Deltafunktiosta!

[Aki Karppinen]

Tuolla kvanttimekaniikassakin niin yleisesti näkyvässä funktiossa on
mielenkiintoisia ominaisuuksia!

H(t)=Integral(T->-oo)delta(t) dt
H(t) on ns. Heaviside-funktio, joka on määritelty seuraavasti:
H(t)={ 1, kun t=>0
0, kun t<0 }

Yleensä käytetään H(t-a)=Integral(delta(t-a)dt), joka tarkoittaa:
H(t-a)={ 1, kun t=>a
0, kun t<a }

Mikä on siis puhtaan deltafunktion arvo?
Käisittäkseni delta(t)=+oo, kun t=>0 ja o, kun t<0

Deltafunktiota siis käytetään aina, kun kysymys sellaisesta funktiosta, joka
pysyy tasan 0:na, ennen jotain aaltomekaanista raja-arvo kohtaa... Jonka
jälkeen se saa arvon, jonka nuo yhtälön muut kertoimet määrittelevät...

ksi(x)=Integral(e^(ipx/h')*delta(p-h'k)dp)=e^(ikx)
(Miten nuo eksponentin kertoimet tarkaan ottaen menevät?)
k=1/x, h=2*pi*x*p*i, h'=px, tästä tuo ikx pitäisi tulla!
(siis kx=vakio)

Tästä näimme deltafunktion muita ominaisuuksia:
F(delta(t))=Integral((oo>-oo)delta(t)*e^(-i*omega*t)dt)=1
F(delta(t-a))=Integal((oo>-oo)delta(t-a)*e^(-i*omega*t)dt)=e^(-j*omega*a)

F on tässä Fourier muunnos, Laplace-muunnos käyttäytyy samalla tavalla...

Mitä me tästä opimme? Että matikka ja fysiikka on täynnä (mielenkiintoisia?)
kaavoja, kun ne oikein ymmärtää:-)

## AGISON ##