A game like billards

[WM]

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...

Push the natnumbers of the first column (without queue) into the field of fractions and store the hit fraction always there where the natnumber has come from. Try to push the natnumbers such that all matrix positions are occupied by them. That is best done by creating a pattern like

1, 2, 4, ...
3, 5, 8, ...
6, 9, 13, ...
... ,

According to this simple rule it is impossible, in eternity, to remove a fraction from the matrix or to attach a natnumber to a fraction.

You have won as soon as you understand that the last sentence is true.

Congrats, WM

[JVR]

So what's the problem? How many times do you need people to explain
the error in your reasoning?
You cannot count infinitely many objects in finitely many steps.

Spelling error: the word you are looking for is spelled 'billiards' in English.

Reading comprehension and writing skills: unsatisfactory
Mathematical skills: nonexistent

[WM]

JVR schrieb am Donnerstag, 19. Oktober 2023 um 19:05:26 UTC+2:
> On Thursday, October 19, 2023 at 3:04:16 PM UTC+2, WM wrote:

> > According to this simple rule it is impossible, in eternity, to remove a fraction from the matrix or to attach a natnumber to a fraction.

> You cannot count infinitely many objects in finitely many steps.

First: I need not count infinitely many elements. I have proved that every issued index fails to index a fraction, may this happen finitely or infinitely often (see first paragraph).

Second: I index as many objects as Cantor does by using the same infinite sequence as he does. He claims to index all fractions.

Regards, WM

[JVR]

Cantor's enumeration is not a step-by-step procedure, it is a function.
Logically the enumeration of Q is a function that maps N <-> Q,
just as sin(x) is a function that maps (0, pi/2) <-> (0,1). From the latter
you should be able to see that your X's and O's are not going to get
you anywhere. And if that doesn't convince you, the fact that there
are biunique mappings from (0,1) to (0,1)x(0,1) should.

You are clearly unable to understand set theory and point set topology
as they are in use today and have been in use for 100+ years.

[Python]

Crank Professor Wolfgang Mückenheim, aka WM wrote:
> [...]

> Second: I index as many objects as Cantor does by using the same infinite sequence as he does. He claims to index all fractions.

"It's possible to fail so it is impossible to succeed", what kind
of logic is that, Crank Professor Wolfgang Mückenheim, from Hochschule
Augsburg?

[Fritz Feldhase]

On Friday, October 20, 2023 at 12:23:31 AM UTC+2, Python wrote:

> "It's possible to fail so it is impossible to succeed", what kind
> of logic is that, Crank Professor Wolfgang Mückenheim,
> from Hochschule Augsburg?

It's called mückenlogic. (See: https://my.clevelandclinic.org/health/diseases/9599-delusional-disorder)

[WM]

JVR schrieb am Donnerstag, 19. Oktober 2023 um 20:52:18 UTC+2:

> Cantor's enumeration is not a step-by-step procedure,

Enumeration is always a step-by-step procedure: 1, 2, 3, and so on. step by step.

> Logically the enumeration of Q is a function that maps N <-> Q,
> just as sin(x) is a function that maps (0, pi/2) <-> (0,1).

No, the first one is quantized, the second one is not.

If you deny that the step-by-step procedure produces exactly the function k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m, then you should be able to find a k that is not attached by my matrices to the same field (m, n) of the matrix

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...

...

as by Cantor's function. But you cannot. My matrices reproduce Cantor's formula precisely because they have been deigned that way.

You argument is tantamount to claiming that the set of natural numbers is not given by the step-by-step formula {1, 2, 3, ...}.

Of course you must not cut this sequence at any point. That would make it differ from ℕ. But the complete sequence is ℕ as much as the complete sequence of my matrices reproduces Cantor's indexing. My way however shows, that not all positions of the matrix get indexed by Cantor because the fractions remain without index in every case. That's the billiards-effect.

Regards, WM

[WM]

Python schrieb am Freitag, 20. Oktober 2023 um 00:23:31 UTC+2:
> Professor Wolfgang Mückenheim, aka WM wrote:

> > Second: I index as many objects as Cantor does by using the same infinite sequence as he does. He claims to index all fractions.
> "It's possible to fail so it is impossible to succeed", what kind
> of logic is that,

Cantor fails to index all positions of the matrix. I succeed in proving that because the fractions will never get an index but they all stay at positions of the matrix.

Regards, WM

[Chris M. Thomasson]

lol. Are you familiar with Cantor pairing?

[FromTheRafters]

on 10/20/2023, WM supposed :

> JVR schrieb am Donnerstag, 19. Oktober 2023 um 20:52:18 UTC+2:
>
>> Cantor's enumeration is not a step-by-step procedure,
>
> Enumeration is always a step-by-step procedure: 1, 2, 3, and so on. step by
> step.

[...]

https://en.wikipedia.org/wiki/Enumeration#Countable_vs._uncountable

[Fritz Feldhase]

On Friday, October 20, 2023 at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:

> If you deny that the step-by-step procedure produces <bla>

A bijektion is not a "step-by-step procedure", you psychotic asshole full of shit!

[Fritz Feldhase]

On Friday, October 20, 2023 at 10:05:34 PM UTC+2, WM wrote:

> Cantor fails to index all positions of the matrix.

No, he doesn't.

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 14:47:08 UTC+2:
> On Friday, October 20, 2023 at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:
>
> > If you deny that the step-by-step procedure produces <bla>
>
> A bijektion is not a "step-by-step procedure",

Counting is step-by-step procedure.

But my infinite sequence of matrices represents every pair (k, (m, n)) of the bijection. Could you find one that is not described by my matrices (which simultaneously prove that no fraction is indexed ever) then you had won. But you can't.

Regards, WM

[WM]

They write there: An enumeration e of a set S with domain \mathbb {N} induces a well-order

When the first billiards are executed, there is no fraction enumerated. But the fractions remain in the matrix. By using the well-order you should be able to indicate the first fraction that is enumerated or leaving the matrix. Without at least one of these events the enumeration of the matrix cannot be completed.

Regards, WM

[Fritz Feldhase]

On Saturday, October 21, 2023 at 6:57:49 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 14:47:08 UTC+2:
> > On Friday, October 20, 2023 at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:
> > >
> > > If you deny that the step-by-step procedure produces <bla>
> > >
> > A bijektion is not a "step-by-step procedure",
> >
> Counting is step-by-step procedure.

Indeed! But a bijektion is not based on counting, you psychotic asshole full of shit.

Mückenheim, geh doch bitte mal zum Psychiater und lass Dich behandeln!

[Fritz Feldhase]

On Saturday, October 21, 2023 at 7:06:04 PM UTC+2, WM wrote:
> FromTheRafters schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 13:44:13 UTC+2:
> >
> > https://en.wikipedia.org/wiki/Enumeration#Countable_vs._uncountable
> >

> They write there: An enumeration e of a set S with domain IN induces a well-order

Ach?

> When the first billiards are executed,

Wie meinen, Mückenheim? Gehts noch? Piep-Piep?

Wann gehst Du endlich mal zum Psychiater, um Dich behandeln zu lassen?

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 23:22:21 UTC+2:
> On Saturday, October 21, 2023 at 6:57:49 PM UTC+2, WM wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 14:47:08 UTC+2:
> > > On Friday, October 20, 2023 at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:
> > > >
> > > > If you deny that the step-by-step procedure produces <bla>
> > > >
> > > A bijektion is not a "step-by-step procedure",
> > >
> > Counting is step-by-step procedure.
> Indeed! But a bijektion is not based on counting,

A bijection with ℕ is counting. Did Dedekind use a bijection by closed formula?

Regards, WM

[Fritz Feldhase]

On Sunday, October 22, 2023 at 11:52:39 AM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 23:22:21 UTC+2:
> > On Saturday, October 21, 2023 at 6:57:49 PM UTC+2, WM wrote:
> > > Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. Oktober 2023 um 14:47:08 UTC+2:
> > > > On Friday, October 20, 2023 at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:
> > > > >
> > > > > If you deny that the step-by-step procedure produces <bla>
> > > > >
> > > > A bijektion is not a "step-by-step procedure",
> > > >
> > > Counting is step-by-step procedure.
> > >
> > Indeed! But a bijektion is not based on counting,
> >
> A bijection with ℕ is counting.

This statement does not make any sense.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, October 22, 2023 at 11:52:39 AM UTC+2, WM wrote:

> Did Dedekind [prove the existence of] a bijection by [presenting a] closed formula?

Das ist nicht immer nötig, Mückenheim. Man kann Abzählbarkeit auch auf andere Weise beweisen.

Tipp: Die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist abzählbar unendlich.

[Chris M. Thomasson]

Fwiw, here is some experimental music I made for fun using Cantor pairing:

https://youtu.be/XkwgJt5bxKI

[Chris M. Thomasson]

Indeed.

[mitchr...@gmail.com]

Calculating or counting can't reach the unlimited.
You would be doing them forever instead...

[WM]

Try better. Read Cantor.

Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen.

The modern notion is bijection.

Regards, WM

[WM]

Die Vereinigung aller Umordnungen mittels der Matrizen A_i ist eine unendliche Menge. Alle Indizes k, die Cantor in

1, 2, 4, ...
3, 5, 8, ...
6, 9, 13, ...
...

verteilt, werden auch durch die Matrixfolge (A_i) mit Matrixfeldern gepaart: (k, (m, n)).

Gruß, WM

[WM]

mitchr...@gmail.com schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 03:30:24 UTC+2:

> Calculating or counting can't reach the unlimited.
> You would be doing them forever instead...

Indeed, but Cantor claims "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)] He calls this conting the fractions.

Regards, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 23, 2023 at 9:34:11 AM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 22. Oktober 2023 um 12:50:28 UTC+2:
> > On Sunday, October 22, 2023 at 11:52:39 AM UTC+2, WM wrote:
> > >
> > > A bijection with ℕ is counting.
> > >
> > This statement does not make any sense.
> >
> Try better. Read Cantor.
>

> Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden [...] lassen.

Du bist eindeutig zu dumm, um Cantor zu verstehen.

Der englischen Sprache scheinst Du auch nicht mächtig zu sein.

> The modern notion is bijection.

The modern notion OF WHAT, you silly crank?!

Hints:

1. "_Counting_ is the process of determining the number of elements of a finite set of objects; that is, determining the size of a [finite] set." (Wikipedia)

2. A bijection is not a process.

[Jim Burns]

On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag,
> 21. Oktober 2023 um 23:22:21 UTC+2:
>> On Saturday, October 21, 2023
>> at 6:57:49 PM UTC+2, WM wrote:
>>> Fritz Feldhase schrieb am Samstag,
>>> 21. Oktober 2023 um 14:47:08 UTC+2:
>>>> On Friday, October 20, 2023
>>>> at 10:02:45 PM UTC+2, WM wrote:

>>>>> If you deny that
>>>>> the step-by-step procedure
>>>>> produces <bla>
>>>>
>>>> A bijektion is not
>>>> a "step-by-step procedure",
>>>
>>> Counting is step-by-step procedure.
>>
>> Indeed!
>> But a bijektion is not based on counting,
>
> A bijection with ℕ is counting.

A bijection B of set A with ℕ
is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
each n ∈ ℕ and each x ∈ A
one match each in B and no others

Set B bijects ℕ and A ⟺
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A:
∃⟨n,x⟩ ∈ B:
¬∃⟨n,x′⟩ ∈ B: x′ ≠ x ∧
¬∃⟨n′,x⟩ ∈ B: n′ ≠ n

> Did Dedekind use
> a bijection by closed formula?

_Whatever you call a bijection_
can't change that:
for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:
∃⟨n,p/q⟩ ∈ B:
¬∃⟨n,p′/q′⟩ ∈ B: p/q′ ≠ p/q ∧
¬∃⟨n′,p/q⟩ ∈ B: n′ ≠ n

It is a radically pointless goal which
you are pursuing.
Even if, miraculously, you convinced us
to call _something else_ "bijection",
that miracle would leave the circumstances of
_your actual objection_ untouched.

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 23, 2023 at 9:34:14 AM UTC+2, WM wrote:

> Die Vereinigung aller Umordnungen mittels der Matrizen A_i ist eine unendliche Menge.

Mumbo-jumbo.

Definiere erst mal die von Dir verwendeten Begriffe, Mückenheim.

"[WM’s] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving
precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical
concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all."

Du vereinigst also irgendetwas und heraus kommt eine unendliche Menge, ja und?

> Alle Indizes k, die Cantor in
>
> 1, 2, 4, ...
> 3, 5, 8, ...
> 6, 9, 13, ...

> :

>
> verteilt, werden auch durch die Matrixfolge (A_i) mit Matrixfeldern gepaart: (k, (m, n)).

Ja, Deine Fettecke wächst von Matrix zu Matrix, und jetzt?

Hast Du damit die Mengenlehre widerlegt? Schon wieder? :-)

WAS GENAU soll denn Deine lächerliche Folge von Matrizen zeigen? Dass Deine Fettecke(n) niemals den gesamten verfügbaren "Platz" (also die gesamte Matrix) ausfüllen wird/werden? Geschenkt. Wahrlich eine großartige Erkenntnis. :-)

Zur Erinnerung: An e IN {1, ..., n} =/= IN.Aber U_(n e IN) {1, ..., n} = IN.

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 23, 2023 at 9:36:28 AM UTC+2, WM wrote:
> mitchr...@gmail.com schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 03:30:24 UTC+2:
> >
> > Calculating or counting can't reach the unlimited.
> > You would be doing them forever instead...
> >
> Indeed, but Cantor claims "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

Was in Gottes Namen hat Cantors Zitat mit dem von Mitch Gesagten zu tun?

Hint: "_Counting_ is the process of determining the number of elements of a finite set of objects; that is, determining the size of a [finite] set." (Wikipedia)

[Dieter Heidorn]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Monday, October 23, 2023 at 9:34:11 AM UTC+2, WM wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 22. Oktober 2023 um 12:50:28 UTC+2:
>>> On Sunday, October 22, 2023 at 11:52:39 AM UTC+2, WM wrote:
>>>>
>>>> A bijection with ℕ is counting.
>>>>
>>> This statement does not make any sense.
>>>
>> Try better. Read Cantor.
>>
>> Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden [...] lassen.
>
> Du bist eindeutig zu dumm, um Cantor zu verstehen.

Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss in Mückenhausen nacheinander
jedes Paar einer Bijektion konstruieren.

Dass das von Cantor natürlich nicht so gemeint ist, bringt dieser selbst
klar zum Ausdruck:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

> Hints:
>
> 1. "_Counting_ is the process of determining the number of elements of a finite set of objects; that is, determining the size of a [finite] set." (Wikipedia)
>
> 2. A bijection is not a process.

Das wird WM in diesem Leben nicht mehr begreifen.

Dieter Heidorn

[Jim Burns]

On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag,

> 21. Oktober 2023 um 23:22:21 UTC+2:

> [...]

> A bijection with ℕ is counting.

A bijection with ℕ is

a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
each n ∈ ℕ and each x ∈ A
one match each in B and no others

∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A:
∃!!⟨n,x⟩ ∈ B:

∃!!⟨n,x⟩ ∈ B :⇔

∃⟨n,x⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨n,x′⟩ ∈ B: x′ ≠ x ∧
¬∃⟨n′,x⟩ ∈ B: n′ ≠ n

∀n ∈ ℕ: |ℕ\⟨1,…,n⟩| = |ℕ|
because
∀n ∈ ℕ:
∀i ∈ ℕ, ∀j ∈ ℕ\⟨1,…,n⟩:
∃!!⟨i,j⟩ ∈ {⟨i′,i′+n⟩| i′ ∈ ℕ}

|ℕ\⟨1,2,…⟩| = |∅|
because
ℕ = ⟨1,2,…⟩


∀n ∈ ℕ: ℕ ≠ ⟨1,…,n⟩

1 ∈ ⟨1,2,…⟩ ᣔ⤾⁺¹
∀S: 1 ∈ S ᣔ⤾⁺¹ ⟹ S ⊇ ⟨1,2,…⟩

n+1 ∈ ℕ\⟨1,…,n⟩
∀S: n+1 ∈ S ᣔ⤾⁺¹ ⟹ S ⊇ ℕ\⟨1,…,n⟩

S ᣔ⤾⁺¹ :⇔ ∀i ∈ S ∋ i⁺¹

i⁺¹≠0 ∧ ¬∃h≠i:h⁺¹=i⁺¹ ∧ ∃k=(i⁺¹)⁺¹

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:

> 2. A bijection is not a process.

Every pair of a bijection with |N can be counted to. This is a process.

Regards, WM

[WM]

Jim Burns schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:05:19 UTC+2:
> On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:

> > A bijection with ℕ is counting.
> A bijection B of set A with ℕ
> is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
> each n ∈ ℕ and each x ∈ A
> one match each in B and no others

Every pair can be counte to.

> _Whatever you call a bijection_
> can't change that:
> for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
> ∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:

Not all n ∈ ℕ but only those which enumerate matrix olaces not occupied by Os.

> It is a radically pointless goal which
> you are pursuing.

It is radically pointless to believe that the matrix

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

could be covered by the elements of the first column.

Regards, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:

> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander

> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander

> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.

Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>
Regards, WM

[FromTheRafters]

It happens that WM formulated :

> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>
>> 2. A bijection is not a process.
>
> Every pair of a bijection with |N can be counted to.

Yes, because it is a finite set.

> This is a process.

A demonstration might require a process so that it can be understood by
most people, but the fact of a bijection does not require a process.

[FromTheRafters]

WM expressed precisely :

Why, do you suppose that there aren't enough of them?

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

Selbstverständlich. Darum hatte ich ja Cantor zitiert:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

Dieter Heidorn

[WM]

FromTheRafters schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:01:50 UTC+2:
> WM expressed precisely :

> > It is radically pointless to believe that the matrix
> >
> > 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> > ...
> >
> > could be covered by the elements of the first column.
> Why, do you suppose that there aren't enough of them?

Because otherwise the whole matrix would have been covered by them already. Geometry of measure!

Regards, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:03:13 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:
> >
> >> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
> >> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
> >> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.
> >
> > Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
> Selbstverständlich.

O, Du proklamierst dunkle Zahlen. Das hätte ich nicht erwartet.

> Darum hatte ich ja Cantor zitiert:
> |"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
> | Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
> | von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
> | Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
> | /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
> | immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
> | durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
> | vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

Viele Zuordnungsgesetze sagen nichts über unkonstruierbare Paare. Cantor ist nicht Deiner Meinung. "Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.

Gruß, WM

[Jim Burns]

On 10/24/2023 7:56 AM, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Montag,
> 23. Oktober 2023 um 18:05:19 UTC+2:
>> On 10/22/2023 5:52 AM, WM wrote:

>>> A bijection with ℕ is counting.
>>
>> A bijection B of set A with ℕ
>> is a set B ⊆ ℕ×A of pairs ⟨n,x⟩ for
>> each n ∈ ℕ and each x ∈ A
>> one match each in B and no others
>
> Every pair can be counte to.

Each pair ⟨n,xₙ⟩ in
minimally-each-which-can-be-counted-to B
can be counted to.
Otherwise,
an even-more-minimal set of pairs exists.

Each procedure which counts to
a pair ⟨n,xₙ⟩ which-can-be-counted-to
has two ends: ⟨1,x₁⟩ and ⟨n,xₙ⟩

⟨1,x₁⟩ is one end in the set B

For each ⟨n,xₙ⟩ in B
there is a successor ⟨n+1,xₙ₊₁⟩ in B
For each ⟨n,xₙ⟩ in B
⟨n,xₙ⟩ is not the second end in B

B does not have two ends.
Procedures have two ends.

Thus,
B is not a procedure,
such as the procedure of counting to
a pair which-can-be-counted-to.

B is not a procedure, however,
counting to any ⟨n,xₙ⟩ in B
has two ends, and is a procedure.

>> _Whatever you call a bijection_
>> can't change that:
>> for B = {⟨n,p/q⟩| n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p }
>> ∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:

>> ∃⟨n,p/q⟩ ∈ B:
>> ¬∃⟨n,p′/q′⟩ ∈ B: p/q′ ≠ p/q ∧
>> ¬∃⟨n′,p/q⟩ ∈ B: n′ ≠ n

∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ A:
∃!!⟨n,x⟩ ∈ B:

∃!!⟨n,x⟩ ∈ B :⇔

∃⟨n,x⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨n,x′⟩ ∈ B: x′ ≠ x ∧
¬∃⟨n′,x⟩ ∈ B: n′ ≠ n

> Not all n ∈ ℕ
> but only those which enumerate

> matrix [places] not occupied by Os.

ℕ is the minimally-each-accessible set.
ℕ₀ᣔ⤾⁺¹
ℕ = ⋂{S ⊆ ℕ| S₀ᣔ⤾⁺¹ }

S₀ᣔ⤾⁺¹ :⇔
S ∋ 0 ∧ ∀s ∈ S ∋ s⁺¹

Each place p/q in ℕ×ℕ
is enumerated by its own n in ℕ

∀n ∈ ℕ, ∀p/q ∈ ℕ×ℕ:

∃!!⟨n,p/q⟩ ∈ {⟨n,p/q⟩|n=(p+q-1)(p+q-2)/2+p}

n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p
p+q = ⌈(((8⋅n+1)¹ᐟ²+1)/2)⌉

⌈x⌉-1 < x ≤ ⌈x⌉ ∈ ℕ

>> It is a radically pointless goal which
>> you are pursuing.
>
> It is radically pointless
> to believe that the matrix
>
> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> could be covered by
> the elements of the first column.

You reject arithmetic
n = (p+q-1)(p+q-2)/2+p
p+q = ⌈(((8⋅n+1)¹ᐟ²+1)/2)⌉
in order to save two-ended-ness.

We reject two-ended-ness
ℕ₀ᣔ⤾⁺¹
ℕ = ⋂{S ⊆ ℕ| S₀ᣔ⤾⁺¹ }
in order to save arithmetic.

I don't have a proof of this,
but it seems undeniable to me that
rejecting arithmetic
should be raised among the gods of
radically pointless activities.

It is probably also radically pointless
to keep telling you (WM) things which
you refuse to hear,
but
there are many much-more-harmful
radically-pointless activities in which
I could instead be engaged.

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 16:03:13 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 21:19:20 UTC+2:
>>>
>>>> Er nimmt die Formulierung "Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander
>>>> abbilden" offensichtlich wörtlich: Man muss nacheinander
>>>> jedes Paar einer Bijektion konstruieren.
>>>
>>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>> Selbstverständlich.
>
> O, Du proklamierst dunkle Zahlen.

Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
Objekte. Bijektionen haben - wie alle Funktionen - eine Definitionsmenge
und eine Wertemenge. Die Definition einer Bijektion zwischen zwei Mengen
stellt einen Zusammenhang zwischen zwei definierten Mengen her - und
dunkel ist daran nicht das Geringste.

>> Darum hatte ich ja Cantor zitiert:
>> |"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
>> | Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
>> | von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
>> | Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
>> | /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
>> | immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
>> | durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
>> | vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
>> (Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)
>
> Viele Zuordnungsgesetze sagen nichts über unkonstruierbare Paare.

Die "Zuordnungsgesetze" sind Funktionen, und wie obigem Zitat zu
entnehmen ist, geht es dabei um Bijektionen. Sie besagen, auf welche
Weise Elemente der Definitionsmenge und der Wertemenge in Beziehung
gebracht werden.
Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion. Mit

f: ℕ×ℕ→ℕ , f(m,n) = m + (m + n - 1)*(m + n - 2) = k

sind alle Paare ((m,n),k) definiert.

> Cantor ist nicht Deiner Meinung.

Er ist es. Du verstehst es nur nicht, wie dein hilfloses Bruchstück-
Zitieren zeigt:

>"Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.

Solche Zitatschnipsel besagen gar nichts. Dieser Satz steht in folgendem
Zusammenhang:

|"[Wir] gehen davon aus, daß die sämtlichen rationalen Zahlen, welche
| ≧ 0 und ≦ 1 sind, sich in der Form einer einfach unendlichen Reihe
|
| φ_1, φ_2, φ_3, ..., φ_ν, ...
|
| mit einem allgemeinen Gliede φ_ν schreiben lassen. Dies läßt sich am
| einfachsten wie folgt dartun: Ist p/q die /irreduktible/ Form für eine
| rationale Zahl, die ≧ 0 und ≦ 1 ist, wo also p und q ganze, nicht
| negative Zahlen mit dem größten gemeinschaftlichen Teiler 1 sind,
| so setze man p + q = N. Es gehört alsdann zu jeder Zahl p/q ein
| bestimmter ganzzahliger, positiver Wert von N, und umgekehrt gehört
| zu einem solchen Werte von N immer nur eine endliche Anzahl von Zahlen
| p/q. Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht,
| daß die zu kleineren Werten von N gehörigen denen vorangehen, für
| welche N einen größeren Wert hat, daß ferner die Zahlen p/q, für
| welche N einen und denselben Wert hat, ihrer Größe nach einander
| folgen, die größeren auf die kleineren, so kommt jede der Zahlen p/q
| an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe, deren
| allgemeines Glied mit φ_ν bezeichnet werde."

Also: Cantor betrachtet hier positive Brüche p/q mit den Eigenschaften

* p und q sind relativ prim,
* p/q ∈ [0,1]

und stellt eine Zuordnung her:

* p/q -> p + q = N .

die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
bijektiv.

Ein Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der
Menge der positiven Brüche besteht nicht.

Dieter Heidorn

[Jim Burns]

P is the set of steps sⱼ of a process.

Steps sₛ‖sₑ exist as start‖end of P
and,
for each split F ᣔ<ᣔ H of P
some sᵢ‖sᵢ₊₁ exist as end-of-F‖start-of-H

Define k to be a process-index
iff
index-sequence ⟨1,…,k⟩ exists such that
1‖k exist as the start‖end of ⟨1,…,k⟩
and,
for each split F ᣔ<ᣔ H of ⟨1,…,k⟩
some i‖i⁺¹ exist as end-of-F‖start-of-H

i⁺¹ is non-1 non-doppelgänger non-final


For each process-set P
a process-index k exists such that
a bijection-set B exists between ⟨1,…,k⟩ and P
∀P process:
∃k process-index:
∃B bijection-set:
∀i index ∈ ⟨1,…,k⟩, ∀s step ∈ P:
∃!!⟨i,s⟩ ∈ B

Each ⟨1,…,k⟩ has two ends 1‖k

The minimally-each-process-index set
has one end. It is not any ⟨1,…,k⟩


(doubly unique)
∃!!⟨i,s⟩ ∈ B :<->
∃⟨i,s⟩ ∈ B ∧
¬∃⟨i,s′⟩ ∈ B: s′ ≠ s ∧
¬∃⟨i′,s⟩ ∈ B: i′ ≠ i

[William]

A bijection with |N, B. is a set

> Every pair of a bijection with |N can be counted to.

Indeed, every element of B can be "counted to".
B cannot be "counted to".

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> >
> > 2. A bijection is not a process.

A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].

YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).

BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO_.

*MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.

[WM]

B is countable when "every element of the set stands at a definite position of this sequence" [Cantor]. B cannot be counted to (because it is nothing more than its elements), only all elements can be counted to. Every O were removed from the matrix if all fractions could be indeXed. Of course the matrix itself does not require an index.

Regards, WM

[WM]

Jim Burns schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:47:27 UTC+2:

> B does not have two ends.
> Procedures have two ends.

No. The procedure accomplishes, according to Cantor, "that every element of the set stands at a definite position of this sequence".

>
> B is not a procedure, however,
> counting to any ⟨n,xₙ⟩ in B
> has two ends, and is a procedure.

Not according to Cantor: "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".

Regards, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:49:00 UTC+2:
> WM schrieb:

>
> >>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
> >> Selbstverständlich.
> >
> > O, Du proklamierst dunkle Zahlen.
> Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
> Objekte.

Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Mathematisch existente
Objekte, hier also Paare, können konstruiert werden. "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".

> Bijektionen haben - wie alle Funktionen - eine Definitionsmenge
> und eine Wertemenge. Die Definition einer Bijektion zwischen zwei Mengen
> stellt einen Zusammenhang zwischen zwei definierten Mengen her - und
> dunkel ist daran nicht das Geringste.

Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Das hast Du abgelehnt.

> Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
> Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion.

Und die führe ich aus, so dass alle O in der Matrix bleiben. Damit ist die Existenz nicht nummerierbarer Felder und damit auch die Unvollständigkeit von Cantors "Bijektion" gezeigt.

> >"Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.
> Solche Zitatschnipsel besagen gar nichts.

Sie besagen, dass Du falsch liegst.

> Dieser Satz steht in folgendem
> Zusammenhang:
>

> * p/q -> p + q = N .
>
> die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
> bijektiv.
>
> Ein Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der
> Menge der positiven Brüche besteht nicht.

Er besteht natürlich, nämlich in der Vollständigkeit. Aber wenn Du das nicht verstehst, dann zeige ich Dir dies: "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

Gruß, WM

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
> > >
> > > 2. A bijection is not a process.
> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.

A bijection with |N can be executed as a process. "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

>
> > Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].
>
> YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).
>
> BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO_.

Irrelevant. We count to every place of the matrix, we do not count to the matrix.

>
> *MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.

Each and every pair is: "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

The matrix does not require an index.

Regards, WM

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 25, 2023 at 12:45:10 PM UTC+2, WM wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
> >
> > A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
> >

> A bijection with IN can be executed as a process.

*** A BIJECTION IS NOT A PROCESS. ***

> > > Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a process [in each case].
> > >
> > YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS (in each case).
> >

> > BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE COUNTED TO:_.

> >
> > *MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS NOT A PROCESS.
> >>
> Each and every pair is

Nonsense.

*** A PAIR IS NOT A PROCESS. ***

(but a certain set).

[William]

On Wednesday, October 25, 2023 at 6:57:34 AM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 20:13:54 UTC+2:
> > A bijection with |N, B. is a set
> > > Every pair of a bijection with |N can be counted to.
> > Indeed, every element of B can be "counted to".
> > B cannot be "counted to".
> B is countable

So What? B cannot be "counted to"

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 12:55:08 UTC+2:
> On Wednesday, October 25, 2023 at 12:45:10 PM UTC+2, WM wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
> > >
> > > A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
> > >
> > A bijection with IN can be executed as a process.
>
> *** A BIJECTION IS NOT A PROCESS. ***

Every pair (n, q) of the bijection that cannot be proven to be the result of step n with n the last element of a FISON, does not belong to mathematics but at most to matheology.

Every pair created by my billiards belongs to a matrix which contains only not indexed fractions.

Regards, WM

[WM]

Who wants to count to the matrix? What index should be attached to it? Every pair (n, x) of a bijection that cannot be proven to be the result of step n with n the last element of a FISON, does not belong to mathematics but at most to matheology.

[Jim Burns]

On 10/25/2023 6:30 AM, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Dienstag,
> 24. Oktober 2023 um 17:47:27 UTC+2:

>> B does not have two ends.
>> Procedures have two ends.
>
> No.

P is the ordered set of steps sⱼ of a process.

Steps sₛ‖sₑ exist as start‖end of P
and,
for each split F ᣔ≪ᣔ H of P
some sᵢ‖sᵢ₊₁ exist as end-of-F‖start-of-H

> The procedure accomplishes,
> according to Cantor,
> "that every element of the set stands at
> a definite position of this sequence".

There aren't two ends.

Each fraction p/q stands at
the definite position n
n = (s-1)(s-2)/2+p
s = p+q

Each position n is where
the definite fraction p/q stands.
p = n-(s-1)(s-2)/2
q = s-p
s = ⌈(((8⋅n+1)¹ᐟ²+1)/2)⌉

And there aren't two ends.

>> B is not a procedure, however,
>> counting to any ⟨n,xₙ⟩ in B
>> has two ends, and is a procedure.
>
> Not according to Cantor:
> "such that
> every element of the set stands at
> a definite position of this sequence".

According to arithmetic,
there aren't two ends.

Each {p}×ℕ is followed by {p⁺¹}×ℕ

Each ℕ×{q} is followed by ℕ×{q⁺¹}

Each p/q is followed by
p⁺¹/q⁻¹ if q ≠ 1
1/p⁺¹ if q = 1

A second end is not followed, thus
no p/q no ℕ×{q} no {p}×ℕ
is a second end.

Your choices are
to reject two-ended-ness or
to reject arithmetic.

[FromTheRafters]

WM presented the following explanation :

> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
>> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>>>>
>>>> 2. A bijection is not a process.
>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>
> A bijection with |N can be executed as a process.

But that doesn't mean it *is* a process.

[FromTheRafters]

It happens that WM formulated :

> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
>> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>>>>
>>>> 2. A bijection is not a process.
>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>
> A bijection with |N can be executed as a process. "The infinite sequence thus
> defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers
> completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor,
> letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
>>
>>> Every pair of a bijection with IN can be counted to. This [counting] is a
>>> process [in each case].
>>
>> YES, EVER PAIR OF A BIJECTION CAN BE COUNTED TO. THIS COUNTING IS A PROCESS
>> (in each case).
>>
>> BUT NO PAIR OF A BIJECTION IS THIS BIJECTION, _THE BIJECTION CANNOT BE
>> COUNTED TO_.
>
> Irrelevant. We count to every place of the matrix, we do not count to the
> matrix.
>>
>> *MOREOVER*: THE BIJECTION AS WELL AS EACH AND EVERY PAIR OF THE BIJECTION IS
>> NOT A PROCESS.
>

> Each and every pair is: "The infinite sequence thus defined [...]

Each and every pair is a very short sequence.

[William]

On Wednesday, October 25, 2023 at 11:56:04 AM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 14:27:06 UTC+2:
> > On Wednesday, October 25, 2023 at 6:57:34 AM UTC-3, WM wrote:
> > > William schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 20:13:54 UTC+2:
> > > > A bijection with |N, B. is a set
> > > > > Every pair of a bijection with |N can be counted to.
> > > > Indeed, every element of B can be "counted to".
> > > > B cannot be "counted to".
> > > B is countable
> > So What? B cannot be "counted to"

> Who wants to count to [B]?
Anyone who wants to claim that B is the result of a step.

> Every pair (n, x) of a bijection that cannot be proven to be the result of step n with n the last element of a FISON,

There is no such pair. The fact that you cannot count to B does not imply there is such a pair.

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:49:00 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>
>>>>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>>>> Selbstverständlich.
>>>
>>> O, Du proklamierst dunkle Zahlen.
>> Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
>> Objekte.
> Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Mathematisch existente
> Objekte, hier also Paare, können konstruiert werden. "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".
>

Und an welcher Position einer Folge sie stehen, hängt von der
verwendeten Zuordnungsvorschrift ab. Dir scheint Cantors Aussage
offensichtlich nicht zu gefallen, da sie deine Schwurbelei vom
"schrittweisen konstruieren" zurückweist:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

Kein Wunder also, dass du es immer wieder fort lässt...

>> Bijektionen haben - wie alle Funktionen - eine Definitionsmenge
>> und eine Wertemenge. Die Definition einer Bijektion zwischen zwei Mengen
>> stellt einen Zusammenhang zwischen zwei definierten Mengen her - und
>> dunkel ist daran nicht das Geringste.
>
> Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Das hast Du abgelehnt.

Abgelehnt habe ich deine irrige Vorstellung, dass man bei einer
Bijektion sämtliche Paare "schrittweise konstruieren" müsse, um die
Bijektion zu "überprüfen". Eine Bijektion ist kein "Prozess".
Damit lehne ich ebenfalls deine idiotische Aussage ab, dass - da man
dies bei unendlichen Mengen nicht durchführen kann - es "dunkle Zahlen"
geben müsse.
In der Mathematik gilt: Eine Bijektion zwischen zwei unendlichen Mengen
ist vollständig beschrieben durch Angabe von Definitionsmenge,
Wertemenge und Funktionsvorschrift ("Zuordnungsgesetz").

>> Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
>> Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion.
>
> Und die führe ich aus, so dass alle O in der Matrix bleiben.

Du führst die Cantorsche Paarungsfunktion nicht aus, sondern führst in
einer Darstellung der Definitionsmenge Verschiebungen und Vertauschungen
der Elemente aus, und hältst es für für eine sensationelle Entdeckung,
dass dabei keine Darstellung der Wertemenge der Funktion entsteht.
Aber wenn man - so wie du - Bijektionen und unendliche Mengen nicht
versteht, dann kommt eben so ein Unfug heraus.

>Damit ist die Existenz nicht nummerierbarer Felder und damit auch die Unvollständigkeit von Cantors "Bijektion" gezeigt.

Ganz gewiss nicht, da dein Unfug nichts mit der Cantorschen
Paarungsfunktion zu tun hat.

>>> "Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, [...] so kommt jede Zahl p/q an eine ganz bestimmte Stelle einer einfach unendlichen Reihe," [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932) S. 126] Natürlich kann man jede ganz bestimmte Stelle bestimmen. Sie ist ja schon bestimmt.
>> Solche Zitatschnipsel besagen gar nichts.

>> Dieser Satz steht in folgendem
>> Zusammenhang:

... den du wohlweislich unterschlagen hast. Fakten und klare Aussagen
sind eben nicht so dein Ding...

Cantor betrachtet hier positive Brüche p/q mit den Eigenschaften

* p und q sind relativ prim,
* p/q ∈ [0,1]

und stellt eine Zuordnung her:

* p/q -> p + q = N .

die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
bijektiv.

>> * p/q -> p + q = N .
>>
>> die _nicht injektiv_ ist - und damit ist sie natürlich auch nicht
>> bijektiv.
>>
>> Ein Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der
>> Menge der positiven Brüche besteht nicht.
>
> Er besteht natürlich,

* Eine nicht injektive Zuordnung steht in keinem Zusammenhang mit der
bijektiven Cantorschen Paarungsfunktion zur Abzählung der Menge 𝔹+
der positiven Brüche.

* Eine Zuordnung, deren Definitionsmenge die rationalen Zahlen p/q
(p und q relativ prim) im Intervall [0,1] ist, steht nicht im

Zusammenhang mit der bijektiven Cantor-Funktion zur Abzählung der

Menge 𝔹+ der positiven Brüche, deren Definitionsmenge die positiven
Brüche m/n, interpretiert als Paar (m,n), ist.

> "The infinite sequence thus defined has the peculiar property to contain the positive rational numbers completely, and each of them only once at a determined place." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

Dein extrem verkürztes Zitieren grenzt langsam an Fälschung.

In dem Brief an Lipschitz gibt Cantor den Anfang einer Aufzählung der
positiven rationalen Zahlen an, wie zu erkennen ist, wenn man etwas mehr
zitiert:

|"Gestatten Sie mir bei dieser Gelegenheit, Ihnen eine specielle Frage
| vorzulegen. Folgende Reihe von rationalen Zahlen erscheint mir sehr
| merkwürdig:
|
| 1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1; 1/4, 2/3, 3/2, 4/1; 1/5, 5/1;
| 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1; 1/7, 3/5, 5/3, 7/1;
| 1/8, 2/7, 4/5, 5/4, 7/2, 8/1; 1/9, 3/7, 7/3, 9/1; etc.
|
| Das Gesetz dieser Reihe ist ein höchst einfaches: Sie sehen, dass die
| Reihe nach gewissen Abschnitten fortschreitet, von denen jeder
| zwischen zwei ;; eingeschlossen ist. Der erste Abschnitt enthält
| φ(2) = 1, der zweite φ(3) = 2, der (n-1)-te Abschnitt φ(n) Zahlen, wo
| φ(n) die Anzahl aller relativen Primzahlen zu n, die kleiner als n
| sind, bestimmt.
| Innerhalb des (n-1)ten Abschnittes bilden die Zähler der rationalen
| Zahlen die aufsteigende Reihe der φ(n) Zahlen rel. prim zu n und
| kleiner als n, die Nenner die absteigende Reihe derselben φ(n) Zahlen.
| Die so definirte unendliche Reihe hat nun das merkwürdige an sich,
| sämmtliche positiven rationalen Zahlen und jede von ihnen nur einmal
| an einer bestimmten Stelle zu enthalten. Bezeichnet man die Glieder
| jener Reihe mit
|
| F(1), F(2), F(3), ... , F(ν), ...
| so daß:
| F(1) = 1; F(2) = 1/2; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3; F(5) = 3/1; u.s.w.
| so ist F(ν) eine zahlentheoretische Function, welche wenn ν alle
| positiven ganzen Zahlen durchläuft, ihrerseits alle positiven
| rationalen Zahlenwerthe und jeden nur einmal annimmt.
| Liesse sich nicht mit den Mitteln der analytischen Zahlentheorie
| (Ausdrucksweise von Mertens) ein analytischer Ausdruck für die
| Function F(ν) finden?"

Auch hier betrachtet Cantor positive Brüche p/q, bei denen p und q
relativ prim sind, also die Menge ℚ+. Die von ihm gesuchte Funktion F
würde eine Abzählung dieser Brüche darstellen:

F: ℕ → ℚ+ .

Natürlich kann man auch hier wieder zur Veranschaulichung mit
Matrixdarstellungen M(m,n) arbeiten wie bei der Cantorschen
Paarungsfunktion zur Abzählung der Menge 𝔹+ der positiven Brüche.
Wie dort liest man die Indizes m,n der Zeilen und Spalten als Zähler und
Nenner der vollständig gekürzten positiven Brüche, also der positiven
rationalen Zahlen m/n.

M(m,n):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
|---|----|----|----|----|----|----|----|----|---
|
1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 ...
|
2- 2/1 - 2/3 - 2/5 - 2/7 - 2/9 ...
|
3- 3/1 3/2 - 3/4 3/5 - 3/7 3/8 3/9 ...
|
4- 4/1 - 4/3 - 4/5 - 4/7 - 4/9 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 - 5/6 5/7 5/8 5/9 ...
|
6- 6/1 - - - 6/5 - 6/7 - - ...
|
7- 7/1 7/2 7/3 7/4 7/5 7/6 - 7/8 7/9 ...
|
8- 8/1 - 8/3 - 8/5 - 8/7 - 8/9 ...
|
9- 9/1 9/2 - 9/4 9/5 - 9/7 9/8 - ...
|
| ...
|
m

Diese Matrix stellt einen Ausschnitt aus der Wertemenge der gesuchten
Zuordnung F: ℕ → ℚ+ dar.

In einer zweiten Matrix L(m,n) kann man die Positionsnummern der
rationalen Zahlen in Cantors angefangener Reihe eintragen:

1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1; 1/4, 2/3, 3/2, 4/1; 1/5, 5/1;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1; 1/7, 3/5, 5/3, 7/1;
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1/8, 2/7, 4/5, 5/4, 7/2, 8/1; 1/9, 3/7, 7/3, 9/1;
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

L(m,n):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
|---|----|----|----|----|----|----|----|----|---
|
1- 1 2 4 6 10 12 18 22 28 ...
|
2- 3 - 7 - 13 - 23 - ...
|
3- 5 8 - 14 19 - 29 ...
|
4- 9 - 15 - 24 - - ...
|
5- 11 16 20 25 - ...
|
6- 17 - - - - - - ...
|
7- 21 26 30 ...
|
8- 27 - - - ...
|
9- 31 - - - ...
|
| ...
|
m

Sie stellt einen Ausschnitt aus der Definitionsmenge der gesuchten
Zuordnung F: ℕ → ℚ+ dar.
Man erkennt: Die Funktion F, die Cantor sucht, soll zu einer "diagonalen
Abzählung" der Menge ℚ+ der positiven rationalen Zahlen führen.
Die "zwischen zwei ;; eingeschlossenen" rationalen Zahlen liegen auf
jeweils einer Diagonalen mit konstanter Indexsumme m+n dieser Matrix.

Und nun darfst du einmal mit der Cantorschen Paarungsfunktion f vergleichen:

f: ℕ×ℕ → ℕ , f(m,n) = (m + n -1)(m + n -2)/2 + m

F: ℕ → ℚ+ , F(n) = ?

Vielleicht fällt selbst dir etwas auf...

Dieter Heidorn

[WM]

Jim Burns schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
> On 10/25/2023 6:30 AM, WM wrote:

> > The procedure accomplishes,
> > according to Cantor,
> > "that every element of the set stands at
> > a definite position of this sequence".
> There aren't two ends.

There is a state where no fraction is enumerated, and there is a state wher all fractions are enumerated, according to Cantor. These are two ends. (Same with unit fractions: The two ends are 1 and 0.)

>
> And there aren't two ends.

Then all O remain forever in the matrix.

> > Not according to Cantor:
> > "such that
> > every element of the set stands at
> > a definite position of this sequence".
> According to arithmetic,
> there aren't two ends.

That's why arithmetic is incompatible with actual infinity. Arithmetic is compatible with constructivism: "(1) Start with I. (2) When x is reached, add I. [...] These rules supply a constructive definition of numbers (namely their scheme of construction). Now we can immediately say that according to these rules infinitely many numbers are possible. One has to be aware of the fact that here only the possibility is asserted – and this is secured by the rule itself." [Paul Lorenzen: "Das Aktual-Unendliche in der Mathematik", Philosophia naturalis 4 (1957) 3-11]

Regards, WM

[WM]

According to Cantor. Of course not in reality.

> But that doesn't mean it *is* a process.

A process is what can be executed as a process.

Regards, WM

[WM]

Because dark elements cannot be paired. But there are many dark natnumbers and fractions which cannot be paired. The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps and do not vanish in the limit.

Regards, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 21:32:59 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:49:00 UTC+2:
> >> WM schrieb:
> >>
> >>>>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
> >>>> Selbstverständlich.
> >>>
> >>> O, Du proklamierst dunkle Zahlen.
> >> Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
> >> Objekte.
> > Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Mathematisch existente
> > Objekte, hier also Paare, können konstruiert werden. "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".
> >
> Und an welcher Position einer Folge sie stehen, hängt von der
> verwendeten Zuordnungsvorschrift ab.

Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.

> Dir scheint Cantors Aussage
> offensichtlich nicht zu gefallen, da sie deine Schwurbelei vom
> "schrittweisen konstruieren" zurückweist:

Was nach dieser Zuordnungsvorschrift nicht konstruiert werden kann, ist dunkel, denn alles andere kann konstruiert werden, egal was Cantor sonst noch sagt.

> > Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Das hast Du abgelehnt.
> Abgelehnt habe ich deine irrige Vorstellung, dass man bei einer
> Bijektion sämtliche Paare "schrittweise konstruieren" müsse,

Nicht müsse, sondern könne. Was nach dieser Zuordnungsvorschrift nicht konstruiert werden kann, ist dunkel, denn alles andere kann konstruiert werden.

> In der Mathematik gilt: Eine Bijektion zwischen zwei unendlichen Mengen
> ist vollständig beschrieben durch Angabe von Definitionsmenge,
> Wertemenge und Funktionsvorschrift ("Zuordnungsgesetz").

Ja, aber was nach dieser Zuordnungsvorschrift nicht konstruiert werden kann, ist dunkel, denn alles andere kann konstruiert werden.

> >> Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
> >> Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion.
> >
> > Und die führe ich aus, so dass alle O in der Matrix bleiben.
> Du führst die Cantorsche Paarungsfunktion nicht aus, sondern führst in
> einer Darstellung der Definitionsmenge Verschiebungen und Vertauschungen
> der Elemente aus,

die genau Cantors Vorschrift reproduzieren.

> >Damit ist die Existenz nicht nummerierbarer Felder und damit auch die Unvollständigkeit von Cantors "Bijektion" gezeigt.
> Ganz gewiss nicht, da dein Unfug nichts mit der Cantorschen
> Paarungsfunktion zu tun hat.

Entweder bist Du unfähig einzusehen, dass ich genau Cantors Vorschrift befolge, oder unwillig. Beides ändert nichts daran, dass Du keinen Schritt angeben kannst, der von Cantors Formel k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m abweicht.

Also finde einen solchen, oder schweige. Reine gegenteilige Behauptungen Deinerseits werde ich nicht akzeptieren.

Gruß, WM

[William]

Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.

[WM]

B, the matrix
1, 2, 4, ...
3, 5, 8, ...
6, 9,13, ...
...
containing only natural numbers does exist. It can be defined. But if you start from the matrix
1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...
B cannot be reached by the game of billiards without having all fractions in the dark parts of this matrix, surrounding the natnumbers. The game of billiards however reproduces Cantor's enumeration. Defining B has nothing to do with enumerating the fractions.

Regards, WM

[FredJeffries]

On Thursday, October 26, 2023 at 9:12:29 AM UTC-7, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
> > On 10/25/2023 6:30 AM, WM wrote:
>
> > > The procedure accomplishes,
> > > according to Cantor,
> > > "that every element of the set stands at
> > > a definite position of this sequence".
> > There aren't two ends.
> There is a state where no fraction is enumerated, and there is a state wher all fractions are enumerated, according to Cantor. These are two ends. (Same with unit fractions: The two ends are 1 and 0.)
> >
> > And there aren't two ends.
> Then all O remain forever in the matrix.

That is correct

Congratulations

[Jim Burns]

On 10/26/2023 12:12 PM, WM wrote:
> Jim Burns schrieb am Mittwoch,
> 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:
>> On 10/25/2023 6:30 AM, WM wrote:

>>> The procedure accomplishes,
>>> according to Cantor,
>>> "that every element of the set stands at
>>> a definite position of this sequence".
>>
>> There aren't two ends.
>
> There is a state where
> no fraction is enumerated,

> and there is a state [where]

> all fractions are enumerated, according to Cantor.
> These are two ends.

for each split F ᣔ≪ᣔ H of ordered process-set P

some sᵢ‖sᵢ₊₁ exist as end-of-F‖start-of-H

The enumeration of all the fractions
n = p+(p+q-1)(p+q-2)/2
is not a process

Either
the all-enumerated state sₑ is not-in P
or
not all splits F ᣔ≪ᣔ H have
end-of-F‖start-of-H states.

Either way, enumerating the fractions
is not a process.

That is not a proof of dark states.
Even with dark states, it is not a process.
Even without dark states, it is not a process.

It is the nature of the accessible, palpable,
olfactible states that
each is followed by another accessible, palpable,
olfactible state.

The split F ᣔ≪ᣔ H between
all accessible, palpable, olfactible states
and
anything (if anything) after
all accessible, palpable, olfactible states
cannot have a last-in-F
because
there is no last accessible, palpable,
olfactible state.

The existence or non-existence of
non-accessible non-palpable non-olfactible
states after them doesn't change them.

> (Same with unit fractions:
> The two ends are 1 and 0.)

0 is not an end of the unit fractions.
0 is a lower bound of the unit fractions,
the greatest lower bound.

In order to be an end,
0 needs to be a unit fraction,
which 0 isn't.

>> And there aren't two ends.
>
> Then all O remain forever in the matrix.

There is no process which
moves 1×1 infinitely-many
accessible, palpable, olfactible Os
in finitely-many steps.

Not because of dark Os
Because of each-not-last
accessible, palpable, olfactible Os

>>> Not according to Cantor:
>>> "such that
>>> every element of the set stands at
>>> a definite position of this sequence".
>>
>> According to arithmetic,
>> there aren't two ends.
>
> That's why arithmetic is incompatible with
> actual infinity.

Arithmetic is incompatible with
ineffably-self-equal things.
In arithmetic, _it can be said_
of each thing that it equals itself.

Your actual-infinityᵂᴹ requires
ineffably-self-equal things.

Your actually-infiniteᵂᴹ A cannot biject with
any proper subset S ≠⊂ A, |S| ≠ |A|
but
it contains a subset B ≠⊂ A which _can_
biject with a proper subset S ≠⊂ B, |S| = |B|

That's only possible if
the remainder A\B cannot biject with itself.
That requires ineffably-self-equal things.

Yes.
Arithmetic is incompatible with
your actual-infinityᵂᴹ
That's not a problem.
Being compatible would be a problem.

[FromTheRafters]

WM wrote on 10/26/2023 :
> William schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 20:19:42 UTC+2:
>> On Wednesday, October 25, 2023 at 11:56:04 AM UTC-3, WM wrote:
>
>>> Every pair (n, x) of a bijection that cannot be proven to be the result of
>>> step n with n the last element of a FISON,
>
>> There is no such pair.
>
> Because dark elements cannot be paired.

Of course, since we don't do pairing with things that do not exist.

If we could enumerate them, there would be a first nonexistent and a
next nonexistent thing and so on -- then we could pair them.

[FromTheRafters]

WM presented the following explanation :
> FromTheRafters schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 17:08:24 UTC+2:
>> WM presented the following explanation :
>>> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:
>>>> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:52:19 PM UTC+2, WM wrote:
>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:
>>>>>>
>>>>>> 2. A bijection is not a process.
>>>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>>>
>>> A bijection with |N can be executed as a process.
>
> According to Cantor. Of course not in reality.
>
>> But that doesn't mean it *is* a process.
>
> A process is what can be executed as a process.

Explain.

[William]

On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> B, the matrix
> 1, 2, 4, ...
> 3, 5, 8, ...
> 6, 9,13, ...
> ...
> containing only natural numbers does exist.

Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.

[FredJeffries]

On Thursday, October 26, 2023 at 11:01:03 AM UTC-7, FromTheRafters wrote:
> WM wrote on 10/26/2023 :
> > William schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 20:19:42 UTC+2:
> >> On Wednesday, October 25, 2023 at 11:56:04 AM UTC-3, WM wrote:
> >
> >>> Every pair (n, x) of a bijection that cannot be proven to be the result of
> >>> step n with n the last element of a FISON,
> >
> >> There is no such pair.
> >
> > Because dark elements cannot be paired.

> Of course, since we don't do pairing with things that do not exist.

Ridiculous. We do it all the time:

Juliet <--> Romeo
Ophelia <--> Hamlet
Katherine <--> Petruchio
Lena Lamont <--> Don Lockwood
...

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 21:32:59 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 17:49:00 UTC+2:
>>>> WM schrieb:
>>>>
>>>>>>> Man *kann* jedes Paar konstruieren. Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Bist Du gegenteiliger Meinung?
>>>>>> Selbstverständlich.
>>>>>
>>>>> O, Du proklamierst dunkle Zahlen.
>>>> Selbstverständlich nicht. Ich "proklamiere" nur mathematisch existente
>>>> Objekte.
>>> Was nicht konstruiert werden kann, gehört nicht zur Abzählung. Mathematisch existente
>>> Objekte, hier also Paare, können konstruiert werden. "such that every element of the set stands at a definite position of this sequence".
>>>
>> Und an welcher Position einer Folge sie stehen, hängt von der
>> verwendeten Zuordnungsvorschrift ab.

Wie bereits Cantor schrieb:

|"[Es] wird bewiesen, daß äquivalente Mengen immer eine und dieselbe
| Mächtigkeit oder Kardinalzahl haben und daß auch umgekehrt Mengen
| von derselben Kardinalzahl äquivalent sind. [...]
| Die Kenntnis nur eines /Zuordnungsgesetzes/ für zwei Mengen M und M_1
| /genügt/, um die Äquivalenz derselben zu konstatieren; doch gibt es
| immer viele, im allgemeinen sogar unzählig viele Zuordnungsgesetze,
| durch welche zwei äquivalente in gegenseitig eindeutige und
| vollständige Beziehung zueinander gebracht werden können."
(Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.413)

> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.

Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
(m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet. Mit

f: ℕ×ℕ→ℕ , f(m,n) = m + (m + n - 1)*(m + n - 2) = k

sind alle Paare ((m,n),k) definiert.

> Was nach dieser Zuordnungsvorschrift nicht konstruiert werden kann,
> ist dunkel, denn alles andere kann konstruiert werden

Die Paarungsfunktion ordnet _jedem_ Paar (m,n)∈ℕ×ℕ genau eine
natürliche Zahl k∈ℕ zu. Durch die Definition (nicht: "Konstruktion")
dieser Funktion sind alle Paare ((m,n),k) definiert.

>> Abgelehnt habe ich deine irrige Vorstellung, dass man bei einer
>> Bijektion sämtliche Paare "schrittweise konstruieren" müsse,
>
> Nicht müsse, sondern könne.

Auch deine Vorstellung, dass man bei einer Bijektion sämtliche Paare
"schrittweise konstruieren könne" ist im Wortsinne falsch, da es sich um
unendliche Mengen handelt. Was dagegen möglich ist, ist bei unendlichen
Mengen Bijektionen zu definieren, so dass alle Paare (d,w) von Elementen
d aus der Definitionsmenge und Elementen w aus der Wertemenge dadurch
erfasst sind. Fertig.

>> In der Mathematik gilt: Eine Bijektion zwischen zwei unendlichen Mengen
>> ist vollständig beschrieben durch Angabe von Definitionsmenge,
>> Wertemenge und Funktionsvorschrift ("Zuordnungsgesetz").
>
> Ja, aber

Nichts "aber". So ist es, und Einwände dagegen sind sinnlos.

>>>> Damit ist die "Konstruktion" aller Paare angegeben. Die Cantorsche
>>>> Paarungsfunktion ist ein Beispiel für eine solche Bijektion.
>>>
>>> Und die führe ich aus, so dass alle O in der Matrix bleiben.
>> Du führst die Cantorsche Paarungsfunktion nicht aus, sondern führst in
>> einer Darstellung der Definitionsmenge Verschiebungen und Vertauschungen
>> der Elemente aus,
>
> die genau Cantors Vorschrift reproduzieren.

Nein. Cantor gibt eine Vorschrift an, die eine Zuordnung von Paaren
(m,n)∈ℕ×ℕ zu natürlichen Zahlen k∈ℕ beschreibt.
Bildlich veranschaulicht:

f
Definitionsmenge ------------------> Wertemenge
ℕ×ℕ
(aufgefasst als Menge ℕ
positiver Brüche)

1 2 3 3 5 n |
|---|----|----|----|----|------ ..-->-1
| |..................................... |
1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... ..-->-2
| |................................ |
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ... ..-->-3
| |..................................... |
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... -4
| usw. |
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ... -5
| |
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ... -6
| |
| ... |
| k
m


Da eine solche Darstellung nicht sehr übersichtlich ist, wird die
Matrixdarstellung der Wertemenge benutzt, in der die Werte k∈ℕ
in einer quadratischen Matrix eingetragen werden, und zwar an den
Stellen von Elementen (m,n), die dem jeweiligen Urbild von k
entspricht:

Wertemenge von f in Matrixform:

1 2 3 3 5 n

|---|----|----|----|----|--------
|

1- 1 2 4 7 11 ...
|
2- 3 5 8 12 17 ...
|
3- 6 9 13 18 24 ...
|
4- 10 14 19 25 32 ...
|
5- 15 20 26 33 41 ...
|
| ...
|
m

_Es wird also nach Cantor nichts verschoben_
_und auch nichts ausgetauscht_.

Du kannst dir die zweite Darstellung auch so vorstellen, dass eine nicht
transparente Folie mit der Anordnung der Werte k auf die Matrix, welche
die Definitionsmenge darstellt, gelegt wird. Damit sind _alle_ Paare
((m,n),k) der Paarungsfunktion f erfasst.

> Entweder bist Du unfähig einzusehen, dass ich genau Cantors Vorschrift befolge,

Jeder mit ein wenig Kenntnis der Materie kann einsehen, dass du etwas
veranstaltest, was mit Cantors Paarungsfunktion nichts zu tun hat.
Du produzierst reinsten Blödsinn und bist unfähig, das zu erkennen.

> dass Du keinen Schritt angeben kannst, der von Cantors Formel k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m abweicht.

Jeder einzelne "Schritt" weicht bei dir von Cantor ab:
In jedem "Schritt" erscheint bei dir eine Menge, welche nichts anderes
darstellt, als eine

_Umordnung der Definitionsmenge der Paarungsfunktion f_.
Und
_daraus kann nicht die Wertemenge von f in der Matrixform_
_hergestellt werden_.

> Also finde einen solchen,

Erledigt.

Dieter Heidorn

[Chris M. Thomasson]

On 10/26/2023 9:21 AM, WM wrote:
> William schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 20:19:42 UTC+2:
>> On Wednesday, October 25, 2023 at 11:56:04 AM UTC-3, WM wrote:
>
>>> Every pair (n, x) of a bijection that cannot be proven to be the result of step n with n the last element of a FISON,
>
>> There is no such pair.
>
> Because dark elements cannot be paired.

[...]

Huh? WTF are you rambling on about? I have my doubts that you even
understand Cantor Pairing...

I have a dark number for you. I know what it is. You do not. Now in your
strange world, my number does not exist, or is _dark_. In your wild
world of the WM Moronica...

[Chris M. Thomasson]

On 10/26/2023 9:21 AM, WM wrote:

WM: I have never seen an aphid, therefore they do not exist.

Q: I have seen a number that you have never seen before...

WM: How is that possible?

lol!

[Chris M. Thomasson]

WM: I am a ultra hardcore finite type of person... ;^o

[Jim Burns]

On 10/26/2023 4:37 PM, Chris M. Thomasson wrote:
> On 10/26/2023 11:05 AM, FromTheRafters wrote:
>> WM presented the following explanation :
>>> FromTheRafters schrieb am Mittwoch,
>>> 25. Oktober 2023 um 17:08:24 UTC+2:
>>>> WM presented the following explanation :
>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag,
>>>>> 24. Oktober 2023 um 21:26:05 UTC+2:

>>>>>>> Fritz Feldhase schrieb am Montag,
>>>>>>> 23. Oktober 2023 um 18:02:11 UTC+2:

>>>>>>>> 2. A bijection is not a process.
>>>>>>
>>>>>> A BIJECTION IS NOT A PROCESS.
>>>>>
>>>>> A bijection with |N can be executed as a process.
>>>
>>> According to Cantor. Of course not in reality.
>>>
>>>> But that doesn't mean it *is* a process.
>>>
>>> A process is what can be executed as a process.
>>
>> Explain.
>
> WM:
> I am a ultra hardcore finite type of person...
> ;^o

WM:
I reject arithmetic
in order to keep two-ended-ness.

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> WM schrieb:

> > Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> > k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.

That is wrong as the OP clearly proves.

> >> Abgelehnt habe ich deine irrige Vorstellung, dass man bei einer
> >> Bijektion sämtliche Paare "schrittweise konstruieren" müsse,
> >
> > Nicht müsse, sondern könne.
> Auch deine Vorstellung, dass man bei einer Bijektion sämtliche Paare
> "schrittweise konstruieren könne" ist im Wortsinne falsch, da es sich um
> unendliche Mengen handelt.

Every single pair that exists can be checked. What visible number cannot be checked? Only dark or not existing elements cannot be checked.

> > Entweder bist Du unfähig einzusehen, dass ich genau Cantors Vorschrift befolge,
> Jeder mit ein wenig Kenntnis der Materie kann einsehen, dass du etwas
> veranstaltest, was mit Cantors Paarungsfunktion nichts zu tun hat.

Rede kein dummes Zeug, sondern gib eine Abweichung an.

> Du produzierst reinsten Blödsinn und bist unfähig, das zu erkennen.

Sobald Du eine Abweichung namhaft machst, werde ich sie erkennen.

> > dass Du keinen Schritt angeben kannst, der von Cantors Formel k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m abweicht.

> Jeder einzelne "Schritt" weicht bei dir von Cantor ab:

Nein. Hier ist der zweite, denn der erste reproduziert die Ausgangslage:

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

wird zu

1, 2, 1/3, 1/4, ...
1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ...

3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

Nach Cantor wird das Feld 1/2 mit 2 indiziert. Also völlige Übereinstimmung.

> In jedem "Schritt" erscheint bei dir eine Menge, welche nichts anderes
> darstellt, als eine
>
> _Umordnung der Definitionsmenge der Paarungsfunktion f_.

> Und
> _daraus kann nicht die Wertemenge von f in der Matrixform_
> _hergestellt werden_.

Welches ist denn der erste fehlende Wert?

Gruß, WM

[WM]

Of course. They indicate not indexed fractions.

Regards, WM

[WM]

Jim Burns schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 19:47:55 UTC+2:

> The enumeration of all the fractions
> n = p+(p+q-1)(p+q-2)/2
> is not a process

But all visible fractions can be enumerated by a process, one after the other. The reason is the existence of this sequence: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, ...

> Either way, enumerating the fractions
> is not a process.

At which step n does the possibility of doing step n+1 fail?

>
> That is not a proof of dark states.
> Even with dark states, it is not a process.
> Even without dark states, it is not a process.

The proof of dark states is done by the O remaining in the matrix but not being visible.

> In arithmetic, _it can be said_
> of each thing that it equals itself.

But you cannot see these things if they are dark.

> Arithmetic is incompatible with
> your actual-infinityᵂᴹ

It is Cantor's actual infinity.

Regards, WM

[WM]

The matrix exists but it is not the result of enumerating the fractions. See the OP.

Regards, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, October 27, 2023 at 12:10:55 PM UTC+2, WM wrote:
> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> > WM schrieb:
> > >
> > > Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> > > k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> > >
> > Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> > (m,n) ∈ ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k ∈ ℕ zuordnet.
> >
> That is wrong as the OP clearly proves.

Nein, das ist NICHT wrong, Du dämlicher Spinner.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function

[William]

On Friday, October 27, 2023 at 7:21:32 AM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 20:24:31 UTC+2:
> > On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> > > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > > > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> > > B, the matrix
> > > 1, 2, 4, ...
> > > 3, 5, 8, ...
> > > 6, 9,13, ...
> > > ...
> > > containing only natural numbers does exist.
> > Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.
> The matrix exists

thus the bijection exists. If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.

> but it is not the result of enumerating the fractions. See the OP.

The fact that you show a method that does not produce an enumeration does not mean an enumeration does not exist.

[Jim Burns]

On 10/26/2023 12:12 PM, WM wrote:

> Jim Burns schrieb am Mittwoch,
> 25. Oktober 2023 um 17:06:55 UTC+2:

>> According to arithmetic,
>> there aren't two ends.
>
> That's why arithmetic is incompatible
> with actual infinity.

Your actual-infinityᵂᴹ requires
ineffably-self-equal things.

> Arithmetic is compatible with constructivism:
>
> "(1) Start with I.
> (2) When x is reached, add I.
> [...]
> These rules supply a constructive definition
> of numbers
> (namely their scheme of construction).
> Now we can immediately say that
> according to these rules
> infinitely many numbers are possible.
> One has to be aware of the fact that
> here only the possibility is asserted –
> and this is secured by the rule itself."
> [Paul Lorenzen:
> "Das Aktual-Unendliche in der Mathematik",
> Philosophia naturalis 4 (1957) 3-11]

All of what [Lorenzen 1957] says here
is compatible with what I have been saying.

(1ᴶᴮ) Describe one of infinitely-many
-- true of each of infinitely-many.

(2ᴶᴮ) Augment (1ᴶᴮ) with only
not-first-false claims
-- true of each described by (1ᴶᴮ)
because, in a finite sequence,
if any one satisfies a condition,
then some one satisfies the condition first.

Without a proof that what's described exists,
we proceed after assuming it is.
If it isn't, the claims are still true, but
in an uninteresting way: true of nothing.
If it is, again, true of each described,
because finite sequence.

A mathematical construction is a proof
that whatever-it-is exists.
There is (1ᴶᴮ) _something else_ which we
already know or assume exists, which is
(2ᴶᴮ) augmented by finitely-many
not-first-false claims, including eventually
the not-first-false "Whatever-it-is exists".

A _mathematical_ construction
-- even of infinitely-many --
is a finite sequence of (1ᴶᴮ) descriptive and
(2ᴶᴮ) not-first-false claims,
and
is not _itself_ infinite.

"Construction" _sounds like_ mortaring
infinitely-many bricks into a wall,
something Chuck Norris might do.
It's not that.
It's better seen as
how we know an infinite wall exists.

----
I would add (3) to (1) and (2) for
the description of numbers:
| (3) The minimal set obeying (1) and (2)
| is the set of all and only the numbers.

(3) makes the description definite.
It can be asserted as a necessity that
there is no more than one such set.

Caveat lector.
I haven't read anything reliable about
what "actual" v. "potential" really are.

It seems reasonable to me to identify
"actual" (not "actualᵂᴹ") with "definite".

Arithmetic is incompatible with
ineffably-self-equal-itarian
actual-infinityᵂᴹ but
arithmetic is compatible with
definite actual-infinityᴶᴮ

[FredJeffries]

And THAT is just gibberish.

EOD

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
>> WM schrieb:
>
>>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
>>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
>> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
>
> That is wrong as the OP clearly proves.

No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.

Cantor writes:

|"Es hat nämlich die Funktion µ + ((µ + ν - 1)(µ + ν - 2))/2, wie
| leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
| positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr µ
| und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen
| Wert erhalten."
(Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen, S.132)

In der heute üblichen Schreibweise:

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 ,

also f(m,n) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 = k.

Weitere Informationen kannst du hier finden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion

https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function

>>> Entweder bist Du unfähig einzusehen, dass ich genau Cantors Vorschrift befolge,
>> Jeder mit ein wenig Kenntnis der Materie kann einsehen, dass du etwas
>> veranstaltest, was mit Cantors Paarungsfunktion nichts zu tun hat.
>

> Sobald Du eine Abweichung namhaft machst, werde ich sie erkennen.

Jede deiner Matrizen weicht von Cantors Funktion f ab, denn f gibt eine
bijektive Zuordnung der Elemente der Definitionsmenge ℕ×ℕ zu den
Elementen der Wertemenge ℕ an. Das bedeutet:
_In der Wertemenge von Cantors Funktion sind keine Brüche enthalten_.
Bei dir enthält jede Matrix aber alle Brüche, die du nur verschieben und
austauschen willst. Deine Matrizen veranschaulichen also nicht
schrittweise die Wertemenge von f. Somit stellt dein Gestümper nicht die
Cantorsche Zuordnung zwischen ℕ×ℕ und ℕ dar. So einfach ist das.

> Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:

>
> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...

Das ist die Definitionsmenge von f, wobei die Paare (m,n) als Brüche m/n
aufgefasst werden, und die Elemente der ersten Spalte kannst du auch als
Brüche schreiben:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|

1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|

2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|

3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|

4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|

5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|

| ...
|
m

Wenn du Cantors bijektive Zuordnung schrittweise veranschaulichen
willst, dann sieht das so aus:

Erster Schritt:

Das Element "1/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "1" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/1 wird in der Darstellung durch 1 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|

1- 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...

|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|

3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|

4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|

5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|

| ...
|
m

Zweiter Schritt:

Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|

1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...

|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|

3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|

4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|

5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|

| ...
|
m

Dritter Schritt:

Das Element "2/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "3" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 2/1 wird in der Darstellung durch 3 _ersetzt_
und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|

1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 3 2/2 2/3 2/4 2/5 ...

|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|

4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|

5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|

| ...
|
m

So lässt sich schrittweise veranschaulichen, wie die Wertemenge von f
entsteht, dargestellt in einer Matrix. Welchem Paar der Wertemenge
ein Eintrag k in der Matrix zugeordnet ist, lässt sich ablesen:
Steht ein Wert k in Zeile m und Spalte n, dann nummeriert k das Paar
(m,n) und damit den Bruch m/n.

> 1, 2, 1/3, 1/4, ...
> 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> Nach Cantor wird das Feld 1/2 mit 2 indiziert. Also völlige Übereinstimmung.

Nein, denn "nach Cantor" wird das Feld "1/2" mit "2" _überdeckt_.
1/2 ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten. Anhand der - von dir
weggelassenen - m- und n-Achsen ist aber immer zu erkennen, welches
Matrixelement (m,n), d.h. welcher Bruch m/n mit der an der Stelle (m,n)
eingetragenen natürlichen Zahl k nummeriert wird.
Bei dir bleiben die Brüche in der Matrix erhalten, und damit liegt
_bei dir_ eben _keine Übereinstimmung mit Cantor_ vor.
*Das* ist dein Problem - und nicht, dass man nicht alle k∈ℕ an die
zugehörigen Stellen (m,n) setzen kann.

Zur Ergänzung:

In dsm hatte ich Jens Kallup das unter Verwendung des Graphen von f so
veranschaulicht:

---------------------------------------------------------------------------

Wenn man eine zeichnerische Darstellung der Cantor-Funktion herstellen
will, muss man bedenken, dass sie ja von zwei Variablen abhängt: f(m,n).
Man muss für eine Zeichnung daher ein kartesisches Koordinatensystem mit
m-, n- und k-Achse verwenden.
In diesem Koordinatensystem kann man nun in der m-n-Ebene Punkte (m,n)
der Definitionsmenge von f markieren. Von einem Punkt (m,n) geht man
dann parallel zur k-Achse so weit nach oben, wie der Funktionswert
k = f(m,n) angibt. Den erreichten Punkt (m,n,k) markiert man dann.

Eine mit Maxima erzeugte Darstellung kannst du hier finden:

https://ibb.co/3kWQvh5

Die Darstellungen mit einer Matrix in der Ebene können zweierlei
zeigen:

1) Man trägt in einer Matrix M(m,n) die Brüche ein, denen eine
natürliche Zahl zugeordnet werden soll:

1 2 3 4 5 m

|---|----|----|----|----|--------
|

1- 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|

2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|

3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... M(m,n)

|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|

5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|

| ...
|
n

Das ist dann eine Darstellung eines kleinen Ausschnittes der
_Definitionsmenge_ der Cantor-Funktion, wobei man die Paare (m,n)
wie oben beschrieben als positive Brüche m/n aufgefasst hat.

2) Man trägt in einer Matrix L(m,n) die den Paaren (m,n) und damit
den Brüchen m/n zugeordneten natürlichen Zahlen ein:

1 2 3 4 5 m

|---|----|----|----|----|--------
|
1- 1 2 4 7 11 ...
|
2- 3 5 8 12 17 ...
|

3- 6 9 13 18 24 ... L(m,n)

|
4- 10 14 19 25 32 ...
|
5- 15 20 26 33 41 ...
|
| ...
|

n

Das ist dann eine Darstellung der Cantor-Funktion, die man sich so
entstanden vorstellen kann: Man lässt die Punkte (m,n,k) des 3d-
Graphen parallel zur k-Achse auf die m-n-Ebene herunter und trägt an
dem jeweiligen Punkt (m,n) in m-n-Ebene den zu diesem Paar gehörenden
Funktionswert k ein.
Es ist also eine Art Darstellung eines kleinen Ausschnittes der
_Wertemenge_ der Cantor-Funktion, projiziert in die m-n-Ebene.

---------------------------------------------------------------------------

So einfach ist das. Deine Schiebereien und Austauschereien dagegen haben
nach wie vor nichts mit der Cantorschen Paarungsfunktion zu tun.

William hat dein Vorgehen sehr treffend bewertet:

|"If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.

| The fact that you show a method that does not produce an enumeration
| does not mean an enumeration does not exist."

(William, sci.math, 27.10.23, 14:57 MESZ)

Dieter Heidorn

[WM]

No, it is fact in
XOOO... XXOO... XXOO... XXXO... ... XXXX...
XOOO... OOOO... XOOO... XOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... OOOO... OOOO... ... XXXX...
XOOO... XOOO... XOOO... OOOO... ... XXXX...
..............................................................................
but in the OP we need not even O. Counting matrix positions, all fractions remain at uncounted matrix positions.

Regards, WM

[WM]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 13:41:36 UTC+2:
> On Friday, October 27, 2023 at 12:10:55 PM UTC+2, WM wrote:
> > Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> > > WM schrieb:
> > > >
> > > > Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> > > > k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> > > >
> > > Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> > > (m,n) ∈ ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k ∈ ℕ zuordnet.
> > >
> > That is wrong as the OP clearly proves.
> Nein, das ist NICHT wrong,

Fact is, as shown in the OP: Counting matrix positions, all fractions remain at uncounted matrix positions. Forever.

Regards, WM

[WM]

William schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 14:57:14 UTC+2:
> On Friday, October 27, 2023 at 7:21:32 AM UTC-3, WM wrote:
> > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 20:24:31 UTC+2:
> > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:52:57 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > William schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 18:37:09 UTC+2:
> > > > > On Thursday, October 26, 2023 at 1:21:23 PM UTC-3, WM wrote:
> > > > > > The O indicate not paired fractions and remain in all possible steps
> > > > > Correct, you cannot get B using steps (you cannot "count to B"). This does not mean B does not exist.
> > > > B, the matrix
> > > > 1, 2, 4, ...
> > > > 3, 5, 8, ...
> > > > 6, 9,13, ...
> > > > ...
> > > > containing only natural numbers does exist.
> > > Correct, a bijection between |N and |N x |N exists.
> > The matrix exists
> thus the bijection exists.

Of course a bijection between B and B exists. But B is much smaller than A:

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

> If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.

Wrong. Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions.

> The fact that you show a method that does not produce an enumeration does not mean an enumeration does not exist.

I use precisely Cantor's method: k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m. No-one can find any deviation. I only show what he has forgotten, namely to index also the positions where the indices come from.

Glad that you recognize that Cantor's method fails.

Regards, WM

[WM]

No, it is incompatible with actual infinity, with counting all fractions, and with the diagonal of a list enumerated by all natnumbers. There is no "all" of infinite sets. Lorenzen produces the visible numbers only.

Regards, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
> >> WM schrieb:
> >
> >>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
> >>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
> >> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
> >> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
> >
> > That is wrong as the OP clearly proves.
> No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.

Please find any deviation from Cantor's rule

k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>

> > Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:
> >
> > 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> > ...
> Das ist die Definitionsmenge von f,

Es ist ebenfalls die Bildmenge, denn jeder Platz der Matrix muss indiziert werden.

> Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
> von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_

Richtig.

> und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

Falsch!

Der Platz, von dem die 2 kommt, ist nun nicht mehr indiziert. Das kennzeichnen wir durch den temporären Aufenthalt des Bruchs 1/2 auf diesem Platz. Natürlich wird dieser Platz später indiziert. Aber womit? Du möchtest also darauf verzichten, die Indizes aus der ersten Spalte zu verwenden. Warum? Glaubst Du, dass dort weniger vorhanden sind als in der Menge der Indizes, die Du verwendest? Das führt zum Betrug.

Weitere Betrugsversuche gelöscht.

> > Nach Cantor wird das Feld 1/2 mit 2 indiziert. Also völlige Übereinstimmung.
> Nein, denn "nach Cantor" wird das Feld "1/2" mit "2" _überdeckt_.
> 1/2 ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten.

Das Feld wird überdeckt, aber das Feld 2 ist nicht mehr überdeckt. Dort steht nämlich nun der ursprüngliche Bewohner 1/2.

Und der wird niemals auf einem Feld rasten, das indiziert worden ist.

Also ist es jetzt ganz klar erkennbar: Du weigerst Dich, alle natürlichen Zahlen in der ersten Spalte zu erkennen und diese zu verwenden. Du möchtest eine größere Menge verwenden. Die gibt es aber nicht. Die von Dir verwendeten sind dieselben. Nur merkst Du es nicht. Oder Du möchtest bewusst betrügen.

Gruß, WM

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:

Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen. Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten? Oder wären sie dann schon für alle weiteren Einsätze verdorben?

Gruß, WM

[Chris M. Thomasson]

On 10/19/2023 6:04 AM, WM wrote:
> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
>

> Push the natnumbers of the first column (without queue) into the field of fractions and store the hit fraction always there where the natnumber has come from. Try to push the natnumbers such that all matrix positions are occupied by them. That is best done by creating a pattern like

>
> 1, 2, 4, ...
> 3, 5, 8, ...
> 6, 9, 13, ...

> ... ,
>
> According to this simple rule it is impossible, in eternity, to remove a fraction from the matrix or to attach a natnumber to a fraction.


Let me attach a natural number to a fraction...

1 = 1/1
2 = 1/2
3 = 1/3
4 = 1/4
5 = 1/5
...

As for removing one, well, what do you mean? They are all there.


>
> You have won as soon as you understand that the last sentence is true.
>
> Congrats, WM

[Chris M. Thomasson]

WM, I cannot count to seven because I have not thought of it yet... Its
dark.

[William]

On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
.
> > If the bijection exists then an enumeration of the fractions exists.
> Wrong.

trivially true

> Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions

Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"

[WM]

Where do the fractions remain? Note that they don't disappear "in the limit". With counting only the finite terms of the sequence are concerned, not any limit.

Reads, WM

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
>> WM schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Donnerstag, 26. Oktober 2023 um 21:41:56 UTC+2:
>>>> WM schrieb:
>>>
>>>>> Hier geht es nur um eine einzige, nämlich diese:
>>>>> k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.
>>>> Ja, das ist die bijektive Cantorsche Paarungsfunktion f, die jedem Paar
>>>> (m,n)∈ℕ×ℕ eine eindeutige natürliche Zahl k∈ℕ zuordnet.
>>>
>>> That is wrong as the OP clearly proves.
>> No, it's not wrong, and the OP talks rubbish.
>

This can be seen by a simple look at the graph of the Cantor pairing
function

https://ibb.co/3kWQvh5 .

>>> Hier ist der zweite [Schritt], denn der erste reproduziert die Ausgangslage:
>>>
>>> 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
>>> 2, 2/2, 2/3, 2/4, ...
>>> 3, 3/2, 3/3, 3/4, ...
>>> 4, 4/2, 4/3, 4/4, ...
>>> 5, 5/2, 5/3, 5/4, ...
>>> ...
>> Das ist die Definitionsmenge von f,
>
> Es ist ebenfalls die Bildmenge,

Nein.
Die Bildmenge der Cantor-Funktion ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Vollständig gekürzte positive Brüche sind keine natürlichen Zahlen - hat
sich das noch nicht bis Augsburg herumgesprochen? Die positiven Brüche
bilden die Definitionsmenge der Cantor-Funktion - und die stellst du in
der Ausgangsmatrix dar.

> denn jeder Platz der Matrix muss indiziert werden.

So ist es - und in obiger Darstellung ist dann der jeweils indizierte
Bruch mit der ihm zugewiesenen Nummer überschrieben und nicht mehr in
der Matrix enthalten.

>> Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
>> von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_
>
> Richtig.
>
>> und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:
>
> Falsch!

Ganz und gar nicht.

Die natürlichen Zahlen, mit denen die positiven Brüche nummeriert
werden, bilden die Wertemenge der Cantor-Funktion

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 ,

f(m,n) = m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2 = k.

Es werden die Plätze (m,n) in der Matrix, welche die Definitionsmenge
von f darstellt, mit diesen Funktionswerten k belegt und überschreiben
die in deiner Ausgangsdarstellung eingetragenen positiven Brüche.

Erster Schritt:
---------------
1/1 befindet sich an der Stelle (m,n) = (1,1). Also wird der Bruch 1/1
indiziert mit

f(1,1) = 1 + (1 + 1 - 1)(1 + 1 - 2)/2 = 1.

Das Element "1/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "1" der Wertemenge

von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_

und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

> Das kennzeichnen wir durch den temporären Aufenthalt des Bruchs 1/2 auf diesem Platz. Natürlich wird dieser Platz später indiziert. Aber womit?

Mit einer natürlichen Zahl - so wie alle Pare (m,n), die für die Brüche
m/n stehen. Welche zu wählen ist, wird mit der Cantor-Funktion bestimmt.

Zweiter Schritt:
-----------------
1/2 befindet sich an der Stelle (m,n) = (1,2). Also wird der Bruch 1/2
indiziert mit

f(1,2) = 1 + (1 + 2 - 1)(1 + 2 - 2)/2 = 2.

Das Element "1/2" der Definitionsmenge wird dem Wert "2" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 1/2 wird in der Darstellung durch 2 _ersetzt_

und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

Dritter Schritt:

-----------------
2/1 befindet sich an der Stelle (m,n) = (2,1). Also wird der Bruch 2/1
indiziert mit

f(2,1) = 2 + (2 + 1 - 1)(2 + 1 - 2)/2 = 3.

Das Element "2/1" der Definitionsmenge wird dem Wert "3" der Wertemenge
von f zugeordnet - d.h. 2/1 wird in der Darstellung durch 3 _ersetzt_

und _ist in der Matrix nicht mehr enthalten_:

1 2 3 3 5 n
|---|----|----|----|----|------
|
1- 1 2 1/3 1/4 1/5 ...
|
2- 3 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
|
3- 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
|
4- 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
|
5- 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
|
| ...
|
m

usw.

> Du weigerst Dich, alle natürlichen Zahlen in der ersten Spalte zu erkennen

Keinesfalls. Es ist eine Trivialität, dass die positiven Brüche der Art
m/1 mit m∈ℕ die natürlichen Zahlen darstellen. Diese werden durch die
Cantor-Funktion ebenfalls indiziert: (m,1) |-> f(m,1) ; also:

m f(m,1) = m(m + 1)/2
----------------------------
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21

Die Brüche in der ersten Spalte werden also mit den Dreieckszahlen
indiziert. Das sieht dann nach einer Anzahl von weiteren Schritten so
aus:

1 2 3 4 5 n

|---|----|----|----|----|--------
|
1- 1 2 4 7 11 ...
|
2- 3 5 8 12 17 ...
|
3- 6 9 13 18 24 ...
|

4- 10 14 19 25 32 ...
|
5- 15 20 26 33 41 ...
|
| ...
|

m

Nebenbei: Die Menge der Dreieckszahlen

𝔻 = { d∈ℕ : d = n(n + 1)/2, n∈ℕ }

steht in Bijektion mit der Menge der natürlichen Zahlen, somit
sind die beiden Mengen gleichmächtig:

card(𝔻) = card(ℕ) .

Das bedeutet, dass alle Elemente der ersten Spalte, welche in der
Ausgangsmatrix die natürlichen Zahlen in der Form m/1 enthält,
vollständig mit den Dreieckszahlen indiziert werden können.

> und diese zu verwenden. Du möchtest eine größere Menge verwenden.

Nein. Zum Indizieren der positiven Brüche wird die Menge der natürlichen
Zahlen verwendet. Damit lassen sich alle Brüche indizieren, denn die
Cantor-Funktion ist eine _bijektive Abbildung_. Das bedeutet:
Sie besitzt eine _Umkehrfunktion_:

f^(-1): ℕ → ℕ×ℕ , k ↦ (m(k),n(k))

Dabei ergibt sich mit den Hilfsfunktionen
c(k) = Floor(sqrt(2*k) - 1/2),
d(c(k)) = 1/2*c(k)*(c(k) + 1)
für den durch k indizierten Bruch:
m(k) = k - d(c(k))
n(k) = c(k) - m(k) + 2

Du kannst also systematisch _alle natürlichen Zahlen verwenden_, um
fortlaufend _alle positiven Brüche zu indizieren_. Das zeigt, dass
_keine_ "größere Menge als ℕ" nötig ist, um die positiven Brüche zu
indizieren.

Du stellst dir nur laufend selbst ein Bein, da du folgendes nicht
beachtest:

* "Nach Cantor" wird ein Feld (m,n), in dem der Bruch m/n steht,
mit der natürlichen Zahl f(m,n) = k überschrieben.

* m/n ist damit nicht mehr in der Matrix enthalten.

* Anhand der - von dir weggelassenen - m- und n-Achsen ist aber immer zu

erkennen, welches Matrixelement (m,n), d.h. welcher Bruch m/n mit der
an der Stelle (m,n) eingetragenen natürlichen Zahl k nummeriert wird.

Bei dir bleiben die Brüche in der Matrix erhalten, und damit liegt
_bei dir_ eben _keine Übereinstimmung mit Cantor_ vor.

Da kannst du dich drehen und wenden so viel du willst, und noch so laut
"Betrug" schreien - Fakt ist und bleibt:
Deine Schiebereien und Tauschereien haben nichts mit Cantor zu tun, und
sie widerlegen auch nicht die Abzählung der positiven Brüche mit der
Cantor-Funktion.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

WM schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
>
> Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen.

Nein. Ich nehme einen Bruch m/n, und _berechne_ mit der Cantor-Funktion
die natürliche Zahl, der der Bruch zugeordnet wird: f(n,m) = k.

> Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten?

Da habe ich eine sehr viel bessere Idee: Die Cantorsche Paarungsfunktion

f: ℕ×ℕ → ℕ , (m,n) ↦ m + (m + n - 1)(m + n - 2)/2

ist bijektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion f^(-1):

f^(-1): ℕ → ℕ×ℕ , k ↦ (m(k),n(k)) .

Dabei ergibt sich mit den Hilfsfunktionen
c(k) = Floor(sqrt(2*k) - 1/2),
d(c(k)) = 1/2*c(k)*(c(k) + 1)
für den durch k indizierten Bruch:
m(k) = k - d(c(k))

n(k) = c(k) - m(k) + 2 .

Du kannst also systematisch alle natürlichen Zahlen k aus der Menge ℕ
verwenden, um fortlaufend alle positiven Brüche zu indizieren.

Beispiele:

k c(k) d(c(k)) m(k) n(k)
-----------------------------------
1 0 0 1 1
2 1 1 1 2
3 1 1 2 1
4 2 3 1 3
5 2 3 2 2
6 2 3 3 1

Dieter Heidorn

[William]

On Saturday, October 28, 2023 at 5:47:53 PM UTC-3, WM wrote:
> William schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 21:55:38 UTC+2:
> > On Saturday, October 28, 2023 at 6:42:52 AM UTC-3, WM wrote:
> >
> > > Counting matrix positions as in the OP, all fractions remain at uncounted matrix positions
> > Nonsense. There is no such thing as "uncounted matrix positions"
> Where do the fractions remain?

A meaningless question. Since there is a bijection, every fraction is associated with an element of the matrix B.

At every step in your "game of billiards". there is a set of fractions associated to O's. If a last fraction in this set existed it would always be associated to an O. However, the last fraction does not "remain" anywhere because the last fraction in does not exist.

[WM]

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 28. Oktober 2023 um 23:14:11 UTC+2:
> WM schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 27. Oktober 2023 um 21:41:59 UTC+2:
> >
> > Vorschlag zur Güte: Du möchtest ja die Indizes von außerhalb der Matrix nehmen.
> Nein. Ich nehme einen Bruch m/n, und _berechne_ mit der Cantor-Funktion
> die natürliche Zahl, der der Bruch zugeordnet wird: f(n,m) = k.

Was ist das Anderes als eine natürliche Zahl auf das so berechnete Feld der Matrix zu legen?
Was ändert es, wenn die natürlichen Zahlen zunächst in der ersten Spalte abgelegt werden?

> > Kannst Du sie erstmal mit den Brüchen der ersten Spalte paaren und dann weiter verarbeiten?
> Da habe ich eine sehr viel bessere Idee:

Lass uns erstmal meine Idee untersuchen. Oder fürchtest Du Dich davor, weil Du keine Abweichung von Cantor Ansatz findest?

Gruß, WM