Kellotaulun kolmiajako
Pentti Alanen
liikkuvat siten, että jokainen liukuu koko ajan eikä esim
minuuttiviisari siirry vain kerran (tai kolme - 60 kertaa) minuutissa,
niin onko olemassa kellonaikaa, jolloin tunti-, minuutti-, ja
sekuntiviisari jakavat kellotaulun tarkalleen kolmeen yhtäsuureen osaan?
Ellei ole, mikä on teoreettisesti lähin tilanne?
Kysyypi epätietoinen maalta.
Pentti Alanen
Pentti Alanen
Kari Pasanen
news:3C7F32D4...@utu.fi...
Tehtävä on helppo!
Oletetaan, että meillä on täysin ideaalisesti toimiva analoginen kello 12
tunnin kellotaululla ja kolmella viisarilla.
Merkitään tuntiviisarin kulmaa \alpha_h:lla, minuuttiviisarin kulmaa
\alpha_m:llä ja sekuntiviisarin kulmaa \alpha_s:llä.
Kun aika tunteina on t, ovat viisarit seuraavissa kulmissa (kulmayksikkönä
aste):
\alpha_h = t * 30;
\alpha_m = t * 360;
\alpha_s = t * 60 * 360;
Kaikki kulmat ovat tietenkin modulo 360. Eli kaksi kulmaa ovat samat, kun
niiden astelukujen erotus on 360:n monikerta.
Jotta viisarit jakaisivat kellotaulun tehtävän tarkoittamalla tavalla
kolmeen yhtäsuureen osaan, viisarien välisten kulmien pitää olla +/- 120
astetta. Siis sillä tavalla, että joko minuuttiviisari on tuntiviisaria
edellä 120 astetta ja sekuntiviisari minuuttiviisaria edellä 120 astetta,
tai vastaavasti, kun sana "edellä" korvataan sanalla "jäljessä".
Kahden viisarin välinen kulma on helppo laskea. Yhtälön avulla pystytään
myös ratkaisemaan, millä ajanhetkellä kulma on tietynsuuruinen. Nyt
käytettävällä ratkaisumenetelmällä pystytään siis vastaamaan muihinkin
samankaltaisiin kellotaulukysymyksin.
Ratkaistaan ensin, milloin tuntiviisarin ja sekuntiviisarin välinen kulma on
+/- 120 astetta. Sitten tarkistetaan, onko myös minuuttiviisarin ja
sekuntiviisarin välinen kulma sama +/- 120 astetta. Saadaan yhtälö
\alpha_m - \alpha_h = t * 330 = n * 360 +/- 120,
missä n on kokonaisluku. Yhtälön ratkaisut ovat
t = +/- 4/11 + n * 12/11,
ja viimeistään tästä nähdään, että n:lle riittää antaa arvot nollasta
kymmeneen (22 eri ratkaisua). Esim. n:n arvolla 0 ja plusmerkillä saadaan
kellonaika 0:21:49, jolloin minuuttiviisari on teoreettisesti 120 astetta
edellä tuntiviisaria.
Nyt on vielä kysymys siitä, onko näinä 22 eri ajanhetkenä koskaan
minuuttiviisarin ja sekuntiviisarin välinen kulma oikea (+/- 120 astetta).
Tämä kulma on
\alpha_s - \alpha_m = t * 59 * 360.
Sijoitetaan tähän aiemmin saatu ratkaisu t = +/- 4/11 + n * 12/11. Saadaan
\alpha_s - \alpha_m = (+/- 236 + n * 708) * 360/11.
Tämän pitäisi olla, tietenkin modulo 360, +/- 120, missä merkki on yhtälön
molemmilla puolilla sama. Sijoittamalla n:n arvot 0...10 ja molemmat
merkkivaihtoehdot todetaan, että tehtävällä ei ole ratkaisuja.
Minuuttiviisarin ja sekuntiviisarin välinen kulma ei ole koskaan +/- 120
astetta, kun tuntiviisarin ja minuuttiviisarin välinen kulma on tuon
suuruinen. Sellaisia kellonaikoja tosin on, jolloin tuntiviisarin ja
minuuttiviisarin välinen kulma on +/- 120 astetta ja samalla minuuttiviisari
ja sekuntiviisari ovat päällekkäin. Nämähän ovat kello 4 (saadaan
miinusmerkillä ja n:n arvolla 4) ja kello 8 (saadaan plusmerkillä ja n:n
arvolla 7).
Mutta mikä sitten on "teoreettisesti lähin tilanne"? Ensin pitäisi
määritellä, miten virhe mitataan!
Kari Pasanen
Mika R S Kojo
"Kari Pasanen" <kari.p...@nokia.com> writes:
>
> "Pentti Alanen" <pea...@utu.fi> kirjoitti viestissä
> news:3C7F32D4...@utu.fi...
>
> > Tunnetaanko seuraava ongelma ja sen ratkaisu? Jos kellon osoittimet
> > liikkuvat siten, että jokainen liukuu koko ajan eikä esim
> > minuuttiviisari siirry vain kerran (tai kolme - 60 kertaa) minuutissa,
> > niin onko olemassa kellonaikaa, jolloin tunti-, minuutti-, ja
> > sekuntiviisari jakavat kellotaulun tarkalleen kolmeen yhtäsuureen osaan?
> > Ellei ole, mikä on teoreettisesti lähin tilanne?
> >
> > Kysyypi epätietoinen maalta.
>
> Tehtävä on helppo!
>
>
> Mutta mikä sitten on "teoreettisesti lähin tilanne"? Ensin pitäisi
> määritellä, miten virhe mitataan!
Jos huomaa, että tehtävässä on oleellisesti kysymys (additiivisesta)
ryhmästä Q/Z, ja siellä luonnollinen etäisyys on tietysti |x - y|,
niin ratkaisun ei pitäisi olla erityisen vaikea. (Nähtävästi Pasanen
pohti tehtävää Q/nZ:ssa, mikä on tietysti isomorfinen Q/Z:n kanssa.)
Tehtävä on siinä mielessä kiinnostava, että se antaa ajatuksen
kehittää hieman yleisemminkin lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisua
Q/Z:ssa eksaktisti ja etsiä likiarvoja kun eksaktia vastausta ei
ole. Tämä on täysin alkeellista lukuteoriaa, mutta hyvä
harjoitustehtävä niille jotka kokevat tarvetta vielä harjoitella
Euklidin menetelmää.
(Suosittelen käsin laskemista, sillä kellotaulu tehtävä on erityisen
triviaali, jos saa käyttää tietokonetta - pelkkä hakuongelma.)
Sääli, että lopullinen ratkaisu on varsin arvattava. (Olettaen, että
itse ratkaisin sen oikein!)
Mika