Helppoja kysymyksiä:
Antti-Juhani Kaijanaho
> This is a multi-part message in MIME format.
>
> ------=_NextPart_000_000F_01BE51C4.5ACA4D80
> Content-Type: text/plain;
> charset="iso-8859-1"
ÄLä lähetä tällaista sotkua nyysseihin, kiitos.
> f : [0 , ääretön [ ---> Reaalilukujen joukko
Tarkoittaa sitä, että f on määritelty joukossa [0, oo[ ja saa
arvokseen reaalilukuja.
> Voidaanko sanoa yleisesti, että funktion lineaarisuudella
> tarkoitetaan funktion derivaattafunktion olevan vakiofunktio?
Ei. Esimerkiksi funktio g : R -> R, g(x) = 2x + 3 ei ole lineaarinen,
vaikka sen derivaatta onkin vakiofunktio. Yleisesti lineaarisella
funktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jolla on seuraavat
ominaisuudet:
Olkoon a mikä tahansa reaaliluku (tai kompleksiluku, mikäli
harrastamme niitä). Olkoot x ja y mitä tahansa f:n määrittelyjoukon
alkioita. Tällöin
f(ax) = a f(x),
ja
f(x + y) = f(x) + f(y).
Ylläoleva g ei täytä kumpaakaan ehtoa: olkoon a = 2, x = 1, y = 3
g(ax) = g(2) = 2*2 + 3 = 7
ag(x) = 2g(1) = 2 * ( 2 + 3) = 4 + 6 = 10
g(x + y) = g(1 + 3) = g(4) = 2 * 4 + 3 = 15
g(x) + g(y) = g(1) + g(3) = (2 + 3) + (6 + 3) = 5 + 9 = 14.
Voidaan osoittaa, että reaalilukuja reaaliluvuiksi kuvaavan
lineaarifunktion kuvaaja on aina origon kautta kulkeva suora.
Yleisesti R -> R funktiota, jonka kuvaaja on suora, kutsutaan
/affiiniksi/ funktioksi.
Mutta tämä kaikki onkin jo yliopisto/korkeakoulumatikkaa.
Antti-Juhani
--
%%% Antti-Juhani Kaijanaho % ga...@iki.fi % http://www.iki.fi/gaia/ %%%
EMACS, n.: Emacs May Allow Customised Screwups
(unknown origin)
Immo Heikkinen
Onko näin?
Matikan (pitkä) yo s-97, tehtävä 6a:
Osoita että funktio f : [0,ääretön[ -> R,
f(x)=[ensi silmäyksellä hankalan näköinen funktio]
on lineaarinen funktio, ja piirrä sen kuvaaja.
Eli kun sieventelee tuota tarpeeksi niin tulee f(x)=sqrt(2)*x joka on
selvästikin lineaarinen. Mutta mutta.. Ennen Kaijanahon postitusta minäkin
luulin että lineaarisella funktiolla tarkoitetaan funktiota joka on muotoa
f(x)=ax+b. Siis lukiolaisen(kin) oletetaan tietävän mitä tarkoitetaan
funktion lineaarisuudella. Kuinkahan moni mahtaa tietää..
=Immo=
---
I have discovered a truly wonderful signature, but there's
not enough room for it. Immo Heikkinen.
MardoX
>f(x)=ax+b. Siis lukiolaisen(kin) oletetaan tietävän mitä tarkoitetaan
>funktion lineaarisuudella. Kuinkahan moni mahtaa tietää..
Haa, nyt ainakin minä tiedän, toivottavasti kevään kirjoituksissa olisi
tuollainen.
Vaikka taitaa olla turha toivo, että olisi toinen lineaarisuuteen liittyvä
tehtävä näin pian 97:n jälkeen..
Juha Perala
>vaikka sen derivaatta onkin vakiofunktio. Yleisesti lineaarisella
>funktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jolla on seuraavat
>ominaisuudet:
Olet siis sitä mieltä että funktion y=2x+3 kuvaaja ole suora?
(ei ole siis lineaarinen)
kuulostaa aika hurjalta.
-jp
Antti-Juhani Kaijanaho
> > Mutta tämä kaikki onkin jo yliopisto/korkeakoulumatikkaa.
>
> Onko näin?
Eivät minun kouluaikanani (olin abi-97) lineaarikuvaukset
(ts. lineaariset funktiot) kuuluneet koulukurssiin. Ainoa viittaus
lineaarisuuteen, jonka lukiokirjoistani (Uuden lukion matematiikka,
laaja oppimäärä, Miinala et al, WSOY) nyt löysin, oli ensimmäisen
niteen viimeinen kappale, joka käsittelee lineaarista optimointia.
Sielläkään ei puhuttu funktioista mitään, vain lausekkeista:
Kun annetut muuttujat kerrotaan tietyillä vakioilla
ja saadut tulot lasketaan yhteen, muodostuu
*lineaarinen* lauseke.
Todellakin, nykyisin tiedän, että usean muuttujan reaaliarvoinen
lineaarikuvaus on juuri tuota muotoa.
Niin, käsittelimme koulussa tuon kappaleen yhdessä kaksoistunnissa +
kotitehtävät. Ei siitä paljoa jäänyt päähän :-)
> Ennen Kaijanahon postitusta minäkin luulin että lineaarisella
> funktiolla tarkoitetaan funktiota joka on muotoa f(x)=ax+b.
Niin minäkin luulin kouluaikanani. Onhan se luonnollista: kun tarkkaa
määritelmää ei anneta, niin ihminen rupeaa päättelemään. Ja kun
lineaarinen tarkoittaa suoraviivaista, niin kuva suorasta funktion
kuvaajana on luonnollinen.
Motivaatio antamaani määritelmään tulee moniulotteisten avaruuksien
kanssa leikkimisestä. Lineaarikuvauksella n-ulotteisesta
m-ulotteiseen avaruuteen (esimerkiksi kolmiulotteisesta avaruudesta
kaksiulotteiselle tasolle - monet projektiot ovat tällaisia kuvauksia)
kun on se kiva ominaisuus, että se säilyttää suorat suorina tai
kutistaa ne pahimmassa tapauksessa pisteiksi - ts. ei käyristä niitä.
Lineaarikuvaukset ovat yksi mukavimmista käsitteistä, jotka esitellään
lukion jälkeen.
Esimerkiksi vektoriarvoisen funktion derivaatta yhdessä pisteessä on
lineaarikuvaus. Mitä mielenkiintoisinta, derivaattafunktio tässä
tapauksessa on funktio, joka saa arvokseen funktioita...
Matematiikka on mielenkiintoista. Ei lukiossa saa minkäänlaista kuvaa
siitä, mitä matematiikka *oikeasti* on. Kuten eräs minua opettanut
(silloinen) apulaisprofessori sanoi: "Lukiossa opitaan laskentoa, ei
matematiikkaa!"
Antti-Juhani Kaijanaho
> Olet siis sitä mieltä että funktion y=2x+3 kuvaaja ole suora?
> (ei ole siis lineaarinen)
Väärä johtopäätös. Luepa viestini uudestaan.
Markku Halmetoja
: >Ei. Esimerkiksi funktio g : R -> R, g(x) = 2x + 3 ei ole lineaarinen,
: >vaikka sen derivaatta onkin vakiofunktio. Yleisesti lineaarisella
: >funktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jolla on seuraavat
: >ominaisuudet:
: Olet siis sitä mieltä että funktion y=2x+3 kuvaaja ole suora?
: (ei ole siis lineaarinen)
: kuulostaa aika hurjalta.
Funktio f:R-->R on lineaarinen, jos f(x+y) = f(x)+f(y)
ja f(a*x) = a*f(x) kaikille reaalisille x ja y (a on vakio).
Yllä annettu fktio ei toteuta näitä ehtoja. Asialla ei ole
mitään tekemistä sen kanssa, että mainitun fktion kuvaaja
on suora.
-mh-
Antti-Juhani Kaijanaho
> Funktio f:R-->R on lineaarinen, jos f(x+y) = f(x)+f(y) ja f(a*x) =
> a*f(x) kaikille reaalisille x ja y (a on vakio).
Korjaus: a ei ole vakio vaan mielivaltainen sekin. Sanoisin siis:
.. kaikille reaalisille x, y ja a. Niin, ja nuo ehdot toimivat myös
muillekin kuin R-->R-kuvauksille.
Juha Perala
Juu, asia kavi jo tassa aamusella selvaksi :) Pitanee kai menna
antidoping-toimikunnan tuomittavaksi ja lopettaa oinen postailu..
-jp
>Funktio f:R-->R on lineaarinen, jos f(x+y) = f(x)+f(y)
>ja f(a*x) = a*f(x) kaikille reaalisille x ja y (a on vakio).
>
Immo Heikkinen
Haa, katsokaapas mitä minä löysin "vanhasta" (ei nyt niin kovin vanhasta,
matikan kirjoitukset 26.3.99 ;-D ) matikan kirjastani Matematiikan Taito 1:
"Yleisesti funktion y=kx+b kuvaaja on suora. Kutsumme tälläistä funktiota
lineaariseksi funktioksi."
Great =)
Antti-Juhani Kaijanaho kirjoitti viestissä ...
>Matematiikka on mielenkiintoista.
Erittäin.
>Ei lukiossa saa minkäänlaista kuvaa
>siitä, mitä matematiikka *oikeasti* on. Kuten eräs minua opettanut
>(silloinen) apulaisprofessori sanoi: "Lukiossa opitaan laskentoa, ei
>matematiikkaa!"
Varmaan aika pitkälle totta. Tai mistä minä tiedän. Eikö kuitenkin olisi
mahdollista että edes jonkinlaista vinkkiä matematiikan syvimmästä
olemuksesta voisi saada? Jos ei nyt siellä lukiossa niin lukio-aikana
kuitenkin. Vaikka tuskinpa sitä voi edes määritellä mitä matematiikka
_oikeasti_ on, taitaa loppua sanat kesken =)
MardoX
Immo Heikkinen wrote in message ...
>Haa, katsokaapas mitä minä löysin "vanhasta" (ei nyt niin kovin vanhasta,
>matikan kirjoitukset 26.3.99 ;-D ) matikan kirjastani Matematiikan Taito 1:
>
>"Yleisesti funktion y=kx+b kuvaaja on suora. Kutsumme tälläistä funktiota
>lineaariseksi funktioksi."
>
>Great =)
Heh, mahdankohan tipauttaa yo-lautakunnan kärryiltä vetäisemällä kokeeseen
Kaijanahon määritelmän lineaarisesta funktiosta ;-} (olettaen, että
lineaarisuudesta tulee kokeeseen..).
Vesa Lappalainen
> Heh, mahdankohan tipauttaa yo-lautakunnan kärryiltä vetäisemällä kokeeseen
> Kaijanahon määritelmän lineaarisesta funktiosta ;-} (olettaen, että
> lineaarisuudesta tulee kokeeseen..).
Tuskin! Kaijanahon opettajia voi olla tarkastajina :-)
Vesa
Henri Hansen
: Varmaan aika pitkälle totta. Tai mistä minä tiedän. Eikö kuitenkin olisi
: mahdollista että edes jonkinlaista vinkkiä matematiikan syvimmästä
: olemuksesta voisi saada? Jos ei nyt siellä lukiossa niin lukio-aikana
: kuitenkin. Vaikka tuskinpa sitä voi edes määritellä mitä matematiikka
: _oikeasti_ on, taitaa loppua sanat kesken =)
Totta. Matematiikkaa ei voi määritellä, koska määritelmän pitäisi kaiketi
olla matematiikkaa. Ja ja, öö syvimmästä olemuksesta voitaisiin keskutella
viikkokausia; Matematiikka on inhimillinen toiminto ja sellaisena sillä on
yhtä monta syvintä olemusta kuin on matematiikan harjoittajia. Merkinnät
ja sen sellaiset kun vaihtelevat ja vaikka se 'pointti' siellä taustalla
olisi ihan sama, se voidaan määritellä samallakin alalla aivan eri kautta.
--
.:[ han...@cc.tut.fi : www.students.tut.fi/~hansen]:.
All is bliss,
here and now.
Jarkko Isotalo
Antti-Juhani Kaijanaho wrote:
> Ei. Esimerkiksi funktio g : R -> R, g(x) = 2x + 3 ei ole lineaarinen,
> vaikka sen derivaatta onkin vakiofunktio. Yleisesti lineaarisella
> funktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jolla on seuraavat
> ominaisuudet:
>
> Olkoon a mikä tahansa reaaliluku (tai kompleksiluku, mikäli
> harrastamme niitä). Olkoot x ja y mitä tahansa f:n määrittelyjoukon
> alkioita. Tällöin
> f(ax) = a f(x),
> ja
> f(x + y) = f(x) + f(y).
>
No joo funktiota g(x) = 2x + 3 voidaan (ja ehkä itse asiassa pitäisikin)
tarkastella lineaarisena transformaationa eli muunnoksena T: R^2 --> R ,
jolloin päädytään siihen järkevään tulokseen, että funktio g(x) = 2x + 3
on lineaarinen funktio.
Eli ilmoitetaan funktio g(x) vektoreiden y ja x ja matriisin A avulla
muodossa y = Ax, missä y on 1x1 vektori, A on 1x2 matriisi sisältäen
tuntemattoman alkion eli A = (x 1) ja x on 2x1 pystyvektori sisältäen
parametrit (2 3)'. Nyt funktiolle g(x) on yleisen lineaarisen kuvauksen
ominaisuudet voimassa: A(kx + y) = kAx +Ay kaikilla vektoreilla x ja y
sekä mielivaltaisella vakiolla k. Tässä tapauksessa ajatellaan siis, että
funktion g(x) x:n arvo on tavallaan kiinnitetty ennenkuin parametrien
arvoja aletaan vaihdella (funktiossa g(x) nyt siis 2 ja 3 ovat parametrejä
joiden arvoja voidaan vaihdella).
Esimerkiksi
(x 1)*( (2 3)' + (4 5)' ) = (x 1)*(2 3)' + (x 1)*(4 5)' , kaikilla
x:n arvoilla.
Toisaalta funktio g(x) = 2x + 3 voidaan ilmoittaa muodossa y = Ax, missä A
on nyt muodossa (2 3) ja vektori x = (x 1)'. Tässäkin tapauksessa on
yleisen lineaarisen kuvauksen ominaisuudet voimassa eli A(kx + y) = kAx +
Ay kaikilla vektoreilla x ja y sekä mielivaltaisella vakiolla k. Nyt
kuitenkin Kaijanahon esittämä yksinkertainen laskutoimitus g(1+3) pitääkin
laskea muodossa g(x1 + x2), missä x1 = (1 1)' ja x2 = (3 1)' jolloin
g(x1 + x2) = 14 mikä on tietysti erisuuri kuin "normaalisti" laskettu
g(1+3) = 11.
Jokatapauksessa funktio g(x) = 2x + 3 on lineaarinen ilmoitti sen mitenkä
tahansa, mutta tuntemattoman x:n rooli vaihtelee esitystavasta riippuen
(tässä nyt ei syvennytä siihen).
Vielä Kaijanaholle sen verran, että on eriasia piirtää lineaarifunktion
kuvaaja havaintoavaruuteen vai muuttuja-avaruuteen. Nimittäin
havaintoavaruuteen piirrettäessä kuvaajan ei tarvitse kulkea origon kuten
nähdään funktion g(x) = 2x +3 tapauksessa (havaintoavaruuteen piirtäminen
on sitä mitä "normaalisti" tehdään).
Hannu H{rk|nen
>Funktio f:R-->R on lineaarinen, jos f(x+y) = f(x)+f(y)
>ja f(a*x) = a*f(x) kaikille reaalisille x ja y (a on vakio).
>
>Yllä annettu fktio ei toteuta näitä ehtoja. Asialla ei ole
>mitään tekemistä sen kanssa, että mainitun fktion kuvaaja
>on suora.
Tuota tuota. Ei nyt noinkaan. Hankala (ja jonkun mielestä
epäilemättä lukioon sopiva) määritelmä lineaarikuvaukselle voisi olla,
että "Funktio f:R -> R on lineaarinen, jos sen kuvaaja on origon kautta
kulkeva suora".
Jos nimittäin f on ylhäällä lainatussa osassa annetun määritelmän
mukaan lineaarinen, niin pisteessä x on y=f(x)=x*f(1), mikä tarkoittaa,
että funktio määräytyy täysin vakion f(1) mukaan. Kuvaajaksi saadaan siis
suora, joka kulkee origon kautta (f(0)=0*f(1)=0). Jos taas kuvaaja on
origon kautta kulkeva suora, niin y=kx, eli f(x)=kx, ja tällainen funktio
on aivan varmasti lineaarikuvaus lainatussa osassa määritellyssä mielessä.
Sivutuotteena saadaan, että lineaarikuvaukset R -> R ovat
täsmälleen kaikki funktiot, jotka ovat muotoa f(x)=kx, missä k on
reaaliluku.
-Hannu
Immo Heikkinen
>No joo funktiota g(x) = 2x + 3 voidaan (ja ehkä itse asiassa pitäisikin)
>tarkastella lineaarisena transformaationa eli muunnoksena T: R^2 --> R ,
>jolloin päädytään siihen järkevään tulokseen, että funktio g(x) = 2x + 3
>on lineaarinen funktio.
Hmm, tässä enää tiedä mitä uskoo.. Miten niin ko. funktiota pitäisi
tarkastella jonain damn lineaarisena transformaationa?
Jos kerran g ei toteuta niitä ehtoja jotka lineaarisuuteen funktiona
vaaditaan ja koska g on selvästikin funktio, niin eihän siinä voi tulla
muuhun päätelmään kuin että g ei ole lineaarinen funktio. Olettaen tietysti
että tuo annettu määritelmä funktion lineaarisuudelle oli oikea.
Tuo mitä sinä siis teit oli: tarkastelit ei-lineaarista funktiota
lineaarisena transformaationa osoittaaksesi että ko. funktio on lineaarinen.
Huh?!
Antti-Juhani Kaijanaho
> No joo funktiota g(x) = 2x + 3 voidaan (ja ehkä itse asiassa pitäisikin)
> tarkastella lineaarisena transformaationa eli muunnoksena T: R^2 --> R ,
> jolloin päädytään siihen järkevään tulokseen, että funktio g(x) = 2x + 3
> on lineaarinen funktio.
Vaikka tarkastelisit lauseketta 2x + 3 kuvauksena R^2-->R ja saisit
tulokseksi tuon funktion lineaarisuuden, ei se sitä faktaa muuta, että
tuo lauseke tulkittuna kuvaukseksi R-->R (kuten koulussa tehdään) ei
ole lineaarinen.
Pyrin alempana osoittamaan, että puhut muutenkin puuta heinää. Se on
vaikeaa, koska sotket asian niin monimutkaiseksi, että argumentointisi
pointin hahmottaminen on hankalaa. Annan vinkin: jos tarkoituksesi on
perustella jotain, tee se mahdollisimman selkeästi; todistuksella,
jota ei ymmärretä, ei ole mitään virkaa.
> Eli ilmoitetaan funktio g(x) vektoreiden y ja x ja matriisin A avulla
> muodossa y = Ax, missä y on 1x1 vektori, A on 1x2 matriisi sisältäen
> tuntemattoman alkion eli A = (x 1) ja x on 2x1 pystyvektori sisältäen
> parametrit (2 3)'.
Eli määritteletkö nyt, että g(x) := y? Tämä on selvästi kuvaus R-->R
riippumatta merkinnällisistä tempuista, joita teet.
> Tässä tapauksessa ajatellaan siis, että funktion g(x) x:n arvo on
> tavallaan kiinnitetty ennenkuin parametrien arvoja aletaan vaihdella
> (funktiossa g(x) nyt siis 2 ja 3 ovat parametrejä joiden arvoja
> voidaan vaihdella).
Osoitat tässä lineaariseksi funktion
R^2 ---> R: x |---> Ax,
missä A = (k 1), ja k on kiinnitetty reaalilukuvakio.
Totta kai tuo on lineaarinen! Sehän on matriisikertolasku. Mutta
sillä ei ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelmamme kanssa.
> Toisaalta funktio g(x) = 2x + 3 voidaan ilmoittaa muodossa y = Ax, missä A
> on nyt muodossa (2 3) ja vektori x = (x 1)'.
Tämäkin on kuvaus R-->R. Sinä vain kirjoitat sen erään
itsestäänselvästi lineaarisen funktion R^2-->R rajoittumaksi joukkoon
{ (x1, x2) in R^2 : x2 = 1 }. Tällainen rajoittuma ei säilytä
lineaarisuutta, joten edelleenkään merkintätavalliset temput eivät
muuta tosiasioita.
> Jokatapauksessa funktio g(x) = 2x + 3 on lineaarinen ilmoitti sen mitenkä
> tahansa
Väitteesi on epätosi. Lineaarisen kuvauksen (esim x |--> 2x) ja
avaruuden siirron yhdiste on lineaarinen vain silloin, kun siirto on
identiteetti - mutta siirto x |--> x + 3 ei ole identiteetti.
> Vielä Kaijanaholle sen verran, että on eriasia piirtää
> lineaarifunktion kuvaaja havaintoavaruuteen vai muuttuja-avaruuteen.
Luuletko, etten minä sitä tiedä? Tässä tapauksessa vain
muuttuja-avaruuteen piirtäminen (elikkä kuvajoukkojen tai alkukuvien
piirtäminen) ei ole kovinkaan mielenkiintoista, sillä tarkastelemamme
kuvauksen määrittely- ja kuva-avaruus kumpikin ovat lukusuoria.
> Nimittäin havaintoavaruuteen piirrettäessä kuvaajan ei tarvitse
> kulkea origon
[kautta]
Väärin. Lineaarisella kuvauksella on se ominaisuus, että se kuvaa
origon origoksi. Siksi lineaarisen funktion kuvaaja kulkee aina
"havaintoavaruudessa" origon kautta, ts. aina pätee
(0,0) in { (x, y) in R : y = f(x), f:R-->R lineaarinen }
Pitääkö origon kuvautuminen origoksi todistaa, vai jätänkö lukijalle
harjoitustehtäväksi?
MardoX
Antti-Juhani Kaijanaho wrote in message
<87socgg...@ugh.jyu.fi.invalid>...
>Jarkko Isotalo <ji5...@uta.fi> writes:
>
>> No joo funktiota g(x) = 2x + 3 voidaan (ja ehkä itse asiassa pitäisikin)
>> tarkastella lineaarisena transformaationa eli muunnoksena T: R^2 --> R ,
>> jolloin päädytään siihen järkevään tulokseen, että funktio g(x) = 2x + 3
>> on lineaarinen funktio.
>
>Vaikka tarkastelisit lauseketta 2x + 3 kuvauksena R^2-->R ja saisit
>tulokseksi tuon funktion lineaarisuuden, ei se sitä faktaa muuta, että
>tuo lauseke tulkittuna kuvaukseksi R-->R (kuten koulussa tehdään) ei
>ole lineaarinen.
jne. jne.
Huh, onnistuitte tiputtamaan kärryiltä. Jos jollakulla riittää intoa, niin
voisi selittää mitä tarkoittaa:
"kuvaus R^2-->R" ?
By the way: Kaijanaho scores, Isotalo fails!
Ainakin tämän lineaarisuus-keskustelun osalta..
Jori M{ntysalo
> Jos jollakulla riittää intoa, niin voisi selittää mitä tarkoittaa:
> "kuvaus R^2-->R" ?
Kuvaus järjestettyjen reaalilukuparien joukosta reaalilukujen joukkoon.
Eli esimerkiksi tasolta reaalilukusuoralle, esim. f(x,y)=2*x+y.
"Tavalliset" funktiot, esim. f(x)=2*x^3-1 ovat kuvauksia reaalilukujen
joukosta reaalilukujen joukkoon, merkitään yleensä f: R --> R
--
= = = = Jori Mäntysalo = = = =
"Ai sinä olet niin nörtti että osaat kääntää kernelin?" -RN
Tero Kilpeläinen
Immo Heikkinen wrote:
> Haa, katsokaapas mitä minä löysin "vanhasta" (ei nyt niin kovin vanhasta,
> matikan kirjoitukset 26.3.99 ;-D ) matikan kirjastani Matematiikan Taito 1:
>
> "Yleisesti funktion y=kx+b kuvaaja on suora. Kutsumme tälläistä funktiota
> lineaariseksi funktioksi."
Joo, näinhän se on käytännössä (ja koulussa erityisesti) tapana sanoa;
funktiot,
joiden derivaatta on vakio eli ensimmäisen asteen polynomit ovat lineaarisia
(tavall kielenkäytössä). Joskus on tarpeen kutsua niitä tarkemmin affiinisti
lineaarisiksi (tai vain affiineiksi), korostamaan, että nolla ei kuvaudu
nollaksi,
ja että puhe ei ole lineaarikuvauksista, joiden määritelmän Kaijanaho jossain
julisti.
Yhteenveto: koulussa ja yo-kirjoituksissa voi huoletta pitää lineaarisina
kaikkia
funktioita joiden kuvaaja on suora, riippumatta, meneekö kuvaaja origon kautta
vai ei.
Antti-Juhani Kaijanaho
> Yhteenveto: koulussa ja yo-kirjoituksissa voi huoletta pitää
> lineaarisina kaikkia funktioita joiden kuvaaja on suora, riippumatta,
> meneekö kuvaaja origon kautta vai ei.
Totta. Siitä kaikesta huolimatta, mitä olen tänne kirjoittanut, olen
Kilpeläisen kanssa tästä samaa mieltä. Sanoinhan jo alunperin, että
se, mitä kirjoitin, oli yliopistomatikkaa. Mutta kun kysymys kuului
"voidaanko _yleisesti_" (korostus minun) ... :-)
Immo Heikkinen
> "Tero Kilpeläinen" <te...@math.jyu.fi> writes:
>
> > Yhteenveto: koulussa ja yo-kirjoituksissa voi huoletta pitää
> > lineaarisina kaikkia funktioita joiden kuvaaja on suora, riippumatta,
> > meneekö kuvaaja origon kautta vai ei.
>
> Totta. Siitä kaikesta huolimatta, mitä olen tänne kirjoittanut, olen
> Kilpeläisen kanssa tästä samaa mieltä. Sanoinhan jo alunperin, että
> se, mitä kirjoitin, oli yliopistomatikkaa. Mutta kun kysymys kuului
> "voidaanko _yleisesti_" (korostus minun) ... :-)
>
> Antti-Juhani
Hmm, ei oikein nappaa tämmönen.Eihän sitä noin voi tehdä että funktion
lineaarisuudella tarkoitetaan eri tilanteissa eri asiaa. Olisitte siis sitä
mieltä että tuossa kyseisessä yo-tehtävässä riittäisi todeta jotain että
"funktion f(x)=sqrt(2)*x on kuvaaja on origon kautta kuljeva suora ==> f
lineaarinen funktio" ? Eikä tarvitsisi (helposti) osoittaa että se on
lineaarinen myös tuon oikean(?) määritelmän mukaan?
Mitäköhän tuo lineaarisuus olisi sitten yläastematematiikassa..
Blah.
Harri Mansikka
%> Varmaan aika pitkälle totta. Tai mistä minä tiedän. Eikö kuitenkin olisi
%> mahdollista että edes jonkinlaista vinkkiä matematiikan syvimmästä
%> olemuksesta voisi saada?
Liekö kotipaikkakunnallasi kirjastoa? Tietokirjallisuuden
puolella on oma luokkansa matematiikalle. Jos on pienempi
kirjasto kyseessä, niin tekevät kyllä kaukolainauksia,
ystävällinen kirjastohenkilö auttaa mielellään.
Mitäköhän teoksia lukiolaiselle alkajaisiksi suosittelisi?
%> Jos ei nyt siellä lukiossa niin lukio-aikana kuitenkin.
Tiemmä nykyään on olemassa jossain kolkassa joku lukio,
jossa on mahdollista suorittaa ylioppilaspaprujen ohella
matematiikan yliopisto-appro.
%> Vaikka tuskinpa sitä voi edes määritellä mitä matematiikka
%> _oikeasti_ on, taitaa loppua sanat kesken =)
On se määriteltävissä numeroituvalla määrällä, kenties jopa
äärellisellä määrällä sanoja. Tässäkin mieluummin antaisin
kyllä kirjallisuusviitteen kuin alkaisin itse vääntämään.
--
;; , , ; ,; ; , , ,;
, ; , , ;,, ,,,; , , ,, , ,,, ,,,,,, ,,,
the magic mushroom patch releases spores at you
Immo Heikkinen
Harri Mansikka kirjoitti viestissä ...
>Immortal words of Immo Heikkinen <im...@pp.inet.fi>:
>%> Varmaan aika pitkälle totta. Tai mistä minä tiedän. Eikö kuitenkin olisi
>%> mahdollista että edes jonkinlaista vinkkiä matematiikan syvimmästä
>%> olemuksesta voisi saada?
>
>Liekö kotipaikkakunnallasi kirjastoa? Tietokirjallisuuden
>puolella on oma luokkansa matematiikalle. Jos on pienempi
>kirjasto kyseessä, niin tekevät kyllä kaukolainauksia,
>ystävällinen kirjastohenkilö auttaa mielellään.
>
>Mitäköhän teoksia lukiolaiselle alkajaisiksi suosittelisi?
Öh? Taisit tajuta vähän väärin.. en pyytänyt mitään materiaali-vinkkejä,
kommentoin vain ympäripyöreästi Kaijanahon toteamusta että lukiossa ei sa
mitään kuvaa siitä mitä matematiikka *oikeasti* on.
Bygones.
Antti-Juhani Kaijanaho
> Mitäköhän teoksia lukiolaiselle alkajaisiksi suosittelisi?
Minä lueskelin lukiolaisena (ja jo kouluaikanakin) yliopiston
johdantokurssin monistetta [1] - tosin tässä vaikutti se, että
tuttavapiirissäni oli jo silloin yliopistomatemaatikko. Lisäksi
sanoisin, että tästä threadista pitäneet voisivat lukea jotain
lineaarialgebran alkeismonistetta, esim. [2]. Sekä [1] että [2] ovat
mielestäni esitystavaltaan hyviä ja sopivat edistyneelle
lukiolaiselle. Molemmat ovat täällä ensimmäisen syksyn
kurssimonisteita.
Voin järjestää yhdelle halukkaalle ilmaiskappaleen monisteesta [2].
Pyyntö pitää perustella sähköpostitse *hyvin*.
Viitteet:
[1] Lauri Kahanpää, Harri Högmander ja Matti Hannukainen: Johdatus
matematiikkaan. Jyväskylä 1993: Jyväskylän yliopisto, matematiikan
laitos, luentomoniste 23.
[2] Lauri Kahanpää ja Matti Hannukainen: Lineaarinen algebra ja
geometria. Suoraviivaista ajattelua - osa 1. Jyväskylä 1999:
Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, luentomoniste 43.
> Tiemmä nykyään on olemassa jossain kolkassa joku lukio, jossa on
> mahdollista suorittaa ylioppilaspaprujen ohella matematiikan
> yliopisto-appro.
vYliopistoappro ei sekään kerro matikasta juuri mitään. Vähintäänkin
sen pitäisi olla pääaineopiskelijoiden appro, jotta siitä olisi mitään
hyötyä, ja sellaista tuskin lukiossa voi suorittaa.
Timo Partanen
>Mitäköhän teoksia lukiolaiselle alkajaisiksi suosittelisi?
>Tiemmä nykyään on olemassa jossain kolkassa joku lukio,
>jossa on mahdollista suorittaa ylioppilaspaprujen ohella
>matematiikan yliopisto-appro.
Itse luin lukion ohessa vuosikymmenen alussa Helsingin
yliopiston matematiikan sivuaineopiskelijoille tarkoitetun
matematiikan appron. Kirjasarjana oli (ja on kai viel{kin?)
"Matematiikkaa soveltajille"-kirjasarjan osat 1-3, Lahtinen
& Pehkonen. Tasoltaan ko kirjat soveltuvat hyvin edistyneemm{lle
lukiolaiselle, mutta ongelma on siin{, ett{ kyseiset kirjat
on kirjoitettu fysiikan, kemian tai muiden vastaavien aineiden
lukijoille eiv{tk{ niin ollen anna "oikeaa kuvaa" siit{
matematiikasta, jota p{{aineopiskelijat lukevat.
t...Tiksa (mukamas matematiikankin opiskelija)
--
Elämä on peli. Se voittaa, jolla on lopussa eniten tavaroita.
Jaakko Hirvonen
> vYliopistoappro ei sekään kerro matikasta juuri mitään. Vähintäänkin
> sen pitäisi olla pääaineopiskelijoiden appro, jotta siitä olisi mitään
> hyötyä, ja sellaista tuskin lukiossa voi suorittaa.
Minulle on jäänyt semmoinen olo, että matematiikassa vielä cum laudekin
jää hyvin pinnalliseksi, mielenkiintoisia asioitahan siihenkin kuuluu,
mutta koska matematiikkassa on niin paljon eri osa-alueita, cumuun saa
yleensä mahdutettua vain johdantokurssin yhteen jos toiseenkin
matematiikan osa-alueeseen: Esim pari kurssia analyysia,
lineaarialgebran, algebran, topologian jne. beisiksit.
Näin ollen minulle oli jo jokseenkin opintojen alusta asti selvää, että
jos haluaa päästä matematiikassa semmoisille vesille, jossa löytyy sitä
niin kutsuttua munaa, täytyy suorittaa ilman muuta ainakin
laudatur-oppimäärä, vaikka sivuaine minulle onkin. Laudaturkursseja
pikkuhiljaa suoritellessani vasta ovat matematiikan hienoudet alkaneet
kunnolla avautua, varsinkin, kun pakolliset kurssit alkavat olla
hanskassa, ja voi suorittaa niitä kursseja, joista on oikeasti kiinnostunut.
-jh
rtk
Jori M{ntysalo <jm5...@uta.fi> wrote in article
<79pa7v$8v$3...@baker.cc.tut.fi>...
> MardoX <mard...@hotmail.com> wrote:
>
> > Jos jollakulla riittää intoa, niin voisi selittää mitä tarkoittaa:
> > "kuvaus R^2-->R" ?
>
> Kuvaus järjestettyjen reaalilukuparien joukosta reaalilukujen joukkoon.
> Eli esimerkiksi tasolta reaalilukusuoralle, esim. f(x,y)=2*x+y.
> "Tavalliset" funktiot, esim. f(x)=2*x^3-1 ovat kuvauksia reaalilukujen
> joukosta reaalilukujen joukkoon, merkitään yleensä f: R --> R
Siis mitä?
(Tossa on selitetty matemaattinen liturgia matemaattisella liturgialla)
(Tiedän kyllä, ei näitä tänne pitäisi heittää, mutt nyt oon laiska enkä
jaksa kaivaa wanhoja matikanprujuja esille)
(Osaan ja olen kääntänyt kernelin)