Kaksi kysymystä
Heikki Virkkunen
huonolla menestyksellä, muistellen myös opiskeluaikoja:
Ensimmäinen kysymys:
Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
-Ajattelimme että jos funktio mahdollinen niin sellaisen voisi kenties
konstruoida määrittelemällä funktion arvot erikseen rationaalipisteissä
ja sitten muualla. Miten funktion siis voisi konstruoida?
(Yhdessä pisteessä jatkuva ei-derivoituva funktio lienee aika helppo
määritellä.)
Toinen kysymys
Tätä kerran mietimme kenenkään osaamatta sanoa mitään järkevää.
Emme myöskään muista että oppikirjat olisivat sanoneet asiasta mitään.
(-Onpa muuten tyhmiä kirjoja kun eivät sano mitään näin perusasiasta,
eii edes sitä ettei tiedetä tai sitä että liian monimutkaista
selitettäväksi!. Ja kysyä ei tietysti kukaan uskalla koskapa kysymys on
perin "alkeellisesta" asiasta.)
Siis kysymys:
Mitä tarkoittaa alkeisfunktio ja miksi niitä on vain ne jotka
määritelty?
Voiko esim. olla alkeisfunktioita joita ei vielä löydetty?
Ilmeisesti mahdollisten uusien alkeisfunktioiden pitäisi olla
jollakin olennaisella tavalla riippumattomia olemassaolevista
(eksponenttifunktio, trigonometriset,..). Kenties taasen jollain tavalla
sidottu niihin...
Tässä ei varmaan puhuminen reaalialueesta riitä, koska yhteyksiä
muistaakseni löytyy kompleksialueella.
Terveisin,
Heikki
Hansen Henri
: Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
: funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
On, mutten muista miten sellainen generoitiin.
: Mitä tarkoittaa alkeisfunktio ja miksi niitä on vain ne jotka
: määritelty?
Alkeisfunktiolla tarkoitetaan niitä funktioita, joita nimitetään
alkeisfunktioiksi. Siis: Alkeisfunktiot ovat enemmän tai vähemmän
mielivaltaisesti valittu joukko funktioita, mitään sen erityisempää syytä
ei kai ole?
http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html
--
crit·i·cism n.
3. a. The practice of analyzing, classifying, interpreting, or evaluating
literary or other artistic works.
b. A critical article or essay; a critique.
Ville
news:3D6CA504...@tellabs.com...
> Laitan tähän pari kysymystä joita kavereiden kanssa joskus pohdittiin
> huonolla menestyksellä, muistellen myös opiskeluaikoja:
>
> Ensimmäinen kysymys:
> Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
> funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
Eikös esim weierstrassin-käppyrä täytä tämän ehdon?
Ville
Heikki Virkkunen
sanaa mielivaltaisuus. Minulle on enempi tunne että en tiedä. Sen kyllä
uskon että
hieman eri funktioita voidaan pitää alkeisfunktioina vähän samaan tapaan kuin
esim. luonnolisille luvuille voidaan valita eri aksiomasetti. Mutta se mitä
tuo setti
määritelee ei ole enempi tai vähempi mielivaltaista. Samaan tapaan uskoisin,
että "sovitut" alkeisfunktiot määritelevät yhdessä jotakin olennaista joten
uusien funktioden lisääminen ei käykään niin vain. Saatan olla väärässä.
No tuo kaikkialla jatkuva ei missään derivoituva funktio taitaa olla
vähän vaikea konstruoida?
/Heikki
Antti-Juhani Kaijanaho
> Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
> funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
Eikös Peanon käyrät ole tällaisia? (Voi olla, että muistan aivan
väärin, on aikaa kun olen näitä asioita miettinyt.)
--
Antti-Juhani Kaijanaho, LuK (BSc) * http://www.iki.fi/gaia/ * ga...@iki.fi
Sampo Smolander
> Ensimmäinen kysymys:
> Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
> funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
> -Ajattelimme että jos funktio mahdollinen niin sellaisen voisi kenties
> konstruoida määrittelemällä funktion arvot erikseen rationaalipisteissä
> ja sitten muualla. Miten funktion siis voisi konstruoida?
Olette oikeilla jäljillä.
Määritellään sahalaitakuvio, jonka huiput ja minimit
ovat aina 1/2:n välein. Määritellään toinen sahalaita,
jossa huiput ja minimit ovat 1/3:n välein, ja niin edelleen.
(Kaikkien pitää -- vai pitääkö? -- alkaa samasta kohtaa,
joten sovitaan että kaikkien sahalaitojen ensimmäinen
huippu on kohdassa x = 0.)
Summataan nämä sahalaitafunktiot yhteen siten, että
"korkeamman kertaluvun sahalaitoja" painotetaan jonkin
suppenevan sarjan termeillä. Esimerkiksi vaikka niin, että
1/2-sahalaita saa painon 1/2, 1/3-sahalaita saa painon
1/4, 1/4 sahalaita saa painon 1/8, ja niin edelleen.
Summauksen tuloksena saadaan funktio, jonka arvo
ainakin periaatteessa (entä käytännössä?) osataan
laskea jokaisessa pisteessä. Konstruktiosta seuraa,
että jokaisessa rationaalipisteessä funtiossa on
(vähintään) yksi noista huipuista tai minimeistä,
joten funktio on ei-derivoituva ko. pisteessä.
Jostain (kertoisiko joku mistä?) johtuu myös, että
myöskään rationaalipisteiden välillä, irrationaalipisteissä,
funktio on ei-derivoituva.
Huh huh, kyllä on Diffis I:n asiat huonosti muistissa :-)
- Sampo Smolander
Hansen Henri
: En heti usko tuohon "enemmän tai vähemmän mielivaltaisuuteen" jos
: painotetaan sanaa mielivaltaisuus.
No, miten sen ottaa. Alkeisfunktioina pidetyillä funktioilla on
kaikenlaisia kilttejä ominaisuuksia jos ajatellaan reaali/kompleksilukuja
ihan algebrallisena härdellinä. Ja isolla osalla on kivoja sovellutuksia
fysiikassa.
Kuitenkin on paljon ei-alkeisfunktioita, jotka ovat tietyllä tavalla hyvin
"luonnollisia", monella tapaa luonnollisempia kuin jotkut
alkeisfunktiot. Esimerkiksi normaalijakaumaa kuvaava funktio on
varmaan monen ihmisen mielestä hyvin "luonnollinen".
Mikko Heikelä
>> funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
>
> Määritellään sahalaitakuvio, jonka huiput ja minimit
> ovat aina 1/2:n välein. Määritellään toinen sahalaita,
> jossa huiput ja minimit ovat 1/3:n välein, ja niin edelleen.
> (Kaikkien pitää -- vai pitääkö? -- alkaa samasta kohtaa,
> joten sovitaan että kaikkien sahalaitojen ensimmäinen
> huippu on kohdassa x = 0.)
>
> Summataan nämä sahalaitafunktiot yhteen siten, että
> "korkeamman kertaluvun sahalaitoja" painotetaan jonkin
> suppenevan sarjan termeillä. Esimerkiksi vaikka niin, että
> 1/2-sahalaita saa painon 1/2, 1/3-sahalaita saa painon
> 1/4, 1/4 sahalaita saa painon 1/8, ja niin edelleen.
Täytyypä miettiä toimiiko esittämäsi sahalaitakonstruktio. Hieman
toisenlainen ainakin toimii.
Valitaan n:nnen sahalaidan kulmien välimatkaksi 1/4^n ja korkeudeksi
1/2^n. Tällaisten sahalaitafunktioden sarja on tietysti kaikkialla
jatkuva, mutta ei ole mahdottoman vaikeaa osoittaa, ettei se ole
millään välillä Lipschitz-jatkuva. (Näin pyydetään tekemään esimerkiksi
osoitteesta http://http://www.math.hut.fi/teaching/l1/harj/9harj.ps
löytyvässä TKK:n ekan matikankurssin laskuharjoituksessa. Loppuviikon
viimeinen tehtävä.) Tästä sitten seuraa mukavasti, ettei se voi olla
missään pisteessä derivoituva.
Tai niin minä luulin kun aloitin tämän kirjoittamisen. Itse asiassa
derivoituvuus jossakin pisteessä ei vaadi Lipschitz-jatkuvuutta tämän
pisteen ympäristössä niin kuin olin muistavinani.
Yllä käsitellyn funktion derivoitumattomuuden voi kuitenkin todistaa
pääpiirteissään samalla tavalla kuin senkin, ettei se ole
Lipschitz-jatkuva. Pitää vain tarkastella riittävän myöhäistä osasummaa,
ja käyttää hyödyksi sitä, että jäännöstermi on nolla osasumma-sahanterän
kulmien kohdalla.
Vielä vähän Sampon konstruktiosta: Derivoitumattomuus irrationaalisissa
pisteissä pitäisi tosiaan saada seuraamaan jotenkin sahalaidan "omista"
ominaisuuksista. Yleisesti ei päde, että rationaalipistessä
derivoitumaton funktio ei voisi olla derivoituva jossakin
irrationaalisessa pisteessä.
Esim.
Olkoon f(x) = x^2 kun x on rationaalinen ja 0 muulloin.
Nyt g(x) = f(x - pi) on derivoituva pi:ssä muttei missään muualla edes
jatkuva. (Ja tätä miettiessäni tajusin, että olin alussa ymmärtänyt
derivoituvuuden ja Lipschitz-jatkuvuuden välisen yhteyden väärin.)
Tällaista tällä kertaa sadepäivän ratoksi.
Mikko Heikelä
Sampo Smolander
> Tai niin minä luulin kun aloitin tämän kirjoittamisen. Itse asiassa
> derivoituvuus jossakin pisteessä ei vaadi Lipschitz-jatkuvuutta tämän
> pisteen ympäristössä niin kuin olin muistavinani.
Ei niin, esimerkiksi kuutiojuuri-fuktio kohdassa x = 0 :-)
> Olkoon f(x) = x^2 kun x on rationaalinen ja 0 muulloin.
> Nyt g(x) = f(x - pi) on derivoituva pi:ssä muttei missään muualla edes
> jatkuva.
Ja sitten on Cantorin portaikko (englanniksi kai myös nimellä
Devil´s staircase?), joka on epäjatkuva vain rationaalilukujen
jossain osajoukossa, muualla derivoituva ja derivaatta
kaikkialla (missä on derivoituva) on nolla.
- Sampo Smolander
Hansen Henri
:> Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
:> funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
: No yksi esimerkki on Brownin liikkeen polut, jotka ovat todennäköisyydellä
: yksi juuri tuollaisia.
Pitäisi kai olla _melkein_ kaikkialla, jos ihan tarkkoja ollaan.
Mikko Heikelä
> In article <akirbo$3ve$1...@oravannahka.helsinki.fi>, Sampo Smolander wrote:
> > Ja sitten on Cantorin portaikko (englanniksi kai myös nimellä
> > Devil´s staircase?), joka on epäjatkuva vain rationaalilukujen
> > jossain osajoukossa, muualla derivoituva ja derivaatta
> > kaikkialla (missä on derivoituva) on nolla.
>
> nollamittaisessa joukossa.
>
Cantorin portakko on derivoituva muualla paitsi Cantorin joukossa.
Lisäksi se on tietysti jatkuva koko välillä [0,1] - eihän muuten
olisi ollenkaan kummallista, että sen arvo kasvaa nollasta
ykköseen vaikka derivaatta on melkein kaikkialla nolla.
Mikko Heikelä
Jyrki Lahtonen
Sampo Smolander wrote:
>
> Ja sitten on Cantorin portaikko (englanniksi kai myös nimellä
> Devil´s staircase?), joka on epäjatkuva vain rationaalilukujen
> jossain osajoukossa, muualla derivoituva ja derivaatta
> kaikkialla (missä on derivoituva) on nolla.
>
> - Sampo Smolander
Cantorin joukon avulla saa aikaan monia patologisia tilanteita
(mm. homeomorfismin joka kuvaa Lebesgue-mitallisen joukon
epämitalliseksi). Tässä yhteydessä mielestäni jopa hauskempi
esimerkki löytyy Rieszin funktionaalianalyysin kirjasta, jossa
sahalaitatekniikalla konstruoidaan funktio, joka on koko välillä
[0,1] AIDOSTI kasvava. Rajoitetusti heilahtelevana sitten melkein
kaikkialla derivoituva, mutta jonka derivaatta kuitenkin on nolla
aina, kun se on olemassa.
Jyrki Lahtonen
Seppo Pitkänen
Miten lienee Cauchyn jakauman kanssa (ainakaan momentteja sille ei löydy
eli integrointiyritykset ovat turhia; en nyt juuri jaksa funtsia,käykö
toisinpäin)?
y = 1/{pi*lambda*{1 + [(x - theta)]^2}};
-inf < x < inf, -inf < theta < inf, lambda > 0
(Patel & Kapada & Owen: Handbook of Statistical Distributions, Marcel
Dekker Inc, 1976, s. 30)
Asiasta vähän samansorttiseen kolmanteen: muistaakseni jo lukiossa n. 35
vuotta sitten oli esillä kummajainen y = kuutiojuuri x^2. Tälle löytyy
ääriarvo derivaatan nollasta poikkevassa kohdassa (so. derivaatta on
ääriarvokohdassa epäjatkuva). Kertoisiko joku, löytyykö tällaisia
funktioita paljonkin ja muodostavatko ne jonkinlaisen perheen, kunnan
tms.?
S.P. (harrastelija)
Heikki Virkkunen skrev:
Seppo Pitkänen
Funktio on
y = 1/{pi*lambda*{1 + [(x -theta)/lambda]^2}},
eli yksi lambda jäi pois.
Sorry!
S.P.
Seppo Pitkänen skrev:
Sampo Smolander
>> Ei niin, esimerkiksi kuutiojuuri-fuktio kohdassa x = 0 :-)
No eipä tietenkään, ellei +oo hyväksytä derivaatan arvoksi.
> Cantorin portaat taisivat olla epäjatkuvat ylinumeroituvassa, mutta
> nollamittaisessa joukossa.
(Paitsi oli tarkoitus puhua ei-derivoituvuudesta eikä
epäjatkuvuudesta. Portaikko on toki kaikkialla jatkuva.)
Mutta: jos ajatellaan sitä tavallista, "1/3 Cantorin joukkoa",
niin ensimmäisellä askeleella katkaisukohdat ovat
1/3 ja 2/3. Toisella askeleella lisäksi 1/9, 2/9, 7/9 ja 8/9,
kolmannella askeleella 8 kpl lukuja muotoa n/27, jne.
Miten tällä konstruktiolla saa aikaan ylinumeroituvan joukon,
kun äkkiseltään näyttäisi siltä että pysytään rationaaliluvuissa?
(Ja kaikkien rationaalilukujen joukko on numeroituva.)
- Sampo Smolander
Seppo Pitkänen
Univariable Distributions - I, Houghton Mifflin 1970), eli edes
odotusarvoa E(x) = int x*f(x)dx ei ole tälle jakaumalle olemassa. Mutta
palauttaisin mieleen Heikki Virkkusen alkuperäisen kysymyksen Cauchyn
funktion suhteen: "onko se avoimella tai suljetulla välillä kaikkialla
jatkuva (on!), mutta _ei missään derivoituva_"? Näin päin ole tullut
asiaa ajatelleeksi. Ei kai jonkin annetun funktion
integrointumisimpotenssista välttämättä seuraa derivoitumiskyvyttömyys?
S.P. (harrastelija)
Ville Hakulinen skrev:
>
> In article <3D6E6ED3...@sci.fi>, Seppo Pitkänen wrote:
> > Funktio on
> >
> > y = 1/{pi*lambda*{1 + [(x -theta)/lambda]^2}},
> >
> > eli yksi lambda jäi pois.
>
> Näyttäisi äärettömältä, jos pitää integroida sekä x että theta -oo:sta
> oo:aan, koska jos tuossa tekee muuttujanvaihdoksen z=x-theta, z'=x+theta,
> niin taitaa z'-integraali paukkua, kun integroidaan positiivista vakiota
> koko reaaliakselin yli.
> --
> Ville
Jukka Kohonen
>Mutta: jos ajatellaan sitä tavallista, "1/3 Cantorin joukkoa",
>niin ensimmäisellä askeleella katkaisukohdat ovat
>1/3 ja 2/3. Toisella askeleella lisäksi 1/9, 2/9, 7/9 ja 8/9,
>kolmannella askeleella 8 kpl lukuja muotoa n/27, jne.
>
>Miten tällä konstruktiolla saa aikaan ylinumeroituvan joukon,
>kun äkkiseltään näyttäisi siltä että pysytään rationaaliluvuissa?
Katkaisukohdat ovat kyllä rationaalilukuja, mutta konstruoidun joukon
_alkiot_ ovat eri asia kuin katkaisukohdat.
--
Jukka....@iki.fi
* Quiquid latine dictum est, profundum videtur.
Timo Korvola
[Cantorin joukosta]
> Miten tällä konstruktiolla saa aikaan ylinumeroituvan joukon,
> kun äkkiseltään näyttäisi siltä että pysytään rationaaliluvuissa?
Joukon pisteet voi karakterisoida bittijonoilla: Ensimmäinen bitti
kertoo, kuuluuko piste välille [0, 1/3] vai [2/3, 1]. Seuraava bitti
aina kertoo, kuuluuko piste edellisen bitin ilmoittaman välin
ensimmäiseen vai viimeiseen kolmannekseen.
--
Timo Korvola <URL:http://www.iki.fi/tkorvola>
Sampo Smolander
> Katkaisukohdat ovat kyllä rationaalilukuja, mutta konstruoidun joukon
> _alkiot_ ovat eri asia kuin katkaisukohdat.
Niin siis itse Cantorin _joukon_ alkiot ovat eri asia ja
Cantorin joukko on ylinumeroituva. Tästä ei ollut epäilystä.
Mutta onko tuo porrasfunktio ei-derivoituva koko Cantorin
joukossa? Tuollalailla iteraatiivisesti ajateltuna, kun
porrasfunktiota lähdetään askel askeleelta tarkentamaan,
niin sen ei-derivoituvuuskohdat kyllä näyttävät olevan
vain noita katkaisukohtia, ja siis rationaalilukuja.
- Sampo
Vesa-Matti Sarenius
>Onko olemassa avoimella tai suljetulla välillä määriteltyä
>funktiota joka on kaikkialla jatkuva mutta ei missään derivoituva?
>-Ajattelimme että jos funktio mahdollinen niin sellaisen voisi kenties
>konstruoida määrittelemällä funktion arvot erikseen rationaalipisteissä
>ja sitten muualla. Miten funktion siis voisi konstruoida?
>(Yhdessä pisteessä jatkuva ei-derivoituva funktio lienee aika helppo
>määritellä.)
On olemassa. Itse asiassa tällaisten funktioiden joukon
kardinaliteetti on suurempi kuin kaikkialla jatkuvien kaikkialla
derivoituvien funktioiden joukon (Bairen lause jossain muodossa).
Yksinkertaisimmillaan funktio on esim:
W(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^n cos(b^n \pi x), missä
0 < a < 1 ja ab > 1+3/2\pi
summaus siis nollasta äärettömään (jos joku on TeX-lukutaidoton).
Tätä voi helposti hahmotella vaikkapa Maplella piirtämällä ensimmäisiä
vaiheita vaikka:
3/4 cos(9\pi x) + 9/16 cos(81\pi x) + 27/64 cos(729\pi x),
Tässä siis a=3/4 ja b=9
--
Vesa-Matti Sarenius, D.G.S.A * - Am I a man or what? - A What!*
mailto:sarenius.at.paju.oulu.fi * - What? - Yes, that's right! *
http://www.student.oulu.fi/~sarenius * * * * * * * * * * hmmmm! *
Finland, Europe. Tel. +358-8-333030 fax.+358-8-5305045. * * * * * *
Jaakko P
> Eikös esim weierstrassin-käppyr täyt tämän ehdon?
>
> Ville
>
Kyllä, katso:
http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
ja
http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html
Blancmangesta tuli mieleen että kaikki fraktaalit toteuttavat
ko. ehdot (jatkuvuus ja ei-derivoituvuus).
Jaska
--
ˆ %@ˆ %@