Logical loops through N = p * q

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Bruno Paiva

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Sep 27, 2026, 4:14:08 PM (12 days ago) Sep 27
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1. Structural Overview: Multiplicative Construction & Modular Tuples

The 2N49R1M3 project investigates composite candidate structures and semiprimes N = p * q (with p, q > 5) via two complementary modular models:

  1. Multiplicative Candidate Construction: N = a * 2^b + c' * 3^d where N in U_30 (residues 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 mod 30). We analyze p-adic valuations (v_2, v_3) on decimal suffixes to isolate modular anchors in 6k +/- 1.Sample Generated Candidates (N_k): [Decomposição de N = a * 2^b + c * 3^d:
    --------------------------------------
N = 13    -> a=5, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 5*2^1 + 1*3^1 = 13) OK
N = 19    -> a=5, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 5*2^1 + 1*3^2 = 19) OK
N = 23    -> a=5, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 5*2^2 + 1*3^1 = 23) OK
N = 29    -> a=5, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 5*2^2 + 1*3^2 = 29) OK
N = 43    -> a=5, b=3, c=1, d=1 (Verificação: 5*2^3 + 1*3^1 = 43) OK
N = 49    -> a=5, b=3, c=1, d=2 (Verificação: 5*2^3 + 1*3^2 = 49) OK
N = 53    -> a=25, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 25*2^1 + 1*3^1 = 53) OK
N = 59    -> a=25, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 25*2^1 + 1*3^2 = 59) OK
N = 73    -> a=35, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 35*2^1 + 1*3^1 = 73) OK
N = 79    -> a=35, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 35*2^1 + 1*3^2 = 79) OK
N = 83    -> a=5, b=4, c=1, d=1 (Verificação: 5*2^4 + 1*3^1 = 83) OK
N = 89    -> a=5, b=4, c=1, d=2 (Verificação: 5*2^4 + 1*3^2 = 89) OK
N = 103   -> a=25, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 1*3^1 = 103) OK
N = 109   -> a=25, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 25*2^2 + 1*3^2 = 109) OK
N = 113   -> a=55, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 55*2^1 + 1*3^1 = 113) OK
N = 119   -> a=55, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 55*2^1 + 1*3^2 = 119) OK
N = 121   -> a=25, b=2, c=7, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 7*3^1 = 121) OK
N = 127   -> a=25, b=2, c=1, d=3 (Verificação: 25*2^2 + 1*3^3 = 127) OK
N = 133   -> a=65, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 65*2^1 + 1*3^1 = 133) OK
N = 139   -> a=65, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 65*2^1 + 1*3^2 = 139) OK
N = 143   -> a=35, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 35*2^2 + 1*3^1 = 143) OK
N = 149   -> a=35, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 35*2^2 + 1*3^2 = 149) OK
N = 151   -> a=25, b=2, c=17, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 17*3^1 = 151) OK
N = 153   -> a=75, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 75*2^1 + 1*3^1 = 153) OK
N = 157   -> a=25, b=2, c=19, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 19*3^1 = 157) OK
N = 163   -> a=5, b=5, c=1, d=1 (Verificação: 5*2^5 + 1*3^1 = 163) OK
N = 169   -> a=5, b=5, c=1, d=2 (Verificação: 5*2^5 + 1*3^2 = 169) OK
N = 173   -> a=85, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 85*2^1 + 1*3^1 = 173) OK
N = 175   -> a=25, b=2, c=25, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 25*3^1 = 175) OK
N = 179   -> a=85, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 85*2^1 + 1*3^2 = 179) OK
N = 181   -> a=25, b=2, c=1, d=4 (Verificação: 25*2^2 + 1*3^4 = 181) OK
N = 183   -> a=45, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 45*2^2 + 1*3^1 = 183) OK
N = 187   -> a=25, b=2, c=29, d=1 (Verificação: 25*2^2 + 29*3^1 = 187) OK
N = 189   -> a=45, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 45*2^2 + 1*3^2 = 189) OK
N = 193   -> a=95, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 95*2^1 + 1*3^1 = 193) OK
N = 199   -> a=95, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 95*2^1 + 1*3^2 = 199) OK
N = 203   -> a=25, b=3, c=1, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 1*3^1 = 203) OK
N = 209   -> a=25, b=3, c=1, d=2 (Verificação: 25*2^3 + 1*3^2 = 209) OK
N = 213   -> a=105, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 105*2^1 + 1*3^1 = 213) OK
N = 215   -> a=25, b=3, c=5, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 5*3^1 = 215) OK
N = 219   -> a=105, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 105*2^1 + 1*3^2 = 219) OK
N = 221   -> a=25, b=3, c=7, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 7*3^1 = 221) OK
N = 223   -> a=55, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 55*2^2 + 1*3^1 = 223) OK
    1. N = 223   -> a=55, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 55*2^2 + 1*3^1 = 223) OK
N = 227   -> a=25, b=3, c=1, d=3 (Verificação: 25*2^3 + 1*3^3 = 227) OK
N = 229   -> a=55, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 55*2^2 + 1*3^2 = 229) OK
N = 233   -> a=115, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 115*2^1 + 1*3^1 = 233) OK
N = 239   -> a=115, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 115*2^1 + 1*3^2 = 239) OK
N = 243   -> a=15, b=4, c=1, d=1 (Verificação: 15*2^4 + 1*3^1 = 243) OK
N = 245   -> a=25, b=3, c=5, d=2 (Verificação: 25*2^3 + 5*3^2 = 245) OK
N = 349   -> a=85, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 85*2^2 + 1*3^2 = 349) OK
N = 251   -> a=25, b=3, c=17, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 17*3^1 = 251) OK
N = 253   -> a=125, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 125*2^1 + 1*3^1 = 253) OK
N = 257   -> a=25, b=3, c=19, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 19*3^1 = 257) OK
N = 259   -> a=125, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 125*2^1 + 1*3^2 = 259) OK
N = 263   -> a=65, b=2, c=1, d=1 (Verificação: 65*2^2 + 1*3^1 = 263) OK
N = 269   -> a=65, b=2, c=1, d=2 (Verificação: 65*2^2 + 1*3^2 = 269) OK
N = 273   -> a=135, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 135*2^1 + 1*3^1 = 273) OK
N = 275   -> a=25, b=3, c=25, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 25*3^1 = 275) OK
N = 279   -> a=135, b=1, c=1, d=2 (Verificação: 135*2^1 + 1*3^2 = 279) OK
N = 281   -> a=25, b=3, c=1, d=4 (Verificação: 25*2^3 + 1*3^4 = 281) OK
N = 283   -> a=35, b=3, c=1, d=1 (Verificação: 35*2^3 + 1*3^1 = 283) OK
N = 287   -> a=25, b=3, c=29, d=1 (Verificação: 25*2^3 + 29*3^1 = 287) OK
N = 289   -> a=35, b=3, c=1, d=2 (Verificação: 35*2^3 + 1*3^2 = 289) OK
N = 293   -> a=145, b=1, c=1, d=1 (Verificação: 145*2^1 + 1*3^1 = 293) OK]

    2. Quad-Value Position Mapping: Mapping N +/- (q +/- p) yields symmetric ordered positions w < x < y < z around N (w + z = 2N, x + y = 2N).
      • Residues mod 6: Governed strictly by N mod 6. For N = 5 mod 6, w = z = 5 mod 6 and x, y in {1, 3} mod 6.
      • Deterministic Slots mod 5: In 78% of modulo pairs [(p mod 5, q mod 5)], exactly one slot in {w, x, y, z} is divisible by 5 (e.g., (2,2) -> w = 0 mod 5; (2,3) -> x = 0 mod 5).
    2. Graph Mapping & Cycle Detection
    By iterating the transition N -> {w, x, y, z} and keeping only semiprime vertices with factors > 5, we construct a directed graph.
    For N <= 50000, empirical analysis reveals:
    • 10 trivial length-2 mirror cycles (e.g., z(119) = 143 and w(143) = 119, producing 119 <-> 143).
    • 13 genuine cycles of length k >= 3.
    Representative Cycles:
    • Length 3: 671 --(y)--> 721 --(w)--> 611 --(z)--> 671 10249 -> 10489 -> 11089 -> 10249 14257 -> 14579 -> 14279 16379 -> 17879 -> 16957
    • Length 5: 4559 --(y)--> 4609 --(y)--> 5017 --(x)--> 4873 --(z)--> 5327 --(w)--> 4559
    List updates are being prepared in a repository:
    https://github.com/brunopedreiro1996-coder/Modular-Tuple-Graphs-Cycles-and-Structural-Candidates-2N49R1M3-Project-

Questions for the SeqFan Community

  1. Does the count of semiprime nodes belonging to cycles across consecutive intervals represent an existing sequence cataloged in the OEIS?
  2. Are there known theoretical upper bounds for the cycle length k generated by this tuple-transition graph over semiprimes?
  3. Does the multiplicative sequence N = a * 2^b + c' * 3^d or its p-adic suffix constraints overlap with known modular density bounds?

Thank you for your guidance and consideration.

Sincerely,

Bruno Paiva Viana Independent Researcher

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