Endomorphismus f ist Automorphismus wenn 0 kein EW von f?
Alex Pircher
folgenden
Beweis durchführen kann:
Beweisen Sie, daß ein Endomorphismus f eines endlich-dimensionalen
Vektorraumes genau dann ein Automorphismus ist, wenn 0 kein Eigenwert
von f ist.
Danke & Viele Grüße,
Alex
Georg Scherer
Alex Pircher schrieb:
Dass ein Automorphismus f nicht 0 als Eigenwert haben kann, ist wohl
einleuchtend. Denn hätte f 0 als EW, so gäbe es per defintionem...
Umgekehrt: Was folgt aus "0 kein EW von f" sofort für f? Zwar noch nicht
die Behauptung, aber das "endlich-dimensional" muss schließlich auch
noch "verwurschtet" werden...
So, mehr helfe ich Dir aber nicht, sonst wird's ZU leicht :-)
mfg Georg
Paul Ebermann
Schau dir den Kern von f an.
HTH
Paul
f'up2dsm
Simone Graf
> Kann mir vielleicht jemand ein paar Tipps / Ansätze geben, wie ich den
> folgenden
> Beweis durchführen kann:
Ja, kann ich. :-)
>
> Beweisen Sie, daß ein Endomorphismus f eines endlich-dimensionalen
> Vektorraumes
> genau dann ein Automorphismus ist, wenn 0 kein Eigenwert
> von f ist.
>
Sei V ein n-dimensionaler Vekorraum (n > 0), sei f: V -> V ein Endomorpismus.
Ich zeige nun: f kein ist Automorphismus (bijektiv + surjektiv),
genau dann wenn 0 ein Eigenwert von f ist:
(Dies ist gleichbeideutend zu obiger Behauptung)
'=>' Sei 0 EW von f, dann gibt es ein v aus V, v != 0
mit f(v) = 0*v = 0.
D.h. f linear ist, und es ein v != 0 gibt
mit f(v) = 0, ist f nicht injektiv.
D.h. f ist kein Automorphismus
(f ist auch nicht surjektiv, da:
ker(f) ein linearer Untteraum ist und v != 0
aus dem Kern von f ist, gilt dim(ker(f)) >= 1,
nach Dimensionssatz ist dann n = dim(V) = dim(ker(f)) + dim(f(V)),
also dim(f(V)) < dim(V) = n.
Da f(V) auch linearer Unterraum ist, ist dann f nicht
surjektiv)
'<=" Sei f kein Automorphismus,
1. Fall: f ist nicht injektiv
Da f linear ist, existiert ein v != 0 mit
v aus ker(f), d.h. f(v) = 0 = 0 * v,
d.h. 0 ist EW von f.
2. Fall: f ist nicht surjektiv
da f linear und f(V) linearer Unterraum
ist dann dim(f(V)) < n = dim(V)
nach Dimensionssatz ist dann
dim(ker(f)) = dim(V) - dim(f(V)),
dann ist dim(ker(f)) > 0,
da ker(f) linearer Unterraum, gibt es
ein v != 0 aus V mit
f(v) = 0 = 0 * v
d.h. 0 ist EW von f.
> Danke & Viele Grüße,
> Alex
Bitte & Viele Gruesse,
Simone
--
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Dipl. Math. Simone Graf gr...@forwiss.uni-passau.de
Lukas-Fabian Moser
On 30 Jul 2002 04:52:56 -0700, Alexande...@yahoo.de (Alex
Pircher) wrote:
>Beweisen Sie, daß ein Endomorphismus f eines endlich-dimensionalen
>Vektorraumes genau dann ein Automorphismus ist, wenn 0 kein Eigenwert
>von f ist.
Da kann man kaum Tips geben, ohne alles zu verraten. Denke mal an die
Zusammenhänge zwischen Invertierbarkeit/Bijektivität, Determinanten
und charakteristischem Polynom.
Grüße, Lukas
Georg Vogelhuber
Eigentlich reicht es zu zeigen, dass f injektiv ist g.d.w. 0 kein EW
von f ist. Denn fuer einen Endomorphismus gilt:
f surjektiv <=> f injektiv <=> f Isomorphismus (also Automorphismus)
(Quell -und Zielraum haben die gleiche Dimension)
Jetzt gehts los:
f injektiv <=> ker f = 0 <=> ex. kein v != 0 mit f(v)=0 <=> 0 ist kein
EW vom f . . .
MfG
Georg Vogelhuber
Hendrik van Hees
> Der Beweis geht eigentlich ganz einfach:
Du wirst das folgende nicht beweisen können, es sei denn Du setzt voraus,
daß die VRe endlichdimensional sind. Kannst Du es doch beweisen, machst Du
was falsch ;-)).
> f injektiv <=> ker f = 0 <=> ex. kein v != 0 mit f(v)=0 <=> 0 ist kein
> EW vom f . . .
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Georg Vogelhuber
> Georg Vogelhuber wrote:
>
> > Der Beweis geht eigentlich ganz einfach:
>
> Du wirst das folgende nicht beweisen können, es sei denn Du setzt voraus,
> daß die VRe endlichdimensional sind. Kannst Du es doch beweisen, machst Du
> was falsch ;-))
Der Vektorraum war doch als endlich-dimensional voraussgesetzt. Sonst kann
das natuerlich nicht funktionieren!!
Die Aequivalz der Aussagen ist doch offensichtlich, oder ??
Pether Hubert
> Der Vektorraum war doch als endlich-dimensional voraussgesetzt.
Naja, in <4137c7b0.0208...@posting.google.com> steht davon
nichts, und zumindest bei Deiner Vorbemerkung (injektiv <=> surjektiv
bei dim V = dim W) hättest Du es dazuschreiben müssen, weil man das
sonst hätte fehlinterpretieren können.
Ciao,
Pether
--
Ein Deal ist ein Deal, bis ein besserer kommt. (Erwerbsregel 16)