Numeroituva vs. numeroitumaton ääretön
Jani
Olen perehtymässä Lebesguen integraaliin ja heti alussa tuli vastaan
numeroituvuuden määritelmä. Itse numeroituvuus on ideana selkeä, mutta
numeroituvasti vs. numeroitumattomasti ääretön ei tunnu astuvan
päähäni.
Koitin hahmottaa asiaa Cantorin diagonaalitodistuksen avulla mutta en
päässyt puusta pitkään (joskin nyt ymmärrän miksi rationaalilukujen
joukko on numeroituva).
Määritelmällisesti joukko A on numeroituva jos se on joko tyhjä tai on
olemassa surjektio f luonnollisten lukujen joukolta A:lle. Ja tällainen
surjektio voidaan luoda N->Q mutta ei esim. N->[0,1].
Miksi tuota jälkimmäistä kuvausta ei voida määritellä esim.
(toivottavasti tästä saa tolkun, kuva olisi helpottanut selittämistä)
f_1(0)=0.0
f_1(1)=0.1
f_1(2)=0.2
...
f_1(9)=0.9
f_1(10)=0.00
f_1(11)=0.01
...
f_1(20)=0.10
f_1(21)=0.11
...
f_1(71)=0.61
f_1(72)=0.62
..
f_1(101)=0.91
f_1(102)=0.92
..
f_1(110)=0.000
f_1(111)=0.001
..
Yleisesti f_n on kuvaus N->[n-1,n] siten, että
f_1(0) "alle" tulee f_1(10) ... f_1(19)=0.00 ... 0.09
f_1(1) "alle" tulee f_1(20) ... f_1(29)=0.10 ... 0.19
..
f_1(10) "alle" tulee f_1(110) .. f_1(119) = 0.000 .. 0.009
Jokaisesta oksasta lähtee kymmenen oksaa puussa alaspäin. Tasolla n on
10^n lehteä ja funktion parametrit juoksevat tasoilla seuraavasti
1: 0-9
2: 10-109
3: 110-1109
etc.
Mitä aukkoja kuvaan jää? Mikä tässä logiikassa menee metsään? Miksei
kuvaksi tule väli [0,1[?
Selailin aikaisempia keskusteluja asiasta mutta sieltä asia ei selvinnyt.
Myöskään netti ei tarjonnut järkeen(i)käypää selitystä asialle.
Voisiko joku vääntää rautalankaa asiasta?
Timo Korvola
> Mitä aukkoja kuvaan jää?
Kaikki reaaliluvut, joilla on päättymätön desimaalikehitelmä.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Risto Paasivirta
Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
>Määritelmällisesti joukko A on numeroituva jos se on joko tyhjä tai on
>olemassa surjektio f luonnollisten lukujen joukolta A:lle. Ja tällainen
>surjektio voidaan luoda N->Q mutta ei esim. N->[0,1].
>
>Miksi tuota jälkimmäistä kuvausta ei voida määritellä esim.
>(toivottavasti tästä saa tolkun, kuva olisi helpottanut selittämistä)
>f_1(0)=0.0
>f_1(1)=0.1
>f_1(2)=0.2
>...
>Mitä aukkoja kuvaan jää? Mikä tässä logiikassa menee metsään? Miksei
>kuvaksi tule väli [0,1[?
Esimerkiksi luku 1/3 puuttuu.
>Voisiko joku vääntää rautalankaa asiasta?
Sinun kuvasi on pieni rationaalilukujen osajoukko, vain ne luvut
joilla on äärellinen esitys kymmenkannassa. Esm. f(n) != 0.33333....
kaikilla kokonaisluvuilla n. (Ennen kuin yrität paikata, huomaa
että irrationaaliluvulla desimaaliesitys ei ole äärellinen missään
rationaalisessa kannassa...)
Risto
--
main(){char*a="main(){char*a=%c%s%c;printf(a,34,a,34);}";printf(a,34,a,34);}
Mikko Parviainen
Jani
: In article <d87d5l$nm1$1...@oravannahka.helsinki.fi>,
: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
<...>
:>Mitä aukkoja kuvaan jää? Mikä tässä logiikassa menee metsään? Miksei
:>kuvaksi tule väli [0,1[?
: Esimerkiksi luku 1/3 puuttuu.
Hmm, kun "rekursiota" jatkaa niin 0.3333.. kyllä "kehittyy" koko ajan.
Onko tässä nyt kyse siitä ettei reaaliluvuissa ole äärellistä määrää
desimaaleja vai miksi tuo "kehittyvä" 0.333... ei kelpaa?
Voisiko ajattella, että reaaliluvut määritellään enemmänkin raja-arvoina kuin
lukuina. Onko kyseessä lukujoukko ensinkään, vaan ehkä ennemminkin
kaikkien laskutoimitusten tulosten ja raja-arvojen joukko?
: Sinun kuvasi on pieni rationaalilukujen osajoukko, vain ne luvut
: joilla on äärellinen esitys kymmenkannassa. Esm. f(n) != 0.33333....
Tässä se "klikki" taitaa tulla. Kun n kasvaa rajatta niin eikö funktioni
generoikaan äärettömän pitkiä lukuja? Miksi ei?
Jani
: Millä kokonaisluvulla n saadaan f_1(n) = sqrt(2)/2?
Onko sillä merkitystä, että kyseinen n tiedetään? Miksi?
(Eikö sqrt(2)/2 ole enemmänkin funktio, joka pullauttaa rajattoman määrän
numeroita, kuin varsinainen luku?)
Harri Haanpaa
> Hmm, kun "rekursiota" jatkaa niin 0.3333.. kyllä "kehittyy" koko ajan.
> Onko tässä nyt kyse siitä ettei reaaliluvuissa ole äärellistä määrää
> desimaaleja vai miksi tuo "kehittyvä" 0.333... ei kelpaa?
Kehittyy ja kehittyy, no, sieltä f:n kuvajoukosta löytyy kyllä
lukuja, jotka ovat mielivaltaisen lähellä 0.333...:ä, mutta 0.333...:ä
itseään sieltä ei löydy. Tai jos väität muuta, kerro, millä n:n
arvolla sieltä tulee 0.333...?
Itse asiassa 0.333... on reaaliluku ja jopa rationaaliluku ihan
siinä missä vaikkapa 0.5; joidenkin reaalilukujen ja joiden
rationaalilukujen desimaaliesityksissä on äärellinen määrä desimaaleja
ja toisten taas ei.
>: Sinun kuvasi on pieni rationaalilukujen osajoukko, vain ne luvut
>: joilla on äärellinen esitys kymmenkannassa. Esm. f(n) != 0.33333....
>
> Tässä se "klikki" taitaa tulla. Kun n kasvaa rajatta niin eikö funktioni
> generoikaan äärettömän pitkiä lukuja? Miksi ei?
Ei. Jokaisen generoidun luvun desimaaliesityksen pituus on äärellinen.
Sieltä ei tule ulos yhtään äärettömän pitkää desimaaliesitystä.
Olet nyt siis konstruoinut *yhden* funktion N -> R, jonka kuvajoukko
*ei ole* [0,1]. Cantorin diagonaalitodistusta voi käyttää osoittamaan,
ettei ole olemassa *mitään* funktiota N -> R, jonka kuvajoukko olisi
[0,1].
Harri H.
--
tutkija, Tietojenkäsittelyteorian laboratorio, TKK
>
Jukka Kohonen
>Risto Paasivirta <r...@nemesis.co.jyu.fi> wrote:
>: Sinun kuvasi on pieni rationaalilukujen osajoukko, vain ne luvut
>: joilla on äärellinen esitys kymmenkannassa. Esm. f(n) != 0.33333....
>
>Tässä se "klikki" taitaa tulla. Kun n kasvaa rajatta niin eikö funktioni
>generoikaan äärettömän pitkiä lukuja? Miksi ei?
Tarkkuutta! Mielivaltaisen pitkä on eri asia kuin äärettömän pitkä.
Kysymys on (tavallaan) taas kerran kvanttorien järjestyksestä.
Funktiosi generoi kyllä mielivaltaisen pitkiä lukuja. Valittiinpa
mikä tahansa äärellinen pituus L, niin löytyy sellainen n, että
f(n) tuottaa äärellisiä lukuja, joissa on L desimaalia.
Eli: jokaiselle L on olemassa n siten, että len(f(n)) = L.
Funktiosi ei generoi yhtäkään äärettömän pitkää lukua. Valittiinpa
mikä tahansa n, niin f(n):n pituus on äärellinen, eli löytyy vielä
jokin sitäkin suurempi pituus.
Eli: jokaiselle n on olemassa L siten, että L > len(f(n)).
--
Jukka....@iki.fi
* "... the fact that what you seem to be saying is stupid is no
evidence that it's not what you meant" -- D. Ullrich in comp.theory
Risto Paasivirta
Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
>Risto Paasivirta <r...@nemesis.co.jyu.fi> wrote:
>: In article <d87d5l$nm1$1...@oravannahka.helsinki.fi>,
>: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
><...>
>:>Mitä aukkoja kuvaan jää? Mikä tässä logiikassa menee metsään? Miksei
>:>kuvaksi tule väli [0,1[?
>
>: Esimerkiksi luku 1/3 puuttuu.
>
>Hmm, kun "rekursiota" jatkaa niin 0.3333.. kyllä "kehittyy" koko ajan.
>Onko tässä nyt kyse siitä ettei reaaliluvuissa ole äärellistä määrää
>desimaaleja vai miksi tuo "kehittyvä" 0.333... ei kelpaa?
>
>Voisiko ajattella, että reaaliluvut määritellään enemmänkin raja-arvoina kuin
>lukuina. Onko kyseessä lukujoukko ensinkään, vaan ehkä ennemminkin
>kaikkien laskutoimitusten tulosten ja raja-arvojen joukko?
Normaalisti käytetään aksioomaa, joka sanoo että rajoitetut monotonioset
sarjat suppenevat. Yhtäpitävää sen kanssa että reaalilukujen välissä ei
ole reikiä.
>: Sinun kuvasi on pieni rationaalilukujen osajoukko, vain ne luvut
>: joilla on äärellinen esitys kymmenkannassa. Esm. f(n) != 0.33333....
>
>Tässä se "klikki" taitaa tulla. Kun n kasvaa rajatta niin eikö funktioni
>generoikaan äärettömän pitkiä lukuja? Miksi ei?
Siksi, kun sinulla jokainen jokainen kokonaisluku vastaa päättyvää desimaali-
lukua. Jos ajattelet kuvaustasi äärettömästi haarautuvana puuna, siinä on
numeroituva määrä haarautumiskohtia mutta ylinumeroituva määrä polkuja puun
läpi juuresta latvaan. Olet numeroinut haarat, et latvaa.
Jani
: On 2005-06-09, Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
: Kehittyy ja kehittyy, no, sieltä f:n kuvajoukosta löytyy kyllä
: lukuja, jotka ovat mielivaltaisen lähellä 0.333...:ä, mutta 0.333...:ä
: itseään sieltä ei löydy. Tai jos väität muuta, kerro, millä n:n
: arvolla sieltä tulee 0.333...?
Ok, mitä eroa on luvulla joka on mielivaltaisen lähellä lukua 0.333...
ja luvulla 0.333...? Miten luku 0.333... voidaan generoida? Emmekö voi
generoida funktion/pysähtymättömän algoritmin, joka lähestyy lukua
0.333... mutta emme lukua 0.333.. itsessään? (sqrt(2) olisi parempi
tässä yhteydessä mutta ajatus lienee selvä)
Se taitaakin olla reaalilukujen joukko, joka aiheuttaa hämmennystä.
:> Tässä se "klikki" taitaa tulla. Kun n kasvaa rajatta niin eikö funktioni
:> generoikaan äärettömän pitkiä lukuja? Miksi ei?
: Ei. Jokaisen generoidun luvun desimaaliesityksen pituus on äärellinen.
: Sieltä ei tule ulos yhtään äärettömän pitkää desimaaliesitystä.
Ok, mutta miksi ei?
: Olet nyt siis konstruoinut *yhden* funktion N -> R, jonka kuvajoukko
: *ei ole* [0,1]. Cantorin diagonaalitodistusta voi käyttää osoittamaan,
: ettei ole olemassa *mitään* funktiota N -> R, jonka kuvajoukko olisi
: [0,1].
Löytyisikö tähän referenssiä jostain?
....
Lueskelin Cantorin todistusta taas uudestaan ja tunnun menevän kerta
kerralta enemmän hämilleni. Käsittääkseni samalla logiikalla voidaan
todistaa ettei luonnollisia lukujakaan ole numeroituvasti ääretön määrä.
Oletetaan, että luonnolliset luvut on listattu
x_1->1
x_2->2
x_3->3
...
Nyt voimme konstruoida luvun x, joka on listassa olevien lukujen summa.
Eli x ei ole listalla vaikka se on luonnollinen luku. Lista on siis
numeroitumattomasti ääretön.
Mikä mättää?
Jani
: In article <d88hfj$fah$1...@oravannahka.helsinki.fi>,
: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
<...>
:>Voisiko ajattella, että reaaliluvut määritellään enemmänkin raja-arvoina kuin
:>lukuina. Onko kyseessä lukujoukko ensinkään, vaan ehkä ennemminkin
:>kaikkien laskutoimitusten tulosten ja raja-arvojen joukko?
: Normaalisti käytetään aksioomaa, joka sanoo että rajoitetut monotonioset
: sarjat suppenevat. Yhtäpitävää sen kanssa että reaalilukujen välissä ei
: ole reikiä.
Tämä kuulostaa järkeenkäyvältä. Ehkä en olekaan toivottomalla missiolla
:) (Joskin tuossa ilmeisesti käsitellään taas lukuja generoivia
funktioita, eikä lukuja itsessään?)
<...>
: Siksi, kun sinulla jokainen jokainen kokonaisluku vastaa päättyvää desimaali-
: lukua. Jos ajattelet kuvaustasi äärettömästi haarautuvana puuna, siinä on
: numeroituva määrä haarautumiskohtia mutta ylinumeroituva määrä polkuja puun
: läpi juuresta latvaan. Olet numeroinut haarat, et latvaa.
Mutta haarautumiskohdathan ovat juuri niitä funktion arvoja. Polut ovat
puolestaan keino selvittää millä n:n arvolla f(n) on jokin reaaliluku.
Palautuuko tämä ajatukseen, että pitää tietää millä n:n arvolla f(n) on
esim. sqrt(2)/2?
Jani
<..>
: Tarkkuutta! Mielivaltaisen pitkä on eri asia kuin äärettömän pitkä.
Tämä lienee sovittu asia?
<...>
: Funktiosi ei generoi yhtäkään äärettömän pitkää lukua. Valittiinpa
: mikä tahansa n, niin f(n):n pituus on äärellinen, eli löytyy vielä
: jokin sitäkin suurempi pituus.
: Eli: jokaiselle n on olemassa L siten, että L > len(f(n)).
Ja vastaavasti jokaiselle L voidaan valita n siten, että
len(f(n)) > L ....?
Minulta on nyt mennyt jokin perustavaa laatua oleva ajatus ohitse.
Risto Paasivirta
Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
>Nyt voimme konstruoida luvun x, joka on listassa olevien lukujen summa.
>Eli x ei ole listalla vaikka se on luonnollinen luku. Lista on siis
>numeroitumattomasti ääretön.
>
>Mikä mättää?
Rajatta kasvava sarja ei suppene.
Risto Paasivirta
Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
>: Tarkkuutta! Mielivaltaisen pitkä on eri asia kuin äärettömän pitkä.
>len(f(n)) > L ....?
Otetaan pituus L ääretön kardinaaliluku aleph_0. Valitsevasi kokonaisluku n on?
>Minulta on nyt mennyt jokin perustavaa laatua oleva ajatus ohitse.
Ainakin se, että kokonaisluvut ovat äärellisiä.
Jani
: In article <d88lun$i64$1...@oravannahka.helsinki.fi>,
: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
:>Nyt voimme konstruoida luvun x, joka on listassa olevien lukujen summa.
:>Eli x ei ole listalla vaikka se on luonnollinen luku. Lista on siis
:>numeroitumattomasti ääretön.
:>
:>Mikä mättää?
: Rajatta kasvava sarja ei suppene.
Cantor generoi joukkoon kuulumattoman luvun äärettömällä määrällä ehtoja.
Miksi tätä logiikkaa ei voi soveltaa tässä? Lukuhan generoitiin
äärettömällä määrällä askelia..?
Valitaan x siten, että x != x_1 && x != x_2 && ...
....
Tai valitaan toinen notaatio. Merkitään luonnollisia lukuja
"väärinpäin", l.
1 = ....00001
2 = ....00002
..
Jossa nollia on ääretön määrä. Eikö tällöin voida generoida uusi
luonnollinen luku käyttämällä diagonaalitodistusta?
Käsittääkseni notaatio on kuitenkin vapaasti valittavissa? Jos ei niin
eikö silloin ole jo sovittu, että irrationaaliluvut ovat
rakenteellisesti erilaisia kuin luonnolliset luvut, ja asiassa ei ole
varsinaisesti todistamista? (Tavallaan syntyjään äärettömiä :)
Risto Paasivirta
>esim. sqrt(2)/2?
Riittää osoittaa, että sellainen kokonaisluku n on olemassa
jokaiselle joukon alkiolle. (Vaan tässä tapauksessa ei ole.)
Jukka Kohonen
>Tai valitaan toinen notaatio. Merkitään luonnollisia lukuja
>"väärinpäin", l.
>1 = ....00001
>2 = ....00002
>..
>
>Jossa nollia on ääretön määrä. Eikö tällöin voida generoida uusi
>luonnollinen luku käyttämällä diagonaalitodistusta?
Ei, koska diagonaalitodistuksella muodostamasi ääretön numerojono
ei _ole_ luonnollinen luku. Jokainen luonnollinen luku on äärellisen
kokoinen.
Jani
: In article <d88mtl$i64$3...@oravannahka.helsinki.fi>,
: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
:>Ja vastaavasti jokaiselle L voidaan valita n siten, että
:>len(f(n)) > L ....?
: Otetaan pituus L ääretön kardinaaliluku aleph_0. Valitsevasi kokonaisluku n on?
Öh..? Aleph_0 kategorinen L-teoria on minulle tuttu käsite mutta "ääretön
kardinaaliluku aleph_0" ei.
:>Minulta on nyt mennyt jokin perustavaa laatua oleva ajatus ohitse.
: Ainakin se, että kokonaisluvut ovat äärellisiä.
Totta. Keskustelu palautuu aina teesiin "irrationaaliluvun pituus on
ääretön, luonnollisen luvun ei". Tiedän tämän mutta en ymmärrä
perusteluita/ajatusta.
Jani
: Jani <munpo...@gmail.com> writes:
:>Tai valitaan toinen notaatio. Merkitään luonnollisia lukuja
:>"väärinpäin", l.
:>1 = ....00001
:>2 = ....00002
:>..
:>
:>Jossa nollia on ääretön määrä. Eikö tällöin voida generoida uusi
:>luonnollinen luku käyttämällä diagonaalitodistusta?
: Ei, koska diagonaalitodistuksella muodostamasi ääretön numerojono
: ei _ole_ luonnollinen luku. Jokainen luonnollinen luku on äärellisen
: kokoinen.
Mikä luku se on? Onko sellaisille luvuille joku oma nimitys?
Minusta tuntuu, että hyväksyn ajatuksen logiikalla
-Luonnolliset luvut ovat äärellisen pituisia kokonaislukuja.
-Irrationaaliluvut ovat äärettömän pitkiä kokonais- tai desimaalilukuja.
Näen, kylläkin, tämän määritelmänä enkä todistuksena.
Risto Paasivirta
>: Rajatta kasvava sarja ei suppene.
>Cantor generoi joukkoon kuulumattoman luvun äärettömällä määrällä ehtoja.
>Miksi tätä logiikkaa ei voi soveltaa tässä? Lukuhan generoitiin
>äärettömällä määrällä askelia..?
Sarja muotoa d_0 + d_1/10 + d_2/10^2 + ... + d_n /10^n + ...
(missä on d_0 on kokonaisluku ja d_1.. ovat kokonaislukuja 0..9)
on kasvava ja _rajoitettu_ (summa <= d0+1) joten aksioomasta seuraa
että sarja suppenee johonkin reaalilukuun.
>Tai valitaan toinen notaatio. Merkitään luonnollisia lukuja
>"väärinpäin", l.
>1 = ....00001
>2 = ....00002
>..
>
>Jossa nollia on ääretön määrä. Eikö tällöin voida generoida uusi
>luonnollinen luku käyttämällä diagonaalitodistusta?
Ei, koska sarja d_0 + 10*d_1 +... + 10^n*d_n + kasvaa rajatta eikä
sellaisen sarjan summa ole luonnollinen luku.
>Käsittääkseni notaatio on kuitenkin vapaasti valittavissa? Jos ei niin
Notaatio on, mutta itse reaaliluvut eivät ole vapaasti valittavissa,
jos haluaa käyttää matemaattisen analyysin tehokkaita työkaluja.
Matematiikka pelkillä kokonaisluvuilla on hyvin vaikeaa.
>eikö silloin ole jo sovittu, että irrationaaliluvut ovat
>rakenteellisesti erilaisia kuin luonnolliset luvut, ja asiassa ei ole
>varsinaisesti todistamista? (Tavallaan syntyjään äärettömiä :)
Ei matematiikassa voi todistaa epätotta todeksi sillä että "asiassa
ei ole varsinaisesti todistamista..." Iman irrationaalilukuja reaali-
luvuilta puuttuisi hyvin tarpeellisia ominaisuuksia. (Kompleksiluvut,)
reaaliluvut ja ratinaaliluvut ovat järkeviä tapoja täydentää kokonais-
lukuja hyödyllisesti.
Jussi Piitulainen
> Minusta tuntuu, että hyväksyn ajatuksen logiikalla
> -Luonnolliset luvut ovat äärellisen pituisia kokonaislukuja.
> -Irrationaaliluvut ovat äärettömän pitkiä kokonais- tai desimaalilukuja.
>
> Näen, kylläkin, tämän määritelmänä enkä todistuksena.
Määritelmä: Luonnollisia lukuja ovat pienin luonnollinen luku 0 ja
luonnollisten lukujen seuraajat.
Määritelmä: Äärellinen määrä tarkoittaa jonkin luonnollisen luvun
ilmoittamaa määrää.
Lause: Luonnollisen luvun desimaaliesityksessä on äärellinen määrä
numeroita.
Todistus induktiolla: Pienimmän luonnollisen luvun 0 esityksessä on 1
numero, ja 1 on luonnollinen luku, joten perustapauksessa numeroita on
äärellinen määrä. Jos luonnollisen luvun n esityksessä on äärellinen
määrä numeroita, niin niitä on siinä m, missä m on luonnollinen luku.
Luvun n + 1 esityksessä on joko m tai m + 1 numeroa. Näistä m on
luonnollinen luku induktio-oletuksen mukaan, ja m + 1 on luonnollinen
luku, koska se on luonnollisen luvun seuraaja. Induktion nojalla siis
jokaisen luonnollisen luvun desimaaliesitys on äärellinen.
(Päättyvät desimaaliluvut ovat triviaalisti rationaalilukuja, joten
irrationaalilukujen, jos niitä on, täytyy olla päättymättömiä. On
kuitenkin myös rationaalilukuja, joiden ainoa desimaaliesitys on
ääretön. Yksi näistä on esiintynyt tässä keskustelussa jo. Unohda
sqrt(2) ja mieti sitä.)
Jani
<...>
: Sarja muotoa d_0 + d_1/10 + d_2/10^2 + ... + d_n /10^n + ...
: (missä on d_0 on kokonaisluku ja d_1.. ovat kokonaislukuja 0..9)
: on kasvava ja _rajoitettu_ (summa <= d0+1) joten aksioomasta seuraa
: että sarja suppenee johonkin reaalilukuun.
Juuri näin. Cantorin generoima luku suppenee kohti reaalilukua.
Mutta eihän se ole reaaliluku, sehän vaan suppenee sitä kohti, aivan
kuten alussa esittelemäni funktion arvot suppenevat kohti reaalilukua.
Puuh..onneksi tentti on vasta elokuussa.. taitaa tulla pitkä kuuma kesä.
<...>
:>Jossa nollia on ääretön määrä. Eikö tällöin voida generoida uusi
:>luonnollinen luku käyttämällä diagonaalitodistusta?
: Ei, koska sarja d_0 + 10*d_1 +... + 10^n*d_n + kasvaa rajatta eikä
: sellaisen sarjan summa ole luonnollinen luku.
Eikö seuraajafunktionkin arvo kasva rajatta?
:>Käsittääkseni notaatio on kuitenkin vapaasti valittavissa? Jos ei niin
: Notaatio on, mutta itse reaaliluvut eivät ole vapaasti valittavissa,
: jos haluaa käyttää matemaattisen analyysin tehokkaita työkaluja.
: Matematiikka pelkillä kokonaisluvuilla on hyvin vaikeaa.
Tämä valkeni!
:>eikö silloin ole jo sovittu, että irrationaaliluvut ovat
:>rakenteellisesti erilaisia kuin luonnolliset luvut, ja asiassa ei ole
:>varsinaisesti todistamista? (Tavallaan syntyjään äärettömiä :)
: Ei matematiikassa voi todistaa epätotta todeksi sillä että "asiassa
: ei ole varsinaisesti todistamista..." Iman irrationaalilukuja reaali-
Mutta tämä todistus ei nyt vain suostu istumaan päähäni. Olemme sopineet,
että meillä on kaksi joukkoa, jotka ovat erilaisia. Sitten
todistamme, että ne ovat erilaisia...hmm..
: luvuilta puuttuisi hyvin tarpeellisia ominaisuuksia. (Kompleksiluvut,)
: reaaliluvut ja ratinaaliluvut ovat järkeviä tapoja täydentää kokonais-
: lukuja hyödyllisesti.
Varmasti näin. Tuntuu, että hukun irrationaaliluvun määritelmään tässä
sopassa. Miten sellainen luku yleensäkin voidaan generoida? Eikö se ole
enemmänkin vaihtoehtoinen notaatio (esim.) laskutoimitukselle sqrt(2)?
Jyrki Lahtonen
> Juuri näin. Cantorin generoima luku suppenee kohti reaalilukua.
> Mutta eihän se ole reaaliluku, sehän vaan suppenee sitä kohti, aivan
> kuten alussa esittelemäni funktion arvot suppenevat kohti reaalilukua.
>
Kertaapa nyt aluksi pari määritelmää. Yksittäinen reaaliluku
vaan on. Ei se mihinkään suppene. Lukujonot (ja sarjat,
integraalit ja muutamat muut ötökät) suppenee (tai sitten ei).
Siis esimerkiksi: Cantorin diagonaalimenetelmä tuottaa
suppenevan lukujonon, jonka raja-arvo puuttuu listasta.
Yleensä kyllä tulkitaan tuo diagonaalimenetelmä siten,
että se suoraan tuottaa yhden puuttuvan luvun, mutta tämä
vaihtoehtoinen tulkinta voi olla helpompi niille, joille
reaaliluvun käsite tuottaa vaikeuksia (tai sitten ei).
Samanlaiset raja-arvot puuttuvat myös sinun listastasi.
Siitä että suppenevan jonon kaikki jäsenet ovat listassa
mukana ei seuraa, että se jonon raja-arvo siellä olisi.
Cheers,
Jyrki
Kari Pasanen
> Varmasti näin. Tuntuu, että hukun irrationaaliluvun määritelmään tässä
> sopassa. Miten sellainen luku yleensäkin voidaan generoida? Eikö se ole
> enemmänkin vaihtoehtoinen notaatio (esim.) laskutoimitukselle sqrt(2)?
Janilla on ongelmia peruskäsitteiden ymmärtämisessä, ja siinä on vaikeaa
auttaa. Yritäpä ymmärtää, että luvun *notaatio* jonakin merkkijonona ja
itse luku, sellaisena abstraktina oliona, jota lukujoukon aksioomat
kuvaavat, on eri asia!
Aksiomatisoituja lukujoukkoja ovat esim. luonnolliset luvut ja reaaliluvut.
Kokonaisluvut voidaan aksiomatisoida tai vaihtoehtoisesti helpostikin
konstruoida luonnollisista luvuista. Kompleksiluvut määritellään
tavanomaisesti konstruktiivisesti reaalilukupareina, mutta luonnollisista
luvuista (tai kokonaisluvuista tai rationaaliluvuista) ei vain niin suoraan
päästäkään konstruoimaan reaalilukuja - ei mitenkään muuten kuin
olettamalla täydellisyysaksiooma jossakin muodossaan.
Reaaliluvut ovat nyt, vaikkapa, rajoitettujen monotonisten
rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokkia, jotka pistetään aksiooman
voimalla suppenemaan kohti jotakin reaalilukua vaikka jono ei suppenisikaan
kohti rationaalilukua.
Kari Pasanen
Jani
<...>
: Kertaapa nyt aluksi pari määritelmää. Yksittäinen reaaliluku
: integraalit ja muutamat muut ötökät) suppenee (tai sitten ei).
Pyörittelin tuota termiä ennen kirjoittamista mutta se jäi sitten
vaihtamatta. Tiedän kyllä mitä suppeneminen tarkoittaa. Tarkoitin sanoa,
että voidaan valita luku n siten, että f(n) on äärettömän lähellä lukua
0.333...
Tai voidaan valita n_m siten, että f(n_m) on aina lähempänä lukua 0.333..
kuin sitä kohti suppenevan sarjan m:s termi on.
: Siis esimerkiksi: Cantorin diagonaalimenetelmä tuottaa
: suppenevan lukujonon, jonka raja-arvo puuttuu listasta.
Niin juuri, raja-arvo puuttuu listasta. Eihän siinä generoitu lukua joka
puuttuu listasta, vaan rakennettiin metodi jolla voidaan generoida
raja-arvo, joka puuttuu listasta.
: Yleensä kyllä tulkitaan tuo diagonaalimenetelmä siten,
: että se suoraan tuottaa yhden puuttuvan luvun, mutta tämä
Siis tuottaa raja-arvon? Kyseinen luku ei ikinä valmistu koska siihen
tarvitaan ääretön määrä askelia.
: vaihtoehtoinen tulkinta voi olla helpompi niille, joille
: reaaliluvun käsite tuottaa vaikeuksia (tai sitten ei).
: Samanlaiset raja-arvot puuttuvat myös sinun listastasi.
: Siitä että suppenevan jonon kaikki jäsenet ovat listassa
: mukana ei seuraa, että se jonon raja-arvo siellä olisi.
Pikkuhiljaa valkenee. Irrationaaliluvut ovatkin itse asiassa raja-arvoja
eivätkö lukuja?
En siis ymmärrä miksi raja-arvo ja luku on samaistettu. Kun
tämä kolahtaa niin ehkä tajuan asian.
Risto Paasivirta
>Öh..? Aleph_0 kategorinen L-teoria on minulle tuttu käsite mutta "ääretön
>kardinaaliluku aleph_0" ei.
http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html
>Totta. Keskustelu palautuu aina teesiin "irrationaaliluvun pituus on
>ääretön, luonnollisen luvun ei". Tiedän tämän mutta en ymmärrä
>perusteluita/ajatusta.
'Luvun pituus' ei ole ääretön vaan luvun desimaaliesityksen ja
yrittämällä numeroida desimaaliesitykset joudut vaikeuksiin.
Luvut kyllä kykkii ihan omalla paikallaan muiden lukujen välissä
olivat ne miten kenkkuja muuten tahansa, vaan jos haluat numeroida
ne kokonaisluvuilla, niin sinun pitää jotenkin liimata vähintään
yksi olemassaoleva kokonaisluku jokaiseen eikä mihinkään muuhun.
Nyt missasit 1/3 kaltaisistakin, pii/4:stä puhumattakaan.
Jyrki Lahtonen
> Pikkuhiljaa valkenee. Irrationaaliluvut ovatkin itse asiassa raja-arvoja
> eivätkö lukuja?
Ei kun ne raja-arvot ovat aina lukuja. Katso reaalisen
lukujonon raja-arvon määritelmää! Siinä selvästi sanotaan,
että raja-arvo on sekin reaaliluku.
Jyrki
Jani
<...>
: Janilla on ongelmia peruskäsitteiden ymmärtämisessä, ja siinä on vaikeaa
: auttaa. Yritäpä ymmärtää, että luvun *notaatio* jonakin merkkijonona ja
: itse luku, sellaisena abstraktina oliona, jota lukujoukon aksioomat
: kuvaavat, on eri asia!
Hep! Lämpenee.
Miten voimme sitten notaatioon perustuen todistaa, että Cantorin
generoima luku ei kuulu alkuperäiseen joukkoon? Mielestäni ajatus on,
edelleen, nurinkurinen.
<...>
: Reaaliluvut ovat nyt, vaikkapa, rajoitettujen monotonisten
: rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokkia, jotka pistetään aksiooman
: voimalla suppenemaan kohti jotakin reaalilukua vaikka jono ei suppenisikaan
: kohti rationaalilukua.
Hmm. Luonnolliset luvut ovat kokonaislukuja, jotka voidaan esittää äärellisen
mittaisina merkkijonoina. Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka
generoidaan luonnollisista luvuista sellaisilla funktiolla, jotka
tuottavat aina uuden numeron edellisen perään.
Hyvä, minun täytyy päästää irti joistain vanhoista käsitteistä.
.....
Keskustelin asiasta erään käpistelijän kanssa ja hän antoi esimerkin
merkkijonoista. Jos meillä on kaikki merkkijonot aakkosjärjestyksessä
niin lista on numeroitumaton, koska jo alussa alkioiden AA... ja AB..
väliin jää ääretön määrä elementtejä. Mutta jos lista kasataankin niin,
että alussa on yhden mittaiset jonot, seuraavaksi kahden mittaiset jne.
Niin lista voidaankin numeroida. {a,b,...,aa,ab,...}
Tämä tuntuu vastenmieliseltä. Miten tapa, jolla lista on kasattu, voi
vaikuttaa lopputulemaan? Vai hukutaanko tässä juuri samaan suohon mihin
itse tunnun jatkuvasti astuvan?
Jani
: että raja-arvo on sekin reaaliluku.
Jos näin sovitaan niin hyvä. Eli kuitenkin lopulta palataan
irrationaalilukujen määritelmään - ne ovat määritelmällisesti rajattoman
pituisia (desimaaliesityksessään).
(Enpä tiedä. Tunnun hakkaavani päätä seinään ymmärtämättä missä jänis
istuu. Hulluinta on, että osaan kyllä kertoa asian eteenpäin kuitenkaan
itse hiffaamatta *sitä*. Turhauttavaa.)
Jukka Kohonen
>Reaaliluvut ovat nyt, vaikkapa, rajoitettujen monotonisten
>rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokkia, jotka pistetään aksiooman
>voimalla suppenemaan kohti jotakin reaalilukua vaikka jono ei suppenisikaan
>kohti rationaalilukua.
Olisikohan henkilölle, jolle analyysin peruskäsitteet tuottavat
vaikeuksia, helpompaa ajatella reaalilukuja Dedekindin leikkauksien
kautta?
Suppenevat jonot ja raja-arvot kun näyttävät olevan ilmeisen hankalia
eikä asiaa yhtään helpota siihen liittyvä matemaattinen slangi
(on esim. oikein helppo heitellä sellaisia termejä kuin "mielivaltainen"
ja "ääretön", vaikkei ymmärtäisikään mitä ne tarkoittavat).
Kari Pasanen
> Miten voimme sitten notaatioon perustuen todistaa, että Cantorin
> generoima luku ei kuulu alkuperäiseen joukkoon? Mielestäni ajatus on,
> edelleen, nurinkurinen.
Diagonaalin muunnelma nimenomaan kuuluu joukkoon, johon sen pitää kuulua,
reaalilukujen joukkoon, koska se lukujono tulkitaan suppenevaksi sarjaksi.
Mutta konstruktio oli sellainen, että tämä luku ei voi olla alkuperäisessä
luettelossa, jossa oli väitetty olevan kaikki reaaliluvut (siis niiden
esitykset) väliltä [0, 1[. Eipä sitten olekaan, koska on löydetty
luettelosta puuttuva luku.
Pieniä ongelmia siinä lukujen taulukoinnissa on, koska kaikkien
reaalilukujen kymmenkantainen esitys (tai esitys missä tahansa valitussa
kannassa) ei ole yksikäsitteinen. En muista, miten se ongelma ratkaistiin.
Mutta kuitenkin jokaisella luvulla on sellainen esitys ja jokainen esitys
myös tarkoittaa jotakin lukua. Siitä riippumatta, että samaa lukua voidaan
esittää lukemattomilla tavoilla laskutoimitusten tuloksena, jonon
raja-arvona, integraalina jne.
> Hmm. Luonnolliset luvut ovat kokonaislukuja, jotka voidaan esittää
> äärellisen mittaisina merkkijonoina.
Liian "havainnollinen" määritelmä. Oikeaan määritelmään, Peanon aksioomiin,
on jo täällä viitattu. Luonnollisia lukuja ovat nolla ja sen seuraajat, ja
vain ne. Väitteen tyyppiä "kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee..."
todistus täydellisellä induktiolla perustuu suoraan tähän määritelmään.
> Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka
> generoidaan luonnollisista luvuista sellaisilla funktiolla, jotka
> tuottavat aina uuden numeron edellisen perään.
Puhu mieluummin reaaliluvuista. Ei tämäkään mene ihan näin. Oleellista on
raja-arvon käsitteen ymmärtäminen. Reaaliluvut ovat suppenevien lukujonojen
raja-arvoja. Siinä konstruktiovaiheessa lukujonoihin hyväksytään vain
rationaalilukuja, mutta sen jälkeen mitä tahansa reaalilukuja. Ja aina
suppenee, kunhan jono toteuttaa Cauchy-ehdon.
Kari Pasanen
Kalle Kivimaa
> Hmm. Luonnolliset luvut ovat kokonaislukuja, jotka voidaan esittää äärellisen
> mittaisina merkkijonoina. Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka
> generoidaan luonnollisista luvuista sellaisilla funktiolla, jotka
> tuottavat aina uuden numeron edellisen perään.
Niin siis irrationaaliluvut ovat lukuja, joita ei voi esittää kahden
kokonaisluvun osamääränä. Irrationaalilukujen _desimaaliesitys_
voidaan generoida esittämälläsi tavalla.
> Keskustelin asiasta erään käpistelijän kanssa ja hän antoi esimerkin
> merkkijonoista. Jos meillä on kaikki merkkijonot aakkosjärjestyksessä
> niin lista on numeroitumaton, koska jo alussa alkioiden AA... ja AB..
> väliin jää ääretön määrä elementtejä. Mutta jos lista kasataankin niin,
> että alussa on yhden mittaiset jonot, seuraavaksi kahden mittaiset jne.
> Niin lista voidaankin numeroida. {a,b,...,aa,ab,...}
Nuo ovat nyt kylläkin kaksi eri listaa. Ensimmäisessä listassa
luetellaan (myös) äärettömiä merkkijonoesityksiä, jälkimmäisessä listassa
jokainen yksittäinen alkio on äärellinen. Aivan samoin reaaliluvut ja
kokonaisluvut.
--
* Sufficiently advanced magic is indistinguishable from technology (T.P) *
* PGP public key available @ http://www.iki.fi/killer *
Hansen Henri
: Ei kun ne raja-arvot ovat aina lukuja. Katso reaalisen
: lukujonon raja-arvon m??ritelm??! Siin? selv?sti sanotaan,
: ett? raja-arvo on sekin reaaliluku.
Suosittelisin alkuperäiselle kirjoittajalle katsomaan ne Dedekindin
leikkaukset ja Cauchy-jonot. Minulle aukeni parhaiten se, mitä reaaliluvut
"ovat", kun vertasin niitä tapoja määritellä ja oivalsin, miksi ne
tuottavat intuitiivisesti samanlaiset otukset.
Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)
--
nondeterminism :
<algorithm> A property of a computation which may have more
than one result.
Jussi Piitulainen
> Keskustelin asiasta erään käpistelijän kanssa ja hän antoi esimerkin
> merkkijonoista. Jos meillä on kaikki merkkijonot
> aakkosjärjestyksessä niin lista on numeroitumaton, koska jo alussa
> alkioiden AA... ja AB.. väliin jää ääretön määrä elementtejä. Mutta
> jos lista kasataankin niin, että alussa on yhden mittaiset jonot,
> seuraavaksi kahden mittaiset jne. Niin lista voidaankin
> numeroida. {a,b,...,aa,ab,...}
>
> Tämä tuntuu vastenmieliseltä. Miten tapa, jolla lista on kasattu,
> voi vaikuttaa lopputulemaan? Vai hukutaanko tässä juuri samaan
> suohon mihin itse tunnun jatkuvasti astuvan?
Sama koskee rationaalilukuja. Niitäkään ei voi numeroida niiden
tavallisessa suuruusjärjestyksessä, mutta ne voi silti numeroida.
(Etsi verkosta "Stern-Brocot tree", se on jotenkin kiehtova.)
Numeroituvuuteen vaaditaan, että on olemassa surjektio luonnollisilta
luvuilta. Ei vaadita, että olisi olemassa surjektio, jossa joukon
alkiot ovat tietyssä järjestyksessä.
Jussi Piitulainen
> Jani writes:
> > Keskustelin asiasta erään käpistelijän kanssa ja hän antoi
> > esimerkin merkkijonoista. Jos meillä on kaikki merkkijonot
> > aakkosjärjestyksessä niin lista on numeroitumaton, koska jo alussa
> > alkioiden AA... ja AB.. väliin jää ääretön määrä
> > elementtejä. Mutta jos lista kasataankin niin, että alussa on
> > yhden mittaiset jonot, seuraavaksi kahden mittaiset jne. Niin
> > lista voidaankin numeroida. {a,b,...,aa,ab,...}
>
> Nuo ovat nyt kylläkin kaksi eri listaa. Ensimmäisessä listassa
> luetellaan (myös) äärettömiä merkkijonoesityksiä, jälkimmäisessä listassa
> jokainen yksittäinen alkio on äärellinen. Aivan samoin reaaliluvut ja
> kokonaisluvut.
Olettaisin, että molemmissa tapauksissa on kyse samasta joukosta,
aakkoston {a,b} äärellisistä merkkijonoista (Kleenen sulkeumasta).
Aakkosjärjestyksessä merkkijonojen "aa" ja "ab" väliin jää silti
ääretön määrä "aa"-alkuisia jonoja.
Kolme pistettä johti minutkin ensin ajattelemaan äärettömiä jonoja,
mutta hyvällä tahdolla voi tulkita käpistelijän tarkoittaneen samaa
joukkoa.
Hansen Henri
: Liian "havainnollinen" m??ritelm?. Oikeaan m??ritelm??n, Peanon aksioomiin,
: on jo t??ll? viitattu. Luonnollisia lukuja ovat nolla ja sen seuraajat, ja
: vain ne. V?itteen tyyppi? "kaikilla luonnollisilla luvuilla p?tee..."
: todistus t?ydellisell? induktiolla perustuu suoraan t?h?n m??ritelm??n.
Eiköhän todistus induktiolla perustu induktioskeemaan?
Siis siihen, jossa sanotaan jotain että kaikilla N:n osajoukoilla X pätee,
että jos 1 [vai oliko se 0?] kuuluu X:ään ja kaikilla x pätee, että (jos
x kuuluu X:ään niinx:n seuraaja kuuluu X:ään), niin kaikki N:n alkiot
kuuluvat X:ään?
Vai muistanko väärin? Kun minulle jäi aikanaan sellainen mielikuva, että
tämä ei ole ensimmäistä kertalukua, koska kvantifioidaan joukkojen yli,
/eikä tätä voida sanoa ensimmäisen kertaluvun logiikalla/.
Kun muistaakseni tätä ei voitu johtaa niistä aksioomista, että nollan
seuraajat ja vain ne kuuluvat ja ovat yksikäsitteisiä jne. Mutta voin olla
toki väärässä. On niin monta vuotta.
Jani
: Diagonaalin muunnelma nimenomaan kuuluu joukkoon, johon sen pitää kuulua,
: reaalilukujen joukkoon, koska se lukujono tulkitaan suppenevaksi sarjaksi.
Ok, tässä nyt tulee hyvin esiin yksi asia joka on tuottanut harmaita
hiuksia. Diagonaali generoidaan notaatiosta lähtien olettaen, että on jo
listattuna kaikki ko. välin reaaliluvut. Sitten kehitetään suppeneva
sarja, joka tuottaa luvun, joka ei olekaan listassa vaikka se on ko.
välillä.
Se mikä hanaa vastaan on, että tuo päätelmä tehdään nimenomaan
notaation pohjalta. Ensin valitaan lista lukuja, joista generoidaan
suppeneva sarja, kun, mielestäni, pitäisi valita kokoelma suppenevia
sarjoja (kaikki suppenevat sarjat joiden raja-arvo on ko. välillä), joista
voidaankin generoida uusi suppeneva sarja, jonka raja-arvo ei kuulunutkaan
muiden sarjojen raja-arvojen joukkoon. (hmm, tällainen voidaan
varmaankin generoida?)
En taida tuoda ajatuksiani kovinkaan selkeästi ilmi.
Noh, ainakin huomaan istuneeni notaatiossa liian tiukasti.. ja,
arvatenkin, istun vieläkin.
: Pieniä ongelmia siinä lukujen taulukoinnissa on, koska kaikkien
: reaalilukujen kymmenkantainen esitys (tai esitys missä tahansa valitussa
: kannassa) ei ole yksikäsitteinen. En muista, miten se ongelma ratkaistiin.
: Mutta kuitenkin jokaisella luvulla on sellainen esitys ja jokainen esitys
: myös tarkoittaa jotakin lukua. Siitä riippumatta, että samaa lukua voidaan
: esittää lukemattomilla tavoilla laskutoimitusten tuloksena, jonon
: raja-arvona, integraalina jne.
Ihmettelinkin miksi eilen lukemassani todistuksessa mainittiin erikseen
listan olevan ilman 9-jonoja.
:> Hmm. Luonnolliset luvut ovat kokonaislukuja, jotka voidaan esittää
:> äärellisen mittaisina merkkijonoina.
: Liian "havainnollinen" määritelmä. Oikeaan määritelmään, Peanon aksioomiin,
: on jo täällä viitattu. Luonnollisia lukuja ovat nolla ja sen seuraajat, ja
: vain ne. Väitteen tyyppiä "kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee..."
: todistus täydellisellä induktiolla perustuu suoraan tähän määritelmään.
Yritän havainnollistaa asiaa itselleni. Peanon aksioomat ovat tuttuja.
Jotkin käsitteet kyllä tuottavat päänvaivaa.. varsinkin analyysin
puolelta.
:> Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka
:> generoidaan luonnollisista luvuista sellaisilla funktiolla, jotka
:> tuottavat aina uuden numeron edellisen perään.
: Puhu mieluummin reaaliluvuista. Ei tämäkään mene ihan näin. Oleellista on
: raja-arvon käsitteen ymmärtäminen. Reaaliluvut ovat suppenevien lukujonojen
: raja-arvoja. Siinä konstruktiovaiheessa lukujonoihin hyväksytään vain
: rationaalilukuja, mutta sen jälkeen mitä tahansa reaalilukuja. Ja aina
: suppenee, kunhan jono toteuttaa Cauchy-ehdon.
Ahas. Istun edelleen liian tiukasti notaatiossa! Ajattelin reaalilukuja
suppenevien lukujonojen raja-arvoina (kuten olen keskustelussa
maininnutkin), mutta erehdyin ajattelemaan, että yhdellä raja-arvolla on
vain yksi sen tuottava funktio/metodi/algoritmi/whatever. Logiikkahan
kulkeekin juuri toiseen suuntaan.
Yhtä reaalilukua siis vastaakin ääretön määrä sitä kohti suppenevia
sarjoja!..tietenkin.
Ajattelen lukua liian konkreettisesti....ehkä todistus menisi paremmin
jakoon jos se olisi esitetty jollain abstraktimmalla tavalla.
Jani
: Suosittelisin alkuperäiselle kirjoittajalle katsomaan ne Dedekindin
: leikkaukset ja Cauchy-jonot. Minulle aukeni parhaiten se, mitä reaaliluvut
: "ovat", kun vertasin niitä tapoja määritellä ja oivalsin, miksi ne
: tuottavat intuitiivisesti samanlaiset otukset.
Pitääpä tutustua noihin. Taidan tosiaan kompastua koko ajan samaan
kynnykseen eli reaalilukujen määritelmään itsessään.
: Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)
Tästä voisin olla samaa mieltä :) Jos oikein käsitän, kyseessä on
kaikkien raja-arvojen joukko.
Jukka Kohonen
>Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)
... mutta saman voi sanoa muistakin lukujoukoista.
Aivan yhtä hyvin voisi sanoa, ettei rationaalilukuja ole "oikeasti"
olemassa, kokonaisluvut vain, ja rationaaliluvut ovat niistä
konstruoitu apukäsite (kokonaislukuparien tietynlainen
ekvivalenssiluokka).
Tai ettei negatiivisia lukuja ole "oikeasti" olemassa, luonnolliset
luvut vain.
Tai ettei luonnollisia lukujakaan ole "oikeasti" olemassa, voihan ne
konstruoida vaikkapa tyhjästä joukosta lähtien joukkojen joukkoina
(tai niiden ekvivalenssiluokkina).
_Kaikki_ luvut ovat ihmisen luomia abstraktioita. Se, että reaaliluvut
ovat ihmisen luomia abstraktioita, ei siis tee niistä "ei lukuja".
Kari Pasanen
> Eiköhän todistus induktiolla perustu induktioskeemaan?
> Siis siihen, jossa sanotaan jotain että kaikilla N:n osajoukoilla X pätee,
> että jos 1 [vai oliko se 0?] kuuluu X:ään ja kaikilla x pätee, että (jos
> x kuuluu X:ään niinx:n seuraaja kuuluu X:ään), niin kaikki N:n alkiot
> kuuluvat X:ään?
Tämä on yksi Peanon aksioomista, toisen kertaluvun versio, koska siinä
puhutaan osajoukoista. Induktioskeemalla kai tarkoitetaan ensimmäisen
kertaluvun versiota. Jompi kumpi voidaan sisällyttää Peanon aksioomiin, ja
ilmeisesti saadaan erilainen tulos.
>
> Vai muistanko väärin? Kun minulle jäi aikanaan sellainen mielikuva, että
> tämä ei ole ensimmäistä kertalukua, koska kvantifioidaan joukkojen yli,
> /eikä tätä voida sanoa ensimmäisen kertaluvun logiikalla/.
>
> Kun muistaakseni tätä ei voitu johtaa niistä aksioomista, että nollan
> seuraajat ja vain ne kuuluvat ja ovat yksikäsitteisiä jne. Mutta voin olla
> toki väärässä. On niin monta vuotta.
>
Minä käytän mielelläni toisen kertaluvun logiikkaa, koska se jättää vähemmän
epäselvyyksiä. Varmaa tietoa seuraavasta väitteestä ei ole minulla, ja
joku, joka tietää, voisi sen joko vahvistaa tai kumota: Onhan niin, että
"toisen kertaluvun N" on yksikäsitteinen, mutta "ensimmäisen kertaluvun N"
ei ole?
Kari Pasanen
Jani
: ... mutta saman voi sanoa muistakin lukujoukoista.
Mutta eri lähtökohdista.
: Aivan yhtä hyvin voisi sanoa, ettei rationaalilukuja ole "oikeasti"
: olemassa, kokonaisluvut vain, ja rationaaliluvut ovat niistä
: konstruoitu apukäsite (kokonaislukuparien tietynlainen
: ekvivalenssiluokka).
(Nyt hieman ymmärrystä termien käytön suhteen, olen hieman hataralla
pohjalla.)
Jos olen oikein ymmärtänyt lukuteorian standardimallista "saadaan"
luonnolliset luvut. Tätä mallia voidaan sitten laajentaa koskemaan
kaikkia kokonaislukuja ja rationaalilukuja.
Jos valitaan aakkosto {+,*,0,1} niin voidaan "tuottaa" luonnolliset luvut.
Jos tuota aakkostoa laajennetaan -1:llä saadaa kokonaisluvut, jos
laajennetaan vielä /-operaattorilla niin saadaan rationaaliluvut.
Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
Ilmeisesti ei vaan joudutaankin määrittelemään suppenevien sarjojen
joukko (tms.). Eli yksittäisellä operaattorilla aakkostoa ei voi
laajentaa tarpeeksi, vaan joudutaan ottamaan mukaan käsite funktioiden/sarjojen
joukosta (avaruudesta).
<...>
: _Kaikki_ luvut ovat ihmisen luomia abstraktioita. Se, että reaaliluvut
: ovat ihmisen luomia abstraktioita, ei siis tee niistä "ei lukuja".
Tässä palaudutaan "luvun" määritelmään.
Jukka Kohonen
>Jukka Kohonen <koh...@cc.helsinki.fi> wrote:
>: Hansen Henri <han...@cs.tut.fi> writes:
>:>Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)
>: ... mutta saman voi sanoa muistakin lukujoukoista.
>
>Mutta eri lähtökohdista.
Niin no... eri laajennukset tapahtuvat eri menetelmillä. Mikä nyt
ei ole kauhean yllättävää.
>Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
>Ilmeisesti ei vaan joudutaankin määrittelemään suppenevien sarjojen
>joukko (tms.).
Ööö... Siis "aakkostoa" voidaan laajentaa ja juu, reaaliluvut
saadaan.
Jos tyydytään vähän vähempään, niin _algebralliset_ luvut
(kokonaislukukertoimisten polynomiyhtälöiden juuret, sellaiset kuin
sqrt(2)) saadaan mukaan ihan "juurioperaattorilla".
Kaikki reaaliluvut saadaan vaikka nyt sitten Dedekindin leikkauksilla,
"operaatio" siis kohdistuu rationaalilukujen joukkoihin. Otetaan kaksi
rationaalilukujoukkoa S_1 ja S_2 siten, että S_1:n alkiot ovat pienempiä
kuin S_2:n alkiot, ja S_1:ssä ei ole suurinta lukua, ja että kaikki
rationaaliluvut kuuluvat jompaankumpaan, esim.
S_1 = {q \in Q^+ | q^2 < 2},
S_2 = {q \in Q^+ | q^2 >= 2} \cup {0} \cup Q^-,
ja sanotaan että tämmöistä "leikkausta" vastaa nyt sitten reaaliluku
(tässä tapauksessa sqrt(2)). Siinä on kaipaamasi "yksittäinen
operaattori", eikö?
Voidaan käyttää myös suppenevia jonoja.
[merkinnöistä: Q^+ = positiiviset rationaaliluvut,
Q^- = negatiiviset rationaaliluvut, \cup = unioni]
Kari Pasanen
> Jos valitaan aakkosto {+,*,0,1} niin voidaan "tuottaa" luonnolliset luvut.
> Jos tuota aakkostoa laajennetaan -1:llä saadaa kokonaisluvut, jos
> laajennetaan vielä /-operaattorilla niin saadaan rationaaliluvut.
Jos "tuottaminen" tarkoittaa jonkin äärellisen esityksen olemassaoloa joukon
jokaiselle jäsenelle eli formaalia kieltä, jonka sanat tarkoittavat joukon
jäseniä, niin kyllä, noinhan se on. Luonnollisille tai kokonaisluvuille ei
tosin tarvita edes operaattorisymboleja, kyllä kaikki luvut saadaan
ilmankin, kunhan sovitaan, että mahdollinen etumerkki '-' kirjoitetaan
ensimmäiseksi. Rationaalilukujen kielessä taas täytyy asettaa vaatimus,
että nollalla ei jaeta.
Ilman erityisiä sääntöjä (kielioppia) lukujen esityksiä ei saada
yksikäsitteisiksi. Esim. nolla-alut muille luvuille kuin nolla pitää
kieltää, jos yksikäsitteisyyttä halutaan. Rationaalilukujen esitys muodossa
m/n saadaan yksikäsitteiseksi vaatimuksella syt(m, n) = 1. Ja tietenkin
voidaan sopia, että m/1 kirjoitetaan vain kokonaislukuna m, mutta tämä vain
lyhentää merkintää.
> Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
Ei! Äärellisen aakkoston äärellispituisilla merkkijonoilla saadaan aikaan
vain numeroituva määrä esityksiä. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva
(viestiketjun aihe!). Kaikkia reaalilukuja ei siis millään voi esittää
äärellisesti. Jos sanot, että tuossa jonossa on kaikki, niin minä voin aina
kertoa sinulle yhden, joka siitä puuttuu. Ja niin edelleen! Mikään prosessi
ei tee sitä jonoa täydelliseksi.
> Ilmeisesti ei vaan joudutaankin määrittelemään suppenevien sarjojen
> joukko (tms.). Eli yksittäisellä operaattorilla aakkostoa ei voi
> laajentaa tarpeeksi, vaan joudutaan ottamaan mukaan käsite
> funktioiden/sarjojen joukosta (avaruudesta).
Periaatteessa olet ymmärtänyt asian oikein. Reaaliluku on abstraktio, jolla
ei ole universaalia esitystä äärellisenä merkkijonona, toisin kuin edellä
todettiin olevan luonnollisilla luvuilla, kokonaisluvuilla ja
rationaaliluvuilla - esitys, joka voidaan kielioppisäännöillä jopa
kanonisoida yksikäsitteiseksi. Se on mahdollista, koska joukot ovat
numeroituvia. Reaalilukujen joukko ei ole.
Kari Pasanen
Jukka Kohonen
>Jani <munpo...@gmail.com> writes:
>>Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
>>Ilmeisesti ei vaan joudutaankin määrittelemään suppenevien sarjojen
>>joukko (tms.).
>
>Ööö... Siis "aakkostoa" voidaan laajentaa ja juu, reaaliluvut
>saadaan.
Luettuani Kari Pasasen vastauksen ymmärsin, että kysyjä ehkä
tarkoittaa "aakkoston laajentamisella" sitä, että jokainen reaaliluku
olisi _esitettävissä_ äärellisenä symbolijonona, joka koostuu
esim. luonnollisista luvuista ja (johonkin äärelliseen joukkoon
kuuluvista) operaatioista. Sellaistahan nimenomaan ei voida tehdä;
koska reaalilukuja on liikaa, äärelliset symbolijonot eivät mitenkään
riitä vaikka millaista koodausta käyttäisi.
Se mitä kirjoitin Dedekindin leikkauksista, vastaa hiukan eri
kysymykseen.
Pekka Orponen
> Hansen Henri <han...@cs.tut.fi> writes:
>
>>Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)
>
>
> ... mutta saman voi sanoa muistakin lukujoukoista.
>
> Aivan yhtä hyvin voisi sanoa, ettei rationaalilukuja ole "oikeasti"
> olemassa, kokonaisluvut vain, ja rationaaliluvut ovat niistä
> konstruoitu apukäsite (kokonaislukuparien tietynlainen
> ekvivalenssiluokka).
>
> Tai ettei negatiivisia lukuja ole "oikeasti" olemassa, luonnolliset
> luvut vain.
>
> Tai ettei luonnollisia lukujakaan ole "oikeasti" olemassa, voihan ne
> konstruoida vaikkapa tyhjästä joukosta lähtien joukkojen joukkoina
> (tai niiden ekvivalenssiluokkina).
>
> _Kaikki_ luvut ovat ihmisen luomia abstraktioita. Se, että reaaliluvut
> ovat ihmisen luomia abstraktioita, ei siis tee niistä "ei lukuja".
>
Ilman käsitteellisiä lisäkonstruktioita ihminen kai pystyy
erottamaan toisistaan enintään n. viiden alkion joukkoja,
ja siten jossain mielessä voisi sanoa, että "oikeasti" on
olemassa kokonaisluvut 1-5 ja kaikki muu on konstruktiota.
Mutta sitten päädytään kohta kysymään, mitä matemaattisten
olioiden "olemassaololla" oikein tarkoitetaan ja miten
keskeistä ihmisen fysiologia, psykologia tai sosiologia
on siinä. Jos ufo-olennot (tai lähempänä esimerkkinä vaikka
koirat tai kastemadot) harjoittaisivat matematiikkaa, olisiko
se "samaa" kuin meidän matematiikkamme?
-- Pekka Orponen
Jani
: Jos "tuottaminen" tarkoittaa jonkin äärellisen esityksen olemassaoloa joukon
: jokaiselle jäsenelle eli formaalia kieltä, jonka sanat tarkoittavat joukon
: jäseniä, niin kyllä, noinhan se on. Luonnollisille tai kokonaisluvuille ei
Hyvä.
: tosin tarvita edes operaattorisymboleja, kyllä kaikki luvut saadaan
: ilmankin, kunhan sovitaan, että mahdollinen etumerkki '-' kirjoitetaan
: ensimmäiseksi. Rationaalilukujen kielessä taas täytyy asettaa vaatimus,
: että nollalla ei jaeta.
Ok, toki näin. Olin epätarkka.
<...>
:> Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
: Ei! Äärellisen aakkoston äärellispituisilla merkkijonoilla saadaan aikaan
: vain numeroituva määrä esityksiä. Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva
Tämä on juuri sitä mitä olen hakenut takaa. Vaikeaa keskustella asiasta
kun ei ole tarvittava sanasto tarkasti hallussa.
: (viestiketjun aihe!). Kaikkia reaalilukuja ei siis millään voi esittää
: äärellisesti. Jos sanot, että tuossa jonossa on kaikki, niin minä voin aina
: kertoa sinulle yhden, joka siitä puuttuu. Ja niin edelleen! Mikään prosessi
: ei tee sitä jonoa täydelliseksi.
Tämä on loogista.
:> Ilmeisesti ei vaan joudutaankin määrittelemään suppenevien sarjojen
:> joukko (tms.). Eli yksittäisellä operaattorilla aakkostoa ei voi
:> laajentaa tarpeeksi, vaan joudutaan ottamaan mukaan käsite
:> funktioiden/sarjojen joukosta (avaruudesta).
: Periaatteessa olet ymmärtänyt asian oikein. Reaaliluku on abstraktio, jolla
: ei ole universaalia esitystä äärellisenä merkkijonona, toisin kuin edellä
: todettiin olevan luonnollisilla luvuilla, kokonaisluvuilla ja
: rationaaliluvuilla - esitys, joka voidaan kielioppisäännöillä jopa
: kanonisoida yksikäsitteiseksi. Se on mahdollista, koska joukot ovat
: numeroituvia. Reaalilukujen joukko ei ole.
No nyt kolahtaa. Juuri kuten arvelinkin, jokin perustavaa laatua oleva
vinouma ajatuksissani oli.
Mielestäni voidaan siis sanoa, että reaaliluvut ovat määritelmällisesti
eri asia kuin luonnolliset luvut tai rationaaliluvut! En siis sano, että
tästä seuraisi ettei surjektiota N->R voida luoda, vaan haluan luoda eron
näiden joukkojen konstruktion suhteen. Reaalilukuja ei voida listata koska
ei voida listata kaikkien suppenevien jonojen raja-arvoja! Joukon
rakentaminen on tehty "toisesta suunnasta" (funktio-avaruudesta?) kuin
luonnollisten tai rationaalilukujen joukon tapauksessa.
Voidaanko reaaliluvuille esittää lukuteorian standardimallia vastaava
malli? Veikkaisin, että ei (ainakaan äärellisellä tai numeroituvasti
äärettömällä aakkostolla).
Jani
: Jani <munpo...@gmail.com> writes:
<...>
:>Voidaanko aakkostoa laajentaa niin, että siitä "saadaan" reaaliluvut?
:>joukko (tms.).
: Jos tyydytään vähän vähempään, niin _algebralliset_ luvut
: (kokonaislukukertoimisten polynomiyhtälöiden juuret, sellaiset kuin
: sqrt(2)) saadaan mukaan ihan "juurioperaattorilla".
: Kaikki reaaliluvut saadaan vaikka nyt sitten Dedekindin leikkauksilla,
: "operaatio" siis kohdistuu rationaalilukujen joukkoihin. Otetaan kaksi
: rationaalilukujoukkoa S_1 ja S_2 siten, että S_1:n alkiot ovat pienempiä
: kuin S_2:n alkiot, ja S_1:ssä ei ole suurinta lukua, ja että kaikki
: rationaaliluvut kuuluvat jompaankumpaan, esim.
: S_1 = {q \in Q^+ | q^2 < 2},
: S_2 = {q \in Q^+ | q^2 >= 2} \cup {0} \cup Q^-,
: ja sanotaan että tämmöistä "leikkausta" vastaa nyt sitten reaaliluku
: (tässä tapauksessa sqrt(2)). Siinä on kaipaamasi "yksittäinen
: operaattori", eikö?
Jep, tässä on kaipaamani operaattori yhdelle reaaliluvulle. Mutta
kaikille reaaliluvuille sellaista operaattoria ei voida tehdä.
Tätä tarkoitan kun sanon, että reaaliluvut on generoitu eri
lähtökohdilla kuin luonnolliset tai rationaaliset luvut. Reaaliluvuille
jo määritelmä "räjähtää käsiin" kun muuten se pysyy kivasti kasassa :)
Sampo Smolander
> Kaikki reaaliluvut saadaan vaikka nyt sitten Dedekindin leikkauksilla,
> "operaatio" siis kohdistuu rationaalilukujen joukkoihin. Otetaan kaksi
> rationaalilukujoukkoa S_1 ja S_2 siten, että S_1:n alkiot ovat pienempiä
> kuin S_2:n alkiot, ja S_1:ssä ei ole suurinta lukua, ja että kaikki
> rationaaliluvut kuuluvat jompaankumpaan, esim.
> S_1 = {q \in Q^+ | q^2 < 2},
> S_2 = {q \in Q^+ | q^2 >= 2} \cup {0} \cup Q^-,
> ja sanotaan että tämmöistä "leikkausta" vastaa nyt sitten reaaliluku
> (tässä tapauksessa sqrt(2)). Siinä on kaipaamasi "yksittäinen
> operaattori", eikö?
Vaikka tuossa tosiaan on "yksittäinen" operaattori, joka operoi vain
"yhden kerran", niin sen operaattorin operandit ovat äärettömiä joukkoja.
Vaatimaton arvaukseni on, että se mitä Jani haki sanoessaan "yhdellä
operaatiolla", ei pitänyt sisällään tapausta jossa tosiaan on vain yksi
operaatio, mutta operaation kohteena ovat joukot joissa on ääretön määrä
alkioita. :-)
Jukka Kohonen
>Vaikka tuossa tosiaan on "yksittäinen" operaattori, joka operoi vain
>"yhden kerran", niin sen operaattorin operandit ovat äärettömiä joukkoja.
Jes.
>Vaatimaton arvaukseni on, että se mitä Jani haki sanoessaan "yhdellä
>operaatiolla", ei pitänyt sisällään tapausta jossa tosiaan on vain yksi
>operaatio, mutta operaation kohteena ovat joukot joissa on ääretön määrä
>alkioita. :-)
Ei selvästikään :)
Sampo Smolander
> -Luonnolliset luvut ovat äärellisen pituisia kokonaislukuja.
> -Irrationaaliluvut ovat äärettömän pitkiä kokonais- tai desimaalilukuja.
Ihan vain kertauksena:
Jos ajatellaan luvun notaatiota kymmenjärjestelmässä, niin luonnollisilla
(tai kokonais-) luvuilla luonnollisesti on äärellisen pituinen notaatio.
Joillain rationaaliluvuilla on äärellisen (1/2 = 0.5) ja toisilla
äärettömän (1/3 = 0.333...) pitkä notaatio.
Kaikilla irrationaaliluvuilla on äärettömän pitkä notaatio.
Ja "äärettömän pitkät kokonaisluvut" eivät kuulu tavalliseen
lukujärjestelmään ollenkaan. Mutta jotain niiden kaltaista löytyy
hyperreaalilukujen joukosta :-)
Heikki Kaskelma
> ...
> Joillain rationaaliluvuilla on äärellisen (1/2 = 0.5) ja toisilla
> äärettömän (1/3 = 0.333...) pitkä notaatio.
Mutta tämä ei ole luvun ominaisuus sinänsä, vaan riippuu
valitusta kantajärjestelmästä. Esimerkiksi 3-järjestelmässä
yksi kolmasosa = 1/10 = 0.1, ja 1/2 = 0.111....
Heikki Kaskelma
Jani
<...>
: Kaikilla irrationaaliluvuilla on äärettömän pitkä notaatio.
: Ja "äärettömän pitkät kokonaisluvut" eivät kuulu tavalliseen
: lukujärjestelmään ollenkaan. Mutta jotain niiden kaltaista löytyy
: hyperreaalilukujen joukosta :-)
Jos irrationaaliluvuille sallitaan äärettömällä "operointi" niin, että
tuloksena syntyvä luku kuuluu samaan joukkoon, mutta luonnollisille
luvuille sitä ei sallita, niin on mielestäni jokseenkin päivänselvää, että
joukot ovat eri kokoiset.
Timo Korvola
> Se mikä hanaa vastaan on, että tuo päätelmä tehdään nimenomaan
> notaation pohjalta.
Voi reaalilukujen ylinumeroituvuuden todistaa toisinkin:
<URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_first_uncountability_proof>.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Sampo Smolander
> Tarkoitin sanoa, että voidaan valita luku n siten, että f(n) on
> äärettömän lähellä lukua 0.333...
Jos tarkastellaan avointa yksikköväliä ]0,1[, ja jos määritellään
funktio g seuraavasti:
g(1) = 0.9
g(2) = 0.99
g(3) = 0.999
g(4) = 0.9999
jne.
Tajuatte varmaan idean.
Nyt voidaan valita luku n siten että g(n) on mielivaltaisen lähellä
lukua 1. Lisäksi huomataan että kaikilla n, luku g(n) kuuluu avoimeen
yksikköväliin.
Tästä ei silti seuraa että 1 kuuluisi avoimeen väliin ]0,1[.
Ei se kuulu.
Sampo Smolander
> (Eikö sqrt(2)/2 ole enemmänkin funktio, joka pullauttaa rajattoman määrän
> numeroita, kuin varsinainen luku?)
Eikös tuo ole aika filosofinen kysymys.
(Jos jätetään tuo kahdella jakaminen vielä pois.)
"Objektia" sqrt(2) voidaan ajatella esimerkiksi yksikköneliön halkaisijan
pituutena. (Yleisemminkin reaalilukuja voidaan ajatella erimittaisten
janojen pituuksina.)
Nyt voidaan miettiä, haluammeko ajatella että yksikköneliön halkaisijan
pituus voisi "olla olemassa" jonain tiettynä "lukuna". Vai haluammeko
ajatella että yksikköneliön halkaisijan pituus "on olemassa" vain
"jonkinlaisena algoritmina joka tuottaa rajattoman pitkän jonon jonkin
aakkoston mukaisia symboleita".
Kai tämä on viime kädessä makuasia, kummin haluaa ajatella?
Minä kyllä kannatan semmoista tasa-arvoista ajattelua, että niin
yksikköneliön halkaisijan, "sqrt(2)", kuin sivunkin pituuden, "1",
ilmoittavan luvun voi molempien ajatella yhtä lailla olevan olemassa
jonain lukuna.
Jani
: Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
:> (Eikö sqrt(2)/2 ole enemmänkin funktio, joka pullauttaa rajattoman määrän
:> numeroita, kuin varsinainen luku?)
: Eikös tuo ole aika filosofinen kysymys.
Onhan se. Tunnun omaavan aika filosofisen lähestymistavan tähän asiaan,
ehkä ymmärtämisvaikeudet juontavat juurensa liian syvälliseen
pohdintaan. Mene ja tiedä sitten...
<...>
: "Objektia" sqrt(2) voidaan ajatella esimerkiksi yksikköneliön halkaisijan
: pituutena. (Yleisemminkin reaalilukuja voidaan ajatella erimittaisten
: janojen pituuksina.)
No näin juurikin. Luonnolliset luvut, rationaaliluvut, kokonoaisluvut
jne. on määritelty lähtien numeroista. Irrationaaliluvut on määritelty
eri lähtökohdista koska niille sallitaan mm. ääretön pituus (ja
nimenomaan siten, että ääretön on aktuaalinen ominaisuus, eikä
"tavoittamattomissa oleva ominaisuus, jota ei koskaan saavuteta" kuten
luonnollisille luvuille on sovittu).
Mielestäni on hieman teennäistä kutsua niitä luvuiksi koska kyseessä on
enemmänkin raja-arvokokoelma.
: Nyt voidaan miettiä, haluammeko ajatella että yksikköneliön halkaisijan
: pituus voisi "olla olemassa" jonain tiettynä "lukuna". Vai haluammeko
: ajatella että yksikköneliön halkaisijan pituus "on olemassa" vain
: "jonkinlaisena algoritmina joka tuottaa rajattoman pitkän jonon jonkin
: aakkoston mukaisia symboleita".
: Kai tämä on viime kädessä makuasia, kummin haluaa ajatella?
En tiedä. En osaa sanoa johtaisiko asian pohdiskelu toisella tavalla
joihinkin eri tuloksiin kuin muuten.
: Minä kyllä kannatan semmoista tasa-arvoista ajattelua, että niin
: yksikköneliön halkaisijan, "sqrt(2)", kuin sivunkin pituuden, "1",
: ilmoittavan luvun voi molempien ajatella yhtä lailla olevan olemassa
: jonain lukuna.
Se sinulle sallitaan :) Itse pidän enemmän ajatuksesta, että sqrt(2)
on enemmänkin pysähtymätön algoritmi kuin luku. Mielessäni on vaikea
ajatella lukua joka ei ikinä "valmistu".
---
Yhtä kaikki. Asia ei astu aivooni enkä jaksa "totuutta" pidemmälti
etsiä. Tyydyn vajavaisuuteeni.
Kalle Kivimaa
> jne. on määritelty lähtien numeroista. Irrationaaliluvut on määritelty
> eri lähtökohdista koska niille sallitaan mm. ääretön pituus (ja
> nimenomaan siten, että ääretön on aktuaalinen ominaisuus, eikä
> "tavoittamattomissa oleva ominaisuus, jota ei koskaan saavuteta" kuten
> luonnollisille luvuille on sovittu).
Onko sitten mielestäsi rationaaliluvut määritelty myös eri
lähtökohdista kuin luonnolliset luvut, koska on ääretön määrä
rationaalilukuja, joiden desimaaliesitys kymmenkannassa (tai missä
tahansa kannassa) on äärettömän pitkä?
> Se sinulle sallitaan :) Itse pidän enemmän ajatuksesta, että sqrt(2)
> on enemmänkin pysähtymätön algoritmi kuin luku. Mielessäni on vaikea
> ajatella lukua joka ei ikinä "valmistu".
Minusta sinä ajattelet edelleen ihan liian konkreettisesti. Kun puhut
luvusta, tunnut tarkoittavan "luvun desimaaliesitystä." Yhtä lailla
voidaan konstruoida äärellinen esitys jokaiselle irrationaaliluvulle.
Otetaan vain esityksen kantaluvuksi kyseinen irrationaaliluku, jolloin
saadaan äärellinen ja täsmällinen esitys (sen ollen aina 1). Näissä
esityksissä sitten ei mikään rationaaliluku ole äärellisesti
esitettävissä.
Jani
: Onko sitten mielestäsi rationaaliluvut määritelty myös eri
: lähtökohdista kuin luonnolliset luvut, koska on ääretön määrä
: rationaalilukuja, joiden desimaaliesitys kymmenkannassa (tai missä
: tahansa kannassa) on äärettömän pitkä?
Rationaaliluvut on määritelty laskutoimituksena, eli jakolaskuna.
Minusta 1/3 on selkeä juttu, sen tulkinta luvuksi 0.333... taas ei.
Tuossa 1/3 kuvaa yksikäsitteisesti mistä on kysymys, 0.333... ei.
: Minusta sinä ajattelet edelleen ihan liian konkreettisesti. Kun puhut
Näin taitaa olla.
: luvusta, tunnut tarkoittavan "luvun desimaaliesitystä." Yhtä lailla
: voidaan konstruoida äärellinen esitys jokaiselle irrationaaliluvulle.
: Otetaan vain esityksen kantaluvuksi kyseinen irrationaaliluku, jolloin
: saadaan äärellinen ja täsmällinen esitys (sen ollen aina 1). Näissä
: esityksissä sitten ei mikään rationaaliluku ole äärellisesti
: esitettävissä.
Hmm. Luonnollisille luvuille ei sallita ääretöntä pituutta, mutta kun
kantalukua vaihdetaan niin se onkin ok.
Tätä pitää miettiä.
<...>
Määritellään kaksi joukkoa A ja B. A sisältää olioita jotka voidaan
kaikki kuvata erilaisilla merkkijonoilla joiden pituus ei ole ääretön. B
sisältää olioita jotka voidaan kaikki kuvata eri merkkijonoilla joiden
pituus joko on tai ei ole ääretön. On aika selkeää, että B\A on epätyhjä
joukko ja B sisältää siten enemmän olioita. Erottavana asiana on siis
juurikin äärettömän salliminen B:lle mutta ei A:lle.
Jatkan kaivamista ja kun ymmärrän miksi irrationaaliluvut tarvitaan niin
saanen juonen päästä kiinni (käsittääkseni "tarve" niiden
määrittelemiseen tulee "ulkoa" siinä mielessä, että ne ovat kehitettyjen
laskutoimitusten raja-arvoja, eivätkä lukujärjestelmän laajennos
lukujärjestelmän "sisältä" (eli rationaalilukujen tapaan sillä erolla,
että laskutoimituksia on ääretön määrä) ).
Jukka Kohonen
>Jatkan kaivamista ja kun ymmärrän miksi irrationaaliluvut tarvitaan niin
>saanen juonen päästä kiinni (käsittääkseni "tarve" niiden
>määrittelemiseen tulee "ulkoa" siinä mielessä, että ne ovat kehitettyjen
>laskutoimitusten raja-arvoja, eivätkä lukujärjestelmän laajennos
>lukujärjestelmän "sisältä" (eli rationaalilukujen tapaan sillä erolla,
>että laskutoimituksia on ääretön määrä) ).
Mainitsin jo aiemmin algebralliset luvut. Jos haluat pohtia syntyjä
syviä, suosittelen muistamaan nekin, ikään kuin välimuotona rationaalilukujen
ja sinua kummastuttavan (koko) reaalilukujen joukon välissä.
Algebrallisia lukuja näet on numeroituva määrä ja ne lienevät sinun
ajattelemassasi mielessä "lukujärjestelmän laajennus sisältä
lukujärjestelmän sisältä". Niille voidaan jokaiselle antaa kaipaamasi
äärellinen esitys. Ja ne ovat nähdäkseni hyvä vastaus yllä esittämääsi
kysymykseen siitä, mihin irrationaalilukuja "tarvitaan".
Voisit pohdinnassasi jakaa "tarvekysymyksen" kahtia:
a) Mihin tarvitaan ainakin joitakin irrationaalilukuja, esim.
algebralliset luvut kuten sqrt(2); toki on paljon transken-
dentaalisiakin lukuja joiden "tarve" on ilmeinen, esim. pii ja e.
b) Mihin tarvitaan _kaikki_ irrationaaliluvut joukkona, kun on jo
hyväksytty että ainakin joitakin niitä tarvitaan. Tällöin tulee
vastaan ylinumeroituvuus, äärellisen esitysmuodon puuttuminen
jne. jne. "Tarve" motivoituu nyt lähinnä siitä, että halutaan
lukujoukon käyttäytyvän analyysissä ja topologiassa "nätisti".
Tuomas T Korppi
: Ja "äärettömän pitkät kokonaisluvut" eivät kuulu tavalliseen
: lukujärjestelmään ollenkaan. Mutta jotain niiden kaltaista löytyy
: hyperreaalilukujen joukosta :-)
Äärettömän pitkän desimaaliesitykset omaavat "luonnolliset luvut"
ovat p-adisia kokonaislukuja (yleensä näitä tutkitaan vain silloin kun
lukujärjestelmän kantaluku on alkuluku, ja saatu rengas riippuu
kantaluvusta.) Äärettömän suurilla kokonais-hyperreaaliluvuilla on
hyperäärellisen pituinen desimaaliesitys. (Desimaaliesityksen indeksijoukko on
hyperäärellinen, siis joukko {1,2,3,4, ...., N-2, N-1, N} jollekin
äärettömän suurelle N. Tämä joukko on suurempi kuin luonnollisten
lukujen joukko.)
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
------------------------------------------------------------
..."for whom the bell tolls" becomes "such that the bell
tolls for him." (W.V.O. Quine)
Tuomas T Korppi
: No näin juurikin. Luonnolliset luvut, rationaaliluvut, kokonoaisluvut
: jne. on määritelty lähtien numeroista. Irrationaaliluvut on määritelty
: eri lähtökohdista koska niille sallitaan mm. ääretön pituus (ja
: nimenomaan siten, että ääretön on aktuaalinen ominaisuus, eikä
: "tavoittamattomissa oleva ominaisuus, jota ei koskaan saavuteta" kuten
: luonnollisille luvuille on sovittu).
: Se sinulle sallitaan :) Itse pidän enemmän ajatuksesta, että sqrt(2)
: on enemmänkin pysähtymätön algoritmi kuin luku. Mielessäni on vaikea
: ajatella lukua joka ei ikinä "valmistu".
Minusta jotenkin vaikuttaa siltä, että olet omaksunut (ilmeisesti
tietämättäsi) matematiikanfilosofisen kannan nimeltä konstruktivismi.
Konstruktivistit ajattelevat äärettömät matemattiset oliot (esim. lukujonot)
nimenomaan prosesseina, jotka eivät koskaan valmistu. Vallitsevassa nk.
platonistisessa filosofisessa kannassa äärettömät oliot ajatellaan "valmiina",
aktuaalisesti äärettöminä. Ikävä kyllä valinta konstruktivistisen ja
platonistisen kannan välillä vaikuttaa siihen, millaisia päättelyitä
pidetään hyväksyttävinä; nykyään matematiikkaa tehdään (lähes) yksinomaan
platonistisesta näkökulmasta käsin. (Eli jos tehdään konstruktivistista
matematiikkaa, se sanotaan erikseen.)
Teksti
http://www.helsinki.fi/~korppi/intu.html
saattaa valaista asiaa.
Tuomas T Korppi
: Teksti
: http://www.helsinki.fi/~korppi/intu.html
: saattaa valaista asiaa.
(Intuitionismi on eräs konstruktivismin alalaji.)
Kannattaa myös vilkaista
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_%28mathematics%29
Ville Hakulinen
> Harri Haanpaa <har...@yahoo.com> wrote:
>: On 2005-06-09, Jani <munpo...@gmail.com> wrote:
>
>: Kehittyy ja kehittyy, no, sieltä f:n kuvajoukosta löytyy kyllä
>: lukuja, jotka ovat mielivaltaisen lähellä 0.333...:ä, mutta 0.333...:ä
>: itseään sieltä ei löydy. Tai jos väität muuta, kerro, millä n:n
>: arvolla sieltä tulee 0.333...?
>
> Ok, mitä eroa on luvulla joka on mielivaltaisen lähellä lukua 0.333...
> ja luvulla 0.333...? Miten luku 0.333... voidaan generoida? Emmekö voi
Öö, ei tuossa puhuttu mistään yksittäisestä luvusta, joka on mielivaltaisen
lähellä 1/3:aa. Vaan sitä, että mielivaltaisen pienellä etukäteen annetulla
etäisyydellä löytyy muotoa 0,3333...3 oleva luku, joka on lähempänä
lukua 1/3 kuin tuo etukäteen annettu etäisyys. Jokainen muotoa
0,333...3 oleva luku on kuitenkin jonkin nollaa suuremman välimatkan
päässä 1/3:sta.
Etäisyyden voi tässä tapauksessa laskea eksplisiittisestikin:
1/3 - 0,333...3 = 1/(3*10^n), missän = luvussa 0,333...3 esiintyvien
kolmosten lukumäärä.
--
Ville
Tuomas Yrjövuori
viestissä:d8al16$rmi$2...@oravannahka.helsinki.fi...
>
>> (Eikö sqrt(2)/2 ole enemmänkin funktio, joka pullauttaa rajattoman määrän
>> numeroita, kuin varsinainen luku?)
>
> Eikös tuo ole aika filosofinen kysymys.
Kyllä. Mutta kysymykseen ei silti liene järkevää vastausta.
> "Objektia" sqrt(2) voidaan ajatella esimerkiksi yksikköneliön halkaisijan
> pituutena.
Niinpä. Geometria kuuluu erottamattomana osana matematiikkaan. Koko
todellisuuskäsitys perustuu "neliön ideaan". (Tuosta on muistaakseni
keskusteltu taannoin filosofiaryhmässä.)
> (Yleisemminkin reaalilukuja voidaan ajatella erimittaisten janojen
> pituuksina.)
Olen maallikko enkä ole esimerkiksi vielä selvittänyt itselleni, mitä ovat
Jukka Kohosen mainitsemat Dedekiendin leikkaukset. Oletan asian selviävän
mathworld.wolfram.comista, kunhan vain ehdin ja jaksan tutustua niihin.
Kuitenkin minusta tällä hetkellä tuntuu, että selitykset johtavat vain
entistä syvemmälle "geometrian harhaan". Jos esimerkiksi ilmaisee
irrationaalisen luvun yksikköympyrään viittaavalla kulmalla siten, että tuon
(kokonaisluku)astemäärän osoittaman ympyränpätkän pituus on ilmoitettu luku,
ei päästä tietyssä mielessä puusta pitkään.
Tästä tuli mieleen, että jos ihminen on syntymästään saakka sokeutunut
esimerkiksi siten, että näkökeskus aivoista on vaurioitunut tai puuttuu
kokonaan, voiko hän ollenkaan ymmärtää näitä asioita?
> Nyt voidaan miettiä, haluammeko ajatella että yksikköneliön halkaisijan
> pituus voisi "olla olemassa" jonain tiettynä "lukuna". Vai haluammeko
> ajatella että yksikköneliön halkaisijan pituus "on olemassa" vain
> "jonkinlaisena algoritmina joka tuottaa rajattoman pitkän jonon jonkin
> aakkoston mukaisia symboleita".
>
> Kai tämä on viime kädessä makuasia, kummin haluaa ajatella?
>
> Minä kyllä kannatan semmoista tasa-arvoista ajattelua, että niin
> yksikköneliön halkaisijan, "sqrt(2)", kuin sivunkin pituuden, "1",
> ilmoittavan luvun voi molempien ajatella yhtä lailla olevan olemassa
> jonain lukuna.
Kuulostaa ihan viisaalta, mutta... hmm... sekavalta vaikuttaa silti :-)
Follarit... öö... matikkaryhmään. Minusta matematiikan ymmärrykseen
liittyvistä asioista keskustelu kuuluu tänne.
--
Tuomas Yrjövuori
Sampo Smolander
> Sampo Smolander <sampo.smolan...@helsinki.fi> wrote:
> : Minä kyllä kannatan semmoista tasa-arvoista ajattelua, että niin
> : yksikköneliön halkaisijan, "sqrt(2)", kuin sivunkin pituuden, "1",
> : ilmoittavan luvun voi molempien ajatella yhtä lailla olevan olemassa
> : jonain lukuna.
> Se sinulle sallitaan :) Itse pidän enemmän ajatuksesta, että sqrt(2)
> on enemmänkin pysähtymätön algoritmi kuin luku. Mielessäni on vaikea
> ajatella lukua joka ei ikinä "valmistu".
Reaaliluvut voidaan määritellä tietyn aksioomajoukon avulla.
Aksioomat on listattu esimerkiksi täällä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_real_numbers
Sen jälkeen samaisella sivulla esitellään kasa malleja (tapoja konstruoida
reaaliluvut), jotka toteuttavat reaalilukujen aksioomat.
Yksi tapa ajatella asiaa voisi olla, että reaaliluvuilla pelaavat ja
analyysiä harrastavat matemaatikot nyt vain ovat "kasa hulluja" jotka ovat
päättäneet hyväksyä aksioomajoukon joka heidän mielestään parhaiten kuvaa
ajatusta "kaikkien mahdollisten viivanpätkien pituuksista".
Eli olet mitä mieltä tahansa siitä, onko jokin tietty, tai yksikään,
reaalilukujen konstruktio hyväksyttävä, niin ehkä voit ajatella että
unohdetaan kaikki konstruktiot, otetaan reaalilukujen aksioomat
annettuina, "taivaasta tippuneina", ja todetaan vain että JOS kuvitellaan
että nuo aksioomat hyväksytään NIIN siitä seuraa kaikki analyysin hienot
tulokset.
Tällälailla voit "vain" opiskella ja käyttää reaalianalyysiä, ja pyrkiä
"lakaisemaan maton alle" kysymyksen siitä, ovatko ne palikat joiden päälle
reaalianalyysi rakentuu, "oikeasti olemassa" vai eivät.
En tietysti tarkoita että reaaliananlyysiä tarvitsisi opiskella, jos ei
halua.
Jani
: Reaaliluvut voidaan määritellä tietyn aksioomajoukon avulla.
: Aksioomat on listattu esimerkiksi täällä:
: http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_real_numbers
Näin on. Nämäkin määritelmät sisältävät implisiittisesti numeroitumattoman
äärettömän käsitteen.
Kun olen nyt tutustunut eri tapoihin konstruoida reaaliluvut niin
tajusin, että ongelma olikin määritelmän sisäistämisessä. En tajunnut,
että numeroitumaton ääretön on luotu käsitteeksi jo aksioomissa (tai
ehkä ennemminkin niiden tulkinnoissa).
Ehkä jos termistö olisikin "numeroituva" vs. "numeroitumaton eli
ääretön", niin tilanne olisi valjennut jo aiemmin. Tapani hahmottaa asia
lienee siis enemmistöstä poikkeava...
<...>
: Eli olet mitä mieltä tahansa siitä, onko jokin tietty, tai yksikään,
: reaalilukujen konstruktio hyväksyttävä, niin ehkä voit ajatella että
Ei konstruktiossa mitään vikaa ole. En vain sisäistänyt, että jo
konstruktiossa luodaan käsite "numeroitumattomasti ääretön".
<..>
: En tietysti tarkoita että reaaliananlyysiä tarvitsisi opiskella, jos ei
: halua.
:)
Jukka Kohonen
>Sampo Smolander <sampo.smolan...@helsinki.fi> wrote:
>: Kaikilla irrationaaliluvuilla on äärettömän pitkä notaatio.
>
>tuloksena syntyvä luku kuuluu samaan joukkoon, mutta luonnollisille
>luvuille sitä ei sallita, niin on mielestäni jokseenkin päivänselvää, että
>joukot ovat eri kokoiset.
Nyt näyttää, että yrität trivialisoida koko asian. Siinä on taas
vaarana kompastua omaan näppäryyteensä.
"Äärettömällä operoinnilla" tarkoitat nyt ilmeisesti sitä, että
raja-arvot on otettu mukaan joukkoon. Tämä johtaa mielestäsi
"päivänselvästi" kardinaliteetiltaan suurempaan joukkoon.
Päätteletkö samalla logiikalla, että N laajennettuna yhdellä
"äärettömällä" luvulla, esim. lukujonon 1,2,3,... raja-arvona, on
"päivänselvästi" N:ää suurempi? Kardinaliteetit ovat kuitenkin samat.
Petri Kuukkanen
> - - Jos esimerkiksi ilmaisee
>irrationaalisen luvun yksikköympyrään viittaavalla kulmalla siten, että tuon
>(kokonaisluku)astemäärän osoittaman ympyränpätkän pituus on ilmoitettu luku,
>ei päästä tietyssä mielessä puusta pitkään.
>
>Tästä tuli mieleen, että jos ihminen on syntymästään saakka sokeutunut
>esimerkiksi siten, että näkökeskus aivoista on vaurioitunut tai puuttuu
>kokonaan, voiko hän ollenkaan ymmärtää näitä asioita?
Voi, sillä geometriankaan käsitteitä ei tarvitse nähdä silmillä.
Tuntoaisti riittää.
--
pq
Risto Paasivirta
Petri Kuukkanen <petri.k...@tut.fi> wrote:
>Tuomas Yrjövuori kirjoitti:
>>kokonaan, voiko hän ollenkaan ymmärtää näitä asioita?
>Voi, sillä geometriankaan käsitteitä ei tarvitse nähdä silmillä.
>Tuntoaisti riittää.
Visualisoi/tunnustele reitti neliulotteisssa avaruudessa
kolmiulotteisen pallon sisäpuolelta ulkopuolelle kulkematta
pallon pinnan läpi. Onnistuiko?
>pq
Risto
--
char a[1004]="000",b=57;main(int c){while((a[c+2]=b>
47?b--:0)&&(strstr(a,a+c)-a-c||(c++,b=57)));puts(a);}
Tuomas Yrjövuori
viestissä:d8ju3k$20ti$1...@news.cc.tut.fi...
>
>>Tästä tuli mieleen, että jos ihminen on syntymästään saakka sokeutunut
>>esimerkiksi siten, että näkökeskus aivoista on vaurioitunut tai puuttuu
>>kokonaan, voiko hän ollenkaan ymmärtää näitä asioita?
>
> Voi, sillä geometriankaan käsitteitä ei tarvitse nähdä silmillä.
> Tuntoaisti riittää.
Aivojen ns. näkökeskusta tarvitaan käsittääkseni kolmiulotteiseen
hahmottamiseen. Jos tuo osa aivoista on tuhoutunut, ymmärtääkseni
hahmottaminen on vaikeaa tai mahdotonta riippumatta siitä, millä aisteilla
dataa kerätään.
--
Tuomas Yrjövuori
Petri Kuukkanen
>>>kokonaan, voiko hän ollenkaan ymmärtää näitä asioita?
>>Voi, sillä geometriankaan käsitteitä ei tarvitse nähdä silmillä.
>>Tuntoaisti riittää.
>
>Visualisoi/tunnustele reitti neliulotteisssa avaruudessa
>kolmiulotteisen pallon sisäpuolelta ulkopuolelle kulkematta
>pallon pinnan läpi. Onnistuiko?
Siis neliulotteiseen avaruuteen sijoitettu, w-akselin suunnassa
"litteä" pallo? Joo-o... pystyn tuollaisia reittejä visualisoimaan
mielessäni. Uskon, että noiden reittien kuvitteleminen on syntymä-
sokealle huomattavasti vaikeampaa, mutta ei mahdotonta. Ja jos
joku osaa tehdä asiaa valaisevan kuvasarjan tai mallin, tunnustelukin
onnistuu. (Tietenkään itse neliulotteista avaruutta ja siinä olevia
reittejä ei voi tunnustella eikä suoraan nähdä, ja varmaan tosi
harva pystyy niitä suoraan kuvittelemaankaan. Itse visualisoin
jutun kolmiulotteisena animaationa tai puhtaasti lukuina ja
vektoreina.)
Pointtini edellisessä postauksessani oli, että sellaisella, joka ei
ole koskaan käyttänyt näköaistiaan, ei ole (juuri) enempää vaikeuksia
hahmottaa kaksiulotteista geometriaa kuin näköaistiaan käyttäneellä.
Kolmiulotteinen geometria on vaikeampaa, mutta sellaisten perusjuttujen,
joista voidaan rakentaa tunnusteltava malli, hahmottaminen kyllä onnistuu.
(Alkuperäinen kysymyshän oli, voiko hän *ollenkaan* ymmärtää näitä
asioita.) N-ulotteisen geometrian ymmärtäminen kaikessa abstraktiudessaan
taas ei edellyttäne nimenomaan visuaalista ajattelua.
--
pq
Sampo Smolander
> En vain sisäistänyt, että jo konstruktiossa luodaan käsite
> "numeroitumattomasti ääretön".
Eli varsinaisella "ongelmalla" ei siis kai suoraan ole tekemistä
reaalilukujen kanssa, vaan kyse on yleisemmin suhtautumisesta
äärettömyyksiin.
Cantorin lause sanoo että joukon potenssijoukon mahtavuus on aina
aidosti suurempi kuin kuin joukon itsensä mahtavuus.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem
Tuolla esitetyssä todistuksessa ei edes käytetä mitään "epäilyttävää" :-)
diagonaaliargumenttia. Tosin siinä ajatellaan että voidaan käydä läpi
numeroituvasti ääretön joukko, ja poimia siitä osajoukko, että sikäli se
kyllä nojaa lopputulokseen prosessista jonka voi ajatella
päättymättömäksi.
Ymmärtäisin niin että sinun vain pitää päättää kelpaako tuo Cantorin
lauseen todistus sinulle. Jos kelpaa, niin sitten joudut tunnustamaan että
luonnollisten joukon potenssijoukko on olemassa ja sillä on luonnollisten
lukujen joukkoa suurempi mahtavuus (=kardinaliteetti). Tästä ei sitten
enää ole pitkä matka reaalilukujen olemassaoloon :-)
Jos taas ei kelpaa, niin sitten lienet aito konstruktivisti.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constructivism
Tuomas T Korppi
: Kun olen nyt tutustunut eri tapoihin konstruoida reaaliluvut niin
: tajusin, että ongelma olikin määritelmän sisäistämisessä. En tajunnut,
: että numeroitumaton ääretön on luotu käsitteeksi jo aksioomissa (tai
: ehkä ennemminkin niiden tulkinnoissa).
Huomautettakoon, että reaalilukujen ylinumeroituvuus seuraa jo
seuraavasta kolmesta periaatteesta.
(1) Reaalilukujen suuruusjärjestys on tiheä lineaarijärjestys. (Ts.
mille tahansa kahdelle luvulle x ja y pätee yksi seuraavista: x < y, x =
y, y < x. Kaikille reaaliluvuille x,y,z pätee seuraava:
Jos x < y ja y < z, niin x < z. Kaikille reaaliluvuille x ja y pätee
seuraava: Jos x < y, niin on olemassa z, jolle x < z < y.)
(2) On olemassa vähintään kaksi reaalilukua.
(3) Jos A on mikä tahansa epätyhjä, ylhäältä rajoitettu joukko reaalilukuja,
niin sillä on pienin yläraja, joka on reaaliluku.
Todistus, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva (yksityiskohtia
jätetty harjoitustehtäväksi) (Perustuu Bairen lauseeseen):
Vastaoletetaan, että se on numeroituva, olkoon x_1, x_2, x_3, ... kaikki
reaaliluvut.
Valitaan induktiivisesti jono suljettuja välejä v_1, v_2, v_3, ...
siten, että seuraavat ehdot pätevät kaikilla luonnollisilla luvuilla i:
(1) Luku x_i ei kuulu välille v_i
(2) Väli v_{i+1} sisältyy väliin v_{i}.
(Harjoitustehtävä: Miksi tämä on mahdollista?)
Olkoot a_1, a_1, ... välien v_1, v_2, ... alkupisteet. Olkoon reaaliluku a
joukon { a_1, a_2, ... } pienin yläraja. Nyt a kuuluu jokaiselle välille v_i,
joten se on erisuuri kuin jokainen luku x_i. Mutta x_1, x_2, ... olivat
vastaoletuksen mukaan kaikki reaaliluvut, joten a:n pitäisi olla
yhtäsuuri kuin jokin x_i. Ristiriita.
Jani
: Eli varsinaisella "ongelmalla" ei siis kai suoraan ole tekemistä
: reaalilukujen kanssa, vaan kyse on yleisemmin suhtautumisesta
: äärettömyyksiin.
Hmm.. oikeastaan ei, enemmän kritisoisin päättelyketjuja. (Kuvani
asiasta kehittyy/tarkentuu koko ajan keskustelun jatkuessa)
<..>
: Tuolla esitetyssä todistuksessa ei edes käytetä mitään "epäilyttävää" :-)
: diagonaaliargumenttia. Tosin siinä ajatellaan että voidaan käydä läpi
: numeroituvasti ääretön joukko, ja poimia siitä osajoukko, että sikäli se
: kyllä nojaa lopputulokseen prosessista jonka voi ajatella
: päättymättömäksi.
Mielestäni juuri tuo nojautuminen "raja-arvon" olemassaoloon
päätelyketjussa vie hommalta vähän pohjaa. Jos tällainen oletus tehdään,
on oletettu jotain jota koitetaan todistaa.
Kuulisin mieluusti reaalilukujen konstruktiosta, jossa ei tarvita
raja-arvoa tai jonkin loppumattoman prosessin tulosta.
<..>
: Jos taas ei kelpaa, niin sitten lienet aito konstruktivisti.
: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constructivism
En laskisi itseäni minkään matemaattisen filosofian kannattajaksi
(platonismi vs. konstruktivismi, jotka nyt on mainittu), vaan enemmänkin
pedanttiseksi käsitteistön rakentajaksi :)
Numeroituva ja numeroitumaton ääretön eroavat käsitteinä toisistaan
niin paljon, ettei niitä pitäisi mielestäni vertailla, vaan ennemminkin
(ehkä) esittää kahtena erillisenä ajatuksena.
Kalle Kivimaa
> Mielestäni juuri tuo nojautuminen "raja-arvon" olemassaoloon
> päätelyketjussa vie hommalta vähän pohjaa. Jos tällainen oletus tehdään,
> on oletettu jotain jota koitetaan todistaa.
Yleensäkin matematiikka perustuu joihinkin tiettyihin aksioomiin,
jotka oletetaan Jumalan Sanaksi ja joiden perusteella sitten voidaan
tehdä jotain mielenkiintoista. Esimerkiksi luonnolliset luvut
määritellään käsittääkseni nykyään Peanon aksioomien kautta, jotka
nekin olettavat Jumalan Sanaksi mm. seuraaja-funktion olemassaolon. On
aika hankalaa määritellä luonnolliset luvut ilman mitään aksioomia.
Valmari Antti
Hansen Henri wrote (Numeroituva vs. numeroitumaton ääretön):
> Eiköhän todistus induktiolla perustu induktioskeemaan?
Kari Pasanen kysyi:
> Minä käytän mielelläni toisen kertaluvun logiikkaa, koska se jättää vähemmän
> epäselvyyksiä. Varmaa tietoa seuraavasta väitteestä ei ole minulla, ja
> joku, joka tietää, voisi sen joko vahvistaa tai kumota: Onhan niin, että
> "toisen kertaluvun N" on yksikäsitteinen, mutta "ensimmäisen kertaluvun N"
> ei ole?
Kari Pasasen "ensimmäisen" ja "toisen kertaluvun N" (N = luonnollisten
lukujen joukko, yhteenlasku ja kertolasku) eroavat
induktioaksiooma(skeema)n tulkinnassa. Toisen kertaluvun versio
induktioaksioomasta menee näin:
Jos A on jokin luonnollisten lukujen joukon sellainen osajoukko, että
0 kuuluu A ja kaikilla x: (x kuuluu A => x+1 kuuluu A), niin silloin
A = N.
Ensimmäisen kertaluvun versio välttää joukoista puhumista. Se käyttää
joukon A tilalla mielivaltaista yksipaikkaista predikaattia:
( A(0) /\ kaikilla x: ( A(x) => A(x+1) ) ) => kaikilla x: A(x)
Näille tulee eroa sen vuoksi, että predikaatiksi hyväksytään vain äärellinen
(tietyt ehdot täyttävä) merkkijono. Näin ollen kelvollisia predikaatteja
A on vain numeroituva määrä, kun taas joukkoja A on ylinumeroituvasti.
On aivan oikein sanoa, että "ensimmäisen kertaluvun N" ei ole
yksikäsitteinen. Nimittäin, Gödelin epätäydellisyyslauseesta seuraa, että
luonnollisten lukujen joukkoa N ei voi määritellä tyhjentävästi millään
ensimmäisen kertaluvun efektiivisellä teorialla. Tämä tarkoittaa, että
jokaiselle 1. kl. efektiiviselle teorialle, jonka aksioomat luonnollisten
lukujen järjestelmä toteuttaa, on olemassa (jopa äärettömän monta)
vaihtoehtoista järjestelmää, jotka myös toteuttavat aksioomat. Niitä
kutsutaan N:n epästandardeiksi malleiksi. Niissä on mukana ylimääräisiä
lukuja.
Efektiivisyys tarkoittaa käytännössä, että päättelyiden on oltava
tarkastettavissa mekaanisten sääntöjen mukaan. Se on aika olennainen
vaatimus, koska ilman sitä osa "todistuksista" olisi pakko vain uskoa!
Lausuma "toisen kertaluvun N on yksikäsitteinen" ei ole ongelmaton. Jos
oletamme joukko-opin standardimallin annetuksi, niin silloin toisen
kertaluvun N on yksikäsitteinen. Mutta joukko-opin standardimallin
olettaminen annetuksi on oikeastaan yhtä raju ellei rajumpi oletus kuin
olisi olettaa N:n standardimalli annetuksi. Jos oikein pohjia kaivelee,
niin ongelmaksi tulee, että joukko-opin standardimallia ei voi määritellä
yksikäsitteisesti.
Tässäkin on Gödelin tulos takana. Se sanoo enemmän kuin yllä kirjoitin.
Se sanoo, että *jokainen* efektiivinen teoria, jonka voima riittää
esittämään luonnolliset luvut ja niiden yhteenlaskun ja kertolaskun on
joko ristiriitainen (jolloin siinä voi todistaa minkä tahansa väitteen
sekä oikeaksi että vääräksi), tai sitten on olemassa (standardimallissa
tosi) väittämä jota teoria ei pysty osoittamaan oikeaksi eikä vääräksi.
Niinpä mikään logiikka ei pysty määrittelemään N:ää tyhjentävästi.
Ensimmäisen kertaluvun efektiivinen logiikka on täydellistä siinä
mielessä, että jos jokin asia välttämättä seuraa aksioomista (siinä
mielessä, että kaikissa maailmoissa, joissa aksioomat pätevät, myös ko.
asia pätee), niin ko. asia on todistettavissa ko. logiikassa. (Tämä
oon Gödelin täydellisyyslause.) Niinpä N:n määrittelemättömyys ilmenee
1. kl. tapauksessa siten, että aksioomia ei millään saa sanomaan
kaikkea tarpeellista.
Toisessa kertaluvussa --- tai joukkoja käyttämällä --- aksioomat saa
sanomaan kaiken tarpeellisen, joten väärät mallit voi ikäänkuin sulkea
pois. Mutta toisessa kertaluvussa todistaminen on epätäydellistä.
Jos otetaan jokin ensimmäisen kertaluvun väärä malli sekä kaava, joka
erottaa ko. mallin standardimallista (ts. tuottaa toiselle totuusarvoksi
true ja toiselle false), niin vaikka kyseisen kaavan totuusarvo
määräytyy toisen kertaluvun aksioomista ja on se mitä standardimalli
antaisi, kaavaa ei kuitenkaan välttämättä pystytä todistamaan oikeaksi
eikä vääräksi. Totuusarvo on siis määrätty, mutta sitä ei voi saada
selville. Väärät mallit tulee suljettua pois, mutta ainoaa jäljelle
jäävää mallia ei pystytä tutkimaan niin tarkasti, että saataisiin
vastaukset sitä ja vääriä malleja erottaviin kysymyksiin.
Luonnollisten lukujen standardimalli ja joukko-opin standardimalli ovat
siis aina osittain määritelmien tavoittamattomissa. Se ei kuitenkaan
romuta normaalia matematiikkaa, koska se, minkä "helpot" määritelmät
yltävät tavoittamaan riittää hyvin pitkälle. Filosofisesti voi kysyä,
että koska standardimallia ei voi määritellä, niin missä mielessä se
on olemassa. Mutta se on jo toinen juttu (jota en alkuunkaan hallitse).
--- Antti Valmari ---
Valmari Antti
Nimimerkki "Jani" kirjoitti:
> Mielestäni juuri tuo nojautuminen "raja-arvon" olemassaoloon
> päätelyketjussa vie hommalta vähän pohjaa. Jos tällainen oletus tehdään,
> on oletettu jotain jota koitetaan todistaa.
>
> Kuulisin mieluusti reaalilukujen konstruktiosta, jossa ei tarvita
> raja-arvoa tai jonkin loppumattoman prosessin tulosta.
Jani on tässä kritiikissään vähemmän väärässä kuin osa hänelle
vastanneista väittää. Sama pätee tietysti Henri Hansenin huomautukseen
"Reaalilukujahan ei tietenkään oikeasti ole olemassa. :-)".
Jos asioita oikein pengotaan, niin reaalilukujen ylinumeroituvuus ei
"synny" esimerkiksi täydellisyysaksioomasta, vaan se "peritään valmiina"
joukko-opista. Se salakuljetetaan teoriaan täydellisyysaksioomassa.
Siinähän puhutaan ylinumeroituvasta määrästä eri joukkoja. Samoin
raja-arvoihin vetoaminen on viime kädessä valmiiksi ylinumeroituvan
moneen kohteeseen vetoamista.
Konkretisoin: jos reaaliluvut konstruoidaan ylhäältä rajoitettuina
epätyhjinä rationaalilukujen joukkojen osajoukkoina, niin niitä tulee
ylinumeroituva määrä nimenomaan siksi, että kyseisiä osajoukkoja on
ylinumeroituva määrä (ja ne edustavat riittävän usein eri reaalilukuja).
Jos jostain syystä sallisimme konstruktiossa vain ne osajoukot, jotka
voi ilmaista kaavana, niin saisimme vain numeroituvan määrän
reaalilukuja. Reaalilukujen joukosta tulee ylinumeroituva vain siksi,
että ylinumeroituvuus on joukko-opissa valmiina.
Ei ole tyhmää, että ei niele kakistelematta sellaista konstruktiota,
jossa käytetään valtavasti joukkoja, joille ei ole kullekin erikseen
määritelmää tai edes kullekin erikseen nimeä. Jani on oikeassa
pyytäessään asiasta lisää tietoa. Hän on selvästi liikkeellä sillä
asenteella, että hän yrittää ymmärtää vastaukset. Asia ansaitsee
perusteellisemman käsittelyn kuin huomautuksen "samanlainen abstraktio
se on kuin muutkin matemaattiset abstraktiot".
Nimittäin, rationaalilukujen konstruktiossa luonnollisista luvuista tai
kompleksilukujen konstruktiossa reaaliluvuista ei tarvita yksilöimättä
jääviä äärettömiä joukkoja yhden luvun tuottamiseen, vaan riittää
yhdistää kaksi lukua pariksi ja määritellä parien laskusäännöt
ja ekvivalenssi hyvin konstruktiivisella tavalla. Reaalilukujen
konstruointi rationaaliluvuista on --- tai ainakin ensi näkemältä
vaikuttaa olevan --- siten aidosti rankempi konstruktio kuin muut
mainitut.
Ylinumeroituvuus ei siis "synny" reaalilukujen konstruoinnista, vaan
"on valmiina" joukko-opissa ja peritään reaalilukuihin sieltä.
Joukko-opin standarditodistus ylinumeroituvien joukkojen olemassaololle
on tuttu todistus sille, että joukko on vähemmän mahtava kuin
potenssijoukkonsa: Oletetaan, että f on surjektio A -> P(A);
muodostetaan E = { x kuuluu A | x ei kuulu f(x) }; ja otetaan
tarkasteluun jokin niistä e, joille E = f(e) (niitä on ainakin yksi,
koska f on surjektio). Nyt E:n määritelmän mukaan e kuuluu E jos
ja vain jos e ei kuulu f(e), mikä on ristiriita, koska E = f(e).
Niinpä f ei ole olemassa.
Tämä todistus on (sikäli kuin tiedän) ongelmaton, mutta ongelmia voi
halutessaan nähdä siinä, että joukko-opin standardimallia ei voi
luonnehtia yksikäsitteisesti. Itse asiassa tiedetään, että joukko-opilla
(jos se on ristiriiidaton) on numeroituva malli. (Joukko-opin
standarditeoria "ZF" on ensimmäisen kertaluvun teoria, ja jokaisella
ensimmäisen kertaluvun ristiriidattomalla teorialla on numeroituva
malli.) Tätä tosiasiaa, että joukko-opissa voi todistaa ylinumeroituvien
joukkojen olemassaolon vaikka joukko-opilla on numeroituva malli
kutsutaan Skolemin paradoksiksi.
Jos olen oikein ymmärtänyt, niin niksi on seuraava. Numeroituvassa
mallissa ei tietenkään ole kaikkia joukkoja mukana. Jos
ylinumeroituvaksi todistetulle joukolle yritetään johtaa numerointi
koko mallin numeroivan kuvauksen avulla, niin saatava kuvaus kuuluu
mallista puuttuviin joukkoihin.
Ylinumeroituvuus on tietenkin sikäli todellista, että puuttuupa
numerointi siksi että kohdejoukko on liian iso tai siksi että numerointi
on "ulkopuolelta katsottuna" olemassa mutta puuttuu käytössä olevasta
mallista, niin joka tapauksessa se puuttuu.
Lopuksi kannattaa huomata, että reaalilukujen täydellisyysaksioomalle
voi tehdä saman tempun kuin Peanon induktioaksioomalle, eli korvata
joukot predikaateilla. Tällöin saadaan numeroituva järjestelmä, jonka
ominaisuudet ovat kuitenkin melkein samat kuin reaalilukujen. Eroja
lienee kai vain Banach-Tarskin paradoksin kaltaisissa asioissa
("oikeita" reaalilukuja käytettäessä yksikköpallon voi jakaa viiteen
osaan niin että niistä saa toisella tavalla yhdistämällä kaksi
yksikköpalloa --- muistuttaa aineen luontia tyhjästä). Joku tiesi
joskus kertoa, että "standarditapa" luoda reaaliluvuille numeroituva
ensimmäisen kertaluvun teoria on toisenlainen, mutta joka tapauksessa
numeroituvia hyvin tarkasti reaalilukujen järjestelmien kaltaisia
järjestelmiä on olemassa.
--- Antti Valmari ---
Kari Pasanen
> Lausuma "toisen kertaluvun N on yksikäsitteinen" ei ole ongelmaton. Jos
> oletamme joukko-opin standardimallin annetuksi, niin silloin toisen
> kertaluvun N on yksikäsitteinen. Mutta joukko-opin standardimallin
> olettaminen annetuksi on oikeastaan yhtä raju ellei rajumpi oletus kuin
> olisi olettaa N:n standardimalli annetuksi. Jos oikein pohjia kaivelee,
> niin ongelmaksi tulee, että joukko-opin standardimallia ei voi määritellä
> yksikäsitteisesti.
Mutta suoraan sen 2. kertaluvun N:n yksikäsitteisyyden voi todistaa
tarvitsematta siihen joukko-opin standardimallia. Vein juuri äsken sen
todistuksen läpi, tässä se tulee sivuuttaen tylsät yksityiskohdat.
Olkoot (N, 0, s) ja (N', 0', s') 2. kertaluvun Peanon aksioomat toteuttavia
järjestelmiä (joukko, nolla-alkio, seuraajafunktio). Väite on, että (N, 0,
s) ja (N', 0', s') ovat isomorfisia.
Määritellään funktio f N:stä N':uun asettamalla
f(0) = 0',
f(s(x)) = s'(f(x)), kun x \in N.
(Induktiolla f on tällöin määritelty koko N:ssä.)
f:n injektiivisyys todistetaan täydellisellä induktiolla N:ssä.
Induktion alku: Jos f(0) = f(y) jollakin y \in N, niin 0 = y.
Induktio-oletus: Kiinteällä x: jos f(x) = f(y) jollakin y \in N, niin x = y.
Induktioväite: Jos f(s(x)) = f(y) jollakin y \in N, niin s(x) = y.
Induktio: {x \in N | jos f(x) = f(y) jollakin y \in N, niin x = y} = N.
f:n surjektiivisuus N':lle todistetaan täydellisellä induktiolla N':ssa.
Induktion alku: 0' = f(0) \in f(N).
Induktio-oletus: x' \in f(N).
Induktioväite: s'(x') \in f(N).
Induktio: f(N) = N'.
Suoraan f:n määritelmästä seuraa, että f on homomorfismi, joten se on
kaivattu isomorfismi järjestelmien (N, 0, s) ja (N', 0', s') välillä.
1. kertaluvussa todistus ei menne läpi, koska noita joukkoja ei voi ilmaista
kaavoilla. Niinhän?
Kari Pasanen
Tuomas T Korppi
: Jos olen oikein ymmärtänyt, niin niksi on seuraava. Numeroituvassa
: mallissa ei tietenkään ole kaikkia joukkoja mukana. Jos
: ylinumeroituvaksi todistetulle joukolle yritetään johtaa numerointi
: koko mallin numeroivan kuvauksen avulla, niin saatava kuvaus kuuluu
: mallista puuttuviin joukkoihin.
(Siltä varalta, että haluat tietää: Oikein olet ymmärtänyt.)
: Lopuksi kannattaa huomata, että reaalilukujen täydellisyysaksioomalle
: voi tehdä saman tempun kuin Peanon induktioaksioomalle, eli korvata
: joukot predikaateilla. Tällöin saadaan numeroituva järjestelmä, jonka
: ominaisuudet ovat kuitenkin melkein samat kuin reaalilukujen.
Täydellisyysaksioomaa tarvitaan ainakin seuraavien ominaisuuksien
todistamiseen. (Oletan nyt, että tutkittavat mallit ovat reaalilukujen
joukon alimalleja, ts. että infinitesimaaleja ei ole.)
(1) Bolzanon lause (jos jatkuva funktio saa positiivisia ja negatiivisia
arvoja, sillä on nollakohta.)
(2) Suljetulla välillä määritelty jatkuva funktio saa suurimman ja
pienimmän arvonsa.
Jos reaalilukujen täydellisyysaksioomaa heikennetään, mutta jatkuvien
funktioiden luokkaa ei pienennetä, menetetään edellä mainitut lauseet.
Nyt minua kiinnostaisikin tietää, että onko systeemille, jossa
täydellisyysaksiooma pätee vain kaavalla määritellyille joukoille,
olemassa jotain luonnollista luokkaa "jatkuvia funktioita", joka toteuttaa
edellämainitut lauseet. Entä, jos rajoitumme niihin reaalilukuihin,
joille voidaan laskea approksimaatioita Turing-koneilla?
Jani
<...>
: Ylinumeroituvuus ei siis "synny" reaalilukujen konstruoinnista, vaan
: "on valmiina" joukko-opissa ja peritään reaalilukuihin sieltä.
<...>
Nyt valkeni kertaheitolla. Kiitos!
<...>
: potenssijoukkonsa: Oletetaan, että f on surjektio A -> P(A);
: muodostetaan E = { x kuuluu A | x ei kuulu f(x) }; ja otetaan
: tarkasteluun jokin niistä e, joille E = f(e) (niitä on ainakin yksi,
: koska f on surjektio). Nyt E:n määritelmän mukaan e kuuluu E jos
: ja vain jos e ei kuulu f(e), mikä on ristiriita, koska E = f(e).
: Niinpä f ei ole olemassa.
Oletus "f on surjektio" on selkeä, mutta joukon E määritys vähän hakee.
Määritelmän mukaan esim. joukon A alkio a_1 kuuluu E:hen jos a_1 ei
kuulu f(a_1):een. Eikö tämä määritelmä rajaa f:n rakenteen juuri
ajatuksella "x ei kuulu f(x) *ikinä*", eli ehto perustuu
"rajalla" käyntiin ja on tällöin kantava vain jos A on numeroitumaton?
----
Sanottakoon vielä, että en etsi mistään rakenteesta tai määritelmästä
millään muotoa "ilkeyttäni" tällaisia syviä ominaisuuksia. Määritelmien tarkka
penkominen lähti alkujaan liikkeelle Wignerin aikanaan kirjoittamasta
artikkelista [1] joka pisti miettimään varsin syvällisiä.
[1]: http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
Valmari Antti
Jani jatkaa:
> Nyt valkeni kertaheitolla. Kiitos!
Hyvä!
> : muodostetaan E = { x kuuluu A | x ei kuulu f(x) }; ja otetaan
> Oletus "f on surjektio" on selkeä, mutta joukon E määritys vähän hakee.
> Määritelmän mukaan esim. joukon A alkio a_1 kuuluu E:hen jos a_1 ei
> kuulu f(a_1):een.
Nimenomaan.
> Eikö tämä määritelmä rajaa f:n rakenteen juuri
> ajatuksella "x ei kuulu f(x) *ikinä*",
E:n määritelmä ei rajaa f:n rakennetta yhtään mitenkään. f on päättelyn
lähtökohta ja siis tulee päättelyyn "valmiina", sitä ei määritellä
eikä muodosteta päättelyn aikana. Päättely alkaa "Oletetaan, että
f on surjektio A -> P(A)". Toisin sanoen, kuka tahansa saa valita
ihan minkä tahansa surjektion A -> P(A), ja sen jälkeen päättely
koskee kyseistä surjektiota. Joukon E määritelmä ei vaikuta f:ään,
koska f on sitä ennen valittu ja kiinnitetty.
(Olisi ehkä selvempää sanoa "Jos olisi olemassa yksi tai useampi
surjektio f: A -> P(A), niin valittaisiin niistä mikä tahansa, niin
siitä joka valittiin voitaisiin muodostaa E = ...)
E:n määritelmä ei liioin sano, että "x ei kuulu f(x) *ikinä*".
E:n määritelmä sanoo, että jaetaan A:n alkiot kahteen ryhmään:
ne, joille pätee "x kuuluu f(x)" (tämä on A-E eli E:n komplementti
A:n suhteen); sekä ne, joille se ei päde (E).
> eli ehto perustuu
> "rajalla" käyntiin ja on tällöin kantava vain jos A on numeroitumaton?
Tässä ei ole raja-arvoa missään muodossa. Tulos pätee kaikille joukoille
A, myös äärellisille.
Joukko-opissa (myös "jämptin teoreettisessa" eli ZF-joukko-opissa) on
ns. erotteluaksiooma, joka sanoo, että jos A on joukko ja p(x) on
joukko-opin kaava, jossa x esiintyy "parametrina" (itse asiassa p
saa olla mikä tahansa joukko-opin kaava), niin { x kuuluu A | p(x) }
on (hyvin määritelty) joukko. Joukko-opin kaavoissa saa esiintyä
funktioita. E on melkein yksinkertaisin mahdollinen tämän aksiooman
sovellus, joten siinä ei ole mitään hämärää.
Kysymys on siitä, nieletkö joukko-opin. Suostuessasi edes puhumaan
"surjektiosta" olet väkisin niellyt jo jotain siitä, koska surjektio
on joukko-opillinen käsite. Jos nielet joukko-opin, et pääse tätä
yksinkertaista todistusta pakoon mitenkään.
Joukko-oppia tai ainakaan sen tavanomaista tulkintaa ei kuitenkaan ole
pakko niellä. Sitä kautta pääsee väittämään ylinumeroituvuutta vastaan,
ja osa asiantuntijoista tekeekin niin. Mutta silloin keskustelu liikkuu
aika abstrakteissa sfääreissä, ja on oltava tarkkana siitä, mitä ja
missä järjestelmässä sanalla "ylinumeroituvuus" tarkoitetaan. Se, mikä
on numeroituvaa yhdestä näkökulmasta voi olla ylinumeroituvaa toisesta.
> Sanottakoon vielä, että en etsi mistään rakenteesta tai määritelmästä
> millään muotoa "ilkeyttäni" tällaisia syviä ominaisuuksia. Määritelmien tarkka
Maailmalla ja tälläkin palstalla näkee yllättävän usein "keskustelijoita",
jotka julistavat Cantorin todistuksen huuhaaksi ja vänkäävät ylinumeroituvuutta
vastaan sekavalla logiikalla. Heidän pari ensimmäistä viestiään saattaa
olla asiallisia, mutta aika pian he kieltäytyvät yrittämästäkään ymmärtää
mitä heille sanotaan ja usein käyvät agressiivisiksi. Heidän vuokseen
ylinumeroituvuus saa monien tunteet helposti kuumenemaan. Jokainen tähän
keskusteluun osallistunut on kuitenkin varmasti huomannut, että et kuulu
heihin.
--- Antti Valmari ---
Aatu Koskensilta
> On aivan oikein sanoa, että "ensimmäisen kertaluvun N" ei ole
> yksikäsitteinen. Nimittäin, Gödelin epätäydellisyyslauseesta seuraa, että
> luonnollisten lukujen joukkoa N ei voi määritellä tyhjentävästi millään
> ensimmäisen kertaluvun efektiivisellä teorialla.
Voimme itse asiassa esittää huomattavasti voimakkaamman tuloksen:
luonnollisten lukujen rakennetta ei voi määritellä millään ensimmäisen
kertaluvun lukuteorian kielen lauseiden joukolla, ei edes joukolla, joka
koostuu kaikista tosista lukuteoreettisista väitteistä. Triviaalisti
tämä seuraa ylöspäisestä Löwenheim-Skolemin lauseesta: jos lausejoukolla
on numeroituva malli, on sillä jokaista kardinaalilukua kappa kohden
malli, jonka mahtavuus on kappa. Siispä tosien lukuteoreettisten
väitteiden joukolla on esimerkiksi malli, jonka mahtavuus on
aleph_omega. Vähemmän triviaalisti voidaan osoittaa, että esimerkiksi
kaikkien tosien lukuteoreettisten väitteiden joukolla on numeroituvia
malleja, jotka eivät ole isomorfisia luonnollisten lukujen rakenteen
kanssa (tämän tuloksen todisti ensimmäisenä Thoralf Skolem).
> Lausuma "toisen kertaluvun N on yksikäsitteinen" ei ole ongelmaton. Jos
> oletamme joukko-opin standardimallin annetuksi, niin silloin toisen
> kertaluvun N on yksikäsitteinen. Mutta joukko-opin standardimallin
> olettaminen annetuksi on oikeastaan yhtä raju ellei rajumpi oletus kuin
> olisi olettaa N:n standardimalli annetuksi. Jos oikein pohjia kaivelee,
> niin ongelmaksi tulee, että joukko-opin standardimallia ei voi määritellä
> yksikäsitteisesti.
Mitä ihmettä tämä tarkoittaa? Ei matematiikassa tarvita mitään
"joukko-opin standardimallia". Toisen kertaluvun Peanon aritmetiikan
yksikäsitteisyys on täysin ongelmaton ja sangen ilmeinen matemaattinen
tosiseikka. Jos sitä haluaa jostakin syystä epäillä, on vaikeaa ymmärtää
miksi samanlaista epäilyä ei kohdistaisi kaikkiin muihinkin
samankaltaisiin matematiikan tuloksiin logiikan ulkopuolella. Lisäksi
esimerkiksi ZFC on järjettömän paljon voimakkaampi, kuin mitä vaaditaan
toisen kertaluvun Peanon aritmetiikan kategorisuuden osoittamiseen.
> Tässäkin on Gödelin tulos takana. Se sanoo enemmän kuin yllä kirjoitin.
> Se sanoo, että *jokainen* efektiivinen teoria, jonka voima riittää
> esittämään luonnolliset luvut ja niiden yhteenlaskun ja kertolaskun on
> joko ristiriitainen (jolloin siinä voi todistaa minkä tahansa väitteen
> sekä oikeaksi että vääräksi), tai sitten on olemassa (standardimallissa
> tosi) väittämä jota teoria ei pysty osoittamaan oikeaksi eikä vääräksi.
> Niinpä mikään logiikka ei pysty määrittelemään N:ää tyhjentävästi.
Mitä tekemistä määrittelemisellä on efektiivisen todistuvuuden kanssa?
> Luonnollisten lukujen standardimalli ja joukko-opin standardimalli ovat
> siis aina osittain määritelmien tavoittamattomissa.
Miten niin? Mitä vikaa on vaikkapa lukuteorian standardimallin
määritelmässä pienimpänä induktiivisena joukkona (yhteen- ja
kertolaskuoperaatioilla varustettuna)? Ei ole mitään syytä olettaa, että
kaikkien määritelmien tulee olla sellaisia, että niistä voidaan
mekaanisesti johtaa kaikki määriteltyä asiaa koskevat totuudet.
--
Aatu Koskensilta (aatu.kos...@xortec.fi)
"Wovon man nicht sprechen kann, daruber muss man schweigen"
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus
Aatu Koskensilta
> Joukko-oppia tai ainakaan sen tavanomaista tulkintaa ei kuitenkaan ole
> pakko niellä. Sitä kautta pääsee väittämään ylinumeroituvuutta vastaan,
> ja osa asiantuntijoista tekeekin niin.
Kehenköhän tässä viittaat? Mieleeni tulee joitakin
ultra-intuitionisteja, finitistejä ja vastaavia, jotka todellakin
hylkäävät ylinumeroituuvuuden käsitteen (esimerkiksi Edward Nelson ja
Ysenin-Volpin). Nämä ovat kuitenkin aivan marginaalisia tapauksia.
Esimerkiksi intuitionistisessa ja konstruktivistisessa matematiikassa ei
ole mitään ongelmaa todistaa ja ilmaista, ettei ole olemassa surjektiota
joka kuvaa jokaisen luonnollisen luvun reaaliluvuksi.
Nyt kun hetken mietin asiaa, tulee mieleeni myös predikativismi
(varhaisia edustajia mm. Weyl ja nykyaikaisempia kannattajia mm. Solomon
Feferman). Tavanomaisissa muotoiluissa (ramifioitu analyysi, t.s.
tyyppiteoria, jossa tyypit jatkuvat transfiniittisiin ordinaaleihin) ei
voida ilmaista, että ei ole olemassa surjektiota N:stä R:n. Ramifioitu
analyysi on kuitenkin ekvivalentti Delta^1_1-komprehension kanssa
ei-ramifioidussa toisen kertaluvun aritmetiikan järjestelmässä (joka
asioiden sotkemiseksi ei ole toisen kertaluvun järjestelmä, vaan
2-sorttisen ensimmäisen kertaluvun järjestelmä). Tässä järjestelmässä
voidaan todistaa, ettei surjektiota ole, joten predikativismikaan ei
tuntuisi sopivan.
Mutta kenties tarkoititkin sitä, että esimerkiksi intuitionistit eivät
hyväksy reaalilukujen kokonaisuutta "valmiina totaliteettina", vaan
ainoastaan esimerkiksi valintasekvenssien (choice sequence) prosessin
jatkuvasti tuottamana potentiaalisena totaliteettina?
> Mutta silloin keskustelu liikkuu
> aika abstrakteissa sfääreissä, ja on oltava tarkkana siitä, mitä ja
> missä järjestelmässä sanalla "ylinumeroituvuus" tarkoitetaan. Se, mikä
> on numeroituvaa yhdestä näkökulmasta voi olla ylinumeroituvaa toisesta.
Tästä esimerkkinä rekursiiviset realiluvut, jotka ovat rekursiivisesti
ylinumeroituvia (ei ole olemassa rekursiivista surjektiota
luonnollisilta luvuilta rekursiivisille reaaliluvuille), mutta
tavanomaisessa mielessä numeroituvia (on vain numeroituva määrä
reaalilukuja määritteleviä algoritmeja).
Aatu Koskensilta
> Huomautettakoon, että reaalilukujen ylinumeroituvuus seuraa jo
> seuraavasta kolmesta periaatteesta.
>
> (1) Reaalilukujen suuruusjärjestys on tiheä lineaarijärjestys. (Ts.
> mille tahansa kahdelle luvulle x ja y pätee yksi seuraavista: x < y, x =
> y, y < x. Kaikille reaaliluvuille x,y,z pätee seuraava:
> Jos x < y ja y < z, niin x < z. Kaikille reaaliluvuille x ja y pätee
> seuraava: Jos x < y, niin on olemassa z, jolle x < z < y.)
>
> (2) On olemassa vähintään kaksi reaalilukua.
>
> (3) Jos A on mikä tahansa epätyhjä, ylhäältä rajoitettu joukko reaalilukuja,
> niin sillä on pienin yläraja, joka on reaaliluku.
Huomautettakoon myös täydellisyyden vuoksi, että nämä eivät ole
välttämättömiä ehtoja. Esimerkiksi (3) ei ole todistuva
intuitionistisessa matematiikassa (kolmannen poissuljetun laki seuraa
(3):sta, niin kummalliselta kuin se saattaakin kuulostaa), mutta voimme
kuitenkin todistaa intuitionistisesti, että ei ole olemassa surjektiota
N:stä R:n.
--
Tuomas T Korppi
: Huomautettakoon myös täydellisyyden vuoksi, että nämä eivät ole
: välttämättömiä ehtoja. Esimerkiksi (3) ei ole todistuva
: intuitionistisessa matematiikassa (kolmannen poissuljetun laki seuraa
: (3):sta, niin kummalliselta kuin se saattaakin kuulostaa), mutta voimme
: kuitenkin todistaa intuitionistisesti, että ei ole olemassa surjektiota
: N:stä R:n.
Nyt alkoi kiinnostamaan. Kuinka kolmannen poissuljetun laki seuraa
reaalilukujen täydellisyysaksioomasta? Seuraako se jotenkin
universaalisti, vai pelkästään jollekin reaalilukujen teorialle?
Aatu Koskensilta
> Nyt alkoi kiinnostamaan. Kuinka kolmannen poissuljetun laki seuraa
> reaalilukujen täydellisyysaksioomasta?
Olkoon P jokin luonnollisten lukujen ominaisuus. Tarkastellaan joukkoa R
= {r_n | n luonnollinen luku} missä
r_n = 1 jos P(n)
r_n = 0 muutoin
Tämän joukon pienin yläraja on 1, jos on olemassa luonnollinen luku,
jolla on ominaisuus P ja 0 muutoin. Konstruktiivisen tulkinnan mukaan
pienimmän ylärajan laki sanoo, että on olemassa konstruktiivinen funktio
f, s.e. kun f:lle annetaan syötteeksi joukko A, tuottaa se A:n pienimmän
ylärajan. Sovelletaan f:ää joukkoon R ja tarkastellaan tulosta f(R).
Konstruktiivisesti pätee f(R)=1 \/ f(R) != 1 (koska jokaiselle
luonnolliselle luvulle pätee konstruktiivisesti n=1\/n!=1), mutta tämä
tarkoittaa, että joko on olemassa luku, jolle P pätee tai sitten ei ole
olemassa lukua, jolle P pätee, t.s. kolmannen poissuljetun laki pätee P:lle.
> Seuraako se jotenkin
> universaalisti, vai pelkästään jollekin reaalilukujen teorialle?
PS. Kolmannen poissuljetun laki seuraa myös valinta-aksioomasta,
samankaltaisella todistuksella.
Aatu Koskensilta
> Seuraako se jotenkin
> universaalisti, vai pelkästään jollekin reaalilukujen teorialle?
Piti vastaamani myös tähän. Kyseinen tulos pätee yleisesti
konstruktiivisessa matematiikassa.
Jani
: Jani jatkaa:
<..>
:> Eikö tämä määritelmä rajaa f:n rakenteen juuri
:> ajatuksella "x ei kuulu f(x) *ikinä*",
<..>
: (Olisi ehkä selvempää sanoa "Jos olisi olemassa yksi tai useampi
: surjektio f: A -> P(A), niin valittaisiin niistä mikä tahansa, niin
: siitä joka valittiin voitaisiin muodostaa E = ...)
Jep, näinhän se on. Vaati vielä vähän pureskelua ennen kuin aukesi.
Kiitos hyvästä selityksestä.
Istuin tässäkin yhteydessä vielä liian tiukasti notatiossa, mutta nyt
sain dokumentoitua käsitteet itselleni ymmärrettävään muotoon.
<..>
: Kysymys on siitä, nieletkö joukko-opin. Suostuessasi edes puhumaan
Nielen, väärinkäsitys syntyi alunperin enemmän semantiikasta kuin
filosofisesta näkemyksestä.
Cantorin diagonaalitodistusta vastaan minulla kylläkin on vielä vähän
hampaankolossa... Ehkäpä palaan asiaan vielä :D
Sampo Smolander
> Toisessa kertaluvussa --- tai joukkoja käyttämällä --- aksioomat saa
> sanomaan kaiken tarpeellisen, joten väärät mallit voi ikäänkuin sulkea
> pois. Mutta toisessa kertaluvussa todistaminen on epätäydellistä.
Minä en asiasta mitään tiedä, mutta kysynpä kuitenkin :-)
Liittyykö tämä pätkä Wikipediasta jotenkin tuohon mitä sanot:
"There is an even more subtle aspect of Gödel's theorems and it is that
neither asserts that a theory of arithmetic is inconsistent or
incomplete, only that it cannot be proven to be so if (but not iff)
meta-interpretation is used to make it into its own proof theory; this
is because it is indeed possible to prove that the theory of arithmetic
is both consistent and complete by using a proof theory with
higher-order induction, per Gentzen's theorem."
http://en.wikipedia.org/wiki/G%F6del%27s_incompleteness_theorem
Siis eikö voida ottaa joku 2-kertaluvun teoria, ja teoriaa itseään
käyttämällä todistaa ko. teoria ristiriidattomaksi (mutta ei siis pystytä
todistamaan täydelliseksi). Sitten tuosta 2-kertaluvun teoriasta käsin
todistettaisiin joku 1-kertaluvun teoria sekä ristiriidattomaksi että
täydelliseksi. Sitten tuon 1-kertaluvun teorian avulla todistettaisiin
luonnollisista luvuista mitä halutaan.
Valmari Antti
Sampo Smolander kysyi:
> Minä en asiasta mitään tiedä, mutta kysynpä kuitenkin :-)
> Siis eikö voida ottaa joku 2-kertaluvun teoria, ja teoriaa itseään
> käyttämällä todistaa ko. teoria ristiriidattomaksi (mutta ei siis pystytä
> todistamaan täydelliseksi). Sitten tuosta 2-kertaluvun teoriasta käsin
> todistettaisiin joku 1-kertaluvun teoria sekä ristiriidattomaksi että
> täydelliseksi. Sitten tuon 1-kertaluvun teorian avulla todistettaisiin
> luonnollisista luvuista mitä halutaan.
Enkä minä tiedä asiasta niin paljon kuin haluaisin tietää, mutta
vastaanpa kuitenkin. En suoraan, koska sitä en osaa. Uskon silti
seuraavan päättelyn olevan iloksi, koska se (toivottavasti) helpottaa
Gödelin 1. epätäydellisyyslauseen voiman hahmottamista.
Unohdetaan vähäksi aikaa ensimmäiset ja toiset kertaluvut. Asetetaan
teorialle vain kolme vaatimusta: (1) kaikkien siinä todistuvien
väitteiden on oltava tosia, (2) todistusten on oltava tarkastettavissa
mekaanisesti ja (3) teorian on kyettävä ilmaisemaan 0, 1, yhteenlasku,
kertolasku, yhtäsuuruus, ja, tai, ei, "kaikilla" ja "on olemassa".
(Itse asiassa, jos laskin oikein, niin operaation "ei" osalta riittää,
että se esiintyy kaavassa ainoastaan ulommaisena operaattorina, siis
koko kaava on muotoa "ei( kaava ilman eitä )".) Vaikka loogikot
harrastavat myös teorioita, joille (2) ei päde, niin käytännön työssä
(2) katsotaan yleisesti välttämättömäksi, ja se on mukana Gödelin 1.
epätäydellisyyslauseen oletuksissa. (Ilman sitä lause voitaisiin
kumota ottamalla jokainen tosi kaava aksioomaksi.)
Gödel-numeroinnin takana olevat konstruktiot ovat yllättävän
voimakkaita. Laskennallisesti aika yksinkertaisella mutta työläästi
selitettävällä (jakojäännöksiä, kiinalainen jäännöslause) tempulla
voidaan pelkästään yllä luetellulla kalustolla muodostaa kaava
Taulukko(A, i, x) siten, että luonnollinen luku A esittää
mielivaltaista luonnollisten lukujen taulukkoa A[0], A[1], A[2], ...
jossa vain äärellinen määrä taulukon alkioista poikkeaa nollasta, ja
Taulukko(A, i, x) on tosi jos ja vain jos A[i] = x.
Muistetaan myös, että x < y voidaan esittää kaavalla "on z: x+z+1 = y"
ja jakolaskun a/b osamäärä x ja jakojäännös ("%") y saadaan käyttöön
kaavalla "a = x*b + y /\ y < b".
Turingin koneen kokonaistila voidaan esittää taulukkona vaikka siten,
että lokerossa 0 on äärellisen kontrollin tila, ja muissa lokeroissa
on luku 2*a_i + b_i, missä a_i on nauhan ruudussa i-1 olevan merkin
tunnusluku (0 = tyhjä ruutu) ja b_i = 0 muualla ja 1 luku/kirjoituspään
kohdalla. Tämän avulla voidaan kirjoittaa kaava Alkutila(A) joka
väittää, että A on Turingin koneen alkutilaa kuvaavan taulukon
koodiluku (se on muotoa "A=vakio", missä vakio määräytyy Turingin
koneen alkutilan numerosta ja nauhan alkuperäisestä sisällöstä);
Lopputila(A) joka kertoo onko Turingin kone lopputilassa
("Taulukko(A, 0, l_1) \/ ... \/ Taulukko(A, 0, l_k)", missä l_1, ...,
l_k ovat lopputilojen numerot); sekä Askel(A,B) (muotoa
"Siirtymä_1 \/ ... \/ Siirtymä_k", missä esim. siirtymä (q,q',a,a',->)
esitetään
Taulukko(A, 0, q) /\ Taulukko(B, 0, q') /\ on i: 0 < i /\
Taulukko(A, i, 2*a+1) /\ Taulukko(B, i, 2*a') /\
( on b: Taulukko(A, i+1, b) /\ Taulukko(B, i+1, b+1) ) /\
( kaikilla j: j = i \/ j = i+1 \/ on c:
Taulukko(A, j, c) /\ Taulukko(B, j, c) )
).
Nyt, koska taulukoita esittävät luvut, voidaan kokonainen päättyvä
laskenta esittää yhtenä lukuna L:
( on X: Alkutila(X) /\ Taulukko(L, 0, X) ) /\
on i: ( on X: Lopputila(X) /\ Taulukko(L, i, X) )
/\ ( kaikilla j: j < i+1 \/ Taulukko(L, j, 0) )
/\ ( kaikilla j: i = j \/ i < j \/ on X: on Y:
Askel(X,Y) /\ Taulukko(L, j, X) /\ Taulukko(L, j+1, Y) )
. Päättymätöntä laskentaa ei tällä idealla voi koodata, koska "Taulukko"
toimii vain niille taulukoille, joissa on äärellinen määrä nollasta
poikkeavia lukuja.
Nyt annetun Turingin koneen T pysähtyminen annetulla syötteellä
voidaan esittää kaavana "on L_T: Laskenta(L_T)". Tämä kaava voidaan
muodostaa annetusta Turingin koneesta mekaanisesti, sillä sen
alkutilaa vastaava vakio voidaan laskea ja muutenhan resepti on
sangen suoraviivainen.
Lisätään nyt oletus, että teorian voima riittää todistamaan
jokaisen toden väitteen muotoa "ei( kaava ilman eitä )".
Siitä, että todistusten on oltava tarkastettavissa mekaanisesti
seuraa, että voidaan laatia tietokoneohjelma, joka kokeilee
pitempiä ja pitempiä merkkijonoja ja lopettaa, jos se löytää
todistuksen kaavalle "ei on L_T: Laskenta(L_T)". Tätä ohjelmaa
voidaan ajaa rinnakkain T:n toimintaa simuloivan ohjelman kanssa.
Näistä kahdesta tasan yksi tulee lopettamaan. Pääohjelma odottaa,
kunnes jompikumpi on lopettanut, ja sitten sammuttaa toisen ja
antaa vastauksen "kyllä" tai "ei" sen mukaan kumpi lopetti.
Olemme konstruoineet pysähtymistesterin.
Mutta Turing todisti, että pysähtymistesteriä ei ole. Oletus,
että teoriamme riittää todistamaan jokaisen toden väitteen
muotoa "ei( kaava ilman eitä )" on siis väärä: on olemassa tosi
väite, jolle ei ole todistusta. Olemme saaneet Gödelin 1.
epätäydellisyyslauseen.
Pysähtymistesterin olemattomuus voidaan osoittaa yksinkertaisella
päättelyllä, jossa ei avoimesti vedota joukko-oppiin ja logiikkaan,
vaan pelkästään normaaliin järkeen sekä tietokoneiden toimintaa
koskevaan intuitioon.
Tämä päättely on vakuuttanut minut siitä, että luonnollisten
lukujen epätäydellisyyttä ei voi kiertää millään joukko-oppiin,
toiseen kertalukuun tai muuhun perustuvilla kikoilla. Jos sellaiset
kikat näyttävät tuottavan yksikäsitteisen N:n, niin silloin
epätäydellisyyden täytyy olla jollakin tavalla piiloutuneena kikkojen
uumenissa. Olen koettanut paikantaa missä epätäydellisyys piilee
toisen kertaluvun N:n tapauksessa ja päätynyt syyttämään joukko-opin
monikäsitteisyyttä ja toisen kertaluvun päättelyn epätäydellisyyttä
(todistuvuus != looginen totuus). Ehkä haukuin vääriä puita, mutta
vaikka olisin paikallistanut vian väärin, niin jossakin se silti on.
--- Antti Valmari ---
Aatu Koskensilta
>
> Minä en asiasta mitään tiedä, mutta kysynpä kuitenkin :-)
>
> Liittyykö tämä pätkä Wikipediasta jotenkin tuohon mitä sanot:
>
> "There is an even more subtle aspect of Gödel's theorems and it is that
> neither asserts that a theory of arithmetic is inconsistent or
> incomplete, only that it cannot be proven to be so if (but not iff)
> meta-interpretation is used to make it into its own proof theory; this
> is because it is indeed possible to prove that the theory of arithmetic
> is both consistent and complete by using a proof theory with
> higher-order induction, per Gentzen's theorem."
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/G%F6del%27s_incompleteness_theorem
Tämä sitaatti on täynnänsä virheellisiä väitteitä. Gentzenin
ristiriidattomuustodistus ei osoita, että 1. kertaluvun lukuteoria
(Peanon aritmetiikka) olisi täydellinen, mitä se ei ole. Se ei myöskään
sovella "korkeamman kertaluvun induktiota", vaan ns. kvanttorivapaata
transfiniittista induktiota epsilon-0:n asti. Kvanttorivapaa induktio
tarkoittaa, että induktiota sovelletaan vain kaavoihin, joissa ei ole
sidottuja muuttujia. Epsilon-0 puolestaan on ensimmäinen ordinaali e,
s.e. e^omega = e, t.s. jonon omega, omega^omega, omega^omega^omega, ...
raja-arvo. Gentzenin todistus osoittaa, että Peanon aritmetiikan voi
todistaa ristiriidattomaksi primitiivirekursiivisessa aritmetiikassa -
jonka katsotaan vastaavan ns. finitististä matematiikkaa - käyttämällä
kvanttorivapaata induktiota epsilon-0:n asti. Tämä on kiintoista
todistusteoreettinen tulos ja ensimmäinen ns. ordinaalianalyysi.
Ordinaalianalyysissa mitataan teorioiden "todistusteoreettista voimaa"
sillä, kuinka suurelle ordinaalille teoriassa voidaan todistaa
transfiniittisen induktion pätevän.
Gödelin 2. epätäydellisyyslauseesta seuraa itse asiassa, että mikään
tietyt yksinkertaiset lukuteoreettiset totuudet todistava teoria T_1 ei
voi todistaa minkään (samat ehdot täyttävän) teorian T_2
ristiriidattomuutta, jossa T_1:n ristiriidattomuus on todistuva. (Näin
siksi, että jos T_2 on ristiriidaton, kaikki T_2:ssa todistuvat lauseet
muotoa AxP(x), missä P on laskettava predikaatti, joihin myös teorian
T_1 ristiriidattomuuden ilmaiseva lause lukeutuu, ovat tosia. Siten jos
T_1 todistaisi T_2:n ristiriidattomuuden ja T_2 T_1:n, todistaisi T_1
myös oman ristiriidattomuutensa.) Tämä on merkittävää siksi, että ei
olisi mitään ilmeistä syytä luottaa teoriaan T, jos se todistaisi
itsensä ristiriidattomaksi, todistavathan ristiriitaiset teoriat oman
ristiriidattomuutensa. Merkittävä ristiriidattomuustodistus olisi, jos
se esitettäisiin *heikommassa* tai jollain muulla tapaa luotettavammassa
teoriassa. (Tässä yhteydessä voi myös mainita yleisen Gödelin lauseisiin
liittyvän harhakäsityksen, nimittäin sen, että teorian voi todistaa
ristiriidattomaksi ainoastaan voimakkaammassa teoriassa. Tämä ei pidä
paikkaansa, esimerkiksi teoria PRA+TI_qf(epsilon-0) -
primitiivirekursiivinen aritmetiikka plus kvanttorivapaa induktio
epsilon-0:n - todistaa PA:n ristiriidattomuuden, muttei esimerkiksi
kaikkia tavanomaisen induktioskeeman instansseja.)
Jos ei olla kiinnostuneita ordinaalianalyysista, 1. kertaluvun
lukuteorian voi todistaa olevan ristiriidaton triviaalisti: sen
aksioomat ovat tosia, predikaattilogiikan päättelysäännöt säilyttävät
totuuden ja mikään ristiriita ei ole tosi, niinpä 1. kertaluvun
lukuteoria on ristiriidaton. Tässä todistuksessa ei ole mitään
epäilyttävää tai kummallista - "totuus" tässä viittaa lukuteoreettiseen
totuuteen, joka on tavanomaisesti määritelty matemaattinen käsite. Totta
kai tätä todistusta voi pitää epäilyttävänä, mutta tällöin myös suuri
osa tavanomaista matematiikkaa on epäilyttävää, eikä ole mitään syytä
keskittyä juuri ristiriidattomuustodistukseen. Tietenkään tällä
ristiriidattomuustodistuksella ei ole "epistemologista voimaa", t.s. se
ei ole sellainen todistus, jota Hilbertin ohjelmassa ajettiin takaa.
Tässä ohjelmassa ajatus oli antaa todistus lukuteorian (ja analyysin)
ristiriidattomuudelle jostain yksinkertaisemmista ja luotettavammista
periaatteista lähtien. Tämä ei kuitenkaan muuta sitä, että todistus on
aivan pätevä samassa määrin kuin vastaavat matemaattiset todistukset
ylipäänsä ovat.
Samaten Gödelin epätäydellisyyslauseesta seuraa triviaalisti lukuteorian
ristiriidattomuuden kanssa, että 1. kertaluvun lukuteoria *on*
epätäydellinen. Yksinäänhän se jo osoittaa, että 1. kertaluvun
lukuteoria on joko epätäydellinen tai ristiriitainen. En ymmärrä mistä
yllä olevassa sitaatissa oikein yritetään puhua.
> Siis eikö voida ottaa joku 2-kertaluvun teoria, ja teoriaa itseään
> käyttämällä todistaa ko. teoria ristiriidattomaksi (mutta ei siis pystytä
> todistamaan täydelliseksi).
Eh... 2. kertaluvun teorioille ei ole määritelty todistuvuuden
käsitettä, vaan ainoastaan loogisen seurauksen käsite. Samaten ei ole
määritelty ristiriidattomuuden käsitettä, vaan toteutuvuuden käsite:
teoria on toteutuva, jos sillä on malli. Voimme tietysti esittää
erilaisia todistuvuuden määritelmiä, t.s. antaa erilaisia
päättelyjärjestelmiä toisen kertaluvun logiikalle, mutta yksikään näistä
ei ole täydellinen, t.s. aina on loogisia totuuksia, joita ei voida
todistaa annetussa päättelyjärjestelmässä. Samaten millään (pätevälle)
päättelyjärjestelmällä ei voida todistaa 2. kertaluvun lukuteoriasta
lähtien sitä, että k.o. päättelyjärjestelmällä ei voida johtaa
ristiriitaa 2. kertaluvun lukuteorian aksioomista.
> Sitten tuosta 2-kertaluvun teoriasta käsin
> todistettaisiin joku 1-kertaluvun teoria sekä ristiriidattomaksi että
> täydelliseksi.
Jos näin onnistuttaisiin tekemään edes hyvin heikolle lukuteoreettiselle
1. kertaluvun teorialle, joutuisi suurin osa nykyaikaisesta
matematiikasta roskakoriin! Näin siksi, että Gödelin lauseet osoittavat,
että jo hyvin heikot lukuteoreettiset teoriat ovat joko ristiriitaisia
tai epätäydellisiä.
Aatu Koskensilta
> Sampo Smolander kysyi:
>
> Unohdetaan vähäksi aikaa ensimmäiset ja toiset kertaluvut. Asetetaan
> teorialle vain kolme vaatimusta: (1) kaikkien siinä todistuvien
> väitteiden on oltava tosia, (2) todistusten on oltava tarkastettavissa
> mekaanisesti ja (3) teorian on kyettävä ilmaisemaan 0, 1, yhteenlasku,
> kertolasku, yhtäsuuruus, ja, tai, ei, "kaikilla" ja "on olemassa".
> (Itse asiassa, jos laskin oikein, niin operaation "ei" osalta riittää,
> että se esiintyy kaavassa ainoastaan ulommaisena operaattorina, siis
> koko kaava on muotoa "ei( kaava ilman eitä )".) Vaikka loogikot
> harrastavat myös teorioita, joille (2) ei päde, niin käytännön työssä
> (2) katsotaan yleisesti välttämättömäksi, ja se on mukana Gödelin 1.
> epätäydellisyyslauseen oletuksissa. (Ilman sitä lause voitaisiin
> kumota ottamalla jokainen tosi kaava aksioomaksi.)
Mainittakoon täydellisyyden (sic) vuoksi, että Gödelin lauseet pätevät
kyllä myös teorioihin, joissa todistuvuus ei ole mekaanisesti
tarkistettavissa. Keskeistä on, että todistuvuus on lukuteoreettisesti
määriteltävissä. Lukuteoreettinen totuus ei ole lukuteoreettisesti
määriteltävissä, joten todistuvuus teoriassa, jossa jokainen tosi väite
on aksiooma, ei ole lukuteoreettisesti määriteltävissä.
> Tämä päättely on vakuuttanut minut siitä, että luonnollisten
> lukujen epätäydellisyyttä ei voi kiertää millään joukko-oppiin,
> toiseen kertalukuun tai muuhun perustuvilla kikoilla. Jos sellaiset
> kikat näyttävät tuottavan yksikäsitteisen N:n, niin silloin
> epätäydellisyyden täytyy olla jollakin tavalla piiloutuneena kikkojen
> uumenissa.
En vieläkään ymmärrä mitä tekemistä epätäydellisyydellä ja N:n
yksikäsitteisyydellä on. Miksi yksikäsitteisesti määritellystä
entiteetistä pitäisi voida mekaanisesti tuottaa kaikki totuudet?
Valmari Antti
> Kehenköhän tässä viittaat? Mieleeni tulee joitakin
> Esimerkiksi intuitionistisessa ja konstruktivistisessa matematiikassa ei
> ole mitään ongelmaa todistaa ja ilmaista, ettei ole olemassa surjektiota
> joka kuvaa jokaisen luonnollisen luvun reaaliluvuksi.
> Mutta kenties tarkoititkin sitä, että esimerkiksi intuitionistit eivät
> hyväksy reaalilukujen kokonaisuutta "valmiina totaliteettina", vaan
> ainoastaan esimerkiksi valintasekvenssien (choice sequence) prosessin
> jatkuvasti tuottamana potentiaalisena totaliteettina?
Ei tässä taida muusta olla kyse kuin siitä, että minulla on
tietojenkäsittelyteoreetikoille tyypillinen ammattitauti suhtautua
epäluuloisesti kaikkeen, mikä ei ole laskettavissa.
Surjektion olemattomuuden todistuksesta ei tietenkään pääse yli
eikä ympäri. Se, mikä hiertää, on tuloksen tulkintaan liittyvä
mielikuva siitä, että ylinumeroituvat joukot ovat numeroituvia
suunnattomasti suurempia. Reaalilukujen desimaaliesityksiä käyttävä
Cantorin diagonalisointitodistus reaalilukujen ylinumeroituvuudelle
voidaan viedä lähes sanatarkasti sellaisenaan läpi tietokoneella
tulostettaville päättymättömille desimaalijonoille ja päättymättömiä
desimaalijonoja tulostavien ohjelmien luettelolle. Lopputulos on
kuitenkin toisenlainen. Nyt ei voida väittää, että luettelon
tulostaminen epäonnistuu siksi, että päättymättömiä desimaalijonoja
tulostavia ohjelmia on liian monta. Ne kun ovat osajoukko kaikista
äärellisistä merkkijonoista, ja niiden luettelo voidaan tulostaa.
Tulokseksi saadaankin, että pysähtymistesteriä ei ole. (Jostakin
mieleeni on iskostunut käsitys, että Turingin alkuperäinen todistus
oli nimenomaan tällainen eikä nykyisin yleensä esitettävä, en pysty
tähän hätään tarkastamaan asiaa.)
Luettelon muodostamisen esteenä ei siis ole alkioiden liian suuri
määrä, vaan jonkinlainen rakenteellinen monimutkaisuus: annetusta
kandidaatista ei aina voida selvittää, kuuluuko se luetteloon.
Haluaisin nähdä ylinumeroituvuuden samoin, siis niin, että
reaalilukuja ei ole liikaa vaan hyväksyttävien päättymättömien
desimaalijonojen joukko on rakenteeltaan liian monimutkainen.
Tämän toteuttamiseksi lienee tarpeellista muuttaa joukko-opissa
jotakin, sillä sen todistaminen että ylinumeroituva joukko ei
voi olla numeroituvan joukon osajoukko taitaa onnistua aika
helposti. Toisaalta joukko-opissa minua vaivaa sekin, että niin
luonnollinen käsite kuin "kaikkien alkioiden joukko" joudutaan
hylkäämään. Tästä muun muassa seuraa, että osajoukkorelaatio ja
kuuluu joukkoon -relaatio eivät ole relaatioita merkityksessä
"tulojoukon osajoukko", koska olettamalla että kumpi tahansa niistä
olisi jonkin tulojoukon osajoukko saataisiin konstruoitua kaikkien
alkioiden joukko.
> En vieläkään ymmärrä mitä tekemistä epätäydellisyydellä ja N:n
> yksikäsitteisyydellä on. Miksi yksikäsitteisesti määritellystä
> entiteetistä pitäisi voida mekaanisesti tuottaa kaikki totuudet?
Minun ajatusmaailmassani ilmaus "yksikäsitteisesti määritelty" ei
sovi yhteen sen kanssa, että on olemassa kohdetta koskeva mielekäs
väittämä, jonka totuusarvo jää auki. Standardimalliin vetoaminen
kyllä eräässä mielessä kiinnittää niidenkin väitteiden totuusarvot,
jotka todistaminen jättää avoimeksi. Mutta se on niin heikko
kiinnitystapa, että jään levottomaksi. Standardimalli on liian
iso ja monimutkainen jotta voisin mieltää sen samalla tavalla
kuin miellän esimerkiksi äärelliset permutaatiot.
> Mitä ihmettä tämä tarkoittaa? Ei matematiikassa tarvita mitään
> "joukko-opin standardimallia".
Totta kai kaikki mikä ZF(C):ssä voidaan todistaa pätee. Mutta myös
ZF(C):ssä on väitteitä, joita ei voi todistaa oikeaksi eikä vääräksi.
Jos minun pitää jostain syystä uskoa N:n yksikäsitteiseen
standardimalliin, niin eikö sitten myös ZF(C):n?
N:n standardimalli on selvästi "pienin" kaikista N:n malleista.
ZF(C):n kanssa asia tuntuu ristiriitaiselta, koska sen "pienin"
malli --- jos sellainen voidaan tunnistaa --- on numeroituva, jolloin
koko ylinumeroituvuuksien hierarkia olisi vain ikäänkuin mallin
sisäinen ilmiö. Taas ollaan siinä, että ylinumeroituvuus olisikin
vain rakenteen monimutkaisuutta, kyvyttömyyttä ilmaista se
surjektio joka hoitaa numeroinnin, mutta joka "ulkopuolelta
katsottuna" on numeroituva.
> Toisen kertaluvun Peanon aritmetiikan
> yksikäsitteisyys on täysin ongelmaton ja sangen ilmeinen matemaattinen
> tosiseikka. Jos sitä haluaa jostakin syystä epäillä, on vaikeaa ymmärtää
> miksi samanlaista epäilyä ei kohdistaisi kaikkiin muihinkin
> samankaltaisiin matematiikan tuloksiin logiikan ulkopuolella.
Aivan.
--- Antti Valmari ---
Valmari Antti
Olin kirjoittanut:
: Lopuksi kannattaa huomata, että reaalilukujen täydellisyysaksioomalle
: voi tehdä saman tempun kuin Peanon induktioaksioomalle, eli korvata
: joukot predikaateilla. Tällöin saadaan numeroituva järjestelmä, jonka
: ominaisuudet ovat kuitenkin melkein samat kuin reaalilukujen.
Tuomas T Korppi kirjoitti:
> Nyt minua kiinnostaisikin tietää, että onko systeemille, jossa
> täydellisyysaksiooma pätee vain kaavalla määritellyille joukoille,
> olemassa jotain luonnollista luokkaa "jatkuvia funktioita", joka toteuttaa
> edellämainitut lauseet.
Jos täydellisyysaksioomassa korvataan joukot predikaateilla, niin
tietysti funktioillekin täytyy tehdä jokin vastaava rajaava temppu,
muutoin homma jää puolitiehen. Luonnollinen arvaus olisi rajoittua niihin
funktioihin, joita vastaava joukko { (x, f(x)) | x reaaliluku } (ts. joukon
jäsenyys) on ilmaistavissa predikaattina. En tiedä mitä siitä tulisi.
Arvaukseni on, että suurin osa tuttua reaalifunktioiden teoriaa menisi
läpi kuten ennenkin. Voin olla rankasti väärässä.
Tässä taitaa olla sellainen seikka, että reaaliluvuilla touhuttaessa
käytetään yleensä paljon käsitteitä, jotka eivät kuulu reaalilukujen
aksiomatisoinnin kieleen. Funktio lienee sellainen käsite. Niinpä, jos
"predikatisoi" täydellisyysaksiooman kuten ehdotin, joutuu "predikatisoimaan"
myöskin niitä käsitteitä, joita lisätään reaalilukujen "päälle", jotta
touhussa olisi järkeä. Tämä taitaakin olla vastaus minua ihmetyttäneeseen
kysymykseen: miksi täydellisyysaksiooman predikatisoinnista ei puhuta,
vaikka se ei ole temppuna kummallisempi kuin induktioaksiooman
predikatisointi.
Mittateoria on tässä yhteydessä erityisen mielenkiintoinen, koska koko
teoria romahtaa, jollei ole ylinumeroituvia joukkoja. Numeroituva
joukkohan on aina nollamitallinen.
--- Antti Valmari ---
Aatu Koskensilta
> Liittyykö tämä pätkä Wikipediasta jotenkin tuohon mitä sanot:
>
> "There is an even more subtle aspect of Gödel's theorems and it is that
> neither asserts that a theory of arithmetic is inconsistent or
> incomplete, only that it cannot be proven to be so if (but not iff)
> meta-interpretation is used to make it into its own proof theory; this
> is because it is indeed possible to prove that the theory of arithmetic
> is both consistent and complete by using a proof theory with
> higher-order induction, per Gentzen's theorem."
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/G%F6del%27s_incompleteness_theorem
Kävin korjaamassa Wikipedian esitystä yllä mainitussa osoitteessa kolmen
ensimmäisen osion kohdalta, jotka olivat kammottavassa kunnossa.
Loputkaan osiot eivät suurimmaksi osin ole kovin hyviä, mutten jaksanut
niitä korjailla...
Aatu Koskensilta
> Ei tässä taida muusta olla kyse kuin siitä, että minulla on
> tietojenkäsittelyteoreetikoille tyypillinen ammattitauti suhtautua
> epäluuloisesti kaikkeen, mikä ei ole laskettavissa.
Minulla on ultra-finitistin ammattitauti suhtautua epäluuloisesti
kaikkeen, mikä ei ole /käytännössä/ laskettavissa. Mielestäni raja
laskettavan ja ei-laskettavan välillä ei ole epistemologisesti niin
merkittävä kuin monet tuntuvat ajattelevan. Otetaan esimerkiksi kysymys
onko a = 7^7^7^7^7^...^7^7^7^7^7 + 5^5^5^5^...^5^5^5^5^5^5 alkuluku.
Tämä on triviaalisti laskettava ongelma, mutta mitä merkitystä tällä
sitten oikeastaan on? Jos saamme joskus selville, onko a alkuluku vai
ei, se tulee tapahtumaan matemaattisella päättelyllä, ei laskennalla. On
jopa mahdollista, että matemaatikot eivät koskaan tule hyväksymään
sellaisia periaatteita oikeiksi, joiden avulla kysymys a:n
alkulukuudesta voitaisiin ratkaista inhimillisesti ymmärrettävissä
olevalla todistuksella (siis tarpeeksi lyhyellä ja selkeällä). Voi siis
olla, että a:n alkulukuus on käytännössä aivan yhtä "epämääräinen" asia
kuin vaikkapa kontinuumin mahtavuus. Tähän voi tietysti vastata, että
a:n alkulukuus on "periaatteessa" aivan erilainen ongelma kuin
kontinuumihypoteesi, mutta mitä tällainen "periaatteellinen" ero
merkitsee matematiikan tulkinnassa?
> Surjektion olemattomuuden todistuksesta ei tietenkään pääse yli
> eikä ympäri. Se, mikä hiertää, on tuloksen tulkintaan liittyvä
> mielikuva siitä, että ylinumeroituvat joukot ovat numeroituvia
> suunnattomasti suurempia.
No, reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin luonnollisten lukujen
joukko. Ei kai tässä tarvita mitään "mielikuvia"?
> Haluaisin nähdä ylinumeroituvuuden samoin, siis niin, että
> reaalilukuja ei ole liikaa vaan hyväksyttävien päättymättömien
> desimaalijonojen joukko on rakenteeltaan liian monimutkainen.
Tässä kuljet aika kauksi tavanomaisesta joukko-opin tulkinnasta, jossa
esimerkiksi nämä surjektiot ja muut oliot ovat "mielivaltaisia", eivätkä
muodosta mitään luonnollista "monimutkaisuuden hierarkiaa". Kenties
sinusta olisi mukavaa, jos kaikki joukot olisivat esimerkiksi jossain
mielessä määriteltäviä?
> Tämän toteuttamiseksi lienee tarpeellista muuttaa joukko-opissa
> jotakin, sillä sen todistaminen että ylinumeroituva joukko ei
> voi olla numeroituvan joukon osajoukko taitaa onnistua aika
> helposti.
Ylinumeroituva joukko ei voi olla numeroituvan osajoukko.
> Toisaalta joukko-opissa minua vaivaa sekin, että niin
> luonnollinen käsite kuin "kaikkien alkioiden joukko" joudutaan
> hylkäämään. Tästä muun muassa seuraa, että osajoukkorelaatio ja
> kuuluu joukkoon -relaatio eivät ole relaatioita merkityksessä
> "tulojoukon osajoukko", koska olettamalla että kumpi tahansa niistä
> olisi jonkin tulojoukon osajoukko saataisiin konstruoitua kaikkien
> alkioiden joukko.
Mielestäni joukko-oppi ei ole "käsiteoppi" tai "luokkaoppi", vaan
kumulatiivisen hierarkian tutkimusta. Luokkaopissa tai käsiteopissa
(esimerkiksi vaikkapa Fregen järjestelmässä) on luonnollista tarkastella
"kaikkien olioiden luokkaa" jne, mutta tämä ei mitenkään sovi kuvaan
kumulatiivisesta hierarkiasta.
>>En vieläkään ymmärrä mitä tekemistä epätäydellisyydellä ja N:n
>>yksikäsitteisyydellä on. Miksi yksikäsitteisesti määritellystä
>>entiteetistä pitäisi voida mekaanisesti tuottaa kaikki totuudet?
>
> Minun ajatusmaailmassani ilmaus "yksikäsitteisesti määritelty" ei
> sovi yhteen sen kanssa, että on olemassa kohdetta koskeva mielekäs
> väittämä, jonka totuusarvo jää auki.
Jää auki miten? Siten ettei ole olemassa mekaanista menetelmää ratkaista
jokaisen väitteen totuutta tai epätotuutta? Miksi ihmeessä tällainen
mekanismi olisi olemassa?
> Standardimalliin vetoaminen
> kyllä eräässä mielessä kiinnittää niidenkin väitteiden totuusarvot,
> jotka todistaminen jättää avoimeksi. Mutta se on niin heikko
> kiinnitystapa, että jään levottomaksi. Standardimalli on liian
> iso ja monimutkainen jotta voisin mieltää sen samalla tavalla
> kuin miellän esimerkiksi äärelliset permutaatiot.
Minusta standardimalli, t.s. luonnollisten lukujen rakenne on sangen
yksinkertainen ja täysin selkeä, mutta tämä lienee makuasia. Mutta jos
olet todella kiinnostunut vain laskettavista asioista, miksei
Tennenbaumin lause, joka sanoo, että jokainen PA:n rekursiivinen malli
on isomorfinen luonnollisten lukujen kanssa, poista epäilyksiäsi N:n
yksikäsitteisyydestä?
>>Mitä ihmettä tämä tarkoittaa? Ei matematiikassa tarvita mitään
>>"joukko-opin standardimallia".
>
> Totta kai kaikki mikä ZF(C):ssä voidaan todistaa pätee. Mutta myös
> ZF(C):ssä on väitteitä, joita ei voi todistaa oikeaksi eikä vääräksi.
Niin, ja emme luultavasti koskaan saa tietää aivastiko Mooses 12:na
syntymäpäivänään. Mitä tämä kertoo väitteen totuudesta, epätotuudesta
tai määräytymättömyydestä? Voi tietysti olla, että kuvamme
kumulatiivisesta hierarkiasta on niin epämääräinen, että sen perusteella
ei voi vaikkapa ratkaista kontinuumihypoteesia suuntaan tai toiseen.
Mutta silti on triviaali totuus, että joko kontinuumihypoteesi on totta
tai sitten ei, t.s. joko on olemassa reaalilukujen osajoukko, joka on
mahtavuudeltaan c:n ja alef_0:n välissä tai sitten ei. Samaten
useimmille joukko-opin tutkijoille on selvää, että
konstruktiivisuusaksiooma ei päde, että on olemassa saavuttamaton
kardinaali, jne. Näistä mikään ei ole ratkeava ZFC:ssä, mutta ei se estä
meitä saamasta selville niiden totuutta.
> Jos minun pitää jostain syystä uskoa N:n yksikäsitteiseen
> standardimalliin, niin eikö sitten myös ZF(C):n?
N on matemaattinen rakenne ja ZFC formaali teoria. ZFC:llä ei ole
standardimallia siksi, että normaalisti mallien universumit ovat
joukkoja, ja kumulatiivinen hierarkia ei ole joukko. Joukko-opin
kielellä (ja siten ZFC:n aksioomilla) on tietysti luonnollinen tulkinta,
jossa muuttujat käyvät kumulatiivisen hierarkian joukkojen yli. Mutta
jos N on sinusta epämääräinen, miksi luotat vaikkapa malliteoreettisiin
käsitteisiin, joista suurin osa nojaa joukko-oppiin? Jos minä epäilisin
N:n yksikäsitteisyyttä, olisin luultavasti erittäin epäluuloinen myös
sellaisia käsitteitä kuin "isomorfismi" tai vaikkapa "elementaarisesti
ekvivalentti" kohtaan...
> N:n standardimalli on selvästi "pienin" kaikista N:n malleista.
> ZF(C):n kanssa asia tuntuu ristiriitaiselta, koska sen "pienin"
> malli --- jos sellainen voidaan tunnistaa --- on numeroituva, jolloin
> koko ylinumeroituvuuksien hierarkia olisi vain ikäänkuin mallin
> sisäinen ilmiö. Taas ollaan siinä, että ylinumeroituvuus olisikin
> vain rakenteen monimutkaisuutta, kyvyttömyyttä ilmaista se
> surjektio joka hoitaa numeroinnin, mutta joka "ulkopuolelta
> katsottuna" on numeroituva.
Ylinumeroituvuus on tietyssä mielessä mallin sisäinen ominaisuus tai
teknisemmin: ylinumeroituvuus ei ole absoluuttinen käsite, t.s. sen
tulkinta riippuu mallista. Mutta joukko-opissa käsittelemme
kumulatiivista hierarkiaa, joka sisältää kaikki mahdolliset joukot. Ei
oel mielekästä väittää, että olemme jotenkin "unohtaneet" jonkin
bijektion kumulatiivisesta hierarkiasta. Määritelmällisesti
kumulatiivinen hierarkia sisältää kaikki joukot. Toisin kuin esimeriksi
N:ää tai reaalilukujen järjestelmää, ei kumulatiivista hierarkiaa voi
karakterisoida tyhjentävästi edes millään korkeamman kertaluvun
lausejoukolla: mille tahansa "rakenteelliselle" ominaisuudelle, jonka
voimme muotoilla ja joka pätee kumulatiivisessa hierarkiastaa, löytyy
joukko, jossa tämä ominaisuus myöskin pätee. Tämä on ns.
joukko-opillisen reflektion periaate. (Se on epämuodollinen periaate,
josta voimme yrittää johtaa erilaisia muodollisia periaatteita, joista
osa on todistuva jo ZFC:ssä ja osa ei, koska niistä seuraa esimerkiksi
joidenkin suurten kardinaalien olemassaolo).
>>Toisen kertaluvun Peanon aritmetiikan
>>yksikäsitteisyys on täysin ongelmaton ja sangen ilmeinen matemaattinen
>>tosiseikka. Jos sitä haluaa jostakin syystä epäillä, on vaikeaa ymmärtää
>>miksi samanlaista epäilyä ei kohdistaisi kaikkiin muihinkin
>>samankaltaisiin matematiikan tuloksiin logiikan ulkopuolella.
>
> Aivan.
Epäiletkö sitten moniakin esimerkiksi analyysin tuloksia?
Salomon Janhunen
>
> Otetaan esimerkiksi kysymys onko
> a = 7^7^7^7^7^...^7^7^7^7^7 + 5^5^5^5^...^5^5^5^5^5^5 alkuluku.
Se on parillinen, joten se ei ole alkuluku. Todistus jätetään
harjoitustehtäväksi.
Kalle Kivimaa
> Se on parillinen, joten se ei ole alkuluku. Todistus jätetään
> harjoitustehtäväksi.
Jos kyseessä olisi äärellinen määrä seiskoja ja vitosia, todistus
olisi triviaali. Mutta säilyykö todistuksen triviaalisuus siinäkin
tapauksessa, että kyseessä on ääretön määrä (jolloin käsittääkseni
kumpikaan luku ei kuulu enää luonnollisten lukujen joukkoon)?
Salomon Janhunen
>
> Mutta säilyykö todistuksen triviaalisuus siinäkin tapauksessa, että
> kyseessä on ääretön määrä (jolloin käsittääkseni kumpikaan luku ei
> kuulu enää luonnollisten lukujen joukkoon)?
>
Mihin joukkoon ne tässä tapauksessa kuuluvatkaan, ja montako alkiota
joukossa on? Tässä on homman ydin.
Risto Paasivirta
Kalle Kivimaa <nos...@killeri.net> wrote:
>Jos kyseessä olisi äärellinen määrä seiskoja ja vitosia, todistus
>olisi triviaali. Mutta säilyykö todistuksen triviaalisuus siinäkin
>tapauksessa, että kyseessä on ääretön määrä (jolloin käsittääkseni
>kumpikaan luku ei kuulu enää luonnollisten lukujen joukkoon)?
Siinä tapauksessa tulos ei ainakaan ole alkuluku, kun se on triviaalisti
paitsi parillinen, myös jaollinen kaikilla luonnollisilla luvuilla > 0...
Risto
--
main(int a,char**b){for(a=atoi(b[1]);printf("%d ",a),a>1;a=a&1?a*3+1:a/2);}