Paine
Juhani Kaukoranta
paine on 200 bar. Pullon 1 neliösenttimetrin kaula posahtaa. Millä
voimalla pullo lähtee liikkeelle? Mikä on lähtevän ilman
purkautumisnopeus? Miten pullon paine muuttuu ajan funktiona.
Itse laskin, että 200 bar paine purkaa ilmaa ulos alkuvaiheessa 2000 N
voimalla, jolla voimalla pullo lähtee liikkeelle jos sitä ei ole
kiinnitetty. Pullon lähtökiihtyvyys on melkoinen.
Mutta mikä on purkautuvan ilman nopeus? Nesteelle homma on selvä,
v=sqrt(2p/roo), mutta ilma on kokoonpuristuvaa. Purkautumisaukon
pullon puolella paine on 200 bar ja tiheys suuri, mutta paine alenee
ulkoilman paineeseen ulkopuolella ilman laajentuessa.
Itse sain pullossa olevan paineen ja tiheyden lausekkeeksi
eksponenttifunktion, mikä kuulostaa järkevältä.
Ulos purkautuvan ilman nopeudeksi sain yhdellä tarkastelulla
vakionopeuden, mikä kuulostaa kummalliselta. Siis nopeus pysyy
vakiona, vaikka pullon paine laskee koko ajan? Toisaalta kineettisen
kaasuteorian mukaan ilmamolekyylien neliöllinen keskinopeus ei
riipukaan paineesta, sen sijaan ulos virtaavan molekyylivirran suuruus
kyllä riippuu paineesta.
Voisiko joku guru johtaa ulospurkautuvan paineilman nopeuden
lausekkeen, pullon sisällä vallitsevan paineen ja tiheyden lausekkeet
ajan funktiona?
PS. kyse ei ole kotitehtävästä eikä opiskelutehtävästä, vaan itseäni
sukeltajana kiinnostavasta kysymysesta. Auton takakontissa oleva
paineilmapullo kolarissa...
---
Juhani Kaukoranta, Raahen lukio, http://koti.mbnet.fi/jukaukor/
Author of Eksoottiset matkat: http://koti.mbnet.fi/jukaukor/matkat/
ype
Juhani Kaukoranta <juhani.k...@mail.suomi.net> wrote in message news:9rdk80ds95v2ioek3...@4ax.com...
> Oletetaan, että 15 kg massaisen 12-litraisen paineilmapullon ilman
> paine on 200 bar. Pullon 1 neliösenttimetrin kaula posahtaa. Millä
> voimalla pullo lähtee liikkeelle? Mikä on lähtevän ilman
> purkautumisnopeus? Miten pullon paine muuttuu ajan funktiona.
>
> Itse laskin, että 200 bar paine purkaa ilmaa ulos alkuvaiheessa 2000 N
> voimalla, jolla voimalla pullo lähtee liikkeelle jos sitä ei ole
> kiinnitetty.
Sanoisin että 2000N - 10 N
Koska ilmakehän paine on 10N neliösentille.
> Pullon lähtökiihtyvyys on melkoinen.
> Mutta mikä on purkautuvan ilman nopeus? Nesteelle homma on selvä,
> v=sqrt(2p/roo), mutta ilma on kokoonpuristuvaa.
Paineilman energia = paineilman liike-energia + 1 bar paineilman
energia
Paineilman energia = paineilman lämpöenergia
Siis ilman energia 1 barissa = ilman energia 200 barissa
Siis 200-barisen ilmalitran energia = 200 * 1-barisen ilmalitran energia
Eli siis nyt pitäisi tietää paljonko ilma kylmenee.
Siis tuota noin enhän minä tiedä. Mutta kun ilman energia on
sama kaikissa paineissa, niin siinä tapukseesa että kaikki
energia käytetään ilman kiidyttämiseen, nopeus on sama kaikissa
paineissa.
Ilkka Karaila
"ype" <nom...@fff.fi> wrote in message
news:cUNic.843$yt....@reader1.news.jippii.net...
Se purkautuminen taitaa olla adiabaattinen prosessi,
ja sitten se ilma jäähtyy laajetessaan aika paljon...
--
Ilkka Karaila, DrTech.
Senior Research Scientist
What we observe, may be true, but the causes
behind the observation are not always obvious.
Olli Toivanen
> Voisiko joku guru johtaa ulospurkautuvan paineilman nopeuden
> lausekkeen, pullon sisällä vallitsevan paineen ja tiheyden lausekkeet
> ajan funktiona?
J.P. Holman, Thermodynamics, chapter 10.
Kokoonpuristuva, adiabaattinen virtaus, painesuhde reilusti
riittävä kiihdyttämään virtauksen äänennopeuteen. Massavirralle
dm/dt = A*p*sqrt(k/(R*T))*(2/(k+1))^((k+1)/(2*(k-1)))
p paine, R ilman kaasuvakio, k isentrooppivakio,
A virtauspokkipinta-ala.
Paine putoaa hyvin nopeasti jolloin kaasu jäähtyy. Siitä
seuraa kytketyt dp/dt = jotain ja dT/dt = jotain. Ei juuri nyt
riitä kahvia analyyttisen ratkaisun hakemiseen :) voi olla ettei
hevin löydykään kun ei ole tasapainotila. Koita numeerisesti
enintään ~10 ms aika-askelelluksella. T ja p pullossa pitää
varmaan hakea iteroimalla ideaalikaasun tilanyhtälöä pv=RT
soveltaen niin että pv^k säilyy vakiona (v ominaistilavuus).
Joakim Majander
> paine on 200 bar. Pullon 1 neliösenttimetrin kaula posahtaa. Millä
> voimalla pullo lähtee liikkeelle? Mikä on lähtevän ilman
> purkautumisnopeus? Miten pullon paine muuttuu ajan funktiona.
>
Ilman nopeus kaulassa rajoittuu aina äänennopeuteen, joka saavutetaan
painesuhteen ollessa yli 1,9 eli kun pullossa on yli 0,9 bar painetta.
(http://www.theleeco.com/LEEWEB2.NSF/0/de09443f15e4fdbd8525689b00654b40?OpenDocument)
Se mikä tarkasti ottaen on äänennopeus ja tiheys ko. tilanteessa onkin
jo hiukan hankalampi juttu. Ideaalikaasulle äänennopeus riippuu vain
lämpotilasta ollen ilmalle ~340 m/s huoneenlämmössä. Purkautuvan
kaasun lämpötila on sitten jotain muuta, johtuen sekä paineen
laskusta, että kitkasta. Reiän kohdalla, jossa ilma menee
äänennopeutta, paine ei ole ilmanpaine, eikä myöskään säiliön paine.
Yhden kaavan löysin kitkattomalle tilanteelle:
m' = P * A * sqrt (y/(R*T) * (2/(y + 1))^(y+1)/(y-1)),
missä m' on massavuo (kg/s), P absoluuttinen paine säiliössä, A pienin
poikkipinta-ala, y gamma (1,4 ilmalle), R kaasuvakio (ilmalle 287
J/kg/K) ja T lämpötila säiliössä (K).
No löytyihän kaava netistäkin:
http://www.google.fi/search?hl=fi&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=%22choked+mass+flow%22&btnG=Google-haku&lr=
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/mflchk.html
Kaavasta nähdään, ettei massavuo pysy vakiona vaan laskee
lineaarisesti paineen mukaan.
Massavuosta aiheutuva voima voidaan laskea reaktiovoimana eli F = m' *
V = m'^2 / (rho * A) , joten tiheyskin pitää vielä laskea nopeuden
saamiseksi.
Tiheys saadaan kaavasta:
rho* = rho * (2/(y + 1))^(1/(y-1)),
missä rho on tiheys säiliössä.
Tuossa 200 bar tilanteessa massavuo olisi kai ~4,8 kg/s ja tiheys ~160
kg/m3, joten reaktiovoima olisi suuruusluokkaa 1400 N. Lisäksi tulee
vielä voima paine-erosta suuaukolla, jossa paine ei enää ole 200 bar
vaan jotain alempaa.
Edellä ollut laskelma ei ota huomioon kitkaa, joka voi ihan
merkittävästikin pudottaa voimaa (en tiedä).
Tuosta sitten vain integroimaan voimaa ajan funktiona, jotta saat
nopeuden pullolle. Onneksi ilmaa on vain 3 kg, joten tuo hurja
kiihtyvyys ei kauaa kestä ja toivottavasti se pysähtyy ennen kuin
vauhti kiihtyy liikaa....
Pikaisella laskulla pääsin loppunopeuteen ~80 m/s, jos otetaan
huomioon vain tuo reaktiovoima ja pullon ilmanvastusta ei huomioida.
Joakim
ype
Ilkka Karaila <ilkkaNO....@AMpp.inet.fi.invalid> wrote
Tuota noin eikös purkautuminen ole jonkinlaista laajenemista.
Ainakin yksi helppo tapaus on olemassa: Säiliön seinä on
10 km paksu. Eli siis nyt ilman lämpöenergiaa muuttuu
jatkuvasti ilman liike-energiaksi ja sitten taas takaisin lämpö-
energiaksi kun se siellä putkessa virtaa.
Ja nopeutta kysyttin. No se on pieni.
Ilkka Karaila
>
[...]
> > >
> > > Eli siis nyt pitäisi tietää paljonko ilma kylmenee.
> > >
Adiabaattiprosessi suihkussa ja kaasuyhtälö vakiotilavuudessa säiliön
sisällä.
> > > Siis tuota noin enhän minä tiedä. Mutta kun ilman energia on
> > > sama kaikissa paineissa, niin siinä tapukseesa että kaikki
> > > energia käytetään ilman kiidyttämiseen, nopeus on sama kaikissa
> > > paineissa.
> > >
> >
> > Se purkautuminen taitaa olla adiabaattinen prosessi,
> > ja sitten se ilma jäähtyy laajetessaan aika paljon...
Kokeile laskea kaasun massa säiliössä ajan funktiona ja paineen ja
lämpötilan käyttäytyminen siinä sivussa. Muistan miten nestekaasupullot
menivät huurteeseen kesähelteellä, kun niistä otettiin irti suuri polttoteho
eli kaasun ulosvirtaama.
> >
>
> Tuota noin eikös purkautuminen ole jonkinlaista laajenemista.
Laajetessaan ilma jäähtyy adiabaattiprosessin mukaan.
>
> Ainakin yksi helppo tapaus on olemassa: Säiliön seinä on
> 10 km paksu. Eli siis nyt ilman lämpöenergiaa muuttuu
> jatkuvasti ilman liike-energiaksi ja sitten taas takaisin lämpö-
> energiaksi kun se siellä putkessa virtaa.
>
> Ja nopeutta kysyttin. No se on pieni.
>
Pitkän putken virtausvastus on niin suuri, että siinä se menee
Joule-Thomsonin prosessiksi...