Fehler bei patieller Integration

[Brigitta]

Hallo,

ich bitte um Hilfe bei einer Denkblockade - ich seh' den Fehler nicht.

Wenn ich das Integral(cos(x)/sin(x) * dx) mal anders als über Substitution lösen will, mach ich einen Fehler, den ich einfach nicht sehe.

Ich möchte das Integral über partielle Integration lösen, indem ich schreibe:

Integral(cos(x)/sin(x)* dx) = Integral(cos(x) * 1/sin(x) *dx mit

u' = cos(x) und v =1/sin(x), dann ist
u = sin(x) und v'= -cos(x)/sin^2(x)

somit kann ich schreiben:

Integral(u'*v) = u*v - Integral(u*v') =
= sin(x) * 1/sin(x) - Integral(sin(x)*(-cos(x))/sin^2(x))

dies ergibt
Integral(cos(x)/sin(x)* dx) = 1+Integral(cos(x)/sin(x)* dx)

Jetzt steht das gesuchte Integral auf beiden Seiten und ich erhalte
einen Widerspruch: 0 = 1

Ich mach irgendwo einen blöden Rechenfehler?
Kann mir jemand helfen?

Danke und Grüße
Brigitta

[Detlef Müller]

On 17.11.2014 15:41, Brigitta wrote:
> Hallo,
>
> ich bitte um Hilfe bei einer Denkblockade - ich seh' den Fehler nicht.
>
> Wenn ich das Integral(cos(x)/sin(x) * dx) mal anders als über Substitution lösen will, mach ich einen Fehler, den ich einfach nicht sehe.
>
> Ich möchte das Integral über partielle Integration lösen, indem ich schreibe:
>
> Integral(cos(x)/sin(x)* dx) = Integral(cos(x) * 1/sin(x) *dx mit
>
> u' = cos(x) und v =1/sin(x), dann ist
> u = sin(x) und v'= -cos(x)/sin^2(x)
>
> somit kann ich schreiben:
>
> Integral(u'*v) = u*v - Integral(u*v') =
> = sin(x) * 1/sin(x) - Integral(sin(x)*(-cos(x))/sin^2(x))
>
> dies ergibt
> Integral(cos(x)/sin(x)* dx) = 1+Integral(cos(x)/sin(x)* dx)
>
> Jetzt steht das gesuchte Integral auf beiden Seiten und ich erhalte
> einen Widerspruch: 0 = 1
>

Bis auf eine (integrations-) Konstante ist die Gleichung 0=1 ja
richtig ... hilft aber nicht wirklich weiter.

> Ich mach irgendwo einen blöden Rechenfehler?

Nein, aber die Methode, wo das Integral später wieder auftaucht,
klappt manchmal nicht, weil man wie hier keine aussagekräftige
Gleichung erhält, sondern sich das gesuchte Integral dummer
weise weg hebt.
Deine Idee war aber eigentlich gut.
Manchmal hilft es, dann die Rollen von u und v zu vertauschen,
aber 1/sin(x) ist leider schwer zu integrieren (wenn man da dann
Substituiert, hätte man das ja auch gleich tun können).

Ein ähnliches Problem taucht auf, wenn man

Integral(sin(x)*sin(x) dx)

durch 2-maliges partielles Integrieren und Auflösen herausbekommen
möchte (da kann man aber nach dem ersten Schritt inne halten und mit
der berühmten Gleichung sin^2+cos^2=1 doch noch zum Ziel kommen).

Gruß,
Detlef


--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

[Brigitta]

Am Montag, 17. November 2014 16:47:29 UTC+1 schrieb Detlef Müller:

> Nein, aber die Methode, wo das Integral später wieder auftaucht,
> klappt manchmal nicht, weil man wie hier keine aussagekräftige
> Gleichung erhält, sondern sich das gesuchte Integral dummer
> weise weg hebt.
> Deine Idee war aber eigentlich gut.
> Manchmal hilft es, dann die Rollen von u und v zu vertauschen,
> aber 1/sin(x) ist leider schwer zu integrieren (wenn man da dann
> Substituiert, hätte man das ja auch gleich tun können).
>
> Ein ähnliches Problem taucht auf, wenn man
>
> Integral(sin(x)*sin(x) dx)
>
> durch 2-maliges partielles Integrieren und Auflösen herausbekommen
> möchte (da kann man aber nach dem ersten Schritt inne halten und mit
> der berühmten Gleichung sin^2+cos^2=1 doch noch zum Ziel kommen).
>
> Gruß,
> Detlef

Hallo Detlef,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Ich hab das ganze Wo-Ende gegrübelt und schon gedacht, ich seh vor lauter
Bäumen den Wald nicht mehr, auch weil mir GEOGEBRA beim Gegenrechnen keinen
Fehler gezeigt hat.
(Aber Geogebra ist beim Integrieren gewöhnungsbedürftig - die Integrale werden
einem häufig in einer sehr komplizierten Form angezeigt, ohne dass der Befehl
"Vereinfache" Abhilfe schafft.)
Ich find's spannend, die Integrale "von Hand" auszurechnen, zumal meine Schulzeit doch schon etliche Jahre zurückliegt.
Also nochmals vielen Dank - Du hast mir sehr geholfen.

>
> --
> Dr. Detlef Müller,
> http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

Grüße
Brigitta