Miksi n potenssiin 0 on 1?!?
Casimir P
osasin muotoilla oikein)
eli 32423432432^0 = 1
3^0 = 1
100000000000000000000000000000^0 = 1
Minusta tuo ei ole ollenkaan järkevää.
Eikös jotain potenssiin nollaan
tarkoita samaa kuin "jotain nolla kertaa kerrottuna itsellään" eli
tavallaan sama kuin "jotain kertaa nolla"?!?!?
Casimir Pohjanraito
Art Portfolio: http://csmr.dreamhosters.com
Seppo Miettinen
Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1, kun x\=0.
Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
Seppo
"Casimir P" <pikselN...@welNOSPMAMho.com> kirjoitti
viestissä:fc8tdi$jmh$1...@nyytiset.pp.htv.fi...
Timo Korvola
> Osaako joku selittää miksi reaalilukujen 0 exponentti on 1? (jos nyt
> osasin muotoilla oikein)
Tarkoittanent 0. potenssia. Selkeintä on pitäytyä positiivisissa
reaaliluvuissa. 0^0 on määrittelemätön, negatiivisten lukujen
potensseissa taas tulee ongelmia, jos eksponentti ei ole kokonaisluku.
Vastaus on: siksi, että niin on sovittu. Miksi niin sitten kannattaa
sopia? Kun a > 0, a^0 kannattaa määritellä nollaksi esim. siksi, että
kaava a^m a^n = a^(m + n) saadaan pätemään myös, jos m = 0.
> Eikös jotain potenssiin nollaan
> tarkoita samaa kuin "jotain nolla kertaa kerrottuna itsellään" eli
> tavallaan sama kuin "jotain kertaa nolla"?!?!?
Ei se ole millään tavalla sama. Kertolaskun neutraalialkio on
ykkönen, joten tyhjät tulot (siis sellaiset, joissa on nolla tekijää)
kannattaa määritellä ykköseksi siinä missä tyhjät summat nollaksi.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Gc
> Casimir P <pikselNOSPA...@welNOSPMAMho.com> writes:
> > Osaako joku selittää miksi reaalilukujen 0 exponentti on 1? (jos nyt
> > osasin muotoilla oikein)
>
> Tarkoittanent 0. potenssia. Selkeintä on pitäytyä positiivisissa
> reaaliluvuissa. 0^0 on määrittelemätön, negatiivisten lukujen
> potensseissa taas tulee ongelmia, jos eksponentti ei ole kokonaisluku.
>
> Vastaus on: siksi, että niin on sovittu. Miksi niin sitten kannattaa
> sopia? Kun a > 0, a^0 kannattaa määritellä nollaksi esim. siksi, että
> kaava a^m a^n = a^(m + n) saadaan pätemään myös, jos m = 0.
Toisaalta myös luulisi, että tietyt potenssifunktion jatkuvuus -
kysymykset sopivat erittäin hyvin tähän. Sillä vaikka potenssia a^0 ei
määriteltäisikään, olisi selvästi x-->0 a^x = 1.
Jukka K. Korpela
> Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1,
> kun x\=0. Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
Ja toinen hyvä syy on keskustelussa jo mainittu jatkuvuus: a^b lähestyy
rajatta 1:tä, kun b lähestyy 0:aa (kun a ei ole 0).
Tähän liittyy muuan hankaluus, jota pohdiskelin kauan sitten ja kirjoitin
erääseen lehteenkin (ACM SIGSAM Bulletin). Lausekkeiden automaattisessa
käsittelyssä sieventäminen on erittäin tärkeää, koska käsittelyn algoritmit
tuottavat usein hyvin pitkiä lausekkeita, jotka ovat triviaaleilla keinoilla
sievennettävissä. Yksi ilmeinen sievennys on a^0:n sieventäminen 1:ksi, ja
tätä automaattisen algebrallisen laskennan ohjelmat tekevätkin. (No, tekivät
ainakin 1980-luvulla...)
Periaatteellisesti menettely on kuitenkin väärä, ellei voida tietää, että a
on nollasta poikkeava. Tämän tietäminen taas saattaa olla mahdotonta
etenkin, jos a:n tilalla on mutkikas lauseke (jolloin sieventäminen auttaisi
erityisen paljon!). Onhan 0^0 käsitettävä joko määrittelemättömäksi tai
erikseen määriteltäväksi, jolloin luonnollinen määritelmä on 0^0 = 0 (koska
0^b = 0 kun b > 0).
Vaikka päättäisimme, että voimme vapaasti määritellä 0^0 = 1, syntyisi
ongelma _toisen_ olennaisen sievennyssäännön 0^b = 0 soveltamisessa. Sitähän
ei tällöin saisi soveltaa, ellei voida olla varmoja siitä, että b:n arvo ei
ole 0.
--
Jukka K. Korpela ("Yucca")
http://www.cs.tut.fi/~jkorpela/
Kari Pasanen
> Scripsit Seppo Miettinen:
>
>> Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1,
>> kun x\=0. Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
>
> Ja toinen hyvä syy on keskustelussa jo mainittu jatkuvuus: a^b lähestyy
> rajatta 1:tä, kun b lähestyy 0:aa (kun a ei ole 0).
Koska kaikki funktiot eivät ole jatkuvia, tämä ei ole tärkeä perustelu.
Kahden muuttujan funktiota (x, y) -> x^y ei saada jatkuvaksi origossa
millään sopimuksella. Eri jonoja pitkin origoa lähestymällä raja-arvoksi
saadaan mitä tahansa nollasta äärettömään tai raja-arvo voi olla olematon.
> Tähän liittyy muuan hankaluus, jota pohdiskelin kauan sitten ja kirjoitin
> erääseen lehteenkin (ACM SIGSAM Bulletin). Lausekkeiden automaattisessa
> käsittelyssä sieventäminen on erittäin tärkeää, koska käsittelyn
> algoritmit tuottavat usein hyvin pitkiä lausekkeita, jotka ovat
> triviaaleilla keinoilla sievennettävissä. Yksi ilmeinen sievennys on a^0:n
> sieventäminen 1:ksi, ja tätä automaattisen algebrallisen laskennan
> ohjelmat tekevätkin. (No, tekivät ainakin 1980-luvulla...)
>
> Periaatteellisesti menettely on kuitenkin väärä, ellei voida tietää, että
> a on nollasta poikkeava. Tämän tietäminen taas saattaa olla mahdotonta
> etenkin, jos a:n tilalla on mutkikas lauseke (jolloin sieventäminen
> auttaisi erityisen paljon!). Onhan 0^0 käsitettävä joko
> määrittelemättömäksi tai erikseen määriteltäväksi, jolloin luonnollinen
> määritelmä on 0^0 = 0 (koska 0^b = 0 kun b > 0).
Luonnollinen määritelmä on 0^0 = 1, koska nollas potenssi on muissakin
tapauksissa 1. Ja se voidaan ymmärtää tyhjäksi tuloksi.
Tämä sopimus olisi hyvin käyttökelpoinen ja luonnollinen potenssisarjoille.
Kun kirjoitetaan
Sigma (a_n x^n)
siinä n:n arvolla 0 tarkoitetaan ilman muuta termiä a_0 kaikilla x.
Kari Pasanen
Juha Nieminen
> Luonnollinen määritelmä on 0^0 = 1, koska nollas potenssi on muissakin
> tapauksissa 1. Ja se voidaan ymmärtää tyhjäksi tuloksi.
Eikös kaikille funktioille f(x) ja g(x), jotka ovat sileitä pisteessä
x=a päde:
lim(x->a) f(x)^g(x) = 1
kun
lim(x->a) f(x) = 0, ja
lim(x->a) g(x) = 0
En ainakaan muista nähneeni koskaan vastaesimerkkiä. (Ei-sileillä
funktioilla toki sellaisia saadaan.)
Tuntuisi siis tosiaankin luonnolliselta sopia, että 0^0 = 1, ainakin
sileiden funktioiden tapauksessa.
Jukka Kohonen
> Eikös kaikille funktioille f(x) ja g(x), jotka ovat sileitä pisteessä
>x=a päde:
>
>lim(x->a) f(x)^g(x) = 1
>
>kun
>
>lim(x->a) f(x) = 0, ja
>lim(x->a) g(x) = 0
>
> En ainakaan muista nähneeni koskaan vastaesimerkkiä.
Öö? Mitenkäs vaikka f(x)=0 ja g(x)=x.
--
Jukka....@iki.fi
* Parempi kyy povessa kuin kymmenen oksalla.
Juha Nieminen
> Öö? Mitenkäs vaikka f(x)=0 ja g(x)=x.
No, ehkä.
Siinä tapauksessa sopimus 0^0 = 1 on väärin koska se voi antaa väärän
tuloksen tällaisessa tapauksessa.
Gc
tama.fi.invalid> wrote:
> Jukka K. Korpela kirjoitti:
>
> > Scripsit Seppo Miettinen:
>
> >> Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1,
> >> kun x\=0. Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
>
> > Ja toinen hyvä syy on keskustelussa jo mainittu jatkuvuus: a^b lähestyy
> > rajatta 1:tä, kun b lähestyy 0:aa (kun a ei ole 0).
>
> Koska kaikki funktiot eivät ole jatkuvia, tämä ei ole tärkeä perustelu.
Kyllä se käytännössä on. Yhtä hyvin yhden muuttujan tapauksessa
voitaisiin sanoa, että a^1/2 ei ole määritelty, kuin että a^0 ei ole
määritelty.
> Kahden muuttujan funktiota (x, y) -> x^y ei saada jatkuvaksi origossa
> millään sopimuksella. Eri jonoja pitkin origoa lähestymällä raja-arvoksi
> saadaan mitä tahansa nollasta äärettömään tai raja-arvo voi olla olematon.
0^0 ei olekaan aina määritelty. Yleensä ainakin sarjoissa se kuitenkin
tulkitaan 1:seksi.
Gc
tama.fi.invalid> wrote:
>
> Luonnollinen määritelmä on 0^0 = 1, koska nollas potenssi on muissakin
> tapauksissa 1. Ja se voidaan ymmärtää tyhjäksi tuloksi.
Miten 0^0 määritellään luonnollisella tavalla kunta-aksioomien avulla?
Kunta-aksiomistahan seuraa, että 0*a = 0 kaikilla a /in R.
Gc
tama.fi.invalid> wrote:
>
> > Scripsit Seppo Miettinen:
>
> >> Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1,
> >> kun x\=0. Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
>
> > Ja toinen hyvä syy on keskustelussa jo mainittu jatkuvuus: a^b lähestyy
> > rajatta 1:tä, kun b lähestyy 0:aa (kun a ei ole 0).
>
> Koska kaikki funktiot eivät ole jatkuvia, tämä ei ole tärkeä perustelu.
Ei tietenkään. Tosin ilman tiettyjen funktioiden jatkuvuutta, mitään
irrationaalisia potensseja ei voida määritellä ollenkaan.
Kari Pasanen
> On 14 syys, 16:11, Kari Pasanen <kari.pasa...@starnet.poista-
> tama.fi.invalid> wrote:
>> Jukka K. Korpela kirjoitti:
>>
>> > Scripsit Seppo Miettinen:
>>
>> >> Jos halutaan potenssisääntöjen olevan voimassa, on olrava x^0 = 1,
>> >> kun x\=0. Nimittäin: x^0 = x^(n-n) = (x^n)(x^(-n)) = (x^n)/(x^n) = 1.
>>
>> > Ja toinen hyvä syy on keskustelussa jo mainittu jatkuvuus: a^b lähestyy
>> > rajatta 1:tä, kun b lähestyy 0:aa (kun a ei ole 0).
>>
>> Koska kaikki funktiot eivät ole jatkuvia, tämä ei ole tärkeä perustelu.
>
> Kyllä se käytännössä on. Yhtä hyvin yhden muuttujan tapauksessa
> voitaisiin sanoa, että a^1/2 ei ole määritelty, kuin että a^0 ei ole
> määritelty.
Tästä määrittelykysymyksestä ja jatkuvuuden tärkeydestä ei tee mieleni
ruveta inttämään. Haluaisin vain kiinnittää "jatkuvuuden kannattajien"
huomiota muutamaan pointtiin.
Sanoin jo:
>> Kahden muuttujan funktiota (x, y) -> x^y ei saada jatkuvaksi origossa
>> millään sopimuksella. Eri jonoja pitkin origoa lähestymällä raja-arvoksi
>> saadaan mitä tahansa nollasta äärettömään tai raja-arvo voi olla
>> olematon.
Siitä seuraa, ettei 0^0:aa voi määritellä raja-arvon avulla. Eikä tuota
arvoa voi perustella ykköseksi myöskään samalla tavalla kuin yleisesti
nollannen potenssin arvoa. Silti tuolle merkinnälle voi sopia arvon, joka
on sopusoinnussa potenssien laskulakien kanssa.
Meillä on oikeastaan useita potenssimerkinnän määrittelyjä:
1) Yleisessä puoliryhmässä on määritelty puoliryhmän alkion x potenssit x^n
positiivisille luonnollisille luvuille n rekursiolla:
x^1 = x
x^(n+1) = x * x^n, kun n = 1, 2, 3, ...
1a) Kun puoliryhmässä on ykkösalkio 1, voidaan lisäksi määritellä x^0 = 1
kaikilla puoliryhmän alkioilla x.
2) Reaalilukujen kunnassa em. määritelmiä yleistetään ensin rationaalisille
potensseille ja sitten raja-arvon avulla kaikille reaalisille potensseille.
Mutta tällöin joudutaan rajoittamaan määrittelyaluetta: Potenssi x^y on
määritelty vain *positiivisille* reaaliluvuille x.
3) Yleistystä voidaan jatkaa kompleksiluvuille käyttämällä määritelmää x^y =
e^(y ln x), mutta tällöin joudutaan sopimaan määritelmässä käytettävä
luonnollisen logaritmin päähaara.
Kun nähdään jokin potenssimerkintä x^y, ei a priori tiedetä, mihin
määritelmään se perustuu. Luonnollisesti haluamme, että saisimme
merkinnälle saman arvon määritelmästä riippumatta. Juuri sen takia,
kaikkien epäselvyyksien välttämiseksi, 2-tapauksessa määrittelyjoukkoa
rajoitetaan ja 3-tapauksessa sovitaan logaritmin päähaarasta. Merkintää 0^0
*ei voi tulkita* kakkostavalla, koska kantaluku 0 on siinä määrittelyjoukon
ulkopuolella. Siitä syystä raja-arvon olemattomuus on potenssimerkinnän
arvon olemattomuudelle merkityksetöntä, ja ainoa soveltamiskelpoinen
määritelmä on 1a, josta saadaan määritelmäksi 0^0 = 1.
Kari Pasanen
Antti Valmari
> Vaikka päättäisimme, että voimme vapaasti määritellä 0^0 = 1, syntyisi
> ongelma _toisen_ olennaisen sievennyssäännön 0^b = 0 soveltamisessa.
> Sitähän ei tällöin saisi soveltaa, ellei voida olla varmoja siitä, että
> b:n arvo ei ole 0.
Lausekkeen 0^b sieventäminen vaatii joka tapauksessa luvun b tutkimista,
koska 0^b negatiivisella b on pakko jättää määrittelemättä, jos halutaan
laskulakien säilyvän johdonmukaisina. Nimittäin 0^(-1) olisi normaalien
laskulakien mukaan 1/0. Sen sijaan a^0 = 1 kaikilla muilla a:n arvoilla
kuin 0, joten sopimuksella 0^0 = 1 saadaan a^0 = 1 toimimaan ilman
poikkeustapauksia. Niinpä 0^0 = 1 tuo sieventämiseen enemmän helpotusta
kuin 0^0 = 0.
0^0 = 1 on ollut kokemuspiirissäni niin yleisesti ja jatkuvasti
käytössä, muistaakseni lukion Taylorin sarjojen pyörittelystä alkaen,
että hämmästyin, että edes ehdotetaan, että 0^0 ei olisi määritelty.
Pienellä kuuklettamisella selvisi, että Alex-Lopez Ortiz / Sci Math FAQ
on samaa mieltä:
sci.math FAQ: What is 0^0?
http://www.uni-giessen.de/faq/archiv/sci-math-faq.0to0/msg00000.html
--- Antti Valmari ---
Jori Mantysalo
> Osaako joku selittƤƤ miksi reaalilukujen 0 exponentti on 1? (jos nyt
> osasin muotoilla oikein)
> eli 32423432432^0 = 1
Monta vastausta sait, mutta vielä rautalankavastaus olettaen, että
olet vaikkapa yläasteen oppilas, tai et ole kovin kiinnostunut
matematiikasta syvemmin.
Tässä on taulukko luvun 3 potensseista:
3^4 = 81
3^3 = 27
3^2 = 9
Nämä ovat suoraan määritelmästä ilman mitään järkeilyä seuraavia,
täysin mekaanisia tuloksia. Sen sijaan jo seuraava lasku, 3^1, on
epämääräisempi. Potenssin määritelmän mukaan se on "kolme kertaa",
eikun, no, "kolme" tai "pelkkä kolme". Määritelmä
3^1 = 3
ensinnäkin seuraa suoraan taulukkoa loogisesti jatkamalla, ja on joka
tapauksessa sikäli järkevä, että eräs olennainen laskulaki
säilyy. Nimittäin esim.
3^3 * 3^4 = (3*3*3) * (3*3*3*3) = 3*3*3*3*3*3*3 = 3^7
ja yleisemmin sanoen 3^x * 3^y = 3^(x+y). Entä jos x=1? Tällöin
3^1 * 3^4 = 3^5 tai yleisemmin 3^1 * 3^y = 3^(1+y), JOS määrittelemme
että 3^1 = 3.
Voimme saman tien jatkaa taulukkoa "loogisesti" eli siis vähentää
vasemmalla puolella eksponenttia yhdellä ja jakaa oikeaa puolta
kolmella (tai, jos otetaan yleisemmin luvun 3 sijaan jokin
kokonaisluku z, jaamme oikeanpuoleista arvoa luvulla z):
3^0 = 1
3^-1 = 1/3
3^-2 = 1/9
Yleinen laskulaki säilyy vieläkin. Kokeillaan vaikka:
3^-2 * 3^4 = 3^(-2+4) = 3^2
eli
1/9 * 81 = 9
Tai vaikkapa 3^2 * 3^(-2) = 3^0, laske itse. Tällaisen tuloksen saamme
vain, kun määrittelemme potenssin juuri siten, että esimerkiksi x^0 =
1 aina, kun x ei ole 0.
* * *
Hommassa ei ole toisaalta mitään konkreettista järkeä. Toisaalta, eipä
potenssilaskussa muutenkaan ole paljon mitään konkreettista. Kertolasku
on helppo ajatella vaikka pinta-alan kautta. Potenssilaskulle helpoinkin
konkreettinen esimerkki on niin monimutkainen kuin "bakteerien määrä
kolminkertaistuu tunnissa, kuinka moninkertainen se on neljän tunnin
kuluttua". Potenssilasku on toki tavattoman hyödyllinen apuväline, kuten
moni muukin matemaattinen käsite. Sen avulla päästään helpommalla, kun
jokin konkreettinen asia ensin käännetään matematiikan kielelle, sitten
pyöritellään tähän tapaan symboleja joilla ei ole konkreettisia vastineita,
ja sitten lopulta saadaan tulos joka voidaan taas kääntää hyvin selväksi,
kouriintuntuvaksi asiaksi.
Samanlainen asia on myös negatiiviset luvut. Niitä vain ei enää oikein
osata ihmetellä, kun tokaluokkalaisena kaikki ovat ottaneet ne annettuna
käsitteenä, miettimättä miten kummia otuksia nekin lopulta ovat.
--
"Monella on koliikkivauvan lisäksi myös koliikkivaimo."
-- PH
Gc
Ok. Normaalisti vaan emme reaalilukukunnan määrittelyssä puhu
puoliryhmistä, koska joudumme kuitenkin puhumaan ryhmästä (R/{0},*).
Siksi tuo puoliryhmä kama on vähän ad hoc, siis yksittäistapausta
varten. Luonnollinen määritelmä reaalilukupotenssille on siis tuo
mainitsemasi e^y ln x. Voidaan sopia erikseen, että 0^0 = 1 ad hoc,
mutta en tiedä onko tuossa enää tuttu potenssifunktio. Koska en aio
muuttaa mielipidettäni, tästä asiasta keskustelu voidaan jättää nyt
osaltani tähän.
Lauri Alanko
Antti Valmari <ava@.c.s...t.u.t...f.i.invalid> wrote:
> sci.math FAQ: What is 0^0?
> http://www.uni-giessen.de/faq/archiv/sci-math-faq.0to0/msg00000.html
Wikipediasta löytyy lisää:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power
Minulle vakuuttavin argumentti on vastaavuus potenssijoukkojen kanssa:
0^0:n pitäisi olla funktiojoukon {} -> {} kardinaliteetti, ja noita
funktioita on tasan yksi: {}.
Lauri
Kari Pasanen
> Ok. Normaalisti vaan emme reaalilukukunnan määrittelyssä puhu
> puoliryhmistä, koska joudumme kuitenkin puhumaan ryhmästä (R/{0},*).
Olisin voinut mainita (se unohtui) myös ryhmän alkion kaikki
kokonaislukupotenssit. Olisitkohan sitten ollut tyytyväisempi?
> Luonnollinen määritelmä reaalilukupotenssille on siis tuo
> mainitsemasi e^y ln x.
Tuo lauseke on määritelty vain kun x > 0.
Etkö siis tunne mitään negatiivisten lukujen potensseja? Vaikka ne voidaan
määritellä vain kokonaislukueksponenteille, ovathan ne olemassa: (-1)^2 = 1
jne. Samoin nollan positiiviset potenssit.
> Voidaan sopia erikseen, että 0^0 = 1 ad hoc,
> mutta en tiedä onko tuossa enää tuttu potenssifunktio.
Onko (-1)^2 = 1 sitten vähemmän ad hoc? Sekin perustuu potenssien
puoliryhmä- tai ryhmämääritelmiin, ei siihen yleistykseen, joka määrittelee
positiivisen reaaliluvun reaalilukupotenssit. Ei minun ollut tarkoitus
määritellä vain 0^0:aa puoliryhmämääritelmällä.
Matematiikassa tehty yleistys voi joskus synnyttää määritelmän, joka ei
sovellu kaikkiin niihin tapauksiin, joista se yleistys lähtee. Tämä on vain
hyväksyttävä.
> Koska en aio
> muuttaa mielipidettäni, tästä asiasta keskustelu voidaan jättää nyt
> osaltani tähän.
Älä sitten muuta. Mutta katso nyt Valmarinkin postaus.
Kari Pasanen
Gc
tama.fi.invalid> wrote:
> Gc kirjoitti:
>
> > Ok. Normaalisti vaan emme reaalilukukunnan määrittelyssä puhu
> > puoliryhmistä, koska joudumme kuitenkin puhumaan ryhmästä (R/{0},*).
>
> Olisin voinut mainita (se unohtui) myös ryhmän alkion kaikki
> kokonaislukupotenssit. Olisitkohan sitten ollut tyytyväisempi?
>
> > Luonnollinen määritelmä reaalilukupotenssille on siis tuo
> > mainitsemasi e^y ln x.
>
> Tuo lauseke on määritelty vain kun x > 0.
>
> Etkö siis tunne mitään negatiivisten lukujen potensseja? Vaikka ne voidaan
> määritellä vain kokonaislukueksponenteille, ovathan ne olemassa: (-1)^2 = 1
> jne. Samoin nollan positiiviset potenssit.
Unohdin tosiaan nuo negatiiviset potenssit. Ne tosin saadaan ryhmän (R/
{0},*) käänteisalkioiden ja positiivisten kokonaislukupotenssien
avulla, joten en ymmärrä vielä mihin sitä puoliryhmä tarvitaan.
> > Voidaan sopia erikseen, että 0^0 = 1 ad hoc,
> > mutta en tiedä onko tuossa enää tuttu potenssifunktio.
>
> Onko (-1)^2 = 1 sitten vähemmän ad hoc? Sekin perustuu potenssien
> puoliryhmä- tai ryhmämääritelmiin,
Tuolla puoliryhmällä ei ole relevanssia siinä tapauksessa, jos
määrittely onnistuu ryhmän avulla.
>ei siihen yleistykseen, joka määrittelee
> positiivisen reaaliluvun reaalilukupotenssit. Ei minun ollut tarkoitus
> määritellä vain 0^0:aa puoliryhmämääritelmällä.
Silti tarvitaan ryhmämääritelmää, että käänteis-alkiot olisivat
olemassa. Siksi minusta puoliryhmä määrittely tuntuu ad-hoc
määritelmältä. Voisitko nyt selventää, mihin me tarvitaan
puoliryhmämäärittelyä ryhmämäärittelyn sijasta (jota tarvitaan jossain
vaiheessa kuitenkin) muuhun kuin tuohon 0^0 tapaukseen?
> Matematiikassa tehty yleistys voi joskus synnyttää määritelmän, joka ei
> sovellu kaikkiin niihin tapauksiin, joista se yleistys lähtee. Tämä on vain
> hyväksyttävä.
Minusta yleistys lähtee niistä tapauksista joille se pätee. Siksi
sanomme, että joukon määritelmä [x| P(x)] on yleisessä tapauksessa
ristiriitainen koska tiedämme, että joukko [x| ~x /in x] aiheuttaisi
ristiriidan. Määritelmää voidaan soveltaa niihin tapauksiin joille
pätee [x| P(x) ja x /in X]
> > Koska en aio
> > muuttaa mielipidettäni, tästä asiasta keskustelu voidaan jättää nyt
> > osaltani tähän.
>
> Älä sitten muuta. Mutta katso nyt Valmarinkin postaus.
Katson katson. Oli vielä pakko vastata :)
Gc
> On 17 syys, 23:05, Kari Pasanen <kari.pasa...@starnet.poista-
>
> > > mainitsemasi e^y ln x.
>
> > Tuo lauseke on määritelty vain kun x > 0.
>
> > Etkö siis tunne mitään negatiivisten lukujen potensseja? Vaikka ne voidaan
> > määritellä vain kokonaislukueksponenteille, ovathan ne olemassa: (-1)^2 = 1
> > jne. Samoin nollan positiiviset potenssit.
>
> Unohdin tosiaan nuo negatiiviset potenssit. Ne tosin saadaan ryhmän (R/
> {0},*) käänteisalkioiden ja positiivisten kokonaislukupotenssien
> avulla, joten en ymmärrä vielä mihin sitä puoliryhmä tarvitaan.
Äh, näin myöhään ei ajatus pysy kasassa. Negatiiviset potenssit siis
saadaan suoraan kunnan aksiomista, ilman viittauksia puoliryhmiin. En
tiedä saako tuon 0 positiivisia potensseja. Sekin tosin puhuu 0^0
määrittelemättömyyden puolesta, että se on reunalla funktion
määritysjoukossa ja vieläpä epäjatkuvuuskohta. Tämä koko homma lienee
makuasia.
Ohman
> In article <fclpc4$5v...@news.cc.tut.fi>,
Olkoot S ja V ei-tyhjiä joukkoja ja T tyhjä joukko.Kuvauksella f
joukosta S joukkoon V tarkoitetaan, että jokaisella S:n elementillä a
on joukossa V kuvapiste f(a). Mutta T:ssä ei ole elementtejä,joten
kuvauksia T:stä S:ään tai S:stä T:hen ei ole.Ei myöskään kuvauksia
T:stä T:hen. T ^ T = T.
Edellä olevan voi sanoa myös niin, että kuvaukset S:stä V:hen
muodostavat erään osajoukon karteesisessa tulossa S x V. Mutta T x V =
T ja V x T = T eli taas on V ^T = T ja T ^ V = T.
Jos siis väitetään, että on yksi funktio, joka kuvaa T:n T:hen,
väitetään samalla, että T x T ei ole tyhjä!!!!!
Nyt tietysti sanot, että on olemassa "tyhjä" kuvaus joka kuvaa T:n
T:hen. No, siis T x T ei ole T vaan tuon "tyhjän" kuvauksen muodostama
yhden elementin joukko!!!
Esim. Schechter:Handbook of Analysis and its Foundations kyllä
mainitsee kohdassa 1.37 :Degenerate examples tuon käsitteen "empty
function", mutta toteaa heti seuraavissa lauseissa, että jos S on
mikä tahansa joukko, S ^ T = T ja jos S on mikä tahansa ei- tyhjä
joukko niin T ^ S = T.
Tietenkin joukosta, jossa on yksi elemetti T on yksi kuvaus itselleen,
f(T) = T, mutta tämä sanookin sen, että 1 ^ 1 = 1 niinkuin pitääkin.
Hauskana kuriositeettina voi huomata, että jos S on esim.
äärellinen m:n elementin joukko ( m ei 0) niin T ^ S - joukon
kardinaali on 0 ^ m = 0 kuten reaalilukujen aritmetiikassa, mutta
S ^ T - joukon kardinaali on m ^ 0 , joka edellä olevan mukaan on 0
eikä 1 kuten reaalilukujen aritmetiikassa!
Lauri Alanko
Ohman <antti...@msn.com> wrote:
> Olkoot S ja V ei-tyhjiä joukkoja ja T tyhjä joukko.Kuvauksella f
> joukosta S joukkoon V tarkoitetaan, että jokaisella S:n elementillä a
> on joukossa V kuvapiste f(a).
Oikein.
> Mutta T:ssä ei ole elementtejä,joten kuvauksia T:stä S:ään tai S:stä
> T:hen ei ole. Ei myöskään kuvauksia T:stä T:hen. T ^ T = T.
Väärin. Koska T:ssä ei ole elementtejä, jokaisella sen elementillä on
triviaalisti kuvapiste.
> Edellä olevan voi sanoa myös niin, että kuvaukset S:stä V:hen
> muodostavat erään osajoukon karteesisessa tulossa S x V.
Väärin. Kukin kuvaus _itsessään_ on osajoukko tuossa tulossa. Kaikkien
kuvausten S -> V (tai V^S) joukko on S x V :n _potenssijoukon_
osajoukko.
> Mutta T x V = T ja V x T = T
Oikein.
> eli taas on V ^T = T ja T ^ V = T. Jos siis väitetään, että on yksi
> funktio, joka kuvaa T:n T:hen, äitetään samalla, että T x T ei ole
> tyhjä!!!!!
Väärin. Väitetään, että T x T:n potenssijoukko ei ole tyhjä, ja siinä
onkin tasan yksi alkio, juuri se tyhjä joukko, joka toteuttaa
funktio-ehdon (uniikin kuvapisteen olemassaolo kullekin lähtöjoukon
alkiolle) kun lähtöjoukko on tyhjä.
> Nyt tietysti sanot, että on olemassa "tyhjä" kuvaus joka kuvaa T:n
> T:hen. No, siis T x T ei ole T vaan tuon "tyhjän" kuvauksen muodostama
> yhden elementin joukko!!!
Tuo tyhjä kuvaus on siis P(T x T):n ainoa alkio.
> Esim. Schechter:Handbook of Analysis and its Foundations kyllä
> mainitsee kohdassa 1.37 :Degenerate examples tuon käsitteen "empty
> function", mutta toteaa heti seuraavissa lauseissa, että jos S on
> mikä tahansa joukko, S ^ T = T ja jos S on mikä tahansa ei- tyhjä
> joukko niin T ^ S = T.
Jos ensimmäinen lause pitäisi paikkansa, jälkimmäisen lauseen ehto
"ei-tyhjä" olisi tarpeeton. Jotenkin veikkaan, että joko
kirjoittajalle tai lainaajalle on sattunut ajatusvirhe ensimmäisen
lauseen kohdalla.
Lauri
Ohman
> In article <1190261109.577569.18...@r29g2000hsg.googlegroups.com>,
Aamu-unenpöpperössä kirjoitin todellakin väärin: jokainen kuvaus S:ltä
V:lle on tietenkin S x V :n osajoukko, kuten sanoit.Mitähän ne
"triviaalit" kuvapisteet sitten ovat, kun T kuvataan S:ään?
Mikä S:n piste on kuva ja mikä on sen alkukuva?
Tyhjän joukon potenssijoukossa on yksi alkio eli tyhjä joukko, kuten
sanoit.Tämä tyhjä joukko on siis se sinun funktiosi!
Schechter määrittelee Empty function - käsitteen näin: It is the rule
that makes no assignments;its domain and graph are both the empty set.
Siteerasin Schechterin kirjaa kyllä väärin.Se ensimmäinen lause sanoo,
ettäS ^ T =(T) eli siis joukko, jonka ainut elementti on T ( since the
only rule assigning to each element of T a corresponding element of S
is the empty function). Tässä S on mikä tahansa joukko. 1. lause puhuu
kuvauksista T:ltä S:ään, toinen lause kuvauksista S:ltä T:hen.Toisessa
lauseessa sanotaan, että jos S on mikä tahansa ei-tyhjä joukko, niin T
^ S = T (since there is no rule that assigns to each element of S a
corresponding element of T).
Aamu-unisena ei pitäsi kirjoitella! Vastauksesi oli varsin
asiallinen , sillä otit suoraan kantaa esittämiini väitteisiin etkä
höpötellyt muuta.
Joukko-opillinen perustelu, T ^ T = 1 sille, että 0 ^ 0 = 1 on siis
olemassa, aivan kuten väitit. Mutta melko perverssiltä tuo empty
fuction tuntuu ensi kuulemalta, ennenkuin sitä vähän sulattelee.
Terveisin Ohman
Ohman
>
> - Näytä siteerattu teksti -
Jos tarkkana ollaan, minun piti kirjoittaa: Joukko-opillinen
perustelu, T ^ T = (T) sille, että 0 ^0 = 1 j.n.e. .
Antti Valmari
> Aamu-unenpöpperössä kirjoitin todellakin väärin: jokainen kuvaus S:ltä
> V:lle on tietenkin S x V :n osajoukko, kuten sanoit.Mitähän ne
> "triviaalit" kuvapisteet sitten ovat, kun T kuvataan S:ään?
> Mikä S:n piste on kuva ja mikä on sen alkukuva?
Lauri Alanko ei väittänyt, että on olemassa triviaaleja kuvapisteitä.
Hän väitti, että on triviaalisti totta, että jokaisella lähtöjoukon
pisteellä on kuvapiste. Se on triviaalisti totta siksi, että se on
muotoa "kaikilla x in Tyhjä_joukko: fii(x)", ja jokainen tämänmuotoinen
väittämä on totta riippumatta siitä, mitä fii on. Se on siis
triviaalisti totta nimenomaan siksi, että alkukuvia ei ole, eikä
niinollen tarvita kuviakaan.
> Tyhjän joukon potenssijoukossa on yksi alkio eli tyhjä joukko, kuten
> sanoit.Tämä tyhjä joukko on siis se sinun funktiosi!
Kyllä. Funktio on tietyn ehdon toteuttava joukon Lähtöjoukko x
Maalijoukko osajoukko. Se on siis kokoelma pareja (l,m). Se erityinen
ehto on, että jokainen Lähtöjoukon alkio on täsmälleen yhden (l,m)-parin
l. Pareja on siis täsmälleen yhtä monta kuin lähtöjoukossa on alkioita.
Jos lähtöjoukossa on nolla alkiota, niin nollasta parista koostuva
kokoelma --- siis tyhjä joukko --- täyttää ehdon.
> Mutta melko perverssiltä tuo empty
> fuction tuntuu ensi kuulemalta, ennenkuin sitä vähän sulattelee.
Kenties tuntuu, mutta matematiikan --- ja ohjelmoinnin! --- opiskelulle
on eduksi päästä sinuiksi tuollaisten olentojen kanssa. Niitä on monia
muitakin samalla logiikalla. Väittämät muotoa false -> P ovat kaikki
totta riippumatta siitä, mitä P sanoo. Niin ovat myös väittämät P ->
true. Väittämät kaikilla x in Tyhjä_joukko: ... ovat kaikki totta.
Ohjelmoinnissa sen vastine on esimerkiksi väittämä, joka sanoo jotain
taulukon A[1...n] osataulukosta A[a...y], missä jossakin tilanteessa y =
a-1. Toisenlainen vastine on koodinpätkä, joka asettaa osataulukon
A[a...y] jokaiseen lokeroon nollan. Summa_i=1^0 a_i ja sen vastine
ohjelmoinnissa kannattaa sallia ja sopia sen arvoksi nolla. Samoin
Tulo_i=1^0 a_i, mutta nyt arvo on 1. Ylipäänsä vaihdannainen
liitännäinen operaatio toistettuna nolla kertaa kannattaa määritellä ko.
operaation neutraalialkioksi. Väittämä kaikilla x in Tyhjä_joukko: ...
on itse asiassa sama kuin Looginen_ja_i=1^0 fii(i), joka tällä
periaatteella on true.
--- Antti Valmari ---
Tommi Höynälänmaa
> Eikös jotain potenssiin nollaan
> tarkoita samaa kuin "jotain nolla kertaa kerrottuna itsellään" eli
> tavallaan sama kuin "jotain kertaa nolla"?!?!?
Voisi ajatella, että "jokin nolla kertaa kerrottuna itsellään" johtaa
nollannen potenssin määrittelyyn nollaksi eikä ykköseksi (eli että
nollas potenssi olisi tyhjää). Kuitenkin potenssin laskusääntöjen
säilyttäminen on tässä tärkeämpää kuin em. intuitiivinen päättely.
Jos tarkastellaan multiplikatiivisia ryhmiä kuntien sijasta, niin niissä
ei olekaan kuin kertolaskun neutraalialkio (eli "ykkönen"), joten
nollannen potenssin määrittely ykköseksi on täysin luontevaa siellä.
--
Tommi Höynälänmaa
sähköposti / e-mail: tommi.ho...@iki.fi
kotisivu / homepage: http://www.iki.fi/tohoyn/
Tommi Höynälänmaa
> Tarkoittanent 0. potenssia. Selkeintä on pitäytyä positiivisissa
> reaaliluvuissa. 0^0 on määrittelemätön, negatiivisten lukujen
> potensseissa taas tulee ongelmia, jos eksponentti ei ole kokonaisluku.
Monesti on kätevää määritellä 0^0 = 1. Esim. kun kirjoitetaan polynomi
muotoon
n
-----
\
P(x) = > a_k x^k
/
-----
k = 0
Aki Karppinen
> Osaako joku selittää miksi reaalilukujen 0 exponentti on 1? (jos nyt
> osasin muotoilla oikein)
>
> eli 32423432432^0 = 1
>
>
> 100000000000000000000000000000^0 = 1
>
> Minusta tuo ei ole ollenkaan järkevää.
> Eikös jotain potenssiin nollaan
> tarkoita samaa kuin "jotain nolla kertaa kerrottuna itsellään" eli
> tavallaan sama kuin "jotain kertaa nolla"?!?!?
>
>
>
> Art Portfolio: http://csmr.dreamhosters.com
- Kuvittele ^0 kertolaskujen lukumääräksi. Jokaisessa luvussa(paitsi 0)ssa
korotettuna potenssiin 0 tuottaa 1:n luvun...
--
## AGISON ##
Ilkka Pirskanen
"Aki Karppinen" <karp...@proffa.cc.tut.fi> kirjoitti viestissä
news:sfnet.tiede.matematiikka!1192373...@sfnet.fi...
Olikohan se niin, että log (x^a) = a log x. Jos a = 0, tästä seuraa, että
log x^0 = 0, josta seuraa, että x^0 on oltava 1. (No tämähän ei ole mikään
varsinainen todistus, mutta havainnollistaa asiaa.)
Ilkka