Matematiikkakin suhteellinen totuus? (Oli: Ideat...)
Walter Kotiaho
materialistille?" olen joutunut väittelyyn jossa kiistakumppanini
väittää että matemaattiset totuudet eivät olekkaan mitään
absoluuttisia totuuksia. Onko minulla nyt jotain opiksi otettavaa
vai kuinka on asia?)
Miikka Lahti <miil...@cc.jyu.fi> writes:
> Nykyisin tiedetään, että Pythagoraan lausekin perustuu täysin
> sopimuksiin siitä, mitä tarkoitetaan kolmiolla, sen sivuilla, sivujen
> pituuksilla yms. (voidaan aivan hyvin konstruoida geometria, jossa
> Pythagoraan lause ei päde). Vastaavasti hyväksytyt päättelytavatkin ovat
> viime kädessä vain sopimuksia, eivät jumalallista muotoa.
>
Tarkoitinkin nimenomaan sitä että käsittääkseni et voi irtisanoutua
Pythagoraan lauseesta kun lause on määritelty tietyillä aksioomilla.
PL ei tietenkään päde vaikkapa pallopinnalla olevalle kolmiolle.
Vai voiko tasossa olevan suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituus
olla jotain muuta kuin mitä PL antaa, kun käsite "pituus" on määritelty
niinkuin on?
> Esim. jonkun Newtonin integroinneilla on ollut vain historiallista
> arvoa, sen jälkeen kun tarkempi analyysi keksittiin 1800-luvulla.
> Vastaava pätee erityisesti kreikkalaisiin.
>
Eli Newtonin integroinnit eivät pitäneetkään paikkaansa? En osaa
väitettäsi muullakaan tavoin ymmärtää.
> Kukaan ei ehkä olla "vakavasti erimieltä", koska kuten jo sanottu,
> yksimielisyys on sen verran suurta, että erimielisiä ei oteta vakavasti.
>
Eli kun Andrew Wiles todisti että Fermatin lause pätee vain
erikoistapauksissa, niin hän ei oikeastaan _todistanutkaan_ mitään
vaan esitti vain jotain mistä kukaan matemaatikko ei juuri nyt viitsi
olla eri mieltä?
> Matematiikka eroaa (tieteistä) muista nimenomaan siinä, että
> asioista vallitsee suurempi yksimielisyys. Siis aste-ero, ei
> periaatteellista eroa.
>
Joo...olen elänyt tähän saakka käsityksessä että ylläoleva ei pidä
paikkaansa.
--
Walter
Tuomas T Korppi
: absoluuttisia totuuksia. Onko minulla nyt jotain opiksi otettavaa
: vai kuinka on asia?)
Matematiikan absoluuttisuuskysymys on vaikea ja mielenkiintoinen, eikä
siitä käsittääkseni vallitse mitään konsensusta. Matematiikan
absoluuttisuuteen uskomisessa ei ole mitään hävettävää, ja monet pätevät
tyypitkin uskovat siihen.
: Miikka Lahti <miil...@cc.jyu.fi> writes:
:> Pythagoraan lause ei päde). Vastaavasti hyväksytyt päättelytavatkin ovat
:> viime kädessä vain sopimuksia, eivät jumalallista muotoa.
Logiikan päättelysäännöt ovat vahvasti sidoksissa kieleen, ja siihen,
mitä tarkoitamme sellaisilla sanoilla kuin "ja", "tästä seuraa", "kaikki" ja
niin edelleen. Itse uskonkin, että jos muuttaisimme näitä koskevia
logiikan päättelysääntöjä, tulisimme samalla implisiittisesti
muuttaneeksi sanojen "ja", "tästä seuraa", "kaikki" jne merkityksiä.
Näin ne eivät ole jumalallista muotoa tai mielivaltaisia konventioita,
vaan suoraa seurausta inhimillisestä ajattelutavasta ja kielen
rakenteesta.
Joskus olen kuullut sanottavan, että puhdas matematiikka tutkii
käsitteitä, ei todellisuutta, ja tässä on mielestäni vinha perä.
: Vai voiko tasossa olevan suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituus
: olla jotain muuta kuin mitä PL antaa, kun käsite "pituus" on määritelty
: niinkuin on?
Ei. Pythagoraan lause on välttämätön seuraus tavastamme hahmottaa
tila euklidisena avaruutena ja pituuden käsitteestämme.
:> Esim. jonkun Newtonin integroinneilla on ollut vain historiallista
:> arvoa, sen jälkeen kun tarkempi analyysi keksittiin 1800-luvulla.
:> Vastaava pätee erityisesti kreikkalaisiin.
:>
: Eli Newtonin integroinnit eivät pitäneetkään paikkaansa? En osaa
: väitettäsi muullakaan tavoin ymmärtää.
Newton integroi aivan oikein. Ongelma oli vain se, että hän ei kyennyt
kunnolla selittämään sitä, kuinka hänen integrointimenetelmänsä
todistetaan oikeaksi. 1800-luvulla luotiin differentiaali- ja
integraalilaskennalle kunnollinen taustateoria, josta käsin Newtonin
integroinnissa käyttämät kaavat voidaan johtaa. Ennen 1800-lukua
analyysissä tehtiin käsittääkseni joitain yksittäisiä virheitä joidenkin
hyvin kummallisten funktioiden ja alueiden tapauksessa, kun ilman
taustateoriaa ei ymmärretty kunnolla sitä, kuinka "siistejä" olioiden on
oltava, jotta analyysiä voitaisiin kunnolla soveltaa. Kuitenkin
viittaamani "epäsiistit" tapaukset ovat sellaisia, että niillä on
lähinnä vain teoreettista mielenkiintoa, ja käytännön sovelluksissa
niitä ei synny.
Kuriositeettina mainittakoon, että Newton integroinnin oikeutuksessaan
viittasi "infinitesimaalisen pieniin" lukuihin, ja 1800-luvun
taustateorian kehityksen tuloksena saatiin selville, että
differentiaali- ja integraalilaskenta voidaan johtaa olettamatta
infinitesimaalisen pieniä lukuja. Sitten, 1960-luvulla Abrahan Robinson
kehitti taustateorian (hyväksytyistä matematiikan periaatteista käsin),
joka oikeuttaa myös infinitesimaaleihin viittaavat päättelyt. Robinsonin
tulokset tunnetaan nimellä "Epästandardi analyysi", ja niiden
oikeellisuus on yleisesti hyväksyttyä. Kuitenkin nykyinen analyysin
kehitys tapahtuu ilman infinitesimaaleja, lähinnä kai siksi, että
Robinsonin infinitesimaalit eivät ole teknisesti aivan helppoja
käsitellä, ja niitä ilmankin tullaan loistavasti toimeen.
:> Kukaan ei ehkä olla "vakavasti erimieltä", koska kuten jo sanottu,
:> yksimielisyys on sen verran suurta, että erimielisiä ei oteta vakavasti.
Käsittääkseni konstruktivistinen/intuitionistinen matematiikka on
jonkunlainen esimerkki poikkeavasta matematiikasta, jota nyt ei aina
aivan puppunakaan sivuuteta.
: Eli kun Andrew Wiles todisti että Fermatin lause pätee vain
: erikoistapauksissa, niin hän ei oikeastaan _todistanutkaan_ mitään
: vaan esitti vain jotain mistä kukaan matemaatikko ei juuri nyt viitsi
: olla eri mieltä?
Hän todisti, että Fermatin lause on välttämätön seuraus nykyisestä
tavasta harjoittaa matematiikkaa. Kenen tahansa, joka hyväksyy
matematiikan perusperiaatteet, on välttämättä kyväksyttävä myös Fermatin
lause. Samanmielisyydessä on siis kyse enemmästäkin kuin viitsimisessä.
:> Matematiikka eroaa (tieteistä) muista nimenomaan siinä, että
:> asioista vallitsee suurempi yksimielisyys. Siis aste-ero, ei
:> periaatteellista eroa.
:>
: Joo...olen elänyt tähän saakka käsityksessä että ylläoleva ei pidä
: paikkaansa.
Siinä on periaatteellinenkin ero. Matematiikassa lähtökohdat saattavat
vaatia "hyväksyntää", mutta matematiikassa, toisin kuin muissa
tieteissä, voidaan tämän jälkeen tehdä tuloksia, joita kaikkien niiden,
jotka hyväksyvät matematiikan lähtökohdat, on pidettävä pätevinä. Muissa
tieteissä voi syntyä erimielisyyksiä paitsi siinä, mitkä
perusperiaatteet hyväksytään, myös siinä, kuinka niitä perusperiaatteita
sovelletaan. Kiitos 1900-luvun alkupuoliskon loogikoiden, (puhtaan)
matematiikan hyväksyntää vaativa osa (klassinen logiikka, ZFC-joukko-oppi)
on saatu esitettyä hyvin selkeässä ja eksplisiittisessä muodossa.
--
http://www.helsinki.fi/%7ekorppi/ TUOMAS
** Kanuunoita sijoitettiin ympäri planeettaa ja ne ***********
** naamioitiin puolustuslaitteiksi, jotta kukaan ei olisi ****
** epäillyt mitään. (Stanislaw Lem: Kyberias) ****************
Timo Korvola
> väittää että matemaattiset totuudet eivät olekkaan mitään
> absoluuttisia totuuksia.
Kuulostaa postmodernilta paskanjauhannalta. Tästähän keskusteltiin
aika tavalla viitisen vuotta sitten sen Sokalin pikku pilan jälkeen.
Jatkot s.k.filosofiaan.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Risto Karttunen
> kiistakumppanini
>väittää että matemaattiset totuudet eivät olekkaan mitään
>absoluuttisia totuuksia. Onko minulla nyt jotain opiksi otettavaa
>vai kuinka on asia?
>
Eiköhän tässä ole kyse vain siitä, että 1+1=2 ei ole "absoluuttinen
totuus" sikäli että Boolen algebrassa 1+1=1.
Eli se, mitä mallia käytetään, on jossakin määrin sopimuskysymys.
Mutta kun malli on valittu, vaikkapa Peano-aritmetiikka, niin sitten
ei tietenkään ole aihetta sanoa esim. että 1+1=2 myös ensi vuonna tai
muilla planeetoilla.
Myös mallin rakentaminen on jossakin määrin sopimuksenvaraista.
Aksioomien valinnassa on vapautta. Määrittelisitkö esim. luvun 1
joukkona, jossa on vain tyhjä joukko? Vai etkö määrittelisi lukua 1
mitenkään?
--
risto
Walter Kotiaho
> Kuulostaa postmodernilta paskanjauhannalta. Tästähän keskusteltiin
> aika tavalla viitisen vuotta sitten sen Sokalin pikku pilan jälkeen.
>
matematiikka on absoluuttinen totuus vaiko väite että se ei ole
absoluuttinen totuus? Vaiko se, että asiasta on tehty ongelma,
riippumatta siitä onko jompikumpi ylläolevista väitteistä
paikkaansapitävä?
> Jatkot s.k.filosofiaan.
>
Vasta täsmennyksen jälkeen.
--
Walter
Vesa Monisto
> "Walter Kotiaho" kirjoitti:
>> ... kiistakumppanini väittää että matemaattiset totuudet
>> eivät olekkaan mitään absoluuttisia totuuksia.
>> Onko minulla nyt jotain opiksi otettavaa vai kuinka on asia?
>
> Eiköhän tässä ole kyse vain siitä, että 1+1=2 ei ole "absoluuttinen
> totuus" sikäli että Boolen algebrassa 1+1=1.
Kysessä ei ole myöskään "relatiivinen totuus" (kuten joku saattaisi
"absoluuttisen totuuden" kieltämisestä virheellisesti päätellä).
Euklidisessa avaruudessa ei piin arvolle ole arvovaihtoehtoja, vaikka
suhde voidaan kuvata ilman piitäkin (trigonometria, e, jne).
1) Aritmeettinen totuus "1+1=2" tukeutuu nolladivergenssin periaatteelle
eli yhtäläisyysmerkin molemmilla puolilla tulee aina säilyä yhtä paljon
"tavaraa" -- muunneltiin ilmaisuja miten tahansa. Tuo pätee myös
supistamiseen ja laventamiseen eli skaalaa vaihdettaessa (suhteita
pelkistettäessä). Divergenssi (= tavaran ilmaantuminen tai katoaminen
toispuolisesti) olisi laskuvirhe eli vastoin ohjelmointiperiaatetta.
2) Boolen totuus "1+1=1" on looginen/logistinen totuus, EI aritmeettinen
tai edes algebraalinen totuus, vaikka nimikkeenä onkin "Boolen algebra".
Ilmaisu "1+1=1" ei ole matemaattinen vaan looginen ilmaisu, 1 TAI 1 ON 1,
jossa "TAI" voidaan tulkita eksklusiiviseksi eli XOR
(= jompi kumpi, EI molemmat) tai inklusiiviseksi eli IOR
(= joko 'eka tai toka' tai molemmat). (Merkki "+" on aina XOR.)
Boole ilmaisi periaatteensa näin:
| "The class X and the class not-X together make the Universe.
| But the universe is 1, and the class X is determined
| by the symbol x, therefore the class not-X will be determined
| by the symbol 1-x."
(George Boole: The mathematical Analysis of Logic, 1847)
Siis 'universumi tai universumi on universumi'.
> Eli se, mitä mallia käytetään, on jossakin määrin sopimuskysymys.
Yep!, samoja semioottisia merkkejä voidaan käyttää monissa erilaisissa
viitekehyksissä (ohjelmissa), joiden sekoittaminen olisi typertelyä.
Aritmeettinen "1+1=2" ja Boolen "1+1=1" eivät istu samaan 'karsinaan',
vaikka semioottisten jälkien tarkastelija voisi erehtyä niin uskomaan.
> Mutta kun malli on valittu, vaikkapa Peano-aritmetiikka, niin sitten
> ei tietenkään ole aihetta sanoa esim. että 1+1=2 myös ensi vuonna tai
> muilla planeetoilla.
Yes!, ja Peanollakin oli kaksi systeemiä (ensimmäinen aksioma postuloi
aloitteeksi joko ykkösen tai nollan, mikä sekoitti datakoodaukset
ja osoitekoodaukset, joita sovelteita matematiikassa ei erotella).
Koodien sovellettavuus ja mallinnettavuus jätetään ohjelmoijan asiaksi.
> Myös mallin rakentaminen on jossakin määrin sopimuksenvaraista.
> Aksioomien valinnassa on vapautta.
Aksiomointi/postulointi on *täysin* vapaata (sanoivat formalistit),
mutta pyrittäessä pragmaattiseen käyttökelpoisuuteen/hyödyllisyyteen
valitaan sovellusalueen systemointiin parhaiten istuva aksiomatiikka.
Toisin sanoen yksiä ja samoja merkkejä voidaan käyttää monissa
erilaisissa viitekehyksissä (= ohjelmissa, teorioissa) eli moisia
merkkejä sanotaan joskus 'yliladatuiksi' ('over-loaded') ja niitä voi
erityisissä tilanteissa myös sopeuttaa, 'yliajaa' (= 'over-riding').
Myös yhtäläisyysmerkillä "=" ilmaistaan milloin yhtäsuuruutta (1+1=2)
milloin sijoitusta (x=5), milloin definitiota, milloin laskulakia jne.
- Esimerkiksi pii on euklidisen tasogeometrian vakiosuhde, joka
ei päde epäeuklidisissa tapuksissa (ellipsoidi- tai satulapinnoilla).
- Sen 'filosofointi', olisiko pii 'annettu luonnosta vai hermosolukosta'
on joutavaa, koska pii on euklidiseksi idealisoidun koordinaatiston
vakio (kuten Pythagoraan teoreema, neliön lävistäjän suhde kylkeen, yms).
- Myös matemaattinen luovuus on vuorovaikutus- ja idealisointi-ilmiö,
fregeläinen suhde pikemmin kuin 'termiinistä' tai toisesta "annettu
absoluuttinen olio". - Ideana on tietenkin tuottaa ideaaleja ja
vakioina pysyviä standardeja, joilla luonnossa havaittavaa variaatiota
voi käsitellä "yksinkertaisesti, helposti ja käyttäjäystävällisesti"
eli vakioisella (standardisoidulla) ohjelmallisella tavalla.
Vertailemalla kahta suuretta mielivalataiseen standardiin saadaan niiden
keskinäinen vertailu (yhdentekevää, mitataanko 'metreissä vai jaardeissa').
- Moraalinen ongelma on siinä, kannattaako episteemisen kulttuurin
'sisälle kasvaneelle' availla ohjelmallisia struktuureita, joita kaikki
episteemiset oliot eivät kykenisi jälleen ehjiksi/toimiviksi kokoamaan.
- 'Matemaattinen platonismi' lienee helpoin ja riittävä useimmille.
Protonin ja elektronin massojen suhde on 1-säteisen ympyrän evolventin
ja pii-säteisen ympyrän sykloidin alan tulo, siis 2Pi^2 * 3Pi^3 = 6Pi^5.
V.M.
(Pii on "annettu" euklidisen tasokehän ja -halkaisijan suhteesta.)
Sampo Smolander
Esimerkiksi sen pohtiminen, voiko jumala luoda niin ison
kiven ettei itse jaksa nostaa sitä, on paskanjauhantaa.
> Onko sitä väite, että matematiikka on absoluuttinen totuus vaiko
> väite että se ei ole absoluuttinen totuus? Vaiko se, että asiasta on
> tehty ongelma, riippumatta siitä onko jompikumpi ylläolevista
> väitteistä paikkaansapitävä?
Kaikki. Ongelma ei ole siinä, mitä matematiikka on tai ei ole
(eikä vastaus löydy sitä kautta), vaan siinä mitä sinä tai
minä tai kieli haluaa tarkoittaa "absoluuttisella totuudella".
Koska ilmaisua "absoluuttinen totuus" ei ole määritelty,
vaan jokainen keskustelija voi tulkita asioita oman päänsä
mukaan, niin jauhamista voi jatkaa loputtomiin.
Yritä vaikka kysyä siltä kiistakumppaniltasi, onko hänen
mielestään absoluuttisia totuuksia ollenkaan olemassa
(ja mitä ne ovat) ennen kuin sotket matematiikan mukaan.
HTH.
--
Sampo Smolander at Helsinki Fi..http://www.cs.helsinki.fi/~ssmoland/
"Grandmothers gave birth to the human race simply by refusing to die
when their ovaries did." - Kristen Hawkes
Risto Karttunen
> Ilmaisu "1+1=1" ei ole matemaattinen vaan looginen ilmaisu
Sopimuksen varaista sekin, mitä kaikkea "matematiikalla" ymmärretään.
Ainakin matematiikan nk. perusteiden tutkimus on lähinnä logiikkaa.
--
risto
Hansen Henri
: Eiköhän tässä ole kyse vain siitä, että 1+1=2 ei ole "absoluuttinen
: totuus" sikäli että Boolen algebrassa 1+1=1.
: Eli se, mitä mallia käytetään, on jossakin määrin sopimuskysymys.
Sopimuskysymys tulee vastaan myös paljon syvällisemmällä tasolla (vaikka
onkin edelleen sopimuskysymys). Päättelyn validiuden sopimusluonnetta
kuvaava ongelma tunnetaan Carrollin paradoksina.
Eli jos meillä on "A" ja "A => B", niin meidän on lupa päätellä B, jos
meillä on päättelysääntö X1, joka sanoo "jos A ja A=>B, niin B". Jotta
tästä olisi lupa päätellä B, täytyy implisiittisesti olettaa sääntö X2,
joka sanoo "X1 ja A ja A=>B", jne ad infinitum. Jossain vaiheessa täytyy
vain sanoa, että näin nyt tehdään, koska niin on sovittu.
--
"Lu·na", n. (Roman Mythology): The goddess of the moon.
"tic", n. : A habitual spasmodic muscular movement or contraction, usually
of the face or extremities.
Joel Yliluoma
> 2) Boolen totuus "1+1=1" on looginen/logistinen totuus, EI aritmeettinen
> tai edes algebraalinen totuus, vaikka nimikkeenä onkin "Boolen algebra".
> Ilmaisu "1+1=1" ei ole matemaattinen vaan looginen ilmaisu, 1 TAI 1 ON 1,
> jossa "TAI" voidaan tulkita eksklusiiviseksi eli XOR
> (= jompi kumpi, EI molemmat) tai inklusiiviseksi eli IOR
> (= joko 'eka tai toka' tai molemmat). (Merkki "+" on aina XOR.)
1 XOR 1 ei kylläkään ole 1.
--
Joel Yliluoma - http://bisqwit.iki.fi/
: comprehension = 1 / (2 ^ precision)
: Try to be as precise as can be and no one will comprehend what you mean.
: Say nothing, and everybody will understand.
Tuomas T Korppi
: Eiköhän tässä ole kyse vain siitä, että 1+1=2 ei ole "absoluuttinen
: totuus" sikäli että Boolen algebrassa 1+1=1.
Minusta tässä on kyse enemmästäkin.
: Eli se, mitä mallia käytetään, on jossakin määrin sopimuskysymys.
: Mutta kun malli on valittu, vaikkapa Peano-aritmetiikka, niin sitten
: ei tietenkään ole aihetta sanoa esim. että 1+1=2 myös ensi vuonna tai
: muilla planeetoilla.
Peanon aritmetiikka on aksioomasysteemi, ei malli. Joukko-opissa Peanon
aritmetiikalla on useita keskenään ei-isomorfisia, ja myös useita
keskenään ei-elementaarisesti ekvivalentteja malleja.
: Myös mallin rakentaminen on jossakin määrin sopimuksenvaraista.
: Aksioomien valinnassa on vapautta. Määrittelisitkö esim. luvun 1
: joukkona, jossa on vain tyhjä joukko? Vai etkö määrittelisi lukua 1
: mitenkään?
Kun rakennamme _malleja_ (siis ei aksioomajoukkoja, jotka ovat vain
merkkijonojoukkoja, ja siksi melko helppo ja yksinkertainen tapaus),
tarvitsemme jonkunlaiset säännöt sille, millaisia askeleita
konstruktioissa saa tehdä, ja näiden sääntöjen valitseminen ei ole
mitenkään itsestäänselvää. Yleensä kai lähdetään siitä, että ZF:ää saa
käyttää, ja erimielisyyksiä on esiintynyt mm. seuraavissa:
- valinta-aksiooma (nykyisin yleisesti hyväksytty)
- kontinuumihypoteesi (yleensä kai katsotaan, että tästä ei voida sanoa
juuta tai jaata)
- älyttömän isot kardinaaliluvut (jakavat mielipiteitä)
Jukka Kohonen
>In sfnet.tiede.matematiikka Risto Karttunen <ti...@iobox.fi> wrote:
>
>Peanon aritmetiikka on aksioomasysteemi, ei malli.
Tässä kohtaa lienee syytä mainita, että matemaattisessa logiikassa
sanaa "malli" käytetään tavalla, joka johtaa maallikon helposti
harhaan.
Muilla tieteenaloilla (esim. tn-laskenta, fysiikka jne.) malli on
yleensä se väline, jolla puhutaan jostain kohteesta:
malli --> kohde
Matemaattisessa logiikassa taas kohde (jokin perusjoukko plus
aakkoston symbolien tulkinnat) on nimeltään "malli", ja se väline,
jota muualla tyypillisesti sanottaisiin malliksi, onkin nimeltään
aksioomasysteemi (tai teoria):
teoria --> malli
Tämän huomioiden ei liene yllättävää, että henkilöt, jotka
tavallisesti viettävät aikansa muiden tieteenalojen parissa,
nimittävät usein aksioomasysteemejä malleiksi. Nehän _ovat_ malleja
sanan yleisemmässä merkityksessä.
(Joo, ei tarvii kertoa että matemaattinen logiikka käyttää kielen
sanoja oikein ja kaikki muut väärin. Näinhän tietysti on.)
--
Jukka....@iki.fi
A. Top posters.
Q. What is the most annoying thing on Usenet?
Jukka Kohonen
>- -
>2) Boolen totuus "1+1=1" on looginen/logistinen totuus, EI aritmeettinen
>tai edes algebraalinen totuus, vaikka nimikkeenä onkin "Boolen algebra".
>Yep!, samoja semioottisia merkkejä voidaan käyttää monissa erilaisissa
>viitekehyksissä (ohjelmissa), joiden sekoittaminen olisi typertelyä.
>fregeläinen suhde pikemmin kuin 'termiinistä' tai toisesta "annettu
>absoluuttinen olio". - Ideana on tietenkin tuottaa ideaaleja ja
>- Moraalinen ongelma on siinä, kannattaako episteemisen kulttuurin
>[noin 100 riviä samaa kamaa]
Näyttää postmodernilta idiosynkraattisten sanojen pyörittelyltä.
Muista myös mainita Hegel, nomadit ja laavalamppu.
>Protonin ja elektronin massojen suhde on 1-säteisen ympyrän evolventin
>ja pii-säteisen ympyrän sykloidin alan tulo, siis 2Pi^2 * 3Pi^3 = 6Pi^5.
Ei ainakaan nykyisten tietojen mukaan. The NIST Reference on Constants,
Units, and Uncertainty antaa massojen suhteeksi 7 desimaalilla
1 836.152 6675,
kun taas 6*pi^5 antaa samalla tarkkuudella tuloksen
1 836.118 1087.
(Vaikka NIST antaakin virhearvioksi 0.000 0039, ei kaavallasi saatu
yli 0.03:n suuruinen virhe oikein sovi kuvaan.)
Follarit asetettu.
Hansen Henri
: Peanon aritmetiikka on aksioomasysteemi, ei malli. Joukko-opissa Peanon
: aritmetiikalla on useita keskenään ei-isomorfisia, ja myös useita
: keskenään ei-elementaarisesti ekvivalentteja malleja.
Tämä ero on usein hyvin vaikea ymmärtää. Lisäksi tässä on se ongelma, että
mallin käsitteen formalisoiminen tehdään yleensä vähän löyhästi. En siis
tarkoita formalisoimilla tässä formalisointia tiukassa mielessä, vaan
sitä, että malleista ei yleensä puhuta aksioomasysteemien kanssa kovin
tarkasti.
: Kun rakennamme _malleja_ (siis ei aksioomajoukkoja, jotka ovat vain
: merkkijonojoukkoja, ja siksi melko helppo ja yksinkertainen tapaus),
: tarvitsemme jonkunlaiset säännöt sille, millaisia askeleita
: konstruktioissa saa tehdä, ja näiden sääntöjen valitseminen ei ole
: mitenkään itsestäänselvää. Yleensä kai lähdetään siitä, että ZF:ää saa
: käyttää, ja erimielisyyksiä on esiintynyt mm. seuraavissa:
Mitä tarkoittaa aksioomien "käyttäminen" mallia rakennettaessa? Kysymyksen
on tarkoitus johdattaa mallin sopimusluonteen tarkasteluun.
: - valinta-aksiooma (nykyisin yleisesti hyväksytty)
Jeps, ja valinta-aksiooma jos mikä on sopimuskysymys. Kannattaa myös
muistaa, että vaikka valinta-aksioomalla on joitan "epäintuitiivisia"
seurauksia, sen "intuitiiviset" seuraukset/vaihtoehtoiset muotoilut ovat
useimpien mielestä niin hyödyllisiä, että valinta-aksiooma kannattaa
hyväksyä.
: - kontinuumihypoteesi (yleensä kai katsotaan, että tästä ei voida sanoa
: juuta tai jaata)
En ole vielä kuullut kontinuumihypoteesistä seuraavan mitään sellaista,
miksi se pitäisi hyväksyä tai hylätä. Ei ole siis ollut mitään syytä sopia
tai olla sopimatta tästä mitään.
Tuomas T Korppi
: Mitä tarkoittaa aksioomien "käyttäminen" mallia rakennettaessa? Kysymyksen
: on tarkoitus johdattaa mallin sopimusluonteen tarkasteluun.
Joukko-opin aksioomat ovat luonteeltaan (lukuunottamatta perustus- ja
ekstensionaalisuusaksioomaa) eksistenssilauseita, ts. ne julistavat,
että annetuista joukoista voidaan muodostaa tietynlaisia uusia joukkoja.
Aksioomien käyttämisellä tarkoitin tässä sitä, että konstruktiossa
tehtävät matemaattiset oliot ovat sellaisia, että niiden olemassaolo
seuraa joukko-opin eksistenssilauseista.
Kun puhutaan logiikan kalkyylien malleista sinänsä, perusidea, että
otetaan joukko perusalkioita, ja määritellään niille predikaatteja vastaavia
relaatioita on hyvin luonnollinen, ja tässä perusideassa ei mielestäni
esiinny "sopimuksille" ominaista mielivaltaisuutta. Ongelma on vain se,
ettei a priori ole selvää, millaisia olioita kannattaa hyväksyä
joukoiksi, ja tässä sopimuksille ominainen vapaus tulee peliin.
: : - valinta-aksiooma (nykyisin yleisesti hyväksytty)
: Jeps, ja valinta-aksiooma jos mikä on sopimuskysymys. Kannattaa myös
: muistaa, että vaikka valinta-aksioomalla on joitan "epäintuitiivisia"
: seurauksia, sen "intuitiiviset" seuraukset/vaihtoehtoiset muotoilut ovat
: useimpien mielestä niin hyödyllisiä, että valinta-aksiooma kannattaa
: hyväksyä.
Mielestäni valinta-aksioomalle voidaan antaa jonkunlainen perustelu
luonnollisesta "kokoelman" käsitteestä lähtien. (Käytän edellä sanaa
"kokoelma", koska tässä kontekstissa sana "joukko" on jo varattu
tekniseen merkitykseen.) ZFC:n idea on se, että kaikki tarpeeksi pienet
kokoelmat (tarkoittaa siis kokoelmaa, joka on aitoa luokkaa pienempi)
yritetään laskea mukaan joukoiksi: Valintafunktiota vastaava joukko on juuri
tällainen tarpeeksi pieni kokoelma. Jossain mielessä valintafunktion
ottamista vastaava päättelyaskel on ihmisille hyvin luonnollinen. ("Jos
voin valita jokaisesta joukkoperheen jäsenestä alkion, voin valita myös
kaikista niistä alkiot samalla kertaa.")
Valmari Antti
Ville Hakulinen kirjoitti:
> paitsi Peano-aritmetiikan osalta, joka on
> ilmiselvästi ristiriidaton, koska sillä on malli, nimittäin
> luonnolliset luvut [tiedän, että Antti Valmari käy käsiksi tässä
> pisteessä ;-])
Ville tarkoittaa tällä, että Peano-aritmetiikan ristiriidattomuus
ei ole sen selvempi asia kuin muunkaan matematiikan ristiriidattomuus.
Mistäs aineksista se Peano-aritmetiikan malli onkaan tehty?
{} {{}} {{},{{}}} {{},{{}},{{},{{}}}} {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}} ...
Mistä minulla ja Villellä on erimielisyyttä --- tai sitten ei ole ---
on standardimallin olemus tai merkitys. Standardimalli on nostettu
erikoisasemaan Peanon aritmetiikan mallien joukossa, vaikka sen eroa
muihin malleihin nähden ei voi kuvata formaalisti (paitsi käyttämällä
formalismia jossa vastaava standardijokin on mukana jo lähtökohdissa).
Intuitiivisesti sen voi toki kuvata: standardimalli on "pienin" Peanon
aritmetiikan malleista, se jossa ei ole "ylimääräisiä" lukuja, siis
muita lukuja kuin 0, 1, 2, ... Vaan tässä yhteydessä sanojen "pienin" ja
"ylimääräinen" täsmällinen merkitys on kaavojen tavoittamattomissa, kuten
Gödelin tuloksesta välittömästi seuraa. Vaikka tiedän intuitiivisesti,
mikä standardimalli on, minua kiusaa se huolettomuus millä sen
erikoisasema (siis ei olemassaolo, vaan erikoisasema) otetaan itsestään
selvänä, vaikka sitä ei voi formalisoida.
Idealisoidut tietokoneet laskevat mielivaltaisen suurilla luonnollisilla
luvuilla täysin tarkasti, eikä ajatuksellinen hyppy todellisista
tietokoneista niihin ole kovin suuri. Laskevatko tietokoneet
standardimallissa vai jossakin muussa mallissa? Asiaa on hankala (lievä
ilmaus!) testata, koska mallien erot ilmenevät vasta kun laskenta on
kestänyt omega askelta ...
Muistutettakoon varmuuden vuoksi, että ideaalisen tietokoneen heitto
kehiin ei ole kategoriavirhe tai muuten mielivaltainen temppu. Kuten
Villekin hieman toisin sanoin sanoi, ideaalisen tietokoneen käsite
(tai jokin sen kanssa ekvivalentti) on keskeinen todistuksen käsitteen
nykyiselle noin 70 vuotta sitten käyttöön otetulle määritelmälle.
--- Antti Valmari ---
Miikka Lahti
Tuomas T Korppi <kor...@cc.helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:ap9art$lt7$1...@oravannahka.helsinki.fi...
> :> Pythagoraan lause ei päde). Vastaavasti hyväksytyt päättelytavatkin
ovat
> :> viime kädessä vain sopimuksia, eivät jumalallista muotoa.
>
> Logiikan päättelysäännöt ovat vahvasti sidoksissa kieleen, ja siihen,
> mitä tarkoitamme sellaisilla sanoilla kuin "ja", "tästä seuraa", "kaikki"
ja
> niin edelleen. Itse uskonkin, että jos muuttaisimme näitä koskevia
> logiikan päättelysääntöjä, tulisimme samalla implisiittisesti
> muuttaneeksi sanojen "ja", "tästä seuraa", "kaikki" jne merkityksiä.
> Näin ne eivät ole jumalallista muotoa tai mielivaltaisia konventioita,
> vaan suoraa seurausta inhimillisestä ajattelutavasta ja kielen
> rakenteesta.
Totta kai, mutta kaikki palautuu edelleen ihmiseen, eikä mikään viittaa
mihinkään
yli-inhimillisiin absoluuttisiin totuuksiin, joita Kotiaho käsittääkseni
haki.
> :> Kukaan ei ehkä olla "vakavasti erimieltä", koska kuten jo sanottu,
> :> yksimielisyys on sen verran suurta, että erimielisiä ei oteta
vakavasti.
>
> Käsittääkseni konstruktivistinen/intuitionistinen matematiikka on
> jonkunlainen esimerkki poikkeavasta matematiikasta, jota nyt ei aina
> aivan puppunakaan sivuuteta.
Ja tämäkin vain vahvistanee käsitystä matematiikasta viimekädessä
sosiaalisena/inhimillisenä konstruktiona ilman
mitään mystillistä absoluuttista totuudellisuutta.
Miikka Lahti
Sampo Smolander <sampo.smol...@helsinki.fi> kirjoitti
viestissä:ap9vgr$429$5...@oravannahka.helsinki.fi...
>
> Koska ilmaisua "absoluuttinen totuus" ei ole määritelty,
> vaan jokainen keskustelija voi tulkita asioita oman päänsä
> mukaan, niin jauhamista voi jatkaa loputtomiin.
>
> Yritä vaikka kysyä siltä kiistakumppaniltasi, onko hänen
> mielestään absoluuttisia totuuksia ollenkaan olemassa
> (ja mitä ne ovat) ennen kuin sotket matematiikan mukaan.
Ymmärtääkseni kyse oli yksinkertaisesti siitä, että Kotiahon mielestä
matemaattiset totuudet perustuvat viimekädessä johonkin muuhunkin kuin
ihmisten sopimuksiin.
Erno Simila
> 1) Aritmeettinen totuus "1+1=2" tukeutuu nolladivergenssin periaatteelle
> eli yhtäläisyysmerkin molemmilla puolilla tulee aina säilyä yhtä paljon
> "tavaraa" -- muunneltiin ilmaisuja miten tahansa. Tuo pätee myös
> supistamiseen ja laventamiseen eli skaalaa vaihdettaessa (suhteita
> pelkistettäessä). Divergenssi (= tavaran ilmaantuminen tai katoaminen
> toispuolisesti) olisi laskuvirhe eli vastoin ohjelmointiperiaatetta.
Toisaalta patologinen kontraesimerkki tälle on triviaalisti tosi ½ = -1
karakteristika kolmessa, mikä tuloksena pohjautuu ns. platonisen
keppihevosen diskreettisyysharjan ideaalisuusominaisuuksiin. Näiden
päivettyminen on tosin context free -kielten pumppauslauseeseen
täysin liittymätön, algoritmisesti ratkeamaton krumeluuriongelma,
jota ei suotta tulisi sivuuttaa ortotopologian tämänhetkisessä
cutting edge -tutkimuksessa.
[Huom. Followup-To-rivi]
--
"Aeka männy jooten olloo lopetellessa." (Savo)
-- Erkki Tanttu: Repliikit Reiraan - kuvitettuja sananparsia
Hansen Henri
: Se, että valkea voittaa kyseisessä asemassa on epätriviaali seuraus
: shakin säännöistä ja kun shakin säännöt on fiksattu, ihmisten sopimuksilla
: ei ole merkitystä sen kannalta voittaako valkea vai ei.
Miten niin se on "epätriviaali"? Viimekädessä jokainen, siis _jokainen_
formaalisti (tiukassa mielessä) todistettavissa oleva lause on triviaali
seuraus, kun systeemi on fiksattu. Se, mikä systeemi fiksataan ja miten on
lupa päätellä, on puhtaasti sopimuskysymys.
Eli kun valitaan systeemi, niin tullaan ikäänkuin varkain ja huomaamatta
valinneeksi kauhea määrä kaikkea muutakin.
Jukka Kohonen
>In sfnet.tiede.matematiikka Ville Hakulinen <vi...@e.math.helsinki.fi> wrote:
>: Se, että valkea voittaa kyseisessä asemassa on epätriviaali seuraus
>: shakin säännöistä ja kun shakin säännöt on fiksattu, ihmisten sopimuksilla
>: ei ole merkitystä sen kannalta voittaako valkea vai ei.
>
>Miten niin se on "epätriviaali"? Viimekädessä jokainen, siis _jokainen_
>formaalisti (tiukassa mielessä) todistettavissa oleva lause on triviaali
>seuraus, kun systeemi on fiksattu.
Näyttää siltä, että käytät sanaa "triviaali" jossain varsin
erikoisessa merkityksessä. Mikähän tuo tarkoittamasi merkitys on
ja eikö sille löydy vähemmän väärinkäsityksiä aihettavaa sanaa?
Hansen Henri
:>Miten niin se on "epätriviaali"? Viimekädessä jokainen, siis _jokainen_
:>formaalisti (tiukassa mielessä) todistettavissa oleva lause on triviaali
:>seuraus, kun systeemi on fiksattu.
: Näyttää siltä, että käytät sanaa "triviaali" jossain varsin
: erikoisessa merkityksessä. Mikähän tuo tarkoittamasi merkitys on
: ja eikö sille löydy vähemmän väärinkäsityksiä aihettavaa sanaa?
Tuon oli hieman tarkoitus provosoida, paremmin olisi ehkä sopinut, jos
olisin kirjoittanut "triviaali". Triviaalilla tuloksella tarkoitettaneen
yleensä itsestäänselvää tulosta. Epätriviaali seuraus jollekin on yleensä
sellainen seuraus, jonka todistamiseen on jouduttu näkemään vaivaa.
Tiukan formaalisti todistettavissa olevat väittämät - siis sellaiset,
joiden todistus voidaan suorittaa mekaanisesti - ovat tietyssä mielessä
triviaaleja, koska niiden todistamiseksi ei tarvita minkäänlaista
luovuutta. Jokin shakkipeliin liittyvä esimerkki on aina tässä mielessä
triviaali, koska peli itsessään on tässä mielessä triviaali.
Tarkoituksenani oli sanoa, että jonkin systeemin kiinnittäminen määrää
tällaisen struktuurin - mutta monilla riittävän vahvoilla systeemeillä on
myös vahvasti ei-triviaaleja ominaisuuksia. Annetu tietokoneohjelman
pysähtyminen on eräs tällainen ei-triviaali ominaisuus.
Mielestäni keskustelu heikommista systeemeistä on tässä yhteydessä
epämielenkiintoista, koska ne ovat yleensä (~=aina) triviaaleja tässä
uudessa mielessä, ja niistä voidaan aina sanoa, että ne ovat täysin
sopimuksenvaraisia.
Herääkin kysymys, missä määrin ne vahvemmat systeemit ovat
sopimuksenvaraisia.
Walter Kotiaho
> Ymmärtääkseni kyse oli yksinkertaisesti siitä, että Kotiahon mielestä
> matemaattiset totuudet perustuvat viimekädessä johonkin muuhunkin kuin
> ihmisten sopimuksiin.
>
luonteesta muihin tieteisiin verrattuna. Tuo yllämainitsemasi pointti
on lähinnä kyseessä siinä filosofiaryhmän threadissa "Ideat ongelma..."
ja sen jauhanta jatkukoon filosofiaryhmässä.
Follarit asetettu.
--
Walter
Valmari Antti
Hansen Henri kirjoitti:
> Tiukan formaalisti todistettavissa olevat väittämät - siis sellaiset,
> joiden todistus voidaan suorittaa mekaanisesti - ovat tietyssä mielessä
> triviaaleja, koska niiden todistamiseksi ei tarvita minkäänlaista
> luovuutta. Jokin shakkipeliin liittyvä esimerkki on aina tässä mielessä
> triviaali, koska peli itsessään on tässä mielessä triviaali.
Sanan "triviaali" yleisesti käytetty merkitys ei ole "formaalisti
todistettavissa", vaan "hyvin helposti todistettavissa". Se ei ole
täsmällisesti määritelty käsite, vaan kuvaa, miltä todistus (tai sen
osa) todennäköisesti tuntuu asiaa tuntevista ihmisistä. Usein sillä
ilmoitetaan, että jokin osaväite on voimassa siksi, että kyseisessä
tilanteessa se ei varsinaisesti väitä mitään --- esimerkiksi "kaikille
i joille 1 <= i < n pätee pölöpölö ..." on triviaalisti totta, kun
n <= 1, koska silloin kyseeseen tulevien i:n arvojen joukko on tyhjä.
> Tarkoituksenani oli sanoa, että jonkin systeemin kiinnittäminen määrää
> tällaisen struktuurin - mutta monilla riittävän vahvoilla systeemeillä on
> myös vahvasti ei-triviaaleja ominaisuuksia. Annetu tietokoneohjelman
> pysähtyminen on eräs tällainen ei-triviaali ominaisuus.
Tässä tarkoittanet "ei-triviaalilla" "ei ole todistettavissa annetussa
päättelyjärjestelmässä". Tai kenties tarkoitat "kuuluu ominaisuusluokkaan,
joka ei ole laskettavasti lueteltava" (ts. rekursiivisesti lueteltava,
olen alkanut käyttää ilmausta l.l. sen jälkeen kun Prof. Ruohonen näytti
minulle julkaisun jossa vakuuttavasti perusteltiin sen olevan parempi termi)
--- mutta tämä ei ole hyvä määritelmä, koska laskettavasti lueteltavasta
joukousta saa usein laajentamalla sellaisen, joka ei ole laskettavasti
lueteltava. Tai ehkä sittenkin "on vaativa instanssi ominaisuusluokassa,
joka ei ole laskettavasti lueteltava" --- missä mielessä vaativa? Vai
tarkoitatko, että ko. systeemille ei ole täydellistä ristiriidatonta
laskettavasti lueteltavaa päättelyjärjestelmää? Mitä tarkoitat?
> Mielestäni keskustelu heikommista systeemeistä on tässä yhteydessä
> epämielenkiintoista, koska ne ovat yleensä (~=aina) triviaaleja tässä
> uudessa mielessä, ja niistä voidaan aina sanoa, että ne ovat täysin
> sopimuksenvaraisia.
>
> Herääkin kysymys, missä määrin ne vahvemmat systeemit ovat
> sopimuksenvaraisia.
Aksioomien valinta on tietysti sopimuksenvaraista (ainakin ellei
valintaa rajoita se, että saatavan teorian on sovelluttava johonkin
ennalta päätettyyn tarkoitukseen).
Päättelysääntöjen valinnassa esiintyy käytännössä vain vähän vaihtelua,
mutta esiintyy kuitenkin --- esim. korkeamman kertaluvun logiikat,
monitilalogiikat jne.
Päättelysäännöiltä on kuitenkin tapana vaatia, että päättelyn laillisuuden
tarkistaminen on laskettavasti lueteltavaa. Tämän ehdon tehtävänä on karsia
pois päättelyaskeleet tyyppiä "näin yöllä unessa, että ..." Kuten tiedän
Sinun tietävän, laskettava lueteltavuus saattaa näyttää aluksi melko
mielivaltaiselta käsitteeltä, mutta vuosikymmenien tutkimus on osoittanut,
että (1) täysin samaan käsitteeseen päädytään mitä erilaisimmista lähtökohdista,
(2) jokainen lähtökohta joka antaa sanalle "laskettava" järkevän tuntuisen
merkityksen ja jota on kokeiltu on johtanut joko kohdan (1) käsitteeseen tai
sen aitoon osajoukkoon.
Matematiikassa on siis todellakin jotakin, joka ei ole sopimuksenvaraista.
Olen siis samalla kannalla kuin Ville Hakulinen, kun hän Miikka Lahden
viestiin
> Ymmärtääkseni kyse oli yksinkertaisesti siitä, että Kotiahon mielestä
> matemaattiset totuudet perustuvat viimekädessä johonkin muuhunkin kuin
> ihmisten sopimuksiin.
vastasi
> Mutta niinhän ne perustuvatkin. Esimerkkinä hienosta teoreemasta olkoon
> seuraava shakkitehtävä: http://www.forthnet.gr/chess/luiz1.html
> Se, että valkea voittaa kyseisessä asemassa on epätriviaali seuraus
> shakin säännöistä ja kun shakin säännöt on fiksattu, ihmisten sopimuksilla
> ei ole merkitystä sen kannalta voittaako valkea vai ei.
Villen esimerkki on muuten Henrin "triviaaliksi" luokittelema.
Sen sijaan en enää keskustelun tässä vaiheessa muista, mitä Kotiaho on
väittänyt, joten siihen en ota kantaa.
--- Antti Valmari ---
Hansen Henri
: Sanan "triviaali" yleisesti käytetty merkitys ei ole "formaalisti
: todistettavissa", vaan "hyvin helposti todistettavissa".
Tietystikin. Pahoittelen sekavaa kielenkäyttöäni. Käytin aluksi sanaa
triviaali hieman provokatiivisesti, jotta joku tarttuisi siihen juuri
tällä tavalla.
: Se ei ole
: täsmällisesti määritelty käsite, vaan kuvaa, miltä todistus (tai sen
: osa) todennäköisesti tuntuu asiaa tuntevista ihmisistä. Usein sillä
: ilmoitetaan, että jokin osaväite on voimassa siksi, että kyseisessä
: tilanteessa se ei varsinaisesti väitä mitään
Kyllä, merkitykseltään se on samankaltainen kuin englanninkielinen ilmaisu
"vacuously true".
:> Tarkoituksenani oli sanoa, että jonkin systeemin kiinnittäminen määrää
:> tällaisen struktuurin - mutta monilla riittävän vahvoilla systeemeillä on
:> myös vahvasti ei-triviaaleja ominaisuuksia. Annetu tietokoneohjelman
:> pysähtyminen on eräs tällainen ei-triviaali ominaisuus.
: Tässä tarkoittanet "ei-triviaalilla" "ei ole todistettavissa annetussa
: päättelyjärjestelmässä".
Otin implisiittisesti käyttöön ilmaisun "vahvasti ei-triviaali"
tarkoittamaan "ei ole laskettavasti (rekursiivisesti) lueteltava"
Kielenkäyttöni oli tuossa muutenkin epätäsmällistä.
: Tai ehkä sittenkin "on vaativa instanssi ominaisuusluokassa,
: joka ei ole laskettavasti lueteltava" --- missä mielessä vaativa? Vai
: tarkoitatko, että ko. systeemille ei ole täydellistä ristiriidatonta
: laskettavasti lueteltavaa päättelyjärjestelmää? Mitä tarkoitat?
Oikeastaan sanomani voidaan tulkita miksi hyvänsä. Aikomuksenani ei ollut
"tarkoittaa" tarkasti ottaen mitään tiettyä asiaa. Näistä annetuista
vaihtoehdoista viimeinen on lähimpänä sitä, mitä tavoittelin.
Tarkoitin lähinnä, että mielestäni sopimuksenvaraisuudesta puhuminen on
epämielenkiintoista silloin kun systeemille on olemassa täydellinen ja
ristiriidaton l.l. päättelyjärjestelmä, koska silloin voidaan ajatella,
että jokainen väittämä, joka on seuraus oletuksista, on jo sovittu, kun
systeemi on lyöty lukkoon.
: Päättelysäännöiltä on kuitenkin tapana vaatia, että päättelyn laillisuuden
: tarkistaminen on laskettavasti lueteltavaa. Tämän ehdon tehtävänä on karsia
: pois päättelyaskeleet tyyppiä "näin yöllä unessa, että ..."
Nyt lähestymme sitä kysymystä, jota minä etsin.
: Kuten tiedän Sinun tietävän, laskettava lueteltavuus saattaa näyttää
: aluksi melko mielivaltaiselta käsitteeltä, mutta vuosikymmenien tutkimus
: on osoittanut, että (1) täysin samaan käsitteeseen päädytään mitä
: erilaisimmista lähtökohdista, (2) jokainen lähtökohta joka antaa sanalle
: "laskettava" järkevän tuntuisen merkityksen ja jota on kokeiltu on
: johtanut joko kohdan (1) käsitteeseen tai sen aitoon osajoukkoon.
Tiedän, kuten tiedät. Ja tämä on yksi osa sitä mielenkiintoista asiaa.
: Matematiikassa on siis todellakin jotakin, joka ei ole sopimuksenvaraista.
Laskettavuuden käsitteen kohdalla törmäämme kyllä aina samaan käsitteeseen
ja tämä vahvistaa uskoamme Church-Turingin teesiin. Minäkin "uskon"
siihen. Mutta eikö syynä ole lähinnä aiemmin mainittujen "näin
unessa.."-päättelysäänntöjen karsiminen?
:> Mutta niinhän ne perustuvatkin. Esimerkkinä hienosta teoreemasta olkoon
:> seuraava shakkitehtävä: http://www.forthnet.gr/chess/luiz1.html
:> Se, että valkea voittaa kyseisessä asemassa on epätriviaali seuraus
:> shakin säännöistä ja kun shakin säännöt on fiksattu, ihmisten sopimuksilla
:> ei ole merkitystä sen kannalta voittaako valkea vai ei.
: Villen esimerkki on muuten Henrin "triviaaliksi" luokittelema.
Tarkoituksenani oli sanoa, että mielestäni tuollaiset esimerkit eivät
vielä "todista" riippumattomuutta sopimuksista.
Valmari Antti
Hansen Henri kirjoitti:
> Tarkoitin lähinnä, että mielestäni sopimuksenvaraisuudesta puhuminen on
> epämielenkiintoista silloin kun systeemille on olemassa täydellinen ja
> ristiriidaton l.l. päättelyjärjestelmä, koska silloin voidaan ajatella,
> että jokainen väittämä, joka on seuraus oletuksista, on jo sovittu, kun
> systeemi on lyöty lukkoon.
> Tarkoituksenani oli sanoa, että mielestäni tuollaiset esimerkit eivät
> vielä "todista" riippumattomuutta sopimuksista.
Tavallaan "on jo sovittu", mutta sopimuksen tekijöillä ei normaalisti
tällaisessa tapauksessa ole aavistustakaan siitä, mistä kaikesta he
ovat sopineet. Tulkintasi mukaan esimerkiksi se 350 vuotta avoimena
pysynyt ja nyt vastikään todistettu seikka, että Fermat'n suuri lause
pätee, on sovittu jo tuhansia vuosia sitten. Sen sopivat sumerit tai
ketkä lie, kun he muotoilivat luonnollisen luvun käsitteen ja
peruslaskutavat.
Tulosten yhteys siihen, mitä varsinaisesti sovittiin on matematiikassa
erittäin monimutkainen. Tämä "yhteys" on jollain lailla luonnon ominaisuus
tai jostakin taivaasta tippunut, ei se ainakaan ihmisten sopima ole.
Jos "yhteys" olisikin aina triviaali, niin asiassa ei olisi mitään
ihmettelemistä. Mutta se ei ole triviaali, ei näytä olevan aineen
maailmaan kuuluva asia (tai sitten on --- sitä voi luodata tietokoneilla),
eikä se ole ihmisten luomus --- mikä se on?
> Laskettavuuden käsitteen kohdalla törmäämme kyllä aina samaan käsitteeseen
> ja tämä vahvistaa uskoamme Church-Turingin teesiin. Minäkin "uskon"
> siihen. Mutta eikö syynä ole lähinnä aiemmin mainittujen "näin
> unessa.."-päättelysäänntöjen karsiminen?
Tarve karsia huuhaapäättelysäännöt selittää, miksi on otettava käyttöön
jokin "laskettavan lueteltavuuden" tapainen käsite. Mutta se ei selitä,
miksi pohjimmiltaan on olemassa (niinkuin näyttää) vain yksi laskettavan
lueteltavuuden käsite. Jotenkin olisi ollut odotettavissa, että
erilaisista lähtökohdista syntyy sisällöllisesti erilaisia laskettavan
lueteltavuuden käsitteitä. Mutta niinhän ei käynyt.
--- Antti Valmari ---
Tommi P Uschanov
> tällaisessa tapauksessa ole aavistustakaan siitä, mistä kaikesta he
> ovat sopineet. Tulkintasi mukaan esimerkiksi se 350 vuotta avoimena
> pysynyt ja nyt vastikään todistettu seikka, että Fermat'n suuri lause
> pätee, on sovittu jo tuhansia vuosia sitten. Sen sopivat sumerit tai
> ketkä lie, kun he muotoilivat luonnollisen luvun käsitteen ja
> peruslaskutavat.
Mitä outoa tässä sitten sinänsä on? Jos pankki sopii maksavansa
asiakkaan talletustilille prosentin korkoa, niin pankki ei vielä
silloin tiedä, kuinka paljon korkoa se on sopinut maksavansa,
koska sehän riippuu siitä, paljonko asiakas pitää tilillään rahaa.
Sopimus on silti pankkia sitova.
> Tulosten yhteys siihen, mitä varsinaisesti sovittiin on matematiikassa
> erittäin monimutkainen. Tämä "yhteys" on jollain lailla luonnon ominaisuus
> tai jostakin taivaasta tippunut, ei se ainakaan ihmisten sopima ole.
Tästä seuraa vanha skeptisismin ongelma: entäpä jos huomenna
ilmeneekin, että se yhteys on ollut voimassa vain toistaiseksi?
(Edesmennyt amerikkalaisloogikko Max Black sutkauttaa jossakin
hauskasti, että jos matematiikka ajatellaan olemassaolevaksi
jossakin ihmisten tekemisistä riippumattomassa platonisessa
todellisuudessa, niin silloin otetaan riski, että kokonais-
luvuista saattaa tulla vielä joskus pulaa.)
> Jos "yhteys" olisikin aina triviaali, niin asiassa ei olisi mitään
> ihmettelemistä.
Oma teoriani on, että se, mitä tässä keskustelussa on tarkoitettu
"triviaalilla", tunnetaan paremmin tautologiana. Monet loogiset
positivistit, kuten Rudolf Carnap ja A. J. Ayer, kannattivat aikoinaan
näkemystä, että kaikki matematiikan lauseet, jotka eivät ole kontra-
diktioita, ovat tautologioita: jos yhtälössä on yhtäläisyysmerkin
kummallakin puolella se mitä pitääkin, niin silloin oikealla puolella
oleva tavara on tietyssä mielessä tarpeetonta jo syntyessään, koska
se ei sano mitään, mitä vasemmalla puolella ei jo sanottu. Sen ainoa
oikeutus on, että se voi sanoa saman asian aiempaa selkeämmin. Luulen
(voiden tietysti olla väärässäkin), että tässä keskustelussa on
tavoiteltu tämänsuuntaista ajatusta.
> Tarve karsia huuhaapäättelysäännöt selittää, miksi on otettava käyttöön
> jokin "laskettavan lueteltavuuden" tapainen käsite.
Miksi tarve karsia huuhaapäättelysäännöt vaatii yhtään minkään
käsitteen käyttöönottoa? Eikö pelkkä terve järki riitä, kuten
yleensäkin? En ole huomannut ottaneeni mitään uutta käsitettä
käyttöön karsiessani kokemuspiiristäni vaikkapa astrologian tai
skientologian. Vaikka joku sanoisi minulle "Näin unessa, että
astrologia on totta", en siltikään ottaisi mitään uutta
käsitettä käyttöön hylätessäni hänen väitteensä.
--
"I have tried too, in my time, to be a philosopher; but, I don't
know how, cheerfulness was always breaking in." --Oliver Edwards
T P Uschanov tusc...@cc.helsinki.fi +358 (0)40 584 2720
Visit my home page! http://www.helsinki.fi/~tuschano/
Miikka Lahti
Valmari Antti wrote:
>
>>Tarkoituksenani oli sanoa, että mielestäni tuollaiset esimerkit eivät
>>vielä "todista" riippumattomuutta sopimuksista.
>>
>
> Tavallaan "on jo sovittu", mutta sopimuksen tekijöillä ei normaalisti
> tällaisessa tapauksessa ole aavistustakaan siitä, mistä kaikesta he
> ovat sopineet. Tulkintasi mukaan esimerkiksi se 350 vuotta avoimena
Sama pätenee muihinkin kieli- ja merkkijärjestelmiin. Esim. Venäjän
sanastosta ja kieliopista ei voi triviaalisti johtaa Sota ja
rauha-romaania...
Hansen Henri
:> Tarkoitin lähinnä, että mielestäni sopimuksenvaraisuudesta puhuminen on
:> epämielenkiintoista silloin kun systeemille on olemassa täydellinen ja
:> ristiriidaton l.l. päättelyjärjestelmä, koska silloin voidaan ajatella,
:> että jokainen väittämä, joka on seuraus oletuksista, on jo sovittu, kun
:> systeemi on lyöty lukkoon.
: Tavallaan "on jo sovittu", mutta sopimuksen tekijöillä ei normaalisti
: tällaisessa tapauksessa ole aavistustakaan siitä, mistä kaikesta he
: ovat sopineet.
Tämä on hyvin tavallista, kyllä.
: Tulkintasi mukaan esimerkiksi se 350 vuotta avoimena
: pysynyt ja nyt vastikään todistettu seikka, että Fermat'n suuri lause
: pätee, on sovittu jo tuhansia vuosia sitten. Sen sopivat sumerit tai
: ketkä lie, kun he muotoilivat luonnollisen luvun käsitteen ja
: peruslaskutavat.
Aivan, ja siinä mielessä määritelmäni oli vähän höpsö. Mutta
lukuteoreettiset väittämät (kuten Fermat'n lause) ovat siinä mielessä
tässä kysymyksessä niiden mielenkiintoisten kysymysten puolella, että
_kaikki_ lukuteoreettiset väittämät eivät kuitenkaan ole "ennalta
sovittuja", eikä ennen todistuksen löytymistä tiedetty, mitä Fermat'n
lauseesta oikeastaan oli sanottu!
Tarkkaan ottaen sitä ei tiedetä vieläkään - vaikka ollaan käytännössä
varmoja. Nimittäin kysymys siitä, mikä on "oikea" todistus on edelleen
avoin.
: Tulosten yhteys siihen, mitä varsinaisesti sovittiin on matematiikassa
: erittäin monimutkainen.
On, erittäin. Tarkoituksenani oli painottaa sitä, että tietyt asiat
voidaan (*) kiistattomasti sanoa jo sovituiksi, muttei kaikkia.
: Tämä "yhteys" on jollain lailla luonnon ominaisuus
: tai jostakin taivaasta tippunut, ei se ainakaan ihmisten sopima ole.
Minä en ole tästä aivan varma. Kun annamme pelkästään aksioomat (esim.
joukon tietynmuotoisia LEGO-palikoita) ja päättelysäännöt (esim
palikoita ei saa kiinnittää muuten kuin niiissä olevilla nystyillä, ei
saa esim. liimata, eikä saa rikkoa paloja), niin tietystikään emme suoraan
sano, mitä voidaan päätellä. (Emme siis tiedä, mitä kaikkea LEGOista voi
rakentaa.)
Mielestäni se yhteys on täsmälleen sama kuin LEGO-palikoiden tapauksessa.
Sivuhuomautuksena, joku on jo rakentanut eräänlaisen Turingin koneen
LEGOista:
http://www.generation5.org/aisolutions/ab_legoturing.shtml
: Jos "yhteys" olisikin aina triviaali, niin asiassa ei olisi mitään
: ihmettelemistä. Mutta se ei ole triviaali, ei näytä olevan aineen
: maailmaan kuuluva asia (tai sitten on --- sitä voi luodata tietokoneilla),
: eikä se ole ihmisten luomus --- mikä se on?
Tämä kysymys on mielenkiintoinen. Vaikka struktuurit itse voidaan helposti
ajatella ihmisten luomuksiksi, sitä tosiasiaa, että samoilla oletuksilla
tulee sama struktuuri, ei helposti voi.
Taustalla voi olla esimerkiksi implisiittinen "sopimus" siitä, että _jos_
teemme kaiken aina samalla tavalla, _niin_ lopputulos on aina sama.
: Tarve karsia huuhaapäättelysäännöt selittää, miksi on otettava käyttöön
: jokin "laskettavan lueteltavuuden" tapainen käsite.
Mutta, mehän voimme määritellä "mielekkään" laskettavuuden käsitteen
vaikka seuraavasti:
1. Sovitaan validiksi päättelyksi "näin unessa, että Z, joten Z"
2. Jos joku väittää uhaten riittävällä väkivallalla, että väittämä Z
ei ole totta, niin perutaan väittämä.
Tällainen päättely rikkoo intuitiotamme siitä, mikä on kunnollista
päättelyä kahdesta syystä: Päättelyjärjestelmämme ei tuota välttämättä
samaa tulosta samoista lähtökohdista ja päättely ei ole monotonista.
Mielestäni oikea kysymys on, miksi vaadimme _juuri nämä_ ominaisuudet (ja
mahdollisesti joitain muita), jotta päättelymme olisi "järkevää"?
: Mutta se ei selitä,
: miksi pohjimmiltaan on olemassa (niinkuin näyttää) vain yksi laskettavan
: lueteltavuuden käsite. Jotenkin olisi ollut odotettavissa, että
: erilaisista lähtökohdista syntyy sisällöllisesti erilaisia laskettavan
: lueteltavuuden käsitteitä. Mutta niinhän ei käynyt.
Tämä on tietysti mielenkiintoista, en väitä vastaan.
Hansen Henri
: On, erittäin. Tarkoituksenani oli painottaa sitä, että tietyt asiat
: voidaan (*) kiistattomasti sanoa jo sovituiksi, muttei kaikkia.
(*) Jos hyväksymme C-T-teesin "totena", niinkuin yleensä hyväksytään, niin
kiistattomasti voidaan sanoa sovituiksi ne asiat, jotka voidaan todistaa
koneellisesti - niistäkin voidaan olla erimielisiä, jos koneet eivät ole
aivan varmoja toiminnaltaan. Silloin todistuksesta tulee luonteeltaan
empiirinen!
Valmari Antti
Miikka Lahti kirjoitti:
> Sama pätenee muihinkin kieli- ja merkkijärjestelmiin. Esim. Venäjän
> sanastosta ja kieliopista ei voi triviaalisti johtaa Sota ja
> rauha-romaania...
Tämä analogia on virheellinen ja pätemätön. Johtaminen siinä mielessä
kuin minä ja Henri Hansen ja varmaan monet muutkin tässä keskustelussa
ovat käyttäneet on rinnastettavissa sen tarkistamiseen, onko Sota ja rauha
kieliopillisesti oikein. Hienon romaanin kirjoittaminen olisi analogista
intuitiivisesti tyydyttävän teoreeman keksimiseen, ei sen todistamiseen.
Siltä osin kuin kieliopillisia järjestelmiä formalisodaan, siihen
käytetään kai yleensä Chomskyn hierarkian kahden köyhimmän tason eväitä?
(Anteeksi, kielitieteilijät, jos olen hakoteillä!) Tällä alueella
liikuttaessa "tehdyn sopimuksen" (kirjaimellisesti sellaisena kuin se on
paperilla) ja sen seurausten välinen suhde on melko yksinkertainen.
Chomskyn nelostasolla sopimuksen ja sen seurausten välinen suhde on
erittäin monimutkainen, mutta sehän onkin "laskettavan lueteltavuuden"
käsitteen eräs valepuku.
Muihin tuoreisiin kommentteihin tässä keskustelussa vastaan paremmalla
ajalla (jos sellainen tulee). Ainakin Uschanovin kysymykseen "Miksi
tarve karsia huuhaapäättelysäännöt vaatii yhtään minkään käsitteen
käyttöönottoa?" on matemaattisessaa logiikassa selvä vastaus.
--- Antti Valmari ---
Tommi P Uschanov
> ajalla (jos sellainen tulee). Ainakin Uschanovin kysymykseen "Miksi
> tarve karsia huuhaapäättelysäännöt vaatii yhtään minkään käsitteen
> käyttöönottoa?" on matemaattisessaa logiikassa selvä vastaus.
Joka on mikä?
Kysyy eräs, joka on saanut filosofisen logiikan kurssista
(omaksi yllätyksekseenkin) 3/3 argumentoimalla, että ainakaan
filosofisessa logiikassa ei ole.
Sampo Smolander
> Kysyy eräs, joka on saanut filosofisen logiikan kurssista
> (omaksi yllätyksekseenkin) 3/3 argumentoimalla, että ainakaan
> filosofisessa logiikassa ei ole.
Mitä ihmettä on filosofinen logiikka? Filosofian tiedän olevan,
ja logiikasta tiedän hiukan, ja looginen filosofiakin kuulostaa
hyvältä, muuta filosofinen logiikka? Ei kai filosofista
matematiikkaakaan (tai fysiikkaa jne.) ole olemassa?
(Kuulostan varmaan trollilta, mutta asia kyllä ihan kiinnostaa.)
Sampo Smolander, HY http://www.cs.helsinki.fi/~ssmoland/
---
"...fysiikassa ja matematiikassa käsitteet ovat aina täsmällisesti
määriteltyjä, kuten esimerkiksi outo lumo ja perverssit lyhteet."
- Antti Kupiainen
Valmari Antti
Kirjotin:
! Tavallaan "on jo sovittu", mutta sopimuksen tekijöillä ei normaalisti
! tällaisessa tapauksessa ole aavistustakaan siitä, mistä kaikesta he
! ovat sopineet.
Tommi P Uschanov kirjotti:
> Mitä outoa tässä sitten sinänsä on? Jos pankki sopii maksavansa
> asiakkaan talletustilille prosentin korkoa, niin pankki ei vielä
> silloin tiedä, kuinka paljon korkoa se on sopinut maksavansa,
Näillä kahdella tapauksella on se ratkaiseva ero, että formaalin
matemaattisen järjestelmän tapauksessa sopimus sisältää täydellisen tiedon
kaikista lopputulokseen vaikuttavista seikoista, mutta pankkiesimerkissäsi
tietoa puuttuu. Koron laskeminen on huomattavan helppoa sitten kun kaikki
tieto on käytettävissä. Formaalin väitteen totuusarvon tarkistaminen
saattaa olla huomattavan vaikeaa vaikka kaikki tieto on käytettävissä.
> Oma teoriani on, että se, mitä tässä keskustelussa on tarkoitettu
> "triviaalilla", tunnetaan paremmin tautologiana. Monet loogiset
> positivistit, . . .
Sanaa "triviaali" on käytetty tässä keskustelussa kahdessa eri
merkityksessä. Toinen niistä todellakin on (ainakin melkein) sama kuin
mitä uskon Sinun tarkoittavan tautologialla kohdassa, jonka alun lainasin.
Tässä on kuitenkin uuden käsitesekaannuksen vaara, jonka haluan torjua.
Matemaattisessa logiikassa sanalla "tautologia" tarkoitetaan kaavaa,
joka on tosi kaikilla mahdollisilla niiden symbolien tulkinnoilla, joiden
merkitystä ei ole etukäteen kiinnitetty. (Tämä ei ole tarkka määritelmä,
vaan yritys kuvailla tarkan määritelmän sisältö ilman että tarvitsee
sitoutua tiettyyn järjestelmään --- propositiologiikkaan, 1. kl.
predikaattilogiikkaan, ...)
Tosi väittämä muotoa "vasen = oikea" ei siksi yleensä ole "tautologia". Sen
sijaan (mahdollisesti hyvin pitkä) kaava "Aksioomat => ( vasen = oikea )"
olisi kuvailemassasi tilanteessa tautologia sanan matemaattisen logiikan
mukaisessa merkityksessä.
> Monet loogiset
> positivistit, kuten Rudolf Carnap ja A. J. Ayer, kannattivat aikoinaan
> näkemystä, että kaikki matematiikan lauseet, jotka eivät ole kontra-
> diktioita, ovat tautologioita:
Tämä ainakin osoittaa, että he käyttävät sanaa "tautologia" eri merkityksessä
kuin matemaattiset loogikot. Matemaattisessa logiikassa väite voi kuulua
kolmeen, toisensa poissulkevaan kategoriaan: aina todet (tautologia),
aina epätodet (ristiriita), tilanteesta riippuvat (paitsi jos ko. teoria
on ristiriitainen, missä tapauksessa jokainen väite on samanaikaisesti
tosi ja epätosi).
> Miksi tarve karsia huuhaapäättelysäännöt vaatii yhtään minkään
> käsitteen käyttöönottoa? Eikö pelkkä terve järki riitä, kuten
Matemaattisessa logiikassa on vaadittu, että päättely pitää olla
pirstottavissa yksikäsitteisiin, mekaanisesti tarkistettavissa
oleviin askeliin. Terve järki ei riitä, koska se on subjektiivista.
Se mikä on toisen mielestä "helppo havaita" saattaa olla toiselle
ylivoimaisen vaikeaa.
Askelien pitää olla mekaanisesti tarkistettavissa, koska muutoin
voitaisiin määritellä esimerkiksi, että jokainen tosi väite otetaan
sellaisenaan aksioomaksi. Tällöin saataisiin täydellinen ja ristiriidaton
mutta käyttökelvoton teoria. Käyttökelvoton se olisi siksi, että kukaan
ei pystyisi tarkistamaan, onko päättelyn alkuun kirjoitettu, aksioomaksi
väitetty kaava todellisuudessa aksiooma.
Tuo mekaanisen tarkistettavuuden vaatimus kytkee asian tietokoneisiin ja
siihen hämmästyttävään havaintoon, että miten tahansa epäformaali käsite
"mekaaninen tarkistettavuus" yritetäänkin formalisoida, päädytään lähes
aina laskettavasti lueteltaviin joukkoihin ja lopuissa tapauksissa aidosti
suppeampaan käsitteeseen.
--- Antti Valmari ---
Vesa Monisto
> Tommi P Uschanov kirjotti:
>> ...
>> Monet loogiset positivistit, kuten Rudolf Carnap ja A. J. Ayer,
>> kannattivat aikoinaan näkemystä, että kaikki matematiikan lauseet,
>
>Tämä ainakin osoittaa, että he käyttävät sanaa "tautologia" eri
merkityksessä
>kuin matemaattiset loogikot. Matemaattisessa logiikassa väite voi kuulua
>kolmeen, toisensa poissulkevaan kategoriaan: aina todet (tautologia),
>aina epätodet (ristiriita), tilanteesta riippuvat (paitsi jos ko. teoria
>on ristiriitainen, missä tapauksessa jokainen väite on samanaikaisesti
>tosi ja epätosi).
Koska Carnapin perusteos "Der logische Aufbau der Welt" (1928) oli
hyllyssäni käden ulottuvilla, lainaan (tässä joutenoloa lopetellessani)
ne ainoat kaksi kohtaa, joissa Carnap puhuu tautologioista:
"50. Logischer Wert und Erkenntniswert"
... "Bei der konstitutionalen Umformung einer Aussage (oder
Aussagefunktion) bleibt der logische Wert stets unverändert,
aber nicht immer der Erkenntniswert. (Es ist also eine Übersetzung,
bei der im Unterschied zu den üblichen Sprachübersetzungen
der vorstellungsmässige Inhalt nicht derselbe bleiben muss.)
Hierin liegt ein wesentliches Characteristikum der konstitutionalen
Methode: sie berücksichtigt für Gegenstandsbezeichnungen, Aussagen
und Aussagefunktionen ausschliesslich den logischen Wert, nicht den
Erkenntniswert; sie ist rein logisch, nicht psychologisch.
BEISPIEL.
Für die Brillenschlange is im § 49 eine konstitutionale Definition
aufgestellt worden. [Also sind die folgenden beiden Aussagefunktionen
umfangsgleich: "x ist eine Brillenschlange" und "x ist ein Tier, das
hinten auf dem Kopf die Figur einer gebrochenen Brille trägt".]
Mit Hilfe dieser Definition wollen wir die konstitutionale Umformung
des folgenden Satzes vornehmen: "dies Tier hier, das hinten auf
dem Kopf die Figur einer Brille trägt, ist eine Brilleschlange."
Es ergibt sich dann die Tautologie: "dies Tier hier, das hinten ...,
ist ein Tier, das hinten ..." Der Erkenntniswert des ursprünglichen
Satzes ist durch die Umformung verloren gegangen. Der logische Wert
dagegen ist erhalten geblieben: die Tautologie hat den Wahrheitswert
das Wahre, ebenso wie der ursprüngliche Satz.
LITERATUR.
Unsere Theorie der eindeutigen Kennzeichnungen schliesst sich im
ganzen an *Russells Theorie der Beschreibungen* ("descriptions") an;
[Princ. Math.] I 181ff., [Math. Phil.] 168ff., [Description].
Aus unserer Unterscheidung zwischen logischem Wert und Erkenntniswert
folgt jedoch eine Abweichung: die Kennzeichnung gilt uns als
gleichbedeutend (von gleichem logischen Wert) mit dem Eigennamen
des gekennzeichneten Gegenstandes; Russells Argument der Trivialität
([Princ.Math.] I 70, [Math.Phil.] 175 f.) steht dann nicht im Wege,
da eine Trivialität denselben logischen Wert haben kann vie eine
Aussage von positivem Erkenntniswert. Diese Auffassund steht im
Zusammen mit der Extensionalitätsthese (§ 43 ff.)."
"106 Über Form, Inhalt und Zweck des Entwurfs"
"... Die Aussagen oder "Lehrsätze" eines Konstitutionssystems
zerfallen in zwei verschiedene Arten. (Als Beispiele für Lehrsätze
sind gegeben: L 1-6 in § 108, 110, 114, 117, 118). Die Lehrsätze
erster Art können allein aus den Definitionen deduziert werden
(unter Voraussetzung der Axiome der Logik, ohne deren Vervendung
überhaupt keine Deduktion möglich ist). Wir nennen sie "analytische"
Lehrsätze. Die Lehrsätze zweiter Art geben dagegen eine nur durch
Erfahrung festzustellende Beziehung zwischen konstituirten
Gegenständen an. Wir nennen sie "empirische" Lhrsätze. Umgeformt
in Aussagen über die Grundrelation(en), ergibt ein analytischer
Lehrsatz eine Tautologie; ein empirisher gibt empirische, formale
Eigenschaften der Grundrelation(en) an. In realistischer Sprache:
die analytischen Lehsätze sind tautologische Aussagen über Begriffe
(wenn auch, ebenso wie bei den mathematischen Lehrsätzen, die
Tautologie erst durch Umformung zum Vorschein kommt, also keine
Trivialität vorzuliegen braucht); die empirische Lehrsätze drücken
einen esfahrungsmässig erkannten Sachverhalt aus.
LITERATUR.
In Kantisher Ausdrucksweise sind die analytischen Lehrsätze
analytische Urteile a priori, die empirischen Lehrsätze synthetische
Urteile a posteriori. ..."
- Myöhemmissä teoksissaan Carnap käsitteli aihetta tarkemmin,
vaan riittäähän tuokin jo ... joutenoloni lopettelun lopetteluun.
V.M.
(- Einmal ist keinmal, zweimal ist trivial. )