Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Graafista derivointia(uudestaan)
24 views
Skip to first unread message
Matti Lehtiniemi
Jan 2, 2013, 4:24:56 AM1/2/13
to
Jos mulla on kuutio, sen tilavuus on r^3 .Eikö niin.
Jos minä derivoin sen, tulee 3*r^2
Tämä on helposti selitettävissä geometrisesti, ne on 3 sivua reunoilla jotka
kasvavat, niiden pinta-ala.
Jos se vielä derivoidaan ,saadaan 6*r. Nämä on ne kolme reunaa jotka kasvavat,
laskettuna kahteen kertaan yhteen. Eli 2*3 = 6
Jos otetaan kokonaan eri kuvio, neliö, saadaan pinta-alalle kaava r^2 :een. Sen
derivaatta on 2*r .
Tämä on myös helppo selittää geometrisesti, ne on ne kaksi reunaa jotka
kasvavat.
No nyt otetaan kolmas kuvio, johon kysymykseni liittyy.Eli tasasivuinen kolmio.
Jos pohjan pituus on r, on sen korkeus sqrt(3)/2*r . Ja pinta-ala on
sqrt(3)*r^2/4 .
Jos derivoidaan pinta-ala,saadaan sqrt(3)*r / 2
Äkkiä kuviteltuna olisi pitänyt saada derivaataksi pelkkä r. Osaako joku kertoa
minulle, miksi tämä derivaatta on sama kuin tasa-sivuisen kolmion korkeus ?
Pitääkö se ottaa reunan projektio laajenemissuuntaan ?
(neliön tapauksessahan laajenemissuunta on suorassa kulmassa neliön reunaan
nähden eli 90 astetta)
Tässä linkki vielä tuohon pari vuotta vanhaan keskusteluun:
http://www.tiede.fi/keskustelut/kemia-fysiikka-ja-matematiikka-f3/platonin-kappaleet-t48596.html
Yritän siis keksiä miten saan tetraedrin pinta-alan derivaatan osumaan tämän
logiikan kanssa.
Matti
Jos minä derivoin sen, tulee 3*r^2
Tämä on helposti selitettävissä geometrisesti, ne on 3 sivua reunoilla jotka
kasvavat, niiden pinta-ala.
Jos se vielä derivoidaan ,saadaan 6*r. Nämä on ne kolme reunaa jotka kasvavat,
laskettuna kahteen kertaan yhteen. Eli 2*3 = 6
Jos otetaan kokonaan eri kuvio, neliö, saadaan pinta-alalle kaava r^2 :een. Sen
derivaatta on 2*r .
Tämä on myös helppo selittää geometrisesti, ne on ne kaksi reunaa jotka
kasvavat.
No nyt otetaan kolmas kuvio, johon kysymykseni liittyy.Eli tasasivuinen kolmio.
Jos pohjan pituus on r, on sen korkeus sqrt(3)/2*r . Ja pinta-ala on
sqrt(3)*r^2/4 .
Jos derivoidaan pinta-ala,saadaan sqrt(3)*r / 2
Äkkiä kuviteltuna olisi pitänyt saada derivaataksi pelkkä r. Osaako joku kertoa
minulle, miksi tämä derivaatta on sama kuin tasa-sivuisen kolmion korkeus ?
Pitääkö se ottaa reunan projektio laajenemissuuntaan ?
(neliön tapauksessahan laajenemissuunta on suorassa kulmassa neliön reunaan
nähden eli 90 astetta)
Tässä linkki vielä tuohon pari vuotta vanhaan keskusteluun:
http://www.tiede.fi/keskustelut/kemia-fysiikka-ja-matematiikka-f3/platonin-kappaleet-t48596.html
Yritän siis keksiä miten saan tetraedrin pinta-alan derivaatan osumaan tämän
logiikan kanssa.
Matti
Sampo Smolander
Jan 5, 2013, 11:56:04 PM1/5/13
to
Matti Lehtiniemi <matti.le...@remove-me.kolumbus.fi> wrote:
> No nyt otetaan kolmas kuvio, johon kysymykseni liittyy.Eli
> tasasivuinen kolmio. Jos pohjan pituus on r, on sen korkeus
> sqrt(3)/2*r . Ja pinta-ala on sqrt(3)*r^2/4 . Jos derivoidaan
> pinta-ala,saadaan sqrt(3)*r / 2
>
> �kki� kuviteltuna olisi pit�nyt saada derivaataksi pelkk� r. Osaako
> No nyt otetaan kolmas kuvio, johon kysymykseni liittyy.Eli
> tasasivuinen kolmio. Jos pohjan pituus on r, on sen korkeus
> sqrt(3)/2*r . Ja pinta-ala on sqrt(3)*r^2/4 . Jos derivoidaan
> pinta-ala,saadaan sqrt(3)*r / 2
>
> joku kertoa minulle, miksi t�m� derivaatta on sama kuin tasa-sivuisen
> kolmion korkeus ?
No mites jos ajatellaan neli�n puolikasta, eli suorakulmaista kolmiota
jonka kateetit ovat r, ja hypotenuusa sqrt(2)*2.
Pinta-ala on r^2/2 ja sen derivaatta r.
Nyt jos, ajatteluasi seuraillen, t�m�n kolmion kasvu tapahtuisi
"hypotenuusan suuntaan", niin derivaatan pit�isi olla sqrt(2)*r, tai jos
"yhden kateetin suuntaan" niin r, ja jos -- neli�n tavoin -- "suoran
kulman suuntaan", niin 2*r.
Riippuen mit� suuntaa ajatellaan, saadaan kolma erilaista vastausta.
Matti Lehtiniemi
Jan 6, 2013, 4:12:17 AM1/6/13
to
> Nyt jos, ajatteluasi seuraillen, t�m�n kolmion kasvu tapahtuisi
> "hypotenuusan suuntaan", niin derivaatan pit�isi olla sqrt(2)*r, tai jos
> "yhden kateetin suuntaan" niin r, ja jos -- neli�n tavoin -- "suoran
> kulman suuntaan", niin 2*r.
>
> Riippuen mit� suuntaa ajatellaan, saadaan kolma erilaista vastausta.
Mietin t�t� tuossa pari p�iv�� sitten ja tulin tulokseen,ett� pit�� ottaa
> "hypotenuusan suuntaan", niin derivaatan pit�isi olla sqrt(2)*r, tai jos
> "yhden kateetin suuntaan" niin r, ja jos -- neli�n tavoin -- "suoran
> kulman suuntaan", niin 2*r.
>
> Riippuen mit� suuntaa ajatellaan, saadaan kolma erilaista vastausta.
projektio koordinaatti-akselin tangentin suuntaan.T�m� neli�n puolikas antaa
siis valinnan "yhden kateetin suuntaan", eli r.Mik� menee oikein.
(Yrit�n saada selville onko t�m� joku logiikka, joka on johtanut
divergenssi-teoreeman syntymiseen.Muistan kun TKK:lla matematiikan
peruskurssilla T2 kukaan ei saanut arvosanaa 2 parempaa kurssista,
divergenssi/green/stokes yritettiin jotenkin opettaa opiskelijoille vaikeimman
kautta.Joku taisi saada 4:sen
Tai sitten se johtui siit� ettei kukaan jaksanut her�t� aamuluennolle.
Joka tapauksessa t�t� asiaa kannattaa opetella hahmottamaan.On hemmetin helppo
muistaa ett� ympyr�n pinta-alan derivaatta on sama kuin sen ymp�rysmitta tai
ett� pallon tilavuuden derivaatta on sama kuin sen pinta-ala)
Kolmiuloitteisen kappaleen tapauksessa otetaan se suunta mihin tahkon pinta-ala
kasvaa, ja sitten se suunta mihin reuna kasvaa, niiden pistetulo. Se taisi menn�
oikein tuossa tetraedrin tapauksessa mit� pari-kolme vuotta sitten laskin.
(T�rm�sin muuten vaalimainokseesi Espoossa )
Matti
Matti Lehtiniemi
Jan 6, 2013, 10:03:39 AM1/6/13
to
No mites t�m� nyt menee.
Siis kappale laajenee origosta kohti kappaleen keskipistett�. Jos origo
laitetaan kappaleen keskipisteeseen,niin asiat muuttuvat helpoksi.
Jos on kaksi neli�t� p��llekk�in ,sen pinta-ala on 2*r^2 ja derivaatta 4 * r.
Vektori origosta keskipisteeseen on (0.5 * r , r).
Kappaleen yl�osa laajenee kaksi kertaa nopeammin kuin sivu. r on siis kaksi
kertaa isompi kuin 0.5*r
Sivu siis laajenee normaali nopeudella eli 2 *r ja yl�osa tuplanopeudella eli
r*2
Eli saadaan 4 *r
Ent�s neli�n puolikas ?
Kappaleen keskipiste on 45 astetta yl�sp�in origosta n�hden kohdassa (1/3*r,
1/3*r).Nopeus , jolla hypotenuusa kasvaa on siis 1/sqrt(2) * r .
Jos hypotenuusan pituus on sqrt(2) *r ja se kerrotaan 1/sqrt(2):lla niin saadaan
r.Mik� on oikea vastaus.
N�in sen t�ytyy menn�, unohda edellinen vastaukseni.
Matti
Siis kappale laajenee origosta kohti kappaleen keskipistett�. Jos origo
laitetaan kappaleen keskipisteeseen,niin asiat muuttuvat helpoksi.
Jos on kaksi neli�t� p��llekk�in ,sen pinta-ala on 2*r^2 ja derivaatta 4 * r.
Vektori origosta keskipisteeseen on (0.5 * r , r).
Kappaleen yl�osa laajenee kaksi kertaa nopeammin kuin sivu. r on siis kaksi
kertaa isompi kuin 0.5*r
Sivu siis laajenee normaali nopeudella eli 2 *r ja yl�osa tuplanopeudella eli
r*2
Eli saadaan 4 *r
Ent�s neli�n puolikas ?
Kappaleen keskipiste on 45 astetta yl�sp�in origosta n�hden kohdassa (1/3*r,
1/3*r).Nopeus , jolla hypotenuusa kasvaa on siis 1/sqrt(2) * r .
Jos hypotenuusan pituus on sqrt(2) *r ja se kerrotaan 1/sqrt(2):lla niin saadaan
r.Mik� on oikea vastaus.
N�in sen t�ytyy menn�, unohda edellinen vastaukseni.
Matti
0 new messages