Differentialrechnung (waagerechte / senkrechte Tangente)

[S. Kreienbrock]

Hallo!

Ich habe folgendes Problem :

Aufgabe : Bestimmen sie die waagerechten und senkrechten Tangenten der in
Polarkoordinaten dargestellten Lemniskate ( r = wurzel aus cos (2 phi) ).

Ich habe mit Hilfe der Kettenregel die Funktion differenziert und mit Hilfe
der Formel für den Anstieg der Kurve in Polarkoordinaten

y' = y° / x° (Ableitungen nach der Zeit) = r°(phi) * sin(phi) + r(phi) *
cos(phi) / r°(phi) * cos(phi) - r(phi) * sin(phi)

bin ich zu der Lösung

y' = sin (2 phi) * sin (phi) - cos (2 phi) * cos (phi) / sin (2 phi) * cos
(phi) + cos (2 phi) * sin (phi) = y° / x°

gekommen.

Jetzt soll ich die waagerechten Tangenten (Anstieg y' = 0; y° gleich 0, x°
ungleich 0) und senkrechten Tangenten (Anstieg y' = unendlich; x° gleich 0,
y° ungleich 0) bestimmen aber kann jedoch die jeweilige Ableitung y° bzw. x°
nicht nach 0 auflösen da ich nicht so bewandert in dem Umgang mit den
trigonometrischen Fkt. bin.
Falls mir jemand weiterhelfen kann, wäre ich sehr dankbar.

mit freundl. Grüssen
S. Kreienbrock

[Peter Niessen]

"S. Kreienbrock"

> Hallo!
>
> Ich habe folgendes Problem :
>
> Aufgabe : Bestimmen sie die waagerechten und senkrechten Tangenten der in
> Polarkoordinaten dargestellten Lemniskate ( r = wurzel aus cos (2 phi) ).

Die Formel ist falsch muss heissen: r = sqrt(2* cos (2 phi))
wenn du weisst wie die Kurve geometrisch definiert ist kannst Du
mindestens 2 Extremwerte sofort hinschreiben ohne zu differenzieren.
Wenn Du differenzieren willst, wandel das in Parameterdarstellung um.
Das ist übersichtlicher.
mfg peter

[S. Kreienbrock]

"Peter Niessen" schrieb :

> "S. Kreienbrock"
> > Hallo!
> >
> > Ich habe folgendes Problem :
> >
> > Aufgabe : Bestimmen sie die waagerechten und senkrechten Tangenten der
in
> > Polarkoordinaten dargestellten Lemniskate ( r = wurzel aus cos (2
phi) ).
>
> Die Formel ist falsch muss heissen: r = sqrt(2* cos (2 phi))
> wenn du weisst wie die Kurve geometrisch definiert ist kannst Du
> mindestens 2 Extremwerte sofort hinschreiben ohne zu differenzieren.
> Wenn Du differenzieren willst, wandel das in Parameterdarstellung um.
> Das ist übersichtlicher.
> mfg peter

Ich habe die Aufgabe aus dem Papula Band 1, wo sie unter Kapitel IV
Differentialrechnung in dem Aufgabensatz (Aufgabe 21) steht.
Dort ist die Formel als r = wurzel aus cos(2phi) angegeben. Die Lösungen
habe ich in dem Papula auch stehen, aber der Weg fehlt mir.
Die Lösungen wären (zur Überprüfung) :

waagerechte Tangente : phi1: pi/6 ; phi2: 5pi/6 ; phi3: 7pi/6 und phi4:
11pi/6
senkrechte Tangente : phi5: 0 und phi6: pi

mfg sven

[Peter Niessen]

"S. Kreienbrock"

>
> "Peter Niessen" schrieb :
>
> > "S. Kreienbrock"
> > > Hallo!
> > >
> > > Ich habe folgendes Problem :
> > >
> > > Aufgabe : Bestimmen sie die waagerechten und senkrechten Tangenten der
> in
> > > Polarkoordinaten dargestellten Lemniskate ( r = wurzel aus cos (2
> phi) ).
> >
> > Die Formel ist falsch muss heissen: r = sqrt(2* cos (2 phi))
> > wenn du weisst wie die Kurve geometrisch definiert ist kannst Du
> > mindestens 2 Extremwerte sofort hinschreiben ohne zu differenzieren.
> > Wenn Du differenzieren willst, wandel das in Parameterdarstellung um.
> > Das ist übersichtlicher.
> > mfg peter
>
> Ich habe die Aufgabe aus dem Papula Band 1, wo sie unter Kapitel IV
> Differentialrechnung in dem Aufgabensatz (Aufgabe 21) steht.
> Dort ist die Formel als r = wurzel aus cos(2phi) angegeben.

Wenn man die Formel der Leminiskate als Sonderfall der Cassinischen Kurven
herleitet: (x^2+y^2)^2 - 2e^2(x^2 -y^2) = a^4 - e^4
erhält man mit a^2=e^2
(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) oder r=a*sqrt(2* cos (2 phi)) und mit a= 1/sqrt(2)
r=sqrt( cos (2 phi)) zufrieden?
Nur wenn wenn man die Bedeutung der Parameter kennt kann kann sofort erkennen
wo denn die Kurve Maxima besitzen muss.

> Die Lösungen
> habe ich in dem Papula auch stehen, aber der Weg fehlt mir.
> Die Lösungen wären (zur Überprüfung) :

Nun gut die Bernullische Leminiskate in Parameterform.
x=sqrt((t*a^2)(1+t))
y=sqrt((t*a^2)(1-t))
jetzt sollte der Lösung nichts mehr im Weg stehen :-)
mfg Peter
Nebenbei die Fläche einer Schleife ist a^2