Taajuusvasteesta siirtofunktio
Pekka Jarvela
siirtofunktio H(s), niin sen taajuusvaste saadaan sijoittamalla
yksinkertaisesti s = wj eli taajuusvaste on H(wj). Kysymys: onko
mahdollista muodostaa taajuusvasteesta siirtofunktio? Siis jos meillä
on datana amplitudia |H(wj)| = F(w) ja vaihetta arg(H(wj)) eri
taajuuksilla w, niin voiko näistä päätellä siirtofunktion H(s)?
---
Olen löytänyt kirjallisuudesta menetelmiä tapaukselle, jossa
taajuusvasteen amplitudiosa F(w) = |H(jw)| tunnetaan, esim. F(w)^2 =
1/[1+w^(2n)]. Tähän sijoitetaan w = s/j = -js, jolloin F(s)F(-s) =
1/[1+(-1)^n*s^(2n)]. Ratkaistaan nimittäjän juuret ja valitaan
ainoastaan ne, joiden reaaliosa on positiivinen.
Kompleksikonjigaattijuuret yhdistetään toisen asteen polynomiksi
s^2+as+1 ja reaalinen -1 antaa ensimmäisen asteen polynomin s+1. Eli
päädytään vaikka tilanteeseen, jossa nimittäjään saadaan
(s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1). Näin saatiin siirtofunktio
muodostetuksi.
Eli kyllä se siirtofunktio sieltä taajuusvasteesta saatiin
puristettua, jopa pelkästään sen amplitudiosasta. Mutta tässähän siis
tiedettiin etukäteen taajuusvasteen F(w) matemaattinen muoto. Ja siitä
sitten erinäisten kikkailujen avulla päädyttiin siirtofunktioon. Mutta
entäs jos käytössä on vain diskreettiä dataa taajuusvasteesta?
Mittauksia siis. Onko silloin mahdollisuuksia päätellä jotenkin
vastaava siirtofunktio?
Kirjallisuusviitteitä, web-viitteitä otetaan kiitollisuudella vastaan.
Pekka
Petteri Pajunen
>
> Hieman teoreettisempi kysymys. Jos meillä on rationaalinen
> siirtofunktio H(s), niin sen taajuusvaste saadaan sijoittamalla
> yksinkertaisesti s = wj eli taajuusvaste on H(wj). Kysymys: onko
> mahdollista muodostaa taajuusvasteesta siirtofunktio? Siis jos meillä
> on datana amplitudia |H(wj)| = F(w) ja vaihetta arg(H(wj)) eri
> taajuuksilla w, niin voiko näistä päätellä siirtofunktion H(s)?
Jos siirtofunktio H(s) oletetaan analyyttiseksi kompleksitasossa
niin teoriassa H(s) on yksikäsitteisesti määrätty kun tunnetaan
arvot H(w_i j), i=1,2,3,.... missä jonolla w_i on kasautumispiste.
Erityisesti jos tunnet koko taajuusvasteen H(wj) niin sitä
vastaa täsmälleen yksi analyyttinen H(s) koko kompleksitasossa.
- Rudin: Real and Complex Analysis tai Lehto: Funktioteoria I-II
Spektrihajotelman avulla voit yrittää laskea siirtofunktiota käytännössä
mikäli teet joitakin väljiä oletuksia tehospektristä. Katso esim.
- Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, Wiley 1996.
t. Petteri Pajunen
-----------------------------------------------------------------------------
e-mail: Petteri.Pa...@ISGOODFORYOUhut.fi, http://www.hut.fi/~ppajunen
Ville Voipio
> Hieman teoreettisempi kysymys. Jos meillä on rationaalinen
> siirtofunktio H(s), niin sen taajuusvaste saadaan sijoittamalla
> yksinkertaisesti s = wj eli taajuusvaste on H(wj). Kysymys: onko
> mahdollista muodostaa taajuusvasteesta siirtofunktio? Siis jos meillä
> on datana amplitudia |H(wj)| = F(w) ja vaihetta arg(H(wj)) eri
> taajuuksilla w, niin voiko näistä päätellä siirtofunktion H(s)?
Kyllä ja ei. Jos kyseessä on ns. fysikaalinen suodin, ilmeisesti
amplitudi- ja vaihevaste ovat väistämättä sidoksissa toisiinsa.
Digitaalisuotimilla ei ole samoja rajoituksia, joten amplitudi-
ja vaihevaste ovat toisistaan riippumattomia.
Jos nyt hatara käsitykseni pitää paikkansa, tuo amplitudi- ja
vaihevasteen sidos toisiinsa muistuttaa kovasti dispersiorelaatiota
(Kramers-Kronig optiikassa, Hilbert kavereitten kesken), jolloin
kuitenkin täyden vaihevasteen repiminen amplitudivasteesta
edellyttää amplitudivasteen tuntemista koko spektrin alueella
nollasta äärettömään.
Ainakin dispersiopuolella tämä aiheuttaa loputtoman läjän ongelmia,
joita sitten yritetään erilaisilla arvailuilla ja vippaskonsteilla
korjata.
Jos käytössä on vain tieto vasteesta äärellisessä määrässä pisteitä,
koko siirtofunktiota ei periaattessa voida näistäkään laskea.
Käytännössä toki päästään tekemään hyviä approksimaatioita ja
arvauksia, mutta teoriassa edelleen on olemassa ääretön määrä
erilaisia konfiguraatioita, jotka tuottavat tietyn vasteen
diskreeteissä pisteissä. Tämä pätee myös tapauksessa, jossa
sekä amplitudi- että vaihevaste tunnetaan.
- Ville
--
Ville Voipio, M.Sc. (EE)
Huttunen Heikki
Pekka Jarvela <pekkaj...@email.com> wrote:
>
>Eli kyllä se siirtofunktio sieltä taajuusvasteesta saatiin
>puristettua, jopa pelkästään sen amplitudiosasta. Mutta tässähän siis
>tiedettiin etukäteen taajuusvasteen F(w) matemaattinen muoto. Ja siitä
>sitten erinäisten kikkailujen avulla päädyttiin siirtofunktioon. Mutta
>entäs jos käytössä on vain diskreettiä dataa taajuusvasteesta?
>Mittauksia siis. Onko silloin mahdollisuuksia päätellä jotenkin
>vastaava siirtofunktio?
Matlabissa ja sen signal processing toolboxissa on rutiini
nimeltä invfreqs, joka ratkaisee vasteesta siirtofunktion.
Rutiini saa parametreinaan taajuusvasteen sekä siirtofunktion
osoittajan ja nimittäjän asteet. Ohjelma hakee sitten parhaat
kertoimet minimoimalla taajuusvasteiden erotuksen.
--
Heikki Huttunen
TTKK
Pekka Jarvela
> Jos siirtofunktio H(s) oletetaan analyyttiseksi kompleksitasossa
> niin teoriassa H(s) on yksikäsitteisesti määrätty kun tunnetaan
> arvot H(w_i j), i=1,2,3,.... missä jonolla w_i on kasautumispiste.
Voisiko joku kommentoida, miten on käytännössä asian laita? Siis onko
siirtofunktion olettaminen analyyttiseksi kuinka rajoittavaa? (Ja mikä
on kasautumispiste? Tarkoittaako se, että jonolla on oltava jokin
raja-arvo?)
> Erityisesti jos tunnet koko taajuusvasteen H(wj) niin sitä
> vastaa täsmälleen yksi analyyttinen H(s) koko kompleksitasossa.
Tämä lienee mahdollista vain teoriassa.
> - Rudin: Real and Complex Analysis tai Lehto: Funktioteoria I-II
> - Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, Wiley 1996.
Kiitoksia! En tiedä riittääkö matemaattiset kykyni noiden
sisäistämiseen, mutta aion kyllä etsiä ne käsiini.
Pekka
Pekka Jarvela
> Kyllä ja ei. Jos kyseessä on ns. fysikaalinen suodin, ilmeisesti
> amplitudi- ja vaihevaste ovat väistämättä sidoksissa toisiinsa.
> Digitaalisuotimilla ei ole samoja rajoituksia, joten amplitudi-
> ja vaihevaste ovat toisistaan riippumattomia.
Vielä sen verran, että onko siis niin, että tuolla digitaalisella
puolella ei ole mahdollista edes periaatteessa pelkästään toisesta
(amplitudi- tai vaihevasteesta) johtaa siirtofunktiota? Kun taas siis
fysikaalisella puolella se on periaatteessa mahdollista, koska näiden
(amplitudi- ja vaihevaste) välillä on relaatio (Paley-Wiener Criterion
- joka kaiketi tunnetaan myös Kramers-Kronigina)?
Entäs jos tuntee digitaalisella puolella sekä amplitudi- että
vaihevasteen: edelleenkö ei ole mahdollista muodostaa vastaavaa
siirtofunktiota? (Ja fysikaalisella puolella ainakin teoriassa siis
kyllä? ...)
> Käytännössä toki päästään tekemään hyviä approksimaatioita ja
> arvauksia, mutta teoriassa edelleen on olemassa ääretön määrä
> erilaisia konfiguraatioita, jotka tuottavat tietyn vasteen
> diskreeteissä pisteissä. Tämä pätee myös tapauksessa, jossa
> sekä amplitudi- että vaihevaste tunnetaan.
Onko kyseessä käytännössä lopulta aina jonkinlainen sovitus, siis että
meillä on oltava jo a priori tiedossa se, mitä haluamme dataan
sovittaa? Arvataan siis siirtofunktion muoto ja määritetään
tuntemattomat parametrit sovituksella.
>
> - Ville
Pekka
Ville Voipio
> Vielä sen verran, että onko siis niin, että tuolla digitaalisella
> puolella ei ole mahdollista edes periaatteessa pelkästään toisesta
> (amplitudi- tai vaihevasteesta) johtaa siirtofunktiota?
On. Digitaalisella puolella pystytään esimerkiksi äärettömän
pitkällä FIR-suotimella tekemään mikä hyvänsä taajuus- ja vaihevaste;
vaste on olennaisesti filtterin kerrointen F-muunnos. Käytännössä
tietysti kerrointen lukumäärä rajoittaa toteutusta, mutta digitaalisten
suodinten ilo on esimerkiksi siinä, että on helppo tehdä vaihelineaa-
rinen suodin. Vaihe ei siis pyöriskele jyrkkien amplitudimuutosten
ympärillä. (Yksinkertainen tapa tehdä vaihelineaarinen FIR-suodin
on ottaa suotimeen kertoimet, jotka ovat symmetrisiä keskikohdan
suhteen. Tuollaisella suotimella on Sylvester Stallonen aivosähkö-
käyrää muistuttava vaihevaste käytännössäkin.)
> Kun taas siis
> fysikaalisella puolella se on periaatteessa mahdollista, koska näiden
> (amplitudi- ja vaihevaste) välillä on relaatio (Paley-Wiener Criterion
> - joka kaiketi tunnetaan myös Kramers-Kronigina)?
Tuo Kramers-Kronig on eri asia, se itse asiassa kertoo
relaation, joka on materiaalin dielektrisen vakion reaali- ja
imaginääriosilla. Käytännössä kuitenkin taustalla on samat
ajatukset systeemin fysikaalisesta toteutuvuudesta. Idea
on kuiteknin samansuuntainen; jos systeemiä sitovat tietyt
fysikaaliset reunaehdot, siitä häviää vapausasteita.
> Entäs jos tuntee digitaalisella puolella sekä amplitudi- että
> vaihevasteen: edelleenkö ei ole mahdollista muodostaa vastaavaa
> siirtofunktiota? (Ja fysikaalisella puolella ainakin teoriassa siis
> kyllä? ...)
Jos digitaalisella puolella tuntee suotimen rakenteen, vaihevasteen
ja amplitudivasteen, silloin kertoimet on määritettävissä diskreetistä
joukosta näytteitä. Jos näitä tietoja ei ole, ollaan samassa tilan-
teessa kuin analogisessakin tapauksessa, ehkä vieläkin kurjemmassa
jamassa.
> Onko kyseessä käytännössä lopulta aina jonkinlainen sovitus, siis että
> meillä on oltava jo a priori tiedossa se, mitä haluamme dataan
> sovittaa? Arvataan siis siirtofunktion muoto ja määritetään
> tuntemattomat parametrit sovituksella.
Käytännössä näin.
Jarmo Raiha
Pekka Jarvela wrote:
>
> Ville Voipio <vvo...@kosh.hut.fi> wrote in message news:<i3kzo82...@kosh.hut.fi>...
>
> > Kyllä ja ei. Jos kyseessä on ns. fysikaalinen suodin, ilmeisesti
> > amplitudi- ja vaihevaste ovat väistämättä sidoksissa toisiinsa.
> > Digitaalisuotimilla ei ole samoja rajoituksia, joten amplitudi-
> > ja vaihevaste ovat toisistaan riippumattomia.
>
> Vielä sen verran, että onko siis niin, että tuolla digitaalisella
> puolella ei ole mahdollista edes periaatteessa pelkästään toisesta
> (amplitudi- tai vaihevasteesta) johtaa siirtofunktiota? Kun taas siis
> fysikaalisella puolella se on periaatteessa mahdollista, koska näiden
> (amplitudi- ja vaihevaste) välillä on relaatio (Paley-Wiener Criterion
> - joka kaiketi tunnetaan myös Kramers-Kronigina)?
Sen verran lisaisin , etta pelkasta amplitudivasteesta ei saa
siirtofunktiota,
ellei siirtofunktio ole minimivaiheinen.
Jos on, niin vaihevaste taitaa olla amplitudivasteen hilbert muunnos
tai sinne pain.
Esimerkki allpass suodin jonka amplitudivaste on aina 1.
siis esim. (s-1)/(s+1)
Yleinen siirtofunktio voidaan kuitenkin jakaa minimivaiheosaan ja
allpass osaan.
Jarmo
Petri Valasti
: pekkaj...@email.com (Pekka Jarvela) writes:
:> Onko kyseessä käytännössä lopulta aina jonkinlainen sovitus, siis että
:> meillä on oltava jo a priori tiedossa se, mitä haluamme dataan
:> sovittaa? Arvataan siis siirtofunktion muoto ja määritetään
:> tuntemattomat parametrit sovituksella.
: Käytännössä näin.
H(jw) = F[h(t)] eli taajusvaste on impulssifunktion Fourier-muunnos
h(t) = F^(-1)[H(jw)] käänteismuunnoksella saadaan impulssivaste
L[h(t)] = H(s) Laplace-muunnoksella saadaan siirtofunktio
eli H(jw) --> h(t) --> H(s)
Onnistuisiko näin?
pv