Korkeamman asteen yhtälön ratkaisu
Samuli Asmala
2x^4 + 3x^2 + x = 46
Mielellään joku tapa, millä saa kaikki tuon tyyliset tehtävät ratkaistua.
Kiitos jo etukäteen.
-Samuli-
Mage Grandios
"Samuli Asmala" <samuli...@nic.fi> kirjoitti viestissä
news:1VP67.2994$zh5....@uutiset.nic.fi...
1) Jakaa osatekijöihin ja ratkaista ne (esim. toisen asteen yhtälön mukainen
lauseke * jokin toinen ..)
2) Kokeilla etsiä 1. x:n juuri askeltamalla. Aluksi x on esim. -10 ja
kasvatetaan x:ää jollakin luvulla ja lasketaan aina y:n arvo. Kun y:n merkki
muuttuu, tiedetään, että tuolla välillä on yksi juuri ja lähdetään sitten
hakemaan sitä käyttämällä pienempää x:n askelta...
Tämä tapa voidaan automatisoida tekemällä silmukan sisältävä softa...
Voidaan myös piirtää karkeakin kuvaaja ja haarukoida sieltä alkurajat x:lle.
Kun 1. x on saatu, voidaan jakaa lausekkeella x - x1.
3) MatLab tai Derive tai vastaava softa
Samuli Asmala
> 1) Jakaa osatekijöihin ja ratkaista ne (esim. toisen asteen yhtälön
mukainen
> lauseke * jokin toinen ..)
> 2) Kokeilla etsiä 1. x:n juuri askeltamalla. Aluksi x on esim. -10 ja
> kasvatetaan x:ää jollakin luvulla ja lasketaan aina y:n arvo. Kun y:n
merkki
> muuttuu, tiedetään, että tuolla välillä on yksi juuri ja lähdetään sitten
> hakemaan sitä käyttämällä pienempää x:n askelta...
> Tämä tapa voidaan automatisoida tekemällä silmukan sisältävä softa...
> Voidaan myös piirtää karkeakin kuvaaja ja haarukoida sieltä alkurajat
x:lle.
>
> Kun 1. x on saatu, voidaan jakaa lausekkeella x - x1.
> 3) MatLab tai Derive tai vastaava softa
Selvä, kiitoksia.
-Samuli-
Tuomas T Korppi
: Miten tämmöisen tehtävän saa ratkaistua:
: 2x^4 + 3x^2 + x = 46
: Mielellään joku tapa, millä saa kaikki tuon tyyliset tehtävät ratkaistua.
: Kiitos jo etukäteen.
3. ja 4. asteen polynomiyhtälöille on olemassa ratkaisukaavat, joista
ainakin 4. asteen yhtälön ratkaisukaava on aivan hirveä, eikä 3. asteen
yhtälön ratkaisukaavakaan ole sellainen, että sitä muistaisi ulkoa. On
todistettu, ettei 5. ja sitä korkeampien asteiden polynomiyhtälöille ole
ratkaisukaavoja.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
---------------------------------------------------------------------------
HIM WHO IS NOT TO BE NAMED. See Hastur.
- entry in Encyclopedia Cthulhiana
Mika R S Kojo
Tuomas T Korppi <kor...@cc.helsinki.fi> writes:
>
> Samuli Asmala <samuli...@nic.fi> wrote:
> : Miten tämmöisen tehtävän saa ratkaistua:
>
> : 2x^4 + 3x^2 + x = 46
>
> : Mielellään joku tapa, millä saa kaikki tuon tyyliset tehtävät ratkaistua.
>
> : Kiitos jo etukäteen.
>
> 3. ja 4. asteen polynomiyhtälöille on olemassa ratkaisukaavat, joista
> ainakin 4. asteen yhtälön ratkaisukaava on aivan hirveä, eikä 3. asteen
> yhtälön ratkaisukaavakaan ole sellainen, että sitä muistaisi ulkoa. On
> todistettu, ettei 5. ja sitä korkeampien asteiden polynomiyhtälöille ole
> ratkaisukaavoja.
Yleisesti, puhuttaessa ratkaisukaavoista, tämä ei tietysti pidä
paikkaansa. On mahdollista löytää ratkaisukaavat theta-funktioiden
avulla.
Mika
Jyrki Lahtonen
Mika R S Kojo <mrs...@sirppi.helsinki.fi> wrote in article
<dspofqb...@sirppi.helsinki.fi>...
Niinpä. Siitä, mikä hyväksytään ratkaisukaavaksi on varmaan useita
hyviä mielipiteitä. Itse olen algebran harrastajana sen verran puristi,
etten itse asiassa oikein miellä theta-funktiota sellaiseksi, johon
voisi näppärästi sijoittaa muuttujan paikalle jotain ja saada ulos
kynällä ja paperilla jotain, jonka voisi sanoa olevan "suljetussa
muodossa".
Toinen peruste sille, miksi useinkin tässä yhteydessä rajoitutaan
algebrallisiin operaatioihin lienee se, että ne ovat yleispätevämpiä.
Theta-funktiota et voi määritellä ilman jonkinlaista kovergenssin
käsitettä, eli olet heti rajoittanut kaavan pätevyysalueen reaali/
kompleksilukuihin (tai johonkin vastaavaan struktuuriin, missä
voit ajatella sarjoja). Polynomiyhtälön voi sen sijaan kirjoittaa
minkä tahansa renkaan yli (rajoittamalla x ja yhtälön kertoimet
johonkin kuntaan saadaan tosin siistimpi teoria). Normaali yhtälön
ratkaisukaava toimii (tietyin kunnan karakteristikaa koskevin
rajoituksin, esmes toisen asteen yhtälön ratkaisukaava menee
makkeliksi karakteristika 2 kunnilla) yli (melkein) minkä tahansa
kunnan. Juurenotto voi tietenkin viedä kunnan ulkopuolelle, mutta
kuitenkin mielestäni "hallitusti".
Voisi tosin olla mielenkiintoinen homma etsiä theta-funktioille
vastineita äärellisen karakteristikan tapauksessa. Ehkä joku on
jopa tehnyt sen:)
Terveisin,
Jyrki Lahtonen
Tuomas T Korppi
: Niinpä. Siitä, mikä hyväksytään ratkaisukaavaksi on varmaan useita
: hyviä mielipiteitä. Itse olen algebran harrastajana sen verran puristi,
: etten itse asiassa oikein miellä theta-funktiota sellaiseksi, johon
: voisi näppärästi sijoittaa muuttujan paikalle jotain ja saada ulos
: kynällä ja paperilla jotain, jonka voisi sanoa olevan "suljetussa
: muodossa".
Jotta se alkuperäinenkin kysyjä pystyy seuraamaan keskustelua huomautan,
että se minun tulokseni koski siis ratkaisukaavoja, jossa saa käyttää
ainoastaan neljää laskutoimitusta sekä juurenottoa. Nyt nämä sankarit
esittävät täällä uusia matemaattisia operaatioita, joiden avulla homma
saadaan ratkaistua.
Ja jotta minäkin, yksinkertainen topologi, pystyisin seuraamaan
keskustelua, pyytäisin pientä luonnehdintaa siitä, millainen tuo
theta-funktio on. (Siis esim. riittääkö yhden R -> R funktion lisääminen
arsenaaliin todella tuottamaan "ratkaisukaavat?)
Jyrki Lahtonen
Tuomas T Korppi <kor...@cc.helsinki.fi> wrote in article
<9jm8pa$qeg$1...@oravannahka.helsinki.fi>...
> Jyrki Lahtonen <laht...@spamkill.utu.fi> wrote:
>
> : Niinpä. Siitä, mikä hyväksytään ratkaisukaavaksi on varmaan useita
> : hyviä mielipiteitä. Itse olen algebran harrastajana sen verran puristi,
> : etten itse asiassa oikein miellä theta-funktiota sellaiseksi, johon
> : voisi näppärästi sijoittaa muuttujan paikalle jotain ja saada ulos
> : kynällä ja paperilla jotain, jonka voisi sanoa olevan "suljetussa
> : muodossa".
>
> Jotta se alkuperäinenkin kysyjä pystyy seuraamaan keskustelua huomautan,
> että se minun tulokseni koski siis ratkaisukaavoja, jossa saa käyttää
> ainoastaan neljää laskutoimitusta sekä juurenottoa. Nyt nämä sankarit
> esittävät täällä uusia matemaattisia operaatioita, joiden avulla homma
> saadaan ratkaistua.
>
> Ja jotta minäkin, yksinkertainen topologi, pystyisin seuraamaan
> keskustelua, pyytäisin pientä luonnehdintaa siitä, millainen tuo
> theta-funktio on. (Siis esim. riittääkö yhden R -> R funktion lisääminen
> arsenaaliin todella tuottamaan "ratkaisukaavat?)
Tunnustan, että omat tietoni tuosta theta-funktion käytöstä ovat
erittäin rajalliset, eli en osaa näin kotoa käsin sanoa asiasta
juuri mitään. Toisaalta minähän edustan tässä keskustelussa puhtaan
algebran puolta:) Hämärä muistikuvani on, että jotain ovelia hyper-
geometrisia sarjoja voidaan käyttää "ratkaisukaavojen" esittämiseen.
Tässä suhteessa siis pallo Kojolle (tai visiitti kirjastoon).
Heittoni positiivisen karakteristikan vaikeuksista näkyy jo esmes
siinä, ettei neliöksi täydentäminen onnistu karakteristika kahdessa,
kun kakkosella eli siis nollalla ei saa jakaa! Se onkin ainoa ongelmal-
linen alkulukukarakteristika toisen asteen yhtälöille. Äärellisille
kunnille homma hoituu kuitenkin toisin.
Kolmannen asteen yhtälöillä tulee sitten vaikeuksia lisäksi karakteristika
kolmella (kakkosen lisäksi, sillä Cardanon kaavassahan 3. asteen
yhtälö palautuu toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen).
Olen kerran opiskellut neljännen asteen yhtälön ratkaisumenetelmän
(hauskahko sarja harjoitustehtäviä Jacobsonin Basic Algebra I:ssa).
Periaatteessa suoraviivaista (muistaakseni), kunhan Galois'n teoriaa
on ensin opiskeltu sopivasti. Sopivia symmetrisiä polynomeja pitää
keksiä, jotta juuritornikuntalaajennuksen saa aikaiseksi...
Terveisin,
Jyrki Lahtonen
Mika R S Kojo
"Jyrki Lahtonen" <laht...@spamkill.utu.fi> writes:
>
> Tuomas T Korppi <kor...@cc.helsinki.fi> wrote:
>
> > Ja jotta minäkin, yksinkertainen topologi, pystyisin seuraamaan
> > keskustelua, pyytäisin pientä luonnehdintaa siitä, millainen tuo
> > theta-funktio on. (Siis esim. riittääkö yhden R -> R funktion lisääminen
> > arsenaaliin todella tuottamaan "ratkaisukaavat?)
>
> Tunnustan, että omat tietoni tuosta theta-funktion käytöstä ovat
> erittäin rajalliset, eli en osaa näin kotoa käsin sanoa asiasta
> juuri mitään. Toisaalta minähän edustan tässä keskustelussa puhtaan
> algebran puolta:) Hämärä muistikuvani on, että jotain ovelia hyper-
> geometrisia sarjoja voidaan käyttää "ratkaisukaavojen" esittämiseen.
> Tässä suhteessa siis pallo Kojolle (tai visiitti kirjastoon).
Yritän esitellä tässä lyhyesti (ja hieman oikoen) miten theta-funktiot
astuvat kuvaan. Perusajatus on yksinkertaisesti ottaa mallia
juurenotosta. Tunnetusti
root(n,x) = exp(1/n log x) =
exp(1/n int_{1}^{x} (1/y)dy),
ja tiedämme, että tämän funktion avustuksella voimme ratkaista vain
n < 5 asteen polynomiyhtälöt (yli jonkun Q:n algebrallisen
laajennuksen).
Jos haluamme ratkaista polynomiyhtälön astetta n > 4 niin idea on
korvata exp-funktio ja integraali joillakin sopivilla
transkendenttisilla funktioilla. Tapaus n = 5 on klassinen ja siinä
exp-funktio korvataan elliptisellä modulaarisella funktiolla ja
integraali elliptisellä integraalilla. Yleinen tapaus on käsittääkseni
vasta 1980-luvulla esitetty täsmällisesti (tosin periaate lienee
tunnettu kauan) ja siinä tarvitaan nk. Siegelin modulaarisia
funktioita (oleellisesti theta-funktioita) ja hyperelliptisiä
integraaleja.
Jos L on (piste)hila yli C^g:n ja A = C^g/L niin theta-funktiot
voidaan määritellä holomorfisiksi funktioiksi (poistettuna 0-funktio),
joille pätee
theta(z + t) = theta(z) e(Q_t(z) + c_t),
jossa Q_t on C-lineaarimuoto yli A:n ja c_t \in C. Edellinen siis
pätee kaikille z \in A ja t \in L. Tämä tietysti liittyy suoraan
abelisiin monistoihin (ja täten hyperelliptisten käyrien
jacobiaaneihin), vaikka A:n ei tarvitse välttämättä sellainen
ollakaan.
Theta-funktiot voidaan kirjoittaa muotoon
theta(z,p) = \sum_{n \in Z} exp(Pi i transpose(n) p n +
2 Pi i transpose(n) z),
jossa z \in C^g ja p \in C^{g x g}. Matriisin p tulee olla symmetrinen
(se määrittää oleellisesti vaaditun pistehilan) ja täyttää eräitä
muitakin vaatimuksia. Theta-vakiot ovat muotoa theta(0,p), eli ne
määräytyvät pelkästään matriisista p.
Olkoon F(X) \in C[X] ja haluamme löytää ratkaisun yhtälöön
F(X) = 0.
Määrittelemme käyrän
T: Y^2 = G(X),
jossa G(X) = F(X)R(X). Oletamme, että T on hyperelliptinen käyrä eli
F:llä ei ole moninkertaisia juuria yms. (Jos F:llä on moninkertaisia
juuria niin niihin pääsee käsiksi laskemalla s.y.t(F(X),F'(X)), jossa
F' on F:n derivaatio.)
Koska T on hyperelliptinen niin se määrään nk. hyperelliptisen
jacobiaanin eli abelisen moniston C^g/L, jollekin hilalle L. Edellä
mainittiin jo, että theta-funktiot toimivat tälläisten olioiden
päällä. Se, että niiden avulla pääsee käsiksi F:n juuriin on vaikeampi
asia (enkä sitä tarkasti tässä selitä).
Olkoon a_1,...,a_n F:n juuret. Nyt Thomaen (1870) tulokset johtavat
siihen, että
(a_k - a_l)/(a_k - a_m)
on eräiden theta-vakioiden 4. potenssien rationaalifunktio. (Näitä
kutsutaan astetta 2 oleviksi Siegelin modulaarisiksi funktioiksi.)
Täten valitsemme R(X) = (X - b_1)(X - b_2) ja koska G(X) = F(X)R(X)
niin tiedämme kaksi G:n juurta. Täten jos saamme laskettua tarvittavat
theta-vakiot niin saamme tuotettua jonkin F:n juuren.
Tämä kaikki osoittaa, että voimme vaihtaa exp-funktion
Siegelin modulaariseksi funktioiksi, vaikkapa,
f: C^{g x g} --> C.
Tarvittava g x g -matriisi saadaan hyperelliptisistä integraaleista
int_{0 <= i <= g - 1} X^i/root(2,G(X)) dX,
jotka siis myös määräävät hilan L ja täten moniston C^g/L.
Asiaan voi tutustua tarkemmin lukemalla David Mumfordin kirjoja Tata
Lectures on Theta I ja II.
> Heittoni positiivisen karakteristikan vaikeuksista näkyy jo esmes
> siinä, ettei neliöksi täydentäminen onnistu karakteristika kahdessa,
> kun kakkosella eli siis nollalla ei saa jakaa! Se onkin ainoa ongelmal-
> linen alkulukukarakteristika toisen asteen yhtälöille. Äärellisille
> kunnille homma hoituu kuitenkin toisin.
Siis K on ääretön ja char K = p? Jos P(X) on polynomi yli K:n ja jos P
on määritelty yli äärellisen kunnan k, niin selvästi joku k:n
algebrallinen laajennus sisältää P:n ratkaisut. Olkoon se vaikka
K'. Nyt jos homomorfismi K --> K' on olemassa niin voimme ratkaista P:n
yli K' (ts. K' on K:n alikunta).
En tiedä miten toimia, jos k ei ole äärellinen. Tämä on ehkä
epätodennäköinen tapaus, jos tarkoituksena on kehittää käytännöllinen
algoritmi. Onkohan mahdollista luoda ääretön kunta K, char K = p,
siten, että se ei ole algebrallisten laajennusten muodostama suora
tulo?
Toinen pohtimisen arvoinen tilanne on kun K on lokaalikunta ja k sen
jäännöskunta. Tällöin char k = p, vaikkapa, ja jos K on
ei-ramifioitunut niin silloin tavallinen Newtonin iteraatio nostaa
ratkaisut yli k:n koko lokaaliin kuntaan.
Mika
Jyrki Lahtonen
Muutama kommentti vielä (mielestäni ne jo kerran postasin kotoa,
mutta eipä niitä täällä näy, sori jos tulevat kahdesti):
Kiitos tästä selvityksestä. Oma muistikuvani liittyi kyllä
johonkin ihan toiseen juttuun (eli Wolframin mainokseen hypergeo-
metristen sarjojen käytöstä viidennen asteen yhtälöiden ratkomiseen).
Häpeän tuota.
> Theta-funktiot voidaan kirjoittaa muotoon
>
> theta(z,p) = \sum_{n \in Z} exp(Pi i transpose(n) p n +
> 2 Pi i transpose(n) z),
>
> jossa z \in C^g ja p \in C^{g x g}. Matriisin p tulee olla symmetrinen
> (se määrittää oleellisesti vaaditun pistehilan) ja täyttää eräitä
> muitakin vaatimuksia. Theta-vakiot ovat muotoa theta(0,p), eli ne
> määräytyvät pelkästään matriisista p.
>
Pitäisikö tuossa olla n \in Z^g tai ehkä n \in L? Jos hila tulee
matriisista p niin kaiketikin n \in Z^g??
> Asiaan voi tutustua tarkemmin lukemalla David Mumfordin kirjoja Tata
> Lectures on Theta I ja II.
Kiitti vinkistä. Abelin monistot on mulla pinossa "opiskele sitten, kun
on aikaa" - tosin aika korkealla sijalla. Joku toinen ehdotti myös
Milnen luentonivaskaa (imuroitavissa: www.umich.edu/...) Osaatko
vertailla? Tapausta g=1 pääsen kyllä mietiskelemään elliptisten käyrien
kautta. Ei tuo theta-juttu mitenkään luoksepääsemättömältä siis vaikuta.
>
> > Heittoni positiivisen karakteristikan vaikeuksista näkyy jo esmes
> > siinä, ettei neliöksi täydentäminen onnistu karakteristika kahdessa,
> > kun kakkosella eli siis nollalla ei saa jakaa! Se onkin ainoa ongelmal-
> > linen alkulukukarakteristika toisen asteen yhtälöille. Äärellisille
> > kunnille homma hoituu kuitenkin toisin.
>
> Siis K on ääretön ja char K = p? Jos P(X) on polynomi yli K:n ja jos P
> on määritelty yli äärellisen kunnan k, niin selvästi joku k:n
> algebrallinen laajennus sisältää P:n ratkaisut. Olkoon se vaikka
> K'. Nyt jos homomorfismi K --> K' on olemassa niin voimme ratkaista P:n
> yli K' (ts. K' on K:n alikunta).
>
Ööö. Tässä kohtaa oli p=2 ja toisen asteen yhtälö. Lineaarisella
sijoituksella ne aina palautuvat joko muotoon x^2=a tai muotoon x^2+x=a.
Näistä ensimmäinen on aika selvä:) Jälkimmäinen hoituu äärellisille
kunnille pienellä kikkailulla (lisään detaljeja, jos kiinnostaa).
Jälkimmäisen kanssa tulee yleisimmin kuvaan mukaan Hilbertin Satz 90
ja Artin-Screierin käyrät (jos pohjakunnan transkdenttisuusaste yli
jonkin passelin perfektin vakiokunnan on yksi) jne..
> En tiedä miten toimia, jos k ei ole äärellinen. Tämä on ehkä
> epätodennäköinen tapaus, jos tarkoituksena on kehittää käytännöllinen
> algoritmi. Onkohan mahdollista luoda ääretön kunta K, char K = p,
> siten, että se ei ole algebrallisten laajennusten muodostama suora
> tulo?
Eikö transkendenttien mukaantulo ole ilmeinen tapa saavuttaa tämä?
>
> Toinen pohtimisen arvoinen tilanne on kun K on lokaalikunta ja k sen
> jäännöskunta. Tällöin char k = p, vaikkapa, ja jos K on
> ei-ramifioitunut niin silloin tavallinen Newtonin iteraatio nostaa
> ratkaisut yli k:n koko lokaaliin kuntaan.
>
> Mika
Tuota kutsutaan Henselin nostoksi. Olet tietenkin oikeassa siinä, että
kyseessä on loppujen lopuksi Newtonin iteraatio:)
--
Jyrki Lahtonen, docent
Department of Mathematics,
University of Turku,
FIN-20014 Turku, Finland
http://users.utu.fi/lahtonen
tel: (02) 333 6014
Mika R S Kojo
Jyrki Lahtonen <laht...@utu.fi> writes:
>
> Mika R S Kojo wrote:
>
> Kiitos tästä selvityksestä. Oma muistikuvani liittyi kyllä
> johonkin ihan toiseen juttuun (eli Wolframin mainokseen hypergeo-
> metristen sarjojen käytöstä viidennen asteen yhtälöiden ratkomiseen).
Seuraava paikka tuntuu olevan aika hyvä tiedonlähde:
http://library.wolfram.com/examples/quintic/
Jos ymmärrän oikein niin nuo hypergeometriset sarjat Kleinin
menetelmässä tuotetaan elliptistä modulaarisista funktioista. Mainittu
theta-funktioita käyttävä menetelmä on sitten tämän jonkinlainen
yleistys. Kuten tuolla sivuilla sanotaan lienee mahdollista kirjoittaa
yleiset ratkaisut myös hypergeometrisina sarjoina.
> > Theta-funktiot voidaan kirjoittaa muotoon
> >
> > theta(z,p) = \sum_{n \in Z} exp(Pi i transpose(n) p n +
> > 2 Pi i transpose(n) z),
> >
> > jossa z \in C^g ja p \in C^{g x g}. Matriisin p tulee olla symmetrinen
> > (se määrittää oleellisesti vaaditun pistehilan) ja täyttää eräitä
> > muitakin vaatimuksia. Theta-vakiot ovat muotoa theta(0,p), eli ne
> > määräytyvät pelkästään matriisista p.
> >
>
> Pitäisikö tuossa olla n \in Z^g tai ehkä n \in L? Jos hila tulee
> matriisista p niin kaiketikin n \in Z^g??
Olet oikeassa, n \in Z^g. Yllä olevan voinee kirjoittaa siis selkeämmin
theta(z,p) = \sum_{n \in Z^g} e(1/2 transpose(n) p n + transpose(n) z),
jossa e(x) = exp(2 Pi i x).
> > Asiaan voi tutustua tarkemmin lukemalla David Mumfordin kirjoja Tata
> > Lectures on Theta I ja II.
>
> Kiitti vinkistä. Abelin monistot on mulla pinossa "opiskele sitten, kun
> on aikaa" - tosin aika korkealla sijalla. Joku toinen ehdotti myös
> Milnen luentonivaskaa (imuroitavissa: www.umich.edu/...) Osaatko
> vertailla?
Milnen tekstit ovat yleisesti ottaen varsin hyviä. Parhaiten olen
tutustunut hänen elliptisten käyrien ja algebrallisen geometrian
teksteihin. Tuo abelisten monistojen teksti on ihan luettavaa, mutta
tietysti erityylistä kuin mitä Mumford haluaa tehdä. Mumford on
pääasiassa kiinnostunut theta-funktioista, ja esittää vain
tarpeellisen määrän algebrallista geometriaa yms.
Langilla on myös kirja aiheesta, sekä Mumfordilla toinen mikä käyttää
skeemoja (molemmat muistaakseni nimellä Abelian varieties). Langin
kirja on se perusteos ja Mumfordin kirja sitten niille, jotka osaavat
hieman skeemoja. Tosin abelisten monistojen teoria on käsittääkseni
niin läheisesti tekemisissä abelisten (ryhmä) skeemojen kanssa, että
molempia kannattanee opiskella.
> Tapausta g=1 pääsen kyllä mietiskelemään elliptisten käyrien
> kautta.
Elliptiset käyrät ovat tunnetusti abelisista monistoista kanoninen
esimerkki. Niiden etuna on se, että käyrä
E: Y^2 = X^3 + aX + b,
on itseasiassa isomorfinen (ryhmä-operaatiolla varustettuna)
jacobiaaninsa J(E) kanssa. Tämä on varsin erityistä ja jo g = 2 on
paljon vaikeampi tapaus. Siis, abelinen monisto dimensiota 2 on
yleensä paljon monimutkaisempi olio käsitellä kuin dimensiota
1. Tietysti matemaatikot harvoin tarvitsevat eksplisiittistä mallia,
vaan pohtivat asioita epäsuorasti.
> Ei tuo theta-juttu mitenkään luoksepääsemättömältä siis vaikuta.
Itseasiassa se on, intuitiivisella tasolla, aika yksinkertainen
juttu. En väitä, etteikö todistuksiin tarvitsisi paljonkin aikaa
tuhlata, mutta asiasta saa nopeasti hyvän yleiskuvan.
Theta-funktioiden käyttäminen ratkaisujen laskemiseen taitaa kuitenkin
olla vaikeaa. Ongelma on se, että nk. jakso-matriisi (tai Riemann
matriisi) on yllättävän hankala laskea. Jos C on tasokäyrä niin
silloin ei käsittääkseni tunneta menetelmää, jolla matriisin voisi
helposti laskea. Aiheesta on aika paljon papereita, esim. Mika
Seppälä (jos tunnet) on asiaa tutkinut (Google.com löytää aiheesta
papereita esim. hakusanalla "period matrices").
> > > Heittoni positiivisen karakteristikan vaikeuksista näkyy jo esmes
> > > siinä, ettei neliöksi täydentäminen onnistu karakteristika kahdessa,
> > > kun kakkosella eli siis nollalla ei saa jakaa! Se onkin ainoa ongelmal-
> > > linen alkulukukarakteristika toisen asteen yhtälöille. Äärellisille
> > > kunnille homma hoituu kuitenkin toisin.
> >
> > Siis K on ääretön ja char K = p? Jos P(X) on polynomi yli K:n ja jos P
> > on määritelty yli äärellisen kunnan k, niin selvästi joku k:n
> > algebrallinen laajennus sisältää P:n ratkaisut. Olkoon se vaikka
> > K'. Nyt jos homomorfismi K --> K' on olemassa niin voimme ratkaista P:n
> > yli K' (ts. K' on K:n alikunta).
> >
> Ööö. Tässä kohtaa oli p=2 ja toisen asteen yhtälö. Lineaarisella
> sijoituksella ne aina palautuvat joko muotoon x^2=a tai muotoon x^2+x=a.
> Näistä ensimmäinen on aika selvä:) Jälkimmäinen hoituu äärellisille
> kunnille pienellä kikkailulla (lisään detaljeja, jos kiinnostaa).
> Jälkimmäisen kanssa tulee yleisimmin kuvaan mukaan Hilbertin Satz 90
> ja Artin-Screierin käyrät (jos pohjakunnan transkdenttisuusaste yli
> jonkin passelin perfektin vakiokunnan on yksi) jne..
Hmm. Pohdin varmaan jotain algebrallista sulkeumaa, koska äärelliset
tapaukset ovat tunnettuja.
Helppo tapa ratkaista tuo x^2 + x = a on käyttää jälki-funktiota. Se
ei kuitenkaan ole deterministinen kaikissa tapauksissa (tosin kai sen
voinee tehdä deterministisestikin). Miten Artin-Schreier käyrät ja
Hilbert 90 astuvat kuvaan mukaan?
> > En tiedä miten toimia, jos k ei ole äärellinen. Tämä on ehkä
> > epätodennäköinen tapaus, jos tarkoituksena on kehittää käytännöllinen
> > algoritmi. Onkohan mahdollista luoda ääretön kunta K, char K = p,
> > siten, että se ei ole algebrallisten laajennusten muodostama suora
> > tulo?
>
> Eikö transkendenttien mukaantulo ole ilmeinen tapa saavuttaa tämä?
Olet oikeassa :)
Tietysti, jos k on äärellinen niin k[[X]] on lokaalikunta. Tosin
pelkkä k(X) on tietysti jo ääretön. En tiedä sitten miten toisen
asteen yhtälön ratkaiseminen k(X):ssä tapahtuu. Ehkä sen voisi
ratkaista ensin k[[X]]:ssä, ja sitten yrittää palauttaa takaisin
rationaaliseksi? (Eli oleellisesti kuten rationaaliluvuilla.)
Mika
Jyrki Lahtonen
> Theta-funktioiden käyttäminen ratkaisujen laskemiseen taitaa kuitenkin
> olla vaikeaa. Ongelma on se, että nk. jakso-matriisi (tai Riemann
> matriisi) on yllättävän hankala laskea. Jos C on tasokäyrä niin
> silloin ei käsittääkseni tunneta menetelmää, jolla matriisin voisi
> helposti laskea. Aiheesta on aika paljon papereita, esim. Mika
> Seppälä (jos tunnet) on asiaa tutkinut (Google.com löytää aiheesta
> papereita esim. hakusanalla "period matrices").
En ole Seppälää valitettavasti koskaan tavannut. Tosin juuri eilen
kuulin pomolta, että Seppälä suunnittelee algebrallisen geometrian
teemavuotta (taannoinen evaluointitoimikuntahan suositteli Helsinkiin
ja Turkuun jonkinlaista AG-panostusta - ehkä tämä on reaktio siihen).
Saatan joutua kuvioon mukaan jollakin tavalla. Olin tosin luullut,
että Kalevi Suominen edustaisi korkeinta AG-tuntemusta Suomessa?
> Helppo tapa ratkaista tuo x^2 + x = a on käyttää jälki-funktiota. Se
> ei kuitenkaan ole deterministinen kaikissa tapauksissa (tosin kai sen
> voinee tehdä deterministisestikin). Miten Artin-Schreier käyrät ja
> Hilbert 90 astuvat kuvaan mukaan?
>
Tuo jälki-funktion avulla saatava kriteeri on itse asiassa eräs Satz 90
ilmentymä - myönnän kyllä että Hilbertiin vetoaminen tässä yhteydessä
on hiiren ampumista norsupyssyllä:). Artin-Schreier -teoria tulee kai
selkeimmin mukaan Galois'n teorian avulla. Karakteristika nollassa,
jos kuntalaajennuksen Galois'n ryhmä on ratkeava, niin se kuntalaajennus
saadaan aina juuritornilaajennuksena (edellyttäen, että sopivat ykkösenjuuret
ympätään pohjakuntaan). Tämä selittää sellaisten ratkaisukaavojen
olemassaolon, jossa ei tarvita kuin kuntaoperaatiot plus juurenotto.
Karakteristika p:ssä tulee ongelmia heti, jos p jakaa Galois'n ryhmän
kertaluvun (vaikka ko. ryhmä olisikin ratkeava), sillä tällaista
laajennusta ei saa juuritornikonstruktiolla (p:nnen juuren adjungointihan
on epäseparoituvaa puuhaa). Artin-Schreier selittää, minkälaisia
sykliset astetta p olevat Galois'n laajennukset ovat karakteristika p:ssä.
Ratkeavathan saadaan sitten tällaisten (ja muiden juurenadjungointi-
laajennusten) tornina.
Mika R S Kojo
Jyrki Lahtonen <laht...@utu.fi> writes:
>
> Olin tosin luullut, että Kalevi Suominen edustaisi korkeinta
> AG-tuntemusta Suomessa?
Tämä on minunkin käsitykseni. Tietysti kannattaa tulla itse asia
toteamaan! Prof. Suominen pitää AG/AT-seminaaria Helsingissä, ja
ainakin vielä syksyllä sen on tarkoitus kokoontua. Hänellä tuntuu
olevan kiinnostusta keskustella AG-aiheista, myös sähköpostitse.
Itseasiassa olisi hienoa, jos tuo AG/AT-seminaari saisi hieman lisää
osallistujia. Tätä varten sinne voisi varmasti saada kevyempääkin
aihetta noin niinkuin syötiksi. Prof. Suominen varmaan jatkaa syksyllä
Etale-kohomologiasta. Muut osallistujat pitävät siellä tietysti myös
esityksiä, ja yleensä helpommista aiheista.
Ehkä AG:stä pidetään joskus jokin kurssikin Helsingissä, olisi
varmasti hyödyllistä.
Mika
Jyrki Lahtonen
> Itseasiassa olisi hienoa, jos tuo AG/AT-seminaari saisi hieman lisää
> osallistujia. Tätä varten sinne voisi varmasti saada kevyempääkin
> aihetta noin niinkuin syötiksi. Prof. Suominen varmaan jatkaa syksyllä
> Etale-kohomologiasta. Muut osallistujat pitävät siellä tietysti myös
> esityksiä, ja yleensä helpommista aiheista.
Saattaisinpa innostua tulemaan. Kävin Suomisen seminaarissa reilut
5 vuotta sitten (silloinkin esiteltiin Etale-juttuja, mutta ei
valitettavasti päästy kovin pitkälle). Täytyy yrittää opiskella/kerrata
ja selvittää, missä mennään. Koska syksyn ajan saan palkkani TEKES+
Nokialta, niin tuo täytyy tehdä omalla ajalla (mikä ei välttämättä
ole ongelma, Pendolinossa saa tehtyä töitä aika hyvin, ei ainakaan
tule surffailtua täällä eikä muuallakaan:)
>
> Ehkä AG:stä pidetään joskus jokin kurssikin Helsingissä, olisi
> varmasti hyödyllistä.
Kun silloin juttelin Suomisen ja hänen seminaarilaistensa kanssa,
niin ongelmana tuntui olevan, että aina piti aloittaa alusta
ja asiaan jonkin verran sisälle päässyt väki tahtoi siirtyä
muihin aiheisiin. Tämä on todellinen ongelma, sillä ilman muuta
AG on sellainen aihe, joka vaatii vuosien taustatyön. Ei oikein
sovi yhteen nykyisen tohtorien tehokoulutuksen kanssa :(
>
> Mika
Jari Mäkinen
Nyt kun algebralliset geometrikot ovat kuulolla, niin olisiko kirja
L.Kahanpää, P.Kekäläinen, K.Smith,(2000), "Johdatus algebralliseen
geometriaan"
ostamisen väärti. Ymmärtääkseni AG:tä voidaan soveltaa ainakin
robottimekaniikassa.
--
terv. Jari Mäkinen, http://mohr.me.tut.fi/jari/
Mika R S Kojo
Jari Mäkinen <ja...@mohr.me.tut.fi> writes:
>
> Nyt kun algebralliset geometrikot ovat kuulolla, niin olisiko kirja
>
> L.Kahanpää, P.Kekäläinen, K.Smith,(2000), "Johdatus algebralliseen
> geometriaan"
>
> ostamisen väärti. Ymmärtääkseni AG:tä voidaan soveltaa ainakin
> robottimekaniikassa.
Kyllä se ihan hyvä johdatus on. Sitä on hyvä lukea ennen kuin hyökkää
esim. Hartshornen kimppuun ;) Ajatus kirjassa on käydä paljon
materiaalia läpi ja antaa täten intuitiivinen kuva algebrallisesta
geometriasta. Mielestäni se onnistuu siinä aika hyvin.
En muista tarkalleen mitä esitietoja kirja vaatii, mutta ehkä jotain
perusteita kommutatiivisesta algebrasta. Kirjassa käytetään termiä
"varisto" algebrallisesta monistosta, tämä siis Jyväskylän ja
Helsingin AG-termistön syvällisin ero ;)
Robottimekaniikan tapausta en tunne, mutta on totta, että AG:tä voi
hyödyntää yllättävissäkin paikoissa. Perustiedot AG:stä auttavat
ymmärtämään ja kehittämään tuloksia joissa pohditaan erilaisia
algebrallisia olioita, kuten polynomeja. Tietojenkäsittelijät
varsinkin voivat AG:tä hyödyntää. Erityisen tunnettuja aloja ovat
koodausteoria ja kryptografia.
Mika
Mika R S Kojo
Jyrki Lahtonen <laht...@utu.fi> writes:
>
> Mika R S Kojo wrote:
> > Ehkä AG:stä pidetään joskus jokin kurssikin Helsingissä, olisi
> > varmasti hyödyllistä.
>
> Kun silloin juttelin Suomisen ja hänen seminaarilaistensa kanssa,
> niin ongelmana tuntui olevan, että aina piti aloittaa alusta
> ja asiaan jonkin verran sisälle päässyt väki tahtoi siirtyä
> muihin aiheisiin. Tämä on todellinen ongelma, sillä ilman muuta
> AG on sellainen aihe, joka vaatii vuosien taustatyön. Ei oikein
> sovi yhteen nykyisen tohtorien tehokoulutuksen kanssa :(
Sama ongelma on tietysti nytkin. Kun aiheesta ei ole peruskurssia niin
tuon seminaarin pitäisi sama asia ajaa. Siihen se tuskin kuitenkaan
pystyy, paitsi joka 5 vuosi ;)
Seminaarien tarkoitus lienee myös antaa mahdollisuus itse esitelmän
pitäjälle oppia aihe juurta jaksaen. Tähän tarkoitukseen tämäkin
seminaari on ihan loistava. Prof. Suomisen kommentit ovat usein
syvällisempiä kuin mitä kukaan muu (lue: minä) pystyy ymmärtämään,
mutta sen takia tähän seminaariin kannattaakin osallistua.
Mika
Jyrki Lahtonen
>
> Nyt kun algebralliset geometrikot ovat kuulolla, niin olisiko kirja
>
> L.Kahanpää, P.Kekäläinen, K.Smith,(2000), "Johdatus algebralliseen
> geometriaan"
En tunne, joten en kommentoi.
>
> ostamisen väärti. Ymmärtääkseni AG:tä voidaan soveltaa ainakin
> robottimekaniikassa.
Muistan jenkkilässä kuunnelleeni jonkun General Motorsin tutkijan
esitelmän aiheesta. Käsittääkseni kyseessä oli robotin käsivarren
luiden pituuksien määrääminen siten, että robo pystyi liikuttamaan
kätensä valittujen pisteiden kautta. Tuosta syntyi yhtälöryhmä, jonka
ratkaisujoukon tutkiminen sitten oli AG:ta (hae tietyntyyppiset
käyrät, jotka kulkevat annettujen pisteiden kautta). Lisätarkasteluihin
johti se, että pisteiden piti olla käyrällä oikeassa järjestyksessä
ja se, että käyrän piti olla jaoton (robotin käsi pitäisi koota
uudestaan nyrkin siirtämiseksi käyrän toiseen komponenttiin). Kaiken
kaikkiaan hauskaa AG-popularisointia, mutta en osaa tuosta sanoa juuri
mitään.
AG tulee kyllä vastaan aika yllättävissä paikoissa. Itse tutustuin
alueeseen (jonkun verran) tutkiessani algebrallisten ryhmien esitys-
teoriaa. Siellä tarvittiin peruskamaa: lyhdekohomologiaa+skeemoja,
mutta lähinnä noin niin kuin käyttömielessä, eli perusteiden ymmärtämi-
seen sai jäädä aukkojakin. Myöhemmin tutustuin tarkemmin algebrallisten
käyrien teoriaan, koska tarvitsin sitä koodausteoriassa. Käyrien erikois-
tapauksena sitten elliptisten käyrien kautta pääseekin ihmettelemään
kryptografisia sovelluksia...
Siis yhteenvetona: oma kokemukseni AG:sta on rajallista, pinnallista
ja keskittyy positiivisen karakteristikaan (geometriaa ilman kuvia).
>
> --
> terv. Jari Mäkinen, http://mohr.me.tut.fi/jari/
Jari Mäkinen
Mika R S Kojo wrote:
>
> >
> > Nyt kun algebralliset geometrikot ovat kuulolla, niin olisiko kirja
> >
> > L.Kahanpää, P.Kekäläinen, K.Smith,(2000), "Johdatus algebralliseen
> > geometriaan"
> >
> > ostamisen väärti. Ymmärtääkseni AG:tä voidaan soveltaa ainakin
> > robottimekaniikassa.
>
> Kyllä se ihan hyvä johdatus on. Sitä on hyvä lukea ennen kuin hyökkää
> esim. Hartshornen kimppuun ;) Ajatus kirjassa on käydä paljon
> materiaalia läpi ja antaa täten intuitiivinen kuva algebrallisesta
> geometriasta. Mielestäni se onnistuu siinä aika hyvin.
Kiitoksia, ehkä teos kannatanee hankkia.
> En muista tarkalleen mitä esitietoja kirja vaatii, mutta ehkä jotain
> perusteita kommutatiivisesta algebrasta. Kirjassa käytetään termiä
> "varisto" algebrallisesta monistosta, tämä siis Jyväskylän ja
> Helsingin AG-termistön syvällisin ero ;)
Esitietovaatumuksista löytyy seuraavaa:
"Lukijalta ei edellytetä syvällisiä esitietoja algebrasta, mutta
perustiedot topologiasta ja kompleksianalyysistä ovat tarpeen.
Monistojen ja vektorikimppujen tuntemus helpottaa kirjan viimeisten
lukujen ideoiden ymmärtämistä. Teksti on ensisijaisesti tarkoitettu
matemaatikoille ja matematiikan jatko-opiskelijoille mutta se soveltuu
opintomateriaaliksi myös varttuneemmille perusopiskelijoille."
Otatiedon julkaisuluettolo 2001 (löytyy jostain päin verkkoa)
Jyrki Lahtonen wrote:
>
> Muistan jenkkilässä kuunnelleeni jonkun General Motorsin tutkijan
> esitelmän aiheesta. Käsittääkseni kyseessä oli robotin käsivarren
> luiden pituuksien määrääminen siten, että robo pystyi liikuttamaan
> kätensä valittujen pisteiden kautta. Tuosta syntyi yhtälöryhmä, jonka
> ratkaisujoukon tutkiminen sitten oli AG:ta (hae tietyntyyppiset
> käyrät, jotka kulkevat annettujen pisteiden kautta). Lisätarkasteluihin
> johti se, että pisteiden piti olla käyrällä oikeassa järjestyksessä
> ja se, että käyrän piti olla jaoton (robotin käsi pitäisi koota
> uudestaan nyrkin siirtämiseksi käyrän toiseen komponenttiin). Kaiken
> kaikkiaan hauskaa AG-popularisointia ...
Jep, tämmöistä ajattelinkin, eli AG soveltunee käänteiskinematiikan
ongelmiin. Robottimekaniikka on sikäli erikoinen alue, että sitä
tutkitaan kone-, automaatio-, säätö-, sähkö- ja tietotekniikan piirissä.