Matheaufgabe unlösbar?
Oliver Kelm
ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer kann
sie doch lösen?
wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
Die Lösung der Rekursiven lauter:
<a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
Ciao
Oli
Markus
Oliver Kelm schrieb:
Die Lösung lautet :
a klein 1 = 10, a klein 2 = 1/12 und a klein n = Nenner von(a klein n-1) *2 +
Zähler von (a klein n-1).
Oder ?
Ciao,
Markus
Silvio Martin
>ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer kann
>sie doch lösen?
>wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
>
>Die Lösung der Rekursiven lauter:
><a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
>
>und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
Es waere einfacher, wenn Du das rekursive Bildungsgesetz postest.
Gruss, Silvio
--
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Silvio Martin <sil...@cityweb.de>
Oliver Kelm
einsetzt 10 rauskommt, wenn man 2 reinstetzt soll 1/12 rauskommen, wenn man
3 reinsetzt soll 12/25 rauskommen, wenn man 4 reinsetzt soll 25/62
herauskommen.
das was du geschrieben hast ist eine rekursive Folge, ich brauch eine
explizite!
trotzdem danke
Oli
Markus <Marku...@geistes-wissenschaft.de> schrieb in im Newsbeitrag:
37BFD27E...@geistes-wissenschaft.de...
>
>
> Oliver Kelm schrieb:
>
> > Hi Mathe-Freaks,
> >
> > ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer
kann
> > sie doch lösen?
> >
> > wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
> >
> > Die Lösung der Rekursiven lauter:
> > <a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
> >
> > und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
> >
Oliver Kelm
a[klein n+1] = 1/(a[klein n] + 2)
und dass soll in eine Explizite gleichung umgeformt werden!
Silvio Martin <sil...@cityweb.de> schrieb in im Newsbeitrag:
935319957....@news.cityweb.de...
"Oliver Kelm" <o.k...@planet-interkom.de> wrote:
>ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer kann
>sie doch lösen?
>wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
>
>Die Lösung der Rekursiven lauter:
><a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
>
>und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
Es waere einfacher, wenn Du das rekursive Bildungsgesetz postest.
Hartmut Rieg
>Die Lösung der Rekursiven lauter:
><a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
>
>und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
Vielleicht hilft es Dir weiter, dass die Folge der Nenner eine lineare
Rekursion darstellt und damit lösbar ist:
N(x) = 2*N(x-1) + N(x-2), N(0)=1, N(2)=12
Für die Zähler gilt
Z(x) = N(x-1), Z(1) = 10
Ich habe die Nennerfolge Maple zum Lösen gegeben und komme nach ersten
Vereinfachungen auf
N(x) = [ (2+11w)(-w-1)^x + (2-11w)*(w-1)^x ]*(-1)^x/4, wobei w die
Wurzel aus 2 ist.
Gruss
Hartmut
Nicky Hasselmann
> Nein ich brauch eine Explizite gleichung, bei der, wenn mann 1 für n
> einsetzt 10 rauskommt, wenn man 2 reinstetzt soll 1/12 rauskommen, wenn man
> 3 reinsetzt soll 12/25 rauskommen, wenn man 4 reinsetzt soll 25/62
> herauskommen.
> das was du geschrieben hast ist eine rekursive Folge, ich brauch eine
> explizite!
> trotzdem danke
> Oli
Ich muss dich enttaeuschen. Oliver hat eindeutig eine explizite Folge
angegeben. Eine rekursive Folge hat eine andere Darstellung. Aber wenn ich
deine anderen Postings sehe, dann suchst Du Formel, um aus der Nummer des
Folgengliedes seinen Wert zu bestimmen. Und dazu hast Du nur eine rekursive
Formel. Aber was Du zuerst angegeben hast, war eine explizite Folge bzw. deren
Anfang.
Nicky
Oliver Randschau
> Hi Mathe-Freaks,
>
> ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer kann
> sie doch lösen?
>
> wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
>
> Die Lösung der Rekursiven lauter:
> <a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
>
> und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
>
> Ciao
> Oli
Hallo,
mit ein wenig linearer Algebra sollte es gehen:
Bezeichnen wir mit f die Folge der Zähler. Dann ist (a_n) = (f_n/f_{n+1}).
f ist eindeutig gegeben durch f_1 = 10, f_2 = 1
sowie f_n+2 = 2f_{n-1} + f_{n-2}.
Es ist V:={g| g_n+2 = 2g_{n-1} + g_{n-2}} ein zwei-dimensionaler
Vektorraum über R (Nachrechen, bzw zeigen :) ).
Sei x \in \R. Es gilt (x^n) \in V <-> x^n = 2x^(n-1) + x^(n-2)
<-> x^2 - 2x - 1 = 0
<-> x = 1 + \sqrt{2}
oder x = 1 - \sqrt{2}.
Setze a:= 1 + \sqrt{2} und b:= 1 - \sqrt{2}.
Dann sind (a^n) und (b^n) \in V und linear unabhängig (Wieso ? :))
Wegen dim V = 2 existieren l,m \in \R mit
[*] (f_n) = l*(a^n) + m*(b^n). Insbesondere also
10 = f_1 = la + mb und
1 = f_2 = la^2 + mb^2.
Hieraus lassen sich l,m bestimmen und mit [*] hat man die gesuchte,
geschlossene Formel.
Ansich eine schöne Anwendung für lineare Algebra, oder?
Gruß - Oliver.
P.S.: an die puristischen Meckerer. ich habe die Schlampregel
angewandt: Man darf alles schlecht formulieren, wenn man es
richtig kann.
Oliver Randschau
>
> Sei x \in \R. Es gilt (x^n) \in V <-> x^n = 2x^(n-1) + x^(n-2)
> <-> x^2 - 2x - 1 = 0
> <-> x = 1 + \sqrt{2}
> oder x = 1 - \sqrt{2}.
>
>
Sei x \in \R. Es gilt (x^n) \in V <-> x^n = 2x^(n-1) + x^(n-2)
<- x^2 - 2x - 1 = 0
^^^
<-> x = 1 + \sqrt{2}
oder x = 1 - \sqrt{2}.
Sorry
Michael Pronath
> Hi Mathe-Freaks,
>
> ich habe in Mathe eine (denke ich) unlösbare aufgabe aufbekommen! Wer kann
> sie doch lösen?
>
> wir sollten aus einer Rekursiven-Folge eine Explizite-Folga mach.
>
> Die Lösung der Rekursiven lauter:
> <a[klein n]> = 10, 1/12, 12/25, 25/62, 62/149, ...
>
> und jetzt sollen wir aus diesem Ergebnis eine Explizite-Folge bilden!!
vielleicht so:
Z-Transformation, dann Partialbruchzerlegung, dann Rücktransformation
Michael
--
Oliver Kelm
wir haben als Hausaufgabe auf, eine explizite Gleichung zu konstruieren.
Nicky Hasselmann <nha...@computerlabor.math.uni-kiel.de> schrieb in im
Newsbeitrag: 37C13032...@computerlabor.math.uni-kiel.de...
Wilhelm Sternemann
Hier ist die Lösung, die du haben wolltest:
Zaehler(n) = (5 - 9*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
+ (5 + 9*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n,
Nenner(n) = (1/2 + 11*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
+ (1/2 - 11*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n .
Für die Lösung brauchst du Matrizenrechnung.
Deine Iteration lautet in Matrizensprache:
[Zaehler(n+1), Nenner(n+1)] = [[0, 1], [1, 2]]*[Zaehler(n), Nenner(n)]
Die Matrix [[0, 1], [1, 2]] = B*D*D^(-1), wobei D die Diagonalmatrix mit den
Eigenwerten von [[0, 1], [1, 2]] ist (sie lauten 1+sqrt(2) und 1-sqrt(2)), und
B die Matrix aus zwei zugehörigen Eigenvektoren sind. Du kannst noch mal fragen,
wenn du mehr wissen willst.
Es gibt da sprachlich ein wenig Verwirrung, was explizit, was rekursiv, was
iterativ ist.
Du solltest besser nicht "explizite Folge" sondern "explizite Formel zu dieser
Folge" sagen.
Ich selber (Mathelehrer) gebrauche den Begriff "explizite Formel" im Gegensatz
zu "rekursiver oder iterativer Definition" für die in der Newsgroup de sci
mathematik angegebenen Lösungen, die der Sache aber nicht in deinem Sinne auf
den Grund gehen.
P.S. Ich würde gerne deinen Mathelehrer kennenlernen.
Michael Hueckel
Formel abgeleitet werden kann. Die Aufgabe ist durch Ausprobieren
lösbar:
Es ist zu erkennen, daß
1 / (2*1 + 10) = 1/12
12 / (2*12 + 1) = 12/25
25 / (2*25 + 12) = 25/62
62 / (2*62 + 25) = 62/149 usw. ist.
D.h.
vorheriger Nenner / (2*vorheriger Nenner + vorheriger Zähler).
Wenn u der Zähler und v der Nenner, dann ist
a(n+1) = vn / (2*vn + un), wobei das erste Glied 10/1 ist.
schö
micha
Oliver Randschau
> Lieber Oliver,
> Hier ist die Lösung, die du haben wolltest:
> Zaehler(n) = (5 - 9*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
> + (5 + 9*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n,
>
> Nenner(n) = (1/2 + 11*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
> + (1/2 - 11*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n .
nett ;)
>
> Für die Lösung brauchst du Matrizenrechnung.
Ich würde sagen: .., kann man Matrizenrechnung benutzen.
Michael hatte mal vorgeschlagen:
'Z-Transformation, dann Partialbruchzerlegung,
dann Rücktransformation'.
Hört sich nicht so an, als müßte man da mit Matrizen rechnen.
> Deine Iteration lautet in Matrizensprache:
> [Zaehler(n+1), Nenner(n+1)] = [[0, 1], [1, 2]]*[Zaehler(n),
> Nenner(n)]
Geglaubt.
> Die Matrix [[0, 1], [1, 2]] = B*D*D^(-1), wobei D die
> Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von [[0, 1], [1, 2]]
> ist (sie lauten 1+sqrt(2) und 1-sqrt(2)), und
> B die Matrix aus zwei zugehörigen Eigenvektoren sind.
Der Satz ist Dir irgendwie mißlungen, oder?
Gruß - (der andere) Oliver.
Wilhelm Sternemann
Oliver Randschau wrote:
> Wilhelm Sternemann <stern...@t-online.de> writes:
>
> > Lieber Oliver,
> > Hier ist die Lösung, die du haben wolltest:
> > Zaehler(n) = (5 - 9*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
> > + (5 + 9*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n,
> >
> > Nenner(n) = (1/2 + 11*SQRT(2)/4)*(SQRT(2)+1)^n
> > + (1/2 - 11*SQRT(2)/4)*(-SQRT(2)+1)^n .
>
> nett ;)
besonders für den entnervten(?) anderen ursprünglichen Oliver, der
vielleicht schon ausgestiegen ist. Eigentlich habe ich mich an jenen
gewendet!
> > Für die Lösung brauchst du Matrizenrechnung.
> Ich würde sagen: .., kann man Matrizenrechnung benutzen.
Ich hätte sagen sollen: >für meine Lösung habe ich Matrizenrechnung
gebraucht!< Inzwischen habe ich deine (= Matheprofi-Oliver) elegantere
auch kapiert, nachdem Jutta Gutt sich die Mühe gemacht hat, ihr auf den
Grund zu gehen.
Juttas Berechnungen von deinen Koeffizienten l und m mit Wurzel-Brüchen
stimmen mit meinen überein. Bei mir sind die Nenner wurzelfrei gemacht
worden. (Hat die Software DERIVE gemacht!)
> Michael hatte mal vorgeschlagen:
> 'Z-Transformation, dann Partialbruchzerlegung,
> dann Rücktransformation'.
> Hört sich nicht so an, als müßte man da mit Matrizen rechnen.
Oder doch!? Transformieren im zweidimensionalen Fall?
Ansosnten verstehe ich die Begriffe nicht, mathematisch zu ungebildet!
> > Deine Iteration lautet in Matrizensprache:
> > [Zaehler(n+1), Nenner(n+1)] = [[0, 1], [1, 2]]*[Zaehler(n),
> > Nenner(n)]
> Geglaubt.
Danke!Iist doch nicht abwegig, zweidimensional zu arbeiten, wenn man
Zähler und Nenner als verschiedene(verallgemeinerbar auf noch
verschiedener!) gekoppelte Zahlenfolgen hat.
> > Die Matrix [[0, 1], [1, 2]] = B*D*D^(-1), wobei D die
> > Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von [[0, 1], [1, 2]]
> > ist (sie lauten 1+sqrt(2) und 1-sqrt(2)), und
> > B die Matrix aus zwei zugehörigen Eigenvektoren sind.
> Der Satz ist Dir irgendwie mißlungen, oder?
Pardon (bin manchmal etwas blind), sollte heißen:
Die Matrix [[0, 1], [1, 2]] = B*D*B^-1, wobei D die Diagonalmatrix mit
den Eigenwerten von [[0, 1], [1, 2]] ist. Und
B ist eine Matrix aus zwei zugehörigen Eigenvektoren.
((Bei euch sind das die "geeignet gewählten" Zahlen a und b!)) Die
Transformationsmatrix B findet man, indem man einen Eigenvektor von a
und einen von b einfach nebeneinander schreibt. Man invertiert sie und
kann dann bei beliebigen Startwert [Z(0), N(0)] insbesondere [10, 1] die
gesuchte Folge notieren:
[Z(n), N(n)] = [[0, 1], [1, 2]]^n*[Z(0), N(0)] = (B*D*B^-1)^n*[Z(0),
N(0)] = B*D^n*(B^-1*[Z(0), N(0)]) und dabei ist D = [[a^n, 0], [0, b^n]]
und der Ausdruck läßt sich einigermaßen hinschreiben. Ich habe es zuerst
mit der Hand versucht, aber einen dummen Rechenfehler drin gehabt, dann
mit DERIVE. Bei Den Fall einer nichtdiagonalisierbaren Matrix muß man
vermutlich etwas anders behandeln. Läßt sich verallgemeinern auf
n-dimensiónalen Fall und auf nicht homogene lineare Iteration x(n+1) =
A*x(n) + v.
Ich wollte den Weg zu expliziten Formeln von linearen Iteration immer
mal lernen. Das Schnuppern in diese Newsgroup hat mich dazu gebracht.
:-)
Ich bin auch an nichtlinearen Iterationen interessiert. Mein Wunsch ist,
mehr Iterationen in den Mathematikunterricht zu bringen.
> Gruß - (der andere) Oliver.
<3-liche Gr. Wilhelm Sternemann