Eulersche Zahl als Kettenbruch

[Hartmut Rieg]

Die Eulersche Zahl e als Kettenbruch

2
e - 1 = 1 + ------------------------------
3
2 + --------------------------
4
3 + -----------------------
5
4 + -------------------
6
5 + --------------
6 + ...

Wie die Zahl e als Folgengrenzwert hergeleitet werden kann, weiß
jeder. Wie man durch fortgesetzte Integration der e-Funktion zur
Exponentialreihe kommt, steht auch in jedem Oberstufen-Mathematik-
buch.

Aber was ich nirgends finde, ist eine Herleitung des obigen Ketten-
bruches. Dabei ist er doch wirklich elegant. Und er konvergiert ver-
blüffend schnell.

Wer kennt eine Herleitung???

Übrigens, es gibt noch zahlreiche andere Kettenbruchdarstellungen
für die Zahl e. Fast alle sollen von Euler selbst stammen....
Eine interessante Internet-Adresse dazu ist http://www.mathsoft.com
und dann von dort weiterlinken.

mfg
Hartmut Rieg

--
Max-Planck-Gymnasium Karlsruhe
http://www.uni-karlsruhe.de/~za151

[Köppel Peter]

Hartmut Rieg wrote:
> =

> Die Eulersche Zahl e als Kettenbruch

> =

> 2
> e - 1 =3D 1 + ------------------------------

> 3
> 2 + --------------------------
> 4
> 3 + -----------------------
> 5
> 4 + -------------------
> 6
> 5 + --------------
> 6 + ...

> =

> Wie die Zahl e als Folgengrenzwert hergeleitet werden kann, wei=DF

> jeder. Wie man durch fortgesetzte Integration der e-Funktion zur
> Exponentialreihe kommt, steht auch in jedem Oberstufen-Mathematik-
> buch.

> =

> Aber was ich nirgends finde, ist eine Herleitung des obigen Ketten-
> bruches. Dabei ist er doch wirklich elegant. Und er konvergiert ver-

> bl=FCffend schnell.
> =

> Wer kennt eine Herleitung???
> =

> =DCbrigens, es gibt noch zahlreiche andere Kettenbruchdarstellungen
> f=FCr die Zahl e. Fast alle sollen von Euler selbst stammen....

> Eine interessante Internet-Adresse dazu ist http://www.mathsoft.com
> und dann von dort weiterlinken.

> =

> mfg
> Hartmut Rieg
> =

> --
> Max-Planck-Gymnasium Karlsruhe
> http://www.uni-karlsruhe.de/~za151

Hallo Hartmut
Du kannst eine kurze Einfuehrung in:
1. H. Scheid, =

Zahlentheorie, S. 46-61
B-I Wissenschaftsverlag, ISBN 3-411-14842-X und
2. I. Niven/H.S. Zuckerman
Einfuehrung in die Zahlentheorie II, S. 202-238
B-I Hochschultaschenbuecher, Band 47, ISBN 3-411-00047-3
finden.
Ich weiss zwar selber nicht, ob Deine gewuenschte Herleitung dort
erwaehnt wird.

anyway, Gruss Peter.