
pätevän.
> > Laskelmiahan voidaan aina tehdä jo esimerkiksi sen takia, jos ei olla
> > ihan varmoja onko universumi äärellinen vai ääretön. Olisi ikävää, jos
> > äärettömyyslaskelmat menisivät täysin metsään juuri äärettömyyttä
> > lähestyttäessä sen takia, että käytetty äärettömyys-määritelmä olisi
> > liian puhtaasti teoreettinen ja havaintomaailmaan kytkeytymätön.
>
> Laskelmat tuskin menisivät metsään oli matemaattinen äärettömyys fyysisesti
> todellista tai ei. Se on fyysikoiden ongelma korjata käsitteitään ja ruveta
> laskemaan eri aksioomajärjestelmässä, jos laskut eivät vastaa havaintoja.
Minulle on aivan sama millä taholla korjailuja pitäisi tehdä. Olennaista
on, että mitään itsestään selvää vastaavuutta ei löydy. 0,999... = 1
pätee todistettavasti vain matematiikan oman systeemin teoreettisella
kentällä.
> > Toisaalta, voit olla oikeassa: Ehkä tämä on täysin turhaa keskustelua,
> > jos mitään oikeaa äärettömyyttä ei missään edes VOI olla olemassa. Mutta
> > sitten oikeastaan myöskään väittämällä 0,999... = 1 ei ole käytännössä
> > merkitystä muuta kuin ehkä joidenkin laskutoimitusten apuvälineenä,
>
> Sillä on merkitystä loogisena seurauksena sovituista aksioomista. Ainakin
> minulle tuo on itseisarvo.
Sopimuksenvaraisia järjestelmiähän voitaisiin keksiä loputtomasti. Miksi
jollakin erityisellä systeemillä olisi jotain erityistä merkitystä?
Ilmeisesti sen takia, että sen laskelmien on *havaittu* osuvan yksiin
sen todellisuuden kanssa, jossa me elämme. Mutta, entä jos tulee kyse
sellaisista ko. systeemin osista, joiden todellisuusvastaavuutta ei
voidakaan havaita tai muuten todentaa? Eikö olisi sokeaa luottaa siihen,
että systeemi yhä niiltäkin osin pätee myös suhteessa fyysiseen
todellisuuteen?
> > Ei se minun mielestäni ole mitään sanoissa sekoilua, etten ole
> > määritellyt "äärettömyyttä", vaikka käytän sanaa (luottaen sen
> > yleiskielisen pyöreän loputon-merkityksen ilmentävyyteen). Pikemminkin
> > moinen väite sinulta on sanoissa sekoilua. Lyhyemminkin olisit
> > määrittelyä voinut pyytää. :)
>
> Nyt sanoit itsekkin ettei äärettömällä jonolla ole loppua. Eikä loputtomuus
> vielä tarkoita äärettömyyttä: esimerkiksi ympyrällä ei ole alkua eikä loppua
> mutta silti sen (kehän) pituus on äärellinen.
>
> > 9,1:n lisäämisestä desimaalijonon perään), ei vielä välttämättä tarkoita
> > sitä ajatukseni sinänsä olisi ristiriitainen, vaan kyse voisi olla
> > pelkästä ilmaisemisen ongelmasta.
>
> Wo von man nicht sprechen kan, daruber muss man schweigen! (Tai sitten
> opettelee puhumaan.)
Tiedätkö kaiken kaikesta täydellisesti, vai miten rohkenet puhua yhtään
mitään? Joka tapauksessa, tuo ajatus saattaa olla sinun ja joidenkin
muiden hyväksymä (jopa tuollakin tavalla käsitettynä :), mutta miksi
minun pitäisi se hyväksyä? Ei minulla ole mitään sitä vastaan, että
joudun jatkuvasti hakemaan ajatuksilleni tarkennettuja ilmauksia sitä
mukaan kuin joku osoittaa aiemmissa piileviä ongelmia.
Älkäämme siis ottako "loputonta" kirjaimellisesti.
Ehkä tässä voidaan nyt ihan yleiskielisestikin käsittää se, mihin
viittasit alussa, että jollakin tavalla "rajattu" joukko voi sisältää
äärettömästi (loputtomasti) alkioita.
> > "ääretön" kelpaisi. Jos se on esim. sellainen maailma, johon mahtuu
> > äärettömän suuria silmukoita, päädytään ilmeisesti ongelmiin, koska ne
> > voivat olla äärettömiä pelkästään keskeltäkin.
> Mitä tarkoitat "silmukalla"? Yksikköympyrän jatkuva kuva jossain
> avaruudessa? Ei vieläkään tuota keskeltä ääretöntä käyrää.
Miksei ympyrä voi olla ääretön, jos se sijaitsee äärettömässä
maailmassa? Tosin en halua alkaa kinastelemaan onko se silloin enää
minkään määritelmän mukaan ympyrä. Mutta olenkin vain puhunut
tilasilmukasta, joka alkaa "näiltä main" ja päättyy "näille main" (jossa
"nämä maat" ovat inhimillisen havaintokyvyn puitteissa "samaa aluetta"
:), mutta kiemurtelee alku- ja lähtökohtansa välillä äärettömän pitkään
äärettömän universumin syövereissä. Eikö tällaisten tilasilmukoiden
olemassaolo seuraisi suoraan siitä, jos OLISI olemassa ääretön
universumi? Ihmisjärjelle käsitettävä konkreettinen alku- ja lähtökohta,
mutta käsittämätön ja ääretön keskikohta.
--
Esa
Ari T Koistinen
ei haittaa...)
Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> wrote:
: Kukaan ei tuntunut hyväksyvän tällaista ajatusta täällä. Mutta esitin
: esimerkin oletetusta äärettömästä universumista, jossa tilasilmukka
: voisi alkaa ja loppua tunnetussa pisteessä x ja olla alkunsa ja loppunsa
: välillä äärettömän pitkä. Ääretön maailmahan olisi itseasiassa täynnä
: tällaisia silmukoita.
Kyllähän matematiikka sisältää tämäntyyppisiä struktuureja pilvin
pimein. Jos nyt reaaliluvun kymmenjärjestelmäesitys (vaikkapa
puheena ollut 0,999...) ei sellaista sisällä, niin on aika
ajattelematonta väittää, ettei matematiikka voi kuvata mahdollisesti
luonnossa esiintyviä "määrätyn alun ja määrätyn lopun välissä olevia
äärettömyyksiä", jos ymmärsin oikein ongelman ytimen.
En ota kantaa siihen, esiintyykö näitä luonnossa, mutta tässä pari
yksinkertaista esimerkkiä matematiikasta:
- rajoitettu väli reaaliakselilla, esim. reaaliluvut 0<x<1, välissä on
(ylinumeroituvasti) ääretön määrä lukuja.
- (yhden muuttujan) reaalifunktion kuvaaja, joka on riittävän syheröinen
niin, että sen pituus on ääretön rajoitetulla välillä. Tämä voisi nyt
jollain tavalla liittyä mainittuun "äärettömän pitkän tilasilmukan"
käsitteeseen. Konkreettinen esimerkki tällaisesta funkiosta on
f:]0,1]->[-1,1]; f(x) = sin(1/x). Käyrän pituus on itse asiassa
ääretön millä hyvänsä välillä ]0,a], kun a on positiivinen
reaaliluku, mutta äärellinen millä hyvänsä välillä [a,b], 0<a<b !
Ari
Jari Mäkinen
>
> Toisaalta matematiikan soveltaminen tosimaailmaan on tuottanut aivan
> järkyttävän hyviä tuloksia. Ilman sitä tekniikka olisi aika alkeellista!
> Matematiikan soveltamisessa on periaatteessa kyse vain siitä, että
> valitaan mikä tahansa matemaattinen teoria, jonka aksioomat vastaavat
> tutkittavassa tosimaailman tilanteessa vallitsevia lainalaisuuksia jollakin
> tarkkuudella. Kun niin tehdään, niin teorian sisällä päätellyt
> johtopäätöksetkin vastaavat tosimaailman tapahtumia jollakin tarkkudella.
>
> teorioista reaalilukujen teoria, diff.int.laskenta jne. vastaavat suurta
> joukkoa fysiikan tutkimia lainalaisuuksia. Niinpä ihmiskunta on havainnut
> sen hyödylliseksi ja keskittänyt matemaattisen tarmonsa pääosan siihen.
> Siihen on keskitytty niin voimakkaasti ja se toimii niin hyvin, että
> ihmiskunnalta kesti kauan oivaltaa, että se ei ole absoluuttinen totuus
> vaan ainoastaan formaali peli, joka vain sattuu toimimaan hyvin käytännön
> sovelluksissa.
>
Johtunee siitä, että nämä matemaatikot eivät halua ottaa kantaa
luonnontieteeseen. Muodollisella pelillä voidaan lakaista tietyt
ongelmat maton alle.
> On kuitenkin kaksi
> seikkaa, joiden vuoksi osa matemaatikoista uskoo, että matematiikan ja
> todellisuuden välillä on sittenkin voimakkaampi suhde kuin "teoria vain
> sattuu tuottamaan käyttökelpoisia ennusteita".
>
> Ensimmäinen syy on se, että matematiikka toimii joissakin tilanteissa
> aivan fantastisen hyvin, paljon paremmin kuin keinotekoiselta formaalilta
> peliltä voisi kohtuudella odottaa. Jos matematiikka toimisi hyvin vain
> tietokoneiden tutkimuksessa ei ehkä olisi syytä ihmetellä. Mutta matematiikka
> toimii pahuksen hyvin nimenomaan aineen perusrakennetta tutkittaessa!
Kai tietokoneiden tutkimuskin on luonnontiedettä, taitaapi olla peräti
mekaniikkaa.
Mielestäni se, mitä tiedetään luonnontieteestä on pitkälti
matematiikkaa, ja se, mitä tiedetään matematiikasta on pitkälti
luonnontiedettä. Onhan luonnontieteellä ja matematiikalla (sekä
filosofialla) kunniakas yhteinen historia.
> Toinen syy on se, että formaalit pelit eivät todellakaan voi olla minkälaisia
> tahansa. Tämä tosiasia on kytköksissä muun muassa äärettömän olemukseen,
> sekä siihen, mitä tietokoneilla voi periaatteessa laskea. Tämä on saanut
> jotkut uumoilemaan, että on olemassa jonkinlaisia aineettomia lainalaisuuksia
> jotka vaikuttavat sekä matematiikassa että tosimaailmassa. Formaalit pelithän
> kytkeytyvät tosimaailmaan siten, että tietokone voi realisoida niitä.
Rajanveto luonnontieteen ja matematiikan välillä on varsin keinotekoista
mutta käytännöllisistä syistä tarpeellista. Vakaa käsitykseni on, että
matematiikka on enemmän kuin vain muodollista peliä.
Muodolliseen matematiikkaan läheisesti kuuluu myös käsite puhdas
matematiikka. Mielestäni puhdas matematiikka on vain puhdistettua
(soveltavaa) matematiikkaa. Löytyyköhän matematiikasta jossakin määrin
tärkeää osa-aluetta, jonka syntyhistoria olisi puhdas?
terv. Jari Mäkinen, http://mohr.me.tut.fi/jari/
JK. Yllä oleva ei muuten liity mitenkään otsikkoon "1=0.99999999?".
Henri Hansen
:> On vaikea kuvitella, millaista olisi "post-formalistinen" matematiikka.
: Totta kai se on vaikea kuvitella. 1800-luvun alkupuolella oli varmasti
: vaikea kuvitella, millaista formalistinen matematiikka tulee olemaan.
Tietysti. Uusi ajattelutapa matematiikassa on kuitenkin aina jollakin
tapaa nojannut vanhaan ainakin aluksi. Radikaali formalisti tietysti
katsoo olevansa nykyisin "vapaa" vanhemman matematiikan asettamista
rajoituksista, mikä on tietyllä tavalla tottakin. Samalla formalistinen
ajattelutapa ikäänkuin kahlitsee häntä (meitä?) ja estää näkemästä
formalismin "tuolle puolen".
Mikään trendi ei ole viime aikoina mielestäni osoitellut siihen
suuntaan, että formalistinen ajattelutapa olisi heikkenemässä. Jos
jotakin, matematiikan "lasihelmipelimäinen" luonne on vain vahvistunut.
:> jonkin
:> muun kuin formalistisen metodin ottaminen matematiikkaan vaatisi
:> jonkinlaisen kuhnilaisen paradigman vaihdoksen.
: Niitä on ollut matematiikassa ennenkin.
Niin on, enkä kiellä sellaisen mahdollisuutta. Mutta oli se vaihdos
millainen hyvänsä, niin sinä ja minä, ja kaikki muutkin nykymatemaatikan
institutionalisoituneet harjoittajat olisivat sitä vastustamassa hampaat
irvessä. Muutoinhan se ei olisi paradigman vaihdos!
: Ihmiselle ei kuitenkaan ole kehittynyt levitointi- tai telepatiataitoa,
: vaikka niistäkin olisi varmaan kovasti hyötyä olemassaolon julmassa
: taistelussa.
Erittäin totta. Toisaalta levitointi- tai telepatiataito vaatii muutakin
kuin sopimuksen siitä, että "nyt levitoidaan" tai "nyt telepatisoidaan".
(Paitsi tietysti radikaalien postmodernistien mielestä). Symbolien
pyörittely ei vaadi juuri muuta kuin sopimuksen siitä, mitä ne
merkitsevät.
: Pidän todennäköisenä ja ehkä sinäkin pidät, että ei ole
: kehittynyt, koska luonnonlait eivät salli levitointia tai telepatiaa.
Itseasiassa luonnonlait kyllä sallivat sekä levitoinnin että telepatian,
ja ihminen harrastaa molempia jo nyt (Helikopteri ja kännykkä). Ihmisen
matemaattiset kyvyt ovat mahdollistaneet tällaisten laitteiden
kehittämisen.
: Minusta on huomionarvoista, suorastaan ihmeellistä, että luonnonlait
: sallivat hyvin tehokkaan matematiikan. En tiedä mitään syytä miksi
: niiden pitäisi sallia.
Mielestäni ei yleensä ole mielekästä käyttää luonnonlakeja
selittäjänä tässä asiassa. Matematiikan osaaminen mahdollistaa
luonnonlakien formuloimisen ja se on ihmisen valttikortti. "Luonto" on
tietysti tasan sitä mitä se on, eikä välitä mitään ihmisen formuloimista
laeista, teorioista ja sen sellaisista. Onneksi luonto on ollut
suosiollinen ja pysynyt riittävän samankaltaisena riittävän pitkään,
jotta meidän on nyt mahdollisuus käyttää näitä luonnonlakejamme
levitoimiseen ja telepatiaan.
Kalle Kivimaa
> minkään määritelmän mukaan ympyrä. Mutta olenkin vain puhunut
> tilasilmukasta, joka alkaa "näiltä main" ja päättyy "näille main" (jossa
Miksi käyttää epämääräisiä termejä matematiikkakeskustelussa? Otetaanpa
silmukka karteesisessa XY-koordinaatistossa, joka alkaa origosta ja päättyy
origoon. Silmukka seuraa positiivista X-akselia sen loppuun, siirtyy sieltä
sitten koordinaattiin (ääretön, 1) ja palaa X-akselin suuntaisesti
koordinaattiin (0,1) lopettaen matkansa takaisin origoon. Kerro nyt sitten
miksi tätä käyrää ei voi nykymatematiikan käsittein käsitellä, niin eiköhän
joku vaivaudu osoittamaan käsityksesi vääräksi.
--
* True officiating ability is how you call games when only 7th grade *
* moms and dads are watching. *
Jani Nurminen
> 0,999... = 1
> pätee todistettavasti vain matematiikan oman systeemin teoreettisella
> kentällä.
Niinkö? Olisin erittäin kiinnostunut näkemään miten tuo todistetaan. Oletko valmis
esittämään tämän todistuksen itse tai kerrotko ainakin mistä sen voi löytää? Tähän
mennessä et ole mielestäni saanut todistettua vielä yhtään mitään, ainakaan tässä
keskustelussa...
--
Jani
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
>
> > 0,999... = 1
> > pätee todistettavasti vain matematiikan oman systeemin teoreettisella
> > kentällä.
>
> Niinkö? Olisin erittäin kiinnostunut näkemään miten tuo todistetaan.
> Oletko valmis esittämään tämän todistuksen itse tai kerrotko ainakin mistä
> sen voi löytää? Tähän mennessä et ole mielestäni saanut todistettua vielä
> yhtään mitään, ainakaan tässä keskustelussa...
No, jos nyt siis oikein kunnolla ruvetaan toisiamme väärinkäsittämään
niin: Muut postaajathan ovat esittäneet jo lukuisia todistuksia siitä,
että 0,999... = 1.
--
Esa
Jani Nurminen
> No, jos nyt siis oikein kunnolla ruvetaan toisiamme väärinkäsittämään
> niin: Muut postaajathan ovat esittäneet jo lukuisia todistuksia siitä,
> että 0,999... = 1.
Ok, olisin voinut tietysti lukea viestisi hieman tarkemmin :) Kuitenkin
mielestäni olet tuntunut olevan aika vakuuttunut siitä, että 0,999... = 1 ei
päde "todellisuudessa" vaan vain matematiikassa. Ja mielestäni et ole esittänyt
yhtään kunnon perustelua tälle väitteelle tai sille, että matematiikan käsite
"ääretön" olisi jotenkin kelvoton todellisissa tilanteissa. Lisäksi tunnut
jotenkin ajattelevan, että yleiskielessä ääretön tarkoittaa jotain muuta kuin
matematiikassa. Miksi tarkoittaisi? Oletko lukenut esimerkiksi Antti Valmarin
"purulöpsisyys"-esimerkin ajatuksella läpi?
Vielä hieman matematiikan merkityksestä... Oletko todella sitä mieltä, että
matematiikalla ei ole mitään merkitystä, jos "puhtaan matematiikan väittämillä
ei ole mitään todistettavissa olevaa suoraa kytkentää havaintotodellisuuteen"?
Ja että jonkin asian todistaminen oikeaksi vaatii "todellisuusvastaavuden
varmistamisen jokaisen väittämän osalta yksitellen kokeillen"? Tätä ajatustapaa
noudattaen ei olisi mahdollista todistaa oikeastaan juuri mitään ja matematiikan
abstrakti luonne muuttuisi täysin. Jopa yhteenlaskun oikeaksi todistaminen
tuottaisi vaikeuksia: laskemalla yhteen kaksi omenaa ja kolme omenaa saadaan
viisi omenaa, mutta mitä tehdään omenoiden loppuessa? Todetaan, että tästä
eteenpäin yhteenlaskun tuloksia ei voida varmuudella tietää, koska niille ei
voitu löytää "todellisuusvastaavuutta"?
--
Jani
Esa Toivonen
> mielestäni olet tuntunut olevan aika vakuuttunut siitä, että 0,999... = 1 ei
> päde "todellisuudessa" vaan vain matematiikassa.
Olen väittänyt näin vain johtopäätöksenä muunlaisten todisteiden
puutteesta - tosin tarkasti ottaen olen sanonut vain, ettei 0,999... = 1
-väittämän suhteesta todellisuuteen ilmeisesti pystytä sanomaan mitään
varmaa.
> Ja mielestäni et ole esittänyt yhtään kunnon perustelua tälle väitteelle
> tai sille, että matematiikan käsite "ääretön" olisi jotenkin kelvoton
> todellisissa tilanteissa.
Eikö se seuraisi suoraan siitä, jos fyysisestä maailmasta ei löydy
mitään todistettavasti ääretöntä, eli "ääretön" jäisi teoriaksi? :)
> Lisäksi tunnut jotenkin ajattelevan, että yleiskielessä ääretön tarkoittaa
> jotain muuta kuin matematiikassa. Miksi tarkoittaisi? Oletko lukenut
> esimerkiksi Antti Valmarin "purulöpsisyys"-esimerkin ajatuksella läpi?
Olen. Oletko sinä lukenut aiemmat postaukseni tähän aiheeseen viime
viikoilta? Olen mielestäni esittänyt omat syyni jopa moneen kertaan.
Olen esittänyt myös yhden esimerkin siitä miten matematiikan "ääretön"
ei välttämättä olisi kelvollinen tai "riittävä", jos osoittautuisi, että
esimerkiksi meidän asuttamamme universumi olisi ääretön: Äärettömässä
maailmassa oleva äärettömän pitkä "tilasilmukka", jolla kuitenkin on
konkreettinen alku ja loppu havaitsijan havaintoalueella, joten siinä
äärettömän "molempiin päihin" voitaisiin *käytännössä* laskea lisää
tilaputkea. Matematiikan äärettömään määräänhän ei voida lisätä loppuun
mitään, koska sellaista laskutoimitusta ei ole matematiikan systeemissä
määritelty mielekkääksi. Voi olla, että ajattelussani piilee jokin
heikkous, mutta ainakaan kukaan ei ole sellaista selkeästi pystynyt
osoittamaan.
Tämä keskustelun sivujuonnehan syntyi siitä, kun esitin, ettei voi
*käytännössä* pitää paikkaansa, että 0,999... = 1 ja käytin merkintää
0,999...9 viittaamaan siihen, että kenties äärettömän pitkän jonon
jälkeenkin voisi tulla vielä jotakin, eli ääretönkään jono ei
välttämättä ainakaan käytännössä muuttuisi äärettömyydessä siksi arvoksi
mitä se loputtomasti lähestyy - tai ainakin olisi epäselvää mitä väite
0,999... = 1 oikeastaan voisi fyysisessä käytännössä merkitä.
Joka tapauksessa, merkintääni 0,999...9 takerruttiin siltä kannalta,
ettei sillä ole mielekästä merkitystä *matematiikan* systeemissä.
Myöhemmin totesin kuitenkin, että kun tarkoituksena on tutkia
matematiikan ja reaalitodellisuuden suhdetta, sitä ei ilmeisestikään
voida tehdä puhtaan matematiikan kielellä, vaan sellaisella kielellä,
joka olisi ymmärrettävä molempien systeemien (matematiikka ja havainnot)
alueella. Tästä jälleen päädytään siihen, ettei tiettyjä matematiikan
väittämiä ja johdoksia voida välttämättä lainkaan soveltaa
havaintotodellisuuteen, koska havaintotodellisuuden alueella ei ole
esim. selvää *kokemusperäistä* merkitystä "äärettömälle". Ei siis ole
mitään vertailtavaa.
Voitaisiin kuitenkin luoda käsityksiä siitä, millaisia ominaisuuksia
*mahdollisesti* olisi äärettömällä universumilla ja yrittää vertailla
matematiikan systeemiä ja tätä oletettua ääretöntä maailmaa. Tästä
päädyn jälleen siihen, että ilmeisesti (minun nähdäkseni) äärettömässä
universumissa olisi loputtomat määrät sen kaltaisia tilasilmukoita,
joista aiemmin puhuin ja jotka tuntuisivat olevan eri tavalla
"laskutoimituksille" mahdollisia kuin matematiikassa määritelty
"ääretön".
> Vielä hieman matematiikan merkityksestä... Oletko todella sitä mieltä, että
> matematiikalla ei ole mitään merkitystä, jos "puhtaan matematiikan väittämillä
> ei ole mitään todistettavissa olevaa suoraa kytkentää havaintotodellisuuteen"?
Olen puhunut mahdollisesta välineellisestä arvosta. En ole matemaatikko,
joten en ehkä pysty huomaamaan kaikkia muita merkityksiä. Muiden
kirjoittajien tehtävähän se tässä säikeessä olisi ollutkin, minun
mielestäni.
> Ja että jonkin asian todistaminen oikeaksi vaatii "todellisuusvastaavuden
> varmistamisen jokaisen väittämän osalta yksitellen kokeillen"? Tätä
> ajatustapaa noudattaen ei olisi mahdollista todistaa oikeastaan juuri
> mitään ja matematiikan abstrakti luonne muuttuisi täysin. Jopa
> yhteenlaskun oikeaksi todistaminen tuottaisi vaikeuksia: laskemalla yhteen
> kaksi omenaa ja kolme omenaa saadaan viisi omenaa, mutta mitä tehdään
> omenoiden loppuessa? Todetaan, että tästä eteenpäin yhteenlaskun tuloksia
> ei voida varmuudella tietää, koska niille ei voitu löytää
> "todellisuusvastaavuutta"?
Ajattelin vain, että jos matematiikkaa ja sen sovellutuksia halutaan
tarkastella puhtaan tieteellisesti, niin todistaminen olisi kai
*periaatteessa* tehtävä aina uusiksi. Niinhän matematiikan sisälläkin
näytään tekevän, kuten tämäkin säie osoittaa. Yleistäminenhän ei takaa
mitään, mutta en tarkoita sitä, etteikö silti olisi käytännössä
*järkevää* olettaa matematiikan järjestelmän toimivan
havaintomaailmassamme - sen verran *paljon* sen toimivuudesta on
todisteita. Silti, tämä todisteiden paljouteen nojautuminen on
*inhimillistä järjenkäyttöä* eikä eksaktia matematiikan soveltamista.
Mitä äärimmäisempiin olosuhteisiin matematiikan kaltaista teoreettista
systeemiä yritettäisiin soveltaa, sitä mahdollisemmalta tuntuisi, että
sovellutukset eivät ehkä toimisikaan teorian viitoittamalla tavalla yhtä
hyvin kuin havaintomaailmamme alueella.
--
Esa
Antti Niemi
"Esa Toivonen" <esa.to...@sci.fi> wrote in message
> Toiseksi, kuten itsekin viittasit, siinä on kuitenkin äärettömästi
> alkioita ja tämä on olennaista todellisuusvastaavuuden etsimisen
> kannalta. Tätä "äärettömyyttä" ja havaintotodellisuuteen oletettua
> äärettömyyttä nyt pitäisi verrata keskenään. Kuten sanottua, jos tämä on
> toivoton tehtävä, sekin sopii minulle, koska silloin epäilykseni, että
> väittämälle 0,999... = 1 ei löydy mitään todellisuusvastetta, tuntuisi
> pätevän.
Ihme ja kumma, mutta löytyypä reaalimaailmastakin tätä asiaa sivuava
tapahtuma, joka askarutti jo antiikin kreikkalaisia ja joka heiltä jäi
ratkaisematta, nimittäin Zenonin paradoksi, jonka varmasti jokainen
vähänkään matematiikkaa tahkonnut on kuullut.
Akilleus ja kilpikonna ottavat juoksukilpailun tasaisella nopeudella, siten
että, Akilleus juoksee nopeudella 10 m/s ja kilpikonna nopeudella 1 m/s.
Kilpikonnalle annetaan 0.9 metrin etumatka. Kilpailu alkaa; Akilleus juoksee
0.9 metriä. Kilpikonna on tänä aikana juossut tuosta kymmenesosan eli 0.09
metriä. Matka jatkuu. Akilleus juoksee taas kohtaan jossa kilpikonna äsken
oli, eli matkan 0.09 metriä ja kilpikonna on edelleen tuona aikana edennyt
0.009 metriä. Näin jatketaan loputtomiin ja Akilleus ei koskaan saavuta
kilpikonnaa vaikka juokseekin kymmenen kertaa nopeammin, vai saavuttaako?
No saavuttaahan se. Akilleuksen kulkema matka on juuri
0.9+0.09+0.009+...=0.999...=1 m.
Antti
Esa Toivonen
> "Esa Toivonen" <esa.to...@sci.fi> wrote in message
> > Toiseksi, kuten itsekin viittasit, siinä on kuitenkin äärettömästi
> > alkioita ja tämä on olennaista todellisuusvastaavuuden etsimisen
> > kannalta. Tätä "äärettömyyttä" ja havaintotodellisuuteen oletettua
> > äärettömyyttä nyt pitäisi verrata keskenään. Kuten sanottua, jos tämä on
> > toivoton tehtävä, sekin sopii minulle, koska silloin epäilykseni, että
> > väittämälle 0,999... = 1 ei löydy mitään todellisuusvastetta, tuntuisi
> > pätevän.
> Ihme ja kumma, mutta löytyypä reaalimaailmastakin tätä asiaa sivuava
> tapahtuma, joka askarutti jo antiikin kreikkalaisia ja joka heiltä jäi
> ratkaisematta, nimittäin Zenonin paradoksi, jonka varmasti jokainen
> vähänkään matematiikkaa tahkonnut on kuullut.
>
> Akilleus ja kilpikonna ottavat juoksukilpailun tasaisella nopeudella, siten
> että, Akilleus juoksee nopeudella 10 m/s ja kilpikonna nopeudella 1 m/s.
> Kilpikonnalle annetaan 0.9 metrin etumatka. Kilpailu alkaa; Akilleus juoksee
> 0.9 metriä. Kilpikonna on tänä aikana juossut tuosta kymmenesosan eli 0.09
> metriä. Matka jatkuu. Akilleus juoksee taas kohtaan jossa kilpikonna äsken
> oli, eli matkan 0.09 metriä ja kilpikonna on edelleen tuona aikana edennyt
> 0.009 metriä. Näin jatketaan loputtomiin ja Akilleus ei koskaan saavuta
> kilpikonnaa vaikka juokseekin kymmenen kertaa nopeammin, vai saavuttaako?
>
> No saavuttaahan se. Akilleuksen kulkema matka on juuri
> 0.9+0.09+0.009+...=0.999...=1 m.
Mutta mistä jo lähtökohtaisesti tietäisit, että väittämä
0,9+0,09+0,009... = 0,999... pätee jollakin tavalla suhteessa siihen
*reaalitodellisuuteen*, jota sillä yrität kuvata?
Siirrät nähdäkseni vain äärettömyys-ongelmamme eri väittämään.
Suhteessa kokemusmaailmaan voidaan varmistaa ainoastaan sen tyyppisten
väittämien paikkansapitävyys kuin 0,x + 0,0x + 0,00x = 0,xxx.
Heti kun mukaan otetaan "kolme pistettä" äärettömiin jatkumisen merkiksi
edetään yleistyksen kautta sellaiselle alueelle, jolla ei enää
perustetakaan ilmaisua sellaiselle "kielelle", joka todistetusti pätisi
myös reaalitodellisuudessa.
Alkuperäinen ongelma, eli väitteen 0,999... = 1 todellisuusvastaavuus,
pitäisi ilmeisesti kuitenkin ratkaista sellaisen kielen avulla, jonka
käsitteet varmuudella pätevät sekä matematiikan että reaalitodellisuuden
alueella. Oletuksesi, että kolmen pisteen käyttäminen matemaattisissa
merkinnöissä omaisi vastaavuutta myös reaalitodellisuudessa, on
kuitenkin pelkkä oletus asiassa, josta ei ilmeisesti voida sanoa mitään
varmaa.
Tuo siis tavallaan osoittaa vain sen, että kun mennään äärettömyyteen,
vanhakantainen havaintotodellisuudelle perustuva matematiikka olisi
(oletettuun äärettömyyttä sisältävään) reaalitodellisuuteen nähden yhtä
varmistamaton sovellettavuudeltaan kuin puhdas aksiomaattinen
matematiikkakin.
Ja sovellettuna Zenonin paradoksiin, tuo tarkoittaa sitä, että sekoitat
monella eri tavalla havaintoja ja matemaattista teoriaa:
1) väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999 ON todennettavissa suhteessa
havaintoihin (vanhakantainen havainnoista johdettu matematiikka)
2) siitä yleistämäsi väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009... = 0,999... on
teoreettinen suhteessa havaintoihin (teoreettinen matematiikka)
3) väite "Akilleus saavuttaa kilpikonnan annetuissa olosuhteissa" on
todennettavissa *loogisesti* todeksi suhteessa kokemuksiimme
(havainnoille pohjautuva logiikka)
4) väite, että kohtien 1-3 perusteella voitaisiin päätellä, että väite
0,999... = 1 pätee *todistetusti*, on perustelematon, koska siinä
sekoitetaan erilaisten kielisysteemien samaan viittaavalta *näyttäviä*
ilmauksia, joiden merkitysten tai viittaussuhteiden yhteneväisyyksiä ei
kuitenkaan voitane mitenkään varmistaa.
Eli takaisin alkuperäiseen ongelmaan. :)
--
Esa
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
Organization: Nokia Telecommunications.
Lines: 104
In article <1el4lhh.8dv...@mcclvii.hdyn.saunalahti.fi>, esa.to...@sci.fi (Esa Toivonen) writes:
> Jani Nurminen <ja...@cs.tut.fi> wrote:
>> mielestäni olet tuntunut olevan aika vakuuttunut siitä, että 0,999... = 1 ei
>> päde "todellisuudessa" vaan vain matematiikassa.
>
> Olen väittänyt näin vain johtopäätöksenä muunlaisten todisteiden
> puutteesta - tosin tarkasti ottaen olen sanonut vain, ettei 0,999... = 1
> -väittämän suhteesta todellisuuteen ilmeisesti pystytä sanomaan mitään
> varmaa.
Käsittelemme siis metafyysistä ongelmaa, havainto- ja päättelykykymme
suhdetta todellisuuteen. Emme todellakaan tiedä todellisuudesta mitään
aivan varmaa. Tuollaisen yksittäisen matemaattisen väitteen tulkintakaan
ei ole selvä: mistä löydämme reaalimaailmassa jonoa (0,9; 0,99; 0,999;
0,9999; ...) vastaavan ilmiön ja miten sen avulla tulkitsemme ja toden-
namme otsikon esittämän väitteen?
Zenonin paradoksi ei näköjään sinulle kelvannut, mutta kuitenkin kysymys
on jonon raja-arvosta. Jos hyväksymme ajatuksen, että äärellinen matka
voidaan jakaa kymmenenteen osaan äärettömän monta kertaa, niin kumman
tahansa kilpailijan kulkeman matkan raja-arvo on selvästi olemassa vaikka
sitä ei paradoksin mukaisella aikadiskretisoinnilla saavuta sen paremmin
Akilleus kuin kilpikonnakaan. Silti kumpikin pääsee kuinka lähelle tahan-
sa sitä pistettä, jossa kilpailijat ovat tasoissa, ja juuri tuota mieli-
valtaisen lähelle pääsemistä raja-arvolla tarkoitetaan.
Mutta reaalimaailmamme on kuin onkin sen verran kenkku, ettei se sel-
laisia jakoja salli, tai emme ainakaan pysty määrittämään kilpailijan
paikkaa mielivaltaisella tarkkuudella. Kilpailijat eivät ole pistemäi-
siä, juoksurata ei ole yksiulotteinen viiva... Ihan oikeissa urheilukil-
pailuissa joudutaan tiukoissa tilanteissa tekemään maalikameran kuvan
avulla tulkintaa siitä, kuka voitti. Tällaisiin seikkoihin takertumalla
voit kiistää kaikkien "jatkuvan matematiikan" tulosten soveltuvuuden
tosimaailmaan. Ja sittenkin, kuten minä ja muut ovat huomauttaneet, ja
minkä itsekin näköjään myönnät, differentiaali- ja integraalilaskentaa
on menestyksellisesti sovellettu luonnontieteissä ja juuri niiden avulla
sekä tekniikka että luonnontieteellinen maailmanselitys ovat kehittyneet
nykyiselle tasolleen.
> Olen esittänyt myös yhden esimerkin siitä miten matematiikan "ääretön"
> ei välttämättä olisi kelvollinen tai "riittävä", jos osoittautuisi, että
> esimerkiksi meidän asuttamamme universumi olisi ääretön: Äärettömässä
> maailmassa oleva äärettömän pitkä "tilasilmukka", jolla kuitenkin on
> konkreettinen alku ja loppu havaitsijan havaintoalueella, joten siinä
> äärettömän "molempiin päihin" voitaisiin *käytännössä* laskea lisää
> tilaputkea. Matematiikan äärettömään määräänhän ei voida lisätä loppuun
> mitään, koska sellaista laskutoimitusta ei ole matematiikan systeemissä
> määritelty mielekkääksi. Voi olla, että ajattelussani piilee jokin
> heikkous, mutta ainakaan kukaan ei ole sellaista selkeästi pystynyt
> osoittamaan.
Kyllä siinä heikkous on, ja näyttää ihan siltä, ettet ole edes lukenut
kaikkia tämän keskustelun puheenvuoroja. Kalle Kivimaa esitti esimerkin
silmukasta, joka todella käy äärettömyydessä. Ajatus sellaisesta silmu-
kasta ei ole matemaatikoille uusi ja outo; ihan hyvin voidaan riittävän
siistejä funktioitakin integroida pitkin sellaista silmukkaa. Ari T.
Koistinen esitti yksinkertaisempia esimerkkejä ja huomautti:
| Kyllähän matematiikka sisältää tämäntyyppisiä struktuureja pilvin
| pimein. Jos nyt reaaliluvun kymmenjärjestelmäesitys (vaikkapa
| puheena ollut 0,999...) ei sellaista sisällä, niin on aika
| ajattelematonta väittää, ettei matematiikka voi kuvata mahdollisesti
| luonnossa esiintyviä "määrätyn alun ja määrätyn lopun välissä olevia
| äärettömyyksiä", jos ymmärsin oikein ongelman ytimen.
Tähän yhdyn. Koko ajan vastaväitteesi ovat perustuneet maallikon silk-
kaan tietämättömyyteen matematiikan tutkimista ongelmista, sen käyttä-
mistä käsitteistä ja metodeista, niiden tavattomasta monipuolisuudesta,
jota ei kaikilta osin hallitse kukaan matemaatikkokaan. Selitettyäni jo-
non käsitteen olet tarrautunut siihen niin, ettet muita "äärettömyyksiä"
tunnistakaan. Esimerkkejä: ääretön joukko (mahtavuus); äärettömyys raja-
arvona; topologisen, algebrallisen tms. struktuurin täydentäminen ääret-
tömyyspisteellä (ja tämä voidaan tehdä monella tavalla, esim. reaalilu-
kujen lukusuora voidaan täydentää äärettömyydellä molemmista päistä tai
kiertää ympyräksi).
> Joka tapauksessa, merkintääni 0,999...9 takerruttiin siltä kannalta,
> ettei sillä ole mielekästä merkitystä *matematiikan* systeemissä.
> Myöhemmin totesin kuitenkin, että kun tarkoituksena on tutkia
> matematiikan ja reaalitodellisuuden suhdetta, sitä ei ilmeisestikään
> voida tehdä puhtaan matematiikan kielellä,
Ei voidakaan.
> vaan sellaisella kielellä,
> joka olisi ymmärrettävä molempien systeemien (matematiikka ja havainnot)
> alueella. Tästä jälleen päädytään siihen, ettei tiettyjä matematiikan
> väittämiä ja johdoksia voida välttämättä lainkaan soveltaa
> havaintotodellisuuteen, koska havaintotodellisuuden alueella ei ole
> esim. selvää *kokemusperäistä* merkitystä "äärettömälle". Ei siis ole
> mitään vertailtavaa.
Raja-arvotarkasteluissa on. Viittaan jälleen differentiaali- ja integ-
raalilaskennan käyttökelpoisuuteen todellisia ongelmia ratkottaessa.
Myös todennäköisyyslaskenta suurten lukujen lauseineen antaa kokemuspe-
räistä merkitystä äärettömyyden lähestymiselle, ja sillä on sovelluksia
uhkapelistä meteorologiaan.
Lopuksi kyselen, mihin oikein pyrit. Et ole esittänyt selvästi sellaista
kysymystä, johon matemaatikot voisivat vastata. Jos tarkoituksesi on
osoittaa tutkimaton alue, jota kannattaisi tutkia, olet siinäkin epäon-
nistunut.
Kari Pasanen
Jyri Pieko
> 1) väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999 ON todennettavissa suhteessa
> havaintoihin (vanhakantainen havainnoista johdettu matematiikka)
>
> 2) siitä yleistämäsi väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009... = 0,999... on
> teoreettinen suhteessa havaintoihin (teoreettinen matematiikka)
Ajatuskulkuasi seuraten 0,9 + 0,09 + 0,009 +... + 0,000...09 = 0,999...9 "on
teoreettinen suhteessa havaintoihin" myös, kun sarjan termien määrä n on
äärellinen mutta riittävän suuri. Yritä sulatella ensin niiden äärellisten
laskutoimitusten tuloksia, joita ei voida "varmentaa havaintojen avulla",
ennen kuin pohdit äärettömiä sarjoja. Vaikeutesi näkyy alkavat jo äärettömän
kaukana äärettömyydestä.
--
JyriP
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
tunnistakaan. Esimerkkejä: ääretön joukko (mahtavuus), äärettömyys raja-
arvona, topologisen, algebrallisen tms. struktuurin täydentäminen ääret-
Tuomas T Korppi
: Toisaalta, voit olla oikeassa: Ehkä tämä on täysin turhaa keskustelua,
: jos mitään oikeaa äärettömyyttä ei missään edes VOI olla olemassa. Mutta
: sitten oikeastaan myöskään väittämällä 0,999... = 1 ei ole käytännössä
: merkitystä muuta kuin ehkä joidenkin laskutoimitusten apuvälineenä,
: jonka omasta tarkasta todellisuusvastaavuudesta ei voida sanoa yhtään
: mitään. Siis voitaisiin sanoa, että 0,999... = 1 pätee matematiikan
: systeemissä, mutta maailmassa ei ole mitään mitä kyseinen väittämä
: pystyisi kuvaamaan.
Käsitteellä 0.999... ei ole merkitystä muualla kuin matematiikan
sisällä. Näin ollen kysymys, että onko 0.999...=1 tosi, on mielekäs
kysymys pelkästään matemaattisten systeemien sisällä, ja kysymys siitä,
kuinka asia on "todellisuudessa", ei ole tosi eikä epätosi, vaan mieletön.
Erityisesti on väärin väittää, että 0.999...=1 on tosi matematiikassa,
mutta epätosi todellisuudessa.
Huomautettakoon, että matematiikassakin on olemassa järjestettyjä
kuntia, joissa on olemassa lukuja x s.e. 0.999..9 < x < 1 kaikilla
äärellisten ysien lukumäärillä. Kuitenkaan näissä tapauksissa ei ole
olemassa pienintä kyseiset ehdot toteuttavaa x:ää, joten näissä
systeemeissä ei ole mitään sellaista lukua, joka voitaisiin mielekkästi
nimetä luvuksi 0.99999.... (jolle ainoa järkevä määritelmä on se, että
kyseessä on pienin luku, joka on suurempi kuin kaikki luvut 0.9, 0.99, 0.999
jne...)
Näin ollen, aina kun järjestetyssä kunnassa on luku 0.9999..., se on
myös yhtä suuri kuin yksi. (Ja tämän implikaation todistamiseen ei
tarvita reaalilukujen suppiaksioomaa)
Väite: Jos järjestetyssä kunnassa on pienin luku x, jolle x>0.9, x>0.99,
x>0.999 jne, x=1.
Todistus: Olkoon x kyseinen pienin luku. Välttämättä x < 1 tai x = 1.
Oletetaan x < 1, tällöin pätee myös 2x - 1 < x.
Olkoon y muotoa 0.999...9 (äärellinen määrä ysejä) mielivaltainen, ja
olkoon z luku muotoa 0.9999...9, jossa on 1 ysi enemmän kuin y:ssä.
Koska jono 1-0.9, 1-0.99, 1-0.999, jne... on laskeva ja sellainen , että
mikä tahansa positiivinen rationaaliluku(*) on suurempi kuin jokin ko. jonon
jäsen, on mikä tahansa positiivinen rationaaliluku suurempi kuin 1-x.
Nyt z-y on positiivinen rationaaliluku, joten 1-x < z-y => x-1 > y-z
=> 2x-1 > y. Viimeinen implikaatio seuraa, koska x>z. Siis 2x-1 < x, ja
2x-1 > 0.9, 2x-1 > 0.99, 2x-1 > 0.999 jne... ristiriita x:n
minimaalisuuden kanssa. Siis x=1.
(*) positiiviset rationaaliluvut voidaan upottaa luonnollisella tavalla
minkä tahansa järjestetyn kunnan alikunnaksi.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
---------------------------------------------------------------------------
People do not want immortality. They simply do not want to die.
- Ijon Tichy
Kalle Kivimaa
> esimerkiksi meidän asuttamamme universumi olisi ääretön: Äärettömässä
> maailmassa oleva äärettömän pitkä "tilasilmukka", jolla kuitenkin on
> konkreettinen alku ja loppu havaitsijan havaintoalueella, joten siinä
> äärettömän "molempiin päihin" voitaisiin *käytännössä* laskea lisää
> tilaputkea. Matematiikan äärettömään määräänhän ei voida lisätä loppuun
> mitään, koska sellaista laskutoimitusta ei ole matematiikan systeemissä
> määritelty mielekkääksi. Voi olla, että ajattelussani piilee jokin
> heikkous, mutta ainakaan kukaan ei ole sellaista selkeästi pystynyt
> osoittamaan.
Minä formalisoin väitteesi ja pyysin sinua esittämään jonkun esimerkin siitä,
miten nykymatematiikka ei selviäisi kyseisen väitteen mukaisen käyrän
käsittelystä. Täälläkin jo Kari Pasanen totesi, että esim. funktioiden
integrointi kyseistä käyrää pitkin on mahdollista, joten mielenkiinnolla
odotan esimerkkiäsi.
> joista aiemmin puhuin ja jotka tuntuisivat olevan eri tavalla
> "laskutoimituksille" mahdollisia kuin matematiikassa määritelty
> "ääretön".
Kummallista, et ole esittänyt vielä yhtään esimerkkiä laskutoimituksesta,
joka ei pätisi matemaattisesti määritellylle äärettömälle silmukalle
äärettömässä avaruudessa (esittämäni formalisointi sinun silmukallesi).
> Ajattelin vain, että jos matematiikkaa ja sen sovellutuksia halutaan
> tarkastella puhtaan tieteellisesti, niin todistaminen olisi kai
> *periaatteessa* tehtävä aina uusiksi. Niinhän matematiikan sisälläkin
Vain jos jossain "todistusketjun" aiemmassa osassa on havaittu epäselvyyksiä
tai virheellisyyksiä. Vai pitääkö sinun mielestäsi jokaisen
suhteellisuusteoreetikon aina aloittaa työpäivä sillä, että todistaa
erityisen ja yleisen suhteellisuusteorian edelleen paikkaansapitäväksi
ennenkuin voi jatkaa omaa näihin pohjautuvaa todistustaan?
--
* Military justice is to justice what military music is to music. *
* (Groucho Marx) *
Tuomas T Korppi
:> Onko kyse pelkistä sopimuksista - minkä takia yhtälöt näyttäisivät
: Matematiikka on siitä hieno ala, ettei siinä tarvitse tehdä kompromisseja
: tai (kompromissi-) sopimuksia. Tällaiset ongelmat (ja niiden ratkaisut)
: ovat syy miksi matematiikkaa pidetään kauniina!
Kyllä matematiikassakin täytyy tehdä sopimuksia - niitä kutsutaan
määritelmiksi. Tämän vaikeustason kysymyksien (onko 1=0.999..) vastaus
syntyy aina kolmen eri elementin yhteisvaikutuksesta: Määritelmät,
niiden loogiset seuraukset sekä määritelmien "motivaatio" (ts. ne
aksiomaattisen metodin ulkopuoliset seikat, joiden takia pidämme
tiettyjä määritelmiä tekemisen arvoisina.)
Määritelmät ovat toki sopimuksenvaraisia, mutta tämä ei tarkoita sitä, että
ne olisivat mielivaltaisia. Meillä on selkeä kuva siitä, mitä
haluamme reaaliluvuilla tehdä (käytännön mittauksissa), ja tämä määrää
hyvin pitkälle sen, kuinka määrittelemme reaaliluvut - näistä käytännön
tarpeista seuraa ainakin, että niiden täytyy muodostaa järjestetty
kunta. Tämän jälkeen, mikäli haluamme vaatia, että 0.999... on pienin
luku, joka on suurempi kuin 0.9, 0.99, 0.999 jne... voimme todistaa,
että _tästä_vaatimuksestamme_ seuraa, että 0.999.... = 1.
Mielenkiintoista on, että tällaiset "ulkokohtaiset motivaatiot" eivät
rajoitu pelkästään matematiikan soveltamiseen matematiikan ulkopuolelle,
vaan niitä esiintyy myös mentäessä tarpeeksi syvälle puhtaassa
matematiikassa. (Jolloin teoriaa A arvoidaan sen mukaan, kuinka sillä on
sovelluksia teoriaan B.) Esimerkiksi Cech-tyyppisten homologiateorioiden
konstruoiminen (Cechin alkuperäinen, Steenrodin, Masseyn versiot jne...)
muistuttaa (tosin hieman kärjistäen sanottua) enemmän arkkitehdin tai
insinöörin työtä kuin deduktiivista metodia käyttävän
matemaatikon/tiedemiehen.
Tämä puuha nimittäin muodostuu lähinnä erilaisten, toisiaan
muistuttavien homologiateorian määritelmien antamisesta ja sen jälkeen sen
tutkimisesta, että mikä määritelmistämme antaa minkäkinlaista tietoa eri
topologisista avaruuksista, ja kuinka määritelmämme toimivat yhteen
muiden konstruktioiden (esim. kohomologian) kanssa. Ei voida todistaa yhtä
teoreemaa, joka sanoo, että se-ja-se homologiateoria on paras, vaan
joudumme tässä päätöksessä käyttämään lähinnä harkintaa ja tervettä järkeä.
Jyrki Lahtonen
[saksittu kamaa]
> Mielenkiintoista on, että tällaiset "ulkokohtaiset motivaatiot" eivät
> rajoitu pelkästään matematiikan soveltamiseen matematiikan ulkopuolelle,
> vaan niitä esiintyy myös mentäessä tarpeeksi syvälle puhtaassa
> matematiikassa. (Jolloin teoriaa A arvoidaan sen mukaan, kuinka sillä on
> sovelluksia teoriaan B.) Esimerkiksi Cech-tyyppisten homologiateorioiden
> konstruoiminen (Cechin alkuperäinen, Steenrodin, Masseyn versiot jne...)
> muistuttaa (tosin hieman kärjistäen sanottua) enemmän arkkitehdin tai
> insinöörin työtä kuin deduktiivista metodia käyttävän
> matemaatikon/tiedemiehen.
Algebrallisen topologian opinnot ovat kohdaltani rajoittuneet pariin
kurssiin, joten en ole aivan varma ymmärsinkö. Arvelisin, että pistäisit
esimerkiksi simpleksikompleksien avulla määritellyn homologian
muistuttavan
tuota insinöörimäistä ajattelua, sehän on helppo laskea, mutta sille on
vaikeahko todistaa esim. sitä että se on hyvin määritelty eli
simpleksijaosta
riippumaton. Masseyn kirjan ketjujen avulla määritelty homologia on
varmasti
hyvin määritelty ja tiettyjen funktorien olemassaolo selvää, mutta
määritelmä
on täysin epäintuitiivinen (päinvastoin kuin ehkä simplekseillä) ja
teoriaa
pitää ainakin jonkin verran kehitellä ennen kuin voi laskea edes
pallopinnan
homologiaryhmiä.
Tarkoittaako Cech-tyyli tässä sitä, että määrittely hoidetaan
rakentamalla
avaruus taatusti "homologiattomista" (esmes tähtimäisistä) palasista ja
sitten rakennetaan palasia leikkaamalla kahteen suuntaan ääretön
diagrammi,
josta diagonaalisesti liimaamalla saadaan (ko)homologia ulos? Vähän siis
niin kuin yleistetty Mayer-Vietoris?
Mielestäni tuolla Cech-tyylille on puolensa ääripäiden välisenä
kompromissina -
nautin suunnattomasti Kalevi Suomisen seminaariesitelmästä aiheesta
(homologia
vs. kohomologia) muutama vuosi sitten. Valitettavasti minulla ei ole
ollut
aikaa raahautua noihin algebrallisen geometrian seminaareihin enää
muutamaan
vuoteen.
> Tämä puuha nimittäin muodostuu lähinnä erilaisten, toisiaan
> muistuttavien homologiateorian määritelmien antamisesta ja sen jälkeen sen
> tutkimisesta, että mikä määritelmistämme antaa minkäkinlaista tietoa eri
> topologisista avaruuksista, ja kuinka määritelmämme toimivat yhteen
> muiden konstruktioiden (esim. kohomologian) kanssa. Ei voida todistaa yhtä
> teoreemaa, joka sanoo, että se-ja-se homologiateoria on paras, vaan
> joudumme tässä päätöksessä käyttämään lähinnä harkintaa ja tervettä järkeä.
>
Eikö eri (ko)homologiateoriat sovi kukin omaan tarkoitukseensa?
Muistelen
algebrallisen topologian luennolla proffan maininneen jonkin aiemmin
ratkeamattoman
ongelman, jonka joku ratkaisi noin 20 sivuisessa artikkelissa käyttäen
mielestään hyvää kohomologiateoriaa. Kollegoilla oli vielä sopivampi
kohomologia-
teoria, ja selvitettyään ratkaisun idean he lähettivät alkuperäisellä
keksijällä
oman ratkaisunsa postikortille mahdutettuna.
Ehkä olet kuullut saman tarinan ja osaat identifioida jopa ongelman?
Terveisin,
Jyrki Lahtonen, Ph.D.
Department of Mathematics,
University of Turku,
FIN-20014 Turku, Finland
Valmari Antti
Esa Toivonen kirjoitti:
> Kyse oli lähtökohtaisesti siitä, että matematiikassa ääretön jono
> näköjään voi rajautua yhdestä päästä muttei toisesta.
Se on vain yksi matematiikan käyttämistä äärettömän jonon käsitteistä.
Se on eniten käytetty kahdesta syystä, jotka luultavasti kytkeytyvät
toisiinsa:
- Se on yksinkertaisin ääretön jono.
- Se on useissa sovelluksissa sopivin.
Mutta se _ei ole_ ainoa matematiikan käyttämistä äärettömän jonon
käsitteistä.
> Ei se minun mielestäni ole mitään sanoissa sekoilua, etten ole
> määritellyt "äärettömyyttä", vaikka käytän sanaa (luottaen sen
> yleiskielisen pyöreän loputon-merkityksen ilmentävyyteen).
Mutta se on, että käytät sitä sanaa ja samanaikaisesti väität
että matematiikan äärettömyys ei riitä.
AV > Näen neljä mahdollisuutta.
AV>
AV > 1. Ajattelet jotain sellaista äärettömyyden muotoa, jota matemaatikot
AV > ovat tutkineet, mutta johon et itse ole matematiikassa törmännyt.
> Kukaan ei tuntunut hyväksyvän tällaista ajatusta täällä.
Minä hyväksyn tämän mahdollisuuden, ja muista viesteistä näkyy, etten ole
ainoa.
> JOTTA matematiikan "äärettömyydellä" olisi jokin
> todellisuusvastaavuus, matemaatikkojen itsensähän pitäisi ajatella
> jonkinlainen käytännön ääretön mahdolliseksi, joten oikeastaan tämä on
> sinun ja muiden vastaanväittäjieni probleemi keksiä todellisuudessa
> mahdollinen äärettömyyden ilmentymä
Matemaatikot eivät näe tarpeelliseksi vastata tähän haasteseen, koska
matemaattisilla käsitteillä ei tarvitse olla vastaavuutta todellisuuden
kanssa.
Mutta käsittelen silti haastettasi, koska väität niin kiivasti:
> koska silloin epäilykseni, että
> väittämälle 0,999... = 1 ei löydy mitään todellisuusvastetta
Minusta tämä asia on auki.
Klassisessa fysiikassa oli mahdollista kuvitella äärettömän ohut
suora ja sille nollakohta. Nollakohtaan pannaan hitunen. Hitusta
siirretään eteenpäin suoralla ensin 0,9 cm, sitten 0,09 cm lisää,
sitten 0,009 cm lisää jne. Mitä kauemmin prosessia jatketaan, sitä
lähempänä hitu on tasan yhden sentin etäisyyttä nollakohdasta. Jos
prosessia voisi jatkaa loputtomiin, klassisen fysiikan mukaan hitu
päätyisi yhden sentin etäisyydelle. Siis klassisen fysiikan mukaan
0,999... = 1 liittyisi tosimaailmaan.
Nykyfysiikassa homma ei toimi, koska paikkoja ei voi asettaa
rajattomalla tarkkuudella. Klassisessakaan fysiikassa homma ei toimi,
jos hyväksytään, että mitään ei voi mitata rajattomalla tarkkuudella.
> tosin tarkasti ottaen olen sanonut vain, ettei 0,999... = 1
> -väittämän suhteesta todellisuuteen ilmeisesti pystytä sanomaan mitään
> varmaa.
Totta, mutta syy on tylsä. Minkään väittämän suhteesta todellisuuteen
ei voi sanoa mitään varmaa. "0,999... = 1" ei tässä suhteessa eroa
esimerkiksi väitteestä "2+2 = 4".
Huom! Tässä en ota kantaa siihen, onko "0,999... = 1" _tosi_ myös
tosimaailmassa, ei pelkästään matematiikassa. Kuten Tuomas T Korppi
kirjoitti, kysymys on mieletön, koska "0,999..." ja "1" ja "=" eivät
ole tosimaailman käsitteitä vaan matematiikan käsitteitä. Sen sijaan
_on_ mielekästä kysyä, että onko luonnossa ilmiöitä, joita on
mielekästä mallintaa reaaliluvuilla, ja päteekö näille ilmiöille, että
"0,999...":n vastine ja "1":n vastine ovat samanveroiset. Kuten sanottu,
tällaiset kysymykset eivät ikinä ratkea täydellisesti koska todellisuutta
koskeva tietomme on aina epävarmaa. Jos kuitenkin tyydytään epävarmoihin
vastauksiin, niin tällä hetkellä ei ole painavia syitä sanoa "kyllä" eikä
ole painavia syitä sanoa "ei". Siksi kirjoitin, että minusta asia on auki.
> Matematiikan äärettömään määräänhän ei voida lisätä loppuun
> mitään, koska sellaista laskutoimitusta ei ole matematiikan systeemissä
> määritelty mielekkääksi.
> Mitä äärimmäisempiin olosuhteisiin matematiikan kaltaista teoreettista
> systeemiä yritettäisiin soveltaa, sitä mahdollisemmalta tuntuisi, että
> sovellutukset eivät ehkä toimisikaan teorian viitoittamalla tavalla yhtä
> hyvin kuin havaintomaailmamme alueella.
Hohhoijaa. Tuntuu kuin mikään ei menisi perille.
Matematiikassa on monia äärettömyyksiä, myös sellaisia, joiden loppuun
voi lisätä.
Jos yksinkertaisin ääretön (tekninen nimi: \omega) ei kuvaa fysikaalista
maailmankaikkeutta, niin vika ei ole matematiikassa yleensä, vaan siinä,
että käytetään väärää osaa matematiikasta.
Kimmo Palin kirjoitti:
! Yleisemmin: "On epäselvää, onko tosimaailmassa mitään."
"Onko tosimaailmassa mitään ääretöntä" on epäselvempää kuin
"onko tosimaailmassa mitään".
Tuomas T Korppi kirjoitti:
# Tämän vaikeustason kysymyksien (onko 1=0.999..) vastaus
# syntyy aina kolmen eri elementin yhteisvaikutuksesta: Määritelmät,
# niiden loogiset seuraukset sekä määritelmien "motivaatio" (ts. ne
# aksiomaattisen metodin ulkopuoliset seikat, joiden takia pidämme
# tiettyjä määritelmiä tekemisen arvoisina.)
#
# Määritelmät ovat toki sopimuksenvaraisia, mutta tämä ei tarkoita sitä, että
# ne olisivat mielivaltaisia. Meillä on selkeä kuva siitä, mitä
# haluamme reaaliluvuilla tehdä (käytännön mittauksissa), ja tämä määrää
. . .
# Mielenkiintoista on, että tällaiset "ulkokohtaiset motivaatiot" eivät
# rajoitu pelkästään matematiikan soveltamiseen matematiikan ulkopuolelle,
# vaan niitä esiintyy myös mentäessä tarpeeksi syvälle puhtaassa
# matematiikassa.
Selvää puhetta! Kerrankin joku korostaa tasapainoisesti matematiikan
olemuksen eri tekijöitä.
--- Antti Valmari ---
Esa Toivonen
> "Esa Toivonen" <esa.to...@sci.fi> wrote:
> > 1) väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999 ON todennettavissa suhteessa
> > havaintoihin (vanhakantainen havainnoista johdettu matematiikka)
> >
> > 2) siitä yleistämäsi väittämä 0,9 + 0,09 + 0,009... = 0,999... on
> > teoreettinen suhteessa havaintoihin (teoreettinen matematiikka)
> Ajatuskulkuasi seuraten 0,9 + 0,09 + 0,009 +... + 0,000...09 = 0,999...9 "on
> teoreettinen suhteessa havaintoihin" myös, kun sarjan termien määrä n on
> äärellinen mutta riittävän suuri.
Entä sitten? Sen sovellettavuuttahan voidaankin vertailla vain suhteessa
*hypoteettiseen* äärettömään maailmaan (niin kauan kuin ei ole aitoa
äärettömyyttä saatavilla). Eli se on konstruoitu vain kysymään, että JOS
oletetaan olevan olemassa äärettömiä maailmoja, niin eikö tuollainen
merkintä pätisi *niiden* *käytännössä* paremmin kuin nykyisen
teoreettisen matematiikan merkintätavat?
Muistanet, että esitin säikeen ensimmäisen postaukseni kysyvänä,
tyyliin: mitä vikaa tällaisessa päättelyssä olisi? Jyrkkien väitteiden
esittäminen on seurannut myöhemmin väittelyteknisestä helppousvaateesta,
eli kirjoittaminen helpottuu asioita toistavassa threadissä, kun omaksuu
kokeeksi jonkin selvän kannan.
--
Esa
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > esimerkiksi meidän asuttamamme universumi olisi ääretön: Äärettömässä
> > maailmassa oleva äärettömän pitkä "tilasilmukka", jolla kuitenkin on
> > konkreettinen alku ja loppu havaitsijan havaintoalueella, joten siinä
> > äärettömän "molempiin päihin" voitaisiin *käytännössä* laskea lisää
> > tilaputkea. Matematiikan äärettömään määräänhän ei voida lisätä loppuun
> > mitään, koska sellaista laskutoimitusta ei ole matematiikan systeemissä
> > määritelty mielekkääksi. Voi olla, että ajattelussani piilee jokin
> > heikkous, mutta ainakaan kukaan ei ole sellaista selkeästi pystynyt
> > osoittamaan.
> Minä formalisoin väitteesi ja pyysin sinua esittämään jonkun esimerkin siitä,
> miten nykymatematiikka ei selviäisi kyseisen väitteen mukaisen käyrän
> käsittelystä. Täälläkin jo Kari Pasanen totesi, että esim. funktioiden
> integrointi kyseistä käyrää pitkin on mahdollista, joten mielenkiinnolla
> odotan esimerkkiäsi.
Ei minulla ole mitään tarvetta vastata tyhjästä vetäistyihin
vaatimuksiisi, joita en ole edes väittänyt pystyväni täyttämään. En ole
matemaatikko (kuten olen jo monesti todennut), joten en siihen edes
halutessani kykenisi.
Olennaista on se, että MINÄ olen esittänyt yhden yleiskielisen esimerkin
siitä miten teoreettisen matematiikan "ääretön" näyttäisi
määrittelyltään voivan erota sellaisesta äärettömästä, jonka
esiintyminen äärettömässä universumissa tuntuisi mahdolliselta.
Eli matematiikassa äärettömän pitkään jonoon ei voida mielekkäästi
määritellysti lisätä mitään, mutta äärettömässä maailmassa sijaitsevaan
äärettömän pitkään tilasilmukkaan näköjään voidaan lisätä.
Ehkä kyse on lähinnä merkintäongelmasta, jos sinun mielestäsi silmukka
voitaisiin kuitenkin jollain muulla tavalla esittää nykymatematiikan
keinoin. Mutta myös merkitysongelma seuraisi siitä, jos 0,999... = 1
-tyyppisiä merkintöjä pidettäisiin tosina.
Tuohan kuulostaa järkevältä vain, jos äärettömän pitkään ysien jonoon EI
voitaisi enää mielekkäästi lisätä yhdeksikköjä, mikä oli alkuperäisen
ongelmanasetteluni ydin. Näyttäisi nimittäin siltä, että äärettömän
maailman käytännölle perustuvassa matematiikassa 0,999...999...
-merkintä olisi jollakin tavalla mahdollinen, eli täyttä ykköstä ei
saavutettaisi missään tapauksessa, edes äärettömyydessä.
Jos tässä päättelyssäni on jokin vika, niin ok. Mutta et pysty tätä
ongelmaa kiertämään epäolennaisilla toisenlaisilla ongelmilla.
Tuon mukaan siis näyttää siltä, että äärettömän maailman ääretön
saattaisi hyvinkin olla *käytännössä* erilaista kuin millaiseksi meidän
teoreettisen matematiikkamme ääretön on määritelty.
Meidän havaintomaailmamme näkökulmasta katsoen nuo molemmat ovat toki
vain inhimillisesti konstruoituja teoreettisia systeemejä, mutta sillä
ei ole itse ongelman kannalta merkitystä, ellei erityistä päättelyvikaa
voida osoittaa, tai ellei meidän maailmastamme löydy jotain sellaista
ääretöntä, joka tekisi teoreettisen äärettömyyskonstruktion
tarpeettomaksi.
> > Ajattelin vain, että jos matematiikkaa ja sen sovellutuksia halutaan
> > tarkastella puhtaan tieteellisesti, niin todistaminen olisi kai
> > *periaatteessa* tehtävä aina uusiksi. Niinhän matematiikan sisälläkin
> Vain jos jossain "todistusketjun" aiemmassa osassa on havaittu epäselvyyksiä
> tai virheellisyyksiä. Vai pitääkö sinun mielestäsi jokaisen
> suhteellisuusteoreetikon aina aloittaa työpäivä sillä, että todistaa
> erityisen ja yleisen suhteellisuusteorian edelleen paikkaansapitäväksi
> ennenkuin voi jatkaa omaa näihin pohjautuvaa todistustaan?
*Periaatteessa* minun mielestäni pitäisi (eli se todistus pitää olettaa
aina saatavilla olevaksi, mikäli tarvetta ilmenisi), mutta fyysisessä
käytännön maailmassahan tämä toimii tietysti siten, että ihmiset
luottavat järkevyyden rajoissa muistikuviinsa, joko siitä, *miten* asia
on todistettu, tai siitä, *että* asia on jo "kyllin monesti" todistettu,
jotta siihen on järkevää luottaa. Matematiikan eksaktiusvaadettahan
tällainen luottaminen ei täytä (0,xxx... = y, koska siihen tulokseen on
jo monen monta kertaa päädytty :), vaan kyse on perimmältään
emotionaalisesta perustelusta, että mikä määrä todistelua tuntuu
riittävältä, jotta määrä muuttuu laaduksi, ja todistus katsotaan
"oikeaksi".
--
Esa
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> wrote:
> : Toisaalta, voit olla oikeassa: Ehkä tämä on täysin turhaa keskustelua,
> : jos mitään oikeaa äärettömyyttä ei missään edes VOI olla olemassa. Mutta
> : sitten oikeastaan myöskään väittämällä 0,999... = 1 ei ole käytännössä
> : merkitystä muuta kuin ehkä joidenkin laskutoimitusten apuvälineenä,
> : jonka omasta tarkasta todellisuusvastaavuudesta ei voida sanoa yhtään
> : mitään. Siis voitaisiin sanoa, että 0,999... = 1 pätee matematiikan
> : systeemissä, mutta maailmassa ei ole mitään mitä kyseinen väittämä
> : pystyisi kuvaamaan.
> Käsitteellä 0.999... ei ole merkitystä muualla kuin matematiikan
> sisällä. Näin ollen kysymys, että onko 0.999...=1 tosi, on mielekäs
> kysymys pelkästään matemaattisten systeemien sisällä, ja kysymys siitä,
> kuinka asia on "todellisuudessa", ei ole tosi eikä epätosi, vaan mieletön.
>
> Erityisesti on väärin väittää, että 0.999...=1 on tosi matematiikassa,
> mutta epätosi todellisuudessa.
Aivan. Olenkin tarkasti ottaen esittänyt, ettei väitteen 0,999... = 1
todellisuusvastaavuudesta voida sanoa mitään varmaa.
Kahden eri systeemin vertaamiseen tarvittaisiin yhteinen kieli, mutta
matematiikan merkinnälle 0,999... ei ole mitään mielekästä
vertailukohtaa havaintomaailmassa eikä sen pohjalta luoduissa kielissä.
--
Esa
Esa Toivonen
> Esa Toivonen kirjoitti:
> > Kyse oli lähtökohtaisesti siitä, että matematiikassa ääretön jono
> > näköjään voi rajautua yhdestä päästä muttei toisesta.
>
> Se on vain yksi matematiikan käyttämistä äärettömän jonon käsitteistä.
> Se on eniten käytetty kahdesta syystä, jotka luultavasti kytkeytyvät
> toisiinsa:
>
> - Se on yksinkertaisin ääretön jono.
>
> - Se on useissa sovelluksissa sopivin.
>
> Mutta se _ei ole_ ainoa matematiikan käyttämistä äärettömän jonon
> käsitteistä.
Okei. Anteeksi, jos olen liian yleisesti arvostellut KOKO matematiikan
systeemiä. Kuten toisaalla sanoin, pitkässä keskustelussa on
yksinkertaisuuden takia mielekästä omaksua hieman kärjistettyjä ja
yksioikoistettuja näkökulmia, ja olettaa muidenkin ymmärtävän, ettei
niitä ole tarkoitettu otettavaksi täydestä arvostaan muuta kuin
suhteessa varsinaiseen subjektiin. Jokaista alatodisteen alatodistetta
olisi mieletöntä alkaa käytännössä loputtomiin kyseenalaistamaan.
Olen ylipäänsä puuttunut ääretön-käsitteen merkitykseen vain sen takia,
että säikeen ongelma sisältää äärettömän jonon yhdeksikköjä, pohtiakseni
mitä moinen merkintä ja sen tulkinnalle asetetut rajoitteet käytännössä
tarkoittaisivat.
--
Esa
Kalle Kivimaa
> Olennaista on se, että MINÄ olen esittänyt yhden yleiskielisen esimerkin
> siitä miten teoreettisen matematiikan "ääretön" näyttäisi
> määrittelyltään voivan erota sellaisesta äärettömästä, jonka
> esiintyminen äärettömässä universumissa tuntuisi mahdolliselta.
Ja minä formalisoin sinun esityksesi matematiikan kielelle ja kysyn, osaatko
antaa esimerkin pohjautuen esitykseesi, jota matematiikka ei pystyisi
käsittelemään. Odotan edelleen...
> Eli matematiikassa äärettömän pitkään jonoon ei voida mielekkäästi
> määritellysti lisätä mitään, mutta äärettömässä maailmassa sijaitsevaan
> äärettömän pitkään tilasilmukkaan näköjään voidaan lisätä.
Voi huoh.
<ratakiskoa>
Minä esitin sinulle äärettömässä maailmankaikkeudessa (kaksiulotteinen
rajoittamaton taso, sinun määritelmäsi mukaan "kaksi kertaa lukusuoraa
äärettömämpi" eli siis keskustelun pohjaksi ihan riittävän "ääretön", eikö
totta?) äärettömän pituisen silmukan, jolla on määrätty alku- ja loppupiste.
Siihen silmukkaan voidaan lisätä osia ihan helposti, otetaan vaikka sellainen
silmukka, jonka käännepisteet ovatkin (-1,0),(ääretön,0),(ääretön,1) ja
(-1,1). Tämä on siis alkuperäinen silmukka lisättynä yhteensä kolmen yksikön
pituisella lisäpätkällä. Oliko tämä jotenkin matemaattisesti vaikea tai
määrittelemätön lisäys?
</ratakiskoa>
> Ehkä kyse on lähinnä merkintäongelmasta, jos sinun mielestäsi silmukka
> voitaisiin kuitenkin jollain muulla tavalla esittää nykymatematiikan
> keinoin. Mutta myös merkitysongelma seuraisi siitä, jos 0,999... = 1
Vaivautuisit nyt edes kertomaan, mikä tuossa minun esittämässäni äärettömässä
silmukassa äärettömässä avaruudessa ei vastaa sinun esittämääsi hypoteettista
ääretöntä silmukkaa hypoteettisessa äärettömässä avaruudessa.
--
* There is no sweeter sound than the crumbling of your fellow man. *
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > Olennaista on se, että MINÄ olen esittänyt yhden yleiskielisen esimerkin
> > siitä miten teoreettisen matematiikan "ääretön" näyttäisi
> > määrittelyltään voivan erota sellaisesta äärettömästä, jonka
> > esiintyminen äärettömässä universumissa tuntuisi mahdolliselta.
>
> Ja minä formalisoin sinun esityksesi matematiikan kielelle ja kysyn, osaatko
> antaa esimerkin pohjautuen esitykseesi, jota matematiikka ei pystyisi
> käsittelemään. Odotan edelleen...
Et näköjään lukenut muita tämänpäiväisiä artikkeleitani. Sanouduin
niissä järkevyyden nimissä irti kaikista mahdollisista *yleisesti*
matematiikkaan kohdistamistani arvioista ja selitin, että tarkoitin
kärjistyksilläkin viitata AINOASTAAN käsillä olevaan perusongelmaan.
Tämä on ilmeisesti välttämätöntä silloin, kun keskustelukumppanit eivät
enää hahmota peruskysymystä ja alkavat takertua jokaisen alatodistelun
muotoiluihin ja rakentamaan *niistä* asiakysymyksiä.
Minua ei siis todellakaan kiinnosta se, pystyykö matematiikka jollakin
*muulla* tavalla käsittelemään sellaista ääretöntä, johon olisi
lisättävissä jotakin (sehän sitä paitsi vain tukisi minun näkökulmaani
perusongelmassa, jos pystyisi).
Minua kiinnostaa ristiriita siinä, että esim. 0,999...999... -merkinnän
järki kiistetään sillä perusteella, ettei matematiikassa äärettömän
pitkän yhdeksikköjonon perään katsota voivan mielekkäästi lisätä
desimaaleja, kun taas äärettömässä käytännön maailmassa ilmeisesti olisi
sellaisia äärettömiä tilasilmukoita, joihin voitaisiin lisätä jotakin.
Näennäinen ristiriita nähdäkseni selittyy vain sillä, että tuossa
käytetty matematiikan ääretön-käsite on jostain syystä sillä tavalla
rajoitetuksi sovittu, ettei se välttämättä kelpaisi kuvaamaan todellista
ääretöntä, mikäli sellaista esiintyisi.
Tuo koko asia on kuitenkin vain oletuksille pohjautuva sivujuonne: niin
kauan kuin mitään ääretöntä ei ole edes käytännössä esittää, on selvää,
ettei väitteellä 0,999... = 1 voi olla mitään todistettavissa olevaa
vastinetta tai merkitystä reaalimaailmassa.
Eli perimmältään olen epäillyt sitä, että onko väittämällä
0,999... = 1 mitään mielekästä merkitystä muualla kuin sopivasti sovitun
ja siten teoreettisen matemaattisen systeemin sisällä? Jotkut muutkin
ovat täällä jo olleet sitä mieltä, että itsestäänselvästi ei tietenkään
voi. Mikä tässä niin vaikeaa on?
--
Esa
Jari Mäkinen
Valmari Antti wrote:
>
> Klassisessa fysiikassa oli mahdollista kuvitella äärettömän ohut
> suora ja sille nollakohta. Nollakohtaan pannaan hitunen. Hitusta
> siirretään eteenpäin suoralla ensin 0,9 cm, sitten 0,09 cm lisää,
> sitten 0,009 cm lisää jne. Mitä kauemmin prosessia jatketaan, sitä
> lähempänä hitu on tasan yhden sentin etäisyyttä nollakohdasta. Jos
> prosessia voisi jatkaa loputtomiin, klassisen fysiikan mukaan hitu
> päätyisi yhden sentin etäisyydelle. Siis klassisen fysiikan mukaan
> 0,999... = 1 liittyisi tosimaailmaan.
>
> Nykyfysiikassa homma ei toimi, koska paikkoja ei voi asettaa
> rajattomalla tarkkuudella. Klassisessakaan fysiikassa homma ei toimi,
> jos hyväksytään, että mitään ei voi mitata rajattomalla tarkkuudella.
Ymmärtääkseni kvanttimekaniikassakin paikka- ja aika-avaruus oletetaan
jatkuviksi, niitä ei ole (vielä) diskretoitu.
Kalle Kivimaa
> Eli perimmältään olen epäillyt sitä, että onko väittämällä
> 0,999... = 1 mitään mielekästä merkitystä muualla kuin sopivasti sovitun
> ja siten teoreettisen matemaattisen systeemin sisällä? Jotkut muutkin
> ovat täällä jo olleet sitä mieltä, että itsestäänselvästi ei tietenkään
> voi. Mikä tässä niin vaikeaa on?
Kuten jo keskustelun alkuvaiheissa useat sinulle sanoivat, on toki
mahdollista konstruoida matemaattinen systeemi, missä 0,999... <> 1.
Luultavasti tällä systeemillä reaalimaailman mallintaminen olisi vaikeampaa
kuin reaalilukujen desimaaliesityksillä, joissa siis pätee, että 0,999... =
1. Sattumalta juuri siksi reaalilukuja ja niiden desimaaliesityksiä
käytetään esimerkiksi fysiikan ilmiöiden mallintamiseen.
Varmasti siinä vaiheessa, kun esimerkiksi fysiikka törmää ongelmaan, jonka
mallintaminen nykyisen matematiikan keinoin on mahdotonta, matemaattinen
tutkimus reagoi asiaan kehittelemällä uusia keinoja. Tällä hetkellä
tietääkseni siihen ei ole tarvetta.
--
* Sacherin toinen laki: Elämä ilman suklaakakkua ei ole elämää. *
Esa Toivonen
> Esa Toivonen wrote:
> > Eli perimmältään olen epäillyt sitä, että onko väittämällä
> > 0,999... = 1 mitään mielekästä merkitystä muualla kuin sopivasti sovitun
> > ja siten teoreettisen matemaattisen systeemin sisällä? Jotkut muutkin
> > ovat täällä jo olleet sitä mieltä, että itsestäänselvästi ei tietenkään
> > voi. Mikä tässä niin vaikeaa on?
> Kuten jo keskustelun alkuvaiheissa useat sinulle sanoivat, on toki
> mahdollista konstruoida matemaattinen systeemi, missä 0,999... <> 1.
> Luultavasti tällä systeemillä reaalimaailman mallintaminen olisi vaikeampaa
> kuin reaalilukujen desimaaliesityksillä, joissa siis pätee, että 0,999... =
> 1. Sattumalta juuri siksi reaalilukuja ja niiden desimaaliesityksiä
> käytetään esimerkiksi fysiikan ilmiöiden mallintamiseen.
>
> Varmasti siinä vaiheessa, kun esimerkiksi fysiikka törmää ongelmaan, jonka
> mallintaminen nykyisen matematiikan keinoin on mahdotonta, matemaattinen
> tutkimus reagoi asiaan kehittelemällä uusia keinoja. Tällä hetkellä
> tietääkseni siihen ei ole tarvetta.
Teoretisoit tuon "luultavuuden" ilman sen kummempia perusteita. Se pätee
perustellusti vain nyt jo tunnettuun havaintomaailmaan.
Toisaalta en ole esittänytkään, että 0,999... <> 1, vaan että
merkinnällä 0,999... = 1 ei ole ainakaan toistaiseksi havaintomaailmassa
mitään mielekästä merkitystä, koska siellä ei esiinny äärettömiä
suureita.
--
Esa
Valmari Antti
Jari Mäkinen kirjoitti:
> Ymmärtääkseni kvanttimekaniikassakin paikka- ja aika-avaruus oletetaan
> jatkuviksi, niitä ei ole (vielä) diskretoitu.
Totta, mutta ei ristiriidassa sen kanssa mitä kirjoitin. Mainitun
päättelyn läpiviemiseksi ei riitä, että paikkoja on äärettömän tiheässä.
Tarvitaan lisäksi, että niitä voi merkitä mielivaltaisen tarkasti, ja se
on kvanttimekaniikan mukaan mahdotonta.
--- AV
Tuomas T Korppi
: Tuomas T Korppi wrote:
: [saksittu kamaa]
:> Mielenkiintoista on, että tällaiset "ulkokohtaiset motivaatiot" eivät
:> rajoitu pelkästään matematiikan soveltamiseen matematiikan ulkopuolelle,
:> vaan niitä esiintyy myös mentäessä tarpeeksi syvälle puhtaassa
:> matematiikassa. (Jolloin teoriaa A arvoidaan sen mukaan, kuinka sillä on
:> sovelluksia teoriaan B.) Esimerkiksi Cech-tyyppisten homologiateorioiden
:> konstruoiminen (Cechin alkuperäinen, Steenrodin, Masseyn versiot jne...)
:> muistuttaa (tosin hieman kärjistäen sanottua) enemmän arkkitehdin tai
:> insinöörin työtä kuin deduktiivista metodia käyttävän
:> matemaatikon/tiedemiehen.
: Algebrallisen topologian opinnot ovat kohdaltani rajoittuneet pariin
: kurssiin, joten en ole aivan varma ymmärsinkö. Arvelisin, että pistäisit
: esimerkiksi simpleksikompleksien avulla määritellyn homologian
: muistuttavan
: tuota insinöörimäistä ajattelua, sehän on helppo laskea, mutta sille on
: vaikeahko todistaa esim. sitä että se on hyvin määritelty eli
: simpleksijaosta
: riippumaton.
Tässä ajattelin lähinnä tiedemiestä henkilönä, joka tutkii todellisuutta
ja insinööriä ja arkkitehtiä henkilöinä, jotka suunnittelevat erilaisia
laitteita ja muita häkkyröitä. Tässä mielessä ajattelin, että
homologiateorioiden konstruoija on enemmän arkkitehti (käytetään nyt tätä
sanaa, niin ei luoda karvalakkivaikutelmaa), koska tässä on kyse nimenomaan
tietynlaisten matemaattisten rakennelmien suunnitelusta, eikä ole
itsestään selvää oikeaa tapaa tehdä nuo rakennelmat. Tarkoitukseni oli
jonkun verran huojuttaa sitä ajatusta, jonka mukaan matematiikka tutkii
ikuisia, muuttumatomia, itsestäänselviä ja kristallinkirkkaita
totuuksia. Toki ne matemaattiset alkeisosaset, joista
homologiateoriatkin
rakennetaan, ovat tuollaisia "kristallinkirkkaita", mutta kaikenlaiset
kristallinkirkas-ideologian vastaiset elementit astuvat peliin, kun
aletaan pohtimaan, että millä tavalla noita alkeisosasia kannattaisi
yhdistellä mielenkiintoiseksi ja hyödylliseksi matemaattiseksi
konstruktioksi.
Tässä mielessä simplisiaalinen homologia ei ole läheskään yhtä
arkkitehtimaista kuin kehittyneemmät homologiat, sillä
Eilenberg-Steenrod -aksioomat (joiden valinnassa kylläkin on vaadittu
arkkitehtihenkeä) määräävät (äärellisten kompleksien) simplisiaalisen
homologian luonnollista isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti.
: Tarkoittaako Cech-tyyli tässä sitä, että määrittely hoidetaan
: rakentamalla
: avaruus taatusti "homologiattomista" (esmes tähtimäisistä) palasista ja
: sitten rakennetaan palasia leikkaamalla kahteen suuntaan ääretön
: diagrammi,
: josta diagonaalisesti liimaamalla saadaan (ko)homologia ulos? Vähän siis
: niin kuin yleistetty Mayer-Vietoris?
Ei, vaan sitä, että lähtökohtaiseti mikä tahansa "halkaisijaltaan"
tarpeeksi pieni n+1 -tuple avaruuden pisteitä määrää "n-simpleksin", ja
homologia määrätään enemmän tai vähemmän suoraan raja-arvona, kun
"simpleksien" "halkaisijan" annetaan pienentyä rajatta. Tämä ajattelu on
itse asiassa taustalla (joskin aika epäsuorasti, mutta vähintään selvä
historiallinen yhteys löytyy) myös siinä Masseyn virityksessä.
Tyypillinen piirre Cech-tyylisille homologioille verrattuna
singulaarisen homologiaan on se, että singulaarinen 0-ulotteinen
homologia antaa avaruuden polkukomponentit, kun taas Cech-tyyliset
0-ulotteiset homologiat antavat jotain suurempaa, yleensä esim. kompaktit
yhtenäiset komponentit. Singulaarisessa homologiassa ei esim. löydetä
sellaista
1-chainia, jolla "päästäisiin yli" siitä topologin sinikäyrän vaikeasta
kohdasta, Cech-tyyppisissä sellainen löydetään.
:> Tämä puuha nimittäin muodostuu lähinnä erilaisten, toisiaan
:> muistuttavien homologiateorian määritelmien antamisesta ja sen jälkeen sen
:> tutkimisesta, että mikä määritelmistämme antaa minkäkinlaista tietoa eri
:> topologisista avaruuksista, ja kuinka määritelmämme toimivat yhteen
:> muiden konstruktioiden (esim. kohomologian) kanssa. Ei voida todistaa yhtä
:> teoreemaa, joka sanoo, että se-ja-se homologiateoria on paras, vaan
:> joudumme tässä päätöksessä käyttämään lähinnä harkintaa ja tervettä järkeä.
:>
: Eikö eri (ko)homologiateoriat sovi kukin omaan tarkoitukseensa?
Toki.
: Muistelen
: algebrallisen topologian luennolla proffan maininneen jonkin aiemmin
: ratkeamattoman
: ongelman, jonka joku ratkaisi noin 20 sivuisessa artikkelissa käyttäen
: mielestään hyvää kohomologiateoriaa. Kollegoilla oli vielä sopivampi
: kohomologia-
: teoria, ja selvitettyään ratkaisun idean he lähettivät alkuperäisellä
: keksijällä
: oman ratkaisunsa postikortille mahdutettuna.
: Ehkä olet kuullut saman tarinan ja osaat identifioida jopa ongelman?
Ikävä kyllä en osaa, enkä ole edes kuullut tarinaa, mutta lasken tuonkin
tarinan tueksi sille argumentilleni,
että tulosten hyvyys on algabrallisessa topologiassa jotain muuta kuin
perinteinen käsitys matemaattisesta totuudesta itsestäänselvänä ja
kristallinkirkkaana:-)
Valmari Antti
Tunnustan kirjoittaneeni jotain tämän tapaista:
> Minusta on huomionarvoista, suorastaan ihmeellistä, että luonnonlait
> sallivat hyvin tehokkaan matematiikan. En tiedä mitään syytä miksi
> niiden pitäisi sallia.
Johon Ville Hakulinen totesi:
! En nyt pitäisi tätä erityisen ihmeellisenä, koska mitä ilmeisimmin
! luonnonlait sallivat tietokoneiden rakentamisen.
Minusta sekin on ihmeellistä, että luonnonlait sallivat tietokoneiden
rakentamisen. Kahdella tavalla ihmeellistä.
- Nykyaikaisen tietokoneen käyttäytyminen vastaa melkein joka kerta
formaalin teorian mukaista ennustetta täydellisesti vielä biljoonienkin
askelien jälkeen. En äkkipäätä keksi mitään muuta teknologista tai
biologista ilmiötä, jossa päästään tällaiseen tarkkuuteen.
- Tietokoneella voi muuttaa formaalit järjestelmät ajatusleikeistä
tosimaailmaan vaikuttaviksi asioiksi. Voidaan rakentaa pommi, joka
räjähtää jos ja vain jos sen näppäimistöltä sisään syötetty enintään
10-numeroinen luku on alkuluku. Saadaan aikaan tilanteita, joissa
tapahtuvia ilmiöitä on toivoton ennustaa sähkömagnetismista jne. käsin,
mutta helppo ennustaa sellaisista formaaleista järjestelmistä käsin,
joita vielä vuonna 1900 olisi pidetty täysin teoreettisina.
Jari Mäkinen kirjoitti:
% Kai tietokoneiden tutkimuskin on luonnontiedettä, taitaapi olla peräti
% mekaniikkaa.
Jätän tämän rautaihmisten vastattavaksi. Mutta ohjelmien tutkimus ei ole
ainakaan mekaniikkaa!
% Rajanveto luonnontieteen ja matematiikan välillä on varsin keinotekoista
% mutta käytännöllisistä syistä tarpeellista.
Ymmärtääkseni asiantuntijoiden yleinen mielipide on kuitenkin se, että
matematiikka ja luonnontieteet ovat aivan eri asia. Toinen tutkii
ajatuksellisia abstraktioita, toinen tosimaailmaa.
comp.theory:ssä käydään sattumoisin juuri nyt aiheeseen liittyvää
keskustelua. Keskustelun taso on ollut comp.theory:n keskusteluksi matala.
% Vakaa käsitykseni on, että
% matematiikka on enemmän kuin vain muodollista peliä.
Niin minunkin käsitykseni. En kuitenkaan olisi hämmästynyt, jos syyni
paljastuisivat erilaisiksi kuin Sinun.
Henri Hansen kirjoitti:
# Erittäin totta. Toisaalta levitointi- tai telepatiataito vaatii muutakin
# kuin sopimuksen siitä, että "nyt levitoidaan" tai "nyt telepatisoidaan".
# (Paitsi tietysti radikaalien postmodernistien mielestä). Symbolien
# pyörittely ei vaadi juuri muuta kuin sopimuksen siitä, mitä ne
# merkitsevät.
Ei ole ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä.
On ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä, jotka
auttavat olemassaolon kovassa taistelussa. Ei ole ihme, että evoluutio
on sellaisia löytänyt, _jos_oletetaan,_että_sellaisia_voi_olla_olemassa_.
Mutta miksi ihmeessä sellaisia pitäisi olla olemassa? Tiedämme, että ne
ovat, mutta se ei poista niiden ihmeellisyyttä sen enempää kuin tieto,
että elämää on olemassa ei ratkaise elämän synnyn arvoitusta.
Sitäpaitsi formaalien järjestelmien maailmalla on sisäistä rakennetta,
joka hämmästyttää minua. Esimerkiksi se, että kaikki ne ovat palautettavissa
lunnollisten lukujen järjestelmään. Tämä rakenne ei ole ihmisen
mielivaltainen luomus.
# Itseasiassa luonnonlait kyllä sallivat sekä levitoinnin että telepatian,
# ja ihminen harrastaa molempia jo nyt (Helikopteri ja kännykkä).
Sanan "telepatia" arkikielen mukaista merkitystä ei ole määritelty
tarkasti, mutta eivätköhän jokseenkin kaikki sanan käyttäjät katso
telepatiaan kuuluvaksi, että tieto siirtyy aivoista ilman puhetta,
kirjoitusta tms. Siis kännykkä ei ole telepatiaa. Helikopterikaan ei
ole levitaatiota vastaavasta syystä, jota en kylläkään osaa eritellä
yhtä selvästi --- ehkäpä olennaista on, että levitoinnissa ei saa
käyttää ulkoista energialähdettä.
# Mikään trendi ei ole viime aikoina mielestäni osoitellut siihen
# suuntaan, että formalistinen ajattelutapa olisi heikkenemässä. Jos
# jotakin, matematiikan "lasihelmipelimäinen" luonne on vain vahvistunut.
Luulenpa, että tämä johtuu vain siitä, että vielä ei ymmärretä
riittävän laajalti, mitä kaikkea matematiikan formalistisesta
luonteesta seuraa.
--- Antti Valmari ---
Tuomas T Korppi
: (*) positiiviset rationaaliluvut voidaan upottaa luonnollisella tavalla
^^^
: minkä tahansa järjestetyn kunnan alikunnaksi.
sana "positiiviset" tuosta tietysti poijjes
Henri Hansen
: - Nykyaikaisen tietokoneen käyttäytyminen vastaa melkein joka kerta
: formaalin teorian mukaista ennustetta täydellisesti vielä biljoonienkin
: askelien jälkeen. En äkkipäätä keksi mitään muuta teknologista tai
: biologista ilmiötä, jossa päästään tällaiseen tarkkuuteen.
Tietokoneen fyysinen konstruktio on sellainen, että virheen
todennäköisyys jokaisella yksittäisellä askeleella on tehty hyvin
pieneksi. Se on paljon pienempi kuin esimerkiksi auton renkaan
tekemän virheen todennäköisyys yhdellä pyörähdyksellä.
Biologisia ja muita ilmiöitä ei voida ennustaa niin hyvin, koska ne
eivät ole ihmisen konstruoimia. Useimmissa teknologisissa ilmiöissä
virhetekijöitä ei ole mahdollista eliminoida samalla tavalla kuin
tietokoneen toiminnasta. Mm. siksi että useimmissa teknologisissa
ilmiöissä on paljon enemmän kitkaa.
: - Tietokoneella voi muuttaa formaalit järjestelmät ajatusleikeistä
: tosimaailmaan vaikuttaviksi asioiksi. Voidaan rakentaa pommi, joka
: räjähtää jos ja vain jos sen näppäimistöltä sisään syötetty enintään
: 10-numeroinen luku on alkuluku. Saadaan aikaan tilanteita, joissa
: tapahtuvia ilmiöitä on toivoton ennustaa sähkömagnetismista jne. käsin,
: mutta helppo ennustaa sellaisista formaaleista järjestelmistä käsin,
: joita vielä vuonna 1900 olisi pidetty täysin teoreettisina.
Olen kuullut sanottavan, että "kolmioepäyhtälö pitää maailman supussa".
Tämä tarkoittaa mm. sitä, että kahdella puolikkaalla askelella ei
päästä kauemmaksi kuin yhdellä kokonaisella. Tietokoneohjelma koostuu
yksittäisistä lyhyistä askelista ja niilla jokaisella on äärimmäisen
pieni vikaantumisen mahdollisuus. Viime kädessä ne pelit joita ihminen
pelaa on vain raapustettu erilaiselle alustalle, biteiksi.
Tämä siis kaikkinensa redusoituu siihen, että mielestäsi on äärimmäisen
ihmeellistä, että voidaan rakentaa käytännössä varmasti toimiva
NAND-portti.
: Ymmärtääkseni asiantuntijoiden yleinen mielipide on kuitenkin se, että
: matematiikka ja luonnontieteet ovat aivan eri asia. Toinen tutkii
: ajatuksellisia abstraktioita, toinen tosimaailmaa.
En tohdi esiintyä asiantuntiana, mutta olen tätä mieltä itsekin.
Matematiikka ei ole luonnontiede, koska se ei tutki luonnonilmiöitä.
: % Vakaa käsitykseni on, että
: % matematiikka on enemmän kuin vain muodollista peliä.
: Niin minunkin käsitykseni. En kuitenkaan olisi hämmästynyt, jos syyni
: paljastuisivat erilaisiksi kuin Sinun.
Eräs yleinen, mielestäni virheellinen, päätelmä on, että formalistinen
matematiikan filosofia tarkoittaisi sitä, että matematiikka on _vain_
muodollista peliä. Todellisuudessahan matematiikka on sitä, mitä
matemaatikot tekevät - muun väittäminen olisi sangen ajattelematonta.
Mielestäni formalistinen katsontakanta ottaa kantaa vain matematiikan
metodiin. Tarvitaan vain sopimus ja symbolit, ja matematiikkaa voidaan
tehdä.
: Ei ole ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä.
: On ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä, jotka
: auttavat olemassaolon kovassa taistelussa.
Minusta puolestaan olisi erittäin suuri ihme jos näin ei olisi!
: Ei ole ihme, että evoluutio
: on sellaisia löytänyt, _jos_oletetaan,_että_sellaisia_voi_olla_olemassa_.
: Mutta miksi ihmeessä sellaisia pitäisi olla olemassa? Tiedämme, että ne
: ovat, mutta se ei poista niiden ihmeellisyyttä sen enempää kuin tieto,
: että elämää on olemassa ei ratkaise elämän synnyn arvoitusta.
Minusta lähdet tässä liikkeelle "väärään suuntaan". Tästä saa sellaisen
käsityksen, että nuo aksioomat olisivat jollakin tavalla "olemassa", jos
ei muutoin, niin "potentiaalisesti olemassaolevina" objekteina _ennen_
kuin ne on keksitty. Ihminen on ponnistellut pitkään ja erikoistunut
aivojensa käyttämiseen - olisi huonoa "bisnestä" ihmiseltä panostaa
sellaiseen ominaisuuteen joka ei toimi.
Aksioomia ja päättelysääntöjä voi olla vaikka miten paljon. Me vain
emme näe niitä, jotka eivät ole toimineet, koska niiden käyttäjät eivät
jääneet henkiin.
: Sitäpaitsi formaalien järjestelmien maailmalla on sisäistä rakennetta,
: joka hämmästyttää minua. Esimerkiksi se, että kaikki ne ovat palautettavissa
: lunnollisten lukujen järjestelmään. Tämä rakenne ei ole ihmisen
: mielivaltainen luomus.
Mielestäni asia on niin, että kun jokin konstruktio on luotu, niin sen
muoto on silloin yksittäisestä tarkastelijasta melko pitkälle
riippumaton. Luonnollisten lukujen rakenne on erittäin
perustavanlaatuinen: me opimme sen jo pienenä lapsena. Mielestäni
formaalit järjestelmät ovat vähän niinkuin Lego-palikoita. Niissä on
samanlaiset nystyrät, joten ne voidaan kaikki rakentaa toistensa osista.
: Sanan "telepatia" arkikielen mukaista merkitystä ei ole määritelty
: tarkasti, mutta eivätköhän jokseenkin kaikki sanan käyttäjät katso
: telepatiaan kuuluvaksi, että tieto siirtyy aivoista ilman puhetta,
: kirjoitusta tms. Siis kännykkä ei ole telepatiaa. Helikopterikaan ei
: ole levitaatiota vastaavasta syystä, jota en kylläkään osaa eritellä
: yhtä selvästi --- ehkäpä olennaista on, että levitoinnissa ei saa
: käyttää ulkoista energialähdettä.
Tietysti nykyisin halutaan määritellä sanat uudestaan. Jos kuitenkin
esittelisimme nykyaikaisen teknologian vaikkapa 1000 vuotta sitten
eläneelle ihmisellä, hän varmasti pitäisi sitä taikuutena.
Mysteeri tempusta katoaa sinä hetkenä kun saa tietää miten se tehdään.
Vaikka osaisimme levitoida ja keskustella telepaattisesti, osaisimme
selittää sen aivan samalla tavalla luonnonlakien avulla kuin
nykyisinkin. Meillä olisi ehkä sisäinen energianlähde ilmaan nousemiseen
tai radiolähetin otsalohkossa.
: # Mikään trendi ei ole viime aikoina mielestäni osoitellut siihen
: # suuntaan, että formalistinen ajattelutapa olisi heikkenemässä. Jos
: # jotakin, matematiikan "lasihelmipelimäinen" luonne on vain vahvistunut.
: Luulenpa, että tämä johtuu vain siitä, että vielä ei ymmärretä
: riittävän laajalti, mitä kaikkea matematiikan formalistisesta
: luonteesta seuraa.
Tarkoitatko, että matematiikan formalistisella luonteella on seurauksia,
jotka saavat lopulta sen menettämään formalistisen luonteensa?
--
han...@cc.tut.fi --- http://get.to/FuFu
"But it doesn't do anything!"
"Wrong. It does Nothing!"
Ari T Koistinen
: Valmari Antti wrote :
: : Ei ole ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä.
: : On ihme, että ihminen voi keksiä aksioomia ja päättelysääntöjä, jotka
: : auttavat olemassaolon kovassa taistelussa.
: Minusta puolestaan olisi erittäin suuri ihme jos näin ei olisi!
Tähän voisi sopia juuri keksimäni aforismi:
- Tosiasioiden hämmästely voi johtua vain puutteellisista tiedoista.
Itseäni hämmästyttävät monet asiat mm. matematiikassa, mutta
hämmästely usein vähenee, kun taustoihin tutustuu tarkemmin.
Toistaiseksi pidän kyllä ihmeenä sitä, että on olemassa olento, joka
voi keksiä matemaattisia aksioomia ja päättelysääntöjä.
Joku toinen esitti joskus hieman jo kuluneen aforismin:
- Kaikkein hämmästyttävintä on se, että yleensä jotain on olemassa.
Tähän ei voi kuin yhtyä.
t. Ari
Sampo Smolander
> comp.theory:ssä käydään sattumoisin juuri nyt aiheeseen liittyvää
> keskustelua. Keskustelun taso on ollut comp.theory:n keskusteluksi matala.
Tarkoittaako matala tuossa huonoa, vai kansantajuista?
--
Sampo.S...@Helsinki.Fi............http://www.cs.helsinki.fi/~ssmoland/
"A cell doesn't have an access to hidden markov models or neural networks,
when it is trying to find the gene to express..." - Soren Brunak
Jari Mäkinen
Kyllä, mutta kvanttimekaniikan geometriasta löytyy myös 0,999... = 1.
Voidaanko sitten massatonta hiukkasta asettaa mihin paikkaan tahansa,
ehkä voidaan, en tiedä. Kvanttimekaniikka on muutoinkin ongelmallinen
sillä mittausta ei teoriankaan puolesta voida suorittaa vaikuttamatta
mitattavaan (tietyissä tilanteissa ainakin).
Jari Mäkinen
>
> Jari Mäkinen kirjoitti:
> % Rajanveto luonnontieteen ja matematiikan välillä on varsin keinotekoista
> % mutta käytännöllisistä syistä tarpeellista.
>
> matematiikka ja luonnontieteet ovat aivan eri asia. Toinen tutkii
> ajatuksellisia abstraktioita, toinen tosimaailmaa.
Luonnontieteessäkin asiat ovat käsitteellisiä, vaikka useimmille
käsitteille löytyy tulkinta luontoon tai näin ainakin ajatellaan
löytyvän. Tässä suhteessa matematiikka ja luonnontiede eivät poikkea
toisistaan.
Toisaalta en sanonut, että matematiikka ja luonnontiede ovat sama asia,
vaan niiden erotteleminen on keinotekoista.
Otsikossa oleva "luonnonlaki" on hieman ongelmallinen, koska sillä on
historiallista painolastia.
Valmari Antti
Henri Hansen kirjoitti:
> Tämä siis kaikkinensa redusoituu siihen, että mielestäsi on äärimmäisen
> ihmeellistä, että voidaan rakentaa käytännössä varmasti toimiva
> NAND-portti.
Tuskin olisit voinut osua pahemmin huti! Mielestäni on ihmeellistä,
että niin yksinkertaisista osista kuin NAND-porteista voidaan rakentaa
laitteita, joiden avulla voi ennustaa mitä moninaisempia luonnonilmiöitä,
ja realisoida mitä moninaisempia formaaleja järjestelmiä.
> Eräs yleinen, mielestäni virheellinen, päätelmä on, että formalistinen
> matematiikan filosofia tarkoittaisi sitä, että matematiikka on _vain_
> muodollista peliä. Todellisuudessahan matematiikka on sitä, mitä
> matemaatikot tekevät - muun väittäminen olisi sangen ajattelematonta.
Jep.
> Mielestäni formalistinen katsontakanta ottaa kantaa vain matematiikan
> metodiin. Tarvitaan vain sopimus ja symbolit, ja matematiikkaa voidaan
> tehdä.
Näissä keskusteluissa olen monta kertaa harmitellut sitä, että monet
näkevät vain sen, että aksioomia ja päättelysääntöjä voi valita
vapaasti. Ymmärrän, että sitä on korostettu --- onhan se aikanaan ollut
radikaali ajatus ja edelleen tuottaa vaikeuksia monille. Mutta samalla
helposti ohitetaan se, että kun aksioomat ja päättelysäännöt on valittu,
virittyy formaalien tosiasioiden kokoelma sekä formaalien teoreemojen joukko,
joita ei valita. Ne suhteet, mitä loogikot merkitsevät "|=" ja "|-" eivät
ole mielivaltaisia --- ne vain ovat.
Tähän voi huomauttaa vastaan, että "|=" ja "|-" tulivat valituiksi kun
valittiin logiikan metodi. Mutta logiikan metodin valinta oli ainakin sikäli
ei-mielivaltaista, että valittiin metodi, joka auttaa ennustamaan maailmaa.
Toiseksi, "|-" on mielekäs ja rikas logiikan ulkopuolellakin, ns. rewrite
systems -maailmssa.
"|=" ja "|-" ominaisuudet palautuvat siihen, että on olemassa mielenkiintoiset
rekursiivisen joukon ja rekursiivisesti lueteltavan joukon käsitteet, jotka
ihminen on pikemminkin löytänyt kuin luonut. Hyväksyisin väitteen että ihminen
on luonut ne, jos saataisiin useita erilaisia rekursiivisen joukon ja
rekursiivisesti lueteltavan joukon käsitteitä valitsemalla erilaisia
lähtökohtia. Mutta niin ei ole käynyt. Monenlaista on yritetty, ja aina on
tullut sama lopputulos (tunnetuin rajoituksin --- tiedän kyllä mitä tapahtuu
jos lähtökohdaksi otetaan oraakkelikoneet, yhden pinon koneet jne.).
> Minusta lähdet tässä liikkeelle "väärään suuntaan". Tästä saa sellaisen
> käsityksen, että nuo aksioomat olisivat jollakin tavalla "olemassa", jos
> ei muutoin, niin "potentiaalisesti olemassaolevina" objekteina _ennen_
> kuin ne on keksitty.
Älä tuijota aksioomia, tuijota sitä mitä niillä voi saada aikaan. Sillä on
rajat! On helppo muodostaa esimerkkejä päättelyjärjestelmältä toivottavista
ominaisuuksista, joita ei voi saavuttaa, vaikka aksioomat ja päättelysäännöt
valittaisiin miten tahansa.
Eli: on olemassa aksiooma- ja päättelyjärjestelmiä, jotka "toimivat" ---
matematiikkamme ja luonnontieteidemme menestys todistaa sen. Evoluutio
selittää ainakin jollain lailla sen, että juuri me olemme sellaisen
löytäneet. Mutta selittämättä jää, miksi ylipäänsä on olemassa (tai
mahdollista konstruoida, jos et pidä ennakolta olemassa olemisesta) aksiooma-
ja päättelyjärjestelmiä, jotka "toimivat". Kysymys on mielekäs, koska
tiedetään, että ei ole olemassa aksiooma- ja päättelyjärjestelmiä, jotka
toimisivat jossain sopivassa mielessä vielä paremmin (esimerkiksi
tuottaisivat vastauksen jokaiseen matemaattiseen kysymykseen).
> Tarkoitatko, että matematiikan formalistisella luonteella on seurauksia,
> jotka saavat lopulta sen menettämään formalistisen luonteensa?
En. Tarkoitan, että monen sellaisen henkilön, joka allekirjoittaa
formalistisen matematiikan idean, käsitys matematiikasta muuttuisi aika
lailla, jos hän tietäisi, mitä kaikkea matematiikan formalistisesta
luonteesta seuraa. Matematiikan formalistinen tulkinta ei ole niin
siisti ja yksioikoinen kuin pitkään luulin. Mitä enemmän olen sitä
opiskellut, sitä useammasta ennakkoluulosta olen joutunut luopumaan.
Pieni esimerkki: minulla on ollut tapana ajatella relaatiosymboleita ja
relaatioita jokseenkin samanveroisina asioina, saman asian ilmentyminä
eri maailmoissa (kieli jolla puhutaan; kohdemaailma josta puhutaan).
Ajat sitten opin, että ei ihan niin: relaatioita on ajoittain niin
paljon, että niille kaikille ei riitä relaatiosymboleita. Aivan viime
viikkoihin asti ajattelin kuitenkin, että toisinpäin pätee: jokaisen
relaatiosymbolin, joka ei tuota ristiriitaa, voidaan katsoa edustavan
relaatiota. Sitten tajusin, että keskeiset joukko-opin relaatiosymbolit
"=" ja "\in" eivät edusta eivätkä voi edustaa mitään relaatioita.
Todistus on loppujen lopuksi hyvin yksinkertainen ja menee kevyesti
läpi sekä naiivissa että ZF-joukko-opissa. Mutta itse asia hätkähdytti.
(Osittain samaa sukua on se tosiasia, että "false" vastaa jotain joukkoa,
mutta "true" ei. Mutta sitä en osannut ihmetellä, koska tiesin, että
moni asia on epäsymmetrinen "not":n suhteen.)
Mutta kirjoittamasi saattaa jopa lopulta toteutua. Jos formalistisella
luonteella on tarpeeksi ikäviä seurauksia, ihmiset lopulta vaihtavat
matematiikan formalistisen tulkinnan johonkin miellyttävämpään.
Sampo Smolander kirjoitti:
! Tarkoittaako matala tuossa huonoa, vai kansantajuista?
Minusta mainittu keskustelu on ollut aika huonoa. Mutta sen se osoittaa,
että ihmisillä on todella erilaisia käsityksiä siitä, mitä matematiikka
on. Mutta jo tässä kotimaisessakin säikeessä olen tunnistavani ainakin
kolme olennaisesti erilaista kantaa.
Ari T Koistinen kirjoitti:
% Tähän voisi sopia juuri keksimäni aforismi:
% - Tosiasioiden hämmästely voi johtua vain puutteellisista tiedoista.
No, vaikka niin. Moni tieteellinen keksintö on saanut alkunsa siitä,
että joku on hoksannut hämmästellä sellaista, missä muut eivät ole nähneet
mitään hämmästeltävää.
--- Antti Valmari ---
Esa Toivonen
> Niemist| Riitta Elina <mar...@korppi.cs.tut.fi> wrote:
> : Tuomas T Korppi <kor...@cc.helsinki.fi> kirjoitteli:
> :> Käsitteellä 0.999... ei ole merkitystä muualla kuin matematiikan
> :> sisällä. Näin ollen kysymys, että onko 0.999...=1 tosi, on mielekäs
> :> kysymys pelkästään matemaattisten systeemien sisällä, ja kysymys siitä,
> :> kuinka asia on "todellisuudessa", ei ole tosi eikä epätosi, vaan mieletön.
> : Kuin? Merkintähän tarkoittaa, että mitä enemmän noita yhdeksikköjä
> : lisätään sitä lähemmäksi päästään ykköstä eikä mitään pienempää
> : ylärajaa tule vastaan.
> Juuri näin, luvut ja lukujen lisäilyt ovat matemaattisia operaatiota.
> Jos puhut luvuista 0.9, 0.99, 0.999, jne, 1, sekä näiden
> laskutoimituksista, puhut nimenomaan matematiikan systeemeistä.
Päättyvillä desimaalimerkinnöillä, kuten 0,999 voi kuitenkin ainakin
periaatteessa olla mielekkäästi sovittu *merkitys* myös suhteessa
havaintomaailmaan (vaikkei se matemaattisen eksakti olekaan, vaan vain
eksaktiuden "kuva" mielekkyyteen), mutta äärettömiin jatkuvien
desimaalilukujen, kuten 0,999... merkitystä on vaikea kuvitella
mitenkään havaintomaailmassa mielekkääksi.
Jos meillä on yksi paperiarkki, se voidaan (jonkin mielekkään
havaintotarkkuuden puitteissa) jakaa 1000 samansuuruiseen osaan, josta
joukosta on helppo havainnollistaa 0,999:n merkitys. Mutta merkinnän
0,999... merkityksen havainnollistamiseksi arkki pitäisi jakaa
äärettömän moneen osaan, mikä on mahdotonta.
Mutta vaikka jako olisi mahdollinenkin, niin silloinkin merkityksen
havainnollistaminen olisi ongelmallista: tarvittaisiinko siihen
reaalimaailmassa kaikki äärettömän monet paperipalat vaiko kaikki miinus
yksi palaa?
Reaalimaailmassahan äärettömän isosta joukosta ilmeisesti voitaisiin
ottaa pois yksittäisiä alkioita, eli esimerkiksi ilmauksella "ääretön
miinus yksi" olisi mieli.
--
Esa
Markku-Juhani Saarinen
: Päättyvillä desimaalimerkinnöillä, kuten 0,999 voi kuitenkin ainakin
: periaatteessa olla mielekkäästi sovittu *merkitys* myös suhteessa
: havaintomaailmaan (vaikkei se matemaattisen eksakti olekaan, vaan vain
: eksaktiuden "kuva" mielekkyyteen), mutta äärettömiin jatkuvien
: desimaalilukujen, kuten 0,999... merkitystä on vaikea kuvitella
: mitenkään havaintomaailmassa mielekkääksi.
Esiintyykö luonnossa sitten rationaalilukuja ? Missä ?
Ehdottaisin, Esa, että jatkot tästä topicista alt.fan.kauko.niemiseen.
Tutustu joskus hänen teoksiinsa niin ymmärrät mihin tälläinen ilman
asianmukaista tietoa aloitettu pseudofilosofinen jauhanta
matematiikasta (tai fysiikasta / tähtitieteestä) johtaa.
Terveisin,
- mj
Markku-Juhani O. Saarinen <mj...@jyu.fi> University of Jyväskylä, Finland
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> wrote:
>
> : Päättyvillä desimaalimerkinnöillä, kuten 0,999 voi kuitenkin ainakin
> : periaatteessa olla mielekkäästi sovittu *merkitys* myös suhteessa
> : havaintomaailmaan (vaikkei se matemaattisen eksakti olekaan, vaan vain
> : eksaktiuden "kuva" mielekkyyteen), mutta äärettömiin jatkuvien
> : desimaalilukujen, kuten 0,999... merkitystä on vaikea kuvitella
> : mitenkään havaintomaailmassa mielekkääksi.
>
> Esiintyykö luonnossa sitten rationaalilukuja ? Missä ?
Luepa se edellinen postaukseni huolella uudelleen - ja myös ylle
siteeraamasi osio siitä. Kyse oli matematiikan lukujen ja merkintöjen
*mielekkäästä* *merkityksestä* suhteessa havaintomaailmaan; siis
eräänlaisesta matemaattisen systeemin *kuvasta* luontoon heijastettuna.
Ei luonnon *eksaktista* matemaattisesta kuvaamisesta.
--
Esa
Niemist| Riitta Elina
> Päättyvillä desimaalimerkinnöillä, kuten 0,999 voi kuitenkin ainakin
> periaatteessa olla mielekkäästi sovittu *merkitys* myös suhteessa
> havaintomaailmaan (vaikkei se matemaattisen eksakti olekaan, vaan vain
> eksaktiuden "kuva" mielekkyyteen), mutta äärettömiin jatkuvien
> desimaalilukujen, kuten 0,999... merkitystä on vaikea kuvitella
> mitenkään havaintomaailmassa mielekkääksi.
No mutta sehän on määritelty mielekkääksi, se sanoo jotakin kaikista
rationaaliluvuista, jotka ovat muotoa 0.999...9 ja joille puolestaan
on mielekäs tulkinta.
--
Riitta Niemistö
p. 365 3863 t. "Mä en enää TYKKÄÄ Euroviisuista!"
261 7273 k. -- Maria Guzenina, 1998
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> kirjoitteli:
> > Päättyvillä desimaalimerkinnöillä, kuten 0,999 voi kuitenkin ainakin
> > periaatteessa olla mielekkäästi sovittu *merkitys* myös suhteessa
> > havaintomaailmaan (vaikkei se matemaattisen eksakti olekaan, vaan vain
> > eksaktiuden "kuva" mielekkyyteen), mutta äärettömiin jatkuvien
> > desimaalilukujen, kuten 0,999... merkitystä on vaikea kuvitella
> > mitenkään havaintomaailmassa mielekkääksi.
>
> No mutta sehän on määritelty mielekkääksi, se sanoo jotakin kaikista
> rationaaliluvuista, jotka ovat muotoa 0.999...9 ja joille puolestaan
> on mielekäs tulkinta.
Millainen tulkinta? Siis havaintomaailmassa?
Ei kai ole todettu sellaisia erillisiksi *havaittavissa* olevia fyysisiä
kohteita, joita olisi äärettömästi? Sehän edellyttäisi äärettömän suurta
maailmaa.
Esimerkiksi omena voidaan kyllä *teoreettisesti* jakaa äärettömän moneen
osaan, mutta silloin kyse on taas jo jostakin teoreettisesta
matemaattisesta systeemistä, jossa jako suoritetaan, eikä sellaisista
*havainnoista* kuin silloin, kun vaikkapa 1000 omenan joukon avulla
*kuvataan* matemaattisen ilmauksen 0,999 merkitystä havaintomaailmassa
mielekkäällä tavalla.
--
Esa
Henri Hansen
:> Tämä siis kaikkinensa redusoituu siihen, että mielestäsi on äärimmäisen
:> ihmeellistä, että voidaan rakentaa käytännössä varmasti toimiva
:> NAND-portti.
: Tuskin olisit voinut osua pahemmin huti!
Vähän niin arvelinkin, tuo oli minulta hieman provosoiva heitto. :)
: Mielestäni on ihmeellistä,
: että niin yksinkertaisista osista kuin NAND-porteista voidaan rakentaa
: laitteita, joiden avulla voi ennustaa mitä moninaisempia luonnonilmiöitä,
: ja realisoida mitä moninaisempia formaaleja järjestelmiä.
Ahaa. NAND-portin perustahan on luonnossa ja sen "laeissa". Mieluummin
kuin laiesta puhuisin luonnon itsesimilaarisuudesta. Luonnossa on
paljon itsesimilaarisuutta, joten ei ole yllättävää, että jostakin
luonnonilmiöstä (siitä, joka mahdollistaa NAND-portin rakentamisen)
syntyy joitakin toisia ilmiöitä (niitä joihin tarvitaan miljuunia
NAND-portteja).
:> Mielestäni formalistinen katsontakanta ottaa kantaa vain matematiikan
:> metodiin. Tarvitaan vain sopimus ja symbolit, ja matematiikkaa voidaan
:> tehdä.
: Näissä keskusteluissa olen monta kertaa harmitellut sitä, että monet
: näkevät vain sen, että aksioomia ja päättelysääntöjä voi valita
: vapaasti. Ymmärrän, että sitä on korostettu --- onhan se aikanaan ollut
: radikaali ajatus ja edelleen tuottaa vaikeuksia monille.
Tuohon aksiomien ja sääntöjen valintaanhan perustuu kaikki
"valinnanvapaus" matematiikassa. Kyllä minuakin harmittaa sellaiset
ajatukset, että ikäänkuin matematiikassa olisi jotain muutakin
sopimuksenvaraista. Ei matematiikassa voi olla muuta sopimuksenvaraista,
koska muuta matematiikkaa ei (mielestäni) ole!
: Mutta samalla
: helposti ohitetaan se, että kun aksioomat ja päättelysäännöt on valittu,
: virittyy formaalien tosiasioiden kokoelma sekä formaalien teoreemojen joukko,
: joita ei valita. Ne suhteet, mitä loogikot merkitsevät "|=" ja "|-" eivät
: ole mielivaltaisia --- ne vain ovat.
Joskus sängyssä maatessani minulle tuli suuri ilmestys tästä asiasta.
Näkemykseni nimittäin on, että valitessaan aksiomat ja päättelysäännöt,
tuo tosiasioiden kokoelma ja teoreemien joukko ei vain virity. Se
valitaan _siinä samalla_.
: Tähän voi huomauttaa vastaan, että "|=" ja "|-" tulivat valituiksi kun
: valittiin logiikan metodi. Mutta logiikan metodin valinta oli ainakin sikäli
: ei-mielivaltaista, että valittiin metodi, joka auttaa ennustamaan maailmaa.
: Toiseksi, "|-" on mielekäs ja rikas logiikan ulkopuolellakin, ns. rewrite
: systems -maailmssa.
Niin, tuo maailman ennustamisen mahdollisuus tulee mielestäni
selitetyksi täysin sillä, että arkikieli rakentaa implisiittisesti lähes
samanlaisen logiikan. En olisi yllättynyt, jos tavanomainen logiikka
olisi jotenkin "kovakoodattu" aivoihimme. Aivot ovat (kaiken muun
ohessa) luonnonilmiö, joka on "erikoistunut" simuloimaan muita
luonnonilmiöitä. Olisi yllättävää, jos aivoille "luontainen" menetelmä
(logiikka) olisi kehno ennustamaan maailmaa.
: "|=" ja "|-" ominaisuudet palautuvat siihen, että on olemassa
: mielenkiintoiset rekursiivisen joukon ja rekursiivisesti lueteltavan
: joukon käsitteet, jotka ihminen on pikemminkin löytänyt kuin luonut.
Mielestäni "löytäminen" voi tässä olla vain samassa merkityksessä kuin
"löytää itsensä", eli se löytäminen on erilaista kuin esimerkiksi
hukassa olleiden avainten löytäminen.
Useimmille ihmisille - enkä minä ole poikkeus - matemaattisen teoreeman
todistamisen kokemus muistuttaa yleensä todellakin enemmän löytämistä
kuin suunnittelua. Tämä johtuu siitä, että ne prosessit, jotka johtavat
todistuksen syntymiseen ovat pitkälle tiedostamattomia. Tämä tukee sitä
käsitystä, että loogiset suhteet ovat tavalla tai toisella "luontaisia"
aivoille.
Kyse on siis siitä, että "NAND"-porteilla ilmaistavissa oleva logiikka
sääntöineen on ilmeisesti hyvin lähellä sitä logiikkaa, jota aivot
todella käyttävät ja ainakin se on erittäin lähellä sitä logiikkaa, joka
on kielessä.
: Älä tuijota aksioomia, tuijota sitä mitä niillä voi saada aikaan. Sillä on
: rajat! On helppo muodostaa esimerkkejä päättelyjärjestelmältä toivottavista
: ominaisuuksista, joita ei voi saavuttaa, vaikka aksioomat ja päättelysäännöt
: valittaisiin miten tahansa.
Se, että se mitä luodaan on mielivaltaista, ei tietenkään tarkoita, että
mitä tahansa voitaisiin luoda. En kai tällaista väittänytkään.
: Eli: on olemassa aksiooma- ja päättelyjärjestelmiä, jotka "toimivat" ---
: matematiikkamme ja luonnontieteidemme menestys todistaa sen. Evoluutio
: selittää ainakin jollain lailla sen, että juuri me olemme sellaisen
: löytäneet. Mutta selittämättä jää, miksi ylipäänsä on olemassa (tai
: mahdollista konstruoida, jos et pidä ennakolta olemassa olemisesta) aksiooma-
: ja päättelyjärjestelmiä, jotka "toimivat". Kysymys on mielekäs, koska
: tiedetään, että ei ole olemassa aksiooma- ja päättelyjärjestelmiä, jotka
: toimisivat jossain sopivassa mielessä vielä paremmin (esimerkiksi
: tuottaisivat vastauksen jokaiseen matemaattiseen kysymykseen).
Luulen, että tähän kohtaa jää ikuinen mysteeri. En usko, että on
mitenkään mahdollista vastata sellaiseen kysymykseen, paristakin syystä.
Ensimmäinen syy on semioottinen; Emme voi antaa kielen sanoille
sellaisia merkityksiä, jotka osoittaisivat kielen ulkopuolelle, joten
jokainen kielellinen selitys selittää asioita vain kielessä olevien
asioiden avulla. Toinen syy on se, että luonnonilmiöt rajoittavat
ihmisen kieltä rajoittamalla aivojen toimintaa. Joitakin
"transsendenttisiä" selityksiä tosin pystytään jo nykyisin antamaan,
mutta minusta ne eivät ole tyydyttäviä - enkä usko, että ne koskaan
voivat sellaisia olla.
: En. Tarkoitan, että monen sellaisen henkilön, joka allekirjoittaa
: formalistisen matematiikan idean, käsitys matematiikasta muuttuisi aika
: lailla, jos hän tietäisi, mitä kaikkea matematiikan formalistisesta
: luonteesta seuraa. Matematiikan formalistinen tulkinta ei ole niin
: siisti ja yksioikoinen kuin pitkään luulin. Mitä enemmän olen sitä
: opiskellut, sitä useammasta ennakkoluulosta olen joutunut luopumaan.
Ymmärrän. Väkisin tulee mieleeni; Onko sinulla käsitys, että
ennakkoluulosi asiasta ovat olleet juuri formalistisia?
: Ajat sitten opin, että ei ihan niin: relaatioita on ajoittain niin
: paljon, että niille kaikille ei riitä relaatiosymboleita. Aivan viime
: viikkoihin asti ajattelin kuitenkin, että toisinpäin pätee: jokaisen
: relaatiosymbolin, joka ei tuota ristiriitaa, voidaan katsoa edustavan
: relaatiota. Sitten tajusin, että keskeiset joukko-opin relaatiosymbolit
: "=" ja "\in" eivät edusta eivätkä voi edustaa mitään relaatioita.
: Todistus on loppujen lopuksi hyvin yksinkertainen ja menee kevyesti
: läpi sekä naiivissa että ZF-joukko-opissa. Mutta itse asia hätkähdytti.
Asia ei hätkähdytä minua, mutta se voi johtua myös siitä, etten ehkä
täysin ymmärrä sitä.
: Mutta kirjoittamasi saattaa jopa lopulta toteutua. Jos formalistisella
: luonteella on tarpeeksi ikäviä seurauksia, ihmiset lopulta vaihtavat
: matematiikan formalistisen tulkinnan johonkin miellyttävämpään.
Saattaa olla. Vaihtaisin mielelläni formalistisen tulkinnan johonkin
miellyttävämpään, jos se sopisi myös muuten maailmankuvaani.
Markku Halmetoja
Tiedän, ettei kannattaisi puuttua itseään viisaampien keskusteluun,
mutta en voi olla heittämättä kommenttia seuraavaan ilmestykseen:
Henri Hansen (han...@cc.tut.NJET.fi):
:!Joskus sängyssä maatessani minulle tuli suuri ilmestys tästä asiasta.
:!Näkemykseni nimittäin on, että valitessaan aksiomat ja
:!päättelysäännöt, tuo tosiasioiden kokoelma ja teoreemien joukko ei
:!vain virity. Se valitaan _siinä samalla_.
Valitaan, mutta tosiasioiden joukko on kuitenkin logiikan
keinoin tavoittamattomissa, sillä mielekkään matematiikan
luominen vaatii mielekkäiden käsitteiden luomista, eikä
nämä käsitteet ole aksioomissa eksplisiittisesti annettuja.
Ei siis voi rakentaa konetta, joka keksisi uusia matemaattisia
käsitteitä ja todistelisi uusien käsitteiden välisiä yhteyksiä.
Otetaan yksinkertainen esimerkki:
Lause: Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret.
Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen; AC = BC.
Väitös: Kulma BAC = kulma ABC.
Todistus: PIIRRETÄÄN janalle AB keskijana CD, jne.... . mot.
Mikä ja minkä logiikan mukaan toimiva kone pystyy tuohon luovaan
konstruktioon, että nimenomaan on piirrettävä keskijana CD?
Vai puhutaanko nyt lainkaan samasta asiasta?
-mh-
Niemist| Riitta Elina
> Ei kai ole todettu sellaisia erillisiksi *havaittavissa* olevia fyysisiä
> kohteita, joita olisi äärettömästi? Sehän edellyttäisi äärettömän suurta
> maailmaa.
Ei tuossa ole kysymys siitä, että niitä olisi äärettömän monta, vaan
siitä, että vaikka niitä olisi kuinka monta (mutta kuitenkin
äärellinen määrä), ykköstä summa ei ylitä, mutta minkä tahansa
pienemmän ylärajan se ylittää, jos yhteenlaskettavia vain on tarpeeksi.
Eikö koulussa enää opeteta raja-arvoja?
--
Riitta Niemistö "Yksi kuva latautuu
p. 365 3863 t. kauemmin kuin tuhat sanaa."
261 7273 k. -- Uudempi sananlasku
Henri Hansen
: Tiedän, ettei kannattaisi puuttua itseään viisaampien keskusteluun,
Tämä lienee sarkasmia... :)
: Valitaan, mutta tosiasioiden joukko on kuitenkin logiikan
: keinoin tavoittamattomissa, sillä mielekkään matematiikan
: luominen vaatii mielekkäiden käsitteiden luomista, eikä
: nämä käsitteet ole aksioomissa eksplisiittisesti annettuja.
Aivan totta. Mutta...
: Ei siis voi rakentaa konetta, joka keksisi uusia matemaattisia
: käsitteitä ja todistelisi uusien käsitteiden välisiä yhteyksiä.
Miksei muka voisi?
: Mikä ja minkä logiikan mukaan toimiva kone pystyy tuohon luovaan
: konstruktioon, että nimenomaan on piirrettävä keskijana CD?
Kone voidaan kait tehdä siten, että se luo merkkijonoja, kunnes jokin
merkkijono on tällaisen "mielekkään" käsitteen määritelmä. Keskijanahan
on jana, jolla on tietyt ominaisuudet.
Esa Toivonen
> Esa Toivonen <esa.to...@sci.fi> kirjoitteli:
> > Ei kai ole todettu sellaisia erillisiksi *havaittavissa* olevia fyysisiä
> > kohteita, joita olisi äärettömästi? Sehän edellyttäisi äärettömän suurta
> > maailmaa.
> Ei tuossa ole kysymys siitä, että niitä olisi äärettömän monta, vaan
> siitä, että vaikka niitä olisi kuinka monta (mutta kuitenkin
> äärellinen määrä), ykköstä summa ei ylitä, mutta minkä tahansa
> pienemmän ylärajan se ylittää, jos yhteenlaskettavia vain on tarpeeksi.
Niin, jos on...
Siispä, mikä tämän teoreettisen toteamuksen merkitys on suhteessa
käytännössä tehtyihin havaintoihin?
Eikö se ole tiukasti katsoen yleistys, jota ei voida milloinkaan
varmuudella todentaa ilman äärettömän suurta työtä?
--
Esa
Harri Mansikka
%> Kone voidaan kait tehdä siten, että se luo merkkijonoja, kunnes jokin
%> merkkijono on tällaisen "mielekkään" käsitteen määritelmä. Keskijanahan
%> on jana, jolla on tietyt ominaisuudet.
Tässä tulee kuitenkin vastaan taas klassikko-ongelma: merkkijonoja
on numeroituvasti, mutta "mielekkäitä käsitteitä" t. ominaisuuksia
on ylinumeroituvasti.
[En ole varma, oliko ihan tästä kyse, mutta en myöskään ole varma,
oliko tuossa artikkelissa kyse samasta asiasta kuin sitä edeltä-
vässä, enkä siitäkään, oliko siinä kyse samasta kuin puolestaan
sitä edeltävässä, enkä...]
--
/ \
// \// / \/
en taro adun
Niemist| Riitta Elina
> Eikö se ole tiukasti katsoen yleistys, jota ei voida milloinkaan
> varmuudella todentaa ilman äärettömän suurta työtä?
Ei tarvita. Sitä varten matematiikan peruskursseilla
opiskellaan epsilontekniikkaa.
--
Riitta Niemistö "Hyvä Jumala
p. 365 3863 t. Se oli kyllä Jussi joka rikkoi maljakon ENKÄ minä.
261 7273 k. Nyt sinulla on se kirjallisesti."
-- Jenny kokoelmassa Lasten kirjeitä Jumalalle