sinin kaava

[sammy]

Ei sattuis kenelläkään olemaan tiedossa kuinka sini lasketaan.(ilman
laskinta).

Eli esim. millä kaavalla sin(75.25) ?

[Antti-Juhani Kaijanaho]

sammy <sa...@sievi.fi> wrote in sfnet.tiede.matematiikka:

>Ei sattuis kenelläkään olemaan tiedossa kuinka sini lasketaan.(ilman
>laskinta).

Jos tunnet jonkin muun trigonometrisen funktion arvon, saat vastauksen
helposti peruskaavojen avulla:

2 2
sin x + cos x = 1

sin x
tan x = -------
cos x

1
cot x = -------
tan x

>Eli esim. millä kaavalla sin(75.25) ?

Jos kysyt, millä kaavalla -- käyttämättä muita trigonometrisiä funktioita
apuna -- vastaus on: Ei millään. Sini ei ole ilmaistavissa polynomina tai
polynomimurtofunktiona.

Sen sijaan likiarvon selvittämiseen on ainakin kaksi menetelmää.
1) Piirretään haluttu kulma (esim. kysymäsi 75,25 radiaania, joka on muuten
suuri -- n. 4312°) yksikköympyrään ja mitataan sini.
2) Käytetään sarjakehitelmää. MAOL-taulukoiden mukaan
3 5 7
x x x
sin x = x - ---- + ---- - ---- + ...
3! 5! 7!

Käytännössä siis lasketaan tuota sarjaa niin kauan, kunnes saadaan haluttu
tarkkuus. Huomattava on, että kaikille x:n reaaliarvoille pätee -1 < sin x
< 1.

Antti-Juhani

[Petteri Pajunen]

Esim. näin:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

Kun esim. y on pieni, niin sin(y)=y (rad)
ja cos(y)=1 (suunnilleen).

Eli kun x=75 (5/12*pi (rad))
ja y=0.25 (1/720*pi (rad)), niin

sin(x+y)=sin(x)+cos(x)*y.

sin(75)=sin(90)cos(-15)+cos(90)sin(-15)=cos(15)
ja
cos(75)=cos(90)cos(-15)-sin(90)sin(-15)=sin(15).

sin(15)=0.5*sqrt(2-sqrt(3)),
cos(15)=1/(2*sqrt(2-sqrt(3)))

nämä selviävät tasakylkisestä kolmiosta, jonka
kulmat ovat 30,75 ja 75.

Siis sin(75.25)=1/(2*sqrt(2-sqrt(3)))+0.5*sqrt(2-sqrt(3))*pi/720=0.96706,
(likimain).
Koneella: sin(75.25)=0.96705.
Aika hyvin :-)

-- e-mail: Petteri...@hut.fi, WWW: http://www.hut.fi/~ppajunen --