konveksi funktio

[Ilari Hänninen]

Olen jossain nähnyt tämänkin ongelman ratkaisun, mutta ei nyt muistu mieleen:

Jos f on jatkuva reaalifunktio välillä (a,b) siten että

f( (x+y)/2 ) = 1/2 * f(x) + 1/2 * f(y)

kaikila x ja y jotka kuuluvat välille (a,b). Todista että f on konveksi
funktio. (Funktion jatkuvuus välttämätön ehto tälle.)

Ratkaisuehdoituksia otetaan kiitollisena vastaan.

--
Ilari.

[Vesa Lappalainen]

Ilari Hänninen <ihan...@alpha.hut.fi> wrote:
> kaikila x ja y jotka kuuluvat välille (a,b). Todista että f on konveksi
> funktio. (Funktion jatkuvuus välttämätön ehto tälle.)

> Ratkaisuehdoituksia otetaan kiitollisena vastaan.

Kerrotko viela tarkemmin minka kurssin harjoitustehtava tuo on?

Vesa

[Ilari Hänninen]

Vesa Lappalainen <ve...@jane.math.jyu.fi> writes:

>> Ratkaisuehdoituksia otetaan kiitollisena vastaan.

>Kerrotko viela tarkemmin minka kurssin harjoitustehtava tuo on?

Ei varsinaisesti minkään. Tehtävä on Walter Rudinin kirjasta Real and Complex
Analysis, kappale 3. En ole nyt suorittamassa varsinaisesti mitään kurssia
mihin tuo tehtävä liittyisi (lähinnä itseopiskelua varten siis).

--
Ilari.

[Immo Heikkinen]

>Jos f on jatkuva reaalifunktio välillä (a,b) siten että
>
>f( (x+y)/2 ) = 1/2 * f(x) + 1/2 * f(y)
>

>kaikila x ja y jotka kuuluvat välille (a,b). Todista että f on konveksi
>funktio. (Funktion jatkuvuus välttämätön ehto tälle.)

Eikö yhtälöstä seuraa suoraan että f on muotoa f(x)=kx + b ?

Kasittaakseni funktio on konveksi suljetulla valilla joss jokaiselle valin
pisteelle x patee f''(x)>=0. Tassa tapuksessa valilla [a,b] on f''(x)=0
joten funktio on konveksi m.o.t.

Itseasiassa konvekseille funktioille patee Jensenin epayhtalo

f( (x_1+x_2+...+x_n)/n ) <= 1/n * ( f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) )

jonka erikoistapaus annettu yhtalo on.

-Immo

__________________________________________________________
I have discovered a truly wonderful signature, but there's
not enough room for it. Immo Heikkinen

[Ilari Hänninen]

"Immo Heikkinen" <im...@RemoveThis.pp.inet.fi> writes:

>>f( (x+y)/2 ) =< 1/2 * f(x) + 1/2 * f(y)

>Edelleenkin se on erikoistapaus Jensenin epayhtalosta.

Juu, näin on.

>ja (b,(f(b)), alapuolella tai suoralla. Itse asiassa jos kayralta y=f(x)
>valitaan mitka tahansa kaksi pistetta ja niiden kautta piirretaan suora,
>kulkee kayra piirretyn suoran paalla tai alapuolella.

Kyllä, tämä on juuri konveksin funktion geometrinen "määritelmä".

>Ja jotta nain olisi, tulee derivaatan olla kasvava. Ts. f''(x) >= 0 eli f on
>konveksi.

Jeps, pitää paikkansa. Vastaavasti voisi sanoa, että f'(x) on monotonisesti
kasvava. Löysin ratkaisunkin tuohon tehtävään (toivottavasti oikean)
todistamalla että derivaatta on monotonisesti kasvava (mihin juuri vaadittiin
funktion jatkuvuutta kuten alkuperäisessä tehtävässä mainittiin). Jos joku
osaa todistaa tuon jollain muulla tavalla niin olisi kiva kuulla.

Kiitoksia vastauksista.

--
Ilari.

[Ilari Hänninen]

Anteeksi, olinpa taas huolimaton kirjoittaessani edellistä kysymystäni.
Kyseessä ei siis ollut yhtälö vaan epäyhtälö: Piti siis todistaa, että f on
konveksi funktio, jos f on jatkuva ja toteuttaa seuraavan epäyhtälön:

f( (x+y)/2 ) =< 1/2 * f(x) + 1/2 * f(y)

--
Ilari.

[Immo Heikkinen]

>f( (x+y)/2 ) =< 1/2 * f(x) + 1/2 * f(y)

Edelleenkin se on erikoistapaus Jensenin epayhtalosta.

Mutta jos tuota annettua epayhtaloa tarkastellaan niin siitahan voi paatella
etta f:n kuvaaja kulkee koko ajan suoran, jonka maaraavat pisteet (a,f(a))

ja (b,(f(b)), alapuolella tai suoralla. Itse asiassa jos kayralta y=f(x)
valitaan mitka tahansa kaksi pistetta ja niiden kautta piirretaan suora,
kulkee kayra piirretyn suoran paalla tai alapuolella.

Ja jotta nain olisi, tulee derivaatan olla kasvava. Ts. f''(x) >= 0 eli f on
konveksi.

Taytyy muontaa etta en ole pahemmin konveksien funktioiden kanssa
pelehtinyt, mita nyt jossakin ole sattunut tuohon maaritelmaan tormaamaan.
Mutta eiko tuosta maaritelmasta (kaikilla x e [a,b]: f''(x)>=0) seruaa
seuraa etta kuvaajan taytyy kulkea aina minka tahansa kuvaajan kahden
pisteen kautta piirretyn suoran alapuolella tai suoralla?

Immo

[Matti Saarinen]

ihan...@alpha.hut.fi (Ilari Hänninen) writes:

> Löysin ratkaisunkin tuohon tehtävään (toivottavasti oikean)
> todistamalla että derivaatta on monotonisesti kasvava (mihin juuri
> vaadittiin funktion jatkuvuutta kuten alkuperäisessä tehtävässä
> mainittiin).

Se, että funktio on jatkuva, ei takaa vielä mitenkään
derivoituvuutta. Tästä esimerkkinä on Karl Weierstraßin
aikoinaan esittämä funktio, joka on määrittelyjoukkonsa
jokaisessa pisteessä jatkuva, mutta ei missään pisteessä
derivoituva. Funktion kuvaaja ja määrittely löytyy
esimerkiksi täältä:

<URL:http://www.astro.virginia.edu/%7eeww6n/math/WeierstrassFunction.html>

Tuo linkki ei välttämäti toimi joka päivä, johtuen CRC
Pressin vaatimuksista.

--
- Matti -