Formel

[Niels Kasch]

Hallöchen liebes Telekollegteam,

ich bin seit einiger Zeit daran für ein Projekt in meiner Schule ein
Computerprogramm zu programmieren, bei dem ich die Formel für einen
schrägen Wurf, der Windbewegungen beinhaltet, benötige.
Da ich in meinem Tafelwerk nur die Wurfparabel ohne Wind
y=tan a*x-g/(2v0²*cos²a)*x² gefunden habe, läuft mein Program nicht
wie gewünscht.
Ich hoffe, daß ich auf diesem Wege jemanden finde, der eine solche
Formel kennt bzw. herleitet.

Tschüß, Niels

[Uwe Pross]

Niels Kasch wrote:

hallo niels,

eine loesungsformel, wie die ohne beruecksichtigung des luftwiderstandes,
kann man nicht geben (d.h. es existiert auch keine!). mittels eines
programmes kann man die flugbahn aber trotzdem berechnen.
wir gehen davon aus wir haben einen kugelfoermigen koerper mit dem radius
r und der masse m, der mit der anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem winkel
a (winkel zwischen geschwindigkeitsrichtung (vektor) und der x-achse)
abgeworfen wird.
die anfangsgeschwindigkeit v0 kann man in zwei komponenten unterteilen
(eine in richtung der x-achse vx0 und eine in richtung der y-achse vy0).
nach den gesetzen am rechtwinklichen dreieck ergibt sich :
vx0=v0*sin(a) und vy0=v0*cos(a)
weiter wirken auf die kugel folgende kraefte und beschleunigungen:
-die erdbeschleunigung (wirkt in die negative y-richtung): g ->
geschwindigkeitsabnahme durch erdbeschleunigung v=g*t
-die kraft durch die luftreibung: fr=6*pi*eta*r*v_relativ
v_relativ ist die relativgeschwindigkeit zwischen der kugel und der luft
(wirkt in x und y richtung immer entgegen der bewegung
pi ist 3.142...
eta ist die viskositaet (bei luft 0.000018 pascal*sekunde) eta ist keine
konstante, sondern abhaenging von der geschwindigkeit, um aber ueberhaupt
etwas rechnen zu koennen setzen wir es hier mal als konstant voraus. die
hier angebene loesung ist also nur eine NAEHERUNG!!
mit den newtonschen gesetz: f=m*a (kraft = masse*beschleunigung)
kann man fuer die geschwindigkeitskomponenten in abhaengigkeit von der
zeit schreiben:
vy=v0*sin(a) - g*t - vy*6*pi*eta*r*t / m
vx=v0*cos(a) - (vx + v_wind)*6*pi*eta*r*t / m

nach vx aufloesen:

-v0 cos(a) m + 6 pi eta r t v_wind
vx = - ----------------------------------
m + 6 pi eta r t

nach der integration nach t ergibt sich dann x in abhaengigkeit von t zu:

m ln(m + 6 pi eta r t) v0 cos(a)
x = -v_wind t + 1/6 --------------------------------
pi eta r

m ln(m + 6 pi eta r t) v_wind
+ 1/6 -----------------------------
pi eta r

nach vy aufloesen:

m (-v0 sin(a) + g t)
vy = - --------------------
m + 6 pi eta r t

nach der intergration nach t ergibt sich dann y in abhaengigkeit von t
zu:

m g t m ln(m + 6 pi eta r t) v0 sin(a)
y = - 1/6 -------- + 1/6 --------------------------------
pi eta r pi eta r

2
ln(m + 6 pi eta r t) g m
+ 1/36 -------------------------
2 2 2
pi eta r

die andere formel wurde nun erreicht in dem eine der so entstandenen
gleichungen nach t aufloeste und in die andere einsetzte, die hier
entstanden gleichungen kann man aber nicht nach t aufloesen!
man kann die gleichungen aber in ein computerprogramm eingeben und sich
fuer verschiedene zeitpunkte t die werte fuer x und y ausrechnen lassen
und die dann in einem diagramm darstellen um so die flugbahn zusehen.
viel spass beim programmieren!

tschuess uwe