Mittatikun asteikko
Juha
pinnankorkeus mitataan mittatikulla. Mittatikkuun olisi laskettava
nesteen tilavuutta ilmaiseva asteikko esim. prosentteina säiliön koko
tilavuudesta: 10%, 20%, 30%, ..., 100%. Haetaan funktiota l = f(V),
jossa l on nesteen pinnan korkeus ja V on nesteen tilavuus.
Niilo Toivanen
Juha wrote:
Esittämäsi tehtävä on tavattoman vaikea. Trigonometsisia funktioita
pitäisi purkaa sarjakehitlmikseen, ja sinnenkin vastaus olisi vain
sarjakehitelmä, siis eräänlainen äärettömän monennen asteen funktio.
Toisinpäin asia olisi paljon helpompi: Eli V=f(l), tutkitaampa aluksi
sitä.
Tietenkään ei ole mitään tolkkua tarkastella kuin puolet astiasta,
eli alaosassa mitataan öljyn määrää, loppuosassahan sama pätee
ilman määrälle.
Lasketaan säiliön alaosalle exelillä taulukko jossa mittatikun
osoittama käy 0...50% ja öljymäärä käy samoin 0...50%.
Tämä taulukko on laskettu trigonometriasta tutuilla kaavoilla, sektorin
ala on
(keskuskulman puolikas(radiaaneina)) * (säde) * (säde) ja keskuskolmion
ala on (keskuskulman puolikkaan sini) * (keskuskulman puolikkaan kosini) *
(säde) * (säde), ja haettu segmentin ala on näiden edellämainittujen
erotus.
mitta% öljy%
--------------
0.5 0.06
1 0.17
1.5 0.31
2 0.48
2.5 0.67
3 0.87
3.5 1.10
4 1.34
4.5 1.60
5 1.87
5.5 2.15
6 2.45
6.5 2.76
7 3.08
7.5 3.41
8 3.75
8.5 4.10
9 4.46
9.5 4.83
10 5.20
10.5 5.59
11 5.98
11.5 6.39
12 6.80
12.5 7.21
13 7.64
13.5 8.07
14 8.51
14.5 8.95
15 9.41
15.5 9.86
16 10.33
16.5 10.80
17 11.27
17.5 11.75
18 12.24
18.5 12.73
19 13.23
19.5 13.73
20 14.24
20.5 14.75
21 15.27
21.5 15.79
22 16.31
22.5 16.84
23 17.38
23.5 17.91
24 18.45
24.5 19.00
25 19.55
25.5 20.10
26 20.66
26.5 21.22
27 21.78
27.5 22.35
28 22.92
28.5 23.49
29 24.07
29.5 24.65
30 25.23
30.5 25.82
31 26.40
31.5 26.99
32 27.59
32.5 28.18
33 28.78
33.5 29.38
34 29.98
34.5 30.59
35 31.19
35.5 31.80
36 32.41
36.5 33.02
37 33.64
37.5 34.25
38 34.87
38.5 35.49
39 36.11
39.5 36.73
40 37.35
40.5 37.98
41 38.60
41.5 39.23
42 39.86
42.5 40.49
43 41.12
43.5 41.75
44 42.38
44.5 43.01
45 43.64
45.5 44.28
46 44.91
46.5 45.55
47 46.18
47.5 46.82
48 47.45
48.5 48.09
49 48.73
49.5 49.36
50 50.00
Toisaalta, jos nyt kumminkin haluat sen funktion l=f(V), niin säiliön
alaosalle
pätee 3% tarkkuudella: l=(V^0.72)*3, jossa siis molemmat (l ja V) ovat
laaduttamattomia prosenttilukuja 0...50.
NTo
ps. toivottavasti ei sattunut huolimattomuusvirheitä/muita mokia
tahän(kin) postaukseen...
Marko Mäkelä
Niilo> Esittämäsi tehtävä on tavattoman vaikea. Trigonometsisia
Niilo> funktioita pitäisi purkaa sarjakehitlmikseen, ja sinnenkin
Niilo> vastaus olisi vain sarjakehitelmä, siis eräänlainen äärettömän
Niilo> monennen asteen funktio.
Minulla on sellainen muistikuva, että joku kysyi samaa joskus vuonna
1998. Esittämässäni ratkaisussa en purkanut ensimmäistäkään funktiota
sarjakehitelmäkseen.
Muistikuva vahvistui groups.google.com-palvelua käyttämällä.
Keskustelun otsikko oli "Lieriön tilavuus", ja se käytiin vuoden 1998
lokakuussa. Ohessa ote viestistäni:
---
Jos katsot sitä tynnyriä sivulta, niin jäljellä oleva neste muodostaa
ympyräkalotin, jonka korkeus on h. Ympyrän säde on r. Vedetään
ympyrän keskeltä yksi lanka suoraan alas ja toinen nestepinnan
reunaan. Lankojen väliin jää kulma t, jolle cos t = (r-h)/r. Näiden
tietojen avulla voidaan laskea nesteen poikkileikkauksen pinta-ala.
Ympyrän pinta-alahan on pi*r², joten ympyräsektorin (kulma 2t)
pinta-ala on t*r². Tässä t on radiaaneina. Tästä alasta on
vähennettävä nestepinnan ja ympyrän keskipisteen kautta nestepinnan
reunoihin vedettyjen suorien väliin jäävän kolmion ala, joka on
A=(r-h)r*sin t. Koko ala on siis t*r² - (r-h)r*sin t ja tilavuus
V = l * (t*r² - (r-h)*r*sin t)
missä l on tynnyrin pituus ja t=arccos (r-h)/r radiaaneina. Sinun
lukuarvoillasi (r=0,5m, h=0,310m, l=1,80m) saan t=1,181, A=0,207m² ja
V=0,373m³ eli 373 litraa. Vielä on siis aikamoinen juomisurakka
edessä.
---
(Edellinen kysyjä "cxx" (ant...@kauhava.fi) puhui kaljatynnyristä;
öljytynnyriin loppukommentti ei oikein sovellu.)
Marko
Markku-Juhani Saarinen
: Juha wrote:
:> Sylinterin muotoinen säiliö on kyljellään. Säiliön sisältämän nesteen
:> pinnankorkeus mitataan mittatikulla. Mittatikkuun olisi laskettava
:> nesteen tilavuutta ilmaiseva asteikko esim. prosentteina säiliön koko
:> tilavuudesta: 10%, 20%, 30%, ..., 100%. Haetaan funktiota l = f(V),
:> jossa l on nesteen pinnan korkeus ja V on nesteen tilavuus.
: Esittämäsi tehtävä on tavattoman vaikea. Trigonometsisia funktioita
: pitäisi purkaa sarjakehitlmikseen, ja sinnenkin vastaus olisi vain
: sarjakehitelmä, siis eräänlainen äärettömän monennen asteen funktio.
No ei kyllä pidä paikkaansa. Tämä on ihan helppo integrointitehtävä.
En nyt spoilaa.
Tervesin,
- mjos
Markku-Juhani O. Saarinen <mj...@jyu.fi> University of Jyväskylä, Finland
Tuomas
Vastasin tähän nimenomaiseen kysymykseen n. vuosi sitten etsimällä
Mathematicalla sellaisen jaon, että kunkin pääsyn ympyräsiivun pinta-ala
on yhtä paljon (Mathematica osaa ratkaista numeerista integrointia
sisältävän yhtälön ihan kauniisti).
Nyt kyllä ottaa päähän, sillä silloin luulin auttavani oikeasti jotakuta
tekijämiestä, mutta kyse näyttääkin olevan jonkun koulun vuosittain
toistuvasta harjoitustehtävästä. Ei se edes kiittänyt.
TR
Niilo Toivanen
Marko Mäkelä wrote:
> >>>>> "Niilo" == Niilo Toivanen <nixiniku@luukku_suljettu_roskalta.com> writes:
>
> Niilo> Esittämäsi tehtävä on tavattoman vaikea. Trigonometsisia
> Niilo> funktioita pitäisi purkaa sarjakehitlmikseen, ja sinnenkin
> Niilo> vastaus olisi vain sarjakehitelmä, siis eräänlainen äärettömän
> Niilo> monennen asteen funktio.
>
> Minulla on sellainen muistikuva, että joku kysyi samaa joskus vuonna
> 1998. Esittämässäni ratkaisussa en purkanut ensimmäistäkään funktiota
> sarjakehitelmäkseen.
Ehkäpä et, mutta et myöskään vastannut tähän nyt esitettyyn kysymykseen!
>
>
> Muistikuva vahvistui groups.google.com-palvelua käyttämällä.
> Keskustelun otsikko oli "Lieriön tilavuus", ja se käytiin vuoden 1998
> lokakuussa. Ohessa ote viestistäni:
>
> ---
>
> Jos katsot sitä tynnyriä sivulta, niin jäljellä oleva neste muodostaa
> ympyräkalotin, jonka korkeus on h. Ympyrän säde on r. Vedetään
> ympyrän keskeltä yksi lanka suoraan alas ja toinen nestepinnan
> reunaan. Lankojen väliin jää kulma t, jolle cos t = (r-h)/r. Näiden
> tietojen avulla voidaan laskea nesteen poikkileikkauksen pinta-ala.
>
> Ympyrän pinta-alahan on pi*r², joten ympyräsektorin (kulma 2t)
> pinta-ala on t*r². Tässä t on radiaaneina. Tästä alasta on
> vähennettävä nestepinnan ja ympyrän keskipisteen kautta nestepinnan
> reunoihin vedettyjen suorien väliin jäävän kolmion ala, joka on
> A=(r-h)r*sin t. Koko ala on siis t*r² - (r-h)r*sin t ja tilavuus
>
> V = l * (t*r² - (r-h)*r*sin t)
Niin, mutta kun kysyttiin h=f(V), _ei_ kysytty V=f(h).
nixiniku
Niilo Toivanen
Tuomas wrote:
> Vastasin tähän nimenomaiseen kysymykseen n. vuosi sitten etsimällä
> Mathematicalla sellaisen jaon, että kunkin pääsyn ympyräsiivun pinta-ala
> on yhtä paljon (Mathematica osaa ratkaista numeerista integrointia
> sisältävän yhtälön ihan kauniisti).
>
> Nyt kyllä ottaa päähän, sillä silloin luulin auttavani oikeasti jotakuta
> tekijämiestä, mutta kyse näyttääkin olevan jonkun koulun vuosittain
> toistuvasta harjoitustehtävästä. Ei se edes kiittänyt.
>
> TR
>
Joo, niin taitaa olla. Menin itse samaan halpaan, luulin että joku tarvitsee
tietoa, nythän tuli "palkinnoksi" vain "Minä tiedän paremmin..."
kommentteja.
nixiniku
Niilo Toivanen
Markku-Juhani Saarinen wrote:
> Niilo Toivanen <nixiniku@luukku_suljettu_roskalta.com> wrote:
>
> : Juha wrote:
>
> :> Sylinterin muotoinen säiliö on kyljellään. Säiliön sisältämän nesteen
> :> pinnankorkeus mitataan mittatikulla. Mittatikkuun olisi laskettava
> :> nesteen tilavuutta ilmaiseva asteikko esim. prosentteina säiliön koko
> :> tilavuudesta: 10%, 20%, 30%, ..., 100%. Haetaan funktiota l = f(V),
> :> jossa l on nesteen pinnan korkeus ja V on nesteen tilavuus.
>
> : Esittämäsi tehtävä on tavattoman vaikea. Trigonometsisia funktioita
> : pitäisi purkaa sarjakehitlmikseen, ja sinnenkin vastaus olisi vain
> : sarjakehitelmä, siis eräänlainen äärettömän monennen asteen funktio.
>
> No ei kyllä pidä paikkaansa. Tämä on ihan helppo integrointitehtävä.
Totta joo (tosin integroinnin taitajia on vain alle 0.5% väestöstä, joten
väitteesi että tämä on helppo integrointitehtävä sisältää jo itsessään
ristiriidan :).
Tämä lienee myös jonkinlainen koetehtävä jossakin kouluissa sitten.
Nyt kun tarkemmin katsoin niin sqr(1-x^2) on tosiaan integroitavissa.
En tosin muista integroinnista mitään, viimeksi integroin (matemaattisesti)
n.25 vuotta sitten. Sittemmin olen antanut tietokoneen integroida.
>
> En nyt spoilaa.
Vähän outo keskustelupalsta tämä. Normaalistihan toisen esittämään
kysymykseen
vastataan ja ilmoitetaan omat tiedot toisen käyttöön. Täällä taitaa sitten
olla joitakin
omassa koulussa esitettyjen tehtävien kyselijöitä, vai mistä kiikastaa ettei
omaa
tietoa voi jakaa?
Ai niin, tiedepalstahan tämä onkin, tarkoittaako tiedepalsta sitä että kaiken
minkä tiedän pidän omana tietonani?
>
>
> Tervesin,
> - mjos
>
> Markku-Juhani O. Saarinen <mj...@jyu.fi> University of Jyväskylä, Finland
nixiniku
A.C
Juha <ju...@yahoo.com> kirjoitti viestissä:9ohvhf$ngf$1...@tron.sci.fi...
Kyselin samaa joskus taannoin (kuulemma Lokakuussa -98)
Vastauksia tuli muutamia, mutta kukaan ei myöntänyt,
että laskutoimitukseen riittäisi pelkät muuttuvat prosentit,
Markon kanssa jatkoimme tässä ryhmässä tyrehtynyttä keskustelua/
väittelyä, lopuksi sähköpostissa, joka päättyi lupaukseeni ilmoittaa,
kunhan olen ongelman ratkaissut.
Haloo Marko ! mailasin kaavion e-mailiisi joskus Joulukuulla -98,
....saattaa kyllä olla että PowerPoint esitykseni ylittivät postilaatikkosi-
limiitin, ellet kerran ole vastaustani saanut ?!?
Vinoiluista/viittauksista koulutehtäviin, pitää sanoa, että oma ongelmani
alkoi kun tuttu atk-kouluttaja esitteli golleekansa Exelliin rakentamaa
ohjelmaa, ko-tehtävän laskentaan ja kertoi, kuinka joskus kun tapaa
työtehtävissään "kaikki tietäviä opettajia", 99% menee hiljaiseksi,
kun pyytää selittämään ko. laskutavan.
Piti sitten ryhtyä väittämään, että "tuostahan pitää selvitä 2:lla
muuttuvalla prosentilla".
Aloitin ensin kyselyllä täältä, kun turhahan sitä on laskemaan alkaa,
jos joku muu on asian jo selvittänyt ;-)
Ehdottomasti joudun myöntämään, että monet osasivat esittää
"virallisen" laskukaavan. (jota en itse osaa vieläkään.)
Väitin tällöin (ja edelleen) , etten usko ongelmaan tarvittavan
monimutkaisia kaavoja, vaan homma pitää hoitua kahdella
"progressiivisesti" (tjsp) suhteessa toisiinsa muuttuvilla prosenteilla.
Muttakun se PITI saada 2:lla prosentilla !
Koulutehtäviin tästä kaavasta ei taatusti ole pätkääkään hyötyä,
mutta toivottavasti joskus jonnekkin käytännön tarpeeseen.
En väitäkkään kaavaa huiman matemaattis teoreettisen tarkaksi,
mutta täyttänee tehtävänsä esim. öljytynnöri-käytössä, silloin
kun tarkkuudeksi riittää +/- 1-2-litraa.
(Milloin tynnöri käytännössä on edes absoluuttisen vaakasuorassa ?)
Eli koko kaaviota tänne postaamatta, teoria lyhyesti:
Kun nestepinnan korkeus muuttu X % >
> Tilavuuden osuus %-täydestä, muuttuu Y %:a
(Voiko tuota nyt enää vaikeammin selittää......((((
Varsinaista kaavaa, jolla tuon laskin, en tähän hätään enää
löytänyt, mutta kyllä se jossain CD:llä on polteltuna.
Itse valmiin kaavion löysin kyllä ja mikäli jotakuta kiinnostaa,
sen voin kyllä pistää mailiin tai tiedostot ryhmään.
Ymmärtääkseni juuri tätä Juha haki ?!?
Kaavion valmistin itselleni 0-100:aan 5%:n välein ja kahden
desimaalin tarkkuudella.
Esim. Nestepinnan korkeus 75% / kokonais korkeudesta >
> Tilavuus 80,44% Kokonais tilavuudesta.
Tai.........
Nestepinnan korkeus 6,25% / kokonais korkeudesta >
> Tilavuus 2,61% Kokonais tilavuudesta.
jne.......
Ei tuolla ihan matematiikan Nobelia tainnut saada, mutta
tulipa todistettua toimivaksi.
Tyrmäyksiä otetaan mielenkiinnolla vastaan.
PS: Syvät pahoittelut jos vuonna -98 unohtui kiitellä vastaajia!
t: A.C (ent. cxx)
Jape
Ensiksi pyydän Niilolta ja Tuomakselta anteeksi jos en muistanut kiittää kun
joulukuussa 2000 kyselin asiaa ympyrän segmenttinä. Mittatikulla oli tosiaan
todellinen tarve ja se toimii vieläkin taloyhtiössämme ainoana luotettavana
mittana öljysäiliössä. Olen kouluni lopettanut 20vutta sitten eli ei se
ainakaan minun osalta sinne päätynyt.
Eli myöhästyneet kiitokset.
Jape
"Niilo Toivanen" <nixiniku@luukku_suljettu_roskalta.com> kirjoitti viestissä
news:3BB47F46.538E81B@luukku_suljettu_roskalta.com...
Juha
news:9ohvhf$ngf$1...@tron.sci.fi...
Ratkaisin tämän aikoinaan numeerisesti Newtonin menetelmällä. Olisi
vain kiinnostanut tietää mikä tuo funktio on, mistään koulutehtävästä
ei ole kyse. Onko tämä nyt sitten oikeasti vaikea tehtävä vai helppo
integroinnin harjoitustehtävä, johon ei vastausta viitsitä antaa?
Marko Mäkelä
Antti> Jees! Kyselin samaa joskus taannoin (kuulemma Lokakuussa -98)
Antti> Vastauksia tuli muutamia, mutta kukaan ei myöntänyt, että
Antti> laskutoimitukseen riittäisi pelkät muuttuvat prosentit, Markon
Antti> kanssa jatkoimme tässä ryhmässä tyrehtynyttä keskustelua/
Antti> väittelyä, lopuksi sähköpostissa, joka päättyi lupaukseeni
Antti> ilmoittaa, kunhan olen ongelman ratkaissut. Haloo Marko !
Antti> mailasin kaavion e-mailiisi joskus Joulukuulla -98, ....saattaa
Antti> kyllä olla että PowerPoint esitykseni ylittivät
Antti> postilaatikkosi- limiitin, ellet kerran ole vastaustani saanut
Antti> ?!?
Saan ajoittain paljon viestejä (kymmeniä päivässä), joista jää ehkä
muutama viikossa odottelemaan "myöhempää käsittelyä", jolle ei ole
löytynyt aikaa. Ehkä seuraavalla kesälomalla sitten. Koska en käytä
Microsoftin ohjelmia, en pysty lukemaan Powerpoint-esityksiä.
Minulle ja varmaan monille muillekin jäi epäselväksi, mitä tarkoitit
muuttuvilla prosenteilla. Nyt keksin yhden mahdollisen tulkinnan:
haluat sellaisen taulukon, jossa on kaksi saraketta: prosentit
tynnyrin tilavuudesta ja prosentit tynnyrin korkeudesta. Tämä
taulukko voidaan laskea johtamastani yhtälöparista
cos t = (r-h)/r
V = l * (t*r² - (r-h)*r*sin t)
Ville Hakulisen yhtälöparini toisesta yhtälöstä johtama lauseke
h = (V/l - t*r² + r²*sin t) / (r*sin t)
kyljellään makaavan r-säteisen tynnyrin nestepinnan korkeudelle
tilavuuden funktiona ei ole ihan lopullisessa muodossa, koska termi t
sisältää viittauksen nestepinnan korkeudelle.
Mutta palataanpa niihin prosentteihin. Jos keksimäni tulkinta on
oikea, haluat ilmaista nestemäärän tilavuuden V koko tynnyrin
tilavuuteen V'=pi*r²*l nähden siten, että 0% vastaa tyhjää ja 100%
täyttä tynnyriä. Vastaavasti haluat ilmaista nestepinnan korkeuden h
tynnyrin halkaisijaan h'=2*r nähden.
Merkitään näitä suhteita eli "muuttuvia prosentteja" a:lla ja b:llä.
a = h/h' = h/(2*r)
b = V/V' = (t*r² - (r-h)*r*sin t) / (pi*r²)
=> h = 2*r*a
=> V/V' = (t*r² - (r-2*r*a)*r*sin t) / (pi*r²)
Muodostetaan yhtälöt:
cos t = (r-h)/r
b = (t*r² - (r-2*r*a)*r*sin t) / (pi*r²)
ja supistetaan r:t pois:
cos t = 1-2*a
b = (t - (1-2*a)*sin t) / pi
josta yhdistetään
b = (arccos (1-2*a) - (1-2*a)*sin arccos (1-2*a)) / pi
ja edelleen muuttujavaihdolla
c = 1-2*a eli a = (1 - c) / 2
b = (arccos c - c*sin arccos c) / pi
Joku oikea matemaatikko (minä en koe osaavani kuin lukiomatematiikkaa
kohtalaisesti, ja suuren osan siitäkin olen unohtanut) osannee
sieventää tuon sin arccos c:n. Seuraavalla C-kielisellä ohjelmalla
voidaan laskea taulukko:
#include<math.h>
#include<stdio.h>
int
main (int argc, char** argv)
{
double c;
for (c = 1; c > 0; c -= .01) {
double t = acos (c), b = (t - c * sin (t)) / 3.14159265358979323846;
printf ("%.2g\t%.2g\n", (1 - c) / 2, b);
}
return 0;
}
korkeus tilavuus
1 1
0.99 1
0.98 1
0.97 0.99
0.96 0.99
0.95 0.98
[...]
0.54 0.55
0.53 0.54
0.52 0.53
0.51 0.51
0.5 0.5
0.49 0.49
0.48 0.47
0.47 0.46
0.46 0.45
[...]
0.05 0.019
0.04 0.013
0.03 0.0087
0.02 0.0048
0.01 0.0017
0 0 (tätä riviä ohjelma ei tulosta)
Antti> Eli koko kaaviota tänne postaamatta, teoria lyhyesti: Kun
Antti> nestepinnan korkeus muuttu X % Tilavuuden osuus %-täydestä,
Antti> muuttuu Y %:a (Voiko tuota nyt enää vaikeammin selittää......((((
Kyllä voi (ks. yllä). Joskus on vaikeaa saada sanomaansa
yksikäsitteisesti perille luonnollisella kielellä. Formaali esitys on
yksikäsitteinen mutta aiheuttaa usein hylkimisreaktioita ("onpas
kamalan näköisiä kaavoja, enpä viitsi lukea enempää").
Marko
Niilo Toivanen
Juha wrote:
Kyseessä taitaa olla, paha kylläkin, joku integrointikikkailu.
Tässähän ilmiselvästi pitäisi integroida tuo sqr(1-x^2), ja sehän (kaiketi)
käy
kun sen osaa. Minä en kylläkään osaa (tosin jäljet johtavat tiettyihin
trigonometrisiin
funktioihin....).
nixiniku
Sampo Smolander
> Kyseessä taitaa olla, paha kylläkin, joku integrointikikkailu.
> Tässähän ilmiselvästi pitäisi integroida tuo sqr(1-x^2), ja sehän (kaiketi)
> käy kun sen osaa.
Tarkoitat sqrt(1-x^2). Vinkki: sijoitus x = sin(t).
- Sampo Smolander