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Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks berechnen
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Udo
Feb 19, 2013, 5:36:30 AM2/19/13
to
Hallo,
kann mir jemand helfen, wie man auf die Formel für den Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks kommt?
R = abc/4A
wobei A der Flächeninhalt des Dreiecks sein soll.
Die Berechnung über den Sinussatz ist mir klar (2R=a/sin(alpha)=b/sin(beta) ...)
Aber wie kommt man auf obige Formel? Gibt es vielleicht einen Link, wo das schrittweise erklärt bzw. vorgerechnet wird? Hab nix Vernünftiges gefunden, nur die fertige Formel.
Beim Herumrechnen mit Pythagoras (Höhen im Dreieck) entstehen ziemliche Monster, vor allem wenn man dann noch die Heron'sche Formel einbezieht.
Wie geht's einfacher?
Wäre für Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Udo
kann mir jemand helfen, wie man auf die Formel für den Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks kommt?
R = abc/4A
wobei A der Flächeninhalt des Dreiecks sein soll.
Die Berechnung über den Sinussatz ist mir klar (2R=a/sin(alpha)=b/sin(beta) ...)
Aber wie kommt man auf obige Formel? Gibt es vielleicht einen Link, wo das schrittweise erklärt bzw. vorgerechnet wird? Hab nix Vernünftiges gefunden, nur die fertige Formel.
Beim Herumrechnen mit Pythagoras (Höhen im Dreieck) entstehen ziemliche Monster, vor allem wenn man dann noch die Heron'sche Formel einbezieht.
Wie geht's einfacher?
Wäre für Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Udo
Joachim
Feb 19, 2013, 12:26:13 PM2/19/13
to
Hallo Udo,
> ... Wie geht's einfacher?
> ... Viele Grüße
>
> Udo
ein nettes Problem, das auf den ersten Blick kompliziert aussieht, sich aber einfach lösen lässt, wenn man den richtigen Einstieg findet :-)
Also Skizze:
Dreieck A B C in üblicher Orientierung, Umkreismittelpunkt M als Schnittpunkt der Höhensenkrechten bestimmen, Umkreis mit R = AM zeichnen.
Jetzt Achtung: Verlängere den Radius AM bis zum Schnitt mit dem Umkreis, dies ergibt Punkt P.
Die Strecke AP entspricht 2R. Schau Dir das Dreieck APB genau an:
(1) Es ist rechtwinklig, weil der Kreisbogen AB einem Thaleskreis über AP entspricht.
(2) Der Winkel APB (bei P) entspricht dem Winkel gamma (bei C) im Ursprungsdreieck ABC, weil Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen (AB) gleich groß sind.
Aus dem rechtwinkligen Dreieck ABP entnimmt man die Beziehung
c/AP = c/2R = sin(gamma)
c = 2R * sin(gamma)
Jetzt beide Seiten dieser Gleichung mit der Fläche A multiplizieren, das ergibt:
2R * sin(gamma)* A = c * A
A kann man ausdrücken als: A = a/2 * Ha mit Ha der Höhe über der Seite a.
Dies ergibt:
2R * sin(gamma) * A = c * a/2 * Ha.
Da Ha/b = sin(gamma) bzw. Ha = b*sin(gamma)
ergibt sich
2R * sin(gamma) * A = c * a/2 * b *sin(gamma)
2R * A = abc/2
und zum Schluß:
R = abc/4A
HTH
Joachim
> ... Wie geht's einfacher?
> ... Viele Grüße
>
> Udo
ein nettes Problem, das auf den ersten Blick kompliziert aussieht, sich aber einfach lösen lässt, wenn man den richtigen Einstieg findet :-)
Also Skizze:
Dreieck A B C in üblicher Orientierung, Umkreismittelpunkt M als Schnittpunkt der Höhensenkrechten bestimmen, Umkreis mit R = AM zeichnen.
Jetzt Achtung: Verlängere den Radius AM bis zum Schnitt mit dem Umkreis, dies ergibt Punkt P.
Die Strecke AP entspricht 2R. Schau Dir das Dreieck APB genau an:
(1) Es ist rechtwinklig, weil der Kreisbogen AB einem Thaleskreis über AP entspricht.
(2) Der Winkel APB (bei P) entspricht dem Winkel gamma (bei C) im Ursprungsdreieck ABC, weil Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen (AB) gleich groß sind.
Aus dem rechtwinkligen Dreieck ABP entnimmt man die Beziehung
c/AP = c/2R = sin(gamma)
c = 2R * sin(gamma)
Jetzt beide Seiten dieser Gleichung mit der Fläche A multiplizieren, das ergibt:
2R * sin(gamma)* A = c * A
A kann man ausdrücken als: A = a/2 * Ha mit Ha der Höhe über der Seite a.
Dies ergibt:
2R * sin(gamma) * A = c * a/2 * Ha.
Da Ha/b = sin(gamma) bzw. Ha = b*sin(gamma)
ergibt sich
2R * sin(gamma) * A = c * a/2 * b *sin(gamma)
2R * A = abc/2
und zum Schluß:
R = abc/4A
HTH
Joachim
Udo
Feb 20, 2013, 4:14:52 AM2/20/13
to
Hallo Joachim,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Deine Lösung ist elegant und einfach.
Klasse!
Grüße
Udo
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Deine Lösung ist elegant und einfach.
Klasse!
Grüße
Udo
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