Epsilon-delta-todistukset
Henri Tapani Heinonen
mokaa aina nuo tehtävät? Lähes aina todistuksistani löytyy jokin kohta, joka
on väärä, epätäsmällinen tai muuten vain huono.
--
Henri Heinonen - filosofian ylioppilas fysiikasta
Tiedelinkkejä: http://www.cc.jyu.fi/~hetahein/tiede/tiedelinkit.html
Henri Tapani Heinonen
news:cl3qjv$e8v$1...@mordred.cc.jyu.fi...
> Mistä löytyisi apua epsilon-delta-todistustehtäviin? Olenkohan ainoa, joka
Tässä olisi itse keksimäni tehtävä. Se ei ole demotehtävä. Voisiko joku
malliksi ratkaista tuon tai antaa vinkkejä? Kyllä minä noin yksinkertaisen
tehtävän oikeastaan osaankin, mutta aina löytyy jotain pientä parantamisen
varaa.
"Olkoon f(x) = 3x. Osoita, että f(x) on jatkuva pisteissä x = 1 ja x = 1002.
Osoita, että f(x) on jatkuva koko R:ssä."
Santeri Itälinna
http://butler.cc.tut.fi/~pohjavir/lama1_03/epsilon.pdf
En tiedä onko tuosta apua juuri sinun ongelmiisi, mutta itse tekniikasta
tuosta saa selvähkön kuvauksen. Fyysikon tuskin kannattaa huolestua
vaikka todistukset eivät onnistuisikaan ;)
Santeri Itälinna
Markku Halmetoja
: In article <cl3qvb$ef7$1...@mordred.cc.jyu.fi>, Henri Tapani Heinonen wrote:
: > "Olkoon f(x) = 3x. Osoita, että f(x) on jatkuva pisteissä x = 1 ja x = 1002.
: > Osoita, että f(x) on jatkuva koko R:ssä."
: Havaitaan, että f on Lipschitz vakiolla C = 4, elikkääs
:
: | f(x) - f(y) | < 4 | x - y |.
:
: Olkoon nyt x e R ja epsilon > 0 annettu. Valitaan delta = 1/4 * epsilon.
: Tällöin selvästi jos | x - y | < delta, niin | f(x) - f(y) | < 4 | x - y |
: < 4 delta < epsilon.
Markku Halmetoja
: :
: : | f(x) - f(y) | < 4 | x - y |.
: :
1002.
Osoita, ett? f(x) on jatkuva koko R:ss?."
Ei tässä mitään Lipswitzejä tarvita: Olkoon epsilon > 0 ja a
mikä tahansa mielivaltaisesti valittu reaaliluku. Tällöin
|f(x) - f(a)| = |3x - 3a| = 3|x - a| < epsilon, jos
|x - a| < epsilon/3 = delta, eli f on jatkuva pisteessä
a ja täten koko R:ssä, koska a oli mielivaltaisesti valittu.
Markkinoilla olisi ilmeisesti tarvetta suomenkieliselle
kirjalle, jossa perusteellisesti selvitettäisiin epsilon-
todistusten laatiminen.
-mh-
Marko Koivuniemi
> Markkinoilla olisi ilmeisesti tarvetta suomenkieliselle
> kirjalle, jossa perusteellisesti selvitettäisiin epsilon-
> todistusten laatiminen.
Olen kyllä samaa mieltä - ainakin itselleni yliopiston luennoilla
välillä tuntui vain että tyhjästä nypsäistiin epsiloneja - yleensä kyllä
hyvin äkkiä motivaatio kurssilla lähestyi pientä epsilonia.
Olisi kyllä erittäin hyödyllistä että joku kirjoittaisi vaikkapa
vihkosen "Pieni epsilon -opas" ;-)
--
T:pi Marko
Valmari Antti
Markku Halmetoja totesi:
> Markkinoilla olisi ilmeisesti tarvetta suomenkieliselle
> kirjalle, jossa perusteellisesti selvitettäisiin epsilon-
> todistusten laatiminen.
Marko Koivuniemi säesti:
! Olen kyllä samaa mieltä - ainakin itselleni yliopiston luennoilla
! välillä tuntui vain että tyhjästä nypsäistiin epsiloneja - yleensä kyllä
! hyvin äkkiä motivaatio kurssilla lähestyi pientä epsilonia.
Auttaisikohan bisimilaarisuuksien ymmärtämisessä käytetty kikka:
ajatellaan epsilon--deltaa kahden pelaajan epäsymmetrisenä pelinä?
On kaksi pelaajaa, Eppu ja Delila. Pelilautana on yksinkertaisimmassa
tapauksessa funktio f(x) ja luku x0. (Yleistyksen monimutkaisempiin
tapauksiin osalta seuraan monien oppikirjojen kunniakasta perinnettä,
eli jätän harjoitustehtäväksi lukijalle.)
Peliä pelataan kierroksittain, tarvittaessa äärettömän monta kierrosta.
Peli on sikäli epäreilu, että jos Eppu voittaa yhdenkin kierroksen, hän
voittaa samalla koko pelin. Delila voittaa pelin vain, jos hän voittaa
jokaisen kierroksen.
Yksi pelikierros koostuu siitä, että ensin Eppu siirtää, sitten Delila
siirtää, sitten Eppu siirtää uudelleen, ja sitten katsotaan miten kävi.
Epun avaussiirto on yksinkertainen: hän valitsee jonkin positiivisen
reaaliluvun ja sanoo sen Delilalle. Hän saa valita ihan minkä tahansa
positiivisen reaaliluvun. Mutta aivan kuten toiset siirrot shakissa ovat
parempia kuin toiset, toiset luvut ovat pelimenestyksen kannalta
parempia kuin toiset. Annamme tälle luvulle nimen --- yllätys, yllätys!
Annamme tälle luvulle nimen epsilon. [ Lue tämä vasta toisella lukukerralla:
Epun mahdollisuudet voittaa kierros ovat sitä paremmat, mitä pienemmän
luvun hän valitsee. Tämän takia sanotaan, että epsilon on pieni, vaikka
määritelmä ei vaadi enempää kuin että epsilon on positiivinen. Tässä
vaiheessa saattaa tuntua, että Epun kannattaisi valita pienin positiivinen
reaaliluku. Mutta: sellaistapa ei ole olemassa! Valitsee Eppu minkä luvun
tahansa, hän olisi voinut valita pienemmän luvun, vaikkapa valitsemansa
luvun puolikkaan. Tämän vuoksi peliä pelataan useita kierroksia. Eppu voi
aloittaa jostakin luvusta, ja koettaa sitten yhä pienempiä lukuja
loputtomiin tai kunnes hän voittaa. ]
Myös Delilan siirto on yksinkertainen: hänkin valitsee jonkin positiivisen
reaaliluvun. Delilan tehtävä on kuitenkin vaikeampi, koska hän tietää
Epun valitseman luvun. Jos hän valitsee tyhmästi, hän häviää. Kuka arvaa,
mikä tämän luvun nimi on?
Sitten on taas Epun vuoro. Hän valitsee reaaliluvun x. Sen ei tarvitse
olla positiivinen. Nyt Epunkin kannattaa miettiä.
Sitten lasketaan. Jos |x - x0| < delta ja |f(x) - f(x0)| >= epsilon,
niin Eppu voitti kierroksen ja siis koko pelin. Muussa tapauksessa
pelataan uusi kierros.
Eppu tai Delila voi hävitä pelin pelaamalla tyhmästi, mutta niinhän on
kaikissa peleissä. Olettakaamme siis, että Eppu ja Delila ovat hyvin,
hyvin taitavia. Kumpi voittaa?
Jos f on jatkuva kohdassa x0, niin Delila voittaa. Muutoin Eppu voittaa.
Niinpä, f voidaan todistaa jatkuvaksi kohdassa x0 osoittamalla, että
Delilalle on tarjolla voiton takaava strategia.
Haasteena on siis osoittaa, että Delilalle on tarjolla voiton takaava
strategia. Usein selkein tapa osoittaa, että jokin möhköfantti on
olemassa on antaa esimerkki. Kannattaa siis esittää strategia, jolla
pelaamalla Delila voittaa. Toisin sanoen, pitää kertoa, miten Delila
valitsee deltan, kun hän tietää, minkä luvun epsilon Eppu valitsi.
Luonnollisesti pitää myös osoittaa, että kuvattu strategia koostuu
vain laillisista siirroista ja todella takaa voiton Delilalle.
Haastetta helpottaa --- ja epsilon--delta -tekniikan ymmärtämistä
vaikeuttaa --- se seikka, että jos voiton takaava strategia on olemassa,
niitä on äärettömän monta. Niinpä eri strategit saattavat kuvailla
erilaiset strategiat. Mutta älkäämme antako tämän häiritä. Mikä tahansa
strategia kelpaa, joka todistettavasti takaa Delilalle voiton.
Tapauksessa f(x) = 3x ja x0 = 1002 strategia "kun Eppu sanoo luvun epsilon,
niin jaan sen kolmella ja sanon tuloksen" takaa voiton. Tässä siis
delta = epsilon / 3. [ Lue tämä vasta toisella lukukerralla: Myös delta =
epsilon / 4 olisi toimiva strategia, ja niin olisi myös "valitse pienempi
luvuista 0,00000000001 ja epsilon / 10". Tällaisissa tilanteissa
matemaatikoilla on tapana suosia toisaalta strategian ja sen pätevyyden
selittämisen yksinkertaisuutta, toisaalta strategian heikkoutta, eli sitä,
että Delilan onnistuminen on hiuskarvan varassa. Heikoin strategia on
nimittäin usein todistuksissa luonnollisin, se jolla asiat "loksahtavat
kohdalleen" tyylikkäimmin. Viimeinen em. strategia on tarpeettoman
monimutkainen, ja keskimmäinen on tarpeettoman vahva, joten matemaatikko
valitsee todennäköisesti ensimmäisen (eikö ole mukava huomata, että
matemaatikko on heikkojen puolella!). Mutta tämä on pelkkä
esteettisyyskysymys. Kaikki kolme kelpaavat. ]
Koska Epun luvun on oltava positiivinen, niin Delilan luku sen
kolmasosana on positiivinen. Se siis täyttää Delilan siirtoa koskevan
laillisuusehdon. Peli jatkuu Epun jälkimmäisellä siirrolla.
Kun Eppu valitsee luvun x, niin käy seuraavasti. Joko |x - x0| < delta
tai sitten se ei ole.
Jos |x - x0| ei ole < delta, niin sääntöjen mukaan Eppu hävisi kierroksen.
Jos |x - x0| < delta, niin silloin |x - x0| < epsilon / 3, ja edelleen
|f(x) - f(x0)| = |3x - 3x0| = 3|x - x0| < 3 epsilon / 3 = epsilon.
Siis |f(x) - f(x0)| < epsilon. Mutta sehän tarkoittaa, että |f(x) - f(x0)|
>= epsilon ei päde, eli nytkin Eppu hävisi kierroksen.
Näemme, että tätä strategiaa noudattamalla Delila pystyy takaamaan, että
tekee Eppu siirtonsa miten tahansa, niin hän häviää joka kierroksen. Siis
3x on jatkuva pisteessä x0 = 1002.
--- Antti Valmari ---
Sampo Smolander
> Auttaisikohan bisimilaarisuuksien ymmärtämisessä käytetty kikka:
> ajatellaan epsilon--deltaa kahden pelaajan epäsymmetrisenä pelinä?
Ainakin minua auttoi fuksina. Laskareissa assistentti selitti että tämän
voi ajatella pelinä, ja jos saadaan tulos että toisella pelaajalle löytyy
pettämätön voittostrategia, niin funktio on sitten jatkuva.
Simo K Kivelä
> Auttaisikohan bisimilaarisuuksien ymmärtämisessä käytetty kikka:
> ajatellaan epsilon--deltaa kahden pelaajan epäsymmetrisenä pelinä?
Peli-idea on minusta hyvä. Teetin kerran erikoistyönä muutaman
Java-appletin tässä hengessä. Kiinnostuneet katsokoot:
http://matta.hut.fi/matta/anim.html ,
kohta 'Funktion jatkuvuus'.
Valitettavasti koodi ei ole aivan virheetöntä ja opastuksissakin
on toivomisen varaa. Kuten alalla tapana on.
SKK
--
Simo K. Kivelä Tel. + 358 9 451 3032
Helsinki University of Technology Fax + 358 9 451 3016
Institute of Mathematics E-mail Simo....@hut.fi
P.O.Box 1100, FIN-02015 HUT, Finland http://www.math.hut.fi/~kivela/
Street address: Otakaari 1, Otaniemi, Espoo http://matta.hut.fi/matta/
Markku Halmetoja
:
: Eipä tietenkään, mutta jos halutaan todistaa jotain mielenkiintoisempaa,
: kuten esimerkiksi, että pisteessä x differentioituva funktio on siinä
: jatkuva, niin yleensä se todistetaan sitä kautta, että se on Lipschitz
: kyseisessä pisteessä.
:
Tarkoitin vain, että kysymystä oli turha
yleistää ja vaikeuttaa, koska kysyjä
kyseli jo vuosi sitten samoja asioita
(ja kaksi vuotta sitten sopivaa oppikirjaa
Sobolev-avaruuksista!). Sen sijaan olisi
sopivaa miettiä, missä on vika, kun alasta
ilmeisen kiinnostut heppu takkuaa tällaisen
kysymyksen kanssa; onko ongelma yleinen ja
onko mitään tehtävissä? Esitetyt pelimallit
ja java-sovellukset ovat hyviä, mutta perus-
ongelmaa ne eivät poista.
-mh-
Timo Korvola
> Tarkoitin vain, että kysymystä oli turha yleistää ja vaikeuttaa
Ville lähti liikkeelle tästä:
>>>>> | f(x) - f(y) | < 4 | x - y |.
Sinä taas tästä:
>>> |f(x) - f(a)| = |3x - 3a| = 3|x - a| [...]
Mikä tuossa Villen lähtökohdassa oli vaikeampaa?
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Markku Halmetoja
: Markku Halmetoja <ham...@mantta.fi> writes:
: > Tarkoitin vain, että kysymystä oli turha yleistää ja vaikeuttaa
:
: Ville lähti liikkeelle tästä:
: >>>>> | f(x) - f(y) | < 4 | x - y |.
:
: Sinä taas tästä:
: >>> |f(x) - f(a)| = |3x - 3a| = 3|x - a| [...]
:
: Mikä tuossa Villen lähtökohdassa oli vaikeampaa?
Olen huomannut, että yleensä kangistutaan, kun esiin
pistetään outo sana, esim. tuo Lipschitz. Ei siinä muuta
vaikeutta tietenkään ole. Alkeiskurssin kanssa kamppaileva
ei ehkä tunne asiaa ja säikähtää.
-mh-
Henri Tapani Heinonen
news:4177b...@news.dnainternet.net...
> (ja kaksi vuotta sitten sopivaa oppikirjaa
> Sobolev-avaruuksista!). Sen sijaan olisi
Juu. En väittänyt osaavani Sobolevejä enkä muutenkaan matematiikkaa, mutta
kyllä ainakin motivaatiota ja kiinnostusta löytynee jonkin verran niitä
kohtaan, vaikka fysiikka onkin lähempänä sydäntäni.
Henri Tapani Heinonen
> ilmeisen kiinnostut heppu takkuaa tällaisen
> kysymyksen kanssa; onko ongelma yleinen ja
Kyllä minä taidan jopa osatakin, mutta eivät näytä silti kelpaavan
todistukset ihan kaikille. Ei ole kovin mieltä ylentävää, kun jokaikinen
piste ja pilkku pitää olla täsmälleen oikeassa paikassa tai muuten todistus
on heti täysin pielessä.
Itse asiassa, tein todistuksen suunnilleen samalla tavalla kuin Halmetoja,
mutta tuokaan ei näytä kelpaavan sellaisenaan. Onko vika siis minussa?
Markku Halmetoja
:
: Itse asiassa, tein todistuksen suunnilleen samalla tavalla kuin ...
Jospa kirjoittaisit tenttitehtävän ja ratkaisusi tänne
pilkun tarkkuudella, niin joku saattaisi opastaa.
-mh-
Marko Koivuniemi
> Auttaisikohan bisimilaarisuuksien ymmärtämisessä käytetty kikka:
> ajatellaan epsilon--deltaa kahden pelaajan epäsymmetrisenä pelinä?
<snip>
Kyllähän tuo selvensi. Mutta itselläni nyt harmaita hiuksia tuottaa
epsilon-delta -todistuksen käyttäminen tilanteessa jossa funktiota ei
tiedetä. (Yliopiston peruskursseihin kuuluva Analyysi 2-kurssin
harjoitustyö)
Yritän nyt ympäripyöreästi selostaa etten paljasta liikaa
tehtävänannosta - olen pähkäillyt asian tiimoilta jo kauan ja
viestitellyt ohjaajan kanssa. Silti itse en ole vielä löytänyt punaista
lankaa.
Eli minulla on funktio josta tiedetään lähinnä vain se että se ei ole
identtisesti 0, ja funktio saa tietyssä f(a+b) kohdassa saman arvon kuin
funktion arvoja operoitaessa kohdissa f(a) ja f(b). Mutta siis en
"pääse" näkemään tuon funktion ja sen parametrien välistä yhteyttä, että
voisin helposti muodostaa yhteyden epsilonin ja deltan välille.
Tässä ohjaajan viestistä pala: "Tässä pitääkin vain verrata muuttujia x
keskenään ja niiden kuvia f(x) keskenään, et tarvitse f:n
eksplisiittistä lauseketta.
Laskusi meni jo oikein ja se edistää todistusta ratkaisevasti, mutta
sinun pitää vielä ymmärtää mitä virkaa noilla luvuilla E ja D tässä on."
--
T:pi Marko
Henri Tapani Heinonen
> Jospa kirjoittaisit tenttitehtävän ja ratkaisusi tänne
> pilkun tarkkuudella, niin joku saattaisi opastaa.
Kyseessä ei edes ole tenttitehtävä, vaan ihan ircissä minulle esitetty
tehtävä. Pitää siis todistaa, että identtinen kuvaus on kaikkialla jatkuva.
Näin sen tein.
"Olkoon epsilon > 0 mielivaltainen. Nyt pitää löytää delta > 0 siten, että
|f(x) - f(x_0)| < epsilon, kun |x - x_0| < delta. Havaitaan, että |f(x) -
f(x_0)| = |x - x_0| < delta < epsilon."
Tuossa sitten kai voisi valita, että <delta = epsilon, jolloin jatkuvuus on
todistettu. Koska x_0 on mielivaltainen, se pätee koko reaalilukuvälillä R.
Mikä meni väärin vai menikö mikään?
Timo Korvola
> "Olkoon epsilon > 0 mielivaltainen. Nyt pitää löytää delta > 0 siten, että
> |f(x) - f(x_0)| < epsilon, kun |x - x_0| < delta. Havaitaan, että |f(x) -
> f(x_0)| = |x - x_0| < delta < epsilon."
> Mikä meni väärin vai menikö mikään?
Et voi havaita delta < epsilon, ennen kuin valitset deltan, etkä
kertonut, miten sen valitsit. Voit toki valita deltan epsilonia
pienemmäksi, ja niin varmaan ajattelitkin, mutta sano se. Jos haluat
olla oikein konkreettinen, valitse delta = epsilon / 2.
Valmari Antti
Henri Heinonen kirjoitti:
> Näin sen tein.
> "Olkoon epsilon > 0 mielivaltainen. Nyt pitää löytää delta > 0 siten, että
> |f(x) - f(x_0)| < epsilon, kun |x - x_0| < delta. Havaitaan, että |f(x) -
> f(x_0)| = |x - x_0| < delta < epsilon."
>
> Tuossa sitten kai voisi valita, että <delta = epsilon, jolloin jatkuvuus on
> todistettu. Koska x_0 on mielivaltainen, se pätee koko reaalilukuvälillä R.
Liekö virhe ollut alunperin vai tullut tänne nyytisiin kirjoitettaessa,
mutta joka tapauksessa tuossa väitetään toisaalta, että delta < epsilon,
ja toisaalta, että delta = epsilon. Nehän eivät voi olla yhtäaikaa totta.
> Kyllä minä taidan jopa osatakin, mutta eivät näytä silti kelpaavan
> todistukset ihan kaikille. Ei ole kovin mieltä ylentävää, kun jokaikinen
> piste ja pilkku pitää olla täsmälleen oikeassa paikassa tai muuten todistus
> on heti täysin pielessä.
Itse asiassa jokaisen pisteen ja pilkun ei tarvitse olla täsmälleen
oikeassa paikassa, mutta jokaisen olennaisen pisteen ja pilkun tarvitsee,
ja vasta kokemuksen myötä oppii, mikä on olennaista. Meillä ihmisillä on
taipumusta omaa tekstiä lukiessamme nähdä se, mitä halusimme sanoa, eikä
se, mitä todellisuudessa sanoimme. Itse olen muun muassa syyllistynyt
kirjoittamaan
\forall x \in A: P(x) /\ Q
missä Q ei viittaa x:ään, kun piti kirjoittaa, että Q pätee, ja P(x) pätee
jokaiselle A:n alkiolle. Vaikka kirjoitin noin, kuitenkin luin sen aina näin
( \forall x \in A: P(x) ) /\ Q
mikä tuottaa eri tuloksen, kun A on tyhjä joukko ja Q ei päde.
Pätevän todistuksen käsite on myös subjektiivinen, ainakin siltä osin
kuin kysytään kuinka yksityiskohtainen sen on oltava. Se, mikä on toiselle
"kaikille tuttuihin" periaatteisiin nojautuva ilmeinen päättelyaskel,
saattaa toisen näkökulmasta olla aukko todistuksessa.
Myös lähtötiedoissa, etenemissuunnitelman kuvauksessa jne. voi olla
ratkaisevia puutteita ilman, että itse huomaamme sitä. Meillä ihmisillä
on voimakas taipumus kirjoittaa tekstejä, joiden loppuosa olettaa sellaisen
yksityiskohdan tietämistä, joka on kirjoittajalle itsestään selvä, mutta
puuttuu tekstistä eikä kuulu yleissivistykseen. Vaatii melkoista
vaivannäköä ja huolehtimista varmistaa, että kaikki, mitä jatkossa
tarvitaan, on sanottu aikanaan.
Jotta asia olisi opiskelijan kannalta vielä hankalampi, opiskelijoiden
tekemiltä todistuksilta on pedagogisista syistä syytä vaatia nimenomaan
nippelitasolla enemmän kuin ammattilaisten todistuksilta. Tieteellistä
paperia arvioidessani hyväksyn sen, että hyvin helppoja yksittäisiä
tarkastuksia (tyyliin "jakaja ei ole nolla") ohitetaan ilman mainintaa,
mutta opiskelijan kohdalla saatan tilanteesta riippuen tulkita sen merkiksi,
että hän ei ole huomannut, että tuokin asia pitää tarkastaa. Samoin
tieteellisessä paperissa kyllä tunnistan induktiotodistuksen vaikka sitä
ei olisi erikseen induktiotodistukseksi sanottukaan, mutta opiskelijan
tapauksessa haluan olla varma, että hän ymmärtää induktiotodistuksen ja
kehäpäätelmän eron.
Otetaanpa tarkasteluun lainausmerkkien väliin panemasi osuus:
> "Olkoon epsilon > 0 mielivaltainen. Nyt pitää löytää delta > 0 siten, että
> |f(x) - f(x_0)| < epsilon, kun |x - x_0| < delta. Havaitaan, että |f(x) -
> f(x_0)| = |x - x_0| < delta < epsilon."
Tästä ei aivan täysin käy ilmi, että ymmärrät jatkuvuuden määritelmän
kaikki kiemurat.
Ei ole sanottu, miten x on kvantifioitu. Tekstissä se on vapaa muuttuja,
mikä on väärin. Todennäköisesti tiedät, miten se pitää kvantifioida, mutta
et ole kirjoittanut sitä tähän.
Ei ole sanottu, mikä delta otetaan. Kenties olet tarkoittanut sanoa, että
mikä tahansa luku nollan ja epsilonin väliltä käy paitsi nolla, mutta
tekstiisi asti tämä viisaus ei ole päätynyt. Sitäpaitsi, yleensä on huono
asia sanoa "otetaan ööksi jokin möhköfantti, jolla on ominaisuus y" jos
olisi ollut helppo sanoa "otetaan ööksi tämä möhköfantti". Näin siksi, että
edellinen edellyttää, että varmistutaan, että ominaisuuden y omaavia
möhköfantteja on olemassa. Jos varmistus on tekemättä (tai tehty päässäsi
mutta ei paperilla), niin todistus on puutteellinen, ja jos varmistus
tehdään, niin kokonaisuus on monimutkaisempi kuin vaihtoehtonsa. Siis: tässä
tapauksessa on parempi sanoa "delta = epsilon" kuin "otetaan deltaksi mikä
tahansa epsilonia pienempi positiivinen luku; sellaisia on olemassa, koska ..."
Henkilö, joka tietää, miten jatkuvuustodistukset normaalisti menevät, mutta
ei ole kohdannut juuri tämän tilanteen jatkuvuustodistusta, saa kirjoittamastasi
sen, mikä häneltä puuttui. Mutta vastausta tarkastava opettaja ei saa
selvyyttä, oletko ymmärtänyt asian pohjia myöten, vai ainoastaan oppinut,
että tällaisissa tilanteissa on tapana kirjoittaa tuontapaisia laskelmia.
--- Antti Valmari ---
Valmari Antti
Marko Koivuniemi kirjoitti:
> funktio saa tietyssä f(a+b) kohdassa saman arvon kuin
> funktion arvoja operoitaessa kohdissa f(a) ja f(b).
En ymmärrä tästä mitään, mutta se tuskin haittaa.
Voi olla, että tässä tapauksessa ei ole mahdollista kertoa, miten
delta lasketaan, jos epsilon on annettu. Mutta riittää, että osoitat,
että vaaditut ehdot täyttävä delta on olemassa. f:stä annettujen
tietojen pitäisi tehdä tämä mahdolliseksi.
Ohjaajasi viestin perusteella näyttää siltä, että hänen ja Sinun
välillä on juuri sellainen tilanne kuin kuvailin vastauksessani Henri
Heinoselle.
--- Antti Valmari ---
Sampo Smolander
> Eli minulla on funktio josta tiedetään lähinnä vain se että se ei ole
> identtisesti 0, ja funktio saa tietyssä f(a+b) kohdassa saman arvon kuin
> funktion arvoja operoitaessa kohdissa f(a) ja f(b).
Mahdatko tarkoittaa että f(a+b) = f(a) + f(b)?
Henri Tapani Heinonen
news:clb5f3$tj8$2...@news.cc.tut.fi...
> Tästä ei aivan täysin käy ilmi, että ymmärrät jatkuvuuden määritelmän
> kaikki kiemurat.
Menikö pahastikin pieleen?-(
> Ei ole sanottu, miten x on kvantifioitu. Tekstissä se on vapaa muuttuja,
> mikä on väärin. Todennäköisesti tiedät, miten se pitää kvantifioida, mutta
Selitätkö tarkemmin? Eikös x ole periaatteessa ihan mielivaltainen, kun
halutaan todistaa, että f(x) on kaikkialla jatkuva?
> Ei ole sanottu, mikä delta otetaan. Kenties olet tarkoittanut sanoa, että
> mikä tahansa luku nollan ja epsilonin väliltä käy paitsi nolla, mutta
> tekstiisi asti tämä viisaus ei ole päätynyt. Sitäpaitsi, yleensä on huono
En ole ainoa, joka tekee niin. Katso
http://www.math.jyu.fi/~terok/opetus/analyysi1/analyysi1.pdf sivu 44/87
kohta ii.
> sen, mikä häneltä puuttui. Mutta vastausta tarkastava opettaja ei saa
> selvyyttä, oletko ymmärtänyt asian pohjia myöten, vai ainoastaan oppinut,
> että tällaisissa tilanteissa on tapana kirjoittaa tuontapaisia laskelmia.
Ei siis kannata haaveilla, että analyysistä tulisi joskus jopa
tutkimuskohde. Niinkö?
Vesa Lappalainen
>> että tällaisissa tilanteissa on tapana kirjoittaa tuontapaisia laskelmia.
> Ei siis kannata haaveilla, että analyysistä tulisi joskus jopa
> tutkimuskohde. Niinkö?
Ymmärrys on lopulta tärkeämpi asia. Oikeasti kun todistuksia
hahmotellaan, oiotaan hyvinkin paljon näitä yksityiskohtia, jotka
kirjallisessa esityksessä lopulta pitää olla sitten ihan kohdallaan.
Vie aikansa oppia kirjoittamaan niin, että nekin asiat jotka
itsestä tuntuvat ilmeiseltä (mutta joihin "vastapuoli voisi tarttua")
osataan laittaa mukaan todistukseen.
Kuten Antti osuvasti sanoikin (kirjoitin itse n. vuosi sitten sinulle
tänne samaan paikkaan vastauksen), voidaan tätä ajatella pelinä.
Vastapuoli valitsee ensin vaikka sen epsilonin ja x0:n ja sitten
on sinun vuorosi osoittaa että sinulla on heittää (tässä tapauksessa)
x0:stä riippumaton delta niin että vaikka vastapuoli ottaisi minkä
tahansa x:än jolle |x0-x| < delta, niin aina
| f(x0) - f(x) | < epsilon.
Siksi lopullisessa todistuksessa sinun pitää selvästi sanoa että
kun epsilon on valittu, niin käyttämällä sinun antamaasi deltaa,
vastustaja ei saa funktion erotusta suureksi. Ja kun olet
"iskenyt" deltasi pöytään, niin sitten lasketaan.
(Oikeastihan se lasketaan ensin toisinpäin ja todetaan mikä
delta riittää ja sitten "käännetään" todistus "takaperin".)
Ymmäryshän tuossa on se, että jatkuva funktio ei voi "loikata"
kovin paljoa jos tutkittavasta pisteestä siirrytään "pikkuriikkisen"
johonkin suuntaan.
Eihän funktio f(x) = 0 kun x <= 0 ja f(x) = 1 kun x > 0
myöskään loikkaa paljoa (vain 1:en verran), mutta oleellista
on että vaikka 0:sta mennään kuinka vähän eteenpäin, niin
heti tulee tuo loikka. Eli se funktion muutos ei ole suhteessa
siihen siirtymään.
Tuossahan jos minä aloitan pelin valitsemalla epsilon = 0.5
ja x0 = 0, niin sinulla ei ole mahdollisuutta valita
delttaa niin, että |f(0)-f(x)| < 0.5 vaikka saisit
mennä x:llä kuinka lähelle tahansa 0:aa positiiviselta
puolelta.
Onko muuten funktio
f(x) = 0 kun x <= 0
f(x) = x kun x > 0 ja x rationaalinen
f(x) = 0 kun x > 0 ja x irrationaalinen
jatkuva pisteissä
1) x < 0
2) x = 0
3) x > 0
Oikeastaan minusta analyysissa on sama ongelma kuin ohjelmoinnissa
opettaa se täsmällisyyden aste, jolla pitää algoritmi
pystyä kirjoittamaan. Moni saattaa vaikka ymmärtää
miten järjestää korttipakan, mutta ei silti osaa kirjoittaa
käyttämäänsä metodia yksityiskohtaisesti. Niin että joku
toinen (saivartelija) voisi sen toistaa kaikissa mahdollissa
korttipakan alkuasennoissa.
Se että osaako joku tämän täsmällisyyden heti vai myöhemmin,
ei vielä takaa sitä etteikö hänestä voisi tulla hyvinkin
hyvä matemaatikko/ohjelmoija. Tiedän tapauksia molemmilta
aloilta, joissa alussa on ollut ongelmia tuon täsmällisyyden
kanssa (mutta ei ymmärryksen), mutta ovat nyt professoreina.
Vesa
Lauri Alanko
Vesa Lappalainen <ve...@tarzan.it.jyu.fi> wrote:
> Oikeastaan minusta analyysissa on sama ongelma kuin ohjelmoinnissa
> opettaa se täsmällisyyden aste, jolla pitää algoritmi
> pystyä kirjoittamaan.
Ero on siinä, että ohjelmoinnissa näkee heti, jos ei ole tarpeeksi
täsmällinen: kone ei yksinkertaisesti tee, mitä pitää. Matematiikassa
riittävän täsmällisyyden aste jätetään yleensä ihmisten arvioitavaksi.
Jos matemaatikoidenkin vaadittaisiin tuottavan todistuksia, joita
koneetkin ymmärtävät, niin epätäsmällisyydestä päästäisiin nopeasti
eroon. Toki homman vaivalloisuuskin sitten lisääntyisi...
Lauri
Risto Paasivirta
Lauri Alanko <l...@iki.fi> wrote:
>Jos matemaatikoidenkin vaadittaisiin tuottavan todistuksia, joita
>koneetkin ymmärtävät, niin epätäsmällisyydestä päästäisiin nopeasti
>eroon. Toki homman vaivalloisuuskin sitten lisääntyisi...
Joskus huvikseni etsin löytyisikö jotain käytännöllistä systeemiä
joka tarkistaisi yleisiä matemaattisia todistuksia automaattisesti,
ja sain vaikutelman, että homma on melkoisen vaiheessa.
(Jotain semmoista löysin ja kokeilinkin, missä teoreemat kirjoitetaan
Lisp-kielen subsetilla. Lisp vaan on niitä kieliä, mitä osaan kirjoittaa,
mutta en lukea. Googlella 'automated theorem proving' löytyy.)
>Lauri
Risto
--
char a[1004]="000",b=57;main(int c){while((a[c+2]=b>
47?b--:0)&&(strstr(a,a+c)-a-c||(c++,b=57)));puts(a);}
Vesa Lappalainen
>> Oikeastaan minusta analyysissa on sama ongelma kuin ohjelmoinnissa
>> opettaa se täsmällisyyden aste, jolla pitää algoritmi
>> pystyä kirjoittamaan.
> Ero on siinä, että ohjelmoinnissa näkee heti, jos ei ole tarpeeksi
> täsmällinen: kone ei yksinkertaisesti tee, mitä pitää. Matematiikassa
Ei ihan näin. Useimmiten opiskelijat LUULEVAT ohjelman toimivan.
Testiaineista vaan on liian pieni. Ja silloin on helppo keksiä
tapauksia joissa ohjelma ei toimikkaan.
Eli aivan sama malli kuin todistuksessa. Todistuksen tekijä
LUULEE todistuksen riittävän.
Itse asiassa nykyisin olen sitä mieltä että riittävän kattavan
testiaineiston keksiminen onkin monelle opiskelijalle se
ohjelmoinnin vaikein puoli. Tiettyjä erikoistapauksia opitaan
aika äkkiä selvittämään, mutta ei nähdä sitä, että missä kaikissa
tilanteissa voi mennä pieleen. Eikä tämä koske vain aloittelijoita
vaan jopa useita kursseja käyneitä henkilöitä.
Vesa
Pekka P. Pirinen
Paasivirta) wrote:
> In article <clgail$ch1$1...@oravannahka.helsinki.fi>,
> Lauri Alanko <l...@iki.fi> wrote:
> >Jos matemaatikoidenkin vaadittaisiin tuottavan todistuksia, joita
> >koneetkin ymmärtävät, niin epätäsmällisyydestä päästäisiin nopeasti
> >eroon. Toki homman vaivalloisuuskin sitten lisääntyisi...
>
> Joskus huvikseni etsin löytyisikö jotain käytännöllistä systeemiä
> joka tarkistaisi yleisiä matemaattisia todistuksia automaattisesti,
> ja sain vaikutelman, että homma on melkoisen vaiheessa.
Ei se ihan käytännöllistä ole tällä hetkellä. Niin kuin Alanko
sanoi, on vaivalloista tuottaa todistuksia, jotka ovat niin
täsmällisiä, että koneetkin ymmärtävät. Yksinkertaisessakin
todistuksessa on valtavasti teknisiä yksityiskohtia, joita
normaalissa matemaattisessa ajattelussa ei edes mietitä. Ja valmista
todistusta on sitten vaikeampi lukea kuin normaalia matemaattista
tekstiä (vaikka tämä voi olla tottumuskysymyskin, kunhan
merkintätavoissa hieman edistytään).
Tietty sitten kun todistus on saatu kirjoitettua, sen tarkistaminen
ei ole ongelma, koska meidän vaatimuksemme formaalille todistukselle
(äärellisiä lausekkeitä, jotka johdetaan mekaanisin askelin
äärellisesti määritellystä joukosta aksioomia ja/tai päättelysääntöjä
jne.) ovat juuri sellaiset, että ne tuottavat tarkistusalgoritmin.
Alan ihmiset tutkivatkin järjestelmiä, jotka interaktiivesti
tukisivat todistuksen konstruointia ja helpottaisivat kaikkien niiden
yksityiskohtien hallintaa.
--
Pekka P. Pirinen
Älä koskaan ilmaise itseäsi selkeämmin kuin ajattelet. - Niels Bohr
Valmari Antti
Henri Heinonen kirjoitti:
> Selitätkö tarkemmin? Eikös x ole periaatteessa ihan mielivaltainen, kun
> halutaan todistaa, että f(x) on kaikkialla jatkuva?
Nyt on tärkeää, että ei hukata asiayhteyttä. Se on:
! Otetaanpa tarkasteluun lainausmerkkien väliin panemasi osuus:
! > "Olkoon epsilon > 0 mielivaltainen. Nyt pitää löytää delta > 0 siten, että
! > |f(x) - f(x_0)| < epsilon, kun |x - x_0| < delta. Havaitaan, että |f(x) -
! > f(x_0)| = |x - x_0| < delta < epsilon."
Tarkasteltu todistus yrittää (erään oman viestisikin mukaan) olla
todistus sille, että f on jatkuva kohdassa *x_0*. Niinpä se, että halutaan
todistaa, että f on kaikkialla jatkuva, ei liity siihen miten x valitaan,
vaan siihen, miten x_0 valitaan. x:n valinnalla on tässä kohdassa
toisenlainen rooli.
Aamulehden sarjakuvan Tarkastaja Vaara sanoo joskus "nenääni kutiaa".
Minun nenääni kutiaa nyt sillä tavalla, että osa ongelmaa on, että et
huomaa, että tekstistäsi ihan oikeasti puuttuu jotakin, minkä kuvittelet
sinne kirjoittaneesi. Tuo lainausmerkkien välinen osa nimenomaan jättää
sanomatta, että x on mielivaltainen.
Voi myös olla, että olet oppinut jatkuvuuden määritelmästä osan mutta
et kaikkea, ja olet tullut sokeaksi sille osalle, jota et ole vielä
oppinut. Et huomaa, että jotakin olennaista puuttuu. Lainausmerkkien
välinen osuus ei tule kuntoon sillä, että sen yhteyteen lisätään "ai
niin, unohdin sanoa, että x on mielivaltainen". Ilmaisun merkitys
riippuu siitä, mihin kohtaan "x on mielivaltainen" sijoitetaan.
Veikkaan, että hyötyisit siitä, että yrittäisit itse määritelmien
avulla selvittää, mitä ja missä kohdassa x:stä pitää sanoa. Jos asia
ei muuten ala purkautua, niin koeta muotoilla sanottavasi kvanttoreiden
"kaikilla" (A ylösalaisin) ja/tai "on olemassa" (E:n peilikuva) avulla.
Älä pahastu, että kirjoitan näin. Pistin päälle opettajamoodin. Mutta
Sinähän halusit oppia, miten asia menee.
> > Ei ole sanottu, mikä delta otetaan. Kenties olet tarkoittanut sanoa, että
> > mikä tahansa luku nollan ja epsilonin väliltä käy paitsi nolla, mutta
> > tekstiisi asti tämä viisaus ei ole päätynyt. Sitäpaitsi, yleensä on huono
>
> En ole ainoa, joka tekee niin. Katso
> http://www.math.jyu.fi/~terok/opetus/analyysi1/analyysi1.pdf sivu 44/87
> kohta ii.
Minusta siellä sanotaan ihan selvästi, että deltaksi otetaan pienin
luvuista delta_1, delta_2 ja delta_3. Myös on kerrottu, mistä kukin
delta_i tulee.
> > sen, mikä häneltä puuttui. Mutta vastausta tarkastava opettaja ei saa
> > selvyyttä, oletko ymmärtänyt asian pohjia myöten, vai ainoastaan oppinut,
> > että tällaisissa tilanteissa on tapana kirjoittaa tuontapaisia laskelmia.
>
> > Ei siis kannata haaveilla, että analyysistä tulisi joskus jopa
> > tutkimuskohde. Niinkö?
Mitä tällä tarkoitat? Näyttää, että tuossa epäsuorasti väität minun sanoneen,
että Sinä et tule ymmärtämään jatkuvuuden määritelmää läpikotaisin. Mutta
en minä ole sellaista sanonut, vaan ainoastaan yrittänyt selittää, miksi
opettajat ovat yksityiskohtien suhteen niuhoja.
--- Antti Valmari ---
Tuomas T Korppi
virheesi ovat yleisiä analyysin opiskelua aloitteleville, katson, saisinko
keskustelua aikaiseksi. Ehkä me opettajan/laskuharjoitusassistentin
vinkkelistä asiaa katsovatkin oppisimme jotakin. Toivottavasti et koe
tätä virheilläsi reposteluksi; minua ihan oikeasti kiinostaisi tietää,
mitä analyysiä aloittelevien päässä liikkuu, jotta osaisin kohdistaa
omaa duuniani laskareissa paremmin:-)
Valmari Antti <ava@.c.s...t.u.t...f.i.invalid> wrote:
: Voi myös olla, että olet oppinut jatkuvuuden määritelmästä osan mutta
: et kaikkea, ja olet tullut sokeaksi sille osalle, jota et ole vielä
: oppinut. Et huomaa, että jotakin olennaista puuttuu. Lainausmerkkien
: välinen osuus ei tule kuntoon sillä, että sen yhteyteen lisätään "ai
: niin, unohdin sanoa, että x on mielivaltainen". Ilmaisun merkitys
: riippuu siitä, mihin kohtaan "x on mielivaltainen" sijoitetaan.
Tämä analyysiä aloittelevien "pelkkä lasku ilman eksplisiittistä muuttujien
sitomista"-syndrooma on omien kokemuksieni mukaan aika yleinen. Minulle
on vain suuri mysteeri, että onko kyseessä puute (1) matemaattisen
asian ymmärtämisessä vai pelkästään (2) matemaattisen tekstin
kirjoittamistaidoissa.
Aikoinaan lukiossa huomasin, että monet mielsivät tehtävät laskuina,
joihin sitten lisättiin erilaisia ulkoaopeteltuja mantroja tyyliin
"funktio on jatkuva ja derivoituva". Minulla on usein sellainen
tunne, että aloittelevat analyysin opiskelijat mieltävät eksplisiittisen
muuttujien sitomisen juuri sellaisina mantroina, jotka kuuluu kirjoittaa
ennen laskua, ja jotka he turhana itsestäänselvyytenä tahtovat jättää pois.
Tällaisen asenteen itse lukisin ennemmin pykälään (2) kuuluvaksi. Toisaalta
opiskelijat osaavat kyllä laskea, mutta abstraktit todistukset, joihin ei
liity "laskua", ovat heille vaikeita. Puhuisiko tämä sen puolesta, että
kyseessä kuitenkin olisi pykälään (1) kuuluva ongelma.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
------------------------------------------------------------
..."for whom the bell tolls" becomes "such that the bell
tolls for him." (W.V.O. Quine)
Henri Tapani Heinonen
> todistaa, että f on kaikkialla jatkuva, ei liity siihen miten x valitaan,
> vaan siihen, miten x_0 valitaan. x:n valinnalla on tässä kohdassa
Niin minun varmaan pitikin kirjoittaa, mutta jostain syystä alaindeksi jäi
pois.
Juha Lemmetti
> Eli minulla on funktio josta tiedetään lähinnä vain se että se ei ole
> identtisesti 0, ja funktio saa tietyssä f(a+b) kohdassa saman arvon kuin
> funktion arvoja operoitaessa kohdissa f(a) ja f(b). Mutta siis en
> "pääse" näkemään tuon funktion ja sen parametrien välistä yhteyttä, että
> voisin helposti muodostaa yhteyden epsilonin ja deltan välille.
Hei,
Yritin vastata tähän ja tulinkin siihen tulokseen etten osaa. Joten,
voisiko joku valaista minuakin :-)
Jos otetaan esimerkki: Olkoon f(x) määritelty R:ssä. Todista, että se on
jatkuva R:ssä, kun
f(a) + f(b) = f(a)*f(b) (tai ihan-mikä-tahansa-muukin)
Tällöin:
|x - x0| < delta => |f(x) - f(x0)| < epsilon
Jos nyt helpotukseksi valitaan x = x0 + h, saadaan
| h | < delta => | ( f(h) - 1 ) * f(x0) | < epsilon
Nyt valitaan epsiloniksi vaikka 2/3. Miten valitaan delta???
Sen tajuan, että pitäisi osoittaa, että f(h) - 1 saadaan mielivaltaisen
pieneksi. Tällöin voisin valita vaikka deltan siten, että h < delta
=> |1 - f(h)| < 1/f(x0).
Onko siis tässä tapauksessa jatkuvuuden osoittamiseksi ruvettava
analysoimaan funktion käyttäytymistä nollan ympäristössä, vai onko tähän
jokin kikka olemassa?
*J
Markku Halmetoja
:
: f(a) + f(b) = f(a)*f(b) (tai ihan-mikä-tahansa-muukin)
--------
: Onko siis tässä tapauksessa jatkuvuuden osoittamiseksi ruvettava
: analysoimaan funktion käyttäytymistä nollan ympäristössä, vai onko tähän
: jokin kikka olemassa?
Pitää olettaa, että f on nollassa jatkuva ja
että f(0) =/= 0.
-mh-
Mikko Kangasmaki
: tutkimuskohde. Niinkö?
Aika monelle nuo epsilon-delta-jutut ovat aluksi vaikeita, ja yleensäkin
yliopistomatematiikkaan hyppääminen on pieni shokki, kun kaikkea esitettyä
ei heti ymmärrä, tai edes tiedä mitä ne ovat. Esimerkikis itse kauhistuin
aikoinani matriiseja, kun en tajunnut, mitä olioita ne oikein ovat, ja
erityisesti, miksi ne yleensäkin ovat. Yleispätevä neuvo on, että
kannattaa opetella ensin laskemaan vaikkapa vain mekaanisesti, ja yleensä
jossain vaiheessa asiat menevät paikalleen, jos ovat mennäkseen.
Sen sijaan kannattaa hieman tuumia, halutako ylipäänsä tutkijaksi
analyysista. Tosiasia on,e ttä analyysin tutkijat joutuvat ammatikseen
tutkimaan analyysia kokopäivätoimisesti. Jos ei pidä analyysista, se on
aika suuri hinta maksettavaksi siitä, että saa olla tutkija. Kannattaa
meiluummin paneutua siihen mitä on kulloinkin on tekemässä, ja yrittää
iloita episloneiden ja deltojen kanssa touhaamisesta.
Ehkä voisit seuraavaksi todistaa, että x^2 (äks toiseen) on jatkuva, niin
näkyy paremmin, mikä menee vikaan, jos mikään. Ja sitten: selitä
mieluummin liian yksityiskohtaisesti kuin pikaisesti. Yritä selittää miten
itse ajattelet todistuksen, älä yritä jäljitellä muitten tyyliä.
Ja vielä erittäin oleellinen käytännön vinkki: kannattaa käydä analyysin
ohjauksissa.
m.k.
Timo Korvola
> On 2004-10-22, Marko Koivuniemi <koi...@iki.fi> wrote:
>> funktio saa tietyssä f(a+b) kohdassa saman arvon kuin
>> funktion arvoja operoitaessa kohdissa f(a) ja f(b).
> f(a) + f(b) = f(a)*f(b) (tai ihan-mikä-tahansa-muukin)
Tuo ei ollut ihan sitä, mitä haettiin.
2 f(a) = f(a)^2. Kaksi vaihtoehtoa: f(a) = 0, josta seuraa f(b) = 0
kaikilla b, tai f(a) = 2, josta seuraa f(b) = 2 kaikilla b.
Markku Halmetoja
ps.
Tuo funktionaaliyhtälö on tietenkin oltava
f(a + b) = f(a)*f(b)
Juha Lemmetti
>:
>: f(a) + f(b) = f(a)*f(b) (tai ihan-mikä-tahansa-muukin)
Tämän pitäisi siis todellakin olla
f(a + b) = f(a)*f(b)
Pahoittelen typoa.
On 2004-10-26, Markku Halmetoja <ham...@mantta.fi> wrote:
> Pitää olettaa, että f on nollassa jatkuva ja
> että f(0) =/= 0.
f(0) = 0 => f(x) = f(x + 0) = f(x)*f(0) = 0
En näe tuossa ongelmaa. Seurauksena vain on triviaaliratkaisu (tällöin
f(x0) = 0 ja epsilonin voipi valita kuinka haluaa :-) )
Jatkuvuutta taas ei mielestäni voida olettaa kun pitäisi juurikin
osoittaa, että funktio on jatkuva. Sen sijaan on aika helppoa todeta, että
f(0) on joko 0 tai 1, ja tämän jälkeen on mahdollista molemmissa
tapauksissa todeta erinäisiä asioita funktion käyttäytymisestä nollan
ympäristössä. Mutta voiko tämän tarkastelun välttää?
*J
Markku Halmetoja
:
: Jatkuvuutta taas ei mielestäni voida olettaa kun pitäisi juurikin
: f(0) on joko 0 tai 1, ja tämän jälkeen on mahdollista molemmissa
: tapauksissa todeta erinäisiä asioita funktion käyttäytymisestä nollan
: ympäristössä. Mutta voiko tämän tarkastelun välttää?
Voidaan todistaa, että jos ko. f on origossa
jatkuva, niin se on jatkuva kaikkialla, mutta
ei voida todistaa, että funktionaaliyhtälöstä
f(a+b) = f(a)*f(b) seuraisi, että f olisi jatkuva
yhdessäkään pisteessä. Voidaan nimittäin konstruoida
vastaesimerkki, mutta sitä en osaa. Joku keskustelussa
vilahtanut suur-analyytikko voisi kertoa asiasta.
-mh-
Jyrki Lahtonen
> Voidaan todistaa, että jos ko. f on origossa
> jatkuva, niin se on jatkuva kaikkialla, mutta
> ei voida todistaa, että funktionaaliyhtälöstä
> f(a+b) = f(a)*f(b) seuraisi, että f olisi jatkuva
> yhdessäkään pisteessä. Voidaan nimittäin konstruoida
> vastaesimerkki, mutta sitä en osaa. Joku keskustelussa
> vilahtanut suur-analyytikko voisi kertoa asiasta.
>
> -mh-
Vastaesimerkki ei edellytä niinkään analyysin kuin
joukko-opin ja algebran taitoja. Jos nimittäin
g:R->R on funktio, jolle
g(a+b)=g(a)+g(b) kaikille reaaliluvuille a ja b, (*)
niin f(x)=e^g(x) toteuttaa vaaditun yhtälön. Kaikki
jatkuvat, yo. ehdon toteuttavat funktiot ovat muotoa
g(x)=kx jollekin kertoimelle k. Nimittäin ehdosta (*)
seuraa kohtuullisen helposti, että g on lineaarinen
yli rationaalilukujen kunnan Q, eli
g(qx)=q g(x) kaikille x \in R ja q\in Q.
Jos sitten oletetaan, että g on jatkuva nähdään, että
g(x)=g(1)x kaikilla reaaliluvuilla x.
Epäjatkuvia Q-lineaarisia funktiota voi konstruoida
paljonkin, kunhan osoittaa ensin, että R:llä on kanta
Q-kertoimisena vektoriavaruutena. Tämän standarditodistus
edellyttää Zornin Lemman käyttöä eli siis viime kädessä
valinta-aksiooman käyttöä (loogikot kommentoikoot, jos
kannan olemassaolo voidaan muutoinkin todistaa). (Tälläinen
kanta on sitten pakosta ylinumeroituva.) Täydentämällä
valitun kannan mikä tahansa permutaatio Q-lineaariseksi
kuvaukseksi saadaan Q-lineaarisia bijektioita g:R->R, jotka
eivät ole muotoa g(x)=kx. (Koska permutaatiot eivät kaikki
kommutoi keskenään, niin mainittujen lineaarikuvausten joukko
ei voi sisältyä jatkuvien lineaarikuvausten joukkoon, koska
jälkimmäinen joukko muodostuu vain keskenään kommutoivista
kuvauksista.)
Zornin lemmasta siis seuraa helpohkosti ehdon (*) toteuttavien
epäjatkuvien funktioiden olemassaolo. En kuitenkaan osaa
"konstruoida" yhtään esimerkkiä siinä mielessä, että voisin
kirjoittaa ko. muotoa olevan funktion lausekkeen:)
Cheers,
Jyrki Lahtonen, Turun yliopisto
Markku Halmetoja
: Vastaesimerkki ei edellytä niinkään analyysin kuin
: joukko-opin ja algebran taitoja. Jos nimittäin
: g:R->R on funktio, jolle
-------
: Zornin lemmasta siis seuraa helpohkosti ehdon (*) toteuttavien
: epäjatkuvien funktioiden olemassaolo. En kuitenkaan osaa
: "konstruoida" yhtään esimerkkiä siinä mielessä, että voisin
: kirjoittaa ko. muotoa olevan funktion lausekkeen:)
Eli siis voidaan todistaa olemassaolo, mutta konkreettisen
funktion konstruointi lienee mahdottomuus. Nyt muistankin,
että samasta asiasta on ehkä 5 vuotta sitten keskusteltu
täällä.
-mh-
Juha Lemmetti
> Zornin lemmasta siis seuraa helpohkosti ehdon (*) toteuttavien
> epäjatkuvien funktioiden olemassaolo. En kuitenkaan osaa
> "konstruoida" yhtään esimerkkiä siinä mielessä, että voisin
> kirjoittaa ko. muotoa olevan funktion lausekkeen:)
Jahas, ilmankos en saanut sitä todistusta menemään läpi... :-)
Käsittääkseni siitä, että f(x) toteuttaa annetun ehdon f(a+b)=f(a)f(b) ja
se ei ole jatkuva nollan ympäristössä, seuraa se, että funktio saa
mielivaltaisen suuria arvoja nollan ympäristössä. Ajattelin, että siitä
saisi jonkinlaisen ristiriidan aikaan. Mutta näemmä ei saa...
Mikäs tuossa sitten olisi riittävä ehto jatkuvuudelle? Riittääkö se, että
funktiolla on jokaisella suljetulla (arvojoukon) välillä ala- ja yläraja?
*J
Juha Lemmetti
> epäjatkuvien funktioiden olemassaolo. En kuitenkaan osaa
> "konstruoida" yhtään esimerkkiä siinä mielessä, että voisin
> kirjoittaa ko. muotoa olevan funktion lausekkeen:)
Jahas, ilmankos en saanut sitä todistusta menemään läpi... :-)
Käsittääkseni siitä, että f(x) toteuttaa annetun ehdon f(a+b)=f(a)f(b) ja
se ei ole jatkuva nollan ympäristössä, seuraa se, että funktio saa
mielivaltaisen suuria arvoja nollan ympäristössä. Ajattelin, että siitä
saisi jonkinlaisen ristiriidan aikaan. Mutta näemmä ei saa...
Mikäs tuossa sitten olisi riittävä ehto jatkuvuudelle? Riittääkö se, että
funktiolla on jokaisella suljetulla (määrittelyjoukon) välillä ala- ja
yläraja?
*J
Henri Tapani Heinonen
news:clku90$2vp$1...@mordred.cc.jyu.fi...
> Ehkä voisit seuraavaksi todistaa, että x^2 (äks toiseen) on jatkuva, niin
> näkyy paremmin, mikä menee vikaan, jos mikään. Ja sitten: selitä
Yritän seuraavassa todistaa, että f: R->R, f(x) = x^2 on jatkuva kohdassa
x_0 = 2..
Olkoon epsilon > 0 ja x_0 = 2. Valitaan delta = (ei vielä tiedetä), jolloin
kun |x - 2| < delta on |f(x) - f(2)| = |x^2 - 2^2| = |x-2||x+2| < 5|x-2| <
5*delta < 5(epsilon/5) = epsilon.
(|x-2||x+2| < 5|x-2| saadaan tiedosta: jos delta < 1, niin |x-2| < delta.
Siis 1 < x < 3. Valitaan siis |x+2| < 3 + 2 = 5.)
Valitaan deltaksi delta = min{1, epsilon/5}. Siis, f(x) on jatkuva ainakin
pisteessä x_0 = 2. QED.
Toivottavasti nyt meni edes sinnepäin. Mitenkäs tuossa voidaan laskea tuo
läpi mielivaltaiselle x?
> Ja vielä erittäin oleellinen käytännön vinkki: kannattaa käydä analyysin
> ohjauksissa.
Olenhan minä toki käynytkin. :-)
Henri Tapani Heinonen
news:cm5rfn$ub6$1...@mordred.cc.jyu.fi...
> Toivottavasti nyt meni edes sinnepäin. Mitenkäs tuossa voidaan laskea tuo
> läpi mielivaltaiselle x?
Siis. Mielivaltaiselle x_0.
Mikko Kangasmaki
: Yritän seuraavassa todistaa, että f: R->R, f(x) = x^2 on jatkuva kohdassa
: x_0 = 2..
Joo, tämä oli nähdäkseni aivan oikein. Annan vielä muutaman pedantin
kommentin (koska kannattaa aina vaatia hieman enemmän kuin on
tarpeellista).
: Olkoon epsilon > 0 ja x_0 = 2. Valitaan delta = (ei vielä tiedetä), jolloin
: kun |x - 2| < delta on |f(x) - f(2)| = |x^2 - 2^2| = |x-2||x+2| < 5|x-2| <
: 5*delta < 5(epsilon/5) = epsilon.
Tuo viimeinen epäyhtälöhän muuttuu todeksi vasta kun delta on valittu
pienemmäksi kuin epsilon/5, minkä kyllä teetkin pian, mutta itse
ilmaisisin asian näin:
|f(x)-f(2)| = |x^2 -2^2|
= |x+2||x-2|
< 5|x-2| *
=< 5 delta < epsilon,
jos delta < epsilon/5. Valitaan siis delta=min{1,epsilon/5}, jolloin
|x-2|< delta ==> |f(x)-f(2)| < epsilon, eli f on jatkuva pisteessä 2.
Tässä siis =< tarkoittaa on pienempi tai yhtäsuuri kuin,
ja ==> implikaatio.
Tähden kohdalle kirjoittaisin
(Valitaan delta<1, jolloin |x-2|<delta ==> 1<x<3 ==> |x+2|<3+2=5).
Itsekin kirjoitit suunnilleen saman:
: (|x-2||x+2| < 5|x-2| saadaan tiedosta: jos delta < 1, niin |x-2| < delta.
: Siis 1 < x < 3. Valitaan siis |x+2| < 3 + 2 = 5.)
mutta tässä tuo lopun "Valitaan siis" on hieman hämäävä, koska et valitse
sitä seuraavaa epäyhtälöä, vaan deltan, josta tuo epäyhtälö seuraa. Tämä
voi kuulostaa pilkunnu****nalta (etenkin kun epäyhtälössä esiintyvä x on
deltan valinnan määräämä), mutta pointtini on tämä:
Todistuksessa ei tärkeää ole ainoastaan se, että tulet todistaneeksi
jonkun asian, vaan sinun pitää myös saada kerrottua asia muille ihmisille
niin, että he ymmärtävät sen, ja tulevat vakuuttuneeksi todistuksesi
pätevyydestä. Sen takia kannattaa pyrkiä selittämään todistuksen juoni
mahdollisimman selkeästi, ja tarkasti, siis välttää epäselkeitä (ja
erityisesti surastaan paikkansa pitämättömiä) lauseita. Monimutkaisemmissa
todistuksissa kannattaa erikseen selvittää todistuksen intuitiivinen idea.
Aika monet ekan vuoden opiskelijat kyselevät, mikä kelpaa todistukseksi.
Tosiasia on se, ettei tälle ole mitään yksinkertaista mittapuuta (tai jos
on, niin juuri kukaan ei noudata sitä). Tässä asiassa juuri yliopisto
matematiikka eroaakin koulumatematiikasta, että lopputulos (että olet
omasta mielestäsi todistanut lauseen) ei ole yhtä tärkeä kuin tie, jonka
kautta siihen päädytään (todistus paperilla).
Kokeen tarkastaja _ei_ välitä niinkään siitä, oletko (mielestäsi)
todistanut jonkun väittämän, vaan saatko hänet vakuuttuneeksi väittämästä.
Aika monet hutkivat paperille asiat vain niinkuin ne sattuvat heidän
päähänsä juolahtamaan (nimim. kokeita tarkastanut), samaan tyyliin kuin
lukiossa läiskitään vain laskut paperille, ja ollaan tyytyväisiä.
Eli vielä kerran (tätä kannattaa toistaa parikin kertaa): Mieti, mikä on
todistuksen oleellinen sisältö, ja kirjoita se paperille aivan kuin
äidinkielen tunnila ainetta kirjoittaisit, selkeästi ja (kyllin) tarkkaan.
Yleiselle x_0:lle todistat väitteen aivan kuin yksittäisellekin. Kuvittele
vain, että x_0 on jokin luku (esimerkiksi 2), ja sitten manipuloit
yhtälöä. Huomaa siis, että |x-x_0| tarkoittaa x:n etäisyyttä x_0:sta
lukusuoralla.
m.k.
Valmari Antti
Henri Heinonen kirjoitti:
> Toivottavasti nyt meni edes sinnepäin. Mitenkäs tuossa voidaan laskea tuo
Kuten muut jo sanoivatkin, nyt oli jo hyvä!
Ainoa asia mihin kiinnitin nopealla lukemisella huomiota oli, että
todistus olisi lopuksi kannattanut "kääntää oikeinpäin". Siis ei näin:
Olkoon epsilon > 0 ja x_0 = 2.
Valitaan delta = (ei vielä tiedetä)
...
Valitaan deltaksi delta = min{1, epsilon/5}. Siis, f(x) on jatkuva ...
Vaan näin:
Olkoon epsilon > 0 ja x_0 = 2.
Valitaan deltaksi delta = min{1, epsilon/5}. Tällöin
...
Siis, f(x) on jatkuva ...
Tällöin todistusta on miellyttävämpi lukea, koska laskelmat voi tarkastaa
sitä mukaa kuin ne tulevat vastaan.
Ihan yleisperiaatteena, on parempi että kirjoittaja viimeistelee
todistuksen (tai melkein minkä tahansa tekstin) kuin että hän jättäisi
viimeistelyn lukijalle, koska (1) jos kirjoittaja tekee sen niin vain
yhden tarvitsee tehdä se, mutta jos lukija tekee sen niin monen tarvitsee
tehdä se (tai sitten tekstillä on <= 1 lukija), ja (2) kirjoittaja
hallitsee asian lukijaa paremmin, joten viimeistely sujuu häneltä
helpommin. Tästä on toki poikkeuksia, esimerkiksi usein tenttivastaukset.
Tätä kirjoittaessani huomasin niponipotason asian: olisi parempi kirjoittaa
Olkoon x_0 = 2 ja epsilon > 0.
, koska Eppu tietää x0:n kun epsilon valitaan. Kun x0 sanotaan ensin,
ei voida kirjoittaa seuraavankaltaista jatkuvuuden bluffi"todistusta"
funktiolle f(x) = 0 kun x on rationaalinen, f(x) = x kun x on irrationaalinen:
Olkoon epsilon > 0 ja x0 = epsilon/2. Valitaan delta = epsilon/2.
Kun |x-x0| < delta, niin 0 < x < epsilon, joten
0 - epsilon/2 <= f(x) - f(x0) < epsilon - 0,
mistä seuraa |f(x)-f(x0)| < epsilon.
--- Antti Valmari ---