Äärellinen loputon laputus
Jyri Pieko
>> Aikaisemmin esittämäni kilpikonnan ja Pikku-Antin kilpajuoksu,
>> jossa konna ohittaa kaikki radan äärettömän monet jakovälit, on
>> taas esimerkki kaikkien luonnollisten lukujen käsittelystä
>> äärellisessä ajassa. Jostain syystä Pikku-Antti ei vielä osaa
>> tunnistaa tällaista prosessia lukujen käsittelyksi.
> Äärettömän moni jakoväli tarkoittaa että niitä (jakovälejä) on
> loputon määrä jota ei siis missään äärellisessä ajassa käsitellä.
Hyvä Antti, "todistuksesi" on puhtaasti semanttinen: ääretön ei lopu
koskaan, koska se on loputonta, ikuista, päätymätöntä. Yhtä hyvin voit
todeta lyhyesti, että ääretön on ääretöntä ja siksi sitä ei voida käsitellä
äärellisessä ajassa. Tällainen pohdiskelu on yhtä vanhaa kun äärettömyyden
käsite, ja noin 2500 vuotta sitten muinaisessa Kreikassa Zenon Elealainen
osoitti millaisiin paradokseihin tällainen sofistinen todistelu johtaa, kun
käsitellään äärettömiä vaiheita.
> En tuollaisella prosessilla tehtyä käsittelyä tunnista. Enkä
> Tunnusta voitavan suorittaa KAIKILLE äärettömille.
> Mikään joka voidaan käsitellä kaikkineen ei ole ääretön.
Tarkastellaan vielä kilpajuoksun elementtejä:
a) Äärellinen jana (kilparata) voidaan jakaa äärettömän moneen peräkkäiseen
väliin. Kaikki mahdolliset jaot on jo olemassa ja ovat niin Antista kuin
meistä muistakin täysin riippumattomia. Tehtävämme on vain valita näistä
sopiva jako jollain matemaattisella säännöllä.
b) Kilpikonna ohittaa vuoronperään kaikki välit. Eli konna käsittelee
jokaista väliä, jonka se ohittaa.
Arvelen, että Antti pystyy noin yleisesti ottaen hyväksymään kohdan a).
Kohdassa b) Antin ensimmäinen askel on tunnistaa, että konna todella ohitti
kaikki radan äärettömät jakovälit, kun se ohittaa maaliviivan. Tämäkään
tunnistus ei pitäisi olla mahdoton asia, muussa tapauksessa joudutaan
kysymään, mikä tai mitkä jakovälit jäi ohittamatta.
Loppu onkin sitten semantiikkaa. Jokaista peräkkäistä jakoväliä edustaa
luonnollinen luku 1, 2, 3, ... , jonka konna edetessään "ohittaa", "laskee"
"pohtii", "laputta", "hypistelee", "käsittelee" tai "prosessoi". Kaikki
nämä sanat tarkoittavat tässä yhteydessä samaa.
Vaikka välejä ja niitä vastaavia lukuja onkin ääretön määrä, ei konna niitä
käsitellyt loputtoman kauan.
Äärettömien lukujonojen käsittely, jossa jokainen luku vaatii vähintään
ennalta annetun mielivaltaisen pienien aikavälin, on todellakin loputonta,
kuten Antti arvelee yleisesti. Mutta lukujen käsittely ei kuitenkaan aina
ole loputonta. Esimerkissämme juju on siinä, että ei ole olemassa sellaista
aikaväliä, jota matkavälien käsittelyaika ei alittaisi jossain vaiheessa.
Tämä on varmaankin vaikeasti ymmärrettävä asia, vaikka meistä jokainen näki,
miten konna käsitteli ääretöntä äärellisessä ajassa.
--
JyriP
Antti
>peräkkäiseen
>väliin. Kaikki mahdolliset jaot on jo olemassa ja ovat niin Antista kuin
>meistä muistakin täysin riippumattomia.
Jos väitetään että jostakin on KAIKKI suoritettu (vaikka vain siten että
uskotaan niin tapahtuneen) niin siinä suoritettujen joukossa olisi silloin
sekä ensimmäinen että viimeinen tuosta joukosta sekä tietenkin kaikki
muutkin siltä väliltä. En pyydäkään että näyttäisit ne. Tämän kaltainen
joukko joka sisältää ensimmäisen ja viimeisen ei kuitenkaan voi olla
ääretön.
Antti P
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> Jos väitetään että jostakin on KAIKKI suoritettu (vaikka vain siten että
> uskotaan niin tapahtuneen) niin siinä suoritettujen joukossa olisi silloin
> sekä ensimmäinen että viimeinen tuosta joukosta sekä tietenkin kaikki
> muutkin siltä väliltä. En pyydäkään että näyttäisit ne. Tämän kaltainen
> joukko joka sisältää ensimmäisen ja viimeisen ei kuitenkaan voi olla
> ääretön.
Viimeksi sanomassasi olet aika pitkälle oikeassa, mutta et KAIKKI-käsit-
teessäsi, joka on jopa sisäisesti ristiriitainen. Kuinkas voit olla niin
varma KAIKISTA äärettömyyksistä, että ne ovat juuri sellaisia kuin sanot,
kun et ikinä pysty näkemään tai kuvittelemaan niitä kaikkia: et pysty
niitä käymään läpi yksitellen todetaksesi, millaisia ne ovat.
Ei kerta kaikkiaan kukaan loogikko ymmärrä KAIKKI-sanaa kuten sinä: että
se on yhtä kuin jokainen ensimmäisestä viimeiseen. Ei sellaista järjestys-
tä voi vaatia mihin tahansa struktuuriin. Sanalla on loogikkojen ja mate-
maatikkojen ymmärtämänä yksikäsitteinen merkitys, joka voidaan ilmaista
näin: ei ole olemassa yhtään poikkeusta. Jos väität, että jokin asia EI
päde KAIKILLA olioilla, sinun on näytettävä ainakin yksi olio, jolla se
asia EI päde. Et ole ilmeisesti vieläkään pystynyt ymmärtämään tällaista
KAIKKI-sanan merkitystä.
Matematiikassa käsitellään usein sellaista käsitettä kuin järjestys, jon-
ka paras ilmenemismuoto on hyvä järjestys. Valitettavasti ei ole olemassa
intuitiivisesti käsitettävissä olevaa reaalilukujen hyvää järjestystä,
mikä ei ole ainakaan suuruusjärjestys. Reaalilukujen hyvän järjestyksen
olemassaolo on kiistanalaisen joukko-opin aksiooman, valinta-aksiooman,
varassa. Sinä sitten vaadit hyvääkin parempaa järjestystä! (Olisikohan
vaatimuksesi se, että joukon kaikki alkiot ovat vertailtavissa ja jokai-
sessa epätyhjässä osajoukossa on sekä suurin että pienin alkio?)
Minusta näyttää, ilman perusteellista asian pohdintaa ja todistuksen yrit-
tämistäkään, siltä, että sinä vaadit äärettömältä joukolta järjestystä,
joka on todella mahdoton. Siitä teet sitten sen väärän johtopäätöksen,
että mitään käsiteltävissä olevaa "valmista" ääretöntä ei voi olla olemas-
sa, kun vika onkin siinä, miten käsität sanan KAIKKI.
Muutamat kirjoittajat, Tuomas Korppi ja Pekka Pirinen, ovat jo keskustel-
leet siitä, miten sinun edustamasi matematiikan filosofia on luokiteltava.
Filosofisten suuntausten nimiä, jotka on tässä yhteydessä mainittu, ovat
intuitionismi, finitismi ja konstruktionismi. Minusta sinä et ole vain
finitisti, äärettömyyden kieltäjä, vaan tietoteoreettinen nihilisti, jos
et myönnä minkäänlaista mahdollisuutta tehdä muodollisesti päteviä pää-
telmiä erilaisista tapauksista, joita voi olla ääretön määrä. Mistä muus-
ta voi saada niin varmaa tietoa kuin päättelyn lainalaisuuksista ottamat-
ta sinänsä kantaa oletusten pätevyyteen? Jos ei ole varmaa tietoa niistä,
niin ei sitten mistään.
Ota järki käteen, unohda erimielisyydet joukko-opista. Mieti nyt vielä
moneen kertaan sitä, eikö pelkistä määritelmistä ja sopimuksista voi joh-
taa pätevästi uutta tietoa, kuten matemaatikot ovat tehneet jo vuositu-
hansia.
Voisin muistuttaa tai saattaa tietoosi, että kreikkalainen matemaatikko
Eukleides kokosi yli 2300 vuotta sitten silloisen matemaattisen tietämyk-
sen, geometriaa ja lukuteoriaa, teokseksi nimeltä "Stoikheia" eli "Alkeet",
jota käytettiin tietosanakirjan mukaan jossakin päin maailmaa oppikirjana
vielä 1900-luvun alussa. Kun Eukleides todisti vaikkapa kolmion ominai-
suuksia, hän ei tosiaankaan käynyt läpi kaikkia mahdollisia kolmioita,
joita mitä ilmeisimmin on äärettömästi; hän käytti hyväksi vain määritel-
miä ja loogista päättelyä. Kuinka suuressa määrin kehtaat asettaa tällai-
sia biljoonia kertoja hyväksikäytettyjä ja mittauksin koeteltuja tulok-
sia kyseenalaisiksi?
Saatat olla siinä perimmiltään oikeassa, että fyysinen maailmamme, sen
paikka- ja aikakoordinaatisto, onkin itse asiassa diskreetti eikä jatkuva,
ja että kaikki tapahtuminen merkitseekin kvanttihyppyjä diskreetin avaruu-
den tilasta toiseen, jotka eroavat selvästi toisistaan ilman välimuotoja.
Fysiikassa on kuitenkin käytetty varsinkin Newtonin aikakaudelta alkaen
menestyksellisesti hyväksi "jatkuvan" matematiikan menetelmiä (differen-
tiaali- ja integraalilaskentaa) ja niitä käyttää yhä moderni kvanttify-
siikkakin. On ilmeistä, että "jatkuva" matematiikka antaa maailmastamme
käytännössä hyvin toimivan approksimaation. Saavutettavissa olevan tie-
don kannalta on ihan pelkkää filosofiaa sen pohtiminen, millainen maailma
oikeasti on, sillä tuohon kysymykseen saadaan tuskin koskaan lopullista
vastausta.
> En täällä matemaatikkojen kansa yrittäisi edes
> keskustella elleivät he väittäisi voivansa panna mielestäni ikuisesti
> keskeneräisiä lukuja taulukkoon tai kiinnittävänsä niihin nimilappuja niin
> että kaikki olisi käsitelty tai laputettu.
Mietiskelen, opetetaanko sinua täällä ja koulussa ihan turhaan. Minä alan
jo odotella tulosten näkymistä. Toivoa on, koska sinä vielä näköjään seu-
raat palstaa.
Myönnä nyt, hyvä ihminen, että matematiikan metodeissa ja tuloksissa on
jotakin toimivaakin. Siitä se sitten alkaa - oppiminen ja tiedon karttumi-
nen. Auktoriteetteja vastaan kapinoiminen on ihan OK, mutta selvä järki
täytyy säilyttää. Tällaisen tuloksettoman synonyymileikin ja saivartelun
saisit jo lopettaa:
> Minun mielestäni vain matemaatikot eivät saisi käyttää
> "ääretön" nimitystä jolleivät tarkoita mainitsemani kaltaista ääretöntä joka
> ei tule koskaan valmiiksi, vaan jotakin joka voi olla valmis tavalla tai
> toisella. Valmiista kuitenkin käsittääkseni pitäisi aina voida osoittaa
> kaikki alkiot siis myös viimeinen jota ennen ko. joukko ei vielä ollut
> valmis.
Matemaatikko joutuu hyvin usein ymmärtääkseen toisen kirjoittaman tekstin
tai kommunikoidakseen muiden kanssa hyväksymään määritelmiä, jotka eivät
ole juuri sellaisia, joita matemaatikko itse haluaisi käyttää. Sinä et
pääse määrittelemään matemaatikkojen käyttämää äärettömyyden käsitettä,
koska et selvästikään pysty esittämään tyydyttävää määritelmää.
> Kelpaisiko näin: Joukko on ääretön, jos sillä on aito
> osajoukko, joka on yhtä ikuisesti keskeneräinen kuin joukko itse.
Ei kelpaa. Määrittelemättä on nyt käsite "keskeneräinen".
> Mielestäni kyseessä ei ole luonnollisten lukujen joukko jos siitä puuttuu
> ykkönen. Eikä siitä voi ottaa pois mitään muutakaan lukua joukon lakkaamatta
> olemasta luonnollisten lukujen joukko.
Tietenkin saat poistaa joukosta alkioita. Silloin joukko ei ole enää sama
eikä samanniminen joukko - sellaista en ole väittänytkään.
> K.P>Tämä kuvaus on hyvin määritelty kaikille.
> Keskeneräisestä ei voi löytää kaikkia.
Joka tapauksessa kuvauksen arvo on määritelty mille tahansa alkiolle, jolle
sen haluat laskea ja joka silloin "on olemassa". Jos milloin tahansa keksit
yhden luonnollisen luvun, jolle ei ole muka määritelty annetulla kaavalla
määriteltyä kuvausta, sen kuin lasket kuvauksen arvon kaavasta, ja kuvaus
onkin sitten jo määritelty.
> Kuitenkin mainitsemasi 0,999999..... voidaan muuttaa äärettömän
> pitkäksi merkkien jonoksi siis äärettömäksi merkkien joukoksi mutta ei
> vaikkapa 0,5 jos ei luvun käsittämisen kannalta tarpeettomia nollia oteta
> mukaan?
Kuten jo on yritetty opettaa, luku ei ole merkkijono vaan jotkin merkkijo-
not esittävät lukuja. Eikä tuota 0,999999...:iä (pilkulla tai pisteellä,
samantekevää!) tarvitse käsittää äärettömän pitkäksi jonoksi, sillä "oi-
keasti" tuolla merkinnällä tarkoitetaan samaa kuin seuraavalla:
n -n
lim sum 9 x 10 .
n->oo i=1
Kunhan tulet tutuksi raja-arvojen kanssa, ymmärrät tämän merkinnän. (oo
yrittää olla äärettömyyden symboli, ja sum pitäisi korvata isolla Sigma-
kirjaimella.)
Siis yhdellä luvulla on äärettömän paljon (numeroituvasti) erilaisia ää-
rellisiä esityksiä, mutta sitä lukua ei ole oikein samastaa yhdenkään
esityksensä kanssa. Joudut, reaaliluvuista puhuttaessa, lopulta hyväksy-
mään senkin, että on olemassa lukuja, joilla ei ole äärellistä esitystä.
Jollet sitä aksioomien seurausta hyväksy, niin sinun maailmassasi ei ole
reaalilukujen joukkoa.
Jos tietäisit lukujärjestelmistäkin jotakin, tietäisit sen, että luvulla,
jolla on yhdessä järjestelmässä päättyvä esitys, ei toisessa järjestel-
mässä yleensä sellaista ole. Mutta aina, kun kyseessä on rationaaliluku,
"desimaaliesityksessä" on jakso ja osoittamalla tuo jakso voidaan muodos-
taa äärellinen esitys.
> Asiaa ei muuta miksikään se ettei ensimmäisestä ja siksi
> keskeneräisestä äärettömästä päästäisikään mahtavampaan äärettömään kun
> ensimmäinenkin on kesken.
Nyt unohdat mahtavuudet, jotka eivät vielä sinun päähäsi mahdu, ja alat
opiskella matematiikkaa aloittaen sellaisista perusasioista, joita et
vielä hallitse mutta joiden ymmärtämiseen sinulla olisi tähän mennessä
oppimasi perusteella edellytyksiä. Matematiikan opettajasi auttaa sinut
alkuun, jos todella haluat oppia.
Kari Pasanen
Jyri Pieko
> > a) Äärellinen jana (kilparata) voidaan jakaa äärettömän
> > moneen peräkkäiseen väliin.
> Ei muuten voida jakaa kuin mielivaltaiseen osaan.
Tulkitsen vastauksesi: "Äärellinen jana ei muuten voida jakaa äärettömän
moneen osaan vaan ainoastaan mielivaltaiseen äärelliseen osaan"
Totesit kuitenkin 21.2.00: "Äärellinen matka voidaan jakaa äärettömän moneen
osaan"
Huomaatko näissä väitteissäsi mitään ristiriitaa? Onko mielestäsi matka,
jana ja kilparata tässä yhteydessä eri asioita?
Oletetaan, että hyväksyt aikaisemman ajatuksesi, että radan matka on jaettu
äärettömän moneen osaan. Olisitko tällöin edelleen sitä mieltä, että
kilpikonna ei ohita kaikkia näitä äärettömän monta väliä äärellisessä
ajassa?
> Jos väitetään että jostakin on KAIKKI suoritettu (vaikka vain siten että
> uskotaan niin tapahtuneen) niin siinä suoritettujen joukossa olisi silloin
> sekä ensimmäinen että viimeinen tuosta joukosta sekä tietenkin kaikki
> muutkin siltä väliltä.
Tämä pätee matkan äärelliselle jaolle tai sellaiselle äärettömälle jaolle,
jossa ensimmäinen ja viimeinen väli ovat äärellisiä. Esimerkkimme
tapauksessa jako tihentyi äärettömän tiheäksi radan lopussa, jolloin sillä
ei ollut "viimeistä" väliä, koska jako oli ääretön (niin kuin itsekin asian
ymmärrät).
Virheesi, Antti, on siinä, että perustelet äärettömiä asioita äärellisen
maailmankuvasi konkreettisin käsittein. Kuitenkin kieltäydyt hyväksymästä
sen, minkä arkikokemuskin sanoo, että konna ohitti kaikki äärettömän monet
välit. Ongelmasi ratkeaa sillä, että korvaat "ensimmäisen" "suurimmalla
alarajalla" ja "viimeisen" "pienimmällä ylärajalla". Molemmat rajat konna
ylittää mennen tullen.
--
JyriP
Antti
>matka,
>jana ja kilparata tässä yhteydessä eri asioita?
Tarkennan siis.
Voidaan jakaa mielivaltaisen moneen osaan. Osia on tietenkin ääretön määrä,
joten osat eivät lopu koskaan. Siksi jakajilla on ainoa mahdollisuus
lopettaa jako haluamassaan (mielivaltaisessa) kohdassa. Asiaan ei auta
yhtään usko siitä että se on tehty. Koska ääretöntä ei saa edes uskolla
tehdyksi.
J.P>konna ohitti kaikki äärettömän monet
>välit
Ohitan minäkin jollen ole yllytyshullu ja rupea jakamaan keskenolevaa
matkaa aina vain kahdella.
J.P>Yhtä hyvin voit
>todeta lyhyesti, että ääretön on ääretöntä ja siksi sitä ei voida käsitellä
paremmin ymmärretyksi. Se että käsittelyn USKOTAAN tapahtuneen on vain
uskon asia. Ei kuitenkaan mitenkään todistettu. Edes mistään raamatusta et
löydä todistusta siihen.
Zenon tosiaan osoitti Paradoksiksi sen että ääretöntä voidaan muka
käsitellä.
Janne Koponen
> Zenon tosiaan osoitti Paradoksiksi sen että ääretöntä voidaan muka
> käsitellä.
Eli siis USKOT paradoksitodistuksen oikeellisuuteen.
> J.P>Yhtä hyvin voit
>>todeta lyhyesti, että ääretön on ääretöntä ja siksi sitä ei voida käsitellä
> Periaatteessa niin teenkin. Käytän vain näitä synonyymejä tullakseni
> paremmin ymmärretyksi. Se että käsittelyn USKOTAAN tapahtuneen on vain
> uskon asia. Ei kuitenkaan mitenkään todistettu. Edes mistään raamatusta et
> löydä todistusta siihen.
Maailmankaikkeudessa on olemassa ääretön (olet sen jo myöntänyt ja siksi
voimme hyvin olettaa niin) ja sinä uskot ettei äärettömiä voida käsitellä.
Kysymys kuuluu: Montako ääretöntä sinun mukaasi on olemassa? Olet niin
monta kertaa väittänyt, ettei yhtäkään niistä voi käsitellä, että sinun on
täytynyt käydä ne kaikki läpi, koska omien sanojesi mukaan varmuuden
niiden kaikkien käsittelemättömyydestä saa vain käsittelemällä ne kaikki.
Jos et ole käynyt läpi kaikkia äärettömiä, et voi väittää omien
arkumenttiesi perusteella mitään niistä kaikista.
Eli tämän mukaan äärettömillä operoinnin mahdottomaksi toteaminen johtaa
paradoksiin, jos oletamme, edes yhden äärettömän joukon olemassaolon.
Paradoksitodistuksiinhan uskoit, joten tässä oli sinulle sellainen. Eli et
voi mitenkään todistaa, ettei jotakin ääretöntä voida käsitellä.
Todistuksen jälkeenhän et voi enää kieltää, etteikö olisi sallittua
joissakin tapauksissa operoida äärettömillä. Vai löydätkö tästä yhtään
virhettä? (Epätäsmällisyyksiä löytyy, mutta jos on epäselvää, niin kysy.)
Janne
--
Janne Koponen
http://www.jyu.fi/%7ejoykop/
Janne Koponen
> J.K>
>>Maailmankaikkeudessa on olemassa ääretön (olet sen jo myöntänyt ja siksi
>>voimme hyvin olettaa niin)
> loputon.Senkin myönnän.
> Sitä sen sijaan en myönnä että ääretöntä voidaan käsitellä siten että
> kaikki alkiot tulisi käsitellyksi edes uskomalla sen tapahtuneen. Ja sehän
> on jo kokonaan uskon asia eikä kuulu luonnonlakien piiriin.
Mutta väitit kuitenkin uskovasi paradoksin todistusvoimaan eli sen, että
paradoksiin päätyminen todistaa käsitellyn vaihtoehdon mahdottomaksi ja
osoitin edellisessä viestissäni, että uskominen siihen, ettei yhtään
ääretöntä voida käsitellä kokonaan johtaa paradoksiin, jos käytetään
sinun tapaasi määritellä asioita. Eli et voi väittää niin ainakaan tähän
mennessä olettamillasi menettelytavoilla.
Usko taas on asia, jota ei pidä sekoittaa matematiikan todistuksiin, vaan
uskonasiat määritellään aksioomissa (joita en väitäkään tuntevani, paitsi
ehkä Euklidisen geometria aksioomajärjestelmän jotenkuten). Tämä on
sinullekin selitetty vaikka kuinka monella eri tavalla ja sinun täytyy
vain hyväksyä se, että ensin oletamme asioita ja oletetuista lähtökohdista
johdamme lopputuloksen. Lopputulos ei ole mitenkään kiinni siitä,
uskommeko siihen, onko oletukset voimassa tms, vaan se on kiinni
ainoastaan valituista lähtökohdista (joihin kuuluvat myös menettelytavat).
Olet myöntänyt "tosiksi"
- On olemassa ääretön joukko (Mistä muuten seuraa, että on olemassa
ääretön määrä joukkoja).
- Paradoksilla voidaan osoittaa, ettei jokin asia ole tosi.
- SINÄ et kykene käsittelemään yhtään ääretöntä joukkoa
Edellisessä viestissäni osoitin näiden kolmen (ja vähän ajattelua päälle)
perusteella, ettet voi väittää, etteikö joku voisi käsitellä ääretöntä
joukkoa kokonaisuudessa. Siis en osoittanut lähtökohdistasi, että kaikkia
äärettömiä joukkoja voidaan käsitellä, vaan juuri sen, ettet sinä voi
väittää, etteikö kukaan voisi käsitellä yhtään ääretöntä joukkoa
kokonaisuudessaan. Jos haluat väittää vastaan, voit osoittaa päättelyni
virheelliseksi. Kokeile huviksesi ja huomio, lähtökohdat ja älä yritä vain
väittää synonyymipelillä mitään, sillä sanat ovat matematiikassa vähän eri
käytössä kuin normaalielämässäsi.
Antti
Antti
>äärettömiä joukkoja voidaan käsitellä, vaan juuri sen, ettet sinä voi
>väittää, etteikö kukaan voisi käsitellä yhtään ääretöntä joukkoa
Siten että sen kaikki alkiot tulisivat käsitellyksi. Jos kerran kyseessä on
ääretön siis loputon joukko niin edes uskomalla se käsitellyksi se ei voi
tulla siltikään kenenkään kokonaan käsittelemäksi.
J.K>Olet niin monta kertaa väittänyt, ettei yhtäkään niistä voi käsitellä,
että >sinun on täytynyt käydä ne kaikki läpi, koska omien sanojesi mukaan
>varmuuden niiden kaikkien käsittelemättömyydestä saa vain käsittelemällä
>ne kaikki.
käsitellä ikuisesti kesken olevaa.
J.K>älä yritä vain väittää synonyymipelillä mitään, sillä sanat ovat
>matematiikassa vähän eri käytössä kuin normaalielämässäsi.
mitään voi koska äärettömän pitäisi matematiikassakaan kuvata vain
ääretöntä, loputonta kesken olevaa. Koskapa sana näyttää matematiikkaan
otetun tarkoituksella.
Antti
>että se on yhtä kuin jokainen ensimmäisestä viimeiseen. Ei sellaista
ja >matemaatikkojen ymmärtämänä yksikäsitteinen merkitys, joka voidaan
>ilmaista näin: ei ole olemassa yhtään poikkeusta. Jos väität, että jokin
asia >EI päde KAIKILLA olioilla, sinun on näytettävä ainakin yksi olio,
jolla se
>asia EI päde. Et ole ilmeisesti vieläkään pystynyt ymmärtämään tällaista
>KAIKKI-sanan merkitystä.
diagonaalitaulukkoon asetetuissa ykkösissä ja nollissa on oltava viimeisin
jonka jälkeen vasta kaikki ovat siinä. Samoin punaisten ja mustien
nimilappujen kohdalla. Enkä nyt yritäkään väittä että ne pitää käsin
asettaa vaan että ääretöntä ei saa mihinkään kokonaan.
Sellainen olio joka ei ole kaikkien äärettömien joukossa on juuri alkio joka
ei vielä äärettömien joukosta ole tullut vastaan. Aina on olemassa ääretön
määrä alkioita jotka eivät ole mukana.
K.P>Olisikohan vaatimuksesi se, että joukon kaikki alkiot ovat
vertailtavissa >ja jokaisessa epätyhjässä osajoukossa on sekä suurin että
pienin alkio?
Huomasit varmaan etten vaatinut moista.
K.P>Minusta sinä et ole vain finitisti, äärettömyyden kieltäjä, vaan
>tietoteoreettinen nihilisti.
En ole lainkaan ääretöntä kieltänyt. Sen kyllä kiistän että ääretöntä
voitaisiin käsitellä kokonaan.
K.P>et myönnä minkäänlaista mahdollisuutta tehdä muodollisesti päteviä
>päätelmiä erilaisista tapauksista, joita voi olla ääretön määrä. Mistä
muus-
>ta voi saada niin varmaa tietoa kuin päättelyn lainalaisuuksista ottamat-
>ta sinänsä kantaa oletusten pätevyyteen? Jos ei ole varmaa tietoa niistä,
>niin ei sitten mistään.
käyttökelpoista ja hyvin palvelevaa matematiikkaa hautaan vie?
Kun jollekin joukolle asetetaan ehtoja niin voidaan tietenkin uskoa että se
asetettu ehto myös pätee. Otetaan nyt vaikka parillisten kokonaislukujen
joukko. Voimme uskoa että siinä on vain parillisia kokonaislukuja vaikka
emme koskaan voi tulla näkemään niitä kaikkia.
lopuksi tiedotus. Aion nyt sanoa viimeisen sanan. Vain toki itseni osalta
tässä jutussa (ainakin toistaiseksi). Mielenkiinnolla tulen kuitenkin
seuraamaan muiden juttuja tästä ja muistakin asioista. Teen näin koska
seuraavan jälkeen minulla ei ole tähän asiaan juurikaan lisättävää.
Määritelmä: Joukko jossa ovat sen kaikki osat ei voi olla ääretön.
Jyri Pieko
> (Matka) voidaan jakaa mielivaltaisen moneen osaan.
> Osia on tietenkin ääretön määrä
No nyt, Antti, olet samaa mieltä kuin minäkin.
> Siksi jakajilla on ainoa mahdollisuus lopettaa
> jako haluamassaan (mielivaltaisessa) kohdassa.
Mistä nämä jakajat tähän taas tulivat? Ei yhtäkään tällaista olentoa tarvita
jakojen suorittamiseksi. Kaikki mahdolliset jaot on jo olemassa. Meidän
tehtävä on vain määrittää, minkä näistä äärettömistä jaoista otetaan
tarkastelun kohteeksi. Samoin kaikki äärettömän monet mahdolliset luvut on
olemassa, vaikka kukaan laskija-olento ei ole laskenut niitä meille
valmiiksi. Se mitä lukuja kulloinkin tarkastellaan, määritellään lukujoukon
ominaisuuksien perusteella - ei niitä yksitellen luettelemalla.
>>konna ohitti kaikki äärettömän monet välit
> Ohitan minäkin jollen ole yllytyshullu ja rupea jakamaan keskenolevaa
> matkaa aina vain kahdella.
Tätä minä olen epäillytkin! Et todellakaan pääse alkua pidemmälle, jos
kuvittelet, että sinun pitää vielä uudelleen suorittaa jo valmis jako. Kyllä
tässä riittää, että ohitat ne kaikki välit kuten kilpikonna teki. Maalissa
voit sitten ihmetellä, että onnistuit ohittamaan äärellisessä ajassa ääretön
määrä valmiiksi numeroituja välejä. Tämä onnistuu, vaikka et koskaan ohita
viimeistä väliä, koska sellaista käsitettä ei tässä yhteydessä ole olemassa,
ja siksi et koskaan pääse perille, jos sitä lähdet etsimään.
--
JyriP
kpas...@tnclus.tele.nokia.fi
> diagonaalitaulukkoon asetetuissa ykkösissä ja nollissa on oltava viimeisin
> jonka jälkeen vasta kaikki ovat siinä. Samoin punaisten ja mustien
> nimilappujen kohdalla. Enkä nyt yritäkään väittä että ne pitää käsin
> asettaa vaan että ääretöntä ei saa mihinkään kokonaan.
Laputtaminen on kielikuva, jolla ilmeisesti havainnollistetaan joukkojen
välisiä kuvauksia. Toivottavasti voit joskus käsittää, että kaikki matema-
tiikassa käsiteltävät oliot, erityisesti joukot ja kuvaukset, ovat olemas-
sa valmiina - tai sitten niitä ei ole olemassakaan.
> Aina on olemassa ääretön määrä alkioita jotka eivät ole mukana.
Niin, ellemme kuvittelekaan, että "ääretön laputus" olisi olemassa valmii-
na. Diagonaalitodistuksessa kuitenkin oletettiin sen olevan olemassa. Se
on oletus ja lähtökohta.
> En ole lainkaan ääretöntä kieltänyt. Sen kyllä kiistän että ääretöntä
> voitaisiin käsitellä kokonaan.
Johdonmukaisin tulkinta ajatuksistasi joukko-opin kannalta on, että kiel-
lät äärettömien joukkojen olemassaolon. Jos jokin on joukko, niin sitä voi
toki käsitellä siten, että se on olemassa yhtenä kokonaisuutena ja valmii-
na. Tämänhän sinä kiellät.
Jatkuvalla inttämisellä olet johdattanut meidät epäilemään, ettet tunnusta
edes sellaisten matemaattisten todistusten pätevyyttä, jotka on viety tai
voidaan viedä läpi joukko-opista riippumattomasti - niin, ettei joukoista
tarvitse puhuakaan tai että "joukolla" tarkoitetaan vain toisistaan erot-
tuvien alkioiden kokoelmaa. Tarkoitatko sitä todella, siitä en ole päässyt
vielä selville, mutta haluaisin päästä. Tarkastele seuraavaa:
Matemaattisessa todistuksessa ääretön määrä tapauksia käsitellään yhdessä
hujauksessa. Tällaista on aiemmin viittaamani Eukleideenkin matematiikka,
jonka pohjana ei ole joukko-oppia. Pystytkö näkemään, että "geometrinen
äärettömyys" (esim. ääretön määrä kolmioita) ja "aritmeettinen äärettö-
myys" (ääretön määrä lukuja) ovat sama asia ja samalla tavalla hallitta-
vissa?
> Eihän ääretöntä mahtavamman äärettömän kiistäminen sentään koko
> käyttökelpoista ja hyvin palvelevaa matematiikkaa hautaan vie?
Ei. Teoreettisia vaikutuksia on, mutta ne eivät ulotu matematiikan arki-
päiväisiin sovelluksiin.
> Kun jollekin joukolle asetetaan ehtoja niin voidaan tietenkin uskoa että se
> asetettu ehto myös pätee. Otetaan nyt vaikka parillisten kokonaislukujen
> joukko. Voimme uskoa että siinä on vain parillisia kokonaislukuja vaikka
> emme koskaan voi tulla näkemään niitä kaikkia.
Hyvä. Tämä on jo merkittävä myönnytys. Nihilistiksi nimittämisesi lienee-
kin aiheetonta.
> Määritelmä: Joukko jossa ovat sen kaikki osat ei voi olla ääretön.
Matemaatikot eivät tunnusta ja käsittele sellaisia joukkoja, jotka eivät
ole kokonaisia ja valmiita. Tästä sanomastasi vahvistuu se käsitys, että
et tunnusta äärettömiä joukkoja olevan olemassakaan. Ei se mitään, mate-
maattisia teorioita voi tosiaankin luoda myös ilman joukko-oppia tai käyt-
tämällä joukko-oppia, joka ei sisällä äärettömiä joukkoja.
Missä määrin äärettömyyden kieltämisesi koskee vain joukko-oppia, missä
määrin kiellät tosissasi äärettömän tapausten määrän käsiteltävyyden mate-
maattisissa todistuksissa yleensä, sen haluaisin tietää.
Olemme kiinnittäneet aivan liian paljon huomiota joukko-oppiin ja sen yh-
teen ainoaan todistukseen, mutta se on oma vikasi. Minä jo pyysin sinua
unohtamaan joukko-opin ja aloittamaan matematiikan opiskelun jostakin hel-
pommasta ja vähemmän kiisteltävästä.
Euklidisen tasogeometrian opiskelu voi muuten olla tosi hyvä tie päästä
sisään "oikean" matematiikan maailmaan. "Oikeaa" matematiikkaa, erottaak-
seni tällä sanalla matematiikasta laskutekniikkaan keskittyvän koulumate-
matiikan, on sellainen, jossa käsiteltävät asiat määritellään tarkasti ja
kaikki tulokset todistetaan määritelmien ja oletusten pohjalta.
Kari Pasanen
Janne Koponen
> In article <89tatt$8mv$1...@tron.sci.fi>, "Antti" <antk...@dlc.fi> writes:
>> Eihän ääretöntä mahtavamman äärettömän kiistäminen sentään koko
>> käyttökelpoista ja hyvin palvelevaa matematiikkaa hautaan vie?
> Ei. Teoreettisia vaikutuksia on, mutta ne eivät ulotu matematiikan arki-
> päiväisiin sovelluksiin.
Miten määrittelisit nollamittaisen joukon, jossa on kuitenkin äärettömän
monta alkiota, jos numeroituva ääretön (alef-0) olisi mahtavin kaikista.
Integroituvuus monissa tapauksissa häviäisi siinä samantien, mutta kukas
nyt integroida haluaisi, ainakaan helposti välittämättä
epäjatkuvuuspisteistä. ;-)
No eka esimerkki, joka tuli mieleen, eikä varmastikaan paras.
Antti
>Olemme kiinnittäneet aivan liian paljon huomiota joukko-oppiin ja sen yh-
>teen ainoaan todistukseen, mutta se on oma vikasi. Minä jo pyysin sinua
>unohtamaan joukko-opin ja aloittamaan matematiikan opiskelun jostakin >hel-
>pommasta ja vähemmän kiisteltävästä.
Tietenkin ollaan koska tästä alunperin halusinkin keskustella. Lähiaikoina
yritän pitäytyä vain toisten viestien seurannassa.
Mm. 12 palikan punnitus oli kiinnostava. Informatiivisineen.
Tapio Hurme
<kpas...@tnclus.tele.nokia.fi> kirjoitti
viestissä:2000Mar7.101912.1@tnclus...
viimeisin
> > jonka jälkeen vasta kaikki ovat siinä. Samoin punaisten ja mustien
> > nimilappujen kohdalla. Enkä nyt yritäkään väittä että ne pitää käsin
> > asettaa vaan että ääretöntä ei saa mihinkään kokonaan.
>
> Laputtaminen on kielikuva, jolla ilmeisesti havainnollistetaan joukkojen
> välisiä kuvauksia. Toivottavasti voit joskus käsittää, että kaikki matema-
> tiikassa käsiteltävät oliot, erityisesti joukot ja kuvaukset, ovat olemas-
> sa valmiina - tai sitten niitä ei ole olemassakaan.
>
> > Aina on olemassa ääretön määrä alkioita jotka eivät ole mukana.
>
> Niin, ellemme kuvittelekaan, että "ääretön laputus" olisi olemassa valmii-
> na. Diagonaalitodistuksessa kuitenkin oletettiin sen olevan olemassa. Se
> on oletus ja lähtökohta.
Otetaanpa kevyt sormiharjoitelma - sanoisinko brainteaser....
Olivat valmiina - vai lähtökohta ... hmmm. Cantor löysi aina uusia, jotka
eivät olleet listassa. Siis olivatko valmiina - siis siinä listassaan ?
Eivät olleet. Mutta viis siitä... eikä kinata:
En tiedä Cantorin listasta kun en ole sitä nähnyt täydellisenä. Pahus vie,
sain juuri tunti sitten valmiiksi oman listan, joka on ah... niin
täydellinen. ;-)
Olen pahoillani, mutta en viitsi spammata tätä täydellistä listaa tänne
nyyssiin, mutta pienenä vinkkinä voin vihjaista, että sekä ennen
desimaalipilkkua että sen jälkeen jokainen - siis joka ikinen - äärettämän
sarjan jäsen a_n , kun n -oo->+oo, voi olla mikä tahansa seuraavan joukon
luvuista {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Käytössäni on kaikki mahdolliset äärettömät
kombinaatiot, jos nyt asian aivan yksinkertaistaa.
Nyt kaikki innolla tarjoamaan tänne nyyssiin jotain sellaista lukua, joka ei
ollut Cantorin kaikkien lukujen listassa. Tarkistan sitten omasta listastani
ja kerron Teille oliko se minun listassani. Väitän, että oma listani on
Cantorin listaa täydellisempi, kas kun minulla on PC. Tulos on suoraan
PC:stä!
Ensimmäinen, joka löytää uuden kymmenjärjestelmän reaaliluvun, joka ei ollut
minun listallani saa
pennin, seuraava, joka löytää toisen uuden luvun, joka ei ollut minun
listallani saa 2 penniä. Kolmas saa 4 penniä ja neljäs 8 penniä ja niin
edelleen.
Hei - tässähän on teille business kuin shakkipelin jyvien laskennassa. 64´s
onnekas saa jo 2^64+1 penniä.
Vastaan Teille ainoastaan "kyllä oli" tai "ei ollut" kun tarkoitan sitä,
että oliko se minun listallani vai ei.
Kuka matemaatikko haluaa heittää ensimmäisen lukukandidaatin tänne nyyssiin?
Silvuplee..!
Pienenä vinkkinä kisailuun sanoisin, että tänne nyyssiin on turha esitellä
mitään sellaista lukua, joka on jokin eli mikä hyvänsä ääretön kombinaatio
seuraavan joukon luvuista {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kymmenjärjestelmässä ja
molempiin suuntiin äärettömänä sarjana esitettynä - niinkuin reaalilukuja
yleensä halutaan kuvata.
Alea iacta est. Onnea ja menestystä nitkaassa tehtävässänne.
Odotan mielenkiinnolla ensimmäistä ehdokasta.
Tapio
> Kari Pasanen